Проверь себя! Глава I

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 1: Начальные геометрические сведения. Страницы 38–41.

Что повторяем

Тест на двадцать вопросов по первой главе: прямая, точка, отрезок, луч, угол, смежные и вертикальные углы. Решай каждый вопрос сам, потом смотри подсказку. Ответ в учебнике выбирают из четырёх вариантов A, B, C, D, поэтому у каждого вопроса мы называем и букву, и само значение.

💡 Если застрял, сделай маленький рисунок. В геометрии половина ответа часто видна на чертеже.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка не угадывать букву, а нарисовать и посчитать. Для вопросов 4–10 хватит листа в клетку и карандаша.

Решаем упражнения

Прямые и точки

№ 1

Сколько прямых можно провести через одну точку? A. Ни одной. B. Одну. C. Две. D. Бесконечно много.

Как думать. Представь точку и линейку. Линейку можно повернуть вокруг точки как угодно.

Решение. Поворачиваем линейку вокруг точки на любой угол, и каждое положение даёт новую прямую. Таких положений бесконечно много.

Ответ: D, бесконечно много.

№ 2

Сколько прямых можно провести через две точки? A. Бесконечно много. B. Две. C. Одну. D. Ни одной.

Как думать. Это аксиома: через две точки проходит прямая, и только одна.

Решение. Приложи линейку к двум точкам. Положение линейки определено однозначно, другой прямой не получится.

Ответ: C, одну.

№ 3

Какое наибольшее число общих точек могут иметь две прямые? A. Ни одной. B. Одну. C. Две. D. Бесконечно много.

Как думать. Если у двух прямых две общие точки, то по аксиоме из № 2 это одна и та же прямая. Значит, у двух разных прямых общих точек не больше одной.

Решение. Две разные прямые либо не пересекаются (0 точек), либо пересекаются в одной точке. Больше одной общей точки быть не может.

Ответ: B, одну.

№ 4

Сколько прямых можно провести через различные пары из трёх точек, не лежащих на одной прямой? A. Одну. B. Две. C. Три. D. Бесконечно много.

Как думать. Пары из трёх точек: $A$ и $B$, $B$ и $C$, $A$ и $C$.

Решение. Каждая пара даёт свою прямую, и они разные, потому что точки не на одной прямой. Пар получается три.

Ответ: C, три.

№ 5

Какое наибольшее число прямых можно провести через различные пары из четырёх точек, три из которых не лежат на одной прямой? A. 4. B. 6. C. 8. D. 12.

Как думать. Считаем пары точек. Самое большое число прямых получится, если никакие три точки не лежат на одной прямой.

Решение. Первую точку можно соединить с тремя другими, вторую ещё с двумя (с первой уже соединили), третью с одной. Итого $3+2+1=6$ пар. Формула: $\frac{4\cdot 3}{2}=6$.

Ответ: B, 6 прямых.

№ 6

Какое наибольшее число прямых можно провести через различные пары из пяти точек, три из которых не лежат на одной прямой? A. 5. B. 10. C. 15. D. 20.

Как думать. Тот же приём, что в № 5, только точек пять.

Решение. $4+3+2+1=10$, или $\frac{5\cdot 4}{2}=10$.

Ответ: B, 10 прямых.

№ 7

Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь три прямые? A. Одну. B. Две. C. Три. D. Бесконечно много.

Как думать. Каждая пара прямых даёт не больше одной точки пересечения. Пар из трёх прямых три.

Решение. Прямые $a$, $b$, $c$: пары $ab$, $bc$, $ac$. Если никакие три не проходят через одну точку и никакие две не параллельны, получаем три разные точки, как вершины треугольника.

Ответ: C, три.

№ 8

Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь четыре прямые? A. 4. B. 6. C. 8. D. 12.

Как думать. Снова считаем пары, теперь пары прямых: $3+2+1$.

Решение. $\frac{4\cdot 3}{2}=6$.

Ответ: B, 6 точек.

№ 9

Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь пять прямых? A. 5. B. 10. C. 15. D. 20.

Как думать. Пар из пяти прямых столько же, сколько пар из пяти точек в № 6.

Решение. $\frac{5\cdot 4}{2}=10$.

📌 Для $n$ прямых наибольшее число точек пересечения равно $\frac{n(n-1)}{2}$. Столько же прямых проходит через пары из $n$ точек, если никакие три не лежат на одной прямой.

Ответ: B, 10 точек.

Отрезки и лучи

№ 10

На прямой отмечены 4 точки. Сколько получилось отрезков с концами в этих точках? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Как думать. Отрезок определяется двумя концами. Значит, снова считаем пары точек.

Решение. Точки $A$, $B$, $C$, $D$. Отрезки: $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$. Их шесть: $3+2+1=6$.

Ответ: D, 6 отрезков.

№ 11

На луче $OA$ отложен отрезок $OB$, меньший отрезка $OA$. Какая из трёх точек лежит между двумя другими? A. $A$. B. $O$. C. $B$. D. Нельзя определить.

Как думать. Все три точки на одном луче с началом $O$. Ближе к началу та, до которой расстояние меньше.

Решение. $OB<OA$, поэтому $B$ лежит ближе к $O$, чем $A$. Порядок на луче: $O$, $B$, $A$. Между $O$ и $A$ стоит $B$.

Ответ: C, точка $B$.

№ 12

На прямой в одну сторону подряд отложены три отрезка: $AB=3$ см, $BC=5$ см, $CD=4$ см. Найдите расстояние между серединами отрезков $AB$ и $CD$. A. 6,5 см. B. 7,5 см. C. 8,5 см. D. 10,5 см.

Как думать. Поставь $A$ в ноль и посчитай координаты точек. Потом найди середины.

Решение. $A=0$, $B=3$, $C=8$, $D=12$. Середина $AB$ в точке $1{,}5$, середина $CD$ в точке $(8+12):2=10$. Расстояние $10-1{,}5=8{,}5$ см.

Ответ: C, 8,5 см.

Углы

№ 13

Сколько имеется углов, смежных данному? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Как думать. У угла две стороны. Продолжить за вершину можно любую из них.

Решение. Угол $AOB$. Продолжим сторону $OA$ за точку $O$: получим угол, смежный с ним. Продолжим сторону $OB$: получим второй смежный угол. Больше способов нет.

Ответ: B, два угла.

№ 14

Один из смежных углов равен $30^\circ$. Найдите другой угол. A. $30^\circ$. B. $60^\circ$. C. $120^\circ$. D. $150^\circ$.

Как думать. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Решение. $180^\circ-30^\circ=150^\circ$.

Ответ: D, $150^\circ$.

№ 15

Один из смежных углов больше другого на $90^\circ$. Найдите эти углы. A. $90^\circ$, $180^\circ$. B. $30^\circ$, $120^\circ$. C. $60^\circ$, $150^\circ$. D. $45^\circ$, $135^\circ$.

Как думать. Меньший угол обозначим $x$. Тогда больший равен $x+90^\circ$.

Решение. $x+(x+90^\circ)=180^\circ$, откуда $2x=90^\circ$ и $x=45^\circ$. Другой угол $45^\circ+90^\circ=135^\circ$.

Ответ: D, $45^\circ$ и $135^\circ$.

№ 16

Один из смежных углов в три раза меньше другого. Найдите эти углы. A. $45^\circ$, $135^\circ$. B. $60^\circ$, $120^\circ$. C. $30^\circ$, $90^\circ$. D. $15^\circ$, $45^\circ$.

Как думать. Меньший угол $x$, больший $3x$. Вместе они дают развёрнутый угол.

Решение. $x+3x=180^\circ$, $4x=180^\circ$, $x=45^\circ$. Больший угол $3\cdot45^\circ=135^\circ$.

Ответ: A, $45^\circ$ и $135^\circ$.

№ 17

Один из смежных углов составляет $20%$ другого. Найдите эти углы. A. $20^\circ$, $160^\circ$. B. $45^\circ$, $135^\circ$. C. $60^\circ$, $120^\circ$. D. $30^\circ$, $150^\circ$.

Как думать. Большой угол обозначим $y$. Тогда малый равен $0{,}2y$, потому что $20%=0{,}2$.

Решение. $y+0{,}2y=180^\circ$, $1{,}2y=180^\circ$, $y=150^\circ$. Малый угол $0{,}2\cdot150^\circ=30^\circ$. Проверка: $30:150=0{,}2$, то есть $20%$.

Ответ: D, $30^\circ$ и $150^\circ$.

№ 18

Сумма двух вертикальных углов, образованных двумя прямыми, равна $150^\circ$. Найдите все углы, образованные этими прямыми. A. $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$. B. $30^\circ$, $150^\circ$, $30^\circ$, $150^\circ$. C. $75^\circ$, $105^\circ$, $75^\circ$, $105^\circ$. D. $50^\circ$, $130^\circ$, $50^\circ$, $130^\circ$.

Как думать. Вертикальные углы равны. Значит, каждый из них равен половине суммы.

Решение. Каждый вертикальный угол равен $150^\circ:2=75^\circ$. Углы, смежные с ним, равны $180^\circ-75^\circ=105^\circ$. Всего четыре угла: $75^\circ$, $105^\circ$, $75^\circ$, $105^\circ$.

Ответ: C, $75^\circ$, $105^\circ$, $75^\circ$, $105^\circ$.

№ 19

На какой угол повернётся минутная стрелка за 20 мин? A. $30^\circ$. B. $60^\circ$. C. $90^\circ$. D. $120^\circ$.

Как думать. Полный оборот стрелки за 60 мин, это $360^\circ$. Узнай, сколько градусов приходится на одну минуту.

Решение. $360^\circ:60=6^\circ$ за минуту. За 20 минут $6^\circ\cdot20=120^\circ$. Ещё проще: 20 мин это треть часа, а $360^\circ:3=120^\circ$.

Ответ: D, $120^\circ$.

№ 20

Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в 13 ч 30 мин? A. $90^\circ$. B. $120^\circ$. C. $135^\circ$. D. $150^\circ$.

Как думать. Найди, где в 13:30 стоит каждая стрелка, считая градусы от цифры 12. Часовая стрелка за час поворачивается на $360^\circ:12=30^\circ$, а за 30 минут на $15^\circ$.

Решение. Минутная стрелка на 30 минутах, то есть на цифре 6: $30\cdot6^\circ=180^\circ$ от верха. Часовая в 13:30 прошла один час и ещё полчаса: $30^\circ+15^\circ=45^\circ$ от верха (от цифры 12, она же 0 часов). Угол между ними $180^\circ-45^\circ=135^\circ$.

⚠️ Частая ошибка. Часовая стрелка не стоит ровно на цифре, она ползёт всё время. В 13:30 она посередине между 1 и 2. Если поставить её на 1, получится $150^\circ$, а это неверно.

Ответ: C, $135^\circ$.

Шпаргалка

• Аксиома. Через две точки проходит единственная прямая. Поэтому две разные прямые имеют не больше одной общей точки.
• Счёт пар. И прямых через $n$ точек, и точек пересечения $n$ прямых, и отрезков на прямой с $n$ точками считают по формуле $\frac{n(n-1)}{2}$ (если нет «особых» совпадений).
• Смежные углы. Их сумма $180^\circ$. Если один угол $x$, другой $180^\circ-x$.
• Вертикальные углы равны. Их сумма вдвое больше одного угла.
• Часы. Минутная стрелка делает $6^\circ$ в минуту, часовая $0{,}5^\circ$ в минуту.