§ 3. Измерение длин отрезков

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 1: Начальные геометрические сведения. Страницы 15–19.

Чему научишься

• Объяснять, что такое длина отрезка и расстояние между двумя точками.
• Измерять отрезок линейкой и записывать результат в сантиметрах и миллиметрах.
• Понимать, как измерение работает «с остатком»: откуда берутся десятые доли.
• Пользоваться двумя свойствами длин: равные отрезки имеют равные длины, длина суммы равна сумме длин.
• Решать задачи про точку между двумя другими и про середину отрезка.

Разминка

• Что получится, если на прямой отложить подряд отрезки в 5 см и в 6 см? Один длинный отрезок, его длина $5+6=11$ см.
• Сколько миллиметров в 1 см? А в 1 дм? В 1 см 10 мм, в 1 дм 100 мм.
• Как сравнить два отрезка без линейки? Наложить один на другой так, чтобы начала совпали: у какого конец дальше, тот длиннее. Если концы совпали, отрезки равны.

Разбираемся

Длина — это «сколько раз влезла единица»

Хочешь узнать длину парты? Берёшь «мерку» (ладонь, шнурок, метровую палку) и смотришь, сколько раз она уложится. Мерку называют единичным отрезком. Длина отрезка — это положительное число: оно показывает, сколько раз единичный отрезок (и его части) укладываются в нём.

Измеряем отрезок $AB$ единичным отрезком $OE$. Откладываем $OE$ от точки $A$ вдоль луча $AB$ снова и снова.

Что делать с остатком? Делим единичный отрезок на 10 равных частей и измеряем остаток десятыми долями. Если десятая доля уложилась в $CB$ ровно 6 раз, то длина $AB = 2{,}6$. Если снова остался хвостик, делим десятую долю ещё на 10, и так далее. Так рождаются десятичные дроби.

💡 Иногда процесс заканчивается (длина — конечная десятичная дробь), а иногда нет (бесконечная дробь). Если единицу разбить на $q$ равных частей и $p$ таких частей уложится в отрезке, длина равна $\frac{p}{q}$. Например, при $q=3$, $p=8$ получаем $\frac{8}{3}$.

Длина и расстояние

Длину отрезка $AB$ называют ещё расстоянием между точками $A$ и $B$. Пишем просто $AB$: так обозначают и сам отрезок, и его длину. Прочитай по смыслу: «$AB=5$ см» значит «длина отрезка $AB$ равна 5 см».

Линейка, рулетка и километры

В тетради мы мерим линейкой: сантиметры и миллиметры (десятые доли сантиметра). На местности берут рулетку: единица — метр, $1\text{ м}=100\text{ см}$. Большие расстояния, например от Алматы до Астаны, меряют в километрах: $1\text{ км}=1000\text{ м}$.

Два свойства длин

📌 Свойство 1. Равные отрезки имеют равные длины. Свойство 2. Длина суммы отрезков равна сумме их длин: если точка $C$ лежит на отрезке $AB$, то $AB = AC + CB$.

А чему равна длина разности отрезков? Из свойства 2 следует: $CB = AB - AC$. То есть длина разности равна разности длин (из большего вычитаем меньшее).

🌟 В конце XVIII века во Франции решили, что пора навести порядок в мерах длины. Так появился метр. Раньше у каждой страны были свои «аршины», «футы» и «сажени», и торговцам было очень трудно.

⚠️ Частая ошибка. Складывают числа в разных единицах: $3\text{ см}+15\text{ мм}=18$. Сначала приведи к одной единице: $30\text{ мм}+15\text{ мм}=45\text{ мм}$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка измерить любой предмет дома дважды: линейкой и «своей меркой» (шаг, ладонь). Так «единичный отрезок» станет понятным.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что называется длиной отрезка? Положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.
• Как обозначается длина отрезка? Так же, как и сам отрезок: длина отрезка $AB$ записывается $AB$.
• Как измеряется длина отрезка? Единичный отрезок откладывают от начала отрезка. Если осталась часть, единицу делят на 10 равных частей и измеряют остаток десятыми, затем сотыми и так далее.
• Что называется расстоянием между двумя точками? Длина отрезка, который соединяет эти точки.
• Какие свойства выполняются для длин отрезков? Равные отрезки имеют равные длины. Длина суммы отрезков равна сумме их длин (а длина разности равна разности длин).

Решаем упражнения

Уровень A

№ 3.1

Начерти линейкой отрезки длиной: а) 6 см; б) 18 мм; в) 1 дм.

Как думать. Сначала приведи всё к одной единице, чтобы не запутаться в делениях.

Решение. а) Ставь нуль линейки в точку $A$, отметь деление «6», получишь точку $B$, $AB=6$ см. б) $18\text{ мм}=1\text{ см }8\text{ мм}=1{,}8$ см: отметь после 1 см ещё 8 мелких делений. в) $1\text{ дм}=10\text{ см}$: отрезок до отметки «10».

Ответ: три отрезка длиной 6 см, 18 мм (то есть 1,8 см) и 10 см.

№ 3.2

На клетчатой бумаге изобрази отрезки $AB$, $CD$, $EF$ как на рисунке 3.4 и измерь их линейкой.

Как думать. Рисунок на клетках: сначала ставим точки по клеткам, потом соединяем. Для $AB$ идём от $A$ на 2 клетки вправо и 2 вверх; для $CD$ на 4 вправо и 2 вверх; для $EF$ на 4 вправо и 1 вверх.

Решение. Если клетка 5 мм (как в обычной тетради), то по диагоналям клеток: $AB=2\sqrt2$ клетки $\approx 2{,}8$ клетки, то есть около 14 мм; $CD=\sqrt{20}\approx4{,}5$ клетки, около 22 мм; $EF=\sqrt{17}\approx4{,}1$ клетки, около 21 мм. Своей линейкой получишь близкие значения, ошибка в 1 мм нормальна.

Ответ: примерно $AB\approx14$ мм, $CD\approx22$ мм, $EF\approx21$ мм (в тетради с клеткой 5 мм).

№ 3.3

На рисунке 3.5 точки $A, B, C, D$ лежат на прямой по порядку, $AB=CD$, $AC=6$ см. Найди $BD$.

Как думать. Запишем $AC$ и $BD$ как суммы кусочков и сравним.

Решение. Дано: $AB=CD$, $AC=6$ см. Найти $BD$.

1. $AC=AB+BC$.
2. $BD=BC+CD$.
3. Так как $AB=CD$, правые части равны, значит $BD=AC=6$ см.

Ответ: $BD=6$ см.

№ 3.4

На рисунке 3.5 $AC=BD$, $AC=10$ см, $CD=4$ см. Найди $BC$.

Как думать. Снова раскладываем $AC$ и $BD$ на кусочки. Равенство $AC=BD$ говорит, что $AB=CD$.

Решение.

1. $AC=AB+BC$ и $BD=BC+CD$. Раз $AC=BD$, то $AB=CD=4$ см.
2. $BC=AC-AB=10-4=6$ см.

Ответ: $BC=6$ см.

Уровень B

№ 3.5

Точка $C$ лежит на прямой между точками $A$ и $B$. Найди $AB$, если: а) $AC=2$ см, $CB=3$ см; б) $AC=3$ дм, $CB=4$ дм; в) $AC=12$ м, $CB=5$ м.

Как думать. Точка между двумя другими: длина всего отрезка равна сумме длин частей.

Решение. $AB=AC+CB$. а) $2+3=5$ см. б) $3+4=7$ дм. в) $12+5=17$ м.

Ответ: а) 5 см; б) 7 дм; в) 17 м.

№ 3.6

На прямой в одну сторону подряд отложены $OE=5$ см, $EF=30$ мм, $FG=15$ мм, $GH=11$ см. Найди отрезки: а) $OF$; б) $OH$; в) $EG$; г) $FH$.

Как думать. Сначала переведём всё в сантиметры: $EF=3$ см, $FG=1{,}5$ см. Потом складываем нужные подряд идущие отрезки.

Решение. а) $OF=OE+EF=5+3=8$ см. б) $OH=OE+EF+FG+GH=5+3+1{,}5+11=20{,}5$ см. в) $EG=EF+FG=3+1{,}5=4{,}5$ см. г) $FH=FG+GH=1{,}5+11=12{,}5$ см.

Ответ: а) 8 см; б) 20,5 см; в) 4,5 см; г) 12,5 см.

№ 3.7

Точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой, $AB=4$ см, $AC=7$ см, $BC=3$ см. Какая точка лежит между двумя другими?

Как думать. Из трёх точек на прямой одна лежит между двумя другими, и тогда самое длинное расстояние равно сумме двух остальных.

Решение. Самый длинный отрезок $AC=7$. Проверяем: $AB+BC=4+3=7=AC$. Значит, между $A$ и $C$ лежит точка $B$.

Ответ: точка $B$ лежит между $A$ и $C$.

№ 3.8

Могут ли точки $A$, $B$, $C$ лежать на одной прямой, если $AB=2$ см, $BC=3$ см, $AC=4$ см?

Как думать. Если точки на одной прямой, то больший отрезок равен сумме двух других.

Решение. Самый длинный отрезок $AC=4$. Сумма двух других $2+3=5\ne4$. Условие не выполняется.

Ответ: нет, не могут.

№ 3.9

Точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой, $AC=3$ см, $BC=5$ см. Принадлежит ли точка $B$ отрезку $AC$?

Как думать. Если бы $B$ была на отрезке $AC$, то отрезок $BC$ был бы частью $AC$ и не мог бы быть длиннее.

Решение. $BC=5>AC=3$. Часть не бывает больше целого, значит $B$ не лежит на отрезке $AC$.

Ответ: нет, не принадлежит.

№ 3.10

Могут ли точки $A$, $B$, $C$ лежать на одной прямой, если длина большего отрезка $AB$ меньше суммы длин отрезков $AC$ и $BC$?

Как думать. Вспомни правило из № 3.7: на прямой больший отрезок равен сумме двух остальных.

Решение. Если три точки на одной прямой, одна из них лежит между двумя другими, и тогда $AB=AC+BC$ (самый большой отрезок — сумма двух остальных). А по условию $AB<AC+BC$. Получили противоречие.

Ответ: нет, не могут.

№ 3.11

На прямой отложены $AB=10$ см, $BC=5$ см. Найди $AC$, если: а) $B$ лежит между $A$ и $C$; б) $C$ лежит между $A$ и $B$.

Как думать. Рисуем два случая: от положения точек зависит, складывать или вычитать.

Решение. а) $AC=AB+BC=10+5=15$ см. б) $C$ между $A$ и $B$, значит $AB=AC+CB$, откуда $AC=AB-CB=10-5=5$ см.

Ответ: а) 15 см; б) 5 см.

№ 3.12

Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам. Известно, что $AO=2CO$. Сравни $AB$ и $CD$.

Как думать. «Делятся пополам» значит $O$ — середина каждого отрезка, поэтому $AB=2AO$ и $CD=2CO$.

Решение.

1. $AB=2\cdot AO$, $CD=2\cdot CO$.
2. $AO=2CO$, поэтому $AB=2\cdot2CO=4CO$.
3. $CD=2CO$, значит $AB=2\cdot CD$.

Ответ: $AB=2CD$, отрезок $AB$ вдвое длиннее.

№ 3.13

Сумма двух отрезков равна 6 см, их разность 2 см. Найди сами отрезки.

Как думать. Если из суммы вычесть разность, останется два меньших отрезка.

Решение. Пусть большой $x$, маленький $y$. $x+y=6$, $x-y=2$. Складываем: $2x=8$, $x=4$. Тогда $y=6-4=2$. Проверка: $4+2=6$, $4-2=2$.

Ответ: 4 см и 2 см.

№ 3.14

На отрезке $AB$ длиной 15 м отмечена точка $C$. Найди $AC$ и $BC$, если: а) $AC$ на 3 м длиннее $BC$; б) $AC$ вдвое длиннее $BC$; в) $AC:BC=2:3$.

Как думать. Обозначим короткий кусок за $x$ и запишем второй через него. Потом $AC+BC=15$.

Решение. а) $BC=x$, $AC=x+3$. $x+x+3=15$, $2x=12$, $x=6$. $BC=6$ м, $AC=9$ м. б) $BC=x$, $AC=2x$. $3x=15$, $x=5$. $BC=5$ м, $AC=10$ м. в) Отрезок разделён на $2+3=5$ частей, одна часть $15:5=3$ м. $AC=2\cdot3=6$ м, $BC=3\cdot3=9$ м.

Ответ: а) $AC=9$ м, $BC=6$ м; б) $AC=10$ м, $BC=5$ м; в) $AC=6$ м, $BC=9$ м.

№ 3.15

На прямой подряд отложены $AB=3$ см, $BC=5$ см, $CD=4$ см. Найди расстояние между серединами отрезков $AB$ и $CD$.

Как думать. Середина $M$ отрезка $AB$ и середина $N$ отрезка $CD$. Путь от $M$ до $N$ складывается из трёх кусков.

Решение.

1. $MB=\frac{AB}{2}=1{,}5$ см.
2. $BC=5$ см.
3. $CN=\frac{CD}{2}=2$ см.
4. $MN=1{,}5+5+2=8{,}5$ см.

Ответ: 8,5 см.

№ 3.16

От точки $A$ на прямой в одном направлении отложены $AB=60$ мм и $AC=100$ мм. Найди: а) $BC$; б) расстояние от $A$ до середины $BC$; в) расстояние между серединами $AB$ и $AC$.

Как думать. Оба отрезка идут от $A$ в одну сторону, значит $B$ лежит между $A$ и $C$ (60 меньше 100).

Решение. а) $BC=AC-AB=100-60=40$ мм. б) Середина $BC$ — точка $M$, $BM=20$ мм. $AM=AB+BM=60+20=80$ мм. в) Середины: $K$ — $AB$, $AK=30$ мм; $L$ — $AC$, $AL=50$ мм. $KL=50-30=20$ мм.

Ответ: а) 40 мм; б) 80 мм; в) 20 мм.

№ 3.17

Три деревни $A$, $B$, $C$ стоят вдоль прямой дороги. $AB=2$ км, $AC=5$ км. Чему равно $BC$? Сколько решений у задачи?

Как думать. Деревня $B$ может стоять с любой стороны от $A$. Рисуем оба случая.

Решение.

1. $B$ между $A$ и $C$: $BC=AC-AB=5-2=3$ км.
2. $A$ между $B$ и $C$: $BC=AB+AC=2+5=7$ км. Других расположений нет, значит решений два.

Ответ: $BC=3$ км или $BC=7$ км; два решения.

📕 В ответах учебника напечатано «3.17. Сложить ленту пополам…» и «3.18. 3 км или 7 км», но правильно наоборот: «3 км или 7 км» — ответ к задаче 3.17 про деревни, а способ с лентой — ответ к задаче 3.18. Подписи номеров в ответах перепутаны.

№ 3.18

Как отрезать от ленты длиной 2 м кусок в 150 см, если линейкой пользоваться нельзя?

Как думать. $2\text{ м}=200\text{ см}$. Нужно отрезать 150 см, а значит, останется $200-150=50$ см, то есть четверть ленты. Четверть можно получить складыванием.

Решение.

1. Сложи ленту пополам: получится 100 см.
2. Сложи ещё раз пополам: получится четверть, 50 см.
3. Отрежь эту четверть. Оставшаяся часть: $200-50=150$ см.

Ответ: сложить ленту пополам, ещё раз пополам и отрезать получившуюся четверть; оставшийся кусок 150 см.

Уровень C

№ 3.19

На прямой отложены три равных отрезка так, что конец первого служит серединой второго, а конец второго — серединой третьего. Длина отрезка от начала первого до конца третьего равна 28 см. Найди длину этих отрезков.

Как думать. Пусть длина каждого отрезка $a$. Если конец первого — середина второго, то второй начинается на $\frac{a}{2}$ раньше этого конца. Нарисуй и отметь на прямой все точки.

Решение.

1. Первый: от $0$ до $a$.
2. Второй: его середина в точке $a$, длина $a$, значит он идёт от $\frac{a}{2}$ до $\frac{3a}{2}$.
3. Третий: середина в точке $\frac{3a}{2}$, значит он идёт от $a$ до $2a$.
4. Расстояние от начала первого до конца третьего равно $2a=28$ см.
5. $a=14$ см.

Ответ: 14 см.

№ 3.20

Толщина газетного листа 0,1 мм. Лист сложили пополам, потом ещё раз, и так 50 раз. Какой толщины была бы стопка, если бы это было возможно?

Как думать. Каждое складывание удваивает толщину: после $n$ раз получается $2^n$ слоёв.

Решение.

1. После 50 складываний слоёв $2^{50}\approx1{,}13\cdot10^{15}$.
2. Толщина $0{,}1\cdot1{,}13\cdot10^{15}\approx1{,}13\cdot10^{14}$ мм.
3. Переводим: $10^{14}$ мм это $10^{11}$ м, то есть $10^{8}$ км. Получаем около $1{,}1\cdot10^{8}$ км, то есть около 112 миллионов километров.

Для сравнения: до Луны примерно 384 тысячи километров, а до Солнца около 150 миллионов.

Ответ: более одного миллиона километров (на самом деле около 112 миллионов км).

№ 3.21

Подготовь сообщение: единицы измерения в разных странах в конце XVIII века. Эталон единицы длины — метр.

Как думать. Это задание-сообщение, ответа в учебнике нет. Вот план на 4–5 предложений.

Решение.

1. До конца XVIII века в каждой стране (а часто и в каждом городе) были свои меры длины: в России аршин и сажень, в Англии фут и дюйм, во Франции туаз.
2. Это мешало торговле и науке: один и тот же «фут» был разной длины.
3. Во Франции в 1790-х годах решили взять за основу длину земного меридиана: метр приняли равным одной десятимиллионной доле расстояния от Северного полюса до экватора.
4. Сделали эталон метра, и с тех пор метр стал единой мерой, которой пользуются почти все страны.
5. Свой пример из жизни: у казахов старыми мерами были «карыс» (пядь, расстояние между растянутыми пальцами) и «кулаш» (размах рук).

Ответ: сообщение по плану выше.

№ 3.22

На сколько частей разбивают плоскость: а) два луча; б) три луча; в) четыре луча; г) $n$ лучей с общей вершиной?

Как думать. Нарисуй лучи из одной точки: каждый новый луч «разрезает» одну часть на две. Но самый первый луч ничего не делит.

Решение. а) Два луча с общей вершиной делят плоскость на 2 части. б) Третий луч режет одну из частей, получаем 3. в) Четвёртый ещё одну, получаем 4. г) Каждый следующий луч добавляет одну часть, значит $n$ лучей дают $n$ частей.

Ответ: а) 2; б) 3; в) 4; г) $n$.

Шпаргалка

• Единичный отрезок — отрезок, принятый за единицу. Остаток измеряют десятыми, сотыми долями и так далее.
• Длина отрезка — число, показывающее, сколько раз единица (и её части) укладывается в отрезке.
• Расстояние между точками — длина соединяющего их отрезка.
• Свойства длин: равные отрезки имеют равные длины; длина суммы равна сумме длин.

Мини-тест