§ 4. Полуплоскость и угол

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 1: Начальные геометрические сведения. Страницы 19–24.

Чему научишься

• Объяснять, на сколько частей прямая делит плоскость, и что такое полуплоскость.
• Определять, лежат ли две точки по одну сторону от прямой или по разные.
• Называть угол, его вершину и стороны, правильно записывать угол тремя буквами.
• Отличать внутренние точки и внутренние лучи угла.
• Узнавать развёрнутый угол, смежные и вертикальные углы.

Разминка

• Сколько точек определяют прямую? Две различные точки задают ровно одну прямую.
• Что такое луч? Часть прямой, которая начинается в точке и идёт в одну сторону бесконечно.
• Что получится, если на листе провести прямую? Лист окажется поделён на две части: «по одну сторону» и «по другую».

Разбираемся

Прямая делит плоскость на две части

Представь футбольное поле и среднюю линию. Игрок стоит в одной половине, вратарь соперников в другой. Чтобы передать мяч «через центр», мяч обязательно пересечёт среднюю линию. А игроки одной команды в одной половине могут перекинуться, не пересекая линию.

Так и в геометрии: прямая $a$ делит плоскость на две части. Точки $A$ и $B$ в одной части, а $C$ в другой.

📌 Аксиома. Прямая делит плоскость на две части. Если две точки в разных частях, то соединяющий их отрезок пересекает прямую. Если в одной части, то не пересекает.

Про такие точки говорят: «лежат по одну сторону» или «по разные стороны» от прямой.

Полуплоскость — это часть плоскости, состоящая из точек прямой и точек, лежащих по одну сторону от неё. Сама прямая — граница полуплоскости.

Два луча и угол

Возьмём два луча с общим началом $O$. Они тоже делят плоскость на две части. Фигура из двух лучей и одной такой части называется углом. Общая точка $O$ — вершина, а лучи — стороны.

Как записать угол. Тремя буквами, и в середине всегда вершина: $\angle AOB$ (или $\angle BOA$). Если на рисунке этот угол один, можно одной буквой: $\angle O$. Иногда пишут цифрой: $\angle1$, $\angle2$.

⚠️ Частая ошибка. Пишут $\angle OAB$, думая, что это тот же угол. Нет: у $\angle OAB$ вершина $A$ (буква посередине). Всегда смотри на среднюю букву.

Внутренние точки угла — точки внутри него, не на сторонах. Лучи из вершины, проходящие через внутренние точки, — внутренние лучи.

Развёрнутый угол, смежные и вертикальные

Если стороны угла вместе дают прямую линию, угол развёрнутый. Иначе угол неразвёрнутый. Неразвёрнутый угол бывает меньше развёрнутого или больше него. Пока (как и в учебнике) мы чаще рассматриваем углы, меньшие развёрнутого.

Смежные углы — у них одна сторона общая, а две другие вместе составляют прямую. Например, $\angle AOB$ и $\angle BOC$, где $A$, $O$, $C$ лежат на одной прямой.

Вертикальные углы — стороны одного продолжают до прямых стороны другого. Они появляются, когда пересекаются две прямые.

👨‍👩‍👧 Родителю. Предложите ребёнку скрестить две карандаша и показать пары вертикальных и смежных углов. Спросите: «Сколько смежных углов у одного угла?» Ответ: два.

Проверь, как понял

Проверь себя

• На сколько частей прямая разбивает плоскость? На две.
• В чём свойство расположения точек относительно прямой? Если две точки по разные стороны, соединяющий их отрезок пересекает прямую; если по одну сторону, не пересекает.
• Что называется полуплоскостью? Часть плоскости из точек прямой и точек по одну сторону от неё.
• В каком случае две точки принадлежат одной полуплоскости, а в каком разным? Если отрезок между ними не пересекает прямую, то одной; если пересекает, то разным.
• Какая фигура называется углом? Что такое вершина и стороны? Угол — два луча с общей вершиной и одна из частей плоскости, которую эти лучи ограничивают. Общая точка лучей — вершина, лучи — стороны.
• Какой угол называется развёрнутым? Тот, стороны которого вместе составляют прямую.
• Какие углы называются смежными, какие вертикальными? Смежные: одна сторона общая, две другие составляют прямую. Вертикальные: стороны одного продолжают до прямых стороны другого.
• Как обозначаются углы? Одной буквой вершины ($\angle A$), тремя буквами с вершиной посередине ($\angle AOB$) или цифрой ($\angle1$).

Решаем упражнения

Уровень A

№ 4.1

Изобрази прямую $p$ и точки $A, B, C, D, E, F$ так, чтобы $A$ и $E$ лежали на $p$, остальные не лежали; $D$ и $F$ были в разных полуплоскостях; $B$ и $C$ в одной; отрезок $BD$ пересекал $p$.

Как думать. Сделай по условиям таблицу: на прямой лежат $A$, $E$; $D$ и $F$ по разные стороны; $B$ и $C$ по одну; $B$ и $D$ по разные (раз $BD$ пересекает $p$).

Решение.

1. $B$ и $D$ по разные стороны. Пусть $B$ сверху, $D$ снизу.
2. $B$ и $C$ по одну сторону, значит $C$ сверху.
3. $D$ и $F$ по разные стороны, значит $F$ сверху.
4. Рисуем: $A, E$ на прямой, $B, C, F$ сверху, $D$ снизу, и проводим $BD$.

Ответ: см. рисунок: $A$, $E$ на $p$; $B$, $C$, $F$ в одной полуплоскости; $D$ в другой.

№ 4.2

Даны прямая $a$ и точки $A, B, C, D$ вне неё. Пересекает ли $a$ отрезок $AD$, если: а) $AB$, $BC$, $CD$ пересекают $a$; б) $AC$ и $BC$ пересекают $a$, $BD$ нет; в) $AB$ и $CD$ пересекают, $BC$ нет; г) $AB$ и $CD$ нет, $BC$ пересекает; д) $AB$, $BC$, $CD$ не пересекают; е) $AC$, $BC$, $BD$ пересекают? Изобрази ситуации.

Как думать. Каждой точке даём знак: «верх» (+) или «низ» (−). Отрезок пересекает прямую, если знаки разные.

Решение. а) $A\ne B$, $B\ne C$, $C\ne D$ по знакам: $A$ «+», $B$ «−», $C$ «+», $D$ «−». $A$ и $D$ разные, $AD$ пересекает. б) $AC$ пересекает: $A\ne C$. $BC$ пересекает: $B\ne C$. Значит $A=B$. $BD$ не пересекает: $D=B$. Тогда $D=A$, $AD$ не пересекает. в) $A\ne B$, $C\ne D$, $B=C$. Пусть $B=C=$ «−», тогда $A=D=$ «+». $AD$ не пересекает. г) $A=B$, $C=D$, $B\ne C$. Значит $A\ne D$, $AD$ пересекает. д) Все в одной стороне, $AD$ не пересекает. е) $A\ne C$, $B\ne C$, $B\ne D$: значит $A=B$ и $D=C$. Тогда $A\ne D$, $AD$ пересекает.

Для рисунка: ставь точки «+» над прямой, точки «−» под ней.

Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) да; д) нет; е) да.

№ 4.3

Изобрази две пересекающиеся прямые. На сколько частей они делят плоскость?

Как думать. Первая прямая делит плоскость на 2 части. Вторая пересекает первую и режет обе части.

Решение. 2 части, и вторая прямая разрезает каждую пополам: $2\cdot2=4$.

Ответ: на 4 части.

№ 4.4

Изобрази три прямые, пересекающиеся в одной точке. На сколько частей они делят плоскость?

Как думать. Три прямые через точку — это 6 лучей из точки $O$. Лучи делят плоскость на столько же частей, сколько их самих.

Решение. 6 лучей из одной вершины дают 6 частей (см. № 3.22).

Ответ: на 6 частей.

№ 4.5

Изобрази четыре прямые, пересекающиеся в одной точке. На сколько частей они делят плоскость?

Как думать. Тот же приём: $n$ прямых через одну точку дают $2n$ лучей.

Решение. 4 прямые дают 8 лучей, значит 8 частей.

Ответ: на 8 частей.

№ 4.6

Изобрази лучи $OA, OB, OC, OD$ так, чтобы: а) $OC$ лежал внутри $\angle AOB$, $OD$ внутри $\angle BOC$; б) $OA$ внутри $\angle BOC$, $OC$ внутри $\angle AOD$.

Как думать. «Луч внутри угла» значит, что он лежит между сторонами. Расставь лучи по кругу в нужном порядке.

Решение. а) $OC$ между $OA$ и $OB$, $OD$ между $OC$ и $OB$. Порядок: $OA$, $OC$, $OD$, $OB$. б) $OA$ между $OB$ и $OC$; $OC$ между $OA$ и $OD$. Порядок: $OB$, $OA$, $OC$, $OD$.

Ответ: см. рисунки: а) $OA, OC, OD, OB$; б) $OB, OA, OC, OD$.

№ 4.7

Какие из точек на рисунке 4.7 принадлежат сторонам угла, а какие лежат внутри угла?

Как думать. Смотрим на положение каждой точки: на лучах (стороны), между лучами (внутри) или вне.

Решение.

1. $A$ лежит на правой стороне угла.
2. $D$ между сторонами, значит внутри угла.
3. $C$ и $B$ лежат вне угла: $C$ слева от левой стороны, $B$ ниже и левее.

Ответ: $A$ принадлежит стороне угла; $D$ лежит внутри угла; $C$ и $B$ вне угла.

№ 4.8

Сколько углов с вершиной $O$ изображено на рисунке 4.8?

Как думать. Из точки $O$ выходят 4 луча. Любые два луча дают два угла: по одной и по другой части плоскости.

Решение.

1. Пар лучей: $\frac{4\cdot3}{2}=6$.
2. Каждая пара задаёт 2 угла: один меньше, другой больше развёрнутого. Пара $OM$, $ON$ лежит на одной прямой: оба угла развёрнутые.
3. Всего $6\cdot2=12$ углов.

Ответ: 12.

💡 В ответах учебника — 13. Ответ зависит от того, какие углы считать: если каждая пара лучей даёт два угла (по обе стороны), выходит $6\cdot2=12$; если считать только углы не больше развёрнутого — 6. Уточни у учителя, как принято считать в классе.

№ 4.9

Сколько имеется углов, смежных данному?

Как думать. Смежные углы получаются, если продолжить одну из сторон угла за вершину.

Решение. У угла две стороны. Продолжив одну сторону, получим один смежный угол, продолжив другую, второй смежный угол.

Ответ: 2.

№ 4.10

Сколько имеется углов, вертикальных с данным?

Как думать. Вертикальный угол получается, если продолжить обе стороны за вершину.

Решение. Стороны угла продолжаем до прямых, получаем один угол «напротив». Другого такого нет.

Ответ: 1.

Уровень B

№ 4.11

Даны пять точек и прямая, не проходящая ни через одну из них. Три точки в одной полуплоскости, две в другой. Каждая пара точек соединена отрезком. Сколько отрезков: а) пересекает прямую; б) не пересекает? Сделай рисунок.

Как думать. Отрезок пересекает прямую, когда его концы по разные стороны. Остальные не пересекают.

Решение. а) Один конец из трёх верхних, другой из двух нижних: $3\cdot2=6$ отрезков. б) Пары в одной полуплоскости: среди трёх точек $AB, AC, BC$ (3 отрезка), среди двух $DE$ (1 отрезок). Всего $3+1=4$. Проверка: всего пар $\frac{5\cdot4}{2}=10=6+4$.

Ответ: а) 6; б) 4.

№ 4.12

Изобрази три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну точку. На сколько частей они делят плоскость?

Как думать. Добавляем прямые по одной и считаем, на сколько частей каждая режет.

Решение.

1. Первая прямая: 2 части.
2. Вторая пересекает первую в одной точке, режет на 2 куска, добавляет 2 части: 4.
3. Третья пересекает две первые в двух разных точках, делится на 3 куска, добавляет 3 части: $4+3=7$.

Ответ: на 7 частей.

№ 4.13

Изобрази четыре попарно пересекающиеся прямые, из которых никакие три не пересекаются в одной точке. На сколько частей они делят плоскость?

Как думать. Продолжаем счёт из № 4.12: каждая новая прямая пересекает все предыдущие в разных точках.

Решение. Четвёртая прямая пересекает три прежние в трёх разных точках, делится на 4 куска и добавляет 4 части: $7+4=11$.

Ответ: на 11 частей.

№ 4.14

Сколько всего углов, меньших развёрнутого, определяется лучами на рисунке 4.9? Назови их.

Как думать. Берём все пары лучей: каждая пара даёт один угол, меньший развёрнутого.

Решение. Пары: $OA$-$OB$, $OA$-$OC$, $OA$-$OD$, $OB$-$OC$, $OB$-$OD$, $OC$-$OD$. Это $\frac{4\cdot3}{2}=6$ пар.

Ответ: 6 углов: $\angle AOB$, $\angle AOC$, $\angle AOD$, $\angle BOC$, $\angle BOD$, $\angle COD$.

№ 4.15

По рисунку 4.10 запиши пары смежных углов.

Как думать. Три прямые через $O$ дают шесть лучей: $OA, OB, OC, OD, OE, OF$, причём $OA$ и $OD$, $OB$ и $OE$, $OC$ и $OF$ — продолжения друг друга. Смежные углы: общая сторона, а две другие — противоположные лучи.

Решение. Берём общую сторону и пару противоположных лучей.

1. Общая $OA$: $\angle AOB$ и $\angle AOE$ (лучи $OB$, $OE$ противоположны); $\angle AOC$ и $\angle AOF$.
2. Общая $OB$: $\angle AOB$ и $\angle BOD$; $\angle BOC$ и $\angle BOF$.
3. Общая $OC$: $\angle AOC$ и $\angle COD$; $\angle BOC$ и $\angle COE$.
4. Общая $OD$: $\angle BOD$ и $\angle DOE$; $\angle COD$ и $\angle DOF$.
5. Общая $OE$: $\angle AOE$ и $\angle DOE$; $\angle COE$ и $\angle EOF$.
6. Общая $OF$: $\angle AOF$ и $\angle DOF$; $\angle BOF$ и $\angle EOF$.

Ответ: все пары выписаны выше (12 пар). Например: $\angle AOB$ и $\angle BOD$, $\angle AOB$ и $\angle AOE$, $\angle AOF$ и $\angle AOC$, $\angle AOF$ и $\angle FOD$, $\angle BOC$ и $\angle BOF$, $\angle BOC$ и $\angle COE$ (шесть из них названы в учебнике).

№ 4.16

По рисунку 4.10 запиши пары вертикальных углов.

Как думать. Две пересекающиеся прямые дают две пары вертикальных углов. У нас три прямые, значит три пары прямых, а значит $3\cdot2=6$ пар.

Решение.

1. Прямые $DA$ и $BE$: $\angle AOB$ и $\angle DOE$; $\angle AOE$ и $\angle BOD$.
2. Прямые $DA$ и $CF$: $\angle AOF$ и $\angle COD$; $\angle AOC$ и $\angle DOF$.
3. Прямые $BE$ и $CF$: $\angle BOC$ и $\angle EOF$; $\angle BOF$ и $\angle COE$.

Ответ: $\angle AOB$ и $\angle EOD$; $\angle AOF$ и $\angle DOC$; $\angle BOC$ и $\angle EOF$; $\angle BOF$ и $\angle COE$; а также $\angle AOE$ и $\angle BOD$, $\angle AOC$ и $\angle DOF$.

Уровень C

№ 4.17

На сколько частей разбивают плоскость $n$ прямых, пересекающихся в одной точке?

Как думать. Каждая прямая через точку $O$ состоит из двух лучей. Значит $n$ прямых дают $2n$ лучей.

Решение. $2n$ лучей из одной точки делят плоскость на $2n$ частей (см. № 4.19). Проверка: $n=2$ — 4 части, $n=3$ — 6, $n=4$ — 8.

Ответ: на $2n$ частей.

№ 4.18

На прямой отмечены: а) 2 точки; б) 3 точки; в) 4 точки; г) $n$ точек. Сколько получилось развёрнутых углов с вершинами в этих точках?

Как думать. Развёрнутый угол образуют два противоположных луча одной прямой. Сколько таких углов в одной точке?

Решение. В каждой отмеченной точке прямая делится на два противоположных луча, они образуют один развёрнутый угол. Точек $n$, значит углов $n$.

Ответ: а) 2; б) 3; в) 4; г) $n$.

№ 4.19

На сколько частей делят плоскость: а) два луча с общей вершиной; б) три луча; в) четыре луча; г) $n$ лучей с общей вершиной?

Как думать. Лучи из одной точки делят плоскость на «секторы» между соседними лучами. Сколько лучей, столько и секторов.

Решение. Лучи расположены по кругу, между каждыми двумя соседними один сектор. Значит секторов столько же, сколько лучей.

Ответ: а) 2; б) 3; в) 4; г) $n$.

№ 4.20

На сколько частей разбивают плоскость $n$ попарно пересекающихся прямых, никакие три из которых не пересекаются в одной точке?

Как думать. Добавляем прямые по одной. $n$-я прямая пересекает все прежние в разных точках, и эти точки делят её на $n$ кусков. Каждый кусок делит одну часть плоскости на две.

Решение. Количество частей: $1+1+2+3+\dots+n=1+\frac{n(n+1)}{2}$.

Ответ: на $\frac{n(n+1)}{2}+1$ частей.

№ 4.21

По аналогии с определением равенства отрезков попробуй определить понятие равенства углов.

Как думать. Равные отрезки — те, что можно наложить так, чтобы они совпали. Для углов то же самое.

Решение. Два угла равны, если их можно наложить друг на друга так, чтобы вершины и стороны совпали. Иначе: если отложить угол от луча в нужную сторону, то он совместится с другим углом (так определено в § 5).

Ответ: углы равны, если при наложении они полностью совпадают.

Шпаргалка

• Полуплоскость — часть плоскости, лежащая по одну сторону от прямой, вместе с прямой.
• Угол — два луча с общим началом и одна из частей плоскости между ними.
• Вершина и стороны угла — общая точка лучей и сами лучи.
• Развёрнутый угол — угол, стороны которого составляют прямую.
• Смежные углы — общая сторона, остальные стороны составляют прямую.
• Вертикальные углы — стороны одного продолжают стороны другого до прямых.

Мини-тест