§ 20. Взаимное расположение двух окружностей

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 4: Окружность. Геометрические построения. Страницы 117–123.

Чему научишься

• Называть все способы, как могут лежать две окружности: врозь, одна в другой, касаясь, пересекаясь.
• Определять расположение по трём числам: радиусам $R_1$, $R_2$ и расстоянию $d$ между центрами.
• Отличать внешнее касание от внутреннего.
• Доказывать, что при $d > R_1 + R_2$ и при $d = R_1 + R_2$ окружности не пересекаются или касаются.
• Решать задачи про наименьшее и наибольшее расстояние между точками двух окружностей.

Разминка

• Что такое окружность? Все точки плоскости, которые удалены от одной точки (центра) на одно и то же расстояние (радиус).
• Что такое неравенство треугольника? Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон: $a < b + c$. Оно нам сегодня пригодится.
• Как найти расстояние между двумя точками на рисунке? Приложить линейку или циркуль и измерить отрезок между ними.
• Что значит «разность радиусов $R_1 - R_2$»? Из большего радиуса вычитаем меньший, поэтому разность всегда положительна, если $R_1 > R_2$.

Разбираемся

Пять способов лечь рядом

Нарисуй на листе две окружности. Они могут сойтись в разном количестве точек.

Нет общих точек. Тут возможны два случая: окружности лежат одна вне другой (как два колеса на разных концах скамейки) или одна внутри другой (как круги от камня на воде).

Одна общая точка. Тогда окружности касаются. Если каждая снаружи от другой, касание внешнее, как у двух монет, лежащих рядом. Если меньшая окружность спрятана внутри большей и касается её изнутри, касание внутреннее.

Две общие точки. Окружности пересекаются, как два кольца в эмблеме.

Если у окружностей один и тот же центр, они называются концентрическими (мишень для стрельбы, круги на срезе дерева).

📌 Две разные окружности могут иметь 0, 1 или 2 общие точки. Трёх и больше общих точек у них быть не может.

Всё решают три числа

Пусть радиусы окружностей $R_1$ и $R_2$, причём $R_1 \ge R_2$, а расстояние между центрами $O_1O_2 = d$. Расположение зависит только от этих чисел.

💡 Запомнить просто: сначала сравни $d$ с суммой радиусов (это про «снаружи»), потом с разностью (это про «внутри»).

⚠️ Частая ошибка. Если окружности не имеют общих точек, это ещё не значит, что они лежат врозь. Одна может сидеть внутри другой, как матрёшка. Обязательно проверь и сумму, и разность.

Почему при $d > R_1 + R_2$ общих точек нет

Это первая теорема параграфа. Давай докажем её по шагам.

Вторая часть теоремы про $d < R_1 - R_2$ доказывается так же. Берём точку $C$ на большой окружности ($O_1C = R_1$). Тогда $O_2C \ge O_1C - O_1O_2 = R_1 - d > R_2$. Значит, $C$ снова не лежит на второй окружности, и маленькая окружность целиком внутри большой.

👨‍👩‍👧 Родителю. Спросите ребёнка: «Две монеты лежат на столе, расстояние между центрами больше суммы радиусов. Могут ли они пересекаться?» Пусть ответит своими словами и покажет на монетах. Доказательство по сути и есть такая картинка.

Когда окружности касаются

Вторая теорема: если расстояние между центрами равно сумме или разности радиусов, окружности касаются.

Идея доказательства для $d = R_1 + R_2$. Отметим на отрезке $O_1O_2$ точку $C$ так, что $O_1C = R_1$. Тогда $O_2C = d - R_1 = R_2$, значит, $C$ лежит на обеих окружностях. Любая другая точка $D$ первой окружности по неравенству треугольника даёт $O_2D > O_1O_2 - O_1D = R_2$, то есть на второй окружности её нет. Общая точка ровно одна, и касание внешнее.

Случай $d = R_1 - R_2$ разбирается так же, только точку $C$ берём на луче $O_1O_2$. Тогда касание внутреннее.

💡 Видишь закономерность? Точка касания всегда лежит на прямой, проходящей через центры. Это удобно помнить в задачах.

Третья теорема принимается без доказательства: если $d < R_1 + R_2$ и $d > R_1 - R_2$, окружности пересекаются в двух точках.

Проверь себя

• Как могут быть расположены две окружности? Вне друг друга, одна внутри другой, касаются (внешне или внутренне), пересекаются.
• Сколько общих точек могут иметь две окружности? Ни одной, одну или две.
• Какие окружности называются касающимися, а какие пересекающимися? Касающиеся имеют ровно одну общую точку, пересекающиеся имеют две общие точки.
• Какие окружности называются концентрическими? Те, у которых общий центр.
• Когда одна окружность лежит во внешней области другой, а когда во внутренней? Во внешней, если $d > R_1 + R_2$. Во внутренней, если $d < R_1 - R_2$.
• Когда окружности касаются внешне и когда внутренне? Внешне при $d = R_1 + R_2$, внутренне при $d = R_1 - R_2$.
• Когда окружности пересекаются? Когда $R_1 - R_2 < d < R_1 + R_2$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 20.1

Нарисуй две окружности: а) без общих точек; б) концентрические; в) касающиеся внешне; г) касающиеся внутренне; д) пересекающиеся.

Как думать. Здесь всё решает расстояние между центрами. Подбери радиусы и поставь центры так, как в таблице.

Решение.

1. а) Радиусы 2 см и 3 см, центры на расстоянии 7 см ($7 > 5$). Окружности вне друг друга. Можно и так: радиусы 5 см и 2 см, центры на расстоянии 1 см ($1 < 3$): меньшая внутри большей.
2. б) Поставь иглу циркуля в одну точку и проведи две окружности разными радиусами, например 2 см и 3 см.
3. в) Радиусы 3 см и 2 см, центры на расстоянии 5 см.
4. г) Радиусы 4 см и 2 см, центры на расстоянии 2 см.
5. д) Радиусы 3 см и 2 см, центры на расстоянии 4 см (между 1 и 5).

Ответ: рисунки как выше (см. картинки в разделе «Разбираемся»).

№ 20.2

Окружность радиуса 3 см и точка $A$ на расстоянии 5 см от её центра. Найди радиус окружности с центром $A$, которая касается данной: а) внешне; б) внутренне.

Как думать. Расстояние между центрами $d = 5$ см. Касание внешнее: $d = R_1 + R_2$. Касание внутреннее: $d$ равно разности радиусов.

Решение.

1. а) Внешнее касание: $5 = 3 + r$, поэтому $r = 2$ см.
2. б) Внутреннее касание: окружность с центром $A$ должна быть больше (иначе она не сможет охватить данную, ведь $d = 5$ больше радиуса 3). Тогда $5 = r - 3$, откуда $r = 8$ см.

Ответ: а) 2 см; б) 8 см.

№ 20.3

Расстояние между центрами двух окружностей 5 см. Как расположены окружности, если радиусы: а) 2 см и 3 см; б) 2 см и 2 см?

Как думать. Найди сумму и разность радиусов и сравни с $d = 5$.

Решение.

1. а) $2 + 3 = 5 = d$. Касаются внешним образом.
2. б) $2 + 2 = 4 < 5$. Расстояние больше суммы радиусов, общих точек нет, окружности лежат вне друг друга.

Ответ: а) касаются внешним образом; б) не имеют общих точек, лежат одна вне другой.

📕 В ответах учебника напечатано «не имеют общих точек, одна находится внутри другой», но правильно «не имеют общих точек, лежат одна вне другой»: при радиусах 2 и 2 разность радиусов равна 0, а $d = 5 > 4 = 2 + 2$, значит окружности далеко друг от друга, а не одна внутри другой. Фраза «одна внутри другой» относится к следующему заданию, 20.4, б).

№ 20.4

Расстояние между центрами двух окружностей 2 см. Как расположены окружности, если радиусы: а) 3 см и 5 см; б) 2 см и 5 см?

Как думать. Теперь $d$ маленькое, поэтому смотрим на разность радиусов.

Решение.

1. а) Разность $5 - 3 = 2 = d$. Касаются внутренним образом.
2. б) Разность $5 - 2 = 3 > 2 = d$. Меньшая окружность целиком внутри большей, общих точек нет.

Ответ: а) касаются внутренним образом; б) нет общих точек, одна внутри другой.

№ 20.5

Чему равно расстояние между центрами окружностей с радиусами 4 см и 6 см, если они: а) касаются внешне; б) касаются внутренне?

Решение.

1. а) Внешнее касание: $d = 4 + 6 = 10$ см.
2. б) Внутреннее касание: $d = 6 - 4 = 2$ см.

Ответ: а) 10 см; б) 2 см.

Уровень B

№ 20.6

Фигура на рисунке 20.8 называется кольцом. Сформулируй её определение.

Как думать. Кольцо похоже на бублик или шайбу: есть внешний край и «дырка». Обе границы — окружности с одним центром.

Решение. Пусть центр $O$, внешний радиус $R$, внутренний $r$ ($r < R$). Точка $X$ лежит в кольце, когда её расстояние до $O$ не меньше $r$ и не больше $R$: $r \le OX \le R$.

Ответ: кольцо — часть плоскости, заключённая между двумя концентрическими окружностями (вместе с ними), то есть множество точек, удалённых от общего центра на расстояние от $r$ до $R$.

№ 20.7

Фигура на рисунке 20.9 называется сектором. Сформулируй её определение.

Как думать. Сектор — это кусок круга, как ломтик пиццы или пирога.

Решение. Из центра $O$ проведены два радиуса $OA$ и $OB$. Они делят круг на две части. Каждая такая часть вместе с радиусами называется сектором.

Ответ: сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности между их концами.

№ 20.8

Расстояние между центрами двух окружностей равно $d$ и больше суммы радиусов $R_1$ и $R_2$. Найди наименьшее и наибольшее расстояния между точками, лежащими на этих окружностях.

Как думать. Окружности лежат вне друг друга. Самая близкая пара точек и самая далёкая лежат на прямой центров.

Решение.

1. Идём от центра $O_1$ к $O_2$. Первая окружность заканчивается на расстоянии $R_1$ от $O_1$, вторая начинается на расстоянии $R_2$ до $O_2$.
2. Наименьшее расстояние: $d - R_1 - R_2$ (зазор между окружностями).
3. Наибольшее: с другой стороны, $R_1 + d + R_2$.

Ответ: наименьшее $d - R_1 - R_2$, наибольшее $d + R_1 + R_2$.

№ 20.9

Расстояние между центрами двух окружностей равно $d$ и меньше разности радиусов $R_1 - R_2$ ($R_1 > R_2$). Найди наименьшее и наибольшее расстояния между точками на этих окружностях.

Как думать. Теперь маленькая окружность спрятана внутри большой. Снова смотрим вдоль прямой центров.

Решение.

1. Ближе всего к малой окружности та точка большой, что лежит с той же стороны от центров: $R_1 - d - R_2$.
2. Дальше всего: противоположная сторона, $R_1 + d + R_2$.

Ответ: наименьшее $R_1 - R_2 - d$, наибольшее $R_1 + R_2 + d$.

№ 20.10

Сколько жемчужин нужно для бус длиной 50 см, если радиус одной жемчужины 5 мм?

Как думать. Жемчужины нанизаны в ряд и касаются друг друга. Каждая занимает длину своего диаметра.

Решение.

1. Диаметр жемчужины: $2 \cdot 5 = 10$ мм $= 1$ см.
2. Длина бус 50 см, значит, жемчужин $50 : 1 = 50$.

Ответ: 50 жемчужин.

Уровень C

№ 20.11

Две окружности с центрами $O_1$, $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Докажи, что $\angle O_1AO_2 = \angle O_1BO_2$ (рис. 20.10).

Как думать. Найди два треугольника, в которых эти углы лежат, и докажи, что треугольники равны.

Решение. Дано: окружности с центрами $O_1$, $O_2$ пересекаются в $A$ и $B$. Доказать: $\angle O_1AO_2 = \angle O_1BO_2$.

1. $O_1A = O_1B$ — радиусы первой окружности.
2. $O_2A = O_2B$ — радиусы второй окружности.
3. Сторона $O_1O_2$ у треугольников $O_1AO_2$ и $O_1BO_2$ общая.
4. Значит, $\triangle O_1AO_2 = \triangle O_1BO_2$ по трём сторонам.
5. У равных треугольников равны соответственные углы: $\angle O_1AO_2 = \angle O_1BO_2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

№ 20.12

Две окружности с центрами $O_1$, $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$ (рис. 20.11). Докажи, что прямая $O_1O_2$ перпендикулярна прямой $AB$.

Как думать. Треугольник $O_1AB$ равнобедренный: $O_1A = O_1B$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является ещё и высотой.

Решение. Дано: те же окружности. Доказать: $O_1O_2 \perp AB$.

1. Из задачи 20.11 имеем $\triangle O_1AO_2 = \triangle O_1BO_2$, поэтому $\angle AO_1O_2 = \angle BO_1O_2$.
2. Значит, $O_1O_2$ — биссектриса угла $AO_1B$ в равнобедренном треугольнике $AO_1B$ ($O_1A = O_1B$).
3. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию $AB$, является и высотой. Значит, $O_1O_2 \perp AB$.

Ответ: доказано. (Заодно линия центров делит $AB$ пополам.)

№ 20.13

Три окружности одинакового радиуса попарно касаются. Докажи, что их центры — вершины правильного треугольника.

Как думать. Касающиеся окружности с равными радиусами касаются внешне (внутреннее касание возможно только при разных радиусах). Тогда расстояние между центрами равно сумме радиусов.

Решение. Пусть радиус каждой окружности $R$.

1. Равные окружности не могут касаться внутренне: тогда $d = R - R = 0$, и это одна и та же окружность. Значит, касание внешнее.
2. $O_1O_2 = R + R = 2R$, $O_2O_3 = 2R$, $O_1O_3 = 2R$.
3. Все три стороны треугольника $O_1O_2O_3$ равны, значит, он правильный.

Ответ: доказано.

№ 20.14

Могут ли попарно касаться: а) три окружности; б) четыре окружности; в) пять окружностей?

Как думать. Попробуй нарисовать. Окружности могут быть разных размеров.

Решение.

1. а) Да. Три равные окружности из 20.13 касаются попарно.
2. б) Да. Возьми три равные окружности из 20.13 и вставь маленькую окружность в просвет между ними так, чтобы она касалась всех трёх. Либо положи три окружности внутрь большой, касаясь её.
3. в) Нет. Пять попарно касающихся окружностей на плоскости нарисовать нельзя.

Ответ: а) да; б) да; в) нет.

№ 20.15

Могут ли попарно касаться четыре окружности одинакового радиуса?

Как думать. У равных окружностей касание только внешнее, поэтому центры должны быть попарно на расстоянии $2R$.

Решение.

1. Три центра образуют правильный треугольник со стороной $2R$ (задача 20.13).
2. Четвёртый центр должен быть на расстоянии $2R$ от всех трёх вершин, то есть в центре описанной окружности этого треугольника. Но расстояние от такого центра до вершины равно $\frac{2R}{\sqrt{3}}$, это меньше $2R$.
3. Значит, четвёртой равной окружности не найти.

Ответ: нет.

№ 20.16

Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь: а) две окружности; б) три; в) четыре; г) $n$ окружностей? Нарисуй такие окружности.

Как думать. Две окружности дают не больше 2 точек. Остаётся посчитать, сколько существует пар.

Решение.

1. а) Одна пара: $2$ точки.
2. б) Три окружности, три пары: $3 \cdot 2 = 6$.
3. в) Четыре окружности, пар $6$: $6 \cdot 2 = 12$.
4. г) $n$ окружностей: пар $\frac{n(n-1)}{2}$, точек $2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)$.
5. Рисунок: у каждой пары окружностей должно быть две общие точки, и никакие три окружности не проходят через одну точку (например, окружности одинакового радиуса со сдвинутыми центрами).

Ответ: а) 2; б) 6; в) 12; г) $n(n-1)$.

№ 20.17

На какое наибольшее число областей могут разбивать плоскость: а) две окружности; б) три; в) четыре? Нарисуй эти области.

Как думать. Каждая новая окружность добавляет столько новых областей, сколько точек пересечения она имеет с предыдущими.

Решение.

1. Одна окружность делит плоскость на 2 области (внутри и снаружи).
2. а) Вторая окружность пересекает первую в двух точках и добавляет 2 области: $2 + 2 = 4$.
3. б) Третья пересекает две предыдущие в $4$ точках и добавляет $4$ области: $4 + 4 = 8$.
4. в) Четвёртая пересекает три предыдущие в $6$ точках и добавляет $6$: $8 + 6 = 14$.

Ответ: а) 4; б) 8; в) 14.

№ 20.18

Земля и Марс вращаются вокруг Солнца по (почти) круговым орбитам радиусом 150 и 228 млн км (рис. 20.12). Найди наибольшее и наименьшее расстояния между Землёй и Марсом.

Как думать. Орбиты — две концентрические окружности с центром в Солнце. Планеты ближе всего, когда они на одном луче от Солнца, и дальше всего, когда на противоположных.

Решение.

1. Наименьшее: $228 - 150 = 78$ млн км.
2. Наибольшее: $228 + 150 = 378$ млн км.

Ответ: 378 млн км и 78 млн км.

№ 20.19

Изобрази две точки $A$ и $B$. Укажи точки, расстояния от которых до $A$ и $B$ равны.

Как думать. Это подготовка к следующему параграфу: ищем точки, одинаково удалённые от двух данных.

Решение.

1. Поставь $A$ и $B$, проведи отрезок $AB$ и найди его середину $M$. Она равноудалена от $A$ и $B$.
2. Проведи через $M$ перпендикуляр к $AB$. Любая точка этого перпендикуляра тоже равноудалена от $A$ и $B$: это видно по циркулю, если ставить иглу в такую точку.
3. Других таких точек нет.

Ответ: все точки прямой, перпендикулярной отрезку $AB$ и проходящей через его середину (серединного перпендикуляра).

Шпаргалка

• Окружности имеют 0, 1 или 2 общие точки.
• Теорема 1. Если $d > R_1 + R_2$ или $d < R_1 - R_2$, общих точек нет.
• Теорема 2. Если $d = R_1 + R_2$ или $d = R_1 - R_2$, окружности касаются.
• Теорема 3. Если $R_1 - R_2 < d < R_1 + R_2$, окружности пересекаются в двух точках.
• Концентрические окружности имеют общий центр.

Мини-тест