Қайталауға арналған жаттығулар

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 11 тарау: Қайталауға арналған жаттығулар. 118–123-беттер.

Нені қайталаймыз

Бұл — оқу жылының финалы. Мұнда жаңа ереже жоқ — тек білгеніңнің бәріне арналған есептер. Қиналсаң — керекті параграфқа үңіл.

• Теңдеулер және натурал сандарға амалдар — § 4, § 6 (1-бөлім).
• Санның дәрежесі — § 13 (1-бөлім).
• ЕҮОБ және ЕКОЕ, жай көбейткіштерге жіктеу — § 14, § 15 (1-бөлім).
• Жай бөлшектер мен аралас сандар: төрт амалдың бәрі — § 21–28 (1-бөлім).
• Әріпті өрнектер және формулалар: периметр, аудан, көлем — § 5, § 7 (1-бөлім), § 54 (2-бөлім).
• Мәтінді есептер, қозғалыс — § 8 (1-бөлім), § 42, § 46, § 49 (2-бөлім).
• Санның бөлшегі және бөлшегі бойынша санды табу, бірлесіп жұмыс істеу — § 29, § 30 (2-бөлім).
• Ондық бөлшектер және оларға амалдар қолдану — § 31–40 (2-бөлім).
• Дөңгелектеу — § 41 (2-бөлім).
• Пайыздар — § 47–49 (2-бөлім).
• Бұрыштар, дөңгелек және секторлар, кесінділер — § 50, § 52 (2-бөлім).

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бәрін бір кеште шығарудың қажеті жоқ. Бір кіші бөлімнен бастаған ыңғайлы. Егер бала қандай да бір тақырыпта «адасса», көрсетілген параграфты бірге ашып, ондағы 2–3 есепті талдаңыз.

💡 Бөлшектер мен ондық бөлшектер «аралас» келген мысалдардың басты құпиясы: алдымен қай түрде есептеу ыңғайлы екенін шеш. Егер бөлшек ондыққа оңай айналса ($\frac{1}{4} = 0{,}25$), ондықпен есепте. Егер айналмаса ($\frac{1}{3}$), бәрін жай бөлшекке айналдыр.

Жаттығуларды шығарамыз

1. Натурал сандар: теңдеулер, ЕҮОБ және ЕКОЕ

№ 937

Теңдеуді шешіңдер: 1) $213 \cdot (x - 89) = 9585$; 2) $(x + 51) \cdot 309 = 16,686$; 3) $4848 : (60 - x) = 101$; 4) $9435 : (77 - x) = 555$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаны бір «белгісіз бөлік» деп есептейміз. Алдымен жақшаны табамыз, сосын $x$-тің өзін.

Шешуі.

1. $x - 89 = 9585 : 213 = 45$, $x = 45 + 89 = 134$.
2. $x + 51 = 16,686 : 309 = 54$, $x = 54 - 51 = 3$.
3. $60 - x = 4848 : 101 = 48$, $x = 60 - 48 = 12$.
4. $77 - x = 9435 : 555 = 17$, $x = 77 - 17 = 60$.

Жауабы: 1) 134; 2) 3; 3) 12; 4) 60.

№ 938

Сандардың ең үлкен ортақ бөлімін табыңдар: 1) 27; 81; 54; 2) 32; 48; 102; 3) 50; 75; 250; 4) 44; 110; 154; 5) 38; 95; 190; 6) 46; 92; 115.

Қалай ойлаймыз. Алдымен тексер: сандардың ең кішісіне бәрі бөлінбей ме? Бөлінбесе — жай көбейткіштерге жіктеп, ортақтарын аламыз.

Шешуі.

1. 81 және 54 саны 27-ге бөлінеді: ЕҮОБ = 27.
2. $32 = 2^5$, $48 = 2^4 \cdot 3$, $102 = 2 \cdot 3 \cdot 17$. Ортақ көбейткіш тек 2: ЕҮОБ = 2.
3. $50 = 2 \cdot 5^2$, $75 = 3 \cdot 5^2$, $250 = 2 \cdot 5^3$: ЕҮОБ = $5^2 =$ 25.
4. $44 = 2^2 \cdot 11$, $110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$, $154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$: ЕҮОБ = $2 \cdot 11 =$ 22.
5. $38 = 2 \cdot 19$, $95 = 5 \cdot 19$, $190 = 2 \cdot 5 \cdot 19$: ЕҮОБ = 19.
6. $46 = 2 \cdot 23$, $92 = 4 \cdot 23$, $115 = 5 \cdot 23$: ЕҮОБ = 23.

Жауабы: 1) 27; 2) 2; 3) 25; 4) 22; 5) 19; 6) 23.

№ 939

Сандардың ең кіші ортақ еселігін табыңдар: 1) 60; 24; 36; 2) 30; 45; 105; 3) 80; 88; 220; 4) 36; 90; 200; 5) 56; 140; 350; 6) 72; 108; 144; 7) 90; 60; 135; 8) 100; 80; 120; 9) 35; 68; 187.

Қалай ойлаймыз. Әр санды жай көбейткіштерге жіктейміз. ЕКОЕ-ге барлық көбейткіш кіреді, әрқайсысы сандардың біреуінде ең көп кездесетін санша рет алынады.

Шешуі.

1. $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, $24 = 2^3 \cdot 3$, $36 = 2^2 \cdot 3^2$. ЕКОЕ $= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360$.
2. $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, $45 = 3^2 \cdot 5$, $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$. ЕКОЕ $= 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 630$.
3. $80 = 2^4 \cdot 5$, $88 = 2^3 \cdot 11$, $220 = 2^2 \cdot 5 \cdot 11$. ЕКОЕ $= 2^4 \cdot 5 \cdot 11 = 880$.
4. $36 = 2^2 \cdot 3^2$, $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $200 = 2^3 \cdot 5^2$. ЕКОЕ $= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 1800$.
5. $56 = 2^3 \cdot 7$, $140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$, $350 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$. ЕКОЕ $= 2^3 \cdot 5^2 \cdot 7 = 1400$.
6. $72 = 2^3 \cdot 3^2$, $108 = 2^2 \cdot 3^3$, $144 = 2^4 \cdot 3^2$. ЕКОЕ $= 2^4 \cdot 3^3 = 432$.
7. $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, $135 = 3^3 \cdot 5$. ЕКОЕ $= 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 540$.
8. $100 = 2^2 \cdot 5^2$, $80 = 2^4 \cdot 5$, $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$. ЕКОЕ $= 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 = 1200$.
9. Толық — жоғарыдағы виджетте: ЕКОЕ $= 26,180$.

Жауабы: 1) 360; 2) 630; 3) 880; 4) 1800; 5) 1400; 6) 432; 7) 540; 8) 1200; 9) 26 180.

⚠️ Жиі кететін қате. ЕҮОБ пен ЕКОЕ-ні шатастырады. Есте сақта: ЕҮОБ ең кіші саннан аспайды (бұл — бөлгіш). ЕКОЕ ең үлкен саннан кіші болмайды (бұл — еселік). Егер ЕКОЕ(60; 24; 36) саған 12 болып шықса — бір нәрсе шатасқан.

2. Жай бөлшектер және аралас сандар

№ 940

Амалдарды орындаңдар: 1) $\frac{2}{9} + \frac{7}{11} - \frac{10}{99}$; 2) $3\frac{5}{12} + 9\frac{1}{6} - 5\frac{5}{18}$; 3) $\frac{18}{85} + 6\frac{5}{63} - \frac{7}{11}$; 4) $5\frac{2}{9} + 11\frac{7}{12} - 4\frac{3}{4}$; 5) $9\frac{2}{5} + \frac{3}{8} - 4\frac{3}{20}$; 6) $10\frac{1}{12} + 2\frac{5}{36} - 2\frac{7}{72}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіреміз (бұл — бөлімдердің ЕКОЕ-і). Бүтін бөліктерді бөлек санаймыз. Азайтқанда бөлшек жетпесе, бүтіннен бірлікті «қарызға» аламыз.

Шешуі.

1. Ортақ бөлім 99: $\frac{22}{99} + \frac{63}{99} - \frac{10}{99} = \frac{75}{99} = \frac{25}{33}$.
2. Ортақ бөлім 36: $3\frac{15}{36} + 9\frac{6}{36} - 5\frac{10}{36} = 12\frac{21}{36} - 5\frac{10}{36} = 7\frac{11}{36}$.
3. Ортақ бөлім $5 \cdot 17 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 11 = 58,905$: $\frac{12,474}{58,905} + 6\frac{4675}{58,905} - \frac{37,485}{58,905} = 6\frac{17,149}{58,905} - \frac{37,485}{58,905} = 5\frac{38,569}{58,905}$. Бөлімі өте үлкен — бұл ең «ауыр» мысал. Тексеру: $0{,}2118 + 6{,}0794 - 0{,}6364 \approx 5{,}6548$ ✓.
4. Ортақ бөлім 36: $5\frac{8}{36} + 11\frac{21}{36} = 16\frac{29}{36}$; $16\frac{29}{36} - 4\frac{27}{36} = 12\frac{2}{36} = 12\frac{1}{18}$.
5. Ортақ бөлім 40: $9\frac{16}{40} + \frac{15}{40} - 4\frac{6}{40} = 5\frac{25}{40} = 5\frac{5}{8}$.
6. Ортақ бөлім 72: $10\frac{6}{72} + 2\frac{10}{72} - 2\frac{7}{72} = 10\frac{9}{72} = 10\frac{1}{8}$.

Жауабы: 1) $\frac{25}{33}$; 2) $7\frac{11}{36}$; 3) $5\frac{38,569}{58,905}$; 4) $12\frac{1}{18}$; 5) $5\frac{5}{8}$; 6) $10\frac{1}{8}$.

№ 941

Есептеңдер: 1) $\frac{18}{85} : \frac{27}{68} \cdot \frac{45}{28} : \frac{12}{77}$; 2) $\frac{80}{81} : \frac{40}{63} \cdot \frac{27}{28} : \frac{3}{20}$; 3) $\frac{24}{37} : \frac{27}{74} : \frac{32}{45} \cdot \frac{14}{15}$; 4) $\frac{99}{160} : \frac{33}{40} \cdot \frac{20}{27} : \frac{5}{81}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшекке бөлу — төңкерілген бөлшекке көбейту. Бір ұзын көбейтінді шығады. Көбейтуден бұрын қысқартамыз, әйтпесе сандар өте үлкен болады.

Шешуі.

1. $\frac{18}{85} \cdot \frac{68}{27} \cdot \frac{45}{28} \cdot \frac{77}{12}$. Қысқартамыз: $\frac{18}{27} = \frac{2}{3}$, $\frac{68}{85} = \frac{4}{5}$, сосын $\frac{45}{3 \cdot 5} = 3$. Қалғаны $\frac{2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 77}{28 \cdot 12} = \frac{1848}{336} = 5\frac{1}{2}$.
2. $\frac{80}{81} \cdot \frac{63}{40} \cdot \frac{27}{28} \cdot \frac{20}{3} = 2 \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{20}{3} = \frac{360}{36} = 10$.
3. $\frac{24}{37} \cdot \frac{74}{27} \cdot \frac{45}{32} \cdot \frac{14}{15} = 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{14}{15} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.
4. $\frac{99}{160} \cdot \frac{40}{33} \cdot \frac{20}{27} \cdot \frac{81}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{27} \cdot \frac{81}{5} = \frac{3 \cdot 20 \cdot 81}{4 \cdot 27 \cdot 5} = 9$.

Жауабы: 1) $5\frac{1}{2}$; 2) 10; 3) $2\frac{1}{3}$; 4) 9.

№ 942

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x + 8\frac{5}{6} = 10\frac{1}{3}$; 2) $11\frac{7}{9} + y = 13\frac{1}{18}$; 3) $x - 24\frac{2}{7} = 16\frac{3}{8}$; 4) $60\frac{2}{5} - y = 57\frac{3}{4}$; 5) $2\frac{2}{9} \cdot x = 1\frac{1}{2}$; 6) $1\frac{13}{75} \cdot y = \frac{2}{3}$; 7) $x : \frac{35}{36} = 1\frac{1}{20}$; 8) $\frac{24}{35} : y = 1\frac{5}{49}$.

Қалай ойлаймыз. Ережелер натурал сандардағыдай. Белгісіз қосылғыш = қосынды − белгілі қосылғыш. Белгісіз көбейткіш = көбейтінді : белгілі көбейткіш. Және т.с.с.

Шешуі.

1. $x = 10\frac{1}{3} - 8\frac{5}{6} = 9\frac{8}{6} - 8\frac{5}{6} = 1\frac{3}{6} = 1\frac{1}{2}$.
2. $y = 13\frac{1}{18} - 11\frac{14}{18} = 12\frac{19}{18} - 11\frac{14}{18} = 1\frac{5}{18}$.
3. $x = 16\frac{3}{8} + 24\frac{2}{7} = 40\frac{21 + 16}{56} = 40\frac{37}{56}$.
4. $y = 60\frac{2}{5} - 57\frac{3}{4} = 59\frac{28}{20} - 57\frac{15}{20} = 2\frac{13}{20}$.
5. $x = \frac{3}{2} : \frac{20}{9} = \frac{3}{2} \cdot \frac{9}{20} = \frac{27}{40}$.
6. $y = \frac{2}{3} : \frac{88}{75} = \frac{2}{3} \cdot \frac{75}{88} = \frac{25}{44}$.
7. $x = \frac{21}{20} \cdot \frac{35}{36} = \frac{49}{48} = 1\frac{1}{48}$.
8. $y = \frac{24}{35} : \frac{54}{49} = \frac{24}{35} \cdot \frac{49}{54} = \frac{28}{45}$.

Жауабы: 1) $1\frac{1}{2}$; 2) $1\frac{5}{18}$; 3) $40\frac{37}{56}$; 4) $2\frac{13}{20}$; 5) $\frac{27}{40}$; 6) $\frac{25}{44}$; 7) $1\frac{1}{48}$; 8) $\frac{28}{45}$.

№ 943

Теңдеудің түбірін табыңдар: 1) $5x - 3\frac{1}{2} = 4\frac{2}{3}$; 2) $8x + 11\frac{2}{11} = 15$; 3) $18 - 2x = 16\frac{3}{4}$; 4) $4x - 19\frac{3}{5} = 23$; 5) $\left(x - 5\frac{7}{12}\right) : 25 = \frac{7}{75}$; 6) $\left(8\frac{4}{9} - x\right) : 20 = \frac{7}{40}$; 7) $36 : \left(x + 11\frac{4}{5}\right) = 1\frac{17}{19}$; 8) $44 : \left(x - 9\frac{3}{4}\right) = 1\frac{9}{13}$.

Қалай ойлаймыз. Теңдеуді «сырттан ішке» қарай ашамыз: алдымен жақшадағыны немесе $x$-тің қасындағыны табамыз, сосын $x$-тің өзін.

Шешуі.

1. $5x = 4\frac{2}{3} + 3\frac{1}{2} = 8\frac{1}{6} = \frac{49}{6}$; $x = \frac{49}{30} = 1\frac{19}{30}$.
2. $8x = 15 - 11\frac{2}{11} = 3\frac{9}{11} = \frac{42}{11}$; $x = \frac{42}{88} = \frac{21}{44}$.
3. $2x = 18 - 16\frac{3}{4} = 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$; $x = \frac{5}{8}$.
4. $4x = 23 + 19\frac{3}{5} = 42\frac{3}{5} = \frac{213}{5}$; $x = \frac{213}{20} = 10\frac{13}{20}$.
5. $x - 5\frac{7}{12} = \frac{7}{75} \cdot 25 = \frac{7}{3} = 2\frac{4}{12}$; $x = 7\frac{11}{12}$.
6. $8\frac{4}{9} - x = \frac{7}{40} \cdot 20 = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$; $x = 8\frac{4}{9} - 3\frac{1}{2} = 8\frac{8}{18} - 3\frac{9}{18} = 4\frac{17}{18}$.
7. $x + 11\frac{4}{5} = 36 : \frac{36}{19} = 19$; $x = 19 - 11\frac{4}{5} = 7\frac{1}{5}$.
8. $x - 9\frac{3}{4} = 44 : \frac{22}{13} = 26$; $x = 35\frac{3}{4}$.

Жауабы: 1) $1\frac{19}{30}$; 2) $\frac{21}{44}$; 3) $\frac{5}{8}$; 4) $10\frac{13}{20}$; 5) $7\frac{11}{12}$; 6) $4\frac{17}{18}$; 7) $7\frac{1}{5}$; 8) $35\frac{3}{4}$.

№ 944

Өрнектің мәнін табыңдар (әр өрнекте үш жақша, олар көбейту және бөлу арқылы байланысқан). Мысалы, 1) $\left(1\frac{3}{25} - \frac{4}{25}\right) : \left(1 - \frac{2}{5}\right) \cdot \left(10 - 9\frac{1}{16}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен әр жақшаны бөлек есептеп, нәтижені бұрыс бөлшекке айналдырамыз. Сосын амалдарды солдан оңға қарай ретімен орындаймыз.

Шешуі.

1. $\frac{24}{25} : \frac{3}{5} \cdot \frac{15}{16} = \frac{8}{5} \cdot \frac{15}{16} = 1\frac{1}{2}$.
2. $\left(1 + \frac{7}{23}\right) = \frac{30}{23}$; $\left(2 - \frac{4}{25}\right) = \frac{46}{25}$; $\left(99 - 98\frac{1}{5}\right) = \frac{4}{5}$. Барлығы $\frac{30}{23} \cdot \frac{46}{25} : \frac{4}{5} = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{4} = 3$.
3. $\frac{7}{15} + \frac{23}{45} = \frac{44}{45}$; $1\frac{4}{11} + \frac{5}{22} = 1\frac{13}{22} = \frac{35}{22}$; $11\frac{5}{18} - 7\frac{1}{9} = 4\frac{1}{6} = \frac{25}{6}$. Барлығы $\frac{44}{45} \cdot \frac{35}{22} : \frac{25}{6} = \frac{14}{9} \cdot \frac{6}{25} = \frac{28}{75}$.
4. $15 - 13\frac{4}{97} = \frac{190}{97}$; $1\frac{4}{5} + \frac{7}{50} = \frac{97}{50}$; $12\frac{7}{10} - 7 = \frac{57}{10}$. Барлығы $\frac{190}{97} \cdot \frac{97}{50} : \frac{57}{10} = \frac{19}{5} \cdot \frac{10}{57} = \frac{2}{3}$.
5. $1\frac{3}{13} + \frac{14}{65} = \frac{94}{65}$; $21 - 18\frac{6}{13} = \frac{33}{13}$; $5\frac{10}{11} - 5\frac{3}{55} = \frac{47}{55}$. Бұл мысалда екі бөлу: $\frac{94}{65} : \frac{33}{13} : \frac{47}{55} = \frac{94}{65} \cdot \frac{13}{33} \cdot \frac{55}{47} = \frac{2}{3}$.
6. $6\frac{2}{11} - 5\frac{1}{77} = \frac{90}{77}$; $\frac{17}{35} + 1\frac{2}{5} = \frac{66}{35}$; $8\frac{1}{9} - 5\frac{7}{18} = \frac{49}{18}$. Барлығы $\frac{90}{77} \cdot \frac{66}{35} \cdot \frac{49}{18} = 6$.

Жауабы: 1) $1\frac{1}{2}$; 2) 3; 3) $\frac{28}{75}$; 4) $\frac{2}{3}$; 5) $\frac{2}{3}$; 6) 6.

№ 946

1) Бірінші сан $10\frac{3}{7}$ және ол екінші саннан $2\frac{1}{3}$-ге артық. Екі санның қосындысының мәнін табыңдар. 2) Бірінші сан $7\frac{3}{16}$ және ол екінші саннан 5 есе артық. Екі санның қосындысының мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. «Бірінші… артық» — демек, екінші сонша кем: азайтамыз. «5 есе артық» — екінші 5 есе аз: бөлеміз.

Шешуі.

1. Екінші: $10\frac{3}{7} - 2\frac{1}{3} = 10\frac{9}{21} - 2\frac{7}{21} = 8\frac{2}{21}$. Қосынды: $10\frac{9}{21} + 8\frac{2}{21} = 18\frac{11}{21}$.
2. Екінші: $7\frac{3}{16} : 5 = \frac{115}{16} \cdot \frac{1}{5} = \frac{23}{16} = 1\frac{7}{16}$. Қосынды: $7\frac{3}{16} + 1\frac{7}{16} = 8\frac{10}{16} = 8\frac{5}{8}$.

Жауабы: 1) $18\frac{11}{21}$; 2) $8\frac{5}{8}$.

3. Ондық бөлшектер және «аралас» амалдар

№ 945

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $(7 - 2{,}5) \cdot (3{,}25 + 3{,}35) : (10 - 9{,}73)$; 2) $(81{,}8 + 18{,}1) : (4 - 0{,}67) \cdot (0{,}97 + 0{,}28)$; 3) $(90 - 2{,}5) \cdot (2{,}66 - 0{,}06) : (1{,}075 + 10{,}3)$; 4) $(23{,}88 + 20{,}34) : (3 - 0{,}99) \cdot (4{,}9 + 4{,}6)$; 5) $(2{,}2 - 2{,}075) \cdot (1{,}08 + 0{,}28) : (36{,}6 + 5{,}9)$; 6) $(1{,}1 - 0{,}85) \cdot (0{,}023 + 0{,}017) \cdot (98{,}2 + 1{,}8)$.

Қалай ойлаймыз. Жақшалар — бірінші. Ондық бөлшекке бөлгенде үтірді екі санда да бөлгіш натурал сан болатындай жылжытамыз.

Шешуі.

1. $4{,}5 \cdot 6{,}6 : 0{,}27 = 29{,}7 : 0{,}27 = 2970 : 27 = 110$.
2. $99{,}9 : 3{,}33 \cdot 1{,}25 = 30 \cdot 1{,}25 = 37{,}5$.
3. $87{,}5 \cdot 2{,}6 : 11{,}375 = 227{,}5 : 11{,}375 = 20$.
4. $44{,}22 : 2{,}01 \cdot 9{,}5 = 22 \cdot 9{,}5 = 209$.
5. $0{,}125 \cdot 1{,}36 : 42{,}5 = 0{,}17 : 42{,}5 = 0{,}004$.
6. $0{,}25 \cdot 0{,}04 \cdot 100 = 0{,}01 \cdot 100 = 1$.

Жауабы: 1) 110; 2) 37,5; 3) 20; 4) 209; 5) 0,004; 6) 1.

📕 Кітаптың соңындағы жауаптарда 945 (6) үшін «10» деп басылған, ал дұрысы — 1: $0{,}25 \cdot 0{,}04 = 0{,}01$, $0{,}01 \cdot 100 = 1$. Өзің тексеріп көр.

№ 947

1) Егер үш санның қосындысының мәні 53,5 және бірінші сан екінші саннан 3 есе кем, ал үшінші сан екінші саннан 6-ға кем болса, онда осы үш санды табыңдар. 2) Егер үш санның қосындысының мәні 313 және бірінші сан екінші саннан 5 есе кем, ал үшінші сан бірінші саннан 58,2-ге артық болса, онда осы үш санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ең кіші санды — бірінші санды — $x$ деп белгілейміз. Қалғандарын $x$ арқылы оңай өрнектейміз.

Шешуі.

1. Бірінші $x$, екінші $3x$, үшінші $3x - 6$. Теңдеу: $x + 3x + 3x - 6 = 53{,}5$, $7x = 59{,}5$, $x = 8{,}5$. Екінші $25{,}5$, үшінші $19{,}5$.
2. Бірінші $x$, екінші $5x$, үшінші $x + 58{,}2$. Теңдеу: $7x + 58{,}2 = 313$, $7x = 254{,}8$, $x = 36{,}4$. Екінші $182$, үшінші $94{,}6$.

Тексеру: $8{,}5 + 25{,}5 + 19{,}5 = 53{,}5$ ✓; $36{,}4 + 182 + 94{,}6 = 313$ ✓.

Жауабы: 1) 8,5; 25,5; 19,5; 2) 36,4; 182; 94,6.

№ 952

Амалдарды орындаңдар: 1) $\left(4\frac{1}{9} \cdot 3{,}3 + 126\frac{13}{30}\right) \cdot 1{,}5 : 60$; 2) $\left(2{,}07 \cdot 4\frac{4}{9} - 7{,}75\right) \cdot 80 : 23{,}2$; 3) $\left(36{,}3 \cdot \frac{7}{11} + 2{,}9\right) : 0{,}52 \cdot 19$; 4) $\left(17\frac{3}{22} : \frac{29}{66} - 36{,}75\right) \cdot 60$.

Қалай ойлаймыз. $\frac{1}{9}$ және $\frac{7}{11}$ бөлшектері ондыққа «дәл» айналмайды. Сондықтан ондық бөлшекті жай бөлшекке былай көбейтеміз: бөлімге бөлеміз, алымға көбейтеміз.

Шешуі.

1. $4\frac{1}{9} \cdot 3{,}3 = \frac{37}{9} \cdot \frac{33}{10} = \frac{407}{30} = 13\frac{17}{30}$. $13\frac{17}{30} + 126\frac{13}{30} = 140$. $140 \cdot 1{,}5 = 210$, $210 : 60 = 3{,}5$.
2. $2{,}07 \cdot \frac{40}{9} = 0{,}23 \cdot 40 = 9{,}2$. $9{,}2 - 7{,}75 = 1{,}45$. $1{,}45 \cdot 80 = 116$, $116 : 23{,}2 = 5$.
3. $36{,}3 \cdot \frac{7}{11} = 3{,}3 \cdot 7 = 23{,}1$. $23{,}1 + 2{,}9 = 26$. $26 : 0{,}52 = 50$, $50 \cdot 19 = 950$.
4. $\frac{377}{22} \cdot \frac{66}{29} = 13 \cdot 3 = 39$. $39 - 36{,}75 = 2{,}25$. $2{,}25 \cdot 60 = 135$.

Жауабы: 1) 3,5; 2) 5; 3) 950; 4) 135.

№ 953

Теңдеудің түбірін табыңдар: 1) $\left(101\frac{4}{7} - x\right) : 29 = \frac{1}{14}$; 2) $(68{,}7 + x) : 28\frac{1}{90} = 3$; 3) $6\frac{17}{27} : \left(x - 76\frac{2}{9}\right) = 1\frac{2}{3}$; 4) $131\frac{6}{35} : (24{,}3 + x) = 2$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жақшаны белгісіз бөлінгіш немесе бөлгіш ретінде табамыз. Сосын — $x$-ті.

Шешуі.

1. $101\frac{4}{7} - x = \frac{29}{14} = 2\frac{1}{14}$; $x = 101\frac{8}{14} - 2\frac{1}{14} = 99\frac{7}{14} = 99{,}5$.
2. $68{,}7 + x = 3 \cdot 28\frac{1}{90} = 84\frac{1}{30}$; $x = 84\frac{1}{30} - 68\frac{21}{30} = 15\frac{10}{30} = 15\frac{1}{3}$.
3. $x - 76\frac{2}{9} = \frac{179}{27} : \frac{5}{3} = \frac{179}{45} = 3\frac{44}{45}$; $x = 76\frac{10}{45} + 3\frac{44}{45} = 80\frac{9}{45} = 80{,}2$.
4. $24{,}3 + x = 131\frac{6}{35} : 2 = 65\frac{41}{70}$; $x = 65\frac{41}{70} - 24\frac{21}{70} = 41\frac{20}{70} = 41\frac{2}{7}$.

Жауабы: 1) 99,5; 2) $15\frac{1}{3}$; 3) 80,2; 4) $41\frac{2}{7}$.

№ 954

Өрнектердің мәнін табыңдар: 1) $2\frac{18}{31} \cdot a - 2{,}75 : b$, мұндағы $a = 12{,}4$, $b = 4\frac{5}{7}$; 2) $1\frac{2}{3} \cdot x + y : 19{,}5$, мұндағы $x = 3{,}6$, $y = 2\frac{8}{9}$; 3) $c : d : 0{,}96 - 0{,}35$, мұндағы $c = 1\frac{13}{55}$, $d = 1\frac{1}{33}$; 4) $2\frac{1}{22} \cdot z : t - 3{,}99$, мұндағы $z = 2\frac{17}{30}$, $t = 1{,}3125$.

Қалай ойлаймыз. Әріптердің орнына сандарды қойып, амалдар ретімен есептейміз. Аралас сандарды бұрыс бөлшекке айналдырамыз.

Шешуі.

1. $\frac{80}{31} \cdot 12{,}4 = \frac{80 \cdot 124}{31 \cdot 10} = 32$; $2{,}75 : 4\frac{5}{7} = \frac{11}{4} \cdot \frac{7}{33} = \frac{7}{12}$; $32 - \frac{7}{12} = 31\frac{5}{12}$.
2. $\frac{5}{3} \cdot 3{,}6 = 6$; $\frac{26}{9} : \frac{39}{2} = \frac{26}{9} \cdot \frac{2}{39} = \frac{4}{27}$; $6 + \frac{4}{27} = 6\frac{4}{27}$.
3. $\frac{68}{55} : \frac{34}{33} = \frac{68}{55} \cdot \frac{33}{34} = \frac{6}{5} = 1{,}2$; $1{,}2 : 0{,}96 = 1{,}25$; $1{,}25 - 0{,}35 = 0{,}9$.
4. $\frac{45}{22} \cdot \frac{77}{30} = \frac{21}{4} = 5{,}25$; $5{,}25 : 1{,}3125 = 4$; $4 - 3{,}99 = 0{,}01$.

Жауабы: 1) $31\frac{5}{12}$; 2) $6\frac{4}{27}$; 3) 0,9; 4) 0,01.

№ 955

$x$-тің қандай натурал мәндерінде теңсіздік дұрыс болады: 1) $10{,}5 + 8{,}9 < x < 23$; 2) $7 < x < 41{,}8 - 29{,}9$; 3) $11 < x < 7{,}77 + 6{,}3$; 4) $60{,}2 - 6{,}6 < x < 57$; 5) $2{,}5 \cdot 7 < y < 21$; 6) $9{,}66 : 2{,}3 < y < 10$; 7) $5\frac{1}{7} \cdot 3{,}5 < z < 22{,}4$; 8) $1{,}5 \cdot 9\frac{1}{3} < z < 18{,}8$?

Қалай ойлаймыз. Алдымен шекараларды есептейміз. Сосын олардың арасындағы натурал сандарды жазамыз: таңба қатаң, сондықтан шекараның өзін алмаймыз.

Шешуі.

1. $19{,}4 < x < 23$: $x$ = 20, 21, 22.
2. $7 < x < 11{,}9$: $x$ = 8, 9, 10, 11.
3. $11 < x < 14{,}07$: $x$ = 12, 13, 14.
4. $53{,}6 < x < 57$: $x$ = 54, 55, 56.
5. $17{,}5 < y < 21$: $y$ = 18, 19, 20.
6. $4{,}2 < y < 10$: $y$ = 5, 6, 7, 8, 9.
7. $\frac{36}{7} \cdot 3{,}5 = 18$, $18 < z < 22{,}4$: $z$ = 19, 20, 21, 22.
8. $1{,}5 \cdot \frac{28}{3} = 14$, $14 < z < 18{,}8$: $z$ = 15, 16, 17, 18.

Жауабы: 1) 20, 21, 22; 2) 8, 9, 10, 11; 3) 12, 13, 14; 4) 54, 55, 56; 5) 18, 19, 20; 6) 5, 6, 7, 8, 9; 7) 19, 20, 21, 22; 8) 15, 16, 17, 18.

⚠️ Жиі кететін қате. 7) және 8) мысалдарда сол жақ шекара бүтін болып шықты (18 және 14). Оны алуға болмайды: $18 < z$ — «18-ден артық» дегенді білдіреді, «18 және одан артық» емес.

№ 956

Амалдарды орындаңдар (жай және ондық бөлшектермен, дәрежелермен берілген сегіз ұзын мысал). Мысалы, 1) $\left(3 - 3{,}8 : 5\frac{2}{11}\right) \cdot \frac{3}{17} + \left(18 - 8\frac{2}{3}\right) : 1\frac{1}{6}$; 2) $\left(13\frac{2}{7} : \frac{31}{70} - 28{,}5\right) : 6{,}75 + 20\frac{2}{3} - 19\frac{9}{10}$; 3) $4{,}25 - 3{,}6 : 1\frac{7}{20} + 8\frac{1}{4} \cdot 1\frac{52}{99} - 12\frac{2}{3}$; 4) $\left(99\frac{1}{9} : 44{,}6 - 4\frac{7}{12} \cdot \frac{4}{11} + 13\frac{11}{18}\right) : 25{,}5$; 5) $\left(50{,}2 : 41\frac{5}{6} - 18{,}04 : 50\frac{1}{9}\right) \cdot 0{,}05 + 4{,}2$; 6) $\left(0{,}027 : \left(\frac{9}{10}\right)^2 + 0{,}09 \cdot \frac{10}{27}\right) \cdot 0{,}03 + 0{,}998$; 7) $\left(\left(2\frac{2}{3}\right)^3 : 28\frac{4}{9} + 2{,}2\right) \cdot \frac{75}{96} - 4{,}25 - \frac{5}{7}$; 8) $\left(1\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^2 + (21{,}36 - 20{,}4) : 0{,}06 - 16\frac{16}{21}$.

Қалай ойлаймыз. Ұзын мысалды бөліктерге бөліп, әрқайсысын бөлек есепте. Реті: дәрежелер → жақшалар → көбейту және бөлу → қосу және азайту.

Шешуі.

1. $3{,}8 : 5\frac{2}{11} = \frac{19}{5} \cdot \frac{11}{57} = \frac{11}{15}$; $3 - \frac{11}{15} = \frac{34}{15}$; $\frac{34}{15} \cdot \frac{3}{17} = \frac{2}{5}$. Екінші бөлігі: $9\frac{1}{3} : \frac{7}{6} = \frac{28}{3} \cdot \frac{6}{7} = 8$. Барлығы $0{,}4 + 8 = 8{,}4$.
2. $13\frac{2}{7} : \frac{31}{70} = \frac{93}{7} \cdot \frac{70}{31} = 30$; $30 - 28{,}5 = 1{,}5$; $1{,}5 : 6{,}75 = \frac{2}{9}$. $20\frac{2}{3} - 19\frac{9}{10} = \frac{23}{30}$. Барлығы $\frac{20}{90} + \frac{69}{90} = \frac{89}{90}$.
3. $3{,}6 : 1\frac{7}{20} = 3{,}6 : 1{,}35 = 2\frac{2}{3}$; $8\frac{1}{4} \cdot 1\frac{52}{99} = \frac{33}{4} \cdot \frac{151}{99} = 12\frac{7}{12}$. Барлығы $4\frac{3}{12} - 2\frac{8}{12} + 12\frac{7}{12} - 12\frac{8}{12} = 1\frac{1}{2} = 1{,}5$.
4. $99\frac{1}{9} : 44{,}6 = \frac{892}{9} \cdot \frac{5}{223} = 2\frac{2}{9}$; $4\frac{7}{12} \cdot \frac{4}{11} = 1\frac{2}{3}$; $2\frac{2}{9} - 1\frac{6}{9} + 13\frac{11}{18} = 14\frac{1}{6} = \frac{85}{6}$; $\frac{85}{6} : 25{,}5 = \frac{85}{6} \cdot \frac{2}{51} = \frac{5}{9}$.
5. $50{,}2 : 41\frac{5}{6} = \frac{251}{5} \cdot \frac{6}{251} = 1{,}2$; $18{,}04 : 50\frac{1}{9} = \frac{451}{25} \cdot \frac{9}{451} = 0{,}36$; $(1{,}2 - 0{,}36) \cdot 0{,}05 = 0{,}042$; $0{,}042 + 4{,}2 = 4{,}242$.
6. $\left(\frac{9}{10}\right)^2 = 0{,}81$; $0{,}027 : 0{,}81 = \frac{1}{30}$; $0{,}09 \cdot \frac{10}{27} = \frac{1}{30}$; $\frac{2}{30} \cdot 0{,}03 = 0{,}002$; $0{,}002 + 0{,}998 = 1$.
7. $\left(2\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{512}{27}$; $\frac{512}{27} : \frac{256}{9} = \frac{2}{3}$; $\frac{2}{3} + 2{,}2 = \frac{43}{15}$; $\frac{43}{15} \cdot \frac{75}{96} = \frac{215}{96} = 2\frac{23}{96}$. Әрі қарай $4{,}25$ азайту керек, ал ол $2\frac{23}{96}$-дан үлкен. Мұндай азайтуды 5-сыныпта әлі орындамайды — шарттағы қате болуы мүмкін. Шартты мұғалімнен нақтыла.
8. $\left(\frac{5}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{125}{27} \cdot \frac{9}{25} = \frac{5}{3}$; $0{,}96 : 0{,}06 = 16$; $1\frac{2}{3} + 16 - 16\frac{16}{21} = 17\frac{14}{21} - 16\frac{16}{21} = \frac{19}{21}$.

📕 956 (7) шартында қате бар сияқты: амалдардан кейін $2\frac{23}{96}$ шығады, ал азайтатыны $4{,}25$ — одан үлкен, нәтиже теріс болар еді. Кітаптың жауаптарында да 956 (7) жоқ. Шартты мұғалімнен нақтыла.

Жауабы: 1) 8,4; 2) $\frac{89}{90}$; 3) 1,5; 4) $\frac{5}{9}$; 5) 4,242; 6) 1; 7) азайтқанға дейін $2\frac{23}{96}$ шығады — 4,25-ті азайтуға болмайды, шартты тексер; 8) $\frac{19}{21}$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. 956-жаттығудың 7-мысалы 5-сыныпта шықпайды: нәтиже нөлден кем болады. Егер бала осыған тіреліп қалса — кінә онда емес.

№ 958

1) Егер ойлаған саннан 8,9 санын азайтып, шыққан айырымның мәнін 6 есе кемітіп, одан кейін бөліндінің мәніне $\frac{3}{10}$-ке арттырса, онда 1-ден $\frac{23}{60}$-ке кем сан шығады. Ойлаған санды табыңдар. 2) Егер 25,07 санынан ойлаған санды азайтып, шыққан айырымның мәнін 3 есе кемітіп, одан кейін бөліндінің мәнін 0,81-ге арттырса, онда 1-ден 0,9-ға артық сан шығады. Ойлаған санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Соңынан бастап, бәрін керісінше істейміз: «қосудың» орнына — азайтамыз, «6 есе кемітудің» орнына — 6-ға көбейтеміз.

Шешуі.

1. Нәтиже: $1 - \frac{23}{60} = \frac{37}{60}$. Қосқанға дейін: $\frac{37}{60} - \frac{18}{60} = \frac{19}{60}$. Бөлгенге дейін: $\frac{19}{60} \cdot 6 = 1{,}9$. Азайтқанға дейін: $1{,}9 + 8{,}9 = 10{,}8$.
2. Нәтиже: $1 + 0{,}9 = 1{,}9$. Қосқанға дейін: $1{,}9 - 0{,}81 = 1{,}09$. Бөлгенге дейін: $1{,}09 \cdot 3 = 3{,}27$. Ойлаған сан: $25{,}07 - 3{,}27 = 21{,}8$.

Жауабы: 1) 10,8; 2) 21,8.

4. Геометрия: периметр, аудан, көлем, салулар

№ 948

1) Тіктөртбұрыштың ұзындығы $4\frac{5}{7}$ см, ал ені ұзындығынан 3 есе кем. Тіктөртбұрыштың периметрін табыңдар. 2) Тіктөртбұрыштың ені $8\frac{2}{9}$ см, ал ұзындығы енінен 3 есе артық. Тіктөртбұрыштың периметрін табыңдар. 3) Тіктөртбұрыштың периметрі 26 см, ал ұзындығы $9\frac{3}{10}$ см. Тіктөртбұрыштың енін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $P = 2 \cdot (a + b)$. Демек, периметрдің жартысы — ұзындық пен еннің қосындысы.

Шешуі.

1. Ені $4\frac{5}{7} : 3 = \frac{33}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7}$ см. $P = 2 \cdot \left(4\frac{5}{7} + 1\frac{4}{7}\right) = 2 \cdot 6\frac{2}{7} = 12\frac{4}{7}$ см.
2. Ұзындығы $8\frac{2}{9} \cdot 3 = 24\frac{2}{3}$ см. $P = 2 \cdot \left(8\frac{2}{9} + 24\frac{6}{9}\right) = 2 \cdot 32\frac{8}{9} = 65\frac{7}{9}$ см.
3. $a + b = 26 : 2 = 13$ см. Ені $13 - 9\frac{3}{10} = 3\frac{7}{10}$ см.

Жауабы: 1) $12\frac{4}{7}$ см; 2) $65\frac{7}{9}$ см; 3) $3\frac{7}{10}$ см.

№ 949

Қабырғасының ұзындығы $a$-ға тең шаршының ауданын табыңдар: 1) 4,5 см; 2) $8\frac{3}{7}$ см; 3) 9,4 см; 4) $10\frac{1}{3}$ см.

Қалай ойлаймыз. $S = a^2 = a \cdot a$.

Шешуі.

1. $4{,}5 \cdot 4{,}5 = 20{,}25$ см².
2. $\frac{59}{7} \cdot \frac{59}{7} = \frac{3481}{49} = 71\frac{2}{49}$ см².
3. $9{,}4 \cdot 9{,}4 = 88{,}36$ см².
4. $\frac{31}{3} \cdot \frac{31}{3} = \frac{961}{9} = 106\frac{7}{9}$ см².

Жауабы: 1) 20,25 см²; 2) $71\frac{2}{49}$ см²; 3) 88,36 см²; 4) $106\frac{7}{9}$ см².

№ 950

Ұзындығы $a$, ені $b$ және биіктігі $c$ болатын тікбұрышты параллелепипедтің көлемін табыңдар: 1) $a = 2{,}5$ см, $b = 1{,}6$ см, $c = 3{,}5$ см; 2) $a = 4\frac{2}{7}$ дм, $b = \frac{14}{15}$ дм, $c = 11$ дм.

Қалай ойлаймыз. $V = a \cdot b \cdot c$. Көбейткіштердің орнын ауыстыруға болады — ыңғайлы жұпты таңда.

Шешуі.

1. $2{,}5 \cdot 1{,}6 = 4$; $4 \cdot 3{,}5 = 14$ см³.
2. $\frac{30}{7} \cdot \frac{14}{15} = 4$; $4 \cdot 11 = 44$ дм³.

Жауабы: 1) 14 см³; 2) 44 дм³.

№ 951

Бірінші шаршының қабырғасы 1,2 см, екінші шаршының қабырғасы 1,6 см. Ауданы екі шаршының ауданына тең болатын үшінші шаршының қабырғасын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Екі ауданды да есептеп, қосамыз. Сосын өзін-өзі көбейткенде осы қосындыны беретін санды іздейміз.

Шешуі.

1. $1{,}2 \cdot 1{,}2 = 1{,}44$ см²; $1{,}6 \cdot 1{,}6 = 2{,}56$ см².
2. $1{,}44 + 2{,}56 = 4$ см².
3. $2 \cdot 2 = 4$, демек, қабырғасы 2 см.

Жауабы: 2 см.

🌟 1,2; 1,6 және 2 сандары — әйгілі 3, 4, 5 үштігінің 2,5 есе кішірейтілген түрі. Жоғары сыныптарда мұның неліктен солай болатынын білесің: бұл — Пифагор теоремасы.

№ 959

Көлемі 1,001 дм³ және ұзындығы, ені және биіктігі сантиметрмен өлшегенде жай сандар болатын тікбұрышты параллелепипедтің қаңқасын дайындауға қажет сымның ұзындығы қандай болу керек?

Қалай ойлаймыз. Күрделілігі жоғары есеп. Кілті — көлемді см³-ге аударып, санды жай көбейткіштерге жіктеу.

Шешуі. $1{,}001$ дм³ $= 1001$ см³ $= 7 \cdot 11 \cdot 13$. Қаңқа: $4 \cdot (7 + 11 + 13) = 124$ см.

Жауабы: 124 см.

№ 960

Өлшемдері әртүрлі үш құмыра бар. Жасыл түсті құмыраның көлемі — 0,0035 м³, көк түстінікі — 5 дм³, ал сұрғылт түстінікі — 2500 см³. Әр ыдысқа неше литр сұйық құйылады? Сұрғылт түсті құмыраның көлемі көк және жасыл түсті құмыралар көлемінен неше литр кем?

Қалай ойлаймыз. 1 л = 1 дм³ = 1000 см³, ал 1 м³ = 1000 дм³.

Шешуі.

1. Жасыл: $0{,}0035 \cdot 1000 = 3{,}5$ дм³ = 3,5 л.
2. Көк: 5 дм³ = 5 л.
3. Сұрғылт: $2500 : 1000 = 2{,}5$ дм³ = 2,5 л.
4. Көк сұрғылттан $5 - 2{,}5 = 2{,}5$ л артық, жасыл — $3{,}5 - 2{,}5 = 1$ л артық.

Жауабы: 3,5 л; 5 л; 2,5 л; сұрғылт көктен 2,5 л, жасылдан 1 л кем.

№ 977

$MK$ және $HK$ кесінділерінің а) айырымына; ә) қосындысына тең $MH$ кесіндісін салыңдар, егер: 1) $MK = 7$ см, $HK = 2$ см; 2) $MK = 9$ см 5 мм, $HK = 3$ см 5 мм; 3) $MK = 8$ см 2 мм, $HK = 5$ см 7 мм; 4) $MK = 10$ см 3 мм, $HK = 4$ см 6 мм.

Қалай ойлаймыз. $MK$ сызамыз. Айырым үшін $HK$-ны $K$ нүктесінен $M$ жаққа қарай саламыз. Қосынды үшін — $K$ нүктесінен әрі қарай, $K$-дан тыс. $M$, $K$, $H$ нүктелері бір түзудің бойында жатыр.

Шешуі.

1. а) $7 - 2 = 5$ см; ә) $7 + 2 = 9$ см.
2. а) $95 - 35 = 60$ мм = 6 см; ә) $95 + 35 = 130$ мм = 13 см.
3. а) $82 - 57 = 25$ мм = 2 см 5 мм; ә) $82 + 57 = 139$ мм = 13 см 9 мм.
4. а) $103 - 46 = 57$ мм = 5 см 7 мм; ә) $103 + 46 = 149$ мм = 14 см 9 мм.

Сызғышпен сызып тексер: $MH$ ұзындығы есептеумен сәйкес келуі керек.

Жауабы: 1) 5 см және 9 см; 2) 6 см және 13 см; 3) 2 см 5 мм және 13 см 9 мм; 4) 5 см 7 мм және 14 см 9 мм.

№ 978

Бір сектордың бұрышы 45° болатын және ол екінші бұрыштың $\frac{1}{3}$-ін құрайтын етіп дөңгелекті үш секторға бөліңдер.

Қалай ойлаймыз. Бүкіл дөңгелек — 360°. Егер 45° екінші бұрыштың үштен бірі болса, екінші бұрыш 3 есе үлкен.

Шешуі.

1. Екінші сектор: $45° \cdot 3 = 135°$.
2. Үшінші: $360° - 45° - 135° = 180°$ — бұл дөңгелектің жартысы.
3. Салу: диаметр жүргіземіз — ол 180° секторды бөліп тұрады. Екінші жартысында транспортирмен радиустан 45° саламыз. Қалған бөлік дәл 135°.

Жауабы: 45°, 135° және 180°.

5. Әріпті өрнектер және формулалар

№ 961

Берілген формуладан $x$-ті өрнектеңдер: 1) $y = x + 19$; 2) $y = 19 - x$; 3) $y = 5x + 4$; 4) $y = 3x - 7$; 5) $y = 8 + 2x$; 6) $y = 14 - 5x$.

Қалай ойлаймыз. Формуламен теңдеумен жұмыс істегендей істейміз: $x$ — белгісіз, ал $y$ — белгілі сияқты.

Шешуі.

1. $x$ — қосылғыш: $x = y - 19$.
2. $x$ — азайғыш: $x = 19 - y$.
3. $5x = y - 4$, $x = \frac{y - 4}{5}$.
4. $3x = y + 7$, $x = \frac{y + 7}{3}$.
5. $2x = y - 8$, $x = \frac{y - 8}{2}$.
6. $5x = 14 - y$, $x = \frac{14 - y}{5}$.

Жауабы: 1) $x = y - 19$; 2) $x = 19 - y$; 3) $x = \frac{y-4}{5}$; 4) $x = \frac{y+7}{3}$; 5) $x = \frac{y-8}{2}$; 6) $x = \frac{14-y}{5}$.

№ 979

Есепті шығару үшін өрнек құрастырыңдар. 1) $c$ м матадан 10 көйлек тігілген. Осындай 18 көйлекке қанша метр мата қажет? 2) Тікұшақ 8 сағ-та $d$ км ұшады. Ол $n$ км-ді қанша сағатта ұшып өтеді? 3) Бір альбомның 16 бетіне бірдей $x$ марка желімденген. Екінші альбомның әрбір бетіне біріншіге қарағанда 3 марка кем, барлығы $y$ марка желімденген. Екінші альбомның неше беті бар?

Қалай ойлаймыз. Әдеттегі есептей шығарамыз, тек сандардың орнында — әріптер. Алдымен «бір бөлікті» табамыз: бір көйлекті, бір сағатты, бір бетті.

Шешуі.

1. Бір көйлекке $c : 10$ м. 18 көйлекке $\frac{c}{10} \cdot 18 = 1{,}8c$ м.
2. Жылдамдығы $d : 8$ км/сағ. Уақыты $n : \frac{d}{8} = \frac{8n}{d}$ сағ.
3. Бірінші альбомның бір бетінде $\frac{x}{16}$ марка, екіншісінде — $\frac{x}{16} - 3$. Екінші альбомда беттер саны: $y : \left(\frac{x}{16} - 3\right)$.

📕 Кітаптың жауаптарында 979 (2) үшін өлшем бірлігі «км» деп берілген, ал есепте уақыт сұралған, сондықтан дұрысы — «сағ». Сол жауаптарда 979 екі рет басылған, екіншісінде 3) жауабы $y : \left(\frac{x}{10} - 3\right)$ — бұл да қате, шарт бойынша 16 бет, яғни $\frac{x}{16}$.

Жауабы: 1) $1{,}8c$ м; 2) $\frac{8n}{d}$ сағ; 3) $y : \left(\frac{x}{16} - 3\right)$ бет.

6. Пайыздар және бөліктер

№ 962

Гүлдердің $x$ кг тұқымы жиналды. Оның 75%-ын қырмызыгүл, ал $\frac{1}{8}$-ін аққекіре құрайды. Қанша килограмм қырмызыгүлінің және аққекіренің тұқымы жиналған?

Қалай ойлаймыз. 75% — бұл $\frac{75}{100} = 0{,}75$. Санның бөлігін көбейту арқылы табамыз.

Шешуі.

1. Қырмызыгүл: $0{,}75x$ кг.
2. Аққекіре: $\frac{1}{8}x = 0{,}125x$ кг.
3. Бірге: $0{,}75x + 0{,}125x = 0{,}875x$ кг.

Жауабы: қырмызыгүл $0{,}75x$ кг, аққекіре $0{,}125x$ кг (бірге $0{,}875x$ кг).

№ 967

Дөңгелек үш секторға бөлінген. Егер екінші сектордың бұрышы біріншіге қарағанда 100%-ға артық, ал үшіншісінікі бірінші сектор бұрышының $2\frac{5}{8}$-ін құраса, әр сектордың бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. «100%-ға артық» — бірінші бұрышқа тағы сондай бүтін бұрыш қосылды: екінші бұрыш біріншіден екі есе үлкен. Бүкіл дөңгелек — 360°.

Шешуі.

1. Бірінші бұрыш $x$, екінші $2x$, үшінші $2\frac{5}{8}x$.
2. $x + 2x + 2\frac{5}{8}x = 5\frac{5}{8}x = \frac{45}{8}x = 360$.
3. $x = 360 \cdot \frac{8}{45} = 64°$. Екінші $128°$, үшінші $64 \cdot \frac{21}{8} = 168°$.

Тексеру: $64 + 128 + 168 = 360$ ✓.

Жауабы: 64°, 128°, 168°.

⚠️ Жиі кететін қате. «100%-ға артық» дегенді «100%-ын құрайды» деп шатастырады. 100%-ын құрайды — дәл сонша. Ал 100%-ға артық — 2 есе көп.

№ 968

Бумада 250 парақ бар. Бірінші қолжазбаны басуға барлық парақтың 60%-ы, екінші қолжазбаны басуға қалған парақтың $\frac{3}{4}$-і жұмсалды. Қанша таза парақ қалды?

Қалай ойлаймыз. Алдымен бірінші қолжазбаға қанша кеткенін, қанша қалғанын санаймыз. Екінші үлес бүкіл бумадан емес, қалғаннан алынады.

Шешуі.

1. Бірінші қолжазбаға: $250 \cdot 0{,}6 = 150$ парақ. Қалды $250 - 150 = 100$.
2. Екіншісіне: $100 \cdot \frac{3}{4} = 75$ парақ.
3. Таза парақ: $100 - 75 = 25$ парақ.

Жауабы: 25 парақ.

№ 969

Жер экваторының ұзындығы шамамен 400 003 км, ал оның диаметрі экватор ұзындығының 32%-ын құрайды. Жердің диаметрін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. 32% = 0,32. Көбейтеміз.

Шешуі. $400,003 \cdot 0{,}32 = 128,000{,}96$ км.

Жауабы: 128 000,96 км.

📕 Шартта қате бар сияқты. Шын мәнінде Жер экваторының ұзындығы шамамен 40 000 км, ал диаметрі — шамамен 12 700 км. 400 003 санында артық нөл бар сияқты. 40 003 км болса, $40,003 \cdot 0{,}32 = 12,800{,}96$ км шығар еді — бұл шындыққа өте жақын. (Кітаптың жауабы — 128 000,96 км, яғни қате шартқа сай келеді.)

№ 970

Төрт санның қосындысының мәні 210. Бірінші сан 210-ның $rac{2}{5}$-сін, екінші сан біріншінің 25%-ын, үшінші сан алғашқы екі санның қосындысының 60%-ын құрайды. Осы сандарды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алғашқы екі санды бірден табамыз. Үшінші сан — олардың қосындысының 60%-ы, ал төртінші — 210-дан қалғаны.

Шешуі.

1. Бірінші: $210 : 5 \cdot 2 = 84$.
2. Екінші: $84 \cdot 0{,}25 = 21$.
3. Алғашқы екеуінің қосындысы: $84 + 21 = 105$.
4. Үшінші: $105 \cdot 0{,}6 = 63$. Төртінші: $210 - 84 - 21 - 63 = 42$.

Жауабы: 84; 21; 63; 42.

💡 Үшінші және төртінші сандардың қосындысы да 105 болып шықты ($63 + 42$), сондықтан есепті екі түрлі оқысаң да жауап бірдей.

№ 971

Жер бетіндегі құрлықтың ауданы шамамен 149 млн км². Құрлық Жер беті ауданының 29,2%-ын құрайды. Жер бетінің ауданы қанша миллион шаршы километрді құрайды? Жауабын бүтінге дейін дөңгелектеңдер.

Қалай ойлаймыз. Бөлігі және оның пайызы белгілі — бүтінді іздейміз. Бөлікті үлеске бөлеміз: $149 : 0{,}292$.

Шешуі. $149 : 0{,}292 = 149,000 : 292 \approx 510{,}27 \approx 510$ млн км².

Жауабы: шамамен 510 млн км².

№ 973

Жер бетіндегі құрлықтың жалпы ауданы 149 млн км². Азияға тиісті аудан жалпы ауданның 29,8%-ын, Америка 28,5%-ын, Африка 19,6%-ын құрайды. Азия, Америка, Африкаға тиісті аудан қанша миллион шаршы километр жерді алып жатыр? Жауаптарды ондық үлеске дейін дөңгелектеңдер.

Қалай ойлаймыз. Санның пайызы: пайызды ондық бөлшекке айналдырып, көбейтеміз.

Шешуі.

1. Азия: $149 \cdot 0{,}298 = 44{,}402 \approx 44{,}4$ млн км².
2. Америка: $149 \cdot 0{,}285 = 42{,}465 \approx 42{,}5$ млн км².
3. Африка: $149 \cdot 0{,}196 = 29{,}204 \approx 29{,}2$ млн км².

Жауабы: Азия ≈ 44,4 млн км²; Америка ≈ 42,5 млн км²; Африка ≈ 29,2 млн км².

7. Қозғалыс және бірлесіп жұмыс істеу

№ 957

1) 4 сағ-та 17 км жүрген жаяу адамның жылдамдығын табыңдар. 2) $3\frac{1}{3}$ км/сағ жылдамдықпен 6 сағ жүрген жаяу адамның жолын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $v = s : t$, $s = v \cdot t$.

Шешуі.

1. $17 : 4 = 4{,}25$ км/сағ.
2. $3\frac{1}{3} \cdot 6 = \frac{10}{3} \cdot 6 = 20$ км.

Жауабы: 1) 4,25 км/сағ; 2) 20 км.

№ 963

Бір қаладан екінші қалаға дейін мотоциклші 40 км/сағ жылдамдықпен 5 сағ жүрді. Егер кері қайтар жол 36%-ға қысқа, ал жылдамдық алғашқы жылдамдықтың 0,8-іне тең болса, онда кері қайтар жолға мотоциклші қанша уақыт жібереді?

Қалай ойлаймыз. «36%-ға қысқа» — демек, жолдың $100% - 36% = 64%$ қалды.

Шешуі.

1. Барар жол: $40 \cdot 5 = 200$ км.
2. Кері жол: $200 \cdot 0{,}64 = 128$ км.
3. Жаңа жылдамдық: $40 \cdot 0{,}8 = 32$ км/сағ.
4. Уақыт: $128 : 32 = 4$ сағ.

Жауабы: 4 сағ.

№ 964

Бір мезетте бір қаладан екінші қалаға қарай автобус пен жеңіл машина шықты. Автобустың жылдамдығы 50 км/сағ және ол жеңіл машина жылдамдығының 50%-ын құрайды. Егер жеңіл машина екінші қалаға 1) 2 сағ-та; 2) 3 сағ-та; 3) 4 сағ-та жетсе, онда автобус осы қалаға қанша сағатта келеді? 0,5 сағ-тан; 1,5 сағ-тан кейін автобус пен жеңіл машинаның арасы қанша километр болады?

Қалай ойлаймыз. Автобус екі есе баяу жүреді — демек, сол жолға екі есе көп уақыт жұмсайды. Олар бір бағытта жүреді, сондықтан арасындағы қашықтық әр сағат сайын жылдамдықтардың айырымына артады.

Шешуі.

1. Жеңіл машинаның жылдамдығы: $50 : 0{,}5 = 100$ км/сағ.
2. Автобустың уақыты 2 есе көп: 1) 4 сағ; 2) 6 сағ; 3) 8 сағ.
3. Әр сағат сайын жеңіл машина $100 - 50 = 50$ км алға кетеді.
4. 0,5 сағ-тан кейін: $50 \cdot 0{,}5 = 25$ км; 1,5 сағ-тан кейін: $50 \cdot 1{,}5 = 75$ км.

Жауабы: 1) 4 сағ; 2) 6 сағ; 3) 8 сағ; 0,5 сағ-тан кейін — 25 км, 1,5 сағ-тан кейін — 75 км.

№ 965

Аралығы 287,2 км екі қаладан бір-біріне қарама-қарсы бағытта екі пойыз шықты. Біреуінің жылдамдығы 57 км/сағ және ол екіншісінің жылдамдығының 95%-ын құрайды. 1 сағ 36 мин өткенде олардың аралығы қандай болады?

Қалай ойлаймыз. Алдымен екінші жылдамдықты пайызы бойынша табамыз. Қарсы жүргенде пойыздар жылдамдықтарының қосындысына тең жылдамдықпен жақындайды.

Шешуі.

1. Екіншісінің жылдамдығы: $57 : 0{,}95 = 60$ км/сағ.
2. Жақындау жылдамдығы: $57 + 60 = 117$ км/сағ.
3. 1 сағ 36 мин $= 1\frac{36}{60}$ сағ $= 1{,}6$ сағ.
4. Олар $117 \cdot 1{,}6 = 187{,}2$ км-ге жақындайды.
5. Қалады: $287{,}2 - 187{,}2 = 100$ км.

Жауабы: 100 км.

№ 966

Катердің тынық судағы жылдамдығы 15,2 км/сағ, ал өзен ағысының жылдамдығы катер жылдамдығының 15%-ына тең. Катердің ағыспен және ағысқа қарсы жүзгендегі жылдамдығы қандай?

Қалай ойлаймыз. Ағыспен өзен «көмектеседі» — жылдамдықтарды қосамыз. Ағысқа қарсы «бөгет жасайды» — азайтамыз.

Шешуі.

1. Ағыс: $15{,}2 \cdot 0{,}15 = 2{,}28$ км/сағ.
2. Ағыспен: $15{,}2 + 2{,}28 = 17{,}48$ км/сағ.
3. Ағысқа қарсы: $15{,}2 - 2{,}28 = 12{,}92$ км/сағ.

Жауабы: ағыспен 17,48 км/сағ, ағысқа қарсы 12,92 км/сағ.

№ 972

Алғаш рет 115 сағ 36 мин-та 25 099 км қашықтықты ұшып өтіп, Жерді айналып шыққан «Винни Мэ» ұшағы. Осы қашықтықты «Боинг» ұшағы 26 сағ 18 мин-та өтеді. Осы ұшақтардың жылдамдығын тауып, жылдамдықтарды бүтінге дейін дөңгелектеңдер. «Боинг» жылдамдығы «Винни Мэ» жылдамдығынан қанша есе артық? Жауабын ондыққа дейін дөңгелектеңдер.

Қалай ойлаймыз. Минутты сағатқа айналдырамыз: 60-қа бөлеміз. Сосын $v = s : t$.

Шешуі.

1. 115 сағ 36 мин $= 115{,}6$ сағ; $25,099 : 115{,}6 \approx 217{,}1 \approx 217$ км/сағ.
2. 26 сағ 18 мин $= 26{,}3$ сағ; $25,099 : 26{,}3 \approx 954{,}3 \approx 954$ км/сағ.
3. $954 : 217 \approx 4{,}39 \approx 4{,}4$ есе.

Жауабы: 217 км/сағ және 954 км/сағ; «Боинг» шамамен 4,4 есе жылдам.

🌟 «Винни Мэ» Жерді 1933 жылы айналып өтті, штурвалда Уайли Пост болды. Қазір Алматы — Астана рейсі екі сағаттан аз, ал сонда кругосветке таза ұшуға бес тәулікке жуық кеткен.

№ 974

Екі қаладан бір мезгілде қарама-қарсы бағытта автобус пен жеңіл көлік шықты. Осы аралықты автобус 12 сағ, жеңіл көлік 6 сағ жүріп өтеді. Олар неше сағаттан кейін кездеседі?

Қалай ойлаймыз. Жолдың ұзындығы берілмеген — бүкіл жолды 1 деп аламыз. Бірлесіп жұмыс істеуге берілген есеп сияқты болады.

Шешуі.

1. 1 сағ-та автобус жолдың $\frac{1}{12}$ бөлігін, жеңіл көлік $\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$ бөлігін жүреді.
2. Бірге 1 сағ-та: $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ жол.
3. Бүкіл жолды бірге: $1 : \frac{1}{4} = 4$ сағ.

Жауабы: 4 сағ-тан кейін.

№ 975

$C$ пункті арқылы $A$ пунктінен $B$ пунктіне дейін ұшақпен ұшқанда 3 сағ кетеді. Осы жолды пойыз 27 сағ-та жүреді. Егер ұшақ пен пойыз бір мезгілде қарама-қарсы бағытта жүрсе, онда олар қанша сағаттан кейін $C$ пунктінде кездеседі? Мына жағдайларды қарастырыңдар: 1) ұшақ 4 сағ, пойыз 36 сағ; 2) ұшақ 5 сағ, пойыз 45 сағ; 3) ұшақ 6 сағ, пойыз 54 сағ; 4) ұшақ 7 сағ, пойыз 63 сағ жүреді.

Қалай ойлаймыз. Бұл № 974 есебімен бірдей: бүкіл жол — 1, бір сағатта олар бірге өз үлестерінің қосындысын «жеп» отырады.

Шешуі.

1. 1 сағ-та: $\frac{1}{3} + \frac{1}{27} = \frac{9}{27} + \frac{1}{27} = \frac{10}{27}$ жол. Уақыт: $1 : \frac{10}{27} = 2{,}7$ сағ.
2. 4 сағ және 36 сағ: $\frac{1}{4} + \frac{1}{36} = \frac{10}{36}$; уақыт $3{,}6$ сағ.
3. 5 сағ және 45 сағ: $\frac{1}{5} + \frac{1}{45} = \frac{10}{45}$; уақыт $4{,}5$ сағ.
4. 6 сағ және 54 сағ: $\frac{10}{54}$; уақыт $5{,}4$ сағ.
5. 7 сағ және 63 сағ: $\frac{10}{63}$; уақыт $6{,}3$ сағ.

Жауабы: 2,7 сағ; 1) 3,6 сағ; 2) 4,5 сағ; 3) 5,4 сағ; 4) 6,3 сағ.

💡 Заңдылықты байқадың ба? Пойыз барлық жерде ұшақтан 9 есе баяу. Сондықтан кездесу әрқашан ұшақ уақытының $\frac{9}{10}$-інен кейін болады: $3 \cdot 0{,}9 = 2{,}7$; $4 \cdot 0{,}9 = 3{,}6$…

№ 976

$A$ пунктінен $B$ пунктіне дейін бір мезгілде қарама-қарсы бағытта екі автокөлік бірдей 60 км/сағ жылдамдықпен шықты. Олар 4 сағ-тан кейін кездесті. Кездескеннен кейін 5 сағ өткенде бірінші автокөлік қозғалып, $B$ пунктіне жетті. Кездескеннен кейін қанша сағат өткенде екінші автокөлік $A$ пунктіне жетеді?

Қалай ойлаймыз. $AB$ кесіндісін және кездесу нүктесін сыз. Әр автокөлік кездескенге дейін «өз» бөлігін, кездескеннен кейін «өзгенің» бөлігін жүріп өтеді.

Шешуі.

1. Кездесу орнынан $B$-ға дейінгі бөлік: $60 \cdot 5 = 300$ км. Екінші оны 4 сағ-та жүрді: $v_2 = 75$ км/сағ.
2. $A$-дан кездесу орнына дейінгі бөлік: $60 \cdot 4 = 240$ км.
3. Екінші оны $240 : 75 = 3{,}2$ сағ = 3 сағ 12 мин-та жүріп өтеді.

Жауабы: 3 сағ 12 мин.

№ 980

Екі жаяу адам бірдей уақытта бір-біріне қарама-қарсы шығып, 3 сағ 45 мин-тан кейін кездесті. Бірінші жаяу адамның жылдамдығы 3,8 км/сағ, екінші жаяу адамның жылдамдығы ол жылдамдықтың $1\frac{4}{19}$ бөлігін құрайды. Қозғалыс басталғанда жаяу адамдардың арасы қанша километр болған?

Қалай ойлаймыз. Екіншісінің жылдамдығын, сосын жақындау жылдамдығын табамыз. Уақытты сағатқа айналдырамыз.

Шешуі.

1. Екіншісінің жылдамдығы: $3{,}8 \cdot \frac{23}{19} = 0{,}2 \cdot 23 = 4{,}6$ км/сағ.
2. Жақындау жылдамдығы: $3{,}8 + 4{,}6 = 8{,}4$ км/сағ.
3. 3 сағ 45 мин $= 3\frac{45}{60} = 3{,}75$ сағ.
4. Арақашықтық: $8{,}4 \cdot 3{,}75 = 31{,}5$ км.

Жауабы: 31,5 км.

📕 Кітаптың жауаптарында 980 үшін «31,5 кг» деп басылған. Есепте арақашықтық сұралған, сондықтан дұрысы — 31,5 км.

Жадынама

• Ұзын мысал — бөліктермен: дәрежелер, жақшалар, көбейту және бөлу, қосу және азайту.
• Ондық бөлшекпен «дос емес» бөлшектерді ($\frac{1}{3}$, $\frac{1}{9}$) жай бөлшектермен есепте.
• «36%-ға қысқа» — 64% қалды. «100%-ға артық» — 2 есе көп.
• «Ойлаған санды» соңынан бастап, бәрін керісінше істеп табамыз.
• Минутты сағатқа айналдыру: 60-қа бөлеміз. 1 сағ 36 мин = 1,6 сағ; 3 сағ 45 мин = 3,75 сағ.
• lt;$ таңбасы бар теңсіздікте шекараның өзін алмаймыз.

Шағын тест