§ 7. Треугольник и его виды
Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 2: Треугольники. Страницы 41–46.
Чему научишься
- Называть элементы треугольника: вершины, стороны, углы.
- Различать остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники.
- Проводить и узнавать медиану, биссектрису и высоту.
- Находить периметр и понимать, что такое средняя линия.
- Понимать, что значит «два треугольника равны», и записывать равные элементы.
Разминка
- Что такое острый, прямой и тупой угол? Острый меньше $90^\circ$, прямой равен $90^\circ$, тупой больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.
- Что такое середина отрезка? Точка, которая делит отрезок на две равные части.
- Что значит «луч делит угол пополам»? Он разбивает угол на два равных угла.
- Какие прямые называются перпендикулярными? Те, что пересекаются под прямым углом.
- Что такое периметр? Сумма длин всех сторон фигуры.
Разбираемся
Что такое треугольник
Возьми три точки, которые не лежат на одной прямой, и соедини их отрезками. Получится треугольник. Точки называют вершинами, отрезки — сторонами. Три стороны ограничивают кусок плоскости внутри, он тоже часть фигуры.
Обозначают треугольник по вершинам: $\triangle ABC$. Угол при вершине $A$ записывают $\angle A$ или $\angle BAC$. Его стороны лежат на сторонах $AB$ и $AC$.
⚠️ Частая ошибка. Три точки на одной прямой треугольника не дают: отрезки сольются в один. Условие «не лежат на одной прямой» важно.
Три вида по углам
Смотрим на самый большой угол.
📌 Остроугольный треугольник: все углы острые. Прямоугольный: есть прямой угол. Тупоугольный: есть тупой угол.
Больше одного прямого или одного тупого угла в треугольнике быть не может. Почему, узнаешь, когда изучим сумму углов.
Три особых отрезка
Из вершины $C$ можно провести три разных отрезка к противоположной стороне $AB$.
📌 Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Биссектриса делит угол при вершине пополам. Высота опущена из вершины перпендикулярно противоположной стороне (или её продолжению).
У каждого треугольника три медианы, три биссектрисы и три высоты, по одной из каждой вершины.
💡 Запомни по слову: медиана — «между» ($M$ — середина), биссектриса — «делит угол» (она как кошка, бегает по углам и делит их пополам), высота — под прямым углом, как вертикаль.
В тупоугольном треугольнике высота может упасть вне треугольника: тогда сторону приходится продлить, а высота встречает продолжение.
👨👩👧 Родителю. Высота вне треугольника часто удивляет. Попросите ребёнка приложить угольник к стороне тупоугольного треугольника: так видно, что высота получается не внутри.
Периметр и средняя линия
Периметр — сумма длин всех трёх сторон: $P=AB+BC+AC$.
Средняя линия соединяет середины двух сторон. На рисунке $D$ и $E$ — середины $AC$ и $BC$, и $DE$ — средняя линия.
Не путай её с медианой: медиана идёт из вершины в середину стороны, а средняя линия соединяет две середины.
Равные треугольники
Два треугольника равны, если их можно наложить друг на друга. Тогда у них равны все три стороны и все три угла, причём равные углы лежат между равными сторонами.
Если $\triangle ABC=\triangle DEF$, то буквы стоят «по порядку»: $AB=DE$, $BC=EF$, $AC=DF$ и $\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$, $\angle C=\angle F$.
🌟 Равенство фигур в геометрии связано с движением: фигуры равны, если одну можно передвинуть так, чтобы она точно легла на другую. Это понятие подробно изучат в 9 классе.
Проверь, как понял
Проверь себя
- Какая фигура называется треугольником? Фигура из трёх точек, не лежащих на одной прямой, трёх отрезков, соединяющих их попарно, и части плоскости внутри.
- Как обозначается треугольник? По его вершинам, например $\triangle ABC$.
- Что называется медианой треугольника? Отрезок от вершины до середины противоположной стороны.
- Что называется биссектрисой треугольника? Отрезок из вершины к противоположной стороне, который делит угол при этой вершине пополам.
- Что называется высотой треугольника? Отрезок из вершины к прямой противоположной стороны, перпендикулярный ей.
- Что называется периметром треугольника? Сумма длин всех его сторон.
- Какие треугольники называются равными? Те, у которых соответственные стороны равны и углы между равными сторонами тоже равны.
- Какой треугольник называется остроугольным, прямоугольным, тупоугольным? Остроугольный: все углы острые. Прямоугольный: есть прямой угол. Тупоугольный: есть тупой угол.
Решаем упражнения
Уровень A
№ 7.1
Перечисли все треугольники на рисунке 7.4.
На рисунке: большой треугольник $ABC$, точка $D$ на стороне $AB$, точка $E$ на стороне $BC$, проведены отрезки $CD$ и $DE$.
Как думать. Треугольник задают три вершины, не лежащие на одной прямой, а стороны должны быть нарисованы. Проверяем систематически: берём вершину $C$ и ищем пары других точек, соединённых с ней и друг с другом.
Решение. 1) $ABC$ — весь большой. 2) $ADC$ — левая часть: стороны $AD$, $DC$, $AC$. 3) $BDC$ — правая часть: $BD$, $DC$, $BC$. 4) $BDE$: стороны $BD$, $DE$, $BE$. 5) $CDE$: стороны $CD$, $DE$, $CE$. Других нет, например $ADE$ не получается, так как нет отрезка $AE$.
Ответ: $ABC$, $ADC$, $BDC$, $BDE$, $CDE$ (всего 5).
№ 7.2
На рисунке 7.5 (клетчатая бумага) укажи равные треугольники.
Рисунок: восемь маленьких треугольников а)–з) на клетках. Ниже они нарисованы по клеткам.
Как думать. Равные треугольники имеют одинаковые стороны. На клетках считаем катеты и основание. Повернуть или отразить треугольник можно, форма от этого не меняется.
Решение. Прямоугольные с катетами в 1 и 2 клетки: а), в), д), з). У них одинаковые катеты, их можно повернуть и совместить. Равнобедренные с основанием 2 и высотой 2: б) и е). Треугольник г) прямоугольный с катетами 2 и 2, ж) имеет основание 2 и высоту 1: они не равны никому другому.
Ответ: а), в), д) и з) равны; б) и е) равны.
№ 7.3
Могут ли быть равны: а) остроугольный и прямоугольный; б) остроугольный и тупоугольный; в) прямоугольный и тупоугольный треугольники?
Как думать. У равных треугольников все углы по очереди равны. Значит, и вид по углам один и тот же.
Решение. Если треугольник остроугольный, все его углы острые, и у равного ему тоже все три острые. Нельзя получить прямой или тупой угол. Так же в остальных парах.
Ответ: а) нет; б) нет; в) нет.
№ 7.4
Сколько у треугольника: а) медиан; б) биссектрис; в) высот?
Как думать. Каждый из этих отрезков проводят из вершины. Вершин три.
Решение. Из каждой вершины идёт одна медиана, одна биссектриса и одна высота.
Ответ: а) 3; б) 3; в) 3.
№ 7.5
Может ли проходить вне треугольника его: а) медиана; б) биссектриса; в) высота?
Как думать. Медиана и биссектриса заканчиваются на самой стороне. Высота может попасть на её продолжение.
Решение. Медиана идёт от вершины к середине стороны, то есть внутри. Биссектриса делит угол треугольника, поэтому тоже внутри. Высота в тупоугольном треугольнике, проведённая из вершины острого угла, падает на продолжение противоположной стороны, как на рисунке выше.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да (в тупоугольном треугольнике).
Уровень B
№ 7.6
На клетчатой бумаге нарисуй треугольники, стороны которых равны отрезкам с рисунка 7.6: а) три отрезка, у которых «шаги» по клеткам $(2;1)$, $(3;1)$, $(4;1)$; б) $(3;3)$, $(4;2)$, $(5;1)$.
Как думать. Отрезок на клетках задают сдвигом: сколько клеток вправо и сколько вверх. Длину можно перенести, если выбрать концы так, чтобы сдвиг был таким же (с перестановкой или отражением).
Решение. а) Длины $\sqrt5$, $\sqrt{10}$, $\sqrt{17}$. Берём вершины $(0;1)$, $(4;2)$, $(3;0)$: сдвиги $(4;1)$, $(-1;-2)$ (длина $\sqrt5$), $(-3;1)$ (длина $\sqrt{10}$). б) Длины $\sqrt{18}$, $\sqrt{20}$, $\sqrt{26}$. Вершины $(8;3)$, $(13;4)$, $(11;0)$: сдвиги $(5;1)$, $(-2;-4)$ (длина $\sqrt{20}$), $(-3;3)$ (длина $\sqrt{18}$).
Ответ: построение, любой треугольник с такими сторонами подходит (пример на рисунке).
№ 7.7
Треугольники $ABC$ и $EFG$ равны. $AB=5$ см, $BC=6$ см, $AC=7$ см. Найди стороны $EFG$.
Как думать. Равные треугольники: стороны соответственно равны, буквы по порядку: $A\to E$, $B\to F$, $C\to G$.
Решение. $EF=AB=5$ см, $FG=BC=6$ см, $EG=AC=7$ см.
Ответ: $EF=5$ см, $FG=6$ см, $EG=7$ см.
№ 7.8
Треугольники $ABC$ и $EFG$ равны. $\angle A=40^\circ$, $\angle B=60^\circ$, $\angle C=80^\circ$. Найди углы $EFG$.
Как думать. Соответственные углы равны: $A\to E$, $B\to F$, $C\to G$.
Решение. $\angle E=\angle A=40^\circ$, $\angle F=\angle B=60^\circ$, $\angle G=\angle C=80^\circ$.
Ответ: $\angle E=40^\circ$, $\angle F=60^\circ$, $\angle G=80^\circ$.
№ 7.9
Треугольники $ABC$, $PQR$ и $XYZ$ равны. $AB=5$ см, $QR=6$ см, $XZ=7$ см. Найди остальные стороны каждого.
Как думать. У всех трёх треугольников стороны 5, 6 и 7 см. Надо понять, какая сторона какой соответствует, ведь буквы стоят по порядку.
Решение. Из $\triangle ABC=\triangle PQR$: $AB\leftrightarrow PQ$, $BC\leftrightarrow QR$, $AC\leftrightarrow PR$. Раз $AB=5$ и $QR=6$, то $PQ=AB=5$, $BC=QR=6$. Остаётся $AC=PR=7$. Для $XYZ$: $XY=5$, $YZ=6$ и $XZ=7$ (дано).
Ответ: $PQ=XY=5$ см; $BC=YZ=6$ см; $AC=PR=7$ см.
№ 7.10
На клетчатой бумаге нарисуй треугольник $ABC$ (рис. 7.7) и изобрази его медианы.
Рисунок 7.7: а) $A(1;1)$, $B(5;3)$, $C(2;5)$; б) $A(1;2)$, $B(5;0)$, $C(2;6)$ (по клеткам).
Как думать. Для каждой стороны найди середину (на клетках удобно: сложить координаты концов и поделить на 2). Затем соедини середину с противоположной вершиной.
Решение. а) Середины: $AB$ — $(3;2)$, $BC$ — $(3{,}5;4)$, $AC$ — $(1{,}5;3)$. Медианы: $C\to(3;2)$, $A\to(3{,}5;4)$, $B\to(1{,}5;3)$. б) (сдвиг на 7 вправо) середины: $AB$ — $(3;1)$, $BC$ — $(3{,}5;3)$, $AC$ — $(1{,}5;4)$.
Ответ: построение (на рисунке).
№ 7.11
Нарисуй $\triangle ABC$ (рис. 7.8) на клетках и проведи биссектрису: а) $CD$; б) $AD$.
Рисунок 7.8: а) $A(3;2)$, $B(5;5)$, $C(1;3)$; б) $A(1;1)$, $B(5;3)$, $C(2;3)$.
Как думать. Биссектриса делит угол пополам. Построить её можно транспортиром: измерь угол, раздели градусную меру пополам и отложи луч. Точку $D$ тогда находим там, где луч встречает противоположную сторону.
Решение. 1) В а) измерь транспортиром угол $ACB$ при вершине $C$ и раздели пополам. 2) Проведи луч, он пересекает $AB$ в точке $D$. Для а) $D\approx(3{,}7;3)$: $AD:DB=CA:CB=1:2$. 3) В б) то же из вершины $A$ (угол $CAB$): луч пересекает $BC$ в $D=(3;3)$ (здесь $BD:DC=AB:AC=2:1$).
Ответ: построение (на рисунке).
№ 7.12
Нарисуй $\triangle ABC$ (рис. 7.9) на клетках и проведи высоту: а) $CD$; б) $AD$.
Рисунок 7.9: а) $A(1;1)$, $B(5;3)$, $C(2;4)$; б) $B(2;5)$, $C(4;3)$, $A(3;0)$.
Как думать. Высота — перпендикуляр к стороне. Приложи угольник или циркуль и проведи прямой угол. На клетках перпендикулярные направления: сдвиг $(a;b)$ и $(-b;a)$.
Решение. а) $AB$ идёт на $(4;2)$, перпендикулярный сдвиг $(-2;4)$ или $(1;-2)$: от $C(2;4)$ вниз на $(1;-2)$ приходим в $D(3;2)$, это точка на $AB$. $CD$ — высота. б) $BC$ идёт на $(2;-2)$, перпендикулярный сдвиг $(2;2)$. От $A(3;0)$ идём на $(2;2)$ и попадаем в $D(5;2)$. Это точка на продолжении $BC$ за $C$ (угол $C$ тупой), высота $AD$ лежит вне треугольника.
Ответ: построение (на рисунке).
№ 7.13
На клетках нарисуй (рис. 7.10): а) остроугольный, б) прямоугольный, в) тупоугольный $\triangle ABC$ и проведи из вершины $C$ соответственно медиану, биссектрису и высоту.
Рисунок 7.10: а) $A(1;1)$, $B(5;1)$, $C(4;5)$; б) $A(1;1)$, $B(5;3)$, $C(5;1)$; в) $A(1;1)$, $B(5;1)$, $C(6;4)$.
Как думать. Тебя просят три разных отрезка из вершины $C$ в трёх разных треугольниках, по одному в каждом. Алгоритм у каждого свой, см. выше.
Решение. а) Медиана $CM$: $M$ — середина $AB$, $M(3;1)$. б) Биссектриса $CD$ прямого угла: $AD:DB=CA:CB=2:1$, $D\approx(3{,}7;2{,}3)$. в) Высота $CH$ из тупоугольного треугольника: угол $B$ тупой, $CH$ падает на продолжение $AB$ за $B$: $H(6;1)$.
Ответ: построение (на рисунке).
№ 7.14
Сторона $AB=17$ см. $AC$ вдвое больше $AB$, $BC$ на 10 см меньше $AC$. Найди периметр $ABC$.
Как думать. Найди по очереди $AC$, потом $BC$, потом сложи все три.
Решение. $AC=2\cdot17=34$ см. $BC=34-10=24$ см. $P=17+34+24=75$ см.
Ответ: 75 см.
№ 7.15
Периметр треугольника 48 см, одна сторона 18 см. Найди две другие, если их разность 10 см.
Как думать. Две другие стороны вместе дают $48-18$. Знаем их сумму и разность.
Решение. Сумма: $48-18=30$ см. Пусть меньшая $x$, тогда большая $x+10$, и $x+(x+10)=30$, $2x=20$, $x=10$. Большая $20$ см. Проверка: $18+10+20=48$ ✔.
Ответ: 20 см и 10 см.
№ 7.16
Периметр 54 см. Найди стороны, если они относятся как $2:3:4$.
Как думать. Делим периметр на «части»: всего $2+3+4=9$ частей.
Решение. Одна часть: $54:9=6$ см. Стороны: $2\cdot6=12$, $3\cdot6=18$, $4\cdot6=24$ см. Проверка: $12+18+24=54$ ✔.
Ответ: 12 см, 18 см, 24 см.
№ 7.17
Вдоль границы садового участка-треугольника со сторонами 16, 24 и 20 м сажают кусты смородины через 2 м. Сколько всего кустов?
Как думать. Это периметр, делённый на расстояние между кустами. Кусты стоят по замкнутому контуру, поэтому лишнего куста в конце нет.
Решение. Периметр $16+24+20=60$ м. $60:2=30$ кустов. Каждая сторона делится на 2 м без остатка (8, 12 и 10 промежутков), поэтому вершины попадают на кусты.
Ответ: 30 кустов.
Уровень C
№ 7.18
Сколько треугольников на рисунке 7.11?
Рисунок: правильный пятиугольник, в котором проведены все пять диагоналей (внутри получается пятиконечная звезда и ещё один маленький пятиугольник).
Как думать. Чтобы не потерять ни одного, считай по размеру: от самых маленьких к самым большим. Те же по форме удобно посчитать вместе.
Решение. Все треугольники здесь равнобедренные, и углы у них $36^\circ$, $72^\circ$, $72^\circ$ (остроугольные) или $108^\circ$, $36^\circ$, $36^\circ$ (тупоугольные). По размерам: 5 самых маленьких (острые «лучики» звезды); 5 тупоугольных поменьше; 10 остроугольных средних; 10 тупоугольных побольше; 5 самых больших остроугольных. Итого $5+5+10+10+5=35$.
Ответ: 35.
№ 7.19
Докажи: если прямая пересекает одну сторону треугольника и не проходит через его вершины, то она пересекает и одну из двух других сторон.
Как думать. Прямая делит плоскость на две полуплоскости. Если две точки лежат по разные стороны прямой, то отрезок между ними эту прямую пересекает. Нужно понять, в каких полуплоскостях лежат вершины.
Ответ: доказано (см. шаги). Обе другие стороны она пересечь не может: $C$ лежит ровно в одной полуплоскости.
Подготовься к новой теме
№ 7.20
Сторона и прилежащий к ней угол одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащему углу другого. Будут ли эти треугольники равны? Приведи пример.
Как думать. Попробуй нарисовать: возьми одинаковый отрезок и одинаковый угол при его конце. Третью вершину можно взять на луче в разных местах.
Решение. Нарисуй сторону $AB=5$ клеток и угол $A=45^\circ$. Луч из $A$ идёт под $45^\circ$. Возьми на нём точку $C$ на 2 клетки по диагонали, а в другом треугольнике на 4. Получится два треугольника с равной стороной $AB$ и равным углом $A$, но разной длины $AC$. Они не равны.
Ответ: не обязательно, не будут. Одной стороны и одного угла мало. Чтобы треугольники были равны, нужно ещё что-то (скоро увидим, что именно).
Шпаргалка
- Виды по углам: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный.
- У треугольника 3 медианы, 3 биссектрисы и 3 высоты. Медиана и биссектриса всегда внутри, высота бывает вне (в тупоугольном).
- Равенство: при $\triangle ABC=\triangle DEF$ равны $AB=DE$, $BC=EF$, $AC=DF$ и $\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$, $\angle C=\angle F$.
- Тест на смекалку: считай треугольники по размерам, чтобы ничего не потерять.