§ 55. Фигураларды қиюға және құрастыруға берілген есептер

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 10 тарау: Кеңістік фигураларының жазбалары. 114–117-беттер.

Нені үйренесің

• Фигураны бөліктерге қиып, олардан жаңа фигура құрастыруды.
• Бөліктерді ауыстырғанда ауданның өзгермейтінін түсінуді.
• Тең құралған және тең шамалас фигураларды ажыратуды.
• Күрделі фигураның ауданын қарапайым фигураларға бөліп табуды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы 928-жаттығу.

• Шаршыны диагоналі бойынша қиды. Қандай үшбұрыштар шықты? Екі тең үшбұрыш: беттестіргенде олар дәл келеді.
• Шаршының қабырғасы 3,5 см. Шаршының жартысы болатын үшбұрыштың ауданы қандай? $3{,}5 \cdot 3{,}5 : 2 = 6{,}125$ см².
• 3,5 см-ге 1,3 см тіктөртбұрышты диагоналі бойынша қиды. Жартысының ауданы қандай? $3{,}5 \cdot 1{,}3 : 2 = 2{,}275$ см².
• Ұзындығы 5 м, ені 6 м тіктөртбұрыштың ауданы қандай? 30 м².

Тақырыпты талдаймыз

Шаршыны қиямыз

Шаршы пішінді $ABCD$ парағын алып, $AC$ диагоналі бойынша қи (112-сурет). Екі үшбұрыш шығады — жасыл $ABC$ және сары $ACD$. Оларды бір-біріне қойып көр: дәл келеді.

Енді оларды қысқа қабырғаларымен жапсыр. Үлкен үшбұрыш шығады (113-сурет)! Сол жақта — шаршы, оң жақта — сол шаршының үшбұрышқа ауыстырылған түрі.

Тең құралған және тең шамалас фигуралар

📌 Егер бір фигураны бөліктерге қиып, олардан екінші фигураны құрастыруға болса, мұндай екі фигура тең құралған деп аталады.

Жоғарыдағы шаршы мен үлкен үшбұрыш — тең құралған. Олар бір ғана кесінділерден жасалған, демек, ауданы да бірдей.

📌 Аудандары тең фигуралар тең шамалас фигуралар деп аталады.

💡 Тең құралған фигуралар әрқашан тең шамалас: бөліктер сол — аудан да сол. Бұл конструктор сияқты: бір деталдардан машинаны да, үйді де құрастыруға болады, ал деталдар азаймайды.

⚠️ Жиі кететін қате. «Тең» және «тең шамалас» ұғымдарын шатастырады. Тең фигуралар беттескенде дәл келеді. Тең шамалас фигуралардың тек ауданы бірдей: 4 × 4 шаршы мен 2 × 8 тіктөртбұрыш тең шамалас, бірақ тең емес.

Айла: бөлікті ауыстыр

Күрделі фигураны жиі тіктөртбұрыштарға бөлген ыңғайлы. Ал кейде бір бөлігін қиып алып, басқа жерге қойсаң, қарапайым тіктөртбұрыш шығады. Алаң туралы есепті (№ 934) осылай шығарамыз.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бұл тақырыпты «қолмен ұстап» көрген жөн: балаға қағаз бен қайшы беріңіз. Шаршыны диагоналі бойынша қиып, үшбұрыш, параллелограмм және қайтадан шаршы құрастырып көрсін.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Шаршыны диагоналі бойынша қиды. Екі бөліктен ұзындығы мен ені әртүрлі тіктөртбұрыш құрастыруға бола ма? Жоқ. Екі жартыдан не қайтадан шаршы, не параллелограмм, не үшбұрыш шығады. Қабырғалары әртүрлі тіктөртбұрыш шықпайды.
• Ал үшбұрыш құрастыруға бола ма? Болады. Жартыларды қысқа қабырғаларымен (катеттерімен) жапсырсаң, үлкен үшбұрыш шығады.
• Тең құралған фигуралардың аудандары туралы не айтуға болады? Олар тең: фигуралар бір бөліктерден құралған.
• Қандай фигураларды тең шамалас деп атайды? Аудандары тең фигураларды.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 929

1) Әлия әр бөлігінің пішімі сектор болатын бәлішті тең бөліктерге бөлді. Оны 10 рет кесті (113.1-сурет). Әлияда қанша бөлік шықты? 2) Әлия дөңгелек бәлішті әр кескен сайын бір шетінен екінші шетіне центр арқылы өтетіндей етіп кесіп отырды (113.2-сурет). Егер бәліш бес рет кесілсе, қанша бөлік шығады?

Қалай ойлаймыз. Центрден шетіне дейінгі кесік — бір радиус. Шетінен шетіне дейін центр арқылы өтетін кесік — бірден екі радиус.

Шешуі.

1. Бірінші жағдайда әр кесік — радиус. 10 радиус дөңгелекті 10 бөлікке бөледі (дөңгелектің қабырғасындай).
2. Екінші жағдайда центр арқылы өткен әр кесік екі радиус береді: $5 \cdot 2 = 10$ радиус. Демек, бөлік те 10.

Жауабы: 1) 10 бөлік; 2) 10 бөлік.

💡 Демек, екінші жағдайда Әлия екі есе аз кесті: 10-дың орнына 5 кесік — ал бөлік саны сондай.

№ 930

Қайрат пен Дима өз шаршыларын бір шетінен екінші шетіне жеткізе отырып қиды. Қайратта 3 бөлік, Димада 4 бөлік шықты. Шаршылардың қалай қиылғанын суретте көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Егер кесіктер қиылыспаса, әрқайсысы бір бөлік қосады. Егер қиылысса — бөлік бір артық шығады.

Шешуі.

1. Қайрат параллель қиды: екі кесік қиылыспады — $1 + 1 + 1 = 3$ бөлік.
2. Дима айқастыра қиды: кесіктер қиылысты — 4 бөлік.

Жауабы: Қайрат — екі параллель кесікпен, Дима — екі қиылысатын (айқастыра) кесікпен.

№ 931

Егер $ABCD$ тіктөртбұрышының ұзындығы 16 см, ені 4 см болса, боялған үшбұрыштың ауданын табыңдар (114-сурет). (Тіктөртбұрыш 4 шаршыға бөлінген, әрқайсысында диагональ жүргізілген.)

Қалай ойлаймыз. Әр шаршының қабырғасы — тіктөртбұрыштың ені. Үшбұрыш — диагональмен қиылған шаршының жартысы.

Шешуі.

1. Шаршының қабырғасы: $16 : 4 = 4$ см (ені де 4 см ✓).
2. Шаршының ауданы: $4 \cdot 4 = 16$ см².
3. Үшбұрыш — жартысы: $16 : 2 = 8$ см².

Жауабы: 8 см².

B деңгейі

№ 932

1) Тіктөртбұрыш пен шаршы — тең шамалас фигуралар. Тіктөртбұрыштың ұзындығы 15 см, ал ені оның тоғыздан бір бөлігіне тең болса, онда шаршының қабырғасының ұзындығын табыңдар. 2) Тікбұрышты параллелепипед пен текше — тең шамалас фигуралар (олардың көлемдері бірдей). Текше қабырғасының ұзындығы 2 см. Тікбұрышты параллелепипедтің натурал сандармен өрнектелетін ұзындығы, ені және биіктігін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. «Тең шамалас» дегеніміз — «аудандары тең». Тіктөртбұрыштың ауданын табамыз — бұл шаршының да ауданы.

Шешуі.

1. Ені: $15 \cdot \frac{1}{9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$ см.
2. Ауданы: $15 \cdot \frac{5}{3} = 25$ см².
3. Ауданы 25 см² шаршы: $5 \cdot 5 = 25$, қабырғасы 5 см.
4. Текшенің көлемі: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ см³. Көбейтіндісі 8 болатын үш натурал сан іздейміз: $1 \cdot 1 \cdot 8$, $1 \cdot 2 \cdot 4$ және $2 \cdot 2 \cdot 2$ (бұл — текшенің өзі).

Жауабы: 1) 5 см; 2) 1 см, 1 см, 8 см немесе 1 см, 2 см, 4 см (және 2, 2, 2 см — текшенің өзі).

№ 933

Неліктен боялған $ABOC$ және $ODEF$ тіктөртбұрыштарының аудандары тең болады (115-сурет)? ($AMEK$ тіктөртбұрышында $KM$ диагоналі жүргізілген, оның бойында $O$ нүктесі бар; $O$ арқылы қабырғаларға параллель $BD$ және $CF$ кесінділері жүргізілген.)

Қалай ойлаймыз. Диагональ тіктөртбұрышты екі тең үшбұрышқа бөледі. Диагональ маңындағы кішкентай тіктөртбұрыштарды да ол екіге бөледі.

Шешуі.

1. $KM$ диагоналі $AMEK$-ты екі тең үшбұрышқа бөледі: $KAM$ (жоғарғы сол жақ) және $KEM$ (төменгі оң жақ). Олардың аудандары тең.
2. $K$ нүктесінің қасында $KCOD$ тіктөртбұрышы тұр. Диагональ оны екі тең үшбұрышқа бөледі — әр үлкен жартының ішінде бір-бірден.
3. $M$ нүктесінің қасында $OBMF$ тіктөртбұрышы тұр. Оның $OM$ диагоналі де оны екі тең үшбұрышқа бөледі — әр жартыда бір-бірден.
4. Жоғарғы жарты = $K$ жанындағы үшбұрыш + $ABOC$ + $M$ жанындағы үшбұрыш. Төменгі жарты = $K$ жанындағы дәл сондай үшбұрыш + $ODEF$ + $M$ жанындағы дәл сондай үшбұрыш.
5. Тең аудандардан тең бөліктерді алып тастасақ, қалғандары тең болады: $S_{ABOC} = S_{ODEF}$.

Мысал суретте мұны торкөздерден көруге болады: боялған әр тіктөртбұрышта 6 торкөз бар.

Жауабы: тіктөртбұрыштың екі тең жартысынан жұп-жұбымен тең үшбұрыштарды алып тастағандықтан, қалған тіктөртбұрыштар тең шамалас.

📕 Оқулықтағы қате. Қазақша басылымда жаттығу шартында тіктөртбұрыштар «$ABCD$ және $ODFE$» деп жазылған, ал 115-суретте боялған тіктөртбұрыштардың төбелері $A, B, O, C$ және $O, D, E, F$. Дұрысы — $ABOC$ және $ODEF$. Бұл талдауда суреттегі әріптер қолданылды.

C деңгейі

№ 934

Алаңды қоршауға және оның бордюріне қанша материал қажет (116-сурет)? (Барлық бұрыштары тік: төменгі жағы 5 м, сол жақта 2 м × 2 м шығыңқы жер, оң жақта дәл сондай 2 м × 2 м ойық; қалған кесінділер 2 м-ден.)

Қалай ойлаймыз. Қоршау мен бордюр алаңның контурының бойымен жүреді, демек, периметрді табамыз. Сол жақтағы шығыңқы жер оң жақтағы ойықпен бірдей. Шығыңқы жерді қиып алып, ойыққа салсаң, 5 м × 6 м тіктөртбұрыш шығады. Фигуралар тең құралған, демек, аудан сол.

Шешуі.

1. Алаңның биіктігі: $2 + 2 + 2 = 6$ м.
2. Ауданы: $5 \cdot 6 = 30$ м². (Басқаша: $5 \cdot 2 = 10$ м²-тан үш жолақ, барлығы 30 м².)
3. Периметрі — контурды айналамыз: төменде 5, оң жақта $2 + 2 + 2 + 2 + 2$ (ойықтың маңында төмен-бүйір-жоғары), жоғарыда 5, сол жақта $2 + 2 + 2 + 2 + 2$.
4. $5 + 10 + 5 + 10 = 30$ м.

Жауабы: қоршауға да, бордюрға да 30 м-ден керек (периметр 30 м); алаңның ауданы — 30 м².

⚠️ Жиі кететін қате. Периметрді 5 × 6 тіктөртбұрыштағыдай іздейді: $(5 + 6) \cdot 2 = 22$ м. Бірақ шығыңқы жер мен ойықтың 2 м-ден артық қабырғалары пайда болады — олар төртеу, сондықтан $22 + 8 = 30$ м. Бөліктерді ауыстырғанда аудан сақталады, ал периметр сақталмайды!

№ 935

117-суретте көрсетілгендей шаршыны 7 бөлікке бөліңдер. Осы бөліктерден қандай да бір заттың кескінін беретін фигураларды құрастырыңдар. 117-суретте кейбіреуі көрсетілген. Өздерің қандай да бір затты ойлап құрастырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Танграмда 7 бөлік бар: 2 үлкен үшбұрыш, 1 орташа үшбұрыш, 2 кіші үшбұрыш, шаршы және параллелограмм. Әр фигурада 7 бөліктің бәрін, бір-біріне салмай қолдану керек.

4 × 4 торкөзді шаршыны былай бөлуге болады:

Шешуі.

1. Шаршыны торкөздер бойынша жоғарыдағыдай етіп тығыз картонға көшір. Сызықтар бойынша қи.
2. Суреттегі фигураларды құрастыр: аққу, қоян, жүгіріп бара жатқан адам, мысық, құс.
3. Өзің ойлап тап: мысалы, үй (шаршы + үлкен үшбұрыш-төбе), қайық, жебе, балық.

🌟 Танграмның барлық фигурасы — тең құралған: әрқайсысы бір ғана 7 бөліктен құралған. Демек, мысықтың, қоянның және аққудың ауданы бірдей — бастапқы шаршының ауданындай!

Жауабы: әркімнің фигурасы өзінше; кез келгенінің ауданы шаршының ауданына тең.

Хабарлама дайындаңдар

№ 936

1) Ежелгі шығыста фигуралардан құрастырылған басқатырғыш танграм қалай пайда болды? 2) Архимед — түрлі фигуралар және денелердің ауданы мен көлемін есептеу тәсілдерін ойлап тапқан ежелгі грек ғалымы, математик.

Қалай ойлаймыз. Қысқа жоспар: бұл не (кім), қашан, немен әйгілі, қызықты дерек. Мерзімдерін дереккөзден тексер.

Шешуі. Хабарламалардың мысалдары:

1. Танграм — Қытайдан шыққан басқатырғыш. Оның қытайша атауы «шеберліктің жеті тақтайшасы» деп аударылады. Шаршыны 7 бөлікке қиып, олардан мыңдаған фигура құрастырады: адамдар, жануарлар, әріптер, цифрлар. Ереже біреу — 7 бөліктің бәрін бір-біріне салмай қолдану. Еуропаға танграм XIX ғасырдың басында келіп, тез сәнді ойынға айналды.
2. Архимед (б.з.б. 287–212 жж.) Сицилия аралындағы Сиракуза қаласында өмір сүрген. Ол күрделі фигуралар мен денелердің: дөңгелектің, шардың, цилиндрдің ауданы мен көлемін есептеуді үйренген. Ең атақтысы — заттардың неліктен суда жүзетіні туралы Архимед заңы. Аңыз бойынша, ол мұны ваннада ашып, «Эврика!» («Таптым!») деп жүгіріп шыққан. Ол машиналар да ойлап тапқан: суды көтеруге арналған бұранда, тетіктер, блоктар. Оған «Маған тірек нүктесін беріңдер, мен Жерді аударып тастаймын» деген сөз тиесілі.

Жауабы: хабарламалардың мысалдары — жоғарыда.

Жадынама

• Тең құралған фигуралар әрқашан тең шамалас.
• Жартылай үшбұрыштың ауданы = тіктөртбұрыштың ауданы : 2.
• Күрделі фигураны тіктөртбұрыштарға бөл немесе тіктөртбұрыш шығатындай бөлікті ауыстыр.
• Бөліктерді ауыстырғанда периметрді контурды айналып, қайтадан санайды.

Шағын тест