1.2. Координаталық сәуле. Натурал сандарды және нөл санын координаталық сәуледе кескіндеу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). I тарау: Натурал сандар және нөл. 9–13-беттер.

Нені үйренесің

• Координаталық сәуле сызуды: санақ басын, бағытын және бірлік кесіндісін белгілеуді.
• Сәуледе керекті координатасы бар нүктені, мысалы $A(3)$, белгілеуді.
• Бір бөлік 40 м немесе 60 км болғанда да нүктенің координатасын табуды.
• Нүктелердің координаталары бойынша олардың арасындағы қашықтықты табуды.

Ой қозғау

Дәптер мен қарындаш ал. Алдымен өзің жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• Сәулені неден бастаймыз? $O$ нүктесін қойып, одан оңға қарай сызық жүргіземіз. $O$ нүктесінің астына 0 жазамыз.
• Қандай қадам аламыз? 1 см — дәптердің 2 торкөзі. Осындай қадамдарды бірінен соң бірін саламыз.
• Қадамдардың ұштарын қалай белгілейміз? Ретімен: 1, 2, 3, 4, 5, 6…
• Шыққан сызба неге ұқсайды? Сызғышқа! Тек сызғыштың соңы бар, ал біздің сәулені шексіз жалғастыруға болады. Міне, осы — координаталық сәуле.

Тақырыпты талдаймыз

Ит, мысық және сәуле

Ит мысықты көріп, қуа жөнелді. Мысық 7 м/с жылдамдықпен қашады, ит 10 м/с жылдамдықпен қуады. Үйден шыққан жолды сәуле етіп сызайық: үй — 0, бір бөлік — 1 м.

Енді бәрі бір қарағанда көрініп тұр:

1. Екеуінің арасы $16 - 4 = 12$ м.
2. Ит әр секунд сайын мысыққа $10 - 7 = 3$ м жақындайды.
3. Демек, қуып жетеді: $12 : 3 = 4$ с-тан кейін.

Бір жолмен жазсақ: $(16 - 4) : (10 - 7) = 4$ (с). Сәуленің керегі осында: ол есепті суретке айналдырады.

Координаталық сәуле неден тұрады

Саған үш нәрсе керек:

1. Санақ басы — $O$ нүктесі, оның астында 0 тұрады.
2. Бағыт — әдетте оңға қарай, ұшында көрсеткі болады.
3. Бірлік кесінді — біз «бір» деп келіскен қадам. Оның ұшына 1 санын жазамыз.

5 санын белгілеу үшін $O$ нүктесінен осындай бес қадам сал. 2 санын белгілеу үшін — екі қадам. Әр натурал санға дәл бір нүкте сәйкес келеді, ал нөлге — $O$ нүктесінің өзі.

🌟 Координаталық сәулені сан сәулесі деп те атайды. Бұл — шексіз сызғыш сияқты: оңға қанша жүрсең де, сандар таусылмайды.

Әр нүктенің «мекенжайы» бар

Нүктенің астындағы санды оның координатасы деп атайды. Былай жазады: әріп, ал жақшада сан. $A(1)$ деп «координатасы 1-ге тең $A$ нүктесі» оқылады, $O(0)$ деп «координатасы 0-ге тең $O$ нүктесі» оқылады.

Өзің байқап көр: сәулеге нүкте қой.

⚠️ Жиі кететін қате. $O$ нүктесін де қосып санап, бір бөлікке жаңылады. $O$ нүктесі — бұл 0, ал бірінші бөлік емес. $O$ нүктесінен кейінгі бірінші бөлік — 1.

Бір бөлік бірлік болмағанда

Сәуледегі қадам кез келген нәрсені білдіре алады: 1 м, 40 м, 60 км. Сонда былай есептейміз: координата = бөліктер саны × бір бөліктің бағасы.

Мысал: бір бөлік — 60 км, нүкте 7-бөлікте тұр. Оған дейін $7 \cdot 60 = 420$ км.

Екі нүктенің арасы қанша

Егер $A(4)$ және $B(16)$ болса, $A$ нүктесінен $B$ нүктесіне дейін дәл $16 - 4 = 12$ қадам бар. Ереже қарапайым: үлкен координатадан кішісін шегереміз.

⚠️ Жиі кететін қате. $A(2)$ үшін: «$OA$ ұзындығы — 3, себебі үш нүкте көріп тұрмын: 0, 1, 2» дейді. Олай емес! Нүктелерді емес, олардың арасындағы қадамдарды санаймыз. Қадам екеу, демек, $OA = 2$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан сызғыштан $K(7)$ және $M(12)$ нүктелерін көрсетіп, олардың арасы неше сантиметр екенін айтуын сұраңыз. Егер бала бөліктерді қайта санамай-ақ «5» деп жауап берсе, тақырып түсінілген.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Координаталық сәуле қалай сызылады? $O$ нүктесінен оңға қарай сәуле жүргіземіз, 0 жазамыз, бірлік кесіндіні таңдап, оны салып, 1 жазамыз. Әрі қарай дәл осындай кесінділерді саламыз: 2, 3, 4…
• Координаталық сәуленің санақ басы ретінде қай нүкте алынады? Сәуленің басталу нүктесі — координатасы 0 болатын $O$ нүктесі.
• Бірлік кесінді деген не? Ұзындығы «бірлік» ретінде алынған кесінді.
• Нүктенің координатасы дегеніміз не? Сәуледегі нүктенің астында тұрған сан. Былай жазады: $A(5)$, $B(9)$, $D(0)$.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 18

Төрт тізбек. Бірінші амалдан баста, ал әрбір келесі амалды шыққан санмен орында.

Қалай ойлаймыз. Бүкіл тізбекті басыңда ұстама. Тек соңғы нәтижені есіңде сақта да, келесі қадамды жаса.

Шешуі.

1. $47 + 29 = 76$; $76 : 38 = 2$; $2 \cdot 54 = 108$; $108 - 48 = 60$; $60 : 5 = 12$.
2. $30 \cdot 7 = 210$; $210 - 90 = 120$; $120 : 8 = 15$; $15 + 55 = 70$; $70 : 14 = 5$.
3. $90 : 5 = 18$; $18 + 27 = 45$; $45 \cdot 3 = 135$; $135 - 55 = 80$; $80 : 16 = 5$.
4. $80 - 24 = 56$; $56 : 8 = 7$; $7 + 59 = 66$; $66 \cdot 2 = 132$; $132 + 18 = 150$.

Жауабы: 1) 12; 2) 5; 3) 5; 4) 150.

A деңгейі

№ 19

Екі сәуледе $A$, $B$, $C$, $D$ нүктелері тұр. Олардың координаталарын ата.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бір бөліктің неге тең екенін біл. Содан кейін $O$ нүктесінен бастап бөліктерді сана.

Шешуі.

1. Бір бөлік — 1. $A$ нүктесі 2-бөлікте, $B$ — 4-бөлікте, $C$ — 5-бөлікте, $D$ — 7-бөлікте тұр.
2. $OA$ кесіндісі 5 ұсақ бөлікке бөлінген, әрқайсысы — 1. Демек, $A(5)$, ал әрбір үлкен қадам да 5-ке тең. $B$ — 3-үлкен қадамда: $3 \cdot 5 = 15$. $C$ — 5-інші қадамда: $5 \cdot 5 = 25$. $D$ — 8-інші қадамда: $8 \cdot 5 = 40$.

Жауабы: 1) $A(2)$, $B(4)$, $C(5)$, $D(7)$; 2) $A(5)$, $B(15)$, $C(25)$, $D(40)$.

№ 20

Бірлік кесінді ретінде ұзындығы 1 см кесіндіні алып, координаталық сәуле сызыңдар. Оның бойында 2, 6, 8 және 9 сандарын кескіндейтін $A$, $B$, $C$ және $D$ нүктелерін белгілеңдер. $OA$, $OB$, $OC$ және $OD$ кесінділерінің ұзындықтарын сантиметр есебімен табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Қадам — 1 см. Демек, нүктеге дейін неше қадам болса, $O$ нүктесінен сонша сантиметр болады.

Шешуі. $O$ нүктесінен 1 см-ден (2 торкөзден) саламыз. $A$ — 2 см қашықтықта, $B$ — 6 см, $C$ — 8 см, $D$ — 9 см қашықтықта. $O$ нүктесінен кесіндінің сантиметрмен берілген ұзындығы нүктенің координатасымен бірдей.

Жауабы: $OA = 2$ см, $OB = 6$ см, $OC = 8$ см, $OD = 9$ см.

B деңгейі

№ 21

Бірлік кесіндісі дәптердің 2 торкөзінің ұзындығына тең координаталық сәуле сызыңдар. Координаталық сәуле бойынан: 1) $A(4)$ және $B(8)$; 2) $A(3)$ және $B(11)$ нүктелерін белгілеп, $AB$ кесіндісінің қақ ортасындағы $C$ нүктесін координатасымен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ортасы — екі ұшына дейінгі қашықтық бірдей болатын нүкте. $AB$ ұзындығын тауып, екіге бөл де, $A$ нүктесінің координатасына қос.

Шешуі.

1. $A$ — $O$ нүктесінен 8 торкөз қашықтықта, $B$ — 16 торкөз қашықтықта. $AB = 8 - 4 = 4$, жартысы — 2. $C$: $4 + 2 = 6$.
2. $A$ — 6 торкөзде, $B$ — 22 торкөзде. $AB = 11 - 3 = 8$, жартысы — 4. $C$: $3 + 4 = 7$.

Тексеру: $C(6)$ нүктесінен $A(4)$ және $B(8)$ нүктелеріне дейін 2 қадамнан; $C(7)$ нүктесінен $A(3)$ және $B(11)$ нүктелеріне дейін 4 қадамнан.

Жауабы: 1) $C(6)$; 2) $C(7)$.

№ 22

Табақшалы таразымен кіртастарын пайдаланбай, 12 кг қантты қалайша массалары 9 кг және 3 кг болатындай бөліктерге бөлуге болады?

Қалай ойлаймыз. Бұл — тапқырлыққа есеп. Кіртассыз таразы тек бір нәрсені істей алады: екі табақша теңескенше, үйіндіні тең екіге бөледі.

Шешуі.

1. 12 кг қантты екі табақшаға теңескенше саламыз. Әр табақшада 6 кг-нан болады.
2. 6 кг үйіндінің біреуін таразыда қайтадан екіге бөлеміз: 3 кг және 3 кг.
3. 6 кг және 3 кг үйінділерді қосамыз: $6 + 3 = 9$ кг. 3 кг үйінді қалды.

Жауабы: екі өлшеу: 12 → 6 және 6, сосын 6 → 3 және 3; бөліктер $6 + 3 = 9$ кг және 3 кг.

№ 23

Алдаркөсе 80 м/мин жылдамдықпен Шығайбайдың үйіне келе жатыр. Координаталық сәуледе Шығайбайдың үйі $A$ нүктесімен кескінделген. Мұндағы бірлік кесінді 40 метрге сәйкес. 1) Координаталық сәуледе Шығайбайдың үйіне сәйкес нүктенің координатасын табыңдар; 2) Алдаркөсе Шығайбайдың үйіне неше минутта жетеді?

Қалай ойлаймыз. Координата = бөліктер саны × 40 м. Уақыт = қашықтық : жылдамдық.

Шешуі.

1. $A$ нүктесі 8-бөлікте тұр. Координатасы: $8 \cdot 40 = 320$ (м).
2. Жолдағы уақыты: $320 : 80 = 4$ (мин).

Жауабы: 1) $A(320)$, яғни үй 320 м қашықтықта; 2) 4 минутта.

C деңгейі

№ 24

1.6-суреттегі баланың тұрған орнына және оның итінің тұрған орнына сәйкес нүктелердің координаталарын табыңдар. Бала 3-бөлікте тұрып, оңға қарай 3 м/с жылдамдықпен жүгіреді, ит 11-бөлікте тұрып, оған қарсы 5 м/с жылдамдықпен жүгіреді. 1) Егер бірлік кесінді 30 м-ге тең болса, олар неше метр қашықтықтан бір-біріне қарсы жүгіріп келеді? 2) Бала мен ит неше секундтан соң кездеседі?

Қалай ойлаймыз. Алдымен координаталарды, сосын арақашықтықты табамыз. Қарсы жүгіргенде әр секунд сайын арақашықтық жылдамдықтардың қосындысына кемиді.

Шешуі.

1. Баланың координатасы: $3 \cdot 30 = 90$ (м). Иттің координатасы: $11 \cdot 30 = 330$ (м).
2. Екеуінің арасы: $330 - 90 = 240$ (м).
3. Олар қарсы жүгіреді, сондықтан 1 секундта $3 + 5 = 8$ (м)-ге жақындайды.
4. Кездесуге дейінгі уақыт: $240 : 8 = 30$ (с).

Жауабы: баланың координатасы 90, иттікі — 330; 1) 240 м қашықтықтан; 2) 30 секундтан соң.

№ 25

1.7-суретте Шегірткенің секіру қозғалысы координаталық сәуле бойында кескінделген. Шегіртке координаталық сәуле бойымен $A(3)$ нүктесінен солға қарай 2 бірлік кесіндіге секірген соң, оңға қарай 5 бірлік кесіндіге секіреді. Шегіртке осылайша қозғалысты жалғастырады. Шегіртке координатасы 2, 4, 5, 7, 9 және 12 нүктелерінің қайсысында болады?

Қалай ойлаймыз. Шегіртке әр секіруден кейін қайда тұрғанын жаз. Жақында заңдылықты көресің.

Шешуі.

1. Секірулері: $3 \to 1 \to 6 \to 4 \to 9 \to 7 \to 12 \to 10 \to 15 \to 13 \to \dots$
2. «Солға 2, оңға 5» деген бір жұп секіріс оны оңға қарай $5 - 2 = 3$-ке жылжытады. Әр жұптан кейін ол 3, 6, 9, 12, … нүктелерінде болады, ал солға секіргеннен кейін — 1, 4, 7, 10, 13, … нүктелерінде.
3. 2 және 5 сандары екі қатарда да жоқ: 1-ден ол бірден 6-ға секіреді, 4-тен — бірден 9-ға.

Жауабы: 4, 7, 9 және 12 нүктелерінде болады; 2 және 5 нүктелерінде болмайды.

№ 26

Ертедегі орыс есебі. Әкесі балаларына ақша берді. Ол үлкен ұлына барлық ақшасының жартысын және 1 рубль, ортаншы ұлына қалған ақшасының жартысын және 1 рубль, кіші ұлына қалған ақшасының жартысын және қалған 3 рубльді берді. Әкесі балаларына барлығы қанша ақша берді?

Қалай ойлаймыз. Есепті соңынан бастап шеш. Егер кіші ұл «жартысын және тағы 3 рубль» алып, одан басқа ештеңе қалмаса, онда сол 3 рубль — екінші жартысы.

Шешуі.

1. Кіші ұл: соңғы қалғанның жартысы — 3 рубль, демек, қалған ақша $3 \cdot 2 = 6$ рубль болған.
2. Ортаншы ұл: одан кейін 6 қалды. Бірінші қалғанның жартысы $6 + 1 = 7$, барлық қалған ақша $7 \cdot 2 = 14$ рубль.
3. Үлкен ұл: одан кейін 14 қалды. Барлық ақшаның жартысы $14 + 1 = 15$, барлық ақша $15 \cdot 2 = 30$ рубль.

Тексеру: үлкен ұл $15 + 1 = 16$ алды, 14 қалды; ортаншы ұл $7 + 1 = 8$ алды, 6 қалды; кіші ұл $3 + 3 = 6$ алды, 0 қалды. Барлығы $16 + 8 + 6 = 30$.

Жауабы: 30 рубль.

№ 27

1.8-суретте санақ басы $O$ нүктесі болатын, бірлік кесіндісі 60 км-ге тең координаталық сәулелер кескінделген. Қостанай, Павлодар, Жезқазған қалаларының Астана қаласынан арақашықтықтарын (жуықтап) табыңдар. Ақпараттық-коммуникациялық технологияларды пайдаланып, осы қалалардың Астана қаласынан арақашықтықтарын табыңдар. Оны 1.8-сурет бойынша анықтаған сәйкес қашықтықтармен салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр сәуледен бөліктерді санап, 60 км-ге көбейтеміз.

Шешуі.

1. Қостанайға дейін шамамен 10 бөлік: $10 \cdot 60 = 600$ (км).
2. Павлодарға дейін шамамен 7 бөлік: $7 \cdot 60 = 420$ (км).
3. Жезқазғанға дейін шамамен 8 бөлік: $8 \cdot 60 = 480$ (км).

Анықтамалық деректер (дереккөзден тексеріңдер; түзу сызықпен жол жақынырақ, ал автожолмен — алыстау):

Сурет бойынша шыққан сандар түзу сызықпен өлшенген қашықтыққа жақын: сурет жолды «құс ұшқандай» көрсетеді.

Жауабы: сурет бойынша шамамен Қостанай — 600 км, Павлодар — 420 км, Жезқазған — 480 км.

Жадынама

• Сәуле: басы $O(0)$, бағыты оңға, бірлік кесіндісі бар.
• Әрбір натурал сан — бір нүкте, нөл — $O$ нүктесі.
• Координата = бөліктер саны × бір бөліктің бағасы.
• Екі нүктенің арасы = үлкен координата − кіші координата.

Шағын тест