2.2. Жай сандар. Құрама сандар

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). II тарау: Натурал сандардың бөлінгіштігі. 73–76-беттер.

Нені үйренесің

• Жай сандарды құрама сандардан ажыратуды және өзіңді тексеруді.
• 1 санының неге жай да, құрама да емес екенін есте сақтауды.
• 2 — ең кіші жай сан және жай сандардың ішіндегі жалғыз жұп сан екенін білуді.
• Кестеден жай сандарды және егіз сандарды табуды.
• Санның құрама екенін дәлелдеуді: бір «артық» бөлгіш жеткілікті.

Ой қозғау

Ойша жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• 2, 5, 6, 8, 11, 15, 16, 19, 20, 31, 45, 53 сандарының қайсысының дәл екі бөлгіші бар? 2, 5, 11, 19, 31, 53 сандарында — олар тек 1-ге және өзіне бөлінеді.
• Ал қайсысының екіден көп бөлгіші бар? 6, 8, 15, 16, 20, 45 сандарында. Мысалы, $15 = 3 \cdot 5$, $16 = 2 \cdot 8$.
• Тек 1-ге және өзіне бөлінетін төрт екі таңбалы санды ата. Мысалы, 11, 13, 17, 19 (23, 29, 31… да келеді).
• 1, 6, 7, 18, 19, 25 сандарын үш топқа бөл: бір бөлгіші бар, екі бөлгіші бар, екіден көп бөлгіші бар. Бір бөлгіш — 1. Екі бөлгіш — 7 ${1, 7}$ және 19 ${1, 19}$. Екіден көп — 6 ${1, 2, 3, 6}$, 18 ${1, 2, 3, 6, 9, 18}$, 25 ${1, 5, 25}$.

💡 Байқадың ба? Барлық сандар бөлгіштерінің санына қарай үш «командаға» бөлінеді. Осыдан бастаймыз.

Тақырыпты талдаймыз

Сандардың үш командасы

Сенде 7 кәмпит бар делік. Оларды бірнеше үйіндіге тең бөліп салу шықпайды — не 7-нің бір үйіндісі, не біреуден жеті үйінді. Ал 6 кәмпитті екіден немесе үштен бөлуге болады. Бар айырмашылық осы!

Алғашқы сандардың бөлгіштерін санайық:

📌 Жай сан — дәл екі бөлгіші бар: 1 және санның өзі (2, 3, 5, 7, 11, 13…). Құрама сан — екіден көп бөлгіші бар (4, 6, 8, 9, 10, 12…). 1 саны — бір ғана бөлгіші бар, ол бөлек тұрады.

Өзің байқап көр: 20-ға дейінгі барлық «өжеттерді» тап.

⚠️ Жиі кететін қате. «1 — жай сан, өйткені ол тек 1-ге және өзіне бөлінеді». Олай емес! Жай санның екі түрлі бөлгіші болуы керек, ал бірліктің бөлгіші біреу ғана. Сондықтан 1 — жай да, құрама да емес.

«Кейіп өзгертушіні» қалай әшкерелейміз

Санды 2-ге, 3-ке, 5-ке, 7-ге, 11-ге… кезекпен бөліп көр. 1-ден және санның өзінен басқа бөлгіш тапсаң — сан құрама. Ешқайсысы келмесе — жай.

Мынау 91. 2-ге, 3-ке, 5-ке бөлінбейді — жай санға ұқсайды. Бірақ $91 : 7 = 13$! Демек, $91 = 7 \cdot 13$ — құрама сан. Осы «кейіп өзгертушіден» көпшілік қателеседі.

Ал 97 ше? 2-ге, 3-ке, 5-ке, 7-ге бөлінбейді. 11-ге бөліп көрудің қажеті жоқ: $11 \cdot 11 = 121$, ал бұл 97-ден артық. Демек, 97 — жай сан.

💡 Санның құрама екенін дәлелдеу үшін бір ғана «артық» бөлгіш жеткілікті. Мысалы, $111 = 3 \cdot 37$ — болды, 111 құрама сан.

Жай сандар туралы қызықты деректер

• Ең кіші жай сан — 2. Әрі жалғыз жұп жай сан: кез келген басқа жұп сан 2-ге бөлінеді, демек, құрама.
• Жай сандар шектеусіз көп. 1000-ға дейінгі жай сандар кестесі кітап мұқабасының астар бетінде бар.
• Көп таңбалы жай сан тек 1, 3, 7 немесе 9 цифрымен аяқталады.
• Айырмасы 2-ге тең жай сандарды егіз сандар деп атайды: 3 және 5, 5 және 7, 11 және 13, 17 және 19.

🌟 Жай сандар сенің құпияларыңды қорғайды! Ата-анаң картамен төлегенде немесе сен мессенджерде жазғанда, деректер ұзындығы жүздеген цифрлы алып жай сандардың көмегімен шифрланады.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан 30-ға дейінгі жай сандарды жатқа айтуын сұраңыз: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Бұл он сан бүкіл оқу жылы бойы керек болады — көбейткіштерге жіктегенде, бөлшектерді қысқартқанда, ортақ бөлімді іздегенде.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай сандарды жай сандар деп атайды? Дәл екі бөлгіші бар натурал сандар: 1 және санның өзі. Мысалы, 2, 13, 101.
• Қандай сандарды құрама сандар деп атайды? Екіден көп бөлгіші бар натурал сандар. Мысалы, 8: бөлгіштері 1, 2, 4, 8.
• Ал 1 саны қандай сан — жай ма, құрама ма? Жай да, құрама да емес: оның бір ғана бөлгіші бар.
• 7 санының неше бөлгіші бар? Оларды ата. Екеу: 1 және 7. 7 саны — жай сан.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 189

Ауызша есептеңдер. Амалдар тізбегін қалпына келтіріңдер. (Әр тізбекте бір сан белгілі: «+180» амалынан кейін 220; «·10» амалынан кейін 180; «:2» амалынан кейін 31.)

Қалай ойлаймыз. Белгілі саннан алға қарай амалдарды жазылғандай орындаймыз. Артқа қарай — кері амалдарды: «+» орнына минус, «·» орнына бөлу.

Шешуі.

1. Артқа: $220 - 180 = 40$. Алға: $220 : 5 = 44$; $44 - 29 = 15$; $15 \cdot 4 = 60$; $60 : 12 = 5$. Тізбек: 40 → 220 → 44 → 15 → 60 → 5.
2. Артқа: $180 : 10 = 18$; $18 + 66 = 84$. Алға: $180 + 140 = 320$; $320 : 4 = 80$; $80 : 5 = 16$. Тізбек: 84 → 18 → 180 → 320 → 80 → 16.
3. Артқа: $31 \cdot 2 = 62$; $62 + 28 = 90$; $90 : 6 = 15$. Алға: $31 + 68 = 99$; $99 : 9 = 11$. Тізбек: 15 → 90 → 62 → 31 → 99 → 11.

Жауабы: 1) 40, 44, 15, 60, 5; 2) 84, 18, 320, 80, 16; 3) 15, 90, 62, 99, 11.

A деңгейі

№ 190

Көп таңбалы жай сандардың жазылуы қандай цифрлармен аяқталады? Жауабын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Қандай соңғы цифрлар бірден бөлгішті әшкерелейтінін қараймыз.

Шешуі.

• 0, 2, 4, 6, 8-мен жұп сандар аяқталады. Олар 2-ге бөлінеді — құрама.
• 5 немесе 0-мен аяқталатындар 5-ке бөлінеді, олар да құрама.
• 1, 3, 7, 9 қалады. Мысалдар: 11, 13, 17, 19.

Бірақ керісінше болмайды: 21, 33, 27, 49 осы цифрлармен аяқталады, бірақ бәрібір құрама.

Жауабы: тек 1, 3, 7 немесе 9 цифрымен.

№ 191

Жай сандар кестесін пайдаланып: 1) 66, 97, 128, 139, 201, 311, 450, 502, 503, 641, 864, 879, 991 сандарынан жай сандарды бір жолға, құрама сандарды екінші жолға жазыңдар. 2) 1-ден 50-ге дейінгі егіз сандарды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жұп сандар бірден құрама. Тақ сандар үшін бөлгіш іздейміз (көбіне ол — 3) немесе кестемен салыстырамыз.

Шешуі.

1. Жұп сандар 66, 128, 450, 502, 864 — құрама. Тақ сандар:

• $201 = 3 \cdot 67$ — құрама;
• $879 = 3 \cdot 293$ — құрама (цифрлар қосындысы 24, ол 3-ке бөлінеді);
• 97, 139, 311, 503, 641, 991 жай сандар кестесінде бар.

2. 50-ге дейінгі жай сандар: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Айырмасы 2 болатын көршілерді іздейміз.

Жауабы: 1) жай сандар: 97, 139, 311, 503, 641, 991; құрама сандар: 66, 128, 201, 450, 502, 864, 879. 2) 3 және 5; 5 және 7; 11 және 13; 17 және 19; 29 және 31; 41 және 43.

№ 192

1, 3, 6, 7, 9, 15, 23, 28 және 37 сандарынан: 1) бір ғана бөлгіші бар сандарды; 2) екі ғана бөлгіші бар сандарды; 3) екіден көп бөлгіші бар сандарды теріп жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бір бөлгіш — тек бірліктің. Екі бөлгіш — жай сандардың. Одан көп — құрама сандардың.

Шешуі.

1. Бір ғана бөлгіш тек 1 санында бар.
2. Екі бөлгіш жай сандарда: 3, 7, 23, 37.
3. Екіден көп: 6 ${1, 2, 3, 6}$, 9 ${1, 3, 9}$, 15 ${1, 3, 5, 15}$, 28 ${1, 2, 4, 7, 14, 28}$.

Жауабы: 1) 1; 2) 3, 7, 23, 37; 3) 6, 9, 15, 28.

B деңгейі

№ 193

Мына сандарды: 1) екі жай санның қосындысы түрінде жазыңдар: 10; 12; 18; 24; 30; 42; 68; 2) екі жай санның көбейтіндісі түрінде жазыңдар: 22; 35; 77; 65; 69; 95.

Қалай ойлаймыз. Бірінші тармақта саннан 3, 5, 7, 11… жай сандарын азайтып, қалғаны жай ма, жоқ па екенін қара. Екіншісінде ең кіші бөлгішті іздеу керек.

Шешуі.

1. Нұсқалар бірнешеу болуы мүмкін, біреуі жеткілікті:

• $10 = 3 + 7 = 5 + 5$;
• $12 = 5 + 7$;
• $18 = 5 + 13 = 7 + 11$;
• $24 = 5 + 19 = 7 + 17 = 11 + 13$;
• $30 = 7 + 23 = 11 + 19 = 13 + 17$;
• $42 = 5 + 37 = 11 + 31 = 13 + 29 = 19 + 23$;
• $68 = 7 + 61 = 31 + 37$.

• $22 = 2 \cdot 11$;
• $35 = 5 \cdot 7$;
• $77 = 7 \cdot 11$;
• $65 = 5 \cdot 13$;
• $69 = 3 \cdot 23$;
• $95 = 5 \cdot 19$.

Жауабы: 1) мысалы, $3 + 7$, $5 + 7$, $5 + 13$, $5 + 19$, $7 + 23$, $5 + 37$, $7 + 61$; 2) $2 \cdot 11$, $5 \cdot 7$, $7 \cdot 11$, $5 \cdot 13$, $3 \cdot 23$, $5 \cdot 19$.

🌟 Белгілі жұмбақ бар: 2-ден үлкен кез келген жұп санды екі жай санның қосындысы түрінде жазуға бола ма? Оны шамамен 300 жыл бұрын қойған, орасан көп санда тексерген — бірақ әлі ешкім дәлелдей алмады!

№ 194

Дүниежүзіндегі екінші ұстаз, қазақтың ежелгі ғалымы Әбу Наср әл-Фараби Отырарда дүниеге келіп, 870–950 жылдар аралығында өмір сүрген. Осы жылдарды көрсететін сандар аралығында неше жай сан бар?

Қалай ойлаймыз. Жұп сандарды және 5-пен аяқталатындарды бірден алып тастаймыз. Қалғандарын жай сандар кестесімен немесе 3-ке, 7-ге, 11-ге, 13-ке, 17-ге, 19-ға, 23-ке, 29-ға бөліп тексереміз.

Шешуі. 870-тен 950-ге дейінгі жай сандар:

• 870-тен 899-ға дейін: 877, 881, 883, 887;
• 900-ден 950-ге дейін: 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947.

Абай бол, «кейіп өзгертушілер»: $889 = 7 \cdot 127$, $899 = 29 \cdot 31$, $901 = 17 \cdot 53$, $943 = 23 \cdot 41$, $949 = 13 \cdot 73$.

Барлығы $4 + 7 = 11$.

Жауабы: 11 жай сан.

№ 195

7 минуттық және 4 минуттық құмсағаттарды пайдаланып, арасы 10 минуттық уақытты қалай анықтауға болады?

Қалай ойлаймыз. Бұл — тапқырлыққа есеп! $10 = 7 + 3$. Енді қалай да 3 минут алу керек — ол 4 минуттық сағатта «қалып қояды».

Шешуі.

1. Екі сағатты да бір мезгілде аударамыз.
2. 4 минуттан кейін 4 минуттық сағат бос — оны дереу қайта аударамыз.
3. Басынан 7 минуттан кейін 7 минуттық сағат бос. 4 минуттық сағаттың төменінде 3 минуттық құм, жоғарыда 1 минут. 4 минуттық сағатты аударамыз.
4. Енді жоғарыда 3 минуттық құм бар. Ол құйылып біткенде $7 + 3 = 10$ мин өтеді.

Жауабы: екі сағатты да бір мезгілде іске қосу, 4-минутта 4 минуттық сағатты аудару, 7-минутта 4 минуттық сағатты тағы бір рет аудару; ол босағанда дәл 10 мин өтеді.

C деңгейі

№ 196

1, 3, 5, 7 цифрларының әрқайсысын бір рет қана пайдаланып, екі таңбалы сандарды жазыңдар. Осы сандардың: 1) қайсысы жай сан? 2) қайсысы құрама сан?

Қалай ойлаймыз. Алдымен барлық сандарды құрастыр: бірінші цифрды ауыстырып, оған қалған үш цифрдың әрқайсысын жалғастыр. Содан кейін әрқайсысын тексер.

Шешуі.

1. 13, 15, 17; 31, 35, 37; 51, 53, 57; 71, 73, 75. Барлығы 12 сан.
2. 5-пен аяқталатын сандар (15, 35, 75) 5-ке бөлінеді — құрама.
3. Қалғандары: $51 = 3 \cdot 17$, $57 = 3 \cdot 19$ — құрама. 13, 17, 31, 37, 53, 71, 73 — жай.

Жауабы: 1) жай сандар: 13, 17, 31, 37, 53, 71, 73; 2) құрама сандар: 15, 35, 51, 57, 75.

⚠️ Жиі кететін қате. 51 мен 57 жай сандарға өте ұқсас. 3-ке бөлінуін тексер: $5 + 1 = 6$, $5 + 7 = 12$ — цифрлар қосындысы 3-ке бөлінеді, демек, сандардың өзі де бөлінеді.

№ 197

$x$-тің қандай мәнінде: 1) $17x$ өрнегінің мәні жай сан; 2) $17x$ өрнегінің мәні құрама сан? Мысалдар келтіріңдер.

Қалай ойлаймыз. $17x$ саны 17-ге де, $x$-ке де бөлінеді. Бөлгіш тек екеу болып қалуы үшін $x$ саны 1-ге тең болуы керек.

Шешуі.

1. $x = 1$ болғанда: $17 \cdot 1 = 17$ — жай сан. $x = 2$ болғанда: $34 = 2 \cdot 17$ — құрама. $x > 1$ болатын кез келген мәнде $17x$ санының 1, 17, $x$ және $17x$ бөлгіштері бар — бұл екіден көп.
2. $17x$ саны кез келген $x \geq 2$ болғанда құрама: $17 \cdot 2 = 34$, $17 \cdot 3 = 51$, $17 \cdot 4 = 68$. $x = 1$ болғанда 17 шығады — ол жай сан.

Жауабы: 1) тек $x = 1$ болғанда ($17x = 17$); 2) кез келген натурал $x \geq 2$ болғанда, мысалы, 34, 51, 68.

№ 198

Мына санның құрама сан екенін дәлелдеңдер: 1) 111 111; 2) 171 717; 3) 414 141; 4) 232 323.

Қалай ойлаймыз. Әр санның 1-ден және санның өзінен басқа бір бөлгішін табу жеткілікті. Кеңес — цифрлардың қайталанатын «өрнегінде».

Шешуі.

1. $111,111 = 11 \cdot 10,101$ (тексеру: $10,101 \cdot 11 = 101,010 + 10,101 = 111,111$). Одан да оңайы: цифрлар қосындысы 6, сан 3-ке бөлінеді.
2. $171,717 = 17 \cdot 10,101$.
3. $414,141 = 41 \cdot 10,101$.
4. $232,323 = 23 \cdot 10,101$.

Идея: екі таңбалы $\overline{ab}$ саны үш рет қайталанған сан $\overline{ab} \cdot 10,101$ санына тең. Мысалы, $17 \cdot 10,101 = 170,000 + 1700 + 17 = 171,717$.

Жауабы: төрт санның бәрі 10 101-ге бөлінеді (сәйкесінше 11-ге, 17-ге, 41-ге және 23-ке де), сондықтан олар құрама сандар.

№ 199

Гүл сатушы 68 гүл әкелді. Ол кейбіреулерінде 5 гүлден және кейбіреулерінде 3 гүлден, барлығы 18 гүлшоғын даярлады. Гүл сатушы әрқайсысында 5 гүлден неше гүлшоғын даярлады? Әрқайсысында 3 гүлден неше гүлшоғын даярлады?

Қалай ойлаймыз. Барлық гүлшоғы 3 гүлден деп елестетіп, қанша гүл «артық» қалатынын қарайық.

Шешуі.

1. 18 гүлшоғының бәрі 3 гүлден болса: $18 \cdot 3 = 54$ гүл.
2. Артық гүл: $68 - 54 = 14$.
3. 5 гүлді гүлшоғы 2 гүлге артық: $14 : 2 = 7$ гүлшоғы 5 гүлден.
4. 3 гүлден: $18 - 7 = 11$ гүлшоғы.

Тексеру: $7 \cdot 5 + 11 \cdot 3 = 35 + 33 = 68$.

Жауабы: 5 гүлден 7 гүлшоғы және 3 гүлден 11 гүлшоғы.

№ 200

Теңдеуді шешіңдер: 1) $2(11x - 5) - 17x = 55$; 2) $5(8x + 3) - 12 = 83$; 3) $7(2x + 9) + 3x = 114$; 4) $3(4x + 13) - 25 = 74$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаларды ашамыз, барлық $x$-терді бір жерге жинаймыз, содан кейін белгісізді табамыз.

Шешуі.

1. $22x - 10 - 17x = 55$; $5x - 10 = 55$; $5x = 65$; $x = 13$.
2. $40x + 15 - 12 = 83$; $40x + 3 = 83$; $40x = 80$; $x = 2$.
3. $14x + 63 + 3x = 114$; $17x + 63 = 114$; $17x = 51$; $x = 3$.
4. $12x + 39 - 25 = 74$; $12x + 14 = 74$; $12x = 60$; $x = 5$.

Жауабы: 1) 13; 2) 2; 3) 3; 4) 5.

Жадынама

• 30-ға дейінгі жай сандар: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
• Жай сандар шексіз көп.
• Көп таңбалы жай сан 1, 3, 7 немесе 9-мен аяқталады.
• 2-ге, 3-ке, 5-ке, 7-ге, 11-ге… бөліп тексер — бөлгіштің квадраты саннан асып кеткенше.

Шағын тест