Эратосфен елегі

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). II тарау: Натурал сандардың бөлінгіштігі. 77–78-беттер.

Ең бастысы

Ең үлкен жай сан жоқ

Біздің заманымызға дейінгі III ғасырда ежелгі грек математигі Евклид жай сандар шексіз көп екенін дәлелдеді. Қанша жай сан тапсаң да, одан да үлкен тағы біреуі міндетті түрде табылады.

Ал, айталық, 50-ге дейінгі барлық жай сандарды қалай тез табуға болады? Әр санды бөлу арқылы тексере бермейсің ғой!

Тесігі бар тақтайша

Сәл кейінірек Мысырдағы Александрия қаласында математик Эратосфен өмір сүрді. Ол балауыз жағылған тақтайшаға сандарды жазып, таяқшамен бірді және барлық құрама сандарды тесіп тастайтын. Тақтайша ұнға арналған електей болып шығатын. Ал електе тек жай сандар «қалып қоятын».

Осыдан Эратосфен елегі деген атау шықты.

🌟 Эратосфен тек математик қана емес еді. Ол Жердің көлемін алғаш болып, өте дәл өлшеген: екі түрлі қаладағы таяқтың көлеңкесіне қарап!

Қалай електен өткіземіз

1. Сандарды қатарынан жаз. Бірді бірден сыз, өйткені ол жай сан емес.
2. Сызылмай қалған бірінші сан — 2. Оны дөңгелектеп қой, ал 2-ге еселік сандардың барлығын (4, 6, 8…) сыз.
3. Келесі сызылмаған сан — 3. Оны дөңгелектеп, 3-ке еселік сандарды сыз: 9, 15, 21… (жұп сандар бұрын сызылған).
4. Одан кейін 5: оны дөңгелектеп, 25, 35, 45… сандарын сыз.
5. Сосын 7: оның еселіктерінен сызылмай қалғаны тек 49.
6. Келесі жай сан — 11, ал $11 \cdot 11 = 121$ — бұл кестеден әлдеқашан тыс. Тоқта! Сызылмай қалған сандардың бәрі — жай сандар.

💡 Дөңгелектелген келесі санның квадраты кестенің шегінен асқанда тоқтауға болады. 50-ге дейінгі кесте үшін 2-нің, 3-тің, 5-тің және 7-нің еселіктерін сызу жеткілікті.

Өзің елеп көр!

Өзіңді Эратосфен деп елестет. 2, 3, 5, 7 сандарының еселіктерін ойша сыз да, електе «қалып қойған» сандарды белгіле.

⚠️ Жиі кететін қате. 49-ды немесе 21 мен 27-ні белгілейді: «олар тақ қой». Бірақ $49 = 7 \cdot 7$, $21 = 3 \cdot 7$, $27 = 3 \cdot 9$. Тақ сан әрдайым жай сан бола бермейді.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. 15 минутқа арналған жақсы үй жұмысы: 1-ден 100-ге дейінгі кестені сызыңыз (әр жолда 10 саннан, 10 жол), бала оны әртүрлі түсті қарындашпен «електен өткізсін»: 2-нің еселіктерін бір түспен, 3-тің еселіктерін екінші түспен және т.с.с. Соңында 25 жай сан қалуы керек. Сонымен қатар 2 мен 5-тің еселіктері тік бағандармен тұратыны, ал 3-тің еселіктері диагональмен жүретіні көрінеді.

Жаттығуларды шығарамыз

Жай сандарды көптеген ғасырлар өткен соң да зерттеген. Орыс математигі П.Л. Чебышев (1821–1894) мынаны дәлелдеді: 1-ден үлкен кез келген сан мен одан екі есе үлкен санның арасында кем дегенде бір жай сан болады. Мысалы, 5 пен 10 арасында 7 бар, ал 17 мен 34 арасында төртеу бар: 19, 23, 29, 31. И.М. Виноградов (1891–1983) та жай сандар туралы көп жаңалық ашты: кез келген үлкен тақ санды одан кіші үш жай санның қосындысы түрінде жазуға болатынын көрсетті. Мысалы, $15 = 3 + 5 + 7$, $863 = 193 + 281 + 389$.

Тапсырма 1

Эратосфен елегі тәсілімен жай сандар кестесін құрыңдар: ә) 2-ден 20-ға дейінгі; б) 2-ден 50-ге дейінгі.

Қалай ойлаймыз. Эратосфендей електен өткіземіз. 20-ға дейінгі кесте үшін 2-нің және 3-тің еселіктерін сызу жеткілікті ($5 \cdot 5 = 25 > 20$). 50-ге дейінгі кесте үшін 2, 3, 5 және 7 сандарының еселіктерін сызамыз.

Шешуі. а) 1–20 сандарын жазамыз да, 1-ді, 2-ден басқа 2-ге еселіктерді және 3-тен басқа 3-ке еселіктерді сызамыз. 5-ке еселіктер бұрын сызылған: 10, 15, 20 сандары 2-ге немесе 3-ке бөлінеді. Қалғаны: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. б) 1–50 сандарын жазып, 1-ді, 2, 3, 5, 7 сандарының еселіктерін (өздерінен басқасын) сызамыз. 7-нің еселіктерінен сызылмай қалғаны тек 49. Әрі қарай жүрудің қажеті жоқ: $11 \cdot 11 = 121 > 50$.

Жауабы: а) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 (8 сан); б) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 (15 сан).

Тапсырма 2

Жай сандарды жазыңдар: а) 13 пен 26 арасындағы; ә) 9 бен 18 арасындағы.

Қалай ойлаймыз. Бұл — Чебышев теоремасына арналған мысалдар: $26 = 2 \cdot 13$, $18 = 2 \cdot 9$. 13 пен 9-дың өздері жауапқа кірмейді, бізге «арасындағы» сандар керек.

Шешуі. 1-тапсырмадағы кестені аламыз. а) 13 пен 26 арасында: 17, 19, 23. ә) 9 бен 18 арасында: 11, 13, 17.

Жауабы: а) 17, 19, 23; ә) 11, 13, 17.