2.3. Бөлінгіштіктің негізгі қасиеттері

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). II тарау: Натурал сандардың бөлінгіштігі. 79–82-беттер.

Нені үйренесің

• Көбейтіндінің санға бөлінетінін көбейтпей-ақ білуді.
• Қосындыны мен айырманы «бөлек-бөлек» бөлуді.
• Қосынды санға қашан бөлінбейтінін түсінуді.
• «Ереже кері жағына жұмыс істемейді» деген тұзаққа түспеуді.

Ой қозғау

Соңына дейін есептеме, жай ғана ойлан: өрнек неге бөлінеді?

• $120 \cdot 43$ көбейтіндісі 25-ке бөлінеді ме, әлде 30-ға ма? 30-ға бөлінеді: 120 көбейткіші 30-ға бөлінеді ($120 = 30 \cdot 4$). Ал 25-ке 120 де, 43 те бөлінбейді.
• $45 + 70$ қосындысы 3-ке бөлінеді ме, әлде 5-ке ме? 5-ке бөлінеді: 45 те, 70 те 5-ке бөлінеді. Ал 70 саны 3-ке бөлінбейді.
• $150 - 30$ айырмасы 10-ға бөлінеді ме? Иә: 150 де, 30 да 10-ға бөлінеді.

💡 Сен жаңа ғана сабақтың үш ережесін өзің ашып алдың: көбейтінді, қосынды және айырма туралы. Енді оларға ат қою ғана қалды.

Тақырыпты талдаймыз

Көбейтіндімен жасалатын сиқыр

$24 \cdot 19 \cdot 7$ көбейтіндісі 8-ге бөлінеді ме? 24-ке назар аудар: ол $8 \cdot 3$. Демек, бүкіл көбейтінді — $8 \cdot (3 \cdot 19 \cdot 7)$, яғни сегіздің қандай да бір санға көбейтілгені.

📌 Егер көбейткіштердің біреуі берілген санға бөлінсе, онда көбейтінді де сол санға бөлінеді.

Бұл есептеуге де өте ыңғайлы: бөлінетін көбейткішті бөл, қалғандарына тиіспе. $(35 \cdot 18) : 7 = (35 : 7) \cdot 18 = 5 \cdot 18 = 90$.

Қарындаштар пакеттері

Екі қорап қарындашты елестет. Әр қорапта қарындаштар 5-тен пакеттеліп тұр. Бәрін бір жерге құйсаң, тағы да дәл бірнеше пакет, яғни 5-тен болады, артық бірде-бір қарындаш қалмайды.

📌 Егер қосылғыштардың әрқайсысы берілген санға бөлінсе, онда қосынды да сол санға бөлінеді.

Сондықтан қосындыны бөліп-бөліп бөлуге болады: $(84 + 28) : 14 = 84 : 14 + 28 : 14 = 6 + 2 = 8$.

Айырмамен де солай. $117 = 13 \cdot 9$ және $65 = 13 \cdot 5$, демек, $117 - 65 = 13 \cdot (9 - 5) = 13 \cdot 4$.

📌 Егер азайғыш та, азайтқыш та берілген санға бөлінсе, онда айырма да сол санға бөлінеді.

Өзің байқап көр

Қосынды қашан бөлінбейді

Егер бір қосылғыш санға бөлінсе, ал екіншісі бөлінбесе, қосынды бөлінбейді. Мысалы: $70 + 3$. 70 саны 7-ге бөлінеді, ал 3 бөлінбейді. Шынында да, $73 = 7 \cdot 10 + 3$, қалдығы 3. Айырмада да солай.

Тұзақ: ереже кері жағына жұмыс істемейді

⚠️ Жиі кететін қате. «$7 + 8 = 15$ саны 5-ке бөлінеді, демек, қосылғыштар да 5-ке бөлінеді». Жоқ! 7 де, 8 де 5-ке бөлінбейді. Ереже бір бағытта ғана жұмыс істейді: егер барлық қосылғыш бөлінсе, онда қосынды бөлінеді. Көбейтіндімен де солай: $4 \cdot 9 = 36$ саны 6-ға бөлінеді, ал 4 те, 9 да 6-ға бөлінбейді.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. «Есептемей» ойынын ойнаңыздар: $36 \cdot 125$ саны 9-ға бөлінеді ме? (Иә, 36 бөлінеді.) $63 + 28$ саны 7-ге бөлінеді ме? (Иә, екеуі де бөлінеді.) $63 + 29$ ше? (Жоқ: 63 бөлінеді, 29 бөлінбейді.) Бала жай болжамай, қандай ережені қолданғанын түсіндірсін.

Дәл осыны әріптермен жазайық

Егер $a = c \cdot m$ болса, онда $a \cdot b = c \cdot (m \cdot b)$ — $c$ санына бөлінеді. Егер $a = c \cdot m$ және $b = c \cdot n$ болса, онда $a + b = c \cdot (m + n)$ және $a - b = c \cdot (m - n)$ — олар да $c$ санына бөлінеді.

Қалай түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Көбейтінді санға қашан бөлінеді? Көбейткіштердің кем дегенде біреуі сол санға бөлінгенде. $15 \cdot 7$ көбейтіндісі 5-ке бөлінеді, себебі 15 саны 5-ке бөлінеді.
• Қосындының санға бөлінетінін қалай білеміз? Әр қосылғышты тексер. Бәрі бөлінсе — қосынды бөлінеді. Біреуі бөлінбей, қалғандары бөлінсе — қосынды бөлінбейді.
• Айырма санға қашан бөлінеді? Азайғыш та, азайтқыш та сол санға бөлінгенде. Мысалы, $90 - 36$ айырмасы 9-ға бөлінеді.

Жаттығуларды шығарамыз

Көбейтіндінің бөлінгіштігі

№ 201

Көбейтіндінің бөлінгіштік қасиетін пайдаланып, бөліндінің мәнін табыңдар: 1) $(35 \cdot 18) : 7$; 2) $(48 \cdot 13) : 12$; 3) $(99 \cdot 14) : 14$; 4) $(5 \cdot 12 \cdot 70) : 14$; 5) $(7 \cdot 32 \cdot 45) : 15$; 6) $(5 \cdot 21 \cdot 54) : 9$.

Қалай ойлаймыз. Бөлгішке бөлінетін көбейткішті тап. Тек соны бөл, қалғанын жай көбейте бер.

Шешуі.

1. $35 : 7 = 5$, $5 \cdot 18 = 90$.
2. $48 : 12 = 4$, $4 \cdot 13 = 52$.
3. $14 : 14 = 1$, $99 \cdot 1 = 99$.
4. $70 : 14 = 5$, $5 \cdot 12 \cdot 5 = 300$.
5. $45 : 15 = 3$, $7 \cdot 32 \cdot 3 = 672$.
6. $54 : 9 = 6$, $5 \cdot 21 \cdot 6 = 630$.

Жауабы: 1) 90; 2) 52; 3) 99; 4) 300; 5) 672; 6) 630.

№ 202

Бөліндінің мәнін табыңдар: 1) $15a : 3$; $21b : 7$; $42c : 6$; 2) $54ab : 9$; $72xy : 12$; $51ab : 3$; 3) $36mn : 4$; $45xy : 15$; $28xy : 7$.

Қалай ойлаймыз. $15a$ — бұл $15 \cdot a$, яғни көбейтінді. Санды бөлеміз, ал әріптер сол күйінде қалады.

Шешуі.

1. $15a : 3 = 5a$; $21b : 7 = 3b$; $42c : 6 = 7c$.
2. $54ab : 9 = 6ab$; $72xy : 12 = 6xy$; $51ab : 3 = 17ab$.
3. $36mn : 4 = 9mn$; $45xy : 15 = 3xy$; $28xy : 7 = 4xy$.

Жауабы: 1) $5a$, $3b$, $7c$; 2) $6ab$, $6xy$, $17ab$; 3) $9mn$, $3xy$, $4xy$.

№ 203

Өрнектің мәні берілген санға бөлінетін $x$-тің үш натурал мәнін таңдап алыңдар: 1) $18x$ көбейтіндісі 5-ке бөлінеді; 2) $24x$ көбейтіндісі 7-ге бөлінеді; 3) $41x$ көбейтіндісі 3-ке бөлінеді; 4) $72x$ көбейтіндісі 11-ге бөлінеді.

Қалай ойлаймыз. $x$-тің алдындағы сан керекті бөлгішке бөлінбейді. Демек, $x$ өзі бөлінуі керек: сол бөлгіштің көбейту кестесінен сандар ал.

Шешуі.

1. 18 саны 5-ке бөлінбейді, сондықтан $x = 5, 10, 15$ аламыз. Мысалы, $18 \cdot 5 = 90$, ал 90 саны 5-ке бөлінеді.
2. $x = 7, 14, 21$.
3. $x = 3, 6, 9$.
4. $x = 11, 22, 33$.

Жауабы: мысалы, 1) 5, 10, 15; 2) 7, 14, 21; 3) 3, 6, 9; 4) 11, 22, 33.

№ 204

1) Асханаға 7 бума қасық әкелінді. Бумалардың әрқайсысында 12 қасықтан бар. Барлық қасықты үстелдердің әрқайсысына 4 қасықтан қоюға бола ма? Неше үстелге жетеді? 2) Бірінші гүлшоғында 35 гүл, екіншісінде 21 гүл бар. Бұл гүлдерді әрқайсысына 7 гүлден гүлсалғыштарға тең бөліп қоюға бола ма? Неше гүлсалғыш керек?

Қалай ойлаймыз. Бірінші есепте — көбейтінді, екіншісінде — қосынды. Керекті ережені таңдаймыз.

Шешуі.

1. Барлығы $12 \cdot 7$ қасық. 12 көбейткіші 4-ке бөлінеді, демек, көбейтінді де бөлінеді: $(12 \cdot 7) : 4 = 3 \cdot 7 = 21$.
2. Барлығы $35 + 21$ гүл. Екі қосылғыш та 7-ге бөлінеді, демек, қосынды да бөлінеді: $(35 + 21) : 7 = 5 + 3 = 8$.

Жауабы: 1) болады, 21 үстелге; 2) болады, 8 гүлсалғыш керек.

№ 205

Пойыз ұзындығы 475 м көпірден 45 секундта өтті. Сол жылдамдықпен станса кезекшісінің тұсынан 20 секундта өтті. Пойыздың жылдамдығын және ұзындығын табыңдар. Жауап нұсқалары: 320, 360, 300, 380 м.

Қалай ойлаймыз. Пойыз көпірден соңғы вагоны түскенде ғана «өтеді». Яғни ол көпірден басқа өзінің бүкіл ұзындығын да жүріп өтеді.

Шешуі.

1. 20 с-та пойыз өз ұзындығын, 45 с-та көпір мен өз ұзындығын өтеді.
2. Көпірге $45 - 20 = 25$ с қалады.
3. Жылдамдығы: $475 : 25 = 19$ м/с.
4. Пойыздың ұзындығы: $19 \cdot 20 = 380$ м.

Тексеру: $(475 + 380) : 19 = 855 : 19 = 45$ с. Дұрыс.

Жауабы: жылдамдығы 19 м/с; пойыздың ұзындығы 380 м (D нұсқасы).

⚠️ Жиі кететін қате. $475 : 45$ бөліп, ұсқынсыз жылдамдық алады. Пойыз көпірде өз ұзындығын да жүріп өтетінін ұмытады.

Қосындының бөлінгіштігі

№ 206

Әр қосылғышты бөліп, есептеңдер: 1) $(84 + 28) : 14$; 2) $(133 + 76) : 19$; 3) $(192 + 72) : 24$; 4) $(220 + 88) : 44$; 5) $(183 + 305) : 61$; 6) $(300 + 150) : 75$.

Қалай ойлаймыз. Әр қосылғышты жеке бөл, сосын шыққандарды қос.

Шешуі.

1. $84 : 14 + 28 : 14 = 6 + 2 = 8$.
2. $133 : 19 + 76 : 19 = 7 + 4 = 11$.
3. $192 : 24 + 72 : 24 = 8 + 3 = 11$.
4. $220 : 44 + 88 : 44 = 5 + 2 = 7$.
5. $183 : 61 + 305 : 61 = 3 + 5 = 8$.
6. $300 : 75 + 150 : 75 = 4 + 2 = 6$.

Жауабы: 1) 8; 2) 11; 3) 11; 4) 7; 5) 8; 6) 6.

№ 207

Бөлуді орындаңдар: 1) $(18x + 45y) : 9$; 2) $(35m + 42n) : 7$; 3) $(40m + 55n) : 5$; 4) $(195a + 65b) : 13$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бірінші қосылғышты бөлеміз, сосын екіншісін. Әріптерге тиіспейміз.

Шешуі.

1. $18x : 9 + 45y : 9 = 2x + 5y$.
2. $35m : 7 + 42n : 7 = 5m + 6n$.
3. $40m : 5 + 55n : 5 = 8m + 11n$.
4. $195a : 13 + 65b : 13 = 15a + 5b$ (тексеру: $13 \cdot 15 = 195$, $13 \cdot 5 = 65$).

Жауабы: 1) $2x + 5y$; 2) $5m + 6n$; 3) $8m + 11n$; 4) $15a + 5b$.

№ 208

Сыныпта 14 ұл және 12 қыз бар. Олар топтардағы қыздар саны бірдей және ұлдар саны бірдей болатындай екі топқа бөлініп, волейбол ойнай ала ма? Әрбір топта неше ұл бала, неше қыз бала болады?

Қалай ойлаймыз. Егер ұлдарды да, қыздарды да тең екіге бөлуге болса, бүкіл сынып та тең екіге бөлінеді, ал командалар әділ болады.

Шешуі.

1. Әр топта $14 : 2 = 7$ ұл және $12 : 2 = 6$ қыз болады.
2. Тексеру: барлығы $14 + 12 = 26$, $26 : 2 = 13$, және $7 + 6 = 13$. Сәйкес келеді.

Жауабы: ойнай алады, әр топта 7 ұл және 6 қыз болады.

№ 209

Нұржан, Қайрат, Ардақ және Бауыржан серуендеуге шықты. Нұржанда 4 кәмпит, Қайратта 6 кәмпит, Ардақта 6 кәмпит бар. Бауыржанда кәмпит жоқ, бірақ 4 пошта маркасы бар. Балалар барлық кәмпитті тең бөліп жеді. Бауыржан достарынан алған кәмпит санына сәйкес оларға маркаларын бөліп берді. Кім неше марка алды?

Қалай ойлаймыз. Бұл — тапқырлыққа есеп. Бауыржанға кәмпит берген адам марка алады.

Шешуі.

1. Барлығы $4 + 6 + 6 = 16$ кәмпит, әрқайсысына $16 : 4 = 4$ кәмпиттен тиеді.
2. Нұржан өз 4 кәмпитімен қалды.
3. Қайрат пен Ардақ $6 - 4 = 2$ кәмпиттен берді, Бауыржан $2 + 2 = 4$ кәмпит алды.
4. 4 марканың 2-еуі Қайратқа, 2-еуі Ардаққа.

Жауабы: Қайрат 2 марка, Ардақ 2 марка алды, Нұржан марка алған жоқ.

Айырманың бөлінгіштігі

№ 210

Мәні 7-ге бөлінетін өрнектерді таңдап алып, есептеңдер: 1) $147 - 105$; 2) $88 - 63$; 3) $217 - 84$; 4) $137 - 45$; 5) $231 - 49$; 6) $315 - 112$.

Қалай ойлаймыз. Азайғыш пен азайтқышты тексер. Екеуі де 7-ге бөлінсе — айырма бөлінеді. Біреуі бөлінсе, екіншісі бөлінбесе — бөлінбейді. Екеуі де бөлінбесе, есептеп көру керек.

Шешуі.

1. $147 = 7 \cdot 21$, $105 = 7 \cdot 15$ — бөлінеді: $147 - 105 = 42$.
2. $63 = 7 \cdot 9$, ал 88 саны 7-ге бөлінбейді — айырма бөлінбейді ($88 - 63 = 25$).
3. $217 = 7 \cdot 31$, $84 = 7 \cdot 12$ — бөлінеді: $217 - 84 = 133$ ($133 = 7 \cdot 19$).
4. 137 мен 45 саны 7-ге бөлінбейді. Есептейміз: $137 - 45 = 92$, $92 : 7 = 13$ (қалдығы 1) — бөлінбейді.
5. $231 = 7 \cdot 33$, $49 = 7 \cdot 7$ — бөлінеді: $231 - 49 = 182$ ($182 = 7 \cdot 26$).
6. $315 = 7 \cdot 45$, $112 = 7 \cdot 16$ — бөлінеді: $315 - 112 = 203$ ($203 = 7 \cdot 29$).

Жауабы: 7-ге бөлінетіндер: 1) 42; 3) 133; 5) 182; 6) 203.

№ 211

Бөлуді орындаңдар: 1) $(27x - 9y) : 3$; 2) $(117m - 39n) : 13$; 3) $(136a - 85b) : 17$; 4) $(128c - 72d) : 8$.

Қалай ойлаймыз. Қосындыдағыдай: азайғышты бөлеміз, азайтқышты бөлеміз, «минус» таңбасын қалдырамыз.

Шешуі.

1. $27x : 3 - 9y : 3 = 9x - 3y$.
2. $117m : 13 - 39n : 13 = 9m - 3n$.
3. $136a : 17 - 85b : 17 = 8a - 5b$.
4. $128c : 8 - 72d : 8 = 16c - 9d$.

Жауабы: 1) $9x - 3y$; 2) $9m - 3n$; 3) $8a - 5b$; 4) $16c - 9d$.

№ 212

Есептің сандық өрнегін құрып, оның мәнін табыңдар. Көлде серуендеуге келген 27 оқушының 15-і катермен серуендеуге, қалғандары қайықпен серуендеуге келісті. Қайықпен серуендейтін оқушыларды қайықтардың әрқайсысындағы оқушылар санын бірдей етіп, 3 қайықпен серуендетуге бола ма? Егер болса, бір қайыққа неше оқушы отырады?

Қалай ойлаймыз. Қайыққа $27 - 15$ оқушы отырады. 27 де, 15 те 3-ке бөлінеді, демек, айырма да бөлінеді.

Шешуі.

1. Өрнек: $(27 - 15) : 3$.
2. $27 : 3 - 15 : 3 = 9 - 5 = 4$.
3. Тексеру: $27 - 15 = 12$, $12 : 3 = 4$.

Жауабы: болады, бір қайыққа 4 оқушыдан отырады.

№ 213

Бір жерден бірдей уақытта бір бағытта мотоциклші және велосипедші шықты. Бірдей уақыт аралығында мотоциклші 93 км, ал велосипедші 39 км жүрді. 1) Олар неше сағат жүрді? 2) Велосипедшінің қалыс қалу жылдамдығын табыңдар. Жауап нұсқалары: 12, 18, 17, 14 км/сағ.

Қалай ойлаймыз. Уақыт пен жылдамдықты бүтін деп аламыз. Сонда сағатпен берілген уақыт 93-ті де, 39-ды да бөледі. Ал қалыс қалу жылдамдығы — мотоциклшінің қаншаға жылдам екені.

Шешуі.

1. 93-тің бөлгіштері: 1, 3, 31, 93. 39-дың бөлгіштері: 1, 3, 13, 39. Ортақтары: 1 және 3.
2. Уақыт 1 сағат болса, қалыс қалу $93 - 39 = 54$ км/сағ — мұндай нұсқа жоқ.
3. Уақыт 3 сағат болса: мотоциклші $93 : 3 = 31$ км/сағ, велосипедші $39 : 3 = 13$ км/сағ.
4. Қалыс қалу: $31 - 13 = 18$ км/сағ. Немесе тікелей айырма арқылы: $(93 - 39) : 3 = 54 : 3 = 18$ км/сағ.

Жауабы: 1) 3 сағат; 2) 18 км/сағ (B нұсқасы).

Қайталау

№ 214

Теңдеуді шешіңдер. 37, 29, 14, 3, 12, 16 түбірлерінің тұсына әріптерді қойыңдар — көкжиек тұстарын анықтайтын құралдың аты шығады.

Қалай ойлаймыз. Әр теңдеуді шешеміз, сосын әріптерді сандардың ретімен орналастырамыз.

Шешуі.

• А: $x + 3 \cdot 25 = 87$; $x + 75 = 87$; $x = 12$.
• К: $555 : 5 - x = 74$; $111 - x = 74$; $x = 37$.
• М: $3 \cdot (35 - x) = 63$; $35 - x = 21$; $x = 14$.
• О: $8 \cdot 17 - x = 107$; $136 - x = 107$; $x = 29$.
• П: $2x + 87 = 93$; $2x = 6$; $x = 3$.
• С: $(120 - x) : 13 = 8$; $120 - x = 104$; $x = 16$.

Жауабы: КОМПАС.

Жадынама

• $24 \cdot 19 \cdot 7$ көбейтіндісі 8-ге бөлінеді, себебі 24 саны 8-ге бөлінеді.
• $(84 + 28) : 14 = 84 : 14 + 28 : 14 = 8$.
• $117 - 65 = 13 \cdot (9 - 5)$ — 13-ке бөлінеді.
• $70 + 3$ саны 7-ге бөлінбейді: 70 бөлінеді, 3 бөлінбейді.

Шағын тест