1.1. Натурал сандар және нөл

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). I тарау: Натурал сандар және нөл. 4–8-беттер.

Нені үйренесің

• Натурал сандарды нөлден ажырата білуді.
• 149 597 900 сияқты үлкен сандарды тоқтамай оқуды.
• Санды «кірпіштерге», яғни разрядтық қосылғыштарға жіктеуді.
• Неге 5 цифры бір санда 5-ті, ал басқасында 5000-ды білдіретінін түсінуді.

Ой қозғау

Алдымен ойша жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• Санауда қолданылатын сандардың ең кішісі қандай сан? 1. «Нөл алма» деп ешкім санамайды.
• Рет-ретімен санағанда келесі сан алдыңғы саннан нешеге артық? 1-ге: 7, 8, 9, 10…
• $3 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 2$ неге тең? 300 + 50 + 2 = 352.
• Ал $4 \cdot 1000 + 6 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 9$ ше? 4000 + 600 + 80 + 9 = 4689.
• 5761 санында неше мыңдық бар? 3596 санында неше жүздік? 8451 санында неше ондық? 7825 санында неше бірлік? Бәрінде жауап — 5!

💡 Байқадың ба? Төрт санның төртеуінде де бес цифры бар, бірақ ол біресе мыңдықты, біресе жүздікті, біресе ондықты, біресе бірлікті білдіреді. Демек, цифрдың мәні оның тұрған орнына байланысты. Бұл сабақтың басты құпиясы осы.

Тақырыпты талдаймыз

Қандай сандар «натурал» болады

Көліктерді санап тұрғаныңды елестет: бір, екі, үш… Заттарды санауда қолданылатын сандар натурал сандар деп аталады: 1, 2, 3, 4, 5 және т.с.с. Ең кішісі — 1. Ең үлкені жоқ: кез келген санға әрқашан тағы 1-ді қосуға болады.

🌟 «Натурал» сөзі латынның natura сөзінен шыққан, қазақшасы — «табиғат». Яғни бұл — ең «табиғи» сандар, адамдар санауды солардан бастаған.

Ал нөл ше? Нөлмен ештеңені санай алмайсың, сондықтан нөл — натурал сан емес. Дегенмен онсыз болмайды: «жүз бес» санын нөлсіз жазып көр!

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан сұраңыз: «Нөл натурал сан ба?» Көп бала «иә» деп жауап береді. Дұрысы — жоқ. Бұл сұрақ бақылау жұмыстарында жиі кездеседі.

Цифрлар — сандарға арналған әріптер

Цифр барлығы он: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (оларды араб цифрлары дейді). Әріптерден барлық сөз құралатыны сияқты, осы он цифрдан барлық сан құралады.

Кірпіштерден құралған сан

35 749 санын алайық. Әр цифр — өз бағасы бар жеке кірпіш. Өзің байқап көр: цифрларды басып көр немесе өз санынды жаз.

Сонда $35,749 = 30,000 + 5000 + 700 + 40 + 9$ болады. Мұндай жазуды разрядтық қосылғыштардың қосындысы дейді. Оны көбейту арқылы да жазуға болады:

$35,749 = 3 \cdot 10,000 + 5 \cdot 1000 + 7 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 9$.

📌 10 бірлік = 1 ондық, 10 ондық = 1 жүздік, 10 жүздік = 1 мыңдық. Әр келесі разряд алдыңғысынан 10 есе үлкен. Сондықтан біздің санау жүйеміз ондық санау жүйесі деп аталады.

Цифр неге «киімін ауыстырады»

8 цифрына қара: 348 санында ол 8 бірлікті, 582 санында 8 ондықты, ал 867 санында тіпті 8 жүздікті білдіреді! Цифр біреу, ал мәні тұрған орнына, яғни позициясына байланысты. Сондықтан бұл жүйені позициялық (жергілікті) жүйе деп атайды.

⚠️ Жиі кететін қате. «3596 санында неше жүздік бар?» Егер сұрақ жүздіктер разряды туралы болса, онда тұрған цифр — 5. Ал санның ішіндегі барлық жүздіктер туралы болса, олар — 35 (себебі 3596 = 35 жүздік және тағы 96). Сұрақты мұқият оқы!

Үлкен сандарды қалай оқимыз

Санды оң жақтан сол жаққа қарай үш цифрдан бөл. Әр үштік — бір класс: бірліктер, мыңдар, миллиондар, миллиардтар, триллиондар.

Сол жақтан оқимыз: «жүз қырық тоғыз миллион бес жүз тоқсан жеті мың тоғыз жүз». Егер класта тек нөлдер (000) болса, ол классты мүлде атамаймыз.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бала үлкен санды оқығанда адасса, қарындашпен оң жақтан бастап үш цифрдан бөліп сызып шықсын. Екі-үш мысалдан кейін бұл өздігінен шығады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

1. Қандай сандар натурал сандар деп аталады? Заттарды санауда қолданылатын сандар: 1, 2, 3, 4…
2. Нөл саны натурал сандарға жата ма? Жоқ, онымен санамайды.
3. Ондық санау жүйесінің ерекшелігі неде? Бір разрядтың 10 бірлігі келесі разрядтың 1 бірлігін құрайды.
4. Не себепті ондық санау жүйесі позициялық (жергілікті) жүйе деп аталады? Өйткені цифрдың мәні оның санда тұрған орнына байланысты.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 1

Ауызша есептеңдер: $25 \cdot 4$, $25 \cdot 6$, $25 \cdot 8$, $810 : 9$, $560 : 8$, $560 : 80$, $303 \cdot 3$, $412 \cdot 4$, $202 \cdot 5$, $320 : 16$, $640 : 32$, $160 : 8$.

Қалай ойлаймыз. Мына сиқырлы теңдікті жатта: $25 \cdot 4 = 100$. Содан $25 \cdot 6$ және $25 \cdot 8$ оңай шығады. «Дөңгелек» сандарды бөлгенде алдымен нөлдерді жасырып қой: $810 : 9$ — бұл $81 : 9$ сияқты, тек соңында нөл тұр.

Шешуі.

Жауабы: 100; 150; 200; 90; 70; 7; 909; 1648; 1010; 20; 20; 20.

A деңгейі

№ 2

Кестедегі сандарды оқыңдар. Кестедегі берілген сандардың кластарын бір-бірінен аралықпен ажыратып, жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Цифрларды солдан оңға қарай ретімен жазып, оң жақтан санағанда әр үш цифрдан кейін бос орын қоямыз.

Шешуі.

1. 9 619 425 — тоғыз миллион алты жүз он тоғыз мың төрт жүз жиырма бес.
2. 35 617 000 927 — отыз бес миллиард алты жүз он жеті миллион тоғыз жүз жиырма жеті (мыңдар жоқ — оны өткізіп жібереміз).
3. 5 327 408 614 000 — бес триллион үш жүз жиырма жеті миллиард төрт жүз сегіз миллион алты жүз он төрт мың.

Жауабы: 9 619 425; 35 617 000 927; 5 327 408 614 000.

№ 3

Мына сандарды цифрлармен жазыңдар: жеті жүз он; төрт жүз отыз мың алпыс; бес жүз сегіз мың екі жүз отыз төрт; үш миллион жиырма бес мың алты; отыз екі миллион он бес мың жеті жүз екі.

Қалай ойлаймыз. Ең сол жақтағыдан басқа әр класта дәл үш цифр болады. «Алпыс» деп аталса, класқа 060 деп жазамыз.

Шешуі. 1) 710; 2) 430 060; 3) 508 234; 4) 3 025 006; 5) 32 015 702.

Жауабы: 710; 430 060; 508 234; 3 025 006; 32 015 702.

⚠️ Жиі кететін қате. 430 060 орнына 43 060 деп жазады, яғни нөлді жоғалтады. Тексер: «мыңдарда» 430, «бірліктерде» 060.

№ 4

Сандар: 70 563; 4 036 008; 435 072 614; 8 617 000 324. Бірінші саннан 5 цифрының, екіншіден 3 цифрының мәнін тап, үшіншідегі 0 цифры нені білдіреді? Төртінші санда мыңдықтар класы неге аталмайды?

Шешуі.

1. 70 563 санында бестік жүздіктер разрядында тұр: оның мәні — 500.
2. 4 036 008 санында үштік ондық мыңдар разрядында тұр: оның мәні — 30 000.
3. 435 072 614 санында нөл жүздік мыңдар разрядында тұр: ол жүздік мыңдар жоқ екенін көрсетеді және қалған цифрларды өз орнында ұстап тұрады.
4. 8 617 000 324 санында мыңдар класында тек нөлдер тұр, сондықтан оны атамаймыз.

Жауабы: 500; 30 000; жүздік мыңдар жоқ; мыңдар класында тек нөлдер бар.

№ 5

Қандай сан разрядтық қосылғыштардың қосындысы түрінде жазылған: $9 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + 5$; $5 \cdot 1000 + 7 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 6$; $8 \cdot 10,000 + 5 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 2$; $7 \cdot 10,000 + 3 \cdot 1000 + 9 \cdot 10 + 4$?

Қалай ойлаймыз. Қосындыда қандай да бір разряд жоқ болса, санда оның орнында 0 тұрады.

Шешуі. 1) 965; 2) 5736; 3) 85 402 (ондықтар жоқ); 4) 73 094 (жүздіктер жоқ).

Жауабы: 965; 5736; 85 402; 73 094.

B деңгейі

№ 6

Оқыңдар: Жер экваторының ұзындығы 40 075 696 м; Күннен Жерге дейінгі қашықтық 149 597 900 км; Азияның (аралдарды есептемегендегі) ауданы 42 400 000 шаршы километр; Жерден Айға дейінгі қашықтық 384 401 000 м.

Шешуі.

1. Қырық миллион жетпіс бес мың алты жүз тоқсан алты метр.
2. Жүз қырық тоғыз миллион бес жүз тоқсан жеті мың тоғыз жүз километр.
3. Қырық екі миллион төрт жүз мың шаршы километр.
4. Үш жүз сексен төрт миллион төрт жүз бір мың метр.

Жауабы: жоғарыда оқылды.

№ 7

Цифрлармен жазыңдар: 1) Есіңе түсір! Сен бірінші сыныпқа қай жылы бардың? 2) Сен қай жылы мектепті бітіресің?

Қалай ойлаймыз. Әркімнің жауабы өзіне тән. Егер сен қазір 5-сыныптасың болсаң, онда бірінші сыныпқа 4 жыл бұрын барғансың, ал 11-сыныпқа дейін 6 жыл қалды.

Шешуі. 2026/27 оқу жылындағы бесінші сынып оқушысы үшін мысал: бірінші сыныпқа 2022 жылы барған, мектепті 2033 жылы бітіреді.

Жауабы: әркімдікі әртүрлі; мысалы, 2022 және 2033.

№ 8

Санды цифрлармен жазып, сонан соң оқыңдар: 1) ең кіші төрт таңбалы натурал сан; 2) ең үлкен алты таңбалы натурал сан; 3) ең кіші сегіз таңбалы натурал сан; 4) ең үлкен жеті таңбалы натурал сан.

Қалай ойлаймыз. Ең кішісі — бір және нөлдер. Ең үлкені — тек тоғыздар.

Шешуі.

1. 1000 — мың.
2. 999 999 — тоғыз жүз тоқсан тоғыз мың тоғыз жүз тоқсан тоғыз.
3. 10 000 000 — он миллион.
4. 9 999 999 — тоғыз миллион тоғыз жүз тоқсан тоғыз мың тоғыз жүз тоқсан тоғыз.

Жауабы: 1000; 999 999; 10 000 000; 9 999 999.

№ 9

Санды разрядтық қосылғыштардың қосындысы түрінде екі тәсілмен жазыңдар: 4915; 6083; 15 009; 25 467; 10 803; 206 030.

Қалай ойлаймыз. Нөлдік разрядтарды қосындыға жазбаймыз. Үлгі: $9746 = 9000 + 700 + 40 + 6 = 9 \cdot 1000 + 7 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 6$.

Шешуі.

1. $4915 = 4000 + 900 + 10 + 5 = 4 \cdot 1000 + 9 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 5$
2. $6083 = 6000 + 80 + 3 = 6 \cdot 1000 + 8 \cdot 10 + 3$
3. $15,009 = 10,000 + 5000 + 9 = 1 \cdot 10,000 + 5 \cdot 1000 + 9$
4. $25,467 = 20,000 + 5000 + 400 + 60 + 7$
5. $10,803 = 10,000 + 800 + 3$
6. $206,030 = 200,000 + 6000 + 30 = 2 \cdot 100,000 + 6 \cdot 1000 + 3 \cdot 10$

Жауабы: жоғарыдағы жазбалар.

№ 10

1) 0, 1 және 9; 2) 0, 3 және 5 цифрларын қайталамай жазғанда, олардан неше үш таңбалы натурал сан құрастыруға болады? Құрастырылған үш таңбалы натурал сандарды жазыңдар. Натурал санның ең жоғарғы разрядын 0 цифрымен жазуға бола ма?

Қалай ойлаймыз. Бірінші цифрды ауыстырып шығамыз. Санды нөлден бастауға болмайды: 019 — бұл жай ғана 19.

Шешуі. 0, 1, 9 цифрларынан: 109, 190, 901, 910. 0, 3, 5 цифрларынан: 305, 350, 503, 530.

Жауабы: екеуінде де 4 саннан; нөлден бастауға болмайды.

№ 11

Мына тұжырымдамалардың қайсысы дұрыс: 1) кез келген натурал саннан 1-ге кем натурал сан бар; 2) санның ең жоғарғы разряды кез келген цифрмен жазылады; 3) 1-ден өзге әрбір натурал саннан 1-ге кем натурал сан бар; 4) санның ең жоғарғы разряды 0-ден өзге цифрмен жазылады?

Шешуі. 1) Қате: 1 санынан 1-ге кем натурал сан жоқ. 2) Қате: нөлмен жазуға болмайды. 3) Дұрыс. 4) Дұрыс.

Жауабы: 3 және 4 дұрыс.

№ 12

Ұзындығы 16 м тоқыма баудан өлшеуіш құралдарды пайдаланбай, 6 м тоқыма бауды қалай қиып алуға болады?

Қалай ойлаймыз. Бұл — тапқырлыққа есеп! Бауды екіге бүгуге болады: әр бүккен сайын ұзындығы 2 есе азаяды.

Шешуі.

1. 16 м бауды екіге бүк — 8 м шығады.
2. Тағы екіге бүк — 4 м.
3. Тағы бір рет — 2 м.
4. 4 м мен тағы 2 м өлше: 4 + 2 = 6 м. (Немесе 8 м минус 2 м.)

Жауабы: екіге бүгу арқылы: 4 м + 2 м = 6 м.

C деңгейі

№ 13

Көп қабатты үйдегі пәтерлердің есіктерінің сыртындағы пәтер нөмірін көрсететін сан металл цифрлардан құрастырылады. Егер осы үйде 120 пәтер болса, барлық пәтерлер нөмірін көрсететін сандар неше металл цифрдан құрастырылады?

Қалай ойлаймыз. Нөмірлердің ұзындығы әртүрлі: бір таңбалы, екі таңбалы, үш таңбалы. Әр топты бөлек санаймыз.

Шешуі. $9 + 180 + 63 = 252$.

Жауабы: 252 цифр.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Жиі кездесетін жауап — «120 цифр». Баладан 8, 9, 10, 11 нөмірлерін жазып, цифрларын саусағымен санап шығуын сұраңыз: неге цифр көп болатыны түсінікті болады.

№ 14

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 цифрларының барлығымен жазылатын және цифрлар қайта қайталанбайтын: 1) ең үлкен санды жазыңдар; 2) ең кіші санды жазыңдар. Сұрақтарға жауап беріңдер: 1) Ондық санау жүйесінде кез келген натурал санды жазу үшін әртүрлі неше цифр жеткілікті? 2) Ондық санау жүйесінде жазылған натурал санның ең жоғарғы разряды қандай цифрлармен жазылуы мүмкін?

Шешуі. Ең үлкені: цифрларды кему ретімен жазамыз — 9 876 543 210. Ең кішісі: өсу ретімен, бірақ нөлді бірінші қоюға болмайды — 1 023 456 789. Кез келген санды жазуға он цифр жеткілікті; ең жоғарғы разряд — нөлден басқа кез келген цифрмен жазылады.

Жауабы: 9 876 543 210; 1 023 456 789; 10 цифр; нөлден басқа.

№ 15

Кітап үшінші бетінен бастап 3 цифрымен нөмірленген. Кітаптың барлық беттері 1315 цифрмен нөмірленген. Кітапта неше бет бар?

Қалай ойлаймыз. № 13 сияқты: алдымен бір таңбалы және екі таңбалы нөмірлерге кеткен цифрларды есептейміз, қалғанын 3-ке бөлеміз.

Шешуі.

1. 3–9 беттер: 7 цифр.
2. 10–99 беттер: 180 цифр.
3. Қалғаны: $1315 - 7 - 180 = 1128$ цифр — бұл $1128 : 3 = 376$ үш таңбалы нөмір.
4. Соңғы беттің нөмірі: $100 + 376 - 1 = 475$.
5. Бірінші және екінші беттерге нөмір қойылмаған, бірақ олар кітаптың құрамында бар. Сондықтан кітапта барлығы 475 бет.

Жауабы: 475 бет.

№ 16

Банкадағы су бірдей 4 бөтелкедегі суға тең. Бір бөтелкедегі су банкадағы судан 9 кесе кем. Банкада неше кесе су бар?

Қалай ойлаймыз. Банка — бұл 4 бөтелке. Бір бөтелкені алып тастасақ, 3 бөтелке қалады — бұл «9 кесе артық» дегенді білдіреді.

Шешуі. 3 бөтелке = 9 кесе, демек, 1 бөтелке = 3 кесе, банка = $4 \cdot 3 = 12$ кесе. Тексеру: $12 - 3 = 9$ ✓.

Жауабы: 12 кесе.

№ 17

Ақпараттық көздерді пайдаланып, сұрақтарға жауап беріңдер: Қазақстанның аумағының ауданы; Эверест шыңының биіктігі; Хан Тәңірі шыңының биіктігі; Қарағанды облысының ауданы — және разрядтар туралы сұрақтарға жауап бер.

Қалай ойлаймыз. Алдымен сандарды іздейміз, сосын разрядтарына қараймыз. Деректер кейде нақтыланады, сондықтан дереккөзбен салыстырып көр.

Шешуі.

Жауабы: кестеде.

Жадынама

• Натурал сандар: 1, 2, 3… Нөл — натурал сан емес.
• $35,749 = 30,000 + 5000 + 700 + 40 + 9$ — разрядтық қосылғыштардың қосындысы.
• Әр разряд алдыңғысынан 10 есе үлкен.
• Ұзын санды оң жақтан сол жаққа қарай үш цифрдан бөлеміз.
• Санның ең жоғарғы разрядын ешқашан нөлмен жазбайды.

Шағын тест