§ 6. Измерение величин углов

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 1: Начальные геометрические сведения. Страницы 31–38.

Чему научишься

• Понимать, что такое градус, минута и секунда.
• Измерять угол транспортиром и строить угол заданной величины.
• Знать два свойства градусной меры: равные углы имеют равные меры, а мера суммы равна сумме мер.
• Находить смежные углы и углы при пересекающихся лучах по заданным условиям.
• Считать углы поворота стрелок часов и колеса.

Разминка

• Какой угол называется прямым? Равный своему смежному. Он как угол тетрадного листа.
• Что такое смежные углы? Углы с общей стороной, две другие стороны которых образуют прямую.
• Что называется биссектрисой угла? Луч внутри угла, делящий его на два равных угла.
• Чему равна сумма двух смежных углов? Развёрнутому углу, то есть $180^\circ$.

Разбираемся

Как измерить угол

Длину мы измеряем так: берём единицу (сантиметр) и считаем, сколько раз она уместилась. С углами то же самое. За единицу берут угол, равный одной сто восьмидесятой части развёрнутого угла. Его величина — один градус, записывают $1^\circ$.

Чтобы измерить угол $AOB$, откладываем от луча $OA$ единичные углы один за другим и считаем, сколько их уместилось. Если последний луч совпал с $OB$, то число $n$ и есть величина угла: $\angle AOB = n^\circ$.

А если последний луч не дошёл до $OB$? Тогда единичный угол делят на 60 равных частей. Одна такая часть — одна минута, $1'$. Так можно мерить точнее. Если и минуты не хватает, минуту делят на 60 частей: это секунда, $1''$.

📌 $1^\circ = 60'$, $1' = 60''$. Величина угла — это число градусов (и, если нужно, минут и секунд), которое помещается в угол.

🌟 Считать «шестидесятками» любили в древнем Вавилоне. Поэтому и час делится на 60 минут, а минута на 60 секунд, и круг мы делим на $360^\circ$.

Транспортир

Простейший прибор для измерения углов — транспортир. На рисунке учебника лучи $OB$, $OC$, $OD$ образуют с лучом $OA$ углы $60^\circ$, $90^\circ$ и $120^\circ$.

Как пользоваться: совмести центр транспортира с вершиной угла, нулевую метку со стороной угла, и прочти число там, где вторая сторона пересекает шкалу. Попробуй на виртуальном транспортире.

Два свойства градусной меры

📌 Свойство 1. Градусные величины равных углов равны.

📌 Свойство 2. Градусная величина суммы углов равна сумме их градусных величин.

Отсюда сразу: градусная величина разности углов равна разности их величин. Если $OC$ — луч внутри угла $AOB$, то $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$ и в градусах всё складывается.

Прямой угол равен $90^\circ$. Острый меньше $90^\circ$. Тупой больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Развёрнутый равен $180^\circ$. Градусную величину часто обозначают так же, как сам угол: $\angle AOB = 30^\circ$.

⚠️ Частая ошибка. Путают, откуда читать шкалу транспортира. У него две шкалы. Читай ту, на которой нуль лежит на стороне угла, которую ты совместил с нулевой меткой.

👨‍👩‍👧 Родителю. Дайте ребёнку транспортир и попросите прикинуть на глаз величину угла, а потом измерить. Оценка «на глаз» — главный навык этого урока (см. упражнение 6.6).

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что принимается за единицу измерения углов? Угол, равный одной сто восьмидесятой части развёрнутого угла.
• Что такое градус? Величина единичного угла, то есть одной сто восьмидесятой части развёрнутого угла. Обозначение $1^\circ$.
• Что такое минута? Одна шестидесятая часть градуса: $1' = \frac{1}{60}^\circ$.
• Что такое секунда? Одна шестидесятая часть минуты: $1'' = \frac{1}{60}'$.
• Как измеряется градусная величина угла? Откладываем от одной стороны единичные углы, считаем, сколько их уместилось. Остаток измеряем минутами, потом секундами.
• Какие свойства выполняются для градусных величин? Равные углы имеют равные градусные величины. Градусная величина суммы углов равна сумме их градусных величин.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 6.1

Найди градусную величину углов (рис. 6.2): а) $AOC$; б) $AOB$; в) $AOD$; г) $AOE$; д) $BOD$; е) $BOC$; ж) $BOE$.

Как думать. Лучи на рисунке идут по линиям клеток и по диагоналям. Вертикаль и горизонталь образуют $90^\circ$, диагональ делит прямой угол пополам.

Решение.

1. Лучи $OA$ (вверх) и $OC$ (вправо) перпендикулярны: $\angle AOC = 90^\circ$.
2. Диагональ $OB$ делит угол $AOC$ пополам: $\angle AOB = 45^\circ$, $\angle BOC = 45^\circ$.
3. $\angle AOD = \angle AOC + \angle COD = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$.
4. Лучи $OA$ и $OE$ лежат на одной вертикальной прямой в разные стороны: $\angle AOE = 180^\circ$.
5. $\angle BOD = \angle BOC + \angle COD = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$.
6. $\angle BOE = \angle BOC + \angle COE = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ$.

Ответ: а) $90^\circ$; б) $45^\circ$; в) $135^\circ$; г) $180^\circ$; д) $90^\circ$; е) $45^\circ$; ж) $135^\circ$.

№ 6.2

Найди величины углов $AOB$, $AOC$, $AOD$, $BOC$, $BOD$, $COD$ (рис. 6.3).

Как думать. Каждый луч читаем по шкале транспортира от нулевой метки на луче $OA$. Потом разности считаем сами.

Решение.

1. По шкале: $OB$ — $40^\circ$, $OC$ — $70^\circ$, $OD$ — $160^\circ$. Значит $\angle AOB = 40^\circ$, $\angle AOC = 70^\circ$, $\angle AOD = 160^\circ$.
2. Остальные углы — разности: $\angle BOC = 70^\circ - 40^\circ = 30^\circ$, $\angle BOD = 160^\circ - 40^\circ = 120^\circ$, $\angle COD = 160^\circ - 70^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $40^\circ$, $70^\circ$, $160^\circ$, $30^\circ$, $120^\circ$, $90^\circ$.

№ 6.3

С помощью транспортира построй углы $10^\circ$, $30^\circ$, $70^\circ$, $100^\circ$, $150^\circ$.

Как думать. Для каждого угла проделай одни и те же шаги: луч, транспортир, метка, второй луч.

Решение. Для каждой величины $\varphi$ (10°, 30°, 70°, 100°, 150°):

1. Проведи луч $OA$.
2. Центр транспортира — в точку $O$, нулевая метка — на луч $OA$.
3. На шкале найди число $\varphi$, поставь точку $B$.
4. Проведи луч $OB$. Угол $AOB$ равен $\varphi$. Углы $10^\circ$, $30^\circ$, $70^\circ$ острые, $100^\circ$ и $150^\circ$ тупые. Проверь это на глаз.

Ответ: построены пять углов; $\angle AOB = 10^\circ,\ 30^\circ,\ 70^\circ,\ 100^\circ,\ 150^\circ$.

№ 6.4

На клетчатой бумаге изобрази луч $AB$ (рис. 6.4). От луча $AB$ отложи угол $BAC$, равный: а) $45^\circ$; б) $90^\circ$.

Как думать. Углы $45^\circ$ и $90^\circ$ на клетках получаются без транспортира: $90^\circ$ дают две клеточные линии, $45^\circ$ — диагональ клетки.

Решение (случай а).

1. Луч $AB$ идёт по диагонали: на 3 вправо и 3 вверх. Он составляет $45^\circ$ с горизонталью и вертикалью.
2. Угол $BAC = 45^\circ$: возьмём $AC$ горизонтально вправо (на 3 клетки). Или вертикально вверх.
3. Угол $BAC = 90^\circ$: возьмём $AC$ по другой диагонали, «на 1 влево и 1 вверх».

Решение (случай б). Луч $AB$ идёт на 3 вправо и 1 вверх. Для $90^\circ$ повернём шаг: «1 влево, 3 вверх» (или «1 вправо, 3 вниз»). Для $45^\circ$ годится луч «1 вправо, 2 вверх»: он идёт круче $AB$ ровно на $45^\circ$ (проверь транспортиром).

Ответ: а) $AC$ — по горизонтали (или вертикали) для $45^\circ$, по другой диагонали для $90^\circ$; б) $AC$ в направлении «1 влево, 3 вверх» для $90^\circ$ и «1 вправо, 2 вверх» для $45^\circ$.

Уровень B

№ 6.5

Чему равен угол между направлениями на запад и северо-восток?

Как думать. Представь компас: север и запад перпендикулярны, северо-восток — посередине между севером и востоком.

Решение.

1. От запада до севера $90^\circ$.
2. От севера до северо-востока $45^\circ$ (это половина прямого угла между севером и востоком).
3. Складываем: $90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.

№ 6.6

На клетчатой бумаге изобрази углы (рис. 6.5). Оцени на глаз их градусную величину, проверь транспортиром.

Как думать. Сначала сравни с известными углами: $45^\circ$, $90^\circ$, $135^\circ$.

Решение. а) Лучи $AB$ и $AC$ уходят вверх вправо. $AB$ идёт на 2 вправо и 1 вверх (наклон небольшой), $AC$ — круче: на 1 вправо и 3 вверх. Угол между ними меньше прямого, примерно $45^\circ$. б) Луч $AC$ идёт вверх влево, $AB$ — вверх вправо. Угол между ними тупой, примерно $135^\circ$. Проверка транспортиром даст близкие значения.

Ответ: а) около $45^\circ$; б) около $135^\circ$.

№ 6.7

Луч $OC$ лежит внутри угла $AOB$, равного $60^\circ$. Найди угол $AOC$, если он на $30^\circ$ больше угла $BOC$.

Как думать. Обозначим меньший угол за $x$ и составим уравнение: сумма двух частей равна всему углу.

Решение.

1. Пусть $\angle BOC = x$. Тогда $\angle AOC = x + 30^\circ$.
2. $\angle AOC + \angle BOC = \angle AOB$, то есть $x + 30^\circ + x = 60^\circ$.
3. $2x = 30^\circ$, $x = 15^\circ$.
4. $\angle AOC = 15^\circ + 30^\circ = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

№ 6.8

Луч $OC$ лежит внутри угла $AOB$, равного $45^\circ$. Найди угол $AOC$, если он в два раза больше угла $BOC$.

Как думать. Пусть $\angle BOC = x$, тогда $\angle AOC = 2x$.

Решение.

1. $x + 2x = 45^\circ$, значит $3x = 45^\circ$, $x = 15^\circ$.
2. $\angle AOC = 2\cdot 15^\circ = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

№ 6.9

Луч $OC$ лежит внутри угла $AOB$, равного $120^\circ$. Найди угол $AOC$, если он на $30^\circ$ меньше угла $BOC$.

Как думать. Пусть $\angle AOC = x$, тогда $\angle BOC = x + 30^\circ$.

Решение.

1. $x + (x + 30^\circ) = 120^\circ$, значит $2x = 90^\circ$, $x = 45^\circ$.
2. Проверка: $\angle BOC = 75^\circ$, $45^\circ + 75^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

№ 6.10

Луч $OC$ лежит внутри угла $AOB$, равного $120^\circ$. Найди угол $BOC$, если он в три раза больше угла $AOC$.

Как думать. Пусть $\angle AOC = x$, тогда $\angle BOC = 3x$.

Решение.

1. $x + 3x = 120^\circ$, значит $4x = 120^\circ$, $x = 30^\circ$.
2. $\angle BOC = 3\cdot 30^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

№ 6.11

Некоторый угол равен $38^\circ$. Чему равен смежный с ним угол?

Как думать. Смежные углы в сумме дают развёрнутый угол, то есть $180^\circ$.

Решение. $180^\circ - 38^\circ = 142^\circ$.

Ответ: $142^\circ$.

№ 6.12

Найди градусные величины двух смежных углов, если один из них в два раза больше другого.

Как думать. Пусть меньший угол $x$, тогда больший $2x$. Вместе они дают $180^\circ$.

Решение.

1. $x + 2x = 180^\circ$, $3x = 180^\circ$, $x = 60^\circ$.
2. Больший: $2\cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$ и $60^\circ$.

№ 6.13

Найди градусные величины двух смежных углов, если: а) один из них на $30^\circ$ больше другого; б) их разность равна $40^\circ$; в) один из них в четыре раза меньше другого; г) они равны.

Как думать. В каждом случае один угол $x$, второй выражаем через него. Сумма всегда $180^\circ$.

Решение. а) $x + (x + 30^\circ) = 180^\circ$, $2x = 150^\circ$, $x = 75^\circ$. Углы $75^\circ$ и $105^\circ$. б) $x + (x + 40^\circ) = 180^\circ$, $2x = 140^\circ$, $x = 70^\circ$. Углы $70^\circ$ и $110^\circ$. в) $x + 4x = 180^\circ$, $5x = 180^\circ$, $x = 36^\circ$. Углы $36^\circ$ и $144^\circ$. г) $x + x = 180^\circ$, $x = 90^\circ$. Оба угла прямые.

Ответ: а) $105^\circ$ и $75^\circ$; б) $110^\circ$ и $70^\circ$; в) $36^\circ$ и $144^\circ$; г) $90^\circ$ и $90^\circ$.

№ 6.14

Найди градусные величины двух смежных углов, если они относятся как: а) $2:3$; б) $3:7$; в) $11:25$; г) $22:23$.

Как думать. Отношение $m:n$ значит, что углы состоят из $m$ и $n$ одинаковых частей. Всего частей $m+n$, а на них приходится $180^\circ$.

Решение. а) $2 + 3 = 5$ частей. Одна часть $180^\circ : 5 = 36^\circ$. Углы: $2\cdot 36^\circ = 72^\circ$ и $3\cdot 36^\circ = 108^\circ$. б) $3 + 7 = 10$ частей. Часть $18^\circ$. Углы: $54^\circ$ и $126^\circ$. в) $11 + 25 = 36$ частей. Часть $5^\circ$. Углы: $55^\circ$ и $125^\circ$. г) $22 + 23 = 45$ частей. Часть $4^\circ$. Углы: $88^\circ$ и $92^\circ$.

Ответ: а) $72^\circ$ и $108^\circ$; б) $54^\circ$ и $126^\circ$; в) $55^\circ$ и $125^\circ$; г) $88^\circ$ и $92^\circ$.

№ 6.15

Общей частью двух углов $AOB$ и $COD$, равных $60^\circ$ и $90^\circ$, является угол $BOC$, равный $30^\circ$ (рис. 6.6). Найди угол $AOD$.

Как думать. Угол $AOD$ состоит из $AOB$ и $COD$, но часть $BOC$ посчитана дважды. Вычтем лишнее.

Решение.

1. $\angle AOC = \angle AOB - \angle BOC = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.
2. $\angle AOD = \angle AOC + \angle COD = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ$. (Или сразу: $60^\circ + 90^\circ - 30^\circ = 120^\circ$.)

Ответ: $120^\circ$.

№ 6.16

Чему равен угол между биссектрисами вертикальных углов?

Как думать. Вертикальные углы равны. Пусть каждый равен $2\alpha$. Биссектрисы делят их пополам, и надо сложить три части.

Решение.

1. Пусть прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, углы $AOC$ и $BOD$ вертикальные, каждый равен $2\alpha$.
2. Биссектриса угла $AOC$ образует с лучом $OC$ угол $\alpha$, биссектриса угла $BOD$ образует с лучом $OB$ угол $\alpha$.
3. Угол $COB$ смежный с $AOC$, значит $\angle COB = 180^\circ - 2\alpha$.
4. Угол между биссектрисами: $\alpha + (180^\circ - 2\alpha) + \alpha = 180^\circ$.
5. Значит, биссектрисы лежат на одной прямой.

Ответ: $180^\circ$ (биссектрисы вертикальных углов образуют развёрнутый угол, то есть лежат на одной прямой).

№ 6.17

Найди величины углов $AOB$, $AOC$, $AOD$, $BOC$, $BOD$, $COD$ (рис. 6.7).

Как думать. Рисунок похож на транспортир: все лучи идут от $OA$ по шкале. Читаем, на какой метке стоит каждый луч, а остальное — разности.

Решение.

1. По шкале: $\angle AOB = 40^\circ$, $\angle AOC = 120^\circ$, $\angle AOD = 140^\circ$.
2. $\angle BOC = 120^\circ - 40^\circ = 80^\circ$.
3. $\angle BOD = 140^\circ - 40^\circ = 100^\circ$.
4. $\angle COD = 140^\circ - 120^\circ = 20^\circ$.

Ответ: $40^\circ$, $120^\circ$, $140^\circ$, $80^\circ$, $100^\circ$, $20^\circ$.

№ 6.18

Колесо имеет: а) 10 спиц; б) 12 спиц (рис. 6.8). Найди угол в градусах, который образуют две соседние спицы.

Как думать. Спицы делят полный оборот на равные углы. Полный оборот — $360^\circ$.

Решение. а) $360^\circ : 10 = 36^\circ$. б) $360^\circ : 12 = 30^\circ$.

Ответ: а) $36^\circ$; б) $30^\circ$.

№ 6.19

Колесо имеет: а) 18 спиц; б) 20 спиц (рис. 6.9). Найди угол в градусах, который образуют две соседние спицы.

Как думать. Так же: делим $360^\circ$ на число спиц.

Решение. а) $360^\circ : 18 = 20^\circ$. б) $360^\circ : 20 = 18^\circ$.

Ответ: а) $20^\circ$; б) $18^\circ$.

№ 6.20

Колесо зубчатой передачи имеет 72 зубца (рис. 6.10). Сколько градусов содержится в дуге окружности между серединами двух соседних зубцов?

Как думать. Зубцы стоят по кругу через равные промежутки. Весь круг — $360^\circ$.

Решение. $360^\circ : 72 = 5^\circ$.

Ответ: $5^\circ$.

№ 6.21

Сколько оборотов в минуту делает зубчатое колесо с 32 зубцами, если сцепленное с ним колесо с 8 зубцами делает 12 оборотов в минуту (рис. 6.11)?

Как думать. Сцепленные колёса за одно время «пропускают» через точку сцепления одинаковое число зубцов.

Решение.

1. Малое колесо за минуту: $8 \cdot 12 = 96$ зубцов.
2. Большое колесо за минуту пропустит те же 96 зубцов. В одном его обороте 32 зубца.
3. $96 : 32 = 3$ оборота.

Ответ: 3 оборота в минуту.

№ 6.22

Чему равен угол между минутной и часовой стрелками на часах в: а) 3 ч; б) 6 ч; в) 5 ч?

Как думать. На циферблате 12 часов, поэтому между соседними часами $360^\circ : 12 = 30^\circ$. В целый час минутная стрелка смотрит на 12.

Решение. а) В 3 ч часовая стрелка на 3: от 12 до 3 три деления, $3\cdot 30^\circ = 90^\circ$. б) В 6 ч: $6\cdot 30^\circ = 180^\circ$. в) В 5 ч: $5\cdot 30^\circ = 150^\circ$.

Ответ: а) $90^\circ$; б) $180^\circ$; в) $150^\circ$.

№ 6.23

На сколько градусов повернётся минутная стрелка за: а) 20 мин; б) 10 мин; в) 50 мин?

Как думать. За 60 минут минутная стрелка делает полный оборот, $360^\circ$. За одну минуту: $360^\circ : 60 = 6^\circ$.

Решение. а) $20\cdot 6^\circ = 120^\circ$. б) $10\cdot 6^\circ = 60^\circ$. в) $50\cdot 6^\circ = 300^\circ$.

Ответ: а) $120^\circ$; б) $60^\circ$; в) $300^\circ$.

№ 6.24

На сколько градусов повернётся часовая стрелка за: а) 1 ч; б) 30 мин; в) 20 мин?

Как думать. Часовая стрелка делает полный оборот за 12 часов. За 1 час она проходит $360^\circ : 12 = 30^\circ$.

Решение. а) За 1 час: $30^\circ$. б) 30 минут — это $\frac{1}{2}$ часа: $30^\circ : 2 = 15^\circ$. в) 20 минут — это $\frac{1}{3}$ часа: $30^\circ : 3 = 10^\circ$.

Ответ: а) $30^\circ$; б) $15^\circ$; в) $10^\circ$.

Уровень C

№ 6.25

Докажи, что биссектрисы смежных углов образуют прямой угол.

Как думать. Смежные углы дают $180^\circ$. Биссектрисы берут от каждого по половине.

Ответ: доказано: $\angle MON = 90^\circ$.

№ 6.26

На сколько градусов повернётся Земля вокруг своей оси $SN$ за 8 часов (рис. 6.12)?

Как думать. Земля делает полный оборот за 24 часа. Полный оборот — $360^\circ$.

Решение.

1. За час Земля поворачивается на $360^\circ : 24 = 15^\circ$.
2. За 8 часов: $8\cdot 15^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

№ 6.27

За сколько часов Земля повернётся вокруг своей оси на $90^\circ$ (рис. 6.12)?

Как думать. За час Земля поворачивается на $15^\circ$.

Решение. $90^\circ : 15^\circ = 6$ часов.

Ответ: за 6 часов.

Подготовка сообщения

№ 6.28

Подготовь сообщение об астролябии: одном из первых угломерных инструментов, изобретённых Гиппархом (180–125 гг. до н. э.) и усовершенствованных немецким учёным Региомонтаном (1436–1476).

Как думать. Это задание-проект: нужно рассказать про прибор своими словами. Вот план.

Решение (план).

1. Что это: астролябия измеряет углы (например, высоту звезды над горизонтом).
2. Кто придумал: Гиппарх, древнегреческий астроном; позже прибор улучшил Региомонтан.
3. Как работает: диск со шкалой градусов и вращающаяся линейка-визир. Наводишь на звезду и читаешь угол по шкале.
4. Зачем нужен: ориентироваться по звёздам, определять время и положение корабля.
5. Что запомнить: это «прадедушка» транспортира и современных угломерных приборов.

Ответ: сообщение на 1–2 минуты по плану выше.

№ 6.29

Подготовь сообщение о теодолите: наиболее совершенном угловом инструменте, который применяется для геодезических работ.

Как думать. Снова проект. Расскажи, что это за прибор и где его используют.

Решение (план).

1. Что это: оптическая зрительная труба на подставке с двумя угловыми шкалами (горизонтальной и вертикальной).
2. Как работает: наводят трубу на точку, читают углы по шкалам.
3. Где используют: геодезисты и строители измеряют углы на местности, чтобы составлять карты, прокладывать дороги и возводить здания. Таким прибором можно измерить углы с точностью до секунд.
4. Связь с уроком: градусы, минуты и секунды из этого параграфа нужны именно для таких измерений.

Ответ: сообщение по плану выше.

Шпаргалка

• Единица измерения углов — градус, $1^\circ = \frac{1}{180}$ развёрнутого угла.
• Прямой угол равен $90^\circ$, развёрнутый — $180^\circ$.
• Углы измеряют транспортиром и откладывают по шкале.
• Если ищешь два смежных угла по условию, одну величину обозначь за $x$ и помни: сумма $180^\circ$.
• Градусная величина разности углов равна разности величин.

Мини-тест