§ 2. Координаталық сәуле

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 1 тарау: Натурал сандар және нөл саны. 12–16-беттер.

Нені үйренесің

• Координаталық сәуле салуды: басы, бірлік кесінді, бағыт.
• Суреттен нүктенің координатасын табуды, тіпті бір бөлік 10 немесе 100 болса да.
• Нүктелерді координаталары бойынша белгілеуді және $M,(7)$ жазуын оқуды.
• Нүктені оңға және солға бірнеше бірлікке жылжытуды.

Ой қозғау

Өткен сабақтың № 11–13 жаттығуларын еске түсіріп, ұзындық бірліктерін қайталайық.

• Кесенің биіктігі қанша: 10 мм, 10 см әлде 10 дм? 10 см — шамамен алақан.
• Бөлменің биіктігі — 30 см, 30 дм әлде 30 км? 30 дм, яғни 3 м.
• Сызғышта тек 0, 4 және 9 бөлімдері қалды. 5 см-ді қалай өлшейміз? 4-тен 9-ға дейін: $9 - 4 = 5$ см.
• Сәуле кесіндіден немен ерекшеленеді? Кесіндінің екі ұшы бар, ал сәуленің бір ұшы — басы ғана бар.

💡 Кесіндіні сызғышпен қатарынан көп рет салуға болады — қысқа сызғышпен ұзын лентаны осылай өлшейсің. Координаталық сәуленің басты құпиясы да дәл осы тәсіл.

Тақырыпты талдаймыз

Өз ұзындық бірлігіміз

Біз миллиметрмен, сантиметрмен, метрмен, километрмен өлшейміз. Бөлменің ұзындығын — метрмен, қаламның ұзындығын — сантиметрмен, көліктің жүрген жолын — километрмен. Ал бұрын тұтаммен, қарыспен, шақырыммен өлшеген.

📌 Ұзындық бірлігі ретінде кез келген кесіндіні алуға болады. Мұндай кесіндіні бірлік кесінді деп атайды.

Сызғыш-сәуле саламыз

$OX$ сәулесін салайық. $O$ нүктесінің астына 0 санын жазамыз. $O$ нүктесінен бірлік кесінді $OA$ салып, $A$ нүктесінің астына 1 жазамыз. Содан кейін дәл осындай кесінділерді бірінен соң бірін салып, 2, 3, 4, 5, 6… сандарын жазамыз.

Мұндай сәулені координаталық сәуле (оны сандық сәуле деп те атайды) дейді. $O$ нүктесі — координаталар басы. Нүктенің астындағы сан — оның координатасы, яғни «мекенжайы».

📌 Координаталық сәуле — басы (0) белгіленген, бірлік кесіндісі таңдалған және бағыты (көрсеткімен) көрсетілген сәуле.

Кез келген бөлікті бассаң, оның координатасын көресің.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан $M,(7)$ жазуын дауыстап оқуын сұраңыз. Дұрыс оқылуы: «$M$ нүктесінің координатасы 7-ге тең» немесе «координатасы 7-ге тең $M$ нүктесі». «M-ді 7-ге көбейту» емес.

Сәулені салу — үш қадам

1. Сәулені сал да, бағытын таңда (әдетте оңға қарай).
2. Координаталар басын — 0-ді белгіле.
3. Бірлік кесіндінің ұшын — 1-ді белгіле. Немесе ұзындығы бірліктерге ыңғайлы бөлінетін кесіндінің ұшын белгіле, мысалы 10 немесе 100.

Әр бөлікті жазу міндетті емес. 0 мен 1 жеткілікті — қалғаны түсінікті.

Сандар үлкен болғанда

70 немесе 300 санын бір-бір бірліктен санап белгілеу — ұзақ әрі қолайсыз. Сондықтан былай жасайды: бір бөлік — 10 (немесе 100). Бірінші бөлікке «10» деп жазсақ, төртінші бөліктің 40 екені бірден түсінікті.

⚠️ Жиі кететін қате. Жетінші бөлікте тұрған нүктені көріп, жазуына қарамай «7» деп жазады. Алдымен бір бөліктің неге тең екенін біл, содан кейін көбейт.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай кесінді бірлік кесінді бола алады? Кез келген. Оның ұзындығын өзіміз таңдаймыз.
• Сандық сәулені қалай саламыз? Сәуле сызып, басы 0-ді белгілейміз, бірлік кесінді салып, 1-ді жазамыз. Көрсеткі бағытты көрсетеді.
• Сандық сәуле неге координаталық сәуле деп аталады? Оның әр нүктесіне сан — координата сәйкес келеді.
• $D,(14)$ жазуы нені білдіреді? $D$ нүктесінің координатасы 14: ол координаталар басынан 14 бірлік кесіндіге оң жақта тұр.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 14

1) 4-суреттегі $A$, $C$ және $D$ нүктелерінің координаталарын табыңдар (бір бөлік — 1; $A$ — 4-ші бөлікте, $C$ — 9-шы, $D$ — 10-шы). 2) 5-суреттегі $E$, $F$, $L$, $M$ және $N$ нүктелерінің координаталарын табыңдар (бірінші бөлік 10 деп белгіленген; $F$ — 5-ші бөлікте, $N$ — 7-ші, $M$ — 11-ші, $L$ — 14-ші).

Қалай ойлаймыз. Бөліктерді нөлден бастап санаймыз. Бір бөлік — 10 болса, бөліктің нөмірін 10-ға көбейтеміз.

Шешуі.

1. 4-сурет: $A,(4)$, $C,(9)$, $D,(10)$.
2. 5-сурет: $E$ нүктесі бірінші бөлікте 10 деп белгіленген, демек бір бөлік — 10. $E,(10)$, $F,(50)$, $N,(70)$, $M,(110)$, $L,(140)$.

Жауабы: 1) $A,(4)$, $C,(9)$, $D,(10)$; 2) $E,(10)$, $F,(50)$, $L,(140)$, $M,(110)$, $N,(70)$.

№ 15

Координаталар басынан 1) $P$, $S$, $T$ және $Q$ нүктелеріне дейінгі қашықтық неге тең (6-сурет: $S$ — 4-ші бөлікте, ол 40 деп белгіленген; $P$ — 1-ші, $T$ — 5-ші, $Q$ — 11-ші)? 2) $X$, $Y$ және $Z$ нүктелеріне дейінгі қашықтық неге тең (7-сурет: бірінші бөлік — 30; $X$ — 2-ші бөлікте, $Y$ — 5-ші, $Z$ — 9-шы)?

Қалай ойлаймыз. Басынан нүктеге дейінгі қашықтық оның координатасына тең. Демек, есеп бұрынғыдай: координаталарды табу.

Шешуі.

1. 6-сурет: төрт бөлік — 40, демек бір бөлік — $40 : 4 = 10$. $P$ — 10, $S$ — 40, $T$ — 50, $Q$ — 110.
2. 7-сурет: бір бөлік — 30. $X$ — $2 \cdot 30 = 60$, $Y$ — $5 \cdot 30 = 150$, $Z$ — $9 \cdot 30 = 270$.

Жауабы: 1) $OP = 10$, $OS = 40$, $OT = 50$, $OQ = 110$; 2) $OX = 60$, $OY = 150$, $OZ = 270$.

№ 16

1) 8-суретте берілген тауықтың ($Т$), қаздың ($Қ$), күркетауықтың ($К$) массаларына сәйкес $Т$, $Қ$, $К$ нүктелерін координаталық сәуледе белгілеңдер (тауық — 5 кг, қаз — 10 кг, күркетауық — 20 кг). 2) Кенгуру ($К$), бөкен ($Б$), қабылан ($Қ$), қосаяқтың ($А$) секіру ұзындығы сәйкесінше 7 м, 10 м, 11 м, 2 м. Андардың секіру ұзындығын көрсететін $К$, $Б$, $Қ$, $А$ нүктелерін координаталық сәуледе белгілеңдер.

Қалай ойлаймыз. Ыңғайлы бірлік кесінді таңдаймыз. Құстар үшін — дәптердің 1 торы = 1 кг (20 тор қажет). Секірулер үшін — 1 тор = 1 м.

Шешуі.

1. Сәуле сызып, 0 мен 1-ді (бір тор) белгілейміз. $Т$ нүктесі 5-ші бөлікте, $Қ$ — 10-шы, $К$ — 20-шы.
2. Екінші сәуле: $А$ — 2-ші бөлікте, $К$ — 7-ші, $Б$ — 10-шы, $Қ$ — 11-ші.

Жауабы: $Т,(5)$, $Қ,(10)$, $К,(20)$; $А,(2)$, $К,(7)$, $Б,(10)$, $Қ,(11)$.

B деңгейі

№ 17

Координаталық сәуледе $K,(11)$ нүктесінің 1) сол жағында 4; 2) оң жағында 3 бірлік кесіндіге тең аралықта орналасқан нүктенің координатасын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сәуле бойымен солға қарай сандар кемиді — азайтамыз. Оңға қарай өседі — қосамыз.

Шешуі.

1. $11 - 4 = 7$.
2. $11 + 3 = 14$.

Жауабы: 1) 7; 2) 14.

№ 18

9-суретте берілген $M$, $N$, $S$, $K$, $P$ нүктелерінің координаталарын жазыңдар (алтыншы бөлік 600 деп белгіленген; $M$ — 2-ші бөлікте, $N$ — 3-ші, $S$ — 5-ші, $K$ — 7-ші, $P$ — 11-ші).

Қалай ойлаймыз. Алдымен бір бөліктің құнын табамыз: $600 : 6$.

Шешуі.

1. Бір бөлік: $600 : 6 = 100$.
2. $M$ — $2 \cdot 100 = 200$; $N$ — 300; $S$ — 500; $K$ — 700; $P$ — 1100.

Жауабы: $M,(200)$, $N,(300)$, $S,(500)$, $K,(700)$, $P,(1100)$.

№ 19

Балқаш ($Б$) көлінің тереңдігі 27 м. Бұл тереңдік Зайсан ($З$) көлінің тереңдігінен 12-ге артық және Қазақстандағы ең ірі көлдердің бірі Алакөлдің ($А$) тереңдігінен 2 есе кем. Зайсан көлі және Алакөлдің тереңдіктері қанша метрге тең? $А$, $Б$, $З$ нүктелерін координаталық сәуледе белгілеңдер.

Қалай ойлаймыз. «Зайсаннан 12 м артық» — демек, Зайсан 12 м таяз: азайтамыз. «Алакөлден 2 есе кем» — демек, Алакөл 2 есе терең: көбейтеміз.

Шешуі.

1. Зайсан: $27 - 12 = 15$ м.
2. Алакөл: $27 \cdot 2 = 54$ м.
3. Сәуледе (1 тор = 3 м немесе 1 мм = 1 м): $З,(15)$, $Б,(27)$, $А,(54)$.

Жауабы: Зайсан — 15 м, Алакөл — 54 м; $З,(15)$, $Б,(27)$, $А,(54)$.

⚠️ Жиі кететін қате. «Артық» деген сөзді естіп, бірден қосады: $27 + 12$. Өзіңнен сұра: кім терең? Балқаш Зайсаннан терең, демек Зайсанның саны кіші.

C деңгейі

№ 20

$A,(a)$ нүктесіне қарағанда 1) оңға; 2) солға қарай 2 бірлікке орналасқан $B$ нүктесінің координатасын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $a$ әрпі — қандай да бір сан. Оңға — 2 қосамыз, солға — 2 азайтамыз.

Шешуі.

1. Оңға: $B,(a + 2)$.
2. Солға: $B,(a - 2)$. Бұл тек $a \ge 2$ болғанда ғана мүмкін, әйтпесе нүкте сәуленің басынан «шығып кетеді».

Жауабы: 1) $a + 2$; 2) $a - 2$.

№ 21

1) $a = 2$; 2) $a = 40$; 3) $a = 300$ болса, онда $b$ және $c$ әріптерімен белгіленген сандарды табыңдар (10-сурет: $a$ — 2-ші бөлікте, $b$ — 4-ші, $c$ — 7-ші).

Қалай ойлаймыз. $a$ — 2 бөлік. Демек, бір бөлік — $a : 2$. Одан әрі бөліктің нөміріне көбейтеміз.

Шешуі.

1. $a = 2$: бір бөлік — 1. $b = 4$, $c = 7$.
2. $a = 40$: бір бөлік — 20. $b = 4 \cdot 20 = 80$, $c = 7 \cdot 20 = 140$.
3. $a = 300$: бір бөлік — 150. $b = 4 \cdot 150 = 600$, $c = 7 \cdot 150 = 1050$.

Жауабы: 1) $b = 4$, $c = 7$; 2) $b = 80$, $c = 140$; 3) $b = 600$, $c = 1050$.

№ 22

15 санын координаталық сәуледе белгілеу үшін координаталар басынан бірлік кесіндіге тең 15 кесіндіні салу керек. Егер осындай кесінділердің әрқайсысының ұзындығы үш бірлікке тең болса, онда 15 санын белгілеу үшін координаталық сәуледе қанша кесінді салу керек? 15 санын тағы қанша тәсілмен координаталық сәуледе белгілеуге болады?

Қалай ойлаймыз. Кесінділер 15-ке дәл, қалдықсыз сыюы керек. Демек, кесіндінің ұзындығы — 15 бөлінетін сан.

Шешуі.

1. Ұзындығы 3 болатын кесінділер: $15 : 3 = 5$ кесінді.
2. 15 санына нені бөлуге болады? 1-ге, 3-ке, 5-ке және 15-ке. Ұзындығы 1 және 3 болатындары бұрын қарастырылды.
3. Жаңа тәсілдер: ұзындығы 5 бірлік болатын 3 кесінді және ұзындығы 15 бірлік болатын 1 кесінді.

Жауабы: 5 кесінді; тағы 2 тәсіл — ұзындығы 5 бірлік болатын 3 кесінді немесе ұзындығы 15 бірлік болатын 1 кесінді.

Хабарлама дайындаңдар

№ 23

Сызғыш қалай пайда болған?

Қалай ойлаймыз. Бұрын нені өлшеу құралы ретінде қолданғанын және бөліктер қалай пайда болғанын айтып бер. Деректерді энциклопедиямен салыстырып көр.

Шешуі. Хабарламаның үлгісі:

Алғашында ұзындықты «дене мүшелерімен» өлшеген: саусақпен, қарыспен, шынтақпен, қадаммен. Бірақ әркімнің қолы әртүрлі, сондықтан өлшемдер сәйкес келмеген. Сонда сызаттары бар өлшеуіш таяқтар жасай бастаған — мұндайларды ежелгі мысырлықтардан және Үндістаннан тапқан. Кейін бірдей өлшемдер туралы келісіп алған: Ресейде аршын, Англияда фут пен дюйм болған. Францияда метр ойлап тапқаннан кейін сызғыштарды сантиметрмен және миллиметрмен бөлетін болған. Қарапайым мектеп сызғышының өзі — кішкентай координаталық сәуле: онда 0, бірлік кесіндісі 1 см және бағыты бар.

Жауабы: жоғарыдағы үлгі.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 24

1) Елімізде Бұқтырма су қоймасының ауданы 5490 км², ал Ресейдегі Братск су қоймасының ауданы 5470 км². Қай су қоймасының ауданы үлкен? 2) Егер 2 699 700 км², 2 724 900 км² аудандарының бірі еліміздің жалпы ауданын ($Ж$), екіншісі құрлық ауданын ($Қ$) берсе, су қорының ($С$) ауданын, жалпы және құрлықтың ауданын табыңдар. Осы аудандарды салыстырыңдар. Шыққан теңсіздіктерді жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жалпы аудан — құрлық пен судың қосындысы, сондықтан ол үлкен. Су = жалпы − құрлық.

Шешуі.

1. 5490 > 5470: Бұқтырма су қоймасы 20 км²-ге үлкен.
2. Жалпы аудан — $Ж = 2,724,900$ км², құрлық — $Қ = 2,699,700$ км².
3. Су: $С = 2,724,900 - 2,699,700 = 25,200$ км².
4. Теңсіздіктер: $2,724,900 > 2,699,700$; $2,699,700 > 25,200$; $25,200 < 2,724,900$.

Жауабы: 1) Бұқтырма; 2) жалпы аудан 2 724 900 км², құрлық 2 699 700 км², су 25 200 км²; $25,200 < 2,699,700 < 2,724,900$.

№ 25

Сандарды салыстырыңдар: 1) 93 және 89; 2) 201 және 210; 3) 839 және 893; 4) 672 және 7002; 5) 4242 және 4224; 6) 53 711 және 6999.

Қалай ойлаймыз. Алдымен цифрларын санаймыз: кімнің разряды көп болса, сол үлкен. Цифрлар саны бірдей болса, солдан оңға қарай алғашқы айырмашылыққа дейін салыстырамыз.

Шешуі.

1. 93 > 89 — ондықтар көп.
2. 201 < 210 — жүздіктер тең, ондықтар 0 < 1.
3. 839 < 893 — ондықтар 3 < 9.
4. 672 < 7002 — үш цифрға қарсы төрт цифр.
5. 4242 > 4224 — ондықтар 4 > 2.
6. 53 711 > 6999 — бес цифрға қарсы төрт цифр.

Жауабы: 93 > 89; 201 < 210; 839 < 893; 672 < 7002; 4242 > 4224; 53 711 > 6999.

№ 26

Дұрыс теңсіздікті көрсетіңдер: 1) $459 > 145$; 2) $900 > 90$; 3) $1028 > 1208$; 4) $7521 < 7539$; 5) $99,888 > 99,988$; 6) $62,624 > 62$.

Шешуі.

1. Дұрыс: жүздіктер 4 > 1.
2. Дұрыс: үш цифр екі цифрдан көп.
3. Бұрыс: жүздіктер 0 < 2, демек $1028 < 1208$.
4. Дұрыс: ондықтар 2 < 3.
5. Бұрыс: жүздіктер 8 < 9, демек $99,888 < 99,988$.
6. Дұрыс: бес цифр екі цифрдан көп.

Жауабы: 1), 2), 4), 6) дұрыс.

Жадынама

• Сәуле + басы 0 + бірлік кесінді + бағыт = координаталық сәуле.
• Алдымен бір бөліктің құнын біл, сосын бөлік санына көбейт.
• Нүктенің координатасы = басынан оған дейінгі қашықтық (бірлік кесіндімен).
• Оңға қарай — көп, солға қарай — аз.

Шағын тест