§ 22. Окружность, описанная около треугольника. Окружность, вписанная в треугольник

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 4: Окружность. Геометрические построения. Страницы 128–133.

Чему научишься

• Понимать, что значит «описанная» и «вписанная» окружность и чем они отличаются.
• Находить центр описанной окружности: это пересечение серединных перпендикуляров.
• Находить центр вписанной окружности: это пересечение биссектрис.
• Доказывать, что такие окружности есть у любого треугольника.
• Решать задачи на радиусы и на вид треугольника по расположению центров.

Разминка

• Что такое серединный перпендикуляр к отрезку? Прямая, которая проходит через середину отрезка под прямым углом. Все её точки одинаково удалены от концов отрезка.
• Что такое биссектриса угла? Луч, который делит угол пополам. Все его точки одинаково удалены от сторон угла.
• Что такое касательная к окружности? Прямая, у которой с окружностью ровно одна общая точка.
• Как расположен радиус, проведённый в точку касания? Он перпендикулярен касательной.
• Что такое хорда? Отрезок, соединяющий две точки окружности.

👨‍👩‍👧 Родителю. В упражнении 21.18-21.19 перед этим параграфом ребёнок рисует окружность и треугольник «внутри» и «снаружи». Попросите показать оба рисунка: это и есть сегодняшняя тема.

Разбираемся

Обруч вокруг треугольника

Представь юрту: по кругу стоят три опоры, и каждая касается обода шанырака. Если три точки лежат на одной окружности, то окружность называют описанной около треугольника, а сам треугольник вписанным в неё. Вершины треугольника лежат на окружности.

📌 Окружность описанная около треугольника, если все три вершины лежат на ней.

💡 А можно ли так сделать с любым треугольником? Оказывается, да. И центр такого обруча находится очень просто.

Теорема: центр описанной окружности

📌 Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность. Её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Докажем по шагам. Нам понадобится одно свойство: каждая точка серединного перпендикуляра одинаково удалена от концов отрезка.

Остаётся вопрос, почему $b$ и $c$ вообще пересекаются. Докажем от противного. Допустим, они параллельны. Прямая $AB$ перпендикулярна $c$, а прямая $AC$ перпендикулярна $b$, то есть и параллельной ей $c$. Тогда из точки $A$ к прямой $c$ проведены два перпендикуляра, $AB$ и $AC$. А перпендикуляр из точки к прямой единственный, значит $AB$ и $AC$ совпадают. Но это стороны треугольника, они пересекаются. Противоречие, поэтому $b$ и $c$ пересекаются.

⚠️ Частая ошибка. Центр описанной окружности не всегда внутри треугольника. У остроугольного он внутри, у прямоугольного лежит на середине гипотенузы, у тупоугольного снаружи.

Мяч внутри треугольника

Теперь наоборот: окружность прячется внутрь и касается всех трёх сторон. Это вписанная окружность, а треугольник тогда описан около неё.

📌 Окружность вписана в треугольник, если все три стороны касаются её.

Теорема: центр вписанной окружности

📌 Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность. Её центр — точка пересечения биссектрис треугольника.

💡 Запомни пару: описанная — «серединные перпендикуляры», центр где угодно; вписанная — «биссектрисы», центр всегда внутри.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какая окружность называется описанной около треугольника? Та, на которой лежат все три вершины.
• Какой треугольник называется вписанным в окружность? Тот, у которого все вершины лежат на окружности.
• Какая окружность называется вписанной в треугольник? Та, которой касаются все три стороны.
• Какой треугольник называется описанным около окружности? Тот, все стороны которого касаются окружности.
• Какая точка является центром описанной около треугольника окружности? Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
• Какая точка является центром вписанной в треугольник окружности? Точка пересечения биссектрис.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 22.1

Может ли центр вписанной в треугольник окружности находиться вне этого треугольника?

Как думать. Вспомни, на чём лежит центр вписанной окружности.

Решение. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника. Каждая биссектриса идёт из вершины внутрь треугольника до противоположной стороны. Значит, их общая точка внутри треугольника.

Ответ: нет, не может.

№ 22.2

Может ли центр описанной около треугольника окружности находиться: а) внутри треугольника; б) на стороне треугольника; в) вне этого треугольника? Приведите примеры.

Как думать. Центр описанной окружности есть пересечение серединных перпендикуляров, а его положение зависит от вида треугольника.

Решение.

• а) Да, у остроугольного треугольника. Пример: равносторонний, центр в его середине.
• б) Да, у прямоугольного треугольника центр лежит в середине гипотенузы (стороны). Пример: треугольник со сторонами 3, 4, 5.
• в) Да, у тупоугольного треугольника центр оказывается снаружи. Пример: треугольник $A(0;0)$, $B(8;0)$, $C(4;2)$ с тупым углом $C$ (смотри упражнение 22.3 в).

Ответ: а), б), в) да.

Уровень B

№ 22.3

Для данных треугольников (рис. 22.6 а, б, в, на клетках) построй центры описанных окружностей.

Как думать. Серединные перпендикуляры на клетках строить удобно: сторона по клеткам, значит её середина лежит на линии сетки. Двух перпендикуляров достаточно, третий нужен для проверки.

Решение. На рисунке учебника треугольники примерно такие (координаты на клетках восстановлены по рисунку).

1. Проведи серединный перпендикуляр к одной стороне: найди её середину и проведи через неё прямую под прямым углом.
2. Проведи серединный перпендикуляр к другой стороне.
3. Точка пересечения — центр $O$.

• а) $A(0;0)$, $B(6;0)$, $C(3;3)$: угол $C$ прямой, центр в середине $AB$, то есть $O(3;0)$.
• б) $A(0;0)$, $B(6;0)$, $C(2;4)$: треугольник остроугольный, центр внутри, $O(3;1)$.
• в) $A(0;0)$, $B(8;0)$, $C(4;2)$: тупоугольный, центр снаружи, под стороной $AB$, $O(4;-3)$.

Ответ: а) середина гипотенузы $AB$; б) точка внутри треугольника; в) точка вне треугольника, по ту сторону $AB$, где нет вершины $C$.

№ 22.4

Построй центры окружностей, вписанных в треугольники рис. 22.7 а, б, в (на клетках).

Как думать. Центр вписанной окружности — пересечение биссектрис. Хватит двух, третья для проверки.

Решение. Для каждого треугольника $ABC$ делай одно и то же.

1. Построй биссектрису угла $A$: циркулем отметь на сторонах равные отрезки от вершины, из их концов проведи две дуги одним радиусом и через точку их пересечения проведи луч из $A$.
2. Так же построй биссектрису угла $B$.
3. Точка пересечения биссектрис — центр $O$ вписанной окружности. Расстояние от $O$ до любой стороны (перпендикуляр) — радиус $r$.
4. Проверь: окружность с центром $O$ и радиусом $r$ касается всех трёх сторон.

Ответ: во всех трёх случаях центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис, она лежит внутри треугольника.

№ 22.5

Найди радиус окружности, описанной около треугольника рис. 22.8 а, б, в (сторона клетки равна 1).

Как думать. Если треугольник прямоугольный, центр описанной окружности — середина гипотенузы, а радиус — её половина.

Решение. По рисунку:

• а) $A(0;0)$, $B(4;0)$, $C(2;2)$: $AC^2=BC^2=8$, $AB^2=16=8+8$, угол $C$ прямой, гипотенуза $AB=4$, $R=2$.
• б) $A(0;0)$, $C(0;6)$, $B(3;3)$: $AB^2=CB^2=18$, $AC^2=36=18+18$, угол $B$ прямой, гипотенуза $AC=6$, $R=3$.
• в) $C(0;4)$, $B(8;4)$, $A(4;0)$: $AC^2=AB^2=32$, $CB^2=64=32+32$, угол $A$ прямой, гипотенуза $CB=8$, $R=4$.

Ответ: а) 2; б) 3; в) 4.

№ 22.6

Жильцы трёх домов $A$, $B$ и $C$ стоят в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника (рис. 22.9). Они хотят вырыть общий колодец, одинаково удалённый от всех трёх домов. Где копать?

Как думать. «Одинаково удалён от трёх точек» — это центр описанной окружности.

Решение. Колодец должен быть в центре окружности, описанной около треугольника $ABC$. Треугольник прямоугольный, поэтому центр лежит на середине гипотенузы. На рисунке дома $A$ и $B$ стоят на концах гипотенузы, а дом $C$ в вершине прямого угла. Середина гипотенузы одинаково далеко от всех трёх домов: $OA=OB=OC$.

Ответ: посередине между домами $A$ и $B$ (в середине гипотенузы).

Уровень C

№ 22.7

Докажи, что центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, принадлежит высоте, опущенной из вершины, противолежащей основанию.

Как думать. Центр лежит на биссектрисах. В равнобедренном треугольнике биссектриса из вершины — это ещё и высота.

Решение.

1. Дано: $AB=AC$, $AH$ — высота к основанию $BC$, $O$ — центр вписанной окружности. Доказать: $O\in AH$.
2. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине $A$ является медианой и высотой, поэтому она совпадает с $AH$.
3. Центр вписанной окружности лежит на каждой биссектрисе, в том числе на биссектрисе угла $A$.
4. Значит, $O$ лежит на $AH$. $\blacksquare$

Ответ: доказано.

№ 22.8

Докажи, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, принадлежит биссектрисе угла, противолежащего основанию.

Как думать. Центр лежит на серединном перпендикуляре к основанию. Покажем, что он совпадает с биссектрисой.

Решение.

1. Дано: $AB=AC$, $O$ — центр описанной окружности. Доказать: $O$ лежит на биссектрисе угла $A$.
2. Центр $O$ лежит на серединном перпендикуляре $m$ к основанию $BC$.
3. Вершина $A$ тоже лежит на $m$: так как $AB=AC$, она одинаково удалена от $B$ и $C$.
4. Значит, $m$ проходит через $A$ и является высотой и медианой равнобедренного треугольника. Но медиана и высота к основанию — это и биссектриса угла $A$.
5. Итак, $O$ лежит на биссектрисе угла $A$. $\blacksquare$

Ответ: доказано.

№ 22.9

Какой вид имеет треугольник, если центр описанной около него окружности принадлежит одной из его медиан?

Как думать. Центр $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне, а медиана к той же стороне тоже проходит через её середину. Сравни две прямые.

Решение. Пусть $O$ лежит на медиане $AM$ ($M$ — середина $BC$).

1. Если $O\ne M$, то серединный перпендикуляр к $BC$ и прямая $AM$ проходят через две общие точки $M$ и $O$, значит совпадают. Тогда $AM\perp BC$, и медиана ещё и высота, а такой треугольник равнобедренный: $AB=AC$.
2. Если $O=M$, то центр лежит в середине стороны $BC$, и треугольник прямоугольный (угол $A$ прямой).

Ответ учебника «равнобедренный» относится к первому случаю.

📕 В ответах учебника напечатано только «равнобедренный», но правильно «равнобедренный или прямоугольный»: у прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, то есть на медиане к гипотенузе, а такой треугольник не обязан быть равнобедренным.

Ответ: равнобедренный (в случае, когда центр не лежит на самой стороне); если центр совпадает с серединой стороны, то прямоугольный.

№ 22.10

Какой вид имеет треугольник, если центр вписанной в него окружности принадлежит одной из его высот?

Как думать. Центр лежит на биссектрисах. Если он ещё и на высоте из той же вершины, высота и биссектриса совпадут.

Решение. Пусть центр $I$ лежит на высоте $AH$. Биссектриса угла $A$ тоже проходит через $A$ и $I$, значит она совпадает с $AH$, потому что через две точки проходит ровно одна прямая ($I\ne A$). Если биссектриса является высотой, то треугольник равнобедренный: $AB=AC$ (у $\triangle ABH$ и $\triangle ACH$ общая сторона $AH$, равные углы при $A$ и прямые углы при $H$, значит они равны по стороне и двум углам).

Ответ: равнобедренный.

№ 22.11

Какой вид имеет треугольник, если центры вписанной и описанной окружностей совпадают?

Как думать. Эта общая точка лежит и на биссектрисах, и на серединных перпендикулярах.

Решение. Пусть общий центр $O$. Он вписанный, поэтому лежит внутри треугольника и на биссектрисе угла $A$. Как центр описанной окружности, он лежит на серединном перпендикуляре к $BC$. Точка $O$ не лежит на $BC$ (она внутри), поэтому, как в упражнении 22.9, биссектриса угла $A$ совпадает с серединным перпендикуляром, и $AB=AC$. Так же для вершины $B$ получаем $BA=BC$. Значит, $AB=BC=AC$.

Ответ: равносторонний.

№ 22.12

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, равных 5 см и 4 см, считая от основания. Найди периметр треугольника.

Как думать. Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. Из каждой вершины идут два равных отрезка.

Решение. Пусть $AB=AC$ — боковые стороны, $BC$ — основание, точка касания на $AB$ делит её на отрезки 5 см (у вершины $B$ при основании) и 4 см (у вершины $A$ при вершине).

1. Из $B$ к окружности идут две касательные по 5 см: одна по стороне $AB$, вторая по основанию $BC$. Точка касания на основании — на расстоянии 5 от $B$. Так же от $C$ до неё 5 см, потому что треугольник равнобедренный. Основание $=5+5=10$ см.
2. Из $A$ идут две касательные по 4 см, значит боковая сторона $AB=5+4=9$ см, и $AC=9$ см.
3. Периметр $=9+9+10=28$ см.

Ответ: 28 см.

№ 22.13

Найди радиус окружности, описанной около прямоугольного равнобедренного треугольника, гипотенуза которого равна 10 см.

Как думать. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы.

Решение. Радиус равен половине гипотенузы: $R=10:2=5$ см. (Равнобедренность здесь не нужна.)

Ответ: 5 см.

№ 22.14

Найди радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковые стороны которого равны 4 см, а угол между ними 120°.

Как думать. Если угол при вершине $B$ равен $120^\circ$, а боковые стороны по 4, то центр окружности — четвёртая вершина ромба.

Решение. Пусть $AB=BC=4$, $\angle B=120^\circ$. Углы при основании равны по $(180^\circ-120^\circ):2=30^\circ$. Достроим ромб $ABCO$ со стороной 4. Тогда $OA=OC=4$ и $OB$ — меньшая диагональ ромба с острым углом $60^\circ$ при вершине $A$ (и $C$), поэтому $\triangle ABO$ равносторонний и $OB=4$. Значит $OA=OB=OC=4$, и $O$ — центр описанной окружности, $R=4$ см.

Ответ: 4 см.

№ 22.15

Найди радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник со сторонами 3 см, 4 см, 5 см.

Как думать. Радиус — расстояние от центра до сторон. Площадь можно сложить из трёх треугольников с общей вершиной $O$ и высотой $r$.

Решение. Площадь прямоугольного треугольника $S=\frac12\cdot3\cdot4=6$ см². С другой стороны, $S=\frac12 r(3+4+5)=6r$. Отсюда $6r=6$, $r=1$ см. Проверка по клеткам: центр $(1;1)$, расстояние до катетов равно 1 (рисунок выше).

📕 В ответах учебника напечатано «2 см», но правильно «1 см»: из $S=\frac12 r\cdot P$ получаем $r=\frac{2S}{P}=\frac{12}{12}=1$; по формуле $r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$ тоже единица.

Ответ: 1 см.

№ 22.16

Изобрази отрезок $AB$. С центром в точке $A$ и радиусом $AB$ проведи окружность. С центром в $B$ и радиусом $BA$ проведи окружность. Через точки пересечения окружностей проведи прямую. Что можно сказать об этой прямой?

Как думать. Обе точки пересечения одинаково удалены от $A$ и от $B$, а таких точек — серединный перпендикуляр.

Решение. Пусть окружности пересекаются в точках $C$ и $D$. Тогда $AC=BC=AB$ и $AD=BD=AB$. Значит $C$ и $D$ одинаково удалены от концов отрезка $AB$, а все такие точки лежат на серединном перпендикуляре. Через две точки проходит единственная прямая, поэтому $CD$ — серединный перпендикуляр к $AB$: она делит $AB$ пополам и перпендикулярна ему.

Ответ: это серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

💡 Это задание — разминка перед параграфом 23: именно так строят серединный перпендикуляр циркулем.

Шпаргалка

• Описанная окружность: вершины на окружности. Центр $O$ — пересечение серединных перпендикуляров, $OA=OB=OC=R$.
• Вписанная окружность: стороны касаются окружности. Центр $O$ — пересечение биссектрис, расстояния до сторон равны $r$.
• Теоремы: около любого треугольника можно описать окружность; в любой треугольник можно вписать окружность.
• Положение центра описанной: внутри (остроугольный), на гипотенузе (прямоугольный), снаружи (тупоугольный).
• Радиус вписанной: $r=\frac{2S}{P}$; в прямоугольном треугольнике $r=\frac{a+b-c}{2}$.

Мини-тест