§ 1. Натурал сандардың жазылуы

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 1 тарау: Натурал сандар және нөл саны. 6–11-беттер.

Нені үйренесің

• Натурал қатар дегеніміз не екенін және оның неге соңы жоқ екенін түсіндіруді.
• Жұп және тақ цифрлар мен сандарды бір қарағаннан ажыратуды.
• Үлкен сандарды кластарға бөліп оқуды және жазуды.
• Санды разрядтық қосылғыштарға жіктеуді, тіпті цифрдың орнында әріп тұрса да.

Ой қозғау

Бұл — бірінші сабақ, сондықтан бастауыш сыныпта өткенді еске түсірейік. Алдымен ойша жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• 999 санынан кейін қандай сан келеді? 1000. Бірді қостық — сан төртмәнді болды.
• 5000 санының алдында қандай сан тұр? 4999.
• $4 \cdot 1000 + 7 \cdot 10 + 3$ неге тең? 4000 + 70 + 3 = 4073. Жүздіктер жоқ — олардың орнында нөл тұр.
• «Бір миллион» санын жазғанда неше цифр қажет? Жеті: 1 000 000.

💡 Байқадың ба? 4073 санындағы нөл жүздіктердің орнын «ұстап» тұр. Онсыз 473 шығар еді — мүлде басқа сан.

Тақырыпты талдаймыз

Санауға қолданылатын сандар

Сен спортзалдағы доптарды санап тұрсың: бір, екі, үш… Мұндай сандарды натурал сандар деп атайды. Оларды өсу ретімен жазсақ — 1, 2, 3, 4, 5, … — натурал қатар немесе натурал сандар қатары шығады.

Натурал қатардың басы бар — ол 1 саны. Ал соңы жоқ: әр саннан кейін алдыңғысынан 1-ге артық келесі сан келеді. Тіпті миллиардтан кейін де «миллиард бір» келеді.

📌 Нөл — натурал сан емес. Нөлмен заттарды санамайды.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан сұраңыз: «Ең үлкен натурал сан қандай?» Жақсы жауап: «Ондай сан жоқ — кез келген санға 1-ді қосуға болады».

Жұп және тақ

Кез келген натурал санды жазу үшін он цифр жеткілікті: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 0, 2, 4, 6, 8 цифрлары — жұп цифрлар, ал 1, 3, 5, 7, 9 — тақ цифрлар.

Сандармен одан да оңай: тек соңғы цифрға қараймыз. 3 578 саны жұп, өйткені 8 цифрымен аяқталады. Ал 1 000 001 саны тақ — соңында 1 тұр.

⚠️ Жиі кететін қате. Бірінші цифрға қарайды: «2 345 саны 2-мен басталады, демек жұп». Жоқ! Тек соңғы цифр шешеді. 2 345 — тақ сан.

Разрядтар мен кластар

Санның цифрлары өз орындарында, яғни разрядтарда тұрады. Оңнан солға қарай санаймыз: бірліктер, ондықтар, жүздіктер. Бұл үш разряд бірігіп бірліктер класын құрайды. Келесі үшеуі — мыңдықтар класы, одан кейін миллиондар класы, миллиардтар класы келеді.

105 246 783 009 санын алайық. Цифрларды басып, әрқайсысы нені білдіретінін қарап көр.

Оқимыз: «жүз бес миллиард екі жүз қырық алты миллион жеті жүз сексен үш мың тоғыз». Соңында «бірлік» деген сөзді айтпаймыз.

Кірпіштерден құралған сан

Кез келген санды разрядтық қосылғыштарға жіктеуге болады. Мысалы, 5307 санында 5 мыңдық, 3 жүздік, 0 ондық және 7 бірлік бар:

$5307 = 5 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 7$.

Ал цифрлардың орнына әріптер тұрса, санның үстіне сызықша қойылады: $\overline{3cd8}$. Сызықша: «бұл — бір сан, әріптердің көбейтіндісі емес» дегенді білдіреді. Жіктеуді дәл солай жасаймыз: $\overline{3cd8} = 3 \cdot 1000 + c \cdot 100 + d \cdot 10 + 8$.

🌟 Біздің цифрларды араб цифрлары дейді, бірақ оларды біздің заманымызға дейінгі III ғасырда Үндістанда ойлап тапқан. Еуропаға олар араб елдері арқылы жеткен. Ал римдіктердің өз таңбалары болған: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000). Кіші таңба үлкеннің алдында тұрса — азайтылады: IV = 4. Кейін тұрса — қосылады: VI = 6.

🌟 Римдік цифрлармен әлі күнге дейін ғасырларды жазады. Астана маңынан 15 км жерде 1999 жылы орны табылған ежелгі Бозақ қаласы VIII ғасырдың басында пайда болып, X—XI ғасырларда гүлденген.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Натурал қатарда $n$ санынан кейін қандай сан келеді? Ал одан бұрын ше? Кейін — $n + 1$. Бұрын — $n - 1$. Бірақ 1 санының алдында натурал сан жоқ.
• Сандарды жазуға қолданылатын таңбалар қалай аталады? Цифрлар деп.
• Көп таңбалы санның ең жоғарғы разрядында қандай цифр жазыла алмайды? Нөл. 0573 деп ешкім жазбайды — бұл жай ғана 573.
• Ең үлкен натурал сан бар ма? Жоқ. Кез келген санға 1-ді қосып, одан да үлкен сан алуға болады.
• Екі санның қосындысы жұп. Бұл қандай сандар? Не екеуі де жұп, не екеуі де тақ: 4 + 6 = 10, 3 + 5 = 8.
• Екі санның көбейтіндісі жұп. Бұл қандай сандар? Олардың ең болмағанда біреуі жұп: 3 · 4 = 12.
• Қосындысы тақ болса ше? Бір сан жұп, екіншісі тақ: 4 + 7 = 11.
• Көбейтіндісі тақ болса ше? Екеуі де тақ: 3 · 7 = 21.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1

Мәтінде кездесетін сандарды цифрмен жазыңдар: екі мың алтыншы жылдың қыркүйек айында Астана қаласында Бейбітшілік және келісім сарайы («Пирамида» деп аталған) ашылды. Бұл ғимараттың биіктігі — алпыс екі метр, яғни ол жиырма бес қабатты үйдің биіктігіне тең. Сарайда бір мың бес жүз адам сыятын Опера және балет театры, мұражай, кітапхана, көрме және концерт залдары орналасқан.

Қалай ойлаймыз. Мәтіннен барлық сан-сөздерді тауып, цифрмен жазамыз.

Шешуі. Ашылған жыл — 2006; биіктігі — 62 м; үй — 25 қабатты; театрдағы орын — 1500.

Жауабы: 2006; 62; 25; 1500.

№ 2

Сөйлемде кездесетін сандарды жазыңдар: 1) Жер бетіндегі материктер мен аралдардың ауданы — шамамен тоғыз миллион шаршы метр. 2) Жер бетіндегі мұхиттардың ауданы — шамамен үш жүз алпыс бір миллион шаршы километр. 3) Материктердің теңіз деңгейіне қатысты орташа биіктігі — сегіз жүз алпыс метр.

Қалай ойлаймыз. «Миллион» деген сөзден кейін тағы екі толық класс — мыңдар мен бірліктер — келеді, яғни алты нөл.

Шешуі.

1. 9 000 000 м².
2. 361 000 000 км².
3. 860 м.

Жауабы: 9 000 000 м²; 361 000 000 км²; 860 м.

📕 Қазақша оқулықта бірінші сөйлемде «шамамен тоғыз миллион шаршы метр» деп жазылған. Жер құрлығының нақты ауданы — шамамен 149 миллион шаршы километр, сондықтан мұнда сан мен өлшем бірлігі қате болуы мүмкін. Біз оқулықтағы жазылуымен шықтық.

№ 3

1) Есепте берілген сандарды оқыңдар: 2016 жылдың басында Жер бетінің халқы 7 309 680 851 адамға жетті, кейбір елдердің халықтар саны төмендегі 3-кестеде көрсетілген. 2) 3-кестеде көрсетілген сандардың қайсысы жұп, қайсысы тақ? 3) 3-кестеде көрсетілген сандардан а) тақ сандарды; ә) жүз мыңдық разрядында 5 цифры жазылған санды; б) 12 ондық миллионы бар санды теріп жазыңдар. 4) 3-кестеде берілген ең кіші натурал санды разрядтық қосылғыштар түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жұп-тақтығын соңғы цифр бойынша анықтаймыз. Жүз мыңдықтар разряды — мыңдар класындағы бірінші (сол жақтағы) цифр. «12 ондық миллион» — 120-дан 129 миллионға дейінгі сан.

Шешуі.

1. Мысалы, Жер халқы: жеті миллиард үш жүз тоғыз миллион алты жүз сексен мың сегіз жүз елу бір. Қалғандарын да дәл солай, кластары бойынша оқимыз.
2. Тақ сандар (соңында 1 немесе 5): 7 309 680 851; 3 061 425; 35 985 751. Қалғандары — жұп.
3. Жүз мыңдықтар разрядында 5 тұрған сан: тек Оңтүстік Корея — 51 529 338 (мыңдар класы — 529, оның бірінші цифры 5).
4. 12 ондық миллион — Жапония: 126 880 000 (бұл 12 ондық миллион және тағы 6 880 000).
5. Ең кіші сан — 3 061 425 (Моңғолия): $3 \cdot 1,000,000 + 6 \cdot 10,000 + 1 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 5$.

Жауабы: а) 7 309 680 851; 3 061 425; 35 985 751; ә) 51 529 338; б) 126 880 000; $3,061,425 = 3 \cdot 1,000,000 + 6 \cdot 10,000 + 1 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 5$.

B деңгейі

№ 4

Мына сандардың арасында қанша натурал сан орналасқан: 1) 7 және 23; 2) 189 және 245; 3) 1002 және 1332?

Қалай ойлаймыз. 7 мен 10 арасында 8 және 9 тұр — екі сан, ал $10 - 7 = 3$. Демек, «арасындағы» сандар саны айырмадан бірге кем.

Шешуі.

1. $23 - 7 - 1 = 15$.
2. $245 - 189 - 1 = 55$.
3. $1332 - 1002 - 1 = 329$.

Жауабы: 1) 15; 2) 55; 3) 329.

⚠️ Жиі кететін қате. «16» деп жауап береді — жай ғана азайтады. Кішкентай сандармен тексер: 1 мен 3 арасында тек бір сан (2) бар, ал $3 - 1 = 2$.

№ 5

1) $\overline{5a}$; 2) $\overline{d2}$; 3) $\overline{m4n}$; 4) $\overline{86k}$; 5) $\overline{mn1}$; 6) $\overline{a16b}$; 7) $\overline{9abc}$; 8) $\overline{mnkl}$ көп таңбалы сандарын разрядтық қосылғыштардың қосындысы түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әріп те — жай ғана белгісіз цифр. Ол қай разрядта тұрғанына қарап, 1-ге, 10-ға, 100-ге немесе 1000-ға көбейтеміз.

Шешуі.

1. $\overline{5a} = 5 \cdot 10 + a$
2. $\overline{d2} = d \cdot 10 + 2$
3. $\overline{m4n} = m \cdot 100 + 4 \cdot 10 + n$
4. $\overline{86k} = 8 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + k$
5. $\overline{mn1} = m \cdot 100 + n \cdot 10 + 1$
6. $\overline{a16b} = a \cdot 1000 + 1 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + b$
7. $\overline{9abc} = 9 \cdot 1000 + a \cdot 100 + b \cdot 10 + c$
8. $\overline{mnkl} = m \cdot 1000 + n \cdot 100 + k \cdot 10 + l$

Жауабы: жоғарыдағы жазбалар.

№ 6

Периметрі 14 см-ге тең тіктөртбұрыштың ұзындығы мен ені қандай натурал сандармен өрнектелуі мүмкін?

Қалай ойлаймыз. Периметр = (ұзындық + ен) · 2. Демек, ұзындық + ен = 14 : 2 = 7 см. Қосындысы 7 болатын натурал сан жұптарын іздейміз.

Шешуі. $1 + 6$, $2 + 5$, $3 + 4$. $6 + 1$ сияқты жұптар — сол тіктөртбұрыш, тек бұрылған.

Жауабы: 1 см және 6 см; 2 см және 5 см; 3 см және 4 см.

C деңгейі

№ 7

1) $\overline{3a}$ және $\overline{4a}$; 2) $\overline{3ba}$ және $\overline{4ba}$ сандарының арасында қанша натурал сан орналасқан?

Қалай ойлаймыз. Нақты цифрмен байқап көр: $a = 5$. 35 пен 45 арасында қанша сан бар? Айырма 10, демек, арасында $10 - 1 = 9$ сан.

Шешуі.

1. $\overline{4a} - \overline{3a} = 10$ (тек ондықтар ғана өзгеше). Арасында $10 - 1 = 9$ сан бар.
2. $\overline{4ba} - \overline{3ba} = 100$ (тек жүздіктер ғана өзгеше). Арасында $100 - 1 = 99$ сан бар.

Жауабы: 1) 9; 2) 99.

№ 8

Бірдей цифрлар қайталанбайтындай етіп 1) 2; 8; 7; 2) 5; 0; 9; 3) 4; 5; 6; 7 цифрларынан тұратын барлық үштаңбалы сандарды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ретімен түгел тізіп шығамыз: алдымен бірінші цифрды, сосын екіншісін, содан кейін үшіншісін таңдаймыз. Сан нөлден басталмайды.

Шешуі.

1. 278, 287, 728, 782, 827, 872 — 6 сан.

2. 509, 590, 905, 950 — 4 сан (нөлден бастауға болмайды).

3. Төрт цифрдан кез келген үшеуін аламыз:

   • 4-тен басталатындар: 456, 457, 465, 467, 475, 476;
   • 5-тен басталатындар: 546, 547, 564, 567, 574, 576;
   • 6-дан басталатындар: 645, 647, 654, 657, 674, 675;
   • 7-ден басталатындар: 745, 746, 754, 756, 764, 765.

   Барлығы 24 сан.

Жауабы: 1) 6 сан; 2) 4 сан; 3) 24 сан (тізімдері жоғарыда).

№ 9

1) Цифрлары әртүрлі және кіші разрядтан бастап цифрлары өсу ретімен орналасқан ең үлкен төрттаңбалы санды жазыңдар. 2) Тұратын пәтерінің нөмірін атауды сұрағанда Абзал пәтерінің нөмірі бірлік разрядта тұрған цифрдан 26 есе артық және барлық цифрлары жұп екенін айтты. Абзалдың пәтерінің нөмірі қандай?

Қалай ойлаймыз. Бірінші бөлікте санды оңнан солға қарай оқимыз: бірліктер — ең кіші цифр, мыңдықтар — ең үлкені. Екіншісінде нөмір қандай цифрмен аяқталатынын іріктеп көреміз.

Шешуі.

1. Сан үлкен болсын десек, ең үлкен цифрларды аламыз: 9, 8, 7, 6. Оңнан солға қарай олар өсуі керек: бірліктер — 6, ондықтар — 7, жүздіктер — 8, мыңдықтар — 9. Шығады 9876.
2. Іріктеу:

Жауабы: 1) 9876; 2) 208.

Хабарлама дайындаңдар

№ 10

Цифрлар қалай пайда болған?

Қалай ойлаймыз. Қысқаша айтып бер: бұрын қалай санаған және әртүрлі халықтар қандай таңбалар ойлап тапқан. Күндерін энциклопедиядан тексер.

Шешуі. Хабарламаның үлгісі:

Алғашында адамдар саусақпен санаған, таяқшаларға із салған. Мысырлықтар сандарды иероглиф-таңбалармен жазған: таяқша — бір, доға — он. Майя тайпасында нүктелер мен сызықшалар болған, ал славяндар сандарды әріптермен, үстіне ерекше таңба қойып жазған. Римдіктер I, V, X, L, C, D, M таңбаларын ойлап тапқан. Біздің он цифр Үндістанда пайда болып, Еуропаға араб ғалымдары арқылы жеткен. Үндістердің басты жаңалығы — нөл және разрядтар бойынша жазу: бір цифр орнына қарай әртүрлі мән береді.

Жауабы: жоғарыдағы үлгі.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 11

Жақша ішінде көрсетілген өлшемдерден 1) кесенің биіктігіне (10 мм; 10 см; 10 дм); 2) бөлменің биіктігіне (30 см; 30 дм; 30 км); 3) оқушының бойына (100 мм; 100 см; 100 дм); 4) сызғыштың ұзындығына (20 мм; 20 см; 20 дм); 5) партаның еніне (60 мм; 600 мм; 600 дм); 6) оқулықтың қалыңдығына (15 мм; 15 см; 15 дм) сәйкес келетін ұзындықты таңдаңдар.

Қалай ойлаймыз. Затты көз алдыңа келтіріп, өзің білетінмен салыстыр: 1 см — тырнақтың ені, 1 дм — алақанның ені, 1 м — үлкен қадам.

Шешуі.

1. Кесе — 10 см (алақандай биіктікте).
2. Бөлме — 30 дм, яғни 3 м.
3. Оқушы — 100 см, яғни 1 м (үш нұсқаның ішінде ең жақыны).
4. Сызғыш — 20 см.
5. Парта — 600 мм, яғни 60 см.
6. Оқулық — 15 мм, яғни 1,5 см.

Жауабы: 10 см; 30 дм; 100 см; 20 см; 600 мм; 15 мм.

№ 12

Төмендегі «Кейбір ұзындықтар бірлігі» мәліметтерін қолданып, өз қолыңның қарысы мен білегін өлшеп, салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сызғышпен немесе сантиметрлік лентамен өлше. Білегін өлшеуге біреуден көмектесуін сұра.

Шешуі. Мысалы: бесінші сынып оқушысының қарысы шамамен 16–18 см — кестедегі 21 см-ден аз. Білегі де кестедегі ескі өлшемдерден (мысалы, тұтамнан — 4 см 5 мм) бірнеше есе ұзын болады. Ескі өлшемдерді ересек адамның қолы бойынша алған, сондықтан олар үлкенірек.

Жауабы: әркімдікі әртүрлі; балаларда қарыс әдетте 21 см-ден кіші.

🌟 Кейбір ұзындықтар бірлігі: 1 тұтам ≈ 4 см 5 мм; қарыс — 21 см (бас бармақ пен ортаңғы саусақ ұштарының арақашықтығы); 1 құлаш ≈ 2 м 13 см; 1 шақырым ≈ 1 км 67 м; 1 дюйм ≈ 2 см 5 мм; 1 фут ≈ 30 см 5 мм; 1 ярд ≈ 91 см 4 мм; 1 миль ≈ 1 км 609 м. Телефон экранының диагоналі де дюймен өлшенеді!

№ 13

1) Айгүл жидені әшекейлеуге ұзындықтары 5 см, 6 см, 10 см болатын жолақтарды 0, 4 және 9 сандарға сәйкес бөліктері ғана сақталған сантиметрлік сызғышпен өлшеп қию керек. Айгүл осы сызғыштың көмегімен қажет жолақтарды өлшей ала ма? 2) Түзу, кесінді және сәулені салыңдар. Суретте осы геометриялық фигураларды қалай ажыратуға болады?

Қалай ойлаймыз. Сызғышпен кесінді салып қана қоймай, «азайтуға» да болады: 4-тен 9-ға дейін — 5 см. Ал бірнеше кесіндіні қатарынан салуға да болады.

Шешуі.

1. 5 см — 4 және 9 бөлімдерінің арақашықтығы: $9 - 4 = 5$.
2. 10 см — 5 см-ді екі рет қатарынан салу: $5 + 5 = 10$.
3. 6 см — 10 см өлшеп (жоғарыдағыдай), соңынан 4 см қиып тастау: $10 - 4 = 6$.
4. Сурет: кесіндінің екі ұшы бар, оны өлшеуге болады. Сәуленің бір ұшы (басы) бар, ал екінші жағына қарай шексіз — көрсеткі саламыз немесе сызықты жай үзіп тастаймыз. Түзудің ұшы мүлде жоқ.

Жауабы: 1) иә, өлшей алады: $5 = 9 - 4$, $10 = 5 + 5$, $6 = 10 - 4$; 2) кесіндінің 2 ұшы, сәуленің 1, түзудің ешқайсысы жоқ.

Жадынама

• Санның жұп-тақтығы — соңғы цифрына қарай анықталады.
• Үлкен санды оңнан солға қарай үш цифрдан кластарға бөлеміз.
• $5307 = 5 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 7$.
• $a$ және $b$ ($a < b$) сандарының арасында $b - a - 1$ натурал сан бар.
• Ең жоғарғы разряд ешқашан нөл болмайды.

Шағын тест