§ 8. Первый признак равенства треугольников

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 2: Треугольники. Страницы 46–51.

Чему научишься

• Объяснять, что такое признак равенства треугольников и зачем он нужен.
• Формулировать первый признак: две стороны и угол между ними.
• Доказывать равенство треугольников по этому признаку и записывать, что чему равно.
• Находить в задачах «спрятанные» пары равных треугольников и делать из них выводы о сторонах и углах.

Разминка

• Какие треугольники называют равными? Те, которые можно наложить друг на друга так, что они совпадут. Тогда равны все соответствующие стороны и углы.
• Что такое угол между двумя сторонами? Угол с вершиной в общей точке этих сторон. Для сторон $AB$ и $AC$ это угол $A$.
• Как записать «отрезки $AB$ и $DE$ равны»? $AB = DE$.
• Можно ли отложить угол от данного луча? Да, в любую из двух полуплоскостей, и только один угол заданной величины.
• Подготовка к теме (№ 7.20). Если сторона и прилежащий угол одного треугольника равны стороне и углу другого, равны ли треугольники? Нет, этого мало: можно нарисовать треугольники с одной общей стороной и углом, но с разной длиной второй стороны.

Разбираемся

Сколько данных нужно, чтобы «клонировать» треугольник

Представь, что ты чертишь треугольник $ABC$, где $AB = 5$ см, $AC = 4$ см, а угол $A$ равен $60^\circ$. Сначала линейкой откладываешь $AB$, потом транспортиром угол $60^\circ$, потом на втором луче отмечаешь $4$ см. Осталось соединить $B$ и $C$.

Твой одноклассник сделает то же самое, и два чертежа совпадут. Третью сторону и два других угла никто не задавал, они получились сами. Это и есть идея признака.

📌 Признак равенства треугольников — это теорема: если выполнены несколько условий (не все шесть!), то треугольники равны.

Первый признак

📌 Теорема (первый признак). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого, то такие треугольники равны.

Коротко: сторона, угол, сторона (СУС).

Как это доказать

Идея простая: наложим один треугольник на другой и проверим, что всё совпало.

⚠️ Частая ошибка. Угол должен быть между этими сторонами. Если равны две стороны и угол, который лежит не между ними, то вывода нет: такие треугольники бывают разными (пример разберём в № 8.18).

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка вырезать из бумаги два треугольника по одному правилу «5 см, угол, 4 см» и положить один на другой. Так признак запоминается лучше, чем зубрёжкой формулировки.

Что значит «записать равенства»

Равенство $\triangle ABC = \triangle DEF$ надо читать по порядку букв: $A$ соответствует $D$, $B$ соответствует $E$, $C$ соответствует $F$. Для первого признака запиши так: $AB = DE$, $AC = DF$, $\angle A = \angle D$.

🌟 Идею «наложить и сравнить» придумали ещё греки. В «Началах» Евклида (около 300 года до н. э.) именно так доказан этот признак. Сегодня на нём держится и работа геодезистов, которые измеряют расстояния через реки, не переходя на другой берег.

Выбери признак

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какие теоремы называют признаками равенства треугольников? Теоремы, которые говорят: достаточно равенства лишь некоторых сторон и углов, чтобы треугольники были равны.
• Сформулируй первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны.
• Запиши равенства для треугольников $ABC$ и $DEF$ по первому признаку (задание «Самостоятельно»). $AB = DE$, $AC = DF$, $\angle A = \angle D$. Подойдут и другие тройки, лишь бы угол стоял между сторонами, например $AB = DE$, $BC = EF$, $\angle B = \angle E$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 8.1

Равны ли треугольники на рис. 8.2, если $AB = DE$, $AC = EF$ и угол $A$ равен углу $E$?

Как думать. Смотрим: угол $A$ стоит между $AB$ и $AC$, а угол $E$ между $DE$ и $EF$. Значит, равные стороны «обнимают» равные углы.

Решение. В треугольниках $ABC$ и $DEF$: $AB = DE$, $AC = EF$, $\angle A = \angle E$. Угол $A$ лежит между $AB$ и $AC$, угол $E$ между $ED$ и $EF$. Это первый признак, так что треугольники равны. Порядок букв: $A \to E$, $B \to D$, $C \to F$, то есть $\triangle ABC = \triangle EDF$.

Ответ: да, равны.

№ 8.2

Равны ли треугольники $KLN$ и $NMK$ на рис. 8.3, если $KL = NM$ и $\angle 1 = \angle 2$?

Как думать. Найди общую сторону. Это диагональ $KN$: она есть и в одном, и в другом треугольнике.

Решение. Сравниваем $\triangle KLN$ и $\triangle NMK$:

1. $KL = NM$ (дано);
2. $KN = NK$ (общая сторона);
3. $\angle 2 = \angle 1$ (дано): угол 2 лежит между $KL$ и $KN$, угол 1 между $NM$ и $NK$. Значит, по первому признаку $\triangle KLN = \triangle NMK$.

Ответ: да, равны.

№ 8.3

На рис. 8.3 $KL = NM = 4$ см, угол 1 равен углу 2, $KM = 3$ см. Найди $LN$.

Как думать. Из № 8.2 треугольники равны. Равны и их соответствующие стороны, надо только понять, какая куда.

Решение. В равенстве $\triangle KLN = \triangle NMK$ вершина $K$ соответствует $N$, $L$ соответствует $M$, $N$ соответствует $K$. Значит, сторона $LN$ соответствует стороне $MK$. Поэтому $LN = MK = 3$ см.

Ответ: $LN = 3$ см.

№ 8.4

Равны ли треугольники $ABH$ и $CBH$ на рис. 8.4, если $BH \perp AC$ и $AH = CH$?

Как думать. Перпендикуляр даёт два прямых угла. Сторона $BH$ общая.

Решение. В треугольниках $ABH$ и $CBH$:

1. $AH = CH$ (дано);
2. $BH$ общая;
3. $\angle AHB = \angle CHB = 90^\circ$, так как $BH \perp AC$. Угол $H$ стоит между $AH$ и $BH$, а также между $CH$ и $BH$. Первый признак: $\triangle ABH = \triangle CBH$.

Ответ: да, равны.

№ 8.5

На рис. 8.4 $BH \perp AC$ и $AH = CH = 2$ см, $AB = 5$ см. Найди $BC$.

Как думать. Из № 8.4 треугольники равны, значит $AB$ и $BC$ соответствуют друг другу.

Решение. $\triangle ABH = \triangle CBH$, и $A \to C$, $B \to B$, $H \to H$. Поэтому $AB = CB$, то есть $BC = 5$ см. Длины $AH$ и $CH$ нам не понадобились.

Ответ: $BC = 5$ см.

№ 8.6

На рис. 8.5 отмечены равные отрезки и равные углы $ABC$ и $DBE$. Выпиши равные треугольники.

Как думать. Равенство $\angle ABC = \angle DBE$ даёт нужные углы: от обоих уберём общую часть $\angle DBC$ и получим равенство углов $ABD$ и $CBE$.

Решение. Смотрим на $\triangle ABD$ и $\triangle CBE$:

1. $AB = CB$ (отмечены);
2. $BD = BE$ (отмечены);
3. $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC$ и $\angle CBE = \angle DBE - \angle DBC$. Так как $\angle ABC = \angle DBE$, то $\angle ABD = \angle CBE$. Угол $ABD$ между $AB$ и $BD$, угол $CBE$ между $CB$ и $BE$. Первый признак.

Ответ: $\triangle ABD = \triangle CBE$.

№ 8.7

На рис. 8.6 точка $P$ — середина отрезков $EF$ и $GH$. Есть ли на рисунке равные треугольники?

Как думать. Если $P$ середина двух отрезков, то получаем две пары равных сторон. А угол между ними — вертикальный.

Решение.

1. $\triangle EPH$ и $\triangle FPG$: $EP = FP$, $HP = GP$, $\angle EPH = \angle FPG$ (вертикальные). Первый признак, поэтому они равны.
2. $\triangle EPG$ и $\triangle FPH$: $EP = FP$, $GP = HP$, $\angle EPG = \angle FPH$ (вертикальные). Равны.
3. Из первых двух пар: $EG = FH$ и $EH = FG$. Тогда $\triangle EGH$ и $\triangle FHG$: $EG = FH$, $GH$ общая, $\angle EGH = \angle EGP = \angle FHP = \angle FHG$ (из пары 2). Равны.
4. $\triangle EFH$ и $\triangle FEG$: $EF$ общая, $EH = FG$ (из пары 1), $\angle FEH = \angle PEH = \angle PFG = \angle EFG$ (из пары 1). Равны.

Ответ: да: $EPH$ и $FPG$; $EPG$ и $FPH$; $EGH$ и $FHG$; $EFH$ и $FEG$.

Уровень B

№ 8.8

На рис. 8.7 $AB = AC$, $AE = AD$. Докажи, что $BD = CE$.

Как думать. $BD$ и $CE$ — стороны двух треугольников с общим углом $A$: $ABD$ и $ACE$.

Решение. Дано: $AB = AC$, $AE = AD$. Доказать: $BD = CE$. Рассмотрим $\triangle ABD$ и $\triangle ACE$:

1. $AB = AC$ (дано);
2. $AD = AE$ (дано);
3. $\angle A$ — общий. Он лежит между $AB$ и $AD$ и между $AC$ и $AE$. По первому признаку $\triangle ABD = \triangle ACE$. Значит, $BD = CE$ как соответствующие стороны.

Ответ: доказано.

№ 8.9

На рис. 8.7 $AE = AD = 2$ см, $BE = CD = 3$ см, $BD = 4$ см. Найди $CE$.

Как думать. Чтобы воспользоваться № 8.8, нужно сначала убедиться, что $AB = AC$.

Решение. $AB = AE + EB = 2 + 3 = 5$ см, $AC = AD + DC = 2 + 3 = 5$ см. Значит, $AB = AC$. Как в № 8.8: $\triangle ABD = \triangle ACE$, поэтому $CE = BD = 4$ см.

Ответ: $CE = 4$ см.

№ 8.10

На рис. 8.8 $AB = AD$ и угол $BAC$ равен углу $DAC$. Докажи, что $BC = DC$.

Как думать. $AC$ — общая сторона двух треугольников $ABC$ и $ADC$.

Решение. Дано: $AB = AD$, $\angle BAC = \angle DAC$. Доказать: $BC = DC$. В $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$:

1. $AB = AD$ (дано);
2. $AC$ — общая;
3. $\angle BAC = \angle DAC$ (дано), он между $AB$ и $AC$, а также между $AD$ и $AC$. Первый признак: $\triangle ABC = \triangle ADC$, значит $BC = DC$.

Ответ: доказано.

№ 8.11

На сторонах угла $AOB$ отложены равные отрезки $OC$ и $OD$ (рис. 8.9). Произвольная точка $E$ биссектрисы угла соединена с $C$ и $D$. Докажи, что $EC = ED$.

Как думать. Биссектриса делит угол пополам, значит, получаем два равных угла при $O$. Сторона $OE$ общая.

Решение. Дано: $OC = OD$, $OE$ — биссектриса угла $AOB$. Доказать: $EC = ED$. В $\triangle OCE$ и $\triangle ODE$:

1. $OC = OD$ (дано);
2. $OE$ — общая;
3. $\angle COE = \angle DOE$, так как $OE$ биссектриса. Первый признак: $\triangle OCE = \triangle ODE$, откуда $EC = ED$.

Ответ: доказано.

№ 8.12

На рис. 8.10 $AO = OB$ и $DO = OC$. Докажи, что $AD = BC$.

Как думать. Отрезки $AB$ и $DC$ пересекаются в $O$, значит, углы при $O$ вертикальные.

Решение. Дано: $AO = OB$, $DO = OC$. Доказать: $AD = BC$. В $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$:

1. $AO = BO$ (дано);
2. $DO = CO$ (дано);
3. $\angle AOD = \angle BOC$ как вертикальные. Первый признак: $\triangle AOD = \triangle BOC$, значит $AD = BC$.

Ответ: доказано.

№ 8.13

На рис. 8.11 угол $A$ равен углу $B$, $AD = BC$. Докажи, что $AC = BD$.

Как думать. $AB$ общая у треугольников $DAB$ и $CBA$. Ищем треугольники, в которых $AC$ и $BD$ — соответствующие стороны.

Решение. Дано: $\angle DAB = \angle CBA$, $AD = BC$. Доказать: $AC = BD$. В $\triangle DAB$ и $\triangle CBA$:

1. $AD = BC$ (дано);
2. $AB$ — общая;
3. $\angle DAB = \angle CBA$ (дано), он лежит между $AD$ и $AB$ и между $BC$ и $BA$. Первый признак: $\triangle DAB = \triangle CBA$, и $D \to C$, $A \to B$, $B \to A$. Поэтому $DB = CA$.

Ответ: доказано.

№ 8.14

Деревня $B$ в 15 км к югу от $A$, деревня $C$ в 7 км к северо-востоку от $B$. Деревня $N$ в 15 км к западу от $M$, деревня $K$ в 7 км к северо-западу от $M$. Сравни расстояния между деревнями $A$, $C$ и $N$, $K$.

Как думать. Запиши данные как два треугольника: $ABC$ и $MNK$. Вспомни стороны света: между севером и северо-востоком угол $45^\circ$.

Решение. В $\triangle ABC$: $AB = 15$ км, $BC = 7$ км. Из $B$ деревня $A$ лежит на севере, $C$ на северо-востоке, так что $\angle ABC = 45^\circ$. В $\triangle MNK$: $MN = 15$ км, $MK = 7$ км. Из $M$ деревня $N$ на западе, $K$ на северо-западе, поэтому $\angle NMK = 45^\circ$. Итак, $AB = MN$, $BC = MK$, $\angle B = \angle M$ (угол между равными сторонами). По первому признаку $\triangle ABC = \triangle MNK$, значит $AC = NK$.

Ответ: расстояния равны.

Уровень C

№ 8.15

Докажи, что в равных треугольниках равны соответствующие медианы.

Как думать. Берём равные $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ и по одной медиане из вершин $A$ и $A_1$. Хотим найти пару равных треугольников, в которых эти медианы — стороны.

Решение. Дано: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$; $AM$ и $A_1M_1$ — медианы ($M$ — середина $BC$, $M_1$ — середина $B_1C_1$). Доказать: $AM = A_1M_1$.

1. Так как треугольники равны, $BC = B_1C_1$, поэтому половины равны: $BM = B_1M_1$.
2. Рассмотрим $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$: $AB = A_1B_1$ (равные треугольники), $BM = B_1M_1$ (п. 1), $\angle B = \angle B_1$ (равные треугольники).
3. Угол $B$ лежит между $AB$ и $BM$, угол $B_1$ между $A_1B_1$ и $B_1M_1$. Первый признак: $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$, откуда $AM = A_1M_1$. Для других вершин рассуждение такое же.

Ответ: доказано.

📕 В ответах учебника напечатано «8.15. Нет», но это задача на доказательство, и утверждение верное: медианы равных треугольников действительно равны. Ответ «Нет» относится к другому заданию.

№ 8.16

На рис. 8.12 точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой, точки $D_1$ и $D_2$ лежат по разные стороны от неё. Докажи: если $\triangle ABD_1 = \triangle ABD_2$, то $\triangle BCD_1 = \triangle BCD_2$.

Как думать. Из равенства первых двух треугольников получим $BD_1 = BD_2$ и $\angle ABD_1 = \angle ABD_2$. Углы при $B$ в новых треугольниках смежные с этими.

Решение. Дано: $\triangle ABD_1 = \triangle ABD_2$ ($B$ между $A$ и $C$). Доказать: $\triangle BCD_1 = \triangle BCD_2$.

1. Из равенства: $BD_1 = BD_2$ и $\angle ABD_1 = \angle ABD_2$.
2. Углы $CBD_1$ и $ABD_1$ смежные, значит $\angle CBD_1 = 180^\circ - \angle ABD_1$. Аналогично $\angle CBD_2 = 180^\circ - \angle ABD_2$. Поэтому $\angle CBD_1 = \angle CBD_2$.
3. В $\triangle BCD_1$ и $\triangle BCD_2$: $BC$ общая, $BD_1 = BD_2$, $\angle CBD_1 = \angle CBD_2$. Первый признак.

Ответ: доказано.

№ 8.17

Чтобы измерить расстояние между точками $A$ и $B$, до которых нельзя дойти по прямой (рис. 8.13), выбирают точку $C$, откладывают $CD = AC$ и $CE = BC$. Тогда $ED$ равно искомому расстоянию. Объясни почему.

Как думать. Нужны два треугольника, в которых $AB$ и $DE$ — соответствующие стороны: это $ABC$ и $DEC$.

Решение. В $\triangle ABC$ и $\triangle DEC$:

1. $AC = DC$ (так отложили);
2. $BC = EC$ (так отложили);
3. $\angle ACB = \angle DCE$ как вертикальные (точки $A$, $C$, $D$ на одной прямой и $B$, $C$, $E$ тоже). Первый признак: $\triangle ABC = \triangle DEC$. Значит, $AB = DE$, а $DE$ мы можем измерить на суше.

Ответ: $AB = DE$ по первому признаку, поэтому длину $DE$ можно измерить вместо $AB$.

№ 8.18

Верно ли, что если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны?

Как думать. В первом признаке важно слово «между». Если угол лежит не между равными сторонами, вывода нет. Нужен пример, который это показывает.

Решение. Возьмём угол $B$ и луч из него. Отметим точку $A$ вне луча, и на луче две точки $C$ и $C_1$ на одинаковом расстоянии от $A$, например $B(0;0)$, $A(3;2)$, $C(1;0)$, $C_1(5;0)$: $AC = AC_1 = \sqrt{8}$. У $\triangle ABC$ и $\triangle ABC_1$ общая сторона $AB$, общий угол $B$, и $AC = AC_1$. Но угол $B$ не между $AB$ и $AC$, и треугольники разные: $BC = 1$, $BC_1 = 5$.

Ответ: нет, неверно, если равный угол лежит не между равными сторонами.

№ 8.19

Подготовься к новой теме. Два угла одного треугольника равны двум углам другого. Будут ли треугольники равны? Приведи пример.

Как думать. Подумай про маленький и большой треугольники с одинаковой формой.

Решение. Возьмём два треугольника с углами $60^\circ$, $45^\circ$ и $75^\circ$. Один со стороной $5$ см между углами $60^\circ$ и $45^\circ$, другой со стороной $10$ см. Углы равны, а размеры разные, так что при наложении они не совпадут.

Ответ: нет, не обязательно.

Шпаргалка

• Равные треугольники можно наложить друг на друга. У них равны все соответствующие стороны и углы.
• Первый признак: две стороны и угол между ними.
• Три равных угла не дают равенства треугольников.
• Типичные «подарки» в задачах: общая сторона, вертикальные углы, середина отрезка, биссектриса, перпендикуляр.

Мини-тест