§ 5. Операции с углами. Равенство углов

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 1: Начальные геометрические сведения. Страницы 24–31.

Чему научишься

• Откладывать угол от луча и понимать, что значит «угол равен углу».
• Сравнивать углы, складывать и вычитать их.
• Отличать острый, прямой, тупой и развёрнутый углы; находить биссектрису.
• Доказывать, что вертикальные углы равны.
• Находить угол между пересекающимися прямыми и понимать, какие прямые перпендикулярны.

Разминка

• Что такое угол? Фигура из двух лучей с общим началом. Лучи — стороны угла, общая точка — вершина.
• Какие углы называются смежными? У них одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой и продолжают друг друга.
• Что такое развёрнутый угол? Угол, стороны которого лежат на одной прямой и дополняют друг друга до прямой.
• Сколько частей получится, если провести луч внутри угла? Два новых угла, они помещаются в большом.

Разбираемся

Как отложить угол и когда углы равны

Представь, что вырезал из бумаги уголок. Приложи его вершиной к началу луча и одной стороной вдоль этого луча. Вторая сторона ляжет в какую-то сторону от луча. Так мы откладываем угол от луча.

Если один угол можно наложить на другой так, что стороны совпадут, то углы равны. Пишем $\angle AOB = \angle A_1O_1B_1$.

📌 Аксиома 1. От любого луча в заданную сторону можно отложить только один угол, равный данному.

📌 Аксиома 2. Все развёрнутые углы равны.

Больше и меньше

Отложим угол $AOB$ от луча $O_1A_1$ в сторону луча $O_1B_1$. Если его вторая сторона упала внутрь угла $A_1O_1B_1$, то $\angle AOB < \angle A_1O_1B_1$. Читаем так: угол $AOB$ меньше, а $A_1O_1B_1$ больше.

Какие бывают углы

• Прямой — угол, равный своему смежному. Он как уголок тетрадного листа.
• Острый — меньше прямого.
• Тупой — больше прямого, но меньше развёрнутого.

Попробуй сам: поверни луч, пока не получится прямой угол.

Биссектриса — «делитель пополам»

Биссектриса угла — луч внутри угла, который делит его на два равных угла. Так аккуратно складывают лист по диагонали уголка: линия сгиба и есть биссектриса.

Сумма и разность углов

Проведём внутри угла $AOB$ луч $OC$. Получились два угла: $AOC$ и $COB$. Тогда $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$. Это сумма углов. А каждый из углов $AOC$ и $COB$ — разность угла $AOB$ и другого: $\angle AOC = \angle AOB - \angle COB$.

Чтобы сложить два угла $AOB$ и $CO_1D$, отложим второй от стороны $OB$ так, чтобы $A$ и $D$ оказались по разные стороны от прямой $OB$. Получим угол $AOE$ — это и есть сумма.

💡 Вычитание определи по такому же образцу: от большего угла отложи меньший и посмотри, что осталось.

Теорема: вертикальные углы равны

Две пересекающиеся прямые образуют четыре угла. Углы, стороны которых дополняют друг друга до прямых, называются вертикальными.

📌 Теорема. Вертикальные углы равны.

🌟 Эту теорему называют первой теоремой курса: до неё мы только определяли и принимали аксиомы, а здесь впервые доказали факт из других фактов.

Угол между прямыми и перпендикуляр

Две пересекающиеся прямые делятся точкой пересечения на четыре луча и образуют четыре угла. Угол между прямыми — наименьший из них. Поэтому он никогда не бывает больше прямого.

Если угол между прямыми прямой, то прямые называются перпендикулярными: $a \perp b$. Так перекрещиваются линии клеток в тетради.

⚠️ Частая ошибка. Думают, что угол между прямыми может быть тупым. Но берут наименьший из четырёх углов. Два соседних угла в сумме дают 180°, поэтому один из них не больше 90°. Значит, угол между прямыми никогда не тупой.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка вырезать угол из бумаги и проверить на нём «равно, больше, меньше» у нескольких углов на рисунке. Это лучше любого объяснения.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какие углы называются равными? Такие, что один можно наложить на другой, и стороны совпадут.
• Как обозначается равенство углов? Знаком равенства: $\angle AOB = \angle A_1O_1B_1$.
• Что значит, что один угол меньше другого? Если отложить его от луча другого угла, то вторая сторона упадёт внутрь большего угла. Пишут $\angle AOB < \angle A_1O_1B_1$.
• Какой угол называется острым, прямым, тупым? Острый — меньше прямого. Прямой — равный своему смежному. Тупой — больше прямого, но меньше развёрнутого.
• Что называется биссектрисой угла? Луч внутри угла, делящий его на два равных угла.
• Как определяются сумма и разность двух углов? Сумма: откладываем второй угол от стороны первого так, чтобы они лежали по разные стороны от общей стороны; новый угол и есть сумма. Разность: от большего угла откладываем меньший, остаток — разность. Если внутри угла $AOB$ провести луч $OC$, то $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$.
• Сформулируй теорему о вертикальных углах. Вертикальные углы равны.
• Что называется углом между пересекающимися прямыми? Наименьший из углов, на которые прямые делятся точкой пересечения.
• Какие прямые называются перпендикулярными? Те, что образуют прямой угол.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 5.1

На клетчатой бумаге нарисованы углы а)–и) (рис. 5.10). Найди среди них равные.

Как думать. Смотрим, как идут стороны по клеткам. Одинаково построенные углы можно совместить.

Решение.

1. Углы а), д), и): одна сторона идёт по линии клетки, вторая отходит на 1 клетку вдоль этой линии и на 2 клетки поперёк. Углы построены одинаково, значит они равны.
2. Углы б), г), з): вторая сторона идёт по диагонали клеток, то есть на столько же клеток вдоль, на сколько поперёк. Они равны.
3. Углы в), е), ж): стороны идут по линиям клеток и образуют угол как у тетрадного листа, то есть прямой. Они равны.

Ответ: а), д) и и); б), г) и з); в), е) и ж).

№ 5.2

Какой из углов на рис. 5.11 больше: $ABC$ или $PQR$?

Как думать. Сравним по клеткам: насколько круто уходит вторая сторона от первой.

Решение.

1. В угле $ABC$ сторона $BC$ идёт от горизонтали очень полого: на каждые 2 клетки вправо только 1 вверх. Угол небольшой.
2. В угле $PQR$ сторона $QR$ идёт по диагонали клеток: сколько вправо, столько вверх. Это круче, и угол больше.
3. Если отложить $\angle ABC$ от луча $QP$, его сторона упадёт внутрь угла $PQR$, значит $\angle ABC < \angle PQR$.

Ответ: угол $PQR$ больше.

№ 5.3

Расположи углы 1–6 (рис. 5.12) в порядке возрастания.

Как думать. Сначала отметим прямой и тупой, потом упорядочим острые по «крутизне».

Решение.

1. Угол 4 тупой (сторона идёт по диагонали «назад»): он самый большой.
2. Угол 1 прямой: он второй с конца.
3. Острые углы 3, 2, 5, 6. У угла 3 вторая сторона почти совпадает с первой (на 3 клетки вдоль и 1 поперёк): он самый маленький. Затем 2 (2 вдоль, 1 поперёк), потом 5 (3 вдоль, 2 поперёк) и 6 (диагональ).

Ответ: 3, 2, 5, 6, 1, 4.

№ 5.4

На клетчатой бумаге нарисуй угол $AOB$ и луч $PQ$, как на рис. 5.13. От луча $PQ$ отложи угол $QPR$, равный углу $AOB$.

Как думать. Чтобы построить равный угол, повторяем те же «шаги по клеткам», что в исходном угле.

Решение (случай а).

1. Луч $OB$ идёт по диагонали клеток: на 3 вправо и на 3 вверх от $O$. Луч $OA$ идёт вправо по линии клетки. Значит $\angle AOB$ — угол 45° между горизонталью и диагональю.
2. Луч $PQ$ вертикальный. Отложим от него такой же угол: от точки $P$ пойдём на 2 клетки вверх и на 2 вправо. Получим точку $R$ на диагонали.
3. Проведи луч $PR$. Угол $QPR$ между вертикалью и диагональю тоже 45°.

Решение (случай б). Луч $PQ$ идёт вдоль диагонали, как и $OB$ (на 3 вправо и 3 вверх). Откладываем угол, равный $AOB$ (45°): от диагонали можно уйти либо по горизонтали, либо по вертикали. Например, от $P$ идём на 3 клетки вправо вдоль линии клетки и получаем луч $PR$. Тогда угол $QPR$ повторяет угол $AOB$.

Ответ: а) луч $PR$ идёт из $P$ по диагонали «вправо 2, вверх 2»; б) луч $PR$ идёт из $P$ по линии клетки (на 3 вправо), и $ngle QPR = ngle AOB$.

№ 5.5

Может ли угол между прямыми быть: а) прямым; б) тупым?

Как думать. Вспомним: угол между прямыми — наименьший из четырёх.

Решение. а) Может. Когда прямые перпендикулярны, все четыре угла прямые. б) Нет. Среди четырёх углов (две вертикальные пары, смежные дают 180°) есть угол не больше прямого, и именно его берут.

Ответ: а) да; б) нет.

№ 5.6

Сколько при пересечении двух прямых получится: а) острых; б) прямых; в) тупых углов?

Как думать. Углы идут парами вертикальных. Смежные в сумме дают 180°.

Решение. Если прямые не перпендикулярны: два вертикальных угла острые, два других тупые (смежные в сумме 180°). Если перпендикулярны: все четыре прямые.

Ответ: а) 2; б) 4; в) 2 (в общем случае: две пары вертикальных, острые и тупые; все четыре прямые, если прямые перпендикулярны).

Уровень B

№ 5.7

Сколько углов, больших развёрнутого, образуют лучи $OA$, $OB$, $OC$, $OD$ на рис. 5.14?

Как думать. Любые два луча с общим началом образуют два угла: один меньше развёрнутого, другой больше (если лучи не лежат на одной прямой).

Решение.

1. Лучей четыре. Пар лучей: $OA$–$OB$, $OA$–$OC$, $OA$–$OD$, $OB$–$OC$, $OB$–$OD$, $OC$–$OD$. Всего 6.
2. Для каждой пары один из двух углов больше развёрнутого. Среди лучей на рисунке нет пары, лежащей на одной прямой: тогда оба угла были бы развёрнутыми.

Ответ: 6.

№ 5.8

Сколько углов: а) острых; б) прямых; в) тупых образуют те же лучи (рис. 5.14)?

Как думать. Перебираем 6 пар лучей. Считаем углы меньше развёрнутого. Помним: $OC$ вертикальный, $OA$ горизонтальный.

Решение.

• $\angle AOB$ — острый, $\angle BOC$ — острый, $\angle COD$ — острый.
• $\angle AOC$ — прямой, $\angle BOD$ — тоже прямой.
• $\angle AOD$ — тупой.

Ответ: а) 3; б) 2; в) 1.

№ 5.9

Могут ли два смежных угла быть одновременно: а) острыми; б) прямыми; в) тупыми?

Как думать. Смежные углы вместе дают развёрнутый угол, то есть 180°.

Решение. а) Если оба острые, то каждый меньше прямого, и вместе они меньше развёрнутого. Не получится. б) Два прямых вместе дают развёрнутый угол. Да. в) Если оба тупые, то каждый больше прямого, и вместе они больше развёрнутого. Не получится.

Ответ: а) нет; б) да; в) нет.

№ 5.10

На клетчатой бумаге нарисуй угол $AOB$, как на рис. 5.15, и построй его биссектрису $OC$.

Как думать. Биссектриса делит угол пополам. Если стороны угла одинаковой длины, то биссектриса — это «диагональ» между ними.

Решение (случай б).

1. От $O$ луч $OA$ идёт на 1 клетку влево и на 3 вниз, луч $OB$ — на 3 вправо и на 1 вниз. Угол прямой, а стороны равной длины.
2. Складываем «шаги» двух сторон: влево 1, вниз 3 и вправо 3, вниз 1. Получаем: вправо 2, вниз 4. Половина: вправо 1, вниз 2.
3. Отмечаем $C$: на 1 клетку вправо и на 2 вниз от $O$. Луч $OC$ — биссектриса.

Решение (случай а). Угол $AOB$ прямой, $OA$ идёт на 4 вправо, $OB$ — на 4 вверх. Биссектриса — диагональ клеток: из $O$ на 2 вправо и 2 вверх.

Ответ: а) $OC$ — диагональ клеток из вершины прямого угла; б) $C$ лежит на 1 клетку вправо и 2 вниз от $O$.

№ 5.11

На клетчатой бумаге изобрази угол, равный сумме углов $AOB$ и $PQR$ (рис. 5.16).

Как думать. Откладываем второй угол от стороны первого, чтобы они не перекрывались.

Решение (случай а).

1. $\angle AOB$ между горизонталью и диагональю (45°). $\angle PQR$ между вертикалью и диагональю (тоже 45°).
2. Отложим $PQR$ от луча $OB$ с внешней стороны. Тогда новая сторона $OE$ пойдёт вертикально вверх: $E$ на 2 клетки вверх от $O$.
3. $\angle AOE$ — прямой (45° + 45°).

Решение (случай б).

1. $OA$ идёт на 2 вправо и 1 вниз, $OB$ — на 2 вправо и 2 вверх. $QP$ идёт на 3 вправо и 1 вверх, $QR$ — на 2 вправо и 2 вверх.
2. Откладываем угол $PQR$ от $OB$ так, чтобы он «добавлялся». Новый луч $OE$ идёт на 1 вправо и 3 вверх от $O$.
3. $\angle AOE$ — искомая сумма.

Ответ: а) прямой угол $AOE$; б) угол $AOE$ с лучом $OE$ «1 вправо, 3 вверх».

№ 5.12

На клетчатой бумаге изобрази угол, равный сумме углов $ABC$ и $PQR$ (рис. 5.17).

Как думать. Складываем углы, откладывая второй от стороны первого. В клетках сложение углов — это сложение «шагов» лучей.

Решение (случай а).

1. Луч $BC$ идёт на 2 вправо и 1 вверх (на рисунке 4 и 2). $ngle ABC$ — угол между горизонталью и таким лучом.
2. Луч $QP$ идёт точно так же: 2 вправо, 1 вверх. А луч $QR$ вертикальный. Значит, $ngle PQR$ вместе с углом между горизонталью и $QP$ даёт прямой угол. А тот угол равен $ngle ABC$, потому что стороны идут одинаково.
3. Поэтому $ngle ABC + ngle PQR$ — прямой угол: отложим $PQR$ от луча $BC$, и новая сторона пойдёт вертикально вверх от $B$.

Решение (случай б).

1. $BC$ идёт на 2 вправо и 1 вверх. $QR$ идёт на 1 вправо и 3 вверх, $QP$ — на 1 вправо и 1 вверх. Угол $PQR$ — между этими двумя лучами (около 27°).
2. Откладываем его от $BC$ в сторону от $BA$. Получаем луч $BE$: на 3 вправо и 4 вверх.
3. $ngle ABE$ — искомая сумма (около 53°).

Ответ: а) прямой угол (луч вертикально вверх от $B$); б) угол $ABE$, где $E$ на 3 вправо и 4 вверх от $B$.

№ 5.13

На клетчатой бумаге изобрази угол, равный разности углов $AOB$ и $PQR$ (рис. 5.18).

Как думать. Откладываем меньший угол внутрь большего от одной из сторон. Оставшаяся часть — разность.

Решение (случай а).

1. $OA$: на 2 вправо и 1 вниз, $OB$: на 2 вправо и 2 вверх. $QR$: на 2 вправо и 2 вверх, $QP$: на 3 вправо и 1 вверх. Угол $PQR$ меньше $AOB$.
2. Отложим $PQR$ от $OA$ внутрь угла $AOB$: сторона уйдёт горизонтально вправо, на 1 клетку по линии.
3. Угол между этой горизонталью и $OB$ — искомая разность (45°).

Решение (случай б).

1. $OA$: на 2 вправо и 1 вниз, $OB$: на 1 вправо и 2 вверх. $QR$ — вверх, $QP$ — на 2 вправо и 1 вверх. Угол $PQR$ меньше $AOB$.
2. Отложим $PQR$ от $OB$ внутрь угла $AOB$: новый луч пойдёт горизонтально вправо.
3. Угол между ним и $OA$ — разность.

Ответ: а) угол между горизонтальным лучом из $O$ и $OB$ (около 45°); б) угол между горизонтальным лучом и $OA$.

№ 5.14

На рис. 5.19 укажи угол, равный сумме углов: а) $AOB$ и $COD$; б) $BOC$ и $DOE$.

Как думать. Складываем соседние углы, у которых общая сторона. Сумма — угол, стороны которого крайние.

Решение. На рисунке три прямые: $AD$, $BE$ и $CF$, они пересекаются в точке $O$. Значит, есть вертикальные углы: $ngle AOB = ngle DOE$, $ngle BOC = ngle EOF$, $ngle COD = ngle FOA$. а) $ngle AOB + ngle COD = ngle AOB + ngle FOA = ngle FOB$ (угол $FOB$ состоит из соседних $FOA$ и $AOB$). б) $ngle BOC + ngle DOE = ngle BOC + ngle AOB = ngle AOC$.

Ответ: а) $FOB$; б) $AOC$.

№ 5.15

На клетчатой бумаге проведи через точку $C$ прямую, перпендикулярную прямой $AB$ (рис. 5.20).

Как думать. Перпендикуляр на клетках получаем «поворотом шагов»: если $AB$ идёт «вправо $a$, вверх $b$», то перпендикуляр идёт «вправо $b$, вниз $a$».

Решение (случай а).

1. Прямая $AB$ идёт по диагонали: на 5 вправо и 5 вверх. Шаг «1 вправо, 1 вверх».
2. Перпендикуляр идёт по другой диагонали: «1 вправо, 1 вниз».
3. Из $C$ шагаем «вправо 1, вниз 1», пока не пересечём $AB$; продолжаем прямую в обе стороны.

Решение (случай б). $AB$ идёт на 2 вправо и 1 вверх. Перпендикуляр: на 1 вправо и 2 вниз (или на 1 влево и 2 вверх). От точки $C$ отмеряем «1 вправо, 2 вниз» и проводим прямую через эти точки.

Ответ: а) прямая из $C$ с шагом «вправо 1, вниз 1»; б) прямая из $C$ с шагом «вправо 1, вниз 2».

№ 5.16

На клетчатой бумаге проведи через точку $C$ прямую, перпендикулярную прямой $AB$ (рис. 5.21).

Как думать. Тот же приём «поворот шагов»: $(a;,b)\to(b;,-a)$.

Решение. а) $AB$ идёт на 3 вправо и 1 вверх. Перпендикуляр идёт на 1 вправо и 3 вниз. Из $C$ откладываем эти шаги и проводим прямую. б) $AB$ идёт на 1 вправо и 2 вверх. Перпендикуляр идёт на 2 вправо и 1 вниз. Из $C$ откладываем эти шаги и проводим прямую.

Ответ: а) прямая из $C$ с шагом «вправо 1, вниз 3»; б) прямая из $C$ с шагом «вправо 2, вниз 1».

№ 5.17

Какая прямая на рис. 5.22 перпендикулярна прямой: а) $a$; б) $b$; в) $c$; г) $d$?

Как думать. Перпендикулярные прямые из одной точки образуют прямой угол, как стороны уголка. Лучи идут веером через равные промежутки.

Решение. Прямая $a$ вертикальна, а $e$ горизонтальна: они перпендикулярны. Остальные пары ищем так: прямые, которые лежат по разные стороны от горизонтали под одинаковым наклоном и в сумме дают 90°. Например, $b$ идёт вверх вправо под углом около 45°, а $f$ идёт вниз вправо тоже под 45°: между ними 90°. Так же находим $c$ и $g$, $d$ и $h$.

Ответ: а) $e$; б) $f$; в) $g$; г) $h$.

Уровень C

№ 5.18

На клетчатой бумаге изобрази угол, равный разности углов: а) $C$ и $B$ (рис. 5.23, а); б) $B$ и $C$ (рис. 5.23, б).

Как думать. Откладываем оба угла от одного луча в одну сторону. Угол между вторыми сторонами и есть разность.

Решение (случай а).

1. $BA$ идёт вправо, $BC$ — на 1 вправо и 3 вверх. $\angle B$ примерно 72°.
2. $CD$ идёт вправо, $CB$ — на 1 влево и 3 вниз. $\angle C$ примерно 108°.
3. Откладываем оба от горизонтального луча вправо: стороны получаются «1 вправо, 3 вверх» (угол $B$) и «1 влево, 3 вверх» (угол $C$). Угол между ними — искомая разность $C - B$ (около 37°).

Решение (случай б). Угол $B$ (между $BA$ вниз и $BC$ «1 вправо, 2 вверх») — тупой, около 153°. Угол $C$ (между $CB$ и $CD$ вправо) — около 117°. Откладываем от луча «вправо» вдоль оси: стороны «2 влево, 1 вверх» (угол $B$) и «1 влево, 2 вверх» (угол $C$). Угол между ними — разность $B - C$ (около 37°).

Ответ: а) угол между лучами «1 вправо, 3 вверх» и «1 влево, 3 вверх»; б) угол между лучами «2 влево, 1 вверх» и «1 влево, 2 вверх».

№ 5.19

Докажи, что если два угла равны, то равны и смежные с ними углы.

Как думать. Смежные углы вместе дают развёрнутый угол. А развёрнутые углы равны.

Решение.

1. Дано: $\angle 1 = \angle 2$; $\angle 3$ смежный с $\angle 1$, $\angle 4$ смежный с $\angle 2$. Доказать: $\angle 3 = \angle 4$.
2. Углы $1$ и $3$ вместе дают развёрнутый угол. Углы $2$ и $4$ тоже. А все развёрнутые углы равны, значит $\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4$.
3. Вычтем из обеих частей равные углы $1$ и $2$. Получим $\angle 3 = \angle 4$.

Ответ: доказано: смежные с равными углами равны.

Подготовка к новой теме

№ 5.20

Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен одной девятой части развёрнутого угла?

Как думать. Развёрнутый угол — половина оборота. Угол между соседними спицами в 9 раз меньше.

Решение.

1. Полный оборот вокруг оси — две развёрнутые части. Каждая развёрнутая часть умещает 9 углов между спицами.
2. Весь круг: $2\cdot 9 = 18$ таких углов, а значит 18 спиц.

Ответ: 18 спиц.

№ 5.21

На какой угол повернётся минутная стрелка за 30 минут?

Как думать. Полный круг стрелка проходит за 60 минут. 30 минут — половина круга.

Решение. Половина оборота — развёрнутый угол, то есть $180^\circ$.

Ответ: развёрнутый угол, $180^\circ$.

Шпаргалка

• От любого луча в заданную сторону можно отложить только один угол, равный данному.
• Все развёрнутые углы равны.
• Сумма смежных углов равна развёрнутому углу.
• Теорема: вертикальные углы равны.
• Если два угла равны, то равны и смежные с ними.

Мини-тест