§ 21. Геометрические места точек

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 4: Окружность. Геометрические построения. Страницы 123–128.

Чему научишься

• Объяснять, что такое геометрическое место точек (ГМТ).
• Знать, какие фигуры образуют точки, равноудалённые от двух точек и от сторон угла.
• Доказывать две теоремы о серединном перпендикуляре и биссектрисе.
• Искать и рисовать ГМТ в задачах на клетчатой бумаге и на местности.
• Находить точку, равноудалённую от трёх точек или от трёх прямых.

Разминка

• Что такое окружность? Все точки плоскости, удалённые от центра на одно и то же расстояние (радиус).
• Что такое серединный перпендикуляр? Не знаешь пока? Запомни: это прямая, которая перпендикулярна отрезку и проходит через его середину. Сегодня он будет главным героем.
• Что такое биссектриса угла? Луч из вершины угла, который делит угол пополам.
• Как называется треугольник с двумя равными сторонами и что в нём особенного? Равнобедренный. Медиана к основанию в нём ещё и высота.

Разбираемся

Что такое ГМТ

Представь футбольное поле. Если сказать «стой на расстоянии 5 метров от центрального круга», ты не поймёшь, где именно. Но если добавить «и все такие точки», получится целая линия: окружность. Так мы и задаём фигуры: указываем свойство, которому обязаны удовлетворять точки.

📌 Геометрическое место точек (ГМТ) — фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают данным свойством, и только из них.

Это значит две вещи:

1. Каждая точка фигуры обладает свойством.
2. Каждая точка с этим свойством лежит на фигуре.

Первый пример нам известен: окружность — это ГМТ, удалённых от данной точки на данное расстояние.

💡 Чтобы доказать, что фигура и есть ГМТ, всегда проверяют оба направления: «из фигуры следует свойство» и «из свойства следует фигура». Именно так устроены обе теоремы ниже.

Серединный перпендикуляр: путь из двух точек в одну линию

Возьмём отрезок $AB$ с серединой $O$. Серединный перпендикуляр — прямая $c$, проходящая через $O$ перпендикулярно $AB$.

📌 Теорема 1. Серединный перпендикуляр к отрезку — это ГМТ, одинаково удалённых от концов отрезка.

🌟 Серединный перпендикуляр применяется и в жизни. Чтобы поставить столб, одинаково удалённый от двух домов, достаточно найти эту линию на плане.

Биссектриса: одинаково далеко от сторон угла

📌 Теорема 2. Биссектриса угла — это ГМТ, лежащих внутри угла и одинаково удалённых от его сторон.

Расстояние от точки до стороны угла — длина перпендикуляра из точки на эту сторону.

⚠️ Частая ошибка. В теореме про биссектрису важно «внутри угла». Если искать равноудалённые от двух прямых, получится уже не одна биссектриса, а две перпендикулярные прямые (биссектрисы всех четырёх углов).

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка сложить лист бумаги так, чтобы одна точка совпала с другой: линия сгиба и будет серединным перпендикуляром. А если сложить угол «стороной на сторону», линия сгиба станет биссектрисой.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что называется геометрическим местом точек? Фигура, состоящая из всех точек плоскости, обладающих заданным свойством (и только из них).
• Как определить окружность через ГМТ? Окружность — ГМТ плоскости, удалённых от данной точки (центра) на данное расстояние (радиус).
• Какая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку? Прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину.
• Каким ГМТ является серединный перпендикуляр и биссектриса? Серединный перпендикуляр — ГМТ точек, равноудалённых от концов отрезка. Биссектриса — ГМТ внутренних точек угла, равноудалённых от его сторон.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 21.1

Какое ГМТ представляет собой: а) отрезок; б) луч; в) круг с центром $O$ и радиусом $R$; г) кольцо с центром $O$ и радиусами $R_1$, $R_2$ ($R_1 < R_2$)?

Как думать. Для каждой фигуры придумай «свойство точки», при котором получается именно она.

Решение.

1. а) Отрезок $AB$ — все точки $X$ прямой $AB$, лежащие между $A$ и $B$ (включая концы). То есть $AX + XB = AB$.
2. б) Луч с началом $O$ — все точки прямой, лежащие по одну сторону от $O$ (вместе с самой $O$).
3. в) Круг — все точки плоскости, удалённые от $O$ не больше чем на $R$: $OX \le R$.
4. г) Кольцо — все точки, для которых $R_1 \le OX \le R_2$.

Ответ: а) точки прямой между концами отрезка (включая концы); б) точки прямой по одну сторону от начала луча, вместе с ним; в) точки на расстоянии не больше $R$ от $O$; г) точки на расстоянии от $R_1$ до $R_2$ от $O$.

№ 21.2

На клетчатой бумаге изобрази ГМТ, равноудалённых от точек $A$ и $B$ (рис. 21.3).

Как думать. Равноудалённые от двух точек лежат на серединном перпендикуляре. Найди середину отрезка и проведи перпендикуляр к нему.

Решение.

1. а) Пусть $A(1;,4)$, $B(4;,1)$ в клетках. Середина $AB$ — точка $(2{,}5;,2{,}5)$. Отрезок идёт на 3 клетки вправо и на 3 вниз, значит, перпендикуляр идёт по диагонали клеток. Это прямая через $(0;,0)$ и $(6;,6)$.
2. б) Пусть $A(1;,3)$, $B(5;,1)$. Середина $(3;,2)$. Отрезок идёт на 4 вправо и 2 вниз, значит, перпендикуляр к нему идёт на 1 вправо и 2 вверх (повернули шаг на прямой угол). Получается прямая через $(3;,2)$, $(4;,4)$, $(5;,6)$ и $(2;,0)$.

Ответ: серединный перпендикуляр к $AB$ (на рисунках выше).

№ 21.3

На прямой $c$ изобрази точку $C$, равноудалённую от $A$ и $B$ (рис. 21.4).

Как думать. Равноудалённые точки лежат на серединном перпендикуляре к $AB$. Искомая точка — пересечение этого перпендикуляра с прямой $c$.

Решение.

1. б) $A(1;,3)$, $B(5;,1)$, прямая $c$ — вертикаль $x = 4$. Середина $AB$ — $(3;,2)$, серединный перпендикуляр: от $(3;,2)$ на 1 вправо и 2 вверх попадаем в $(4;,4)$.
2. Эта точка лежит на $c$. Проверим: $CA^2 = 3^2 + 1^2 = 10$, $CB^2 = 1^2 + 3^2 = 10$.
3. а) $A(1;,1)$, $B(4;,1)$. Серединный перпендикуляр — вертикаль $x = 2{,}5$. Она пересекает прямую $c$ выше середины $AB$ (примерно в точке $(2{,}5;,3{,}8)$). Это и есть $C$.

Ответ: точка пересечения $c$ с серединным перпендикуляром к $AB$: в б) $C(4;,4)$.

№ 21.4

Населённые пункты $A$, $B$, $C$, $D$: $A$ в нескольких километрах к югу от $D$, а $B$ и $C$ на одинаковых расстояниях к западу и востоку от $A$. Верно ли, что $B$ и $C$ одинаково удалены от $D$?

Как думать. Нарисуй схему с севером вверх. $B$ и $C$ лежат на одной горизонтали, $A$ посередине.

Решение.

1. $A$ — середина отрезка $BC$, потому что $AB = AC$.
2. $D$ лежит на север от $A$, то есть на прямой, перпендикулярной горизонтали $BC$ в точке $A$.
3. Значит, $DA$ — серединный перпендикуляр к $BC$, а точка $D$ на нём.
4. По теореме 1: $DB = DC$.

Ответ: да.

№ 21.5

Два дома по разные стороны от шоссе (рис. 21.5). Где построить автобусную остановку, одинаково удалённую от обоих домов?

Как думать. Остановка должна быть на шоссе $c$ и одновременно на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.

Решение.

1. Соедини дома $A$ и $B$ отрезком. Он пересекает шоссе, потому что дома по разные стороны.
2. Циркулем найди середину $AB$ и проведи через неё перпендикуляр.
3. Точка пересечения этого перпендикуляра с шоссе $c$ и есть место остановки. От неё до $A$ и $B$ одинаково.

Ответ: в точке пересечения шоссе с серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

№ 21.6

На карте острова (рис. 21.6) есть камень на развилке двух дорог и два дуба. Клад зарыт в месте, одинаково удалённом и от двух дорог, и от дубов. Найди клад.

Как думать. «Одинаково удалено от двух дорог» — это биссектриса угла между дорогами. «Одинаково удалено от двух дубов» — серединный перпендикуляр к отрезку между дубами. Клад там, где эти линии встретятся.

Решение.

1. Проведи биссектрису угла, образованного дорогами (из камня на развилке).
2. Соедини два дуба отрезком и построй серединный перпендикуляр к нему.
3. Точка пересечения биссектрисы и серединного перпендикуляра и есть клад.

Ответ: в точке пересечения биссектрисы угла между дорогами и серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему два дуба.

Уровень B

№ 21.7

Отметь точку, равноудалённую от точек $A$, $B$, $C$ (рис. 21.7, а–в).

Как думать. Равноудалённые от $A$ и $B$ лежат на одном серединном перпендикуляре, равноудалённые от $B$ и $C$ — на другом. Искомая точка — где они пересекаются.

Решение. Берём клетки.

1. а) $A(1;,1)$, $B(5;,1)$, $C(5;,3)$. Серединный перпендикуляр к $AB$: $x = 3$. К $BC$: $y = 2$. Точка $(3;,2)$. Проверка: расстояния до $A$ и $C$ равны $\sqrt{5}$.
2. б) $A(1;,3)$, $C(5;,3)$, $B(3;,1)$. Серединный перпендикуляр к $AC$: $x = 3$. Нужно, чтобы расстояние до $A$ равнялось расстоянию до $B$: точка $(3;,3)$, потому что до $A$ 2, до $B$ тоже 2.
3. в) $A(1;,1)$, $B(3;,1)$, $C(5;,3)$. Серединный перпендикуляр к $AB$: $x = 2$. К $AC$: проходит через $(3;,2)$, идёт на 1 вправо и 2 вниз, то есть $2x + y = 8$. При $x = 2$ получаем $y = 4$. Точка $(2;,4)$, расстояние до каждой из трёх вершин $\sqrt{10}$.

Ответ: а) $(3;,2)$; б) $(3;,3)$; в) $(2;,4)$ (координаты в клетках).

№ 21.8

$A$ и $B$ — точки плоскости. Укажи ГМТ $C$, для которых: а) $AC \ge BC$; б) $AC < AB$.

Как думать. Серединный перпендикуляр к $AB$ делит плоскость на две полуплоскости. С одной стороны точки ближе к $A$, с другой — ближе к $B$.

Решение.

1. а) $AC \ge BC$ значит, что $C$ не ближе к $A$, чем к $B$. Это точки серединного перпендикуляра и вся полуплоскость, где лежит $B$.
2. б) Как напечатано, $AC < AB$: $C$ ближе к $A$, чем расстояние $AB$. Это внутренность круга с центром $A$ и радиусом $AB$.
3. Если в условии опечатка и нужно $AC < BC$, то ответ: полуплоскость с точкой $A$ без самой границы (серединного перпендикуляра).

Ответ: а) серединный перпендикуляр к $AB$ вместе с полуплоскостью, содержащей $B$; б) по условию $AC < AB$ — внутренность круга с центром $A$ радиуса $AB$ (при $AC < BC$ — полуплоскость с точкой $A$ без границы).

📕 В ответах учебника написано: а) «полуплоскость, ограниченная серединным перпендикуляром, содержащая точку $A$»; б) «полуплоскость с точкой $A$, не принадлежащая самому перпендикуляру». Но при $AC \ge BC$ точки ближе к $B$, значит, полуплоскость должна содержать $B$ (вместе с границей). Ответ б) подходит к условию $AC < BC$, а в задаче напечатано $AC < AB$.

№ 21.9

Изобрази ГМТ внутренних точек угла $AOB$, равноудалённых от его сторон (рис. 21.8, а–в).

Как думать. Это биссектриса угла $AOB$ (без точки $O$, потому что берём внутренние точки).

Решение.

1. а) Угол прямой: биссектриса идёт по диагонали клеток под углом $45^\circ$ к сторонам.
2. б) и в) Построй биссектрису циркулем: из $O$ проведи дугу, отметь $P$ на $OA$ и $Q$ на $OB$. Из $P$ и $Q$ одним раствором циркуля сделай засечки внутри угла. Луч из $O$ через точку пересечения засечек и есть биссектриса.

Ответ: луч — биссектриса угла $AOB$ без вершины $O$.

№ 21.10

На прямой $c$ отметь точку $C$, равноудалённую от сторон угла $AOB$ (рис. 21.9).

Как думать. Точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон. Значит, ищем пересечение прямой $c$ с биссектрисой.

Решение.

1. Построй биссектрису угла $AOB$ циркулем.
2. Найди точку, где биссектриса пересекает $c$.
3. Для случая а): $O(1;,1)$, прямая $c$ идёт по $x + y = 8$, биссектриса $y = x$, точка $C(4;,4)$ (расстояние до обеих сторон 3).

Ответ: точка пересечения $c$ с биссектрисой угла $AOB$.

Уровень C

№ 21.11

Пункты $M$, $N$, $K$ не на одной прямой (рис. 21.10). Как провести через $N$ прямолинейную дорогу, одинаково удалённую от $M$ и $K$?

Как думать. Расстояние от пункта до дороги — перпендикуляр. У дороги, одинаково удалённой от $M$ и $K$, два варианта: $M$ и $K$ по разные стороны (дорога через середину $MK$) или по одну сторону (дорога параллельна $MK$).

Решение.

1. Вариант 1. Найди середину $S$ отрезка $MK$. Дорога — прямая $NS$. Прямоугольные треугольники, образованные перпендикулярами из $M$ и $K$ на $NS$, равны по гипотенузе и острому углу (вертикальные углы при $S$), поэтому расстояния равны.
2. Вариант 2. Проведи через $N$ прямую, параллельную $MK$. Все точки $MK$ одинаково удалены от неё, потому что расстояние между параллельными прямыми постоянно.

Ответ: прямая через $N$ и середину отрезка $MK$ или прямая через $N$, параллельная $MK$.

№ 21.12

Найди ГМТ центров окружностей, проходящих через две данные точки $A$ и $B$.

Как думать. Если окружность проходит через $A$ и $B$, её центр одинаково удалён от них (оба расстояния равны радиусу).

Решение.

1. Центр $O$ окружности: $OA = OB = R$.
2. По теореме 1 такой $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$.
3. Обратно: любая точка серединного перпендикуляра — центр окружности радиуса $OA$, которая проходит через $A$ и $B$.

Ответ: серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

№ 21.13

Найди ГМТ вершин $C$ равнобедренных треугольников с данным основанием $AB$.

Как думать. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны: $CA = CB$.

Решение.

1. $CA = CB$ означает, что $C$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$.
2. Но точка $C$ не должна лежать на самой прямой $AB$, иначе треугольника нет. Серединный перпендикуляр пересекает $AB$ в середине $O$, и эту точку надо выкинуть.

Ответ: серединный перпендикуляр к отрезку $AB$ без середины этого отрезка.

№ 21.14

Укажи точки, равноудалённые от трёх прямых $a$, $b$, $c$ (рис. 21.11, а–в).

Как думать. Равноудалённые от двух прямых лежат на биссектрисах углов между ними (для пересекающихся) или на средней линии (для параллельных). Ищем пересечение таких линий.

Решение.

1. а) Прямые $a$ и $c$ вертикальны и параллельны, $b$ горизонтальна (по клеткам $a$: $x = 1$, $c$: $x = 5$, $b$: $y = 3$). Равноудалённые от $a$ и $c$: прямая $x = 3$ (расстояние 2). Расстояние от $b$ тоже 2: $y = 5$ или $y = 1$. Две точки: $(3;,5)$ и $(3;,1)$.
2. б) $b \parallel c$, а $a$ перпендикулярна им. Средняя линия между $b$ и $c$ — прямая, параллельная обеим, на расстоянии половины ширины полосы. На ней нужно взять точки, удалённые от $a$ на ту же половину. Таких две, по одной по каждую сторону от $a$. По клеткам: $(0;,1)$ и $(4;,3)$.
3. в) Три прямые образуют треугольник. Равноудалены от них: центр вписанной окружности (пересечение биссектрис) и три точки, лежащие по другую сторону от каждой стороны. Всего четыре точки.

Ответ: а) $(3;,5)$ и $(3;,1)$, две точки; б) две точки; в) четыре точки.

№ 21.15

Найди ГМТ центров окружностей, касающихся двух данных пересекающихся прямых $a$ и $b$.

Как думать. Окружность касается прямой, когда расстояние от центра до прямой равно радиусу. Касается обеих прямых, значит, центр одинаково удалён от $a$ и $b$.

Решение.

1. Две пересекающиеся прямые образуют четыре угла. Центр, равноудалённый от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
2. Биссектрисы двух смежных углов перпендикулярны, значит, получаются две перпендикулярные прямые, проходящие через точку пересечения $a$ и $b$.
3. Саму точку пересечения исключаем: радиус там нулевой.

Ответ: две перпендикулярные прямые, содержащие биссектрисы углов, образованных $a$ и $b$, без точки их пересечения.

№ 21.16

Найди ГМТ центров окружностей радиуса $R$, касающихся данной окружности того же радиуса $R$.

Как думать. Равные окружности касаются только внешне ($d = R + R$).

Решение.

1. Пусть $O$ — центр данной окружности. Центр $X$ искомой окружности: $OX = R + R = 2R$.
2. Все точки на расстоянии $2R$ от $O$ образуют окружность радиуса $2R$ с центром $O$.

Ответ: окружность радиуса $2R$ с центром в центре данной окружности.

№ 21.17

Найди ГМТ центров окружностей данного радиуса $R$, касающихся данной окружности радиуса $R_1$ ($R \ne R_1$).

Как думать. Касание бывает внешним ($d = R + R_1$) и внутренним ($d = |R - R_1|$). Оба случая возможны.

Решение.

1. Пусть $O$ — центр данной окружности. При внешнем касании $OX = R + R_1$.
2. При внутреннем касании $OX = |R - R_1|$ (если $R > R_1$, данная окружность внутри искомой; если $R < R_1$, искомая внутри данной).
3. Получаем две окружности с общим центром $O$.

Ответ: две концентрические окружности с центром $O$ и радиусами $R + R_1$ и $|R - R_1|$.

Подготовка к новой теме

№ 21.18

Изобрази окружность и треугольник, вершины которого принадлежат этой окружности.

Как думать. Выбери три любые точки на окружности и соедини их отрезками.

Решение.

1. Нарисуй окружность циркулем.
2. Отметь на ней три точки $A$, $B$, $C$.
3. Соедини их: $\triangle ABC$.

Ответ: рисунок выше. Такая окружность называется описанной около треугольника.

№ 21.19

Изобрази окружность и треугольник, стороны которого касаются окружности.

Как думать. Окружность лежит внутри треугольника и касается каждой стороны. Её центр одинаково удалён от трёх сторон, то есть лежит на пересечении биссектрис.

Решение.

1. Нарисуй треугольник.
2. Построй биссектрисы двух углов. Их пересечение — центр $I$.
3. Опусти перпендикуляр из $I$ на сторону и проведи окружность с этим радиусом.

Ответ: рисунок выше. Такая окружность называется вписанной в треугольник.

Шпаргалка

• Определение. ГМТ — фигура из всех точек, обладающих заданным свойством.
• Теорема 1. Серединный перпендикуляр к отрезку — ГМТ, равноудалённых от концов отрезка.
• Теорема 2. Биссектриса угла — ГМТ внутренних точек угла, равноудалённых от его сторон.
• Чтобы найти точку с двумя свойствами, строй ГМТ для каждого и ищи пересечение.

Мини-тест