Жылдық қайталауға арналған жаттығулар

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). IX тарау: Кеңістіктік фигуралардың жазбалары. 180–187-беттер.

Нені қайталаймыз

Бұл — бүкіл 5-сынып бойынша соңғы жарыс. Есептер баспалдақ тәрізді 8 тақырыпқа бөлінген. Егер қандай да бір тақырып «қиындық» тудырса, керекті тармақты ашып, түсіндірмесін қайта оқы.

1. Натурал сандар және нөл — 1-бөлім, 1.1–1.12 тармақтары: сандарды жазу, координаталық сәуле, салыстыру, амалдар реті, өрнектер, теңдеулер.
2. Натурал сандардың бөлінгіштігі — 1-бөлім, 2.1–2.9 тармақтары: бөлгіштер мен еселіктер, бөлінгіштік белгілері, ЕҮОБ және ЕКОЕ.
3. Жай бөлшектер — 1-бөлім, 3.1–3.13 тармақтары; 2-бөлім, 3.14–3.15 тармақтары: қысқарту, салыстыру, ортақ бөлім, төрт амал, бірлесіп жұмыс істеу. Өзендегі қозғалыс — 2.10 тармағы.
4. Ондық бөлшектер — 2-бөлім, 4.1–4.12 тармақтары: төрт амал, үтірді көшіру, қозғалысқа арналған есептер.
5. Жиындар — 2-бөлім, 5.1–5.4 тармақтары: ішкі жиын, қиылысу және бірігу, Эйлер–Венн дөңгелектері.
6. Проценттер — 2-бөлім, 6.1–6.3 тармақтары: санның проценті және проценті бойынша санды табу.
7. Бұрыштар. Көпбұрыштар — 2-бөлім, 7.1–7.4 тармақтары: градус, транспортир, биссектриса, периметр.
8. Диаграммалар. Кубтың жазбасы — 2-бөлім, 8.2–8.3 тармақтары (дөңгелек диаграммалар) және 9.1 тармағы (жазбалар).

Карточкаларды аудар — бұл жылдың басты ережелері бір жерде.

💡 Бәрін бір кешке шығарып тастамаңдар. Бір-екі тақырыптан алсаң, апта соңына қарай бүкіл жылды қайталап шығасың.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бала қателессе, «Бұл есеп қай тақырыпқа жатады?» деп сұраңыз да, керекті тармақтан ережені бірге табыңыздар. Бұл шешімін бірден көрсеткеннен гөрі пайдалырақ.

Бастамас бұрын жаттығып ал:

Жаттығуларды шығарамыз

1. Натурал сандар және нөл

№ 1317

Өрнектерді ондағы көрсетілген амалдар реттілігі орындалатындай етіп, жақшалар қойып жазыңдар. Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $716 + 952 - 574 : 27$ (реті 3, 1, 2); 2) $625 - 596 \cdot 901 - 867$ (1, 3, 2); 3) $2215 : 128 + 315 \cdot 86$ (2, 1, 3); 4) $522 + 723 : 932 - 517 \cdot 57$ (1, 3, 2, 4).

Қалай ойлаймыз. Егер әдеттегі ереже бойынша амал кейін орындалатын болса, ал нөмірі бойынша бұрын орындалуы керек болса, оны жақшамен «көтеру» керек.

Шешуі.

1. Алдымен азайту, содан кейін бөлу, содан кейін қосу: $716 + (952 - 574) : 27 = 716 + 378 : 27 = 716 + 14 = 730$.
2. Екі азайту да көбейтуден бұрын: $(625 - 596) \cdot (901 - 867) = 29 \cdot 34 = 986$.
3. Алдымен қосу, содан кейін бөлу, содан кейін көбейту: $2215 : (128 + 315) \cdot 86 = 2215 : 443 \cdot 86 = 5 \cdot 86 = 430$.
4. Қосу, азайту, бөлу, көбейту: $(522 + 723) : (932 - 517) \cdot 57 = 1245 : 415 \cdot 57 = 3 \cdot 57 = 171$.

Жауабы: 1) 730; 2) 986; 3) 430; 4) 171.

№ 1318

0, 3, 5, 7 және 9 цифрларының барлығымен жазылатын: 1) ең үлкен бес таңбалы санды; 2) ең кіші бес таңбалы санды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ең үлкен сан үшін цифрларды кему ретімен жазамыз. Ең кіші сан үшін — өсу ретімен, бірақ нөлді бірінші қоюға болмайды.

Шешуі.

1. Кему ретімен: 9, 7, 5, 3, 0 — 97 530 шығады.
2. Өсу ретімен 03579 болар еді, бірақ олай болмайды. Бірінші 3-ті қоямыз, ал нөлді екінші қоямыз: 30 579.

Жауабы: 1) 97 530; 2) 30 579.

№ 1319

Бірлік кесіндісі 1 см координаталық сәулені сызып, оның бойында $A(x)$, $B(x - 2)$ және $C(x + 3)$ нүктелерін белгілеңдер. $AB$, $AC$ және $BC$ кесінділерінің ұзындықтарын сантиметр есебімен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сәуледегі кесіндінің ұзындығы — координаталардың айырмасы: үлкенінен кішісін азайтамыз. $x$ санын кез келген алуға болады — жауап оған байланысты емес.

Шешуі.

1. $AB = x - (x - 2) = 2$ кесінді, яғни 2 см.
2. $AC = (x + 3) - x = 3$ см.
3. $BC = (x + 3) - (x - 2) = 5$ см. Тексеру: $AB + AC = 2 + 3 = 5$.

Жауабы: $AB = 2$ см, $AC = 3$ см, $BC = 5$ см.

№ 1320

Белгісіз цифрлары жұлдызшалармен ауыстырылған сандарды салыстырыңдар: 1) 5** және 8*; 2) 63* және 93*; 3) **3 және ***2; 4) 25** және 16***; 5) 42*7 және 39*8; 6) ***3 және **7.

Қалай ойлаймыз. Цифры көп сан үлкен болады. Цифрлары бірдей болса, ең жоғарғы разрядтарын салыстырамыз.

Шешуі.

1. 5** — үш таңбалы, 8* — екі таңбалы: $5** > 8*$.
2. Екеуі де үш таңбалы, жүздіктері 6 және 9: $63* < 93*$.
3. **3 — үш таңбалы, ***2 — төрт таңбалы: $**3 < ***2$.
4. 25** — төрт таңбалы, 16*** — бес таңбалы: $25** < 16***$.
5. Екеуі де төрт таңбалы, мыңдықтары 4 және 3: $427 > 398$.
6. ***3 — төрт таңбалы, **7 — үш таңбалы: $***3 > **7$.

Жауабы: 1)

№ 1321

Су толтырылған флягтың массасы 29 кг. Ондағы судың жартысын құйып алған соң, флягтың қалған сумен массасы 16 кг болды. Бос флягтың массасы неше килограмм?

Қалай ойлаймыз. Масса судың дәл жартысына азайды. Демек, массалардың айырмасы судың қанша екенін айтып береді.

Шешуі.

1. Судың жартысы: $29 - 16 = 13$ кг.
2. Барлық су: $13 \cdot 2 = 26$ кг.
3. Бос фляг: $29 - 26 = 3$ кг.

Жауабы: 3 кг.

№ 1322

Алма алхорыдан 3 есе ауыр. Лимон алмадан 50 г жеңіл, ал алмұрттан 2 есе жеңіл. Егер алмұрттың массасы 320 г болса, алхоры неше грамм?

Қалай ойлаймыз. Тек алмұрттың массасын білеміз, сондықтан тізбек бойымен «кері» жүреміз: алмұрт, лимон, алма, алхоры.

Шешуі.

1. Лимон: $320 : 2 = 160$ г.
2. Алма лимоннан 50 г ауыр: $160 + 50 = 210$ г.
3. Алхоры: $210 : 3 = 70$ г.

Жауабы: 70 г.

№ 1323

Иттің 2 рет секіру ұзындығы қоянның 3 рет секіру ұзындығына тең. Ит 3 рет секірген уақытта қоян 5 рет секіреді. Ит қоянға қуып жете ала ма? Не себепті?

Қалай ойлаймыз. Бірдей уақытта кім көбірек жүгіретінін салыстыру керек. Иттің 6 секірісін алған ыңғайлы: 6 саны 2-ге де, 3-ке де бөлінеді.

Шешуі.

1. Ит 6 рет секіргенде ($3 \cdot 2$) қоян $5 \cdot 2 = 10$ рет секіреді.
2. Иттің 6 секірісі — ұзындығы бойынша қоянның $3 \cdot 3 = 9$ секірісі.
3. Бір уақытта ит «қоян секірісінің» 9-ын жүгіреді, ал қоян — 10-ын. $9 < 10$, қоян жылдамырақ.

Жауабы: жете алмайды: бір уақытта қоян иттен көбірек жүгіреді. (Ит 6 рет секіргенде қоян 10 рет секіреді; иттің 6 секіруі қоянның 9 секіруіне тең, $9 < 10$.)

№ 1324

Көбейтудің үлестірімділік қасиетін пайдаланып, өрнекті ықшамдаңдар және мәнін табыңдар: 1) $3(x + 5) + 7x$, мұндағы $x = 4$; 2) $12(4 + y) - 5y$, мұндағы $y = 2$; 3) $6x + 4(2x + 7)$, мұндағы $x = 3$; 4) $9y + 2(6y + 5)$, мұндағы $y = 7$.

📕 Оқулықта бұл жаттығудың нөмірі қате басылған: «1124» деп жазылған. Дұрысы — 1324 (ол 1323-тен кейін тұр, жауаптар бөлімінде де 1324 деп берілген).

Қалай ойлаймыз. Жақшаны аш, барлық «иксті» жинап алып, содан кейін ғана санды қой.

Шешуі.

1. $3(x + 5) + 7x = 3x + 15 + 7x = 10x + 15$; $x = 4$ болғанда: $40 + 15 = 55$.
2. $12(4 + y) - 5y = 48 + 12y - 5y = 7y + 48$; $y = 2$ болғанда: $14 + 48 = 62$.
3. $6x + 4(2x + 7) = 6x + 8x + 28 = 14x + 28$; $x = 3$ болғанда: $42 + 28 = 70$.
4. $9y + 2(6y + 5) = 9y + 12y + 10 = 21y + 10$; $y = 7$ болғанда: $147 + 10 = 157$.

Жауабы: 1) 55; 2) 62; 3) 70; 4) 157.

⚠️ Жиі кететін қате. Тек бірінші қосылғышты көбейтеді: $3(x + 5) = 3x + 5$. Жақшаның алдындағы сан жақша ішіндегі әр қосылғышқа көбейтіледі.

№ 1325

Теңдеуді шешіңдер: 1) $7(x + 8) - 25 = 66$; 2) $9(5x + 13) - 143 = 109$; 3) $15(13x - 7) - 191 = 94$; 4) $(y + 46) : 3 = 18$; 5) $(2x + 39) : 5 = 13$; 6) $182 : (x - 15) = 14$.

Қалай ойлаймыз. Теңдеу — оралған сыйлық сияқты. «Орауыштарды» бір-бірлеп, соңғы амалдан бастап шешеміз.

Шешуі.

1. $7(x + 8) - 25 = 66$; $7(x + 8) = 91$; $x + 8 = 13$; $x = 5$.
2. $9(5x + 13) - 143 = 109$; $9(5x + 13) = 252$; $5x + 13 = 28$; $5x = 15$; $x = 3$.
3. $15(13x - 7) - 191 = 94$; $15(13x - 7) = 285$; $13x - 7 = 19$; $13x = 26$; $x = 2$.
4. $(y + 46) : 3 = 18$; $y + 46 = 54$; $y = 8$.
5. $(2x + 39) : 5 = 13$; $2x + 39 = 65$; $2x = 26$; $x = 13$.
6. $182 : (x - 15) = 14$; $x - 15 = 182 : 14 = 13$; $x = 28$.

Тексеру, 1): $7 \cdot (5 + 8) - 25 = 91 - 25 = 66$. Дұрыс.

Жауабы: 1) 5; 2) 3; 3) 2; 4) 8; 5) 13; 6) 28.

№ 1326

3 кг мандарин үшін $a$ тг төленді. 4 кг алма үшін $b$ тг төленді. Өрнектің мәнін анықтаңдар: 1) $a : 3$; 2) $b : 4$; 3) $a : 3 + b : 4$; 4) $2(a : 3) + 5(b : 4)$.

Қалай ойлаймыз. Бірнеше килограмның бағасын килограмм санына бөлсек, бір килограмның бағасы шығады.

Шешуі.

1. $a : 3$ — 1 кг мандариннің бағасы (тг).
2. $b : 4$ — 1 кг алманың бағасы (тг).
3. $a : 3 + b : 4$ — 1 кг мандарин мен 1 кг алма бірге қанша тұратыны.
4. $2(a : 3) + 5(b : 4)$ — сатып алудың құны: 2 кг мандарин және 5 кг алма.

Жауабы: шешуін қара.

№ 1327

Ребусты шешіңдер (жұлдызша — жоқ цифр): 1) $39 : 14 = 8$; 2) $88 : 23 = 3*$; 3) $37 : 49 = 1$; 4) $62 : 37 = 2$.*

Қалай ойлаймыз. Бөлуді көбейтумен тексереді. Көбейтіндінің соңғы цифры бөліндінің соңғы цифрын байқатады.

Шешуі.

1. $14 \cdot 8 = 39$. $14 \cdot 28 = 392$ сәйкес келеді. Ребус: $392 : 14 = 28$.
2. $23 \cdot 3*$ саны 8-мен аяқталады. $3 \cdot 6 = 18$ — демек, 36. $23 \cdot 36 = 828$. Ребус: $828 : 23 = 36$.
3. $49 \cdot 1*$ саны 7-мен аяқталады. $9 \cdot 3 = 27$ — демек, 13. $49 \cdot 13 = 637$. Ребус: $637 : 49 = 13$.
4. $37 \cdot 2*$ саны 2-мен аяқталады. $7 \cdot 6 = 42$ — демек, 26. $37 \cdot 26 = 962$. Ребус: $962 : 37 = 26$.

Жауабы: 1) $392 : 14 = 28$; 2) $828 : 23 = 36$; 3) $637 : 49 = 13$; 4) $962 : 37 = 26$.

2. Натурал сандардың бөлінгіштігі

№ 1328

1) 16, 28, 5 сандарының бөлгіштерін жазыңдар; 2) 18 бен 24 санының, 12 мен 9 санының, 12 мен 20 санының ең үлкен ортақ бөлгіштерін жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бөлгіштерді жұптап ізде: $1 \cdot 28$, $2 \cdot 14$, $4 \cdot 7$. Сонда біреуі де жоғалмайды.

Шешуі.

1. 5-тің бөлгіштері: 1, 5. 16-ның бөлгіштері: 1, 2, 4, 8, 16. 28-дің бөлгіштері: 1, 2, 4, 7, 14, 28.
2. 18-дің бөлгіштері: 1, 2, 3, 6, 9, 18; 24-тің бөлгіштері: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Ең үлкен ортағы — 6. 12-нің бөлгіштері: 1, 2, 3, 4, 6, 12; 9-дың бөлгіштері: 1, 3, 9. ЕҮОБ — 3. 20-ның бөлгіштері: 1, 2, 4, 5, 10, 20. 12-мен ортақтары: 1, 2, 4. ЕҮОБ — 4.

Жауабы: 1) 5: 1, 5; 16: 1, 2, 4, 8, 16; 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28. 2) ЕҮОБ(18; 24) = 6; ЕҮОБ(12; 9) = 3; ЕҮОБ(12; 20) = 4.

№ 1329

Ең кіші ортақ еселіктерін жазыңдар: 1) 3 пен 4-тің; 2) 12 мен 18-дің; 3) 16 мен 3-тің; 4) 30 бен 45-тің.

Қалай ойлаймыз. Егер сандардың 1-ден басқа ортақ бөлгіші болмаса, ЕКОЕ — олардың көбейтіндісі. Әйтпесе жай көбейткіштерге жіктейміз.

Шешуі.

1. 3 және 4 өзара жай: ЕКОЕ $= 3 \cdot 4 = 12$.
2. $12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$. ЕКОЕ $= 2^2 \cdot 3^2 = 36$.
3. 16 және 3 өзара жай: ЕКОЕ $= 48$.
4. $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, $45 = 3^2 \cdot 5$. ЕКОЕ $= 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 90$.

Жауабы: 1) 12; 2) 36; 3) 48; 4) 90.

№ 1330

5, 6, 7 цифрларымен (әрқайсысын бір реттен): 1) 9-ға бөлінетін ең үлкен санды; 2) 2-ге бөлінетін ең кіші санды; 3) 5-ке бөлінетін ең үлкен санды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Цифрларының қосындысы $5 + 6 + 7 = 18$ саны 9-ға бөлінеді — демек, осы цифрлардан құралған кез келген сан 9-ға бөлінеді. 2-ге 6-мен аяқталатын, 5-ке 5-пен аяқталатын сан бөлінеді.

Шешуі.

1. Барлығының ішіндегі ең үлкені — 765. Ол 9-ға бөлінеді.
2. 6-мен аяқталатындар: 576 және 756. Ең кішісі — 576.
3. 5-пен аяқталатындар: 675 және 765. Ең үлкені — 765.

Жауабы: 1) 765; 2) 576; 3) 765.

№ 1331

45-ке бөлінетін: 1) ең үлкен үш таңбалы санды жазыңдар; 2) ең кіші төрт таңбалы санды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. 999-ды 45-ке бөлеміз. Қалдық еселікке жету үшін қанша «қиып тастау» керегін көрсетеді.

Шешуі.

1. $999 : 45 = 22$ (қалдығы 9). Демек, $45 \cdot 22 = 990$.
2. Келесі еселік: $990 + 45 = 1035$ — бұл төрт таңбалы.

Жауабы: 1) 990; 2) 1035.

№ 1332

5, 8 және 9 цифрларын пайдаланып, неше екі таңбалы санды жазуға болады?

Қалай ойлаймыз. Бірінші орынға үш цифрдың кез келгенін қоямыз, екінші орынға қалған екеуінің біреуін қоямыз (цифр қайталанбайды, бұрынғы № 1330 сияқты).

Шешуі. $3 \cdot 2 = 6$ сан: 58, 59, 85, 89, 95, 98.

⚠️ Егер цифрларды қайталауға рұқсат берсек, 55, 88, 99 да қосылып, 9 сан шығар еді. Бірақ оқулықтың жауабы — 6, яғни цифрлар қайталанбайды.

Жауабы: 6 екі таңбалы сан.

№ 1333

Екі санның бөліндісі 12 және 16 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішіне тең. Осы екі санның қосындысы 50 және 75 сандарының ең кіші ортақ еселігіне тең. Сандарды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен ЕҮОБ мен ЕКОЕ-ні табамыз — бұлар жай сандар. Содан кейін есеп «бөліктерге» айналады: бір сан екіншісінен бірнеше есе үлкен.

Шешуі.

1. ЕҮОБ(12; 16) = 4. Демек, бір сан екіншісінен 4 есе үлкен.
2. $50 = 2 \cdot 5^2$, $75 = 3 \cdot 5^2$, ЕКОЕ $= 2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 150$. Сандардың қосындысы 150.
3. Кішісі — 1 бөлік, үлкені — 4 бөлік, барлығы 5 бөлік: $150 : 5 = 30$.
4. Үлкені: $30 \cdot 4 = 120$.

Тексеру: $120 + 30 = 150$, $120 : 30 = 4$.

Жауабы: 120 және 30.

№ 1334

Енлік пен Ләззат 140 м қашықтықты қадамдап өлшегенде, олардың іздері 40 рет сәйкес келді. Еңліктің қадамы 70 см. Ләззаттың қадамы неше сантиметр?

Қалай ойлаймыз. Іздер қашықтық Еңліктің қадамына да, Ләззаттың қадамына да бөлінетін жерде сәйкес келеді. Демек, бұл — ЕКОЕ-ге арналған есеп.

Шешуі.

1. $140 \text{ м} = 14,000$ см.
2. Іздер әр $14,000 : 40 = 350$ см сайын сәйкес келеді.
3. ЕКОЕ$(70; x) = 350$ болатын $x$ қадамы керек. $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$, $350 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$. $x$ құрамында $5^2 = 25$ болуы керек. 25, 50, 175, 350 см сәйкес келеді.
4. 25 см қадам тым кішкентай, 175–350 см тым үлкен. 50 см қалады.

Тексеру: ЕКОЕ$(70; 50) = 350$. Дұрыс.

Жауабы: 50 см.

3. Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану

№ 1335

Бөлшектерді қысқартыңдар: $\frac{12}{15}$, $\frac{18}{30}$, $\frac{48}{56}$, $\frac{54}{81}$, $\frac{125}{200}$.

Қалай ойлаймыз. Алымы мен бөлімін олардың ЕҮОБ-на бөлеміз — сонда бөлшек бірден қысқармайтын болады.

Шешуі.

1. $\frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ (3-ке);
2. $\frac{18}{30} = \frac{3}{5}$ (6-ға);
3. $\frac{48}{56} = \frac{6}{7}$ (8-ге);
4. $\frac{54}{81} = \frac{2}{3}$ (27-ге);
5. $\frac{125}{200} = \frac{5}{8}$ (25-ке).

Жауабы: $\frac{4}{5}$; $\frac{3}{5}$; $\frac{6}{7}$; $\frac{2}{3}$; $\frac{5}{8}$.

№ 1336

Бөлшектерді салыстырыңдар: 1) $\frac{555}{777}$ және $\frac{3333}{4444}$; 2) $\frac{44}{66}$ және $\frac{333}{555}$.

Қалай ойлаймыз. Бірдей цифрлардан құралған сандар жақсы қысқарады: 555 пен 777 — 111-ге, 3333 пен 4444 — 1111-ге бөлінеді.

Шешуі.

1. $\frac{555}{777} = \frac{5}{7} = \frac{20}{28}$; $\frac{3333}{4444} = \frac{3}{4} = \frac{21}{28}$. Демек, $\frac{555}{777} < \frac{3333}{4444}$.
2. $\frac{44}{66} = \frac{2}{3} = \frac{10}{15}$; $\frac{333}{555} = \frac{3}{5} = \frac{9}{15}$. Демек, $\frac{44}{66} > \frac{333}{555}$.

Жауабы: 1)

№ 1337

1) $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{12}$ бөлшектерін бөлімі 24-ке тең бөлшек түрінде жазыңдар. 2) $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{2}{9}$, $\frac{4}{15}$ бөлшектерін ең кіші ортақ бөлімге келтіріп жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Қосымша көбейткіш — «жаңа бөлім ескі бөлімнен неше есе үлкен». Алымын да, бөлімін де соған көбейтеміз.

Шешуі.

1. Қосымша көбейткіштер: 12, 8, 6, 4, 3, 2. $\frac{1}{2} = \frac{12}{24}$; $\frac{2}{3} = \frac{16}{24}$; $\frac{3}{4} = \frac{18}{24}$; $\frac{1}{6} = \frac{4}{24}$; $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$; $\frac{5}{12} = \frac{10}{24}$.
2. ЕКОЕ$(3; 5; 9; 15) = 45$. Көбейткіштер: 15, 9, 5, 3. $\frac{1}{3} = \frac{15}{45}$; $\frac{2}{5} = \frac{18}{45}$; $\frac{2}{9} = \frac{10}{45}$; $\frac{4}{15} = \frac{12}{45}$.

Жауабы: 1) $\frac{12}{24}$, $\frac{16}{24}$, $\frac{18}{24}$, $\frac{4}{24}$, $\frac{9}{24}$, $\frac{10}{24}$; 2) $\frac{15}{45}$, $\frac{18}{45}$, $\frac{10}{45}$, $\frac{12}{45}$.

№ 1338

Амалдарды орындаңдар: 1) $2\frac{2}{11} \cdot \frac{7}{8} : \frac{7}{11}$; 2) $3\frac{2}{3} \cdot 4\frac{7}{8} : \frac{13}{16}$; 3) $1\frac{1}{3} \cdot 2\frac{2}{3} : \frac{4}{9}$; 4) $6\frac{4}{15} \cdot \frac{1}{2} : 3\frac{2}{15}$; 5) $8\frac{1}{3} \cdot 1\frac{5}{7} : 2\frac{8}{21}$; 6) $1\frac{5}{6} \cdot 3\frac{3}{5} : 2\frac{1}{5}$.

Қалай ойлаймыз. Аралас сандарды бұрыс бөлшектерге айналдырамыз. Бөлуді төңкерілген бөлшекке көбейтумен алмастырамыз. Ал қысқартуды көбейтуге дейін жасаймыз — сонда сандар кішкентай күйінде қалады.

Шешуі.

1. $2\frac{2}{11} \cdot \frac{7}{8} : \frac{7}{11} = \frac{24}{11} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{11}{7} = \frac{24}{8} = 3$.
2. $3\frac{2}{3} \cdot 4\frac{7}{8} : \frac{13}{16} = \frac{11}{3} \cdot \frac{39}{8} \cdot \frac{16}{13} = 11 \cdot 1 \cdot 2 = 22$.
3. $1\frac{1}{3} \cdot 2\frac{2}{3} : \frac{4}{9} = \frac{4}{3} \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{4} = 8$.
4. $6\frac{4}{15} \cdot \frac{1}{2} : 3\frac{2}{15} = \frac{94}{15} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{47} = \frac{94}{94} = 1$.
5. $8\frac{1}{3} \cdot 1\frac{5}{7} : 2\frac{8}{21} = \frac{25}{3} \cdot \frac{12}{7} \cdot \frac{21}{50} = \frac{25 \cdot 12 \cdot 21}{3 \cdot 7 \cdot 50} = 6$.
6. $1\frac{5}{6} \cdot 3\frac{3}{5} : 2\frac{1}{5} = \frac{11}{6} \cdot \frac{18}{5} \cdot \frac{5}{11} = 3$.

Жауабы: 1) 3; 2) 22; 3) 8; 4) 1; 5) 6; 6) 3.

№ 1339

Амалдарды орындаңдар: 1) $\left(6\frac{1}{4} - 4\frac{1}{8}\right) \cdot 4 + 3\frac{1}{3} : 2\frac{1}{2}$; 2) $\left(2\frac{4}{9} + 1\frac{1}{6}\right) \cdot 1\frac{4}{5} - 3\frac{1}{9} : 2\frac{1}{3}$; 3) $\left(2 - 1\frac{7}{12}\right) : \left(\frac{3}{8} - \frac{1}{6}\right) \cdot 3\frac{1}{4}$; 4) $\left(\frac{7}{10} - \frac{2}{5}\right) \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{5}{6}\right) : 6\frac{1}{2}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жақшалар, содан кейін көбейту мен бөлу, соңында қосу мен азайту. Әр амалды жеке жолға жаз — сонда адаспайсың.

Шешуі.

1. $6\frac{1}{4} - 4\frac{1}{8} = 6\frac{2}{8} - 4\frac{1}{8} = 2\frac{1}{8}$; $2\frac{1}{8} \cdot 4 = 8\frac{4}{8} = 8\frac{1}{2}$; $3\frac{1}{3} : 2\frac{1}{2} = \frac{10}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$; $8\frac{1}{2} + 1\frac{1}{3} = 8\frac{3}{6} + 1\frac{2}{6} = 9\frac{5}{6}$.
2. $2\frac{4}{9} + 1\frac{1}{6} = 2\frac{8}{18} + 1\frac{3}{18} = 3\frac{11}{18} = \frac{65}{18}$; $\frac{65}{18} \cdot \frac{9}{5} = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2}$; $3\frac{1}{9} : 2\frac{1}{3} = \frac{28}{9} \cdot \frac{3}{7} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$; $6\frac{1}{2} - 1\frac{1}{3} = 6\frac{3}{6} - 1\frac{2}{6} = 5\frac{1}{6}$.
3. $2 - 1\frac{7}{12} = \frac{5}{12}$; $\frac{3}{8} - \frac{1}{6} = \frac{9}{24} - \frac{4}{24} = \frac{5}{24}$; $\frac{5}{12} : \frac{5}{24} = \frac{5}{12} \cdot \frac{24}{5} = 2$; $2 \cdot 3\frac{1}{4} = 6\frac{1}{2}$.
4. $\frac{7}{10} - \frac{2}{5} = \frac{7}{10} - \frac{4}{10} = \frac{3}{10}$; $\frac{1}{4} + \frac{5}{6} = \frac{3}{12} + \frac{10}{12} = \frac{13}{12}$; $\frac{3}{10} \cdot \frac{13}{12} = \frac{13}{40}$; $\frac{13}{40} : 6\frac{1}{2} = \frac{13}{40} \cdot \frac{2}{13} = \frac{1}{20}$.

Жауабы: 1) $9\frac{5}{6}$; 2) $5\frac{1}{6}$; 3) $6\frac{1}{2}$; 4) $\frac{1}{20}$.

№ 1340

Есептеңдер: $\frac{2}{3}$ бөлшегін 17 рет қосыңдар, оған $\frac{3}{5}$ бөлшегін 12 рет қосылғанын қосыңдар, одан $\frac{1}{15}$ бөлшегін 8 рет қосылғанын азайтыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бір санды 17 рет қосу ұзақ. Бірдей қосылғыштар — бұл көбейту.

Шешуі.

1. $\frac{2}{3} \cdot 17 = \frac{34}{3} = \frac{170}{15}$.
2. $\frac{3}{5} \cdot 12 = \frac{36}{5} = \frac{108}{15}$.
3. $\frac{1}{15} \cdot 8 = \frac{8}{15}$.
4. $\frac{170}{15} + \frac{108}{15} - \frac{8}{15} = \frac{270}{15} = 18$.

Жауабы: 18.

№ 1341

Екі шебер бірлесіп жұмыс істесе, тапсырманы 15 күнде орындайды. Алғашқыда олар бірлесіп 5 күн жұмыс істейді. Сонан соң тапсырманың қалғанын бірінші шебер 16 күнде орындайды. 1) Егер бірінші шебер бір өзі ғана жұмыс істесе, тапсырманы неше күнде орындайды? 2) Екінші шебер ше?

Қалай ойлаймыз. Бүкіл тапсырманы 1 деп аламыз. Сонда екеуі бір күнде тапсырманың $\frac{1}{15}$ бөлігін орындайды.

Шешуі.

1. 5 күнде бірге: $\frac{1}{15} \cdot 5 = \frac{1}{3}$ тапсырма.
2. Қалғаны: $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ тапсырма.
3. Біріншісі бір күнде: $\frac{2}{3} : 16 = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$ тапсырма — бәрін 24 күнде орындайды.
4. Екіншісі бір күнде: $\frac{1}{15} - \frac{1}{24} = \frac{8}{120} - \frac{5}{120} = \frac{3}{120} = \frac{1}{40}$ — бәрін 40 күнде орындайды.

Жауабы: біріншісі — 24 күнде, екіншісі — 40 күнде.

№ 1342

Балалар 20 кг емдік шөптер жинады. Оның $\frac{1}{6}$-і — шайқурай шөбі, $\frac{1}{5}$-і — мыңжапырақ шөбі, $\frac{1}{3}$-і — жалбыз шөбі, қалғаны — қырмызы гүлі. Балалар неше килограмм қырмызы гүлін жинады?

Қалай ойлаймыз. Алдымен үш шөптің қандай үлес алғанын табамыз. Қалғаны — қырмызы гүлі.

Шешуі.

1. Үш шөп: $\frac{1}{6} + \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{5}{30} + \frac{6}{30} + \frac{10}{30} = \frac{21}{30} = \frac{7}{10}$.
2. Қырмызы гүлі: $1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$ барлық шөптің.
3. $20 \cdot \frac{3}{10} = 6$ кг.

Тексеру: шайқурай $3\frac{1}{3}$ кг, мыңжапырақ 4 кг, жалбыз $6\frac{2}{3}$ кг, қырмызы гүлі 6 кг; бәрі бірге 20 кг.

Жауабы: 6 кг.

№ 1343

Катердің меншікті жылдамдығы $15\frac{1}{2}$ км/сағ. Өзеннің ағыс жылдамдығы $2\frac{1}{4}$ км/сағ. Катер өзенде ағыспен жүзіп, 71 км қашықтықты неше сағатта жүзеді?

Қалай ойлаймыз. Ағыспен жүзгенде өзен катерді «итереді», сондықтан жылдамдықтар қосылады.

Шешуі.

1. Ағыспен жылдамдығы: $15\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} = 15\frac{2}{4} + 2\frac{1}{4} = 17\frac{3}{4} = \frac{71}{4}$ км/сағ.
2. Уақыты: $71 : \frac{71}{4} = 71 \cdot \frac{4}{71} = 4$ сағ.

Жауабы: 4 сағатта.

4. Ондық бөлшектер және оларға амалдар қолдану

№ 1344

Амалдарды орындаңдар: 1) $(13{,}37 + 35{,}43) : 8$; 2) $8{,}2 \cdot (75{,}38 - 46{,}18)$; 3) $18{,}21 \cdot 2{,}6 + 0{,}18 \cdot 67$; 4) $41{,}24 : 4 + 29{,}36$; 5) $0{,}46 \cdot 2{,}5 + 12{,}6 : 2{,}1$; 6) $95 \cdot 0{,}21 - 14{,}3 : 11$.

Шешуі.

1. $13{,}37 + 35{,}43 = 48{,}8$; $48{,}8 : 8 = 6{,}1$.
2. $75{,}38 - 46{,}18 = 29{,}2$; $8{,}2 \cdot 29{,}2 = 239{,}44$.
3. $18{,}21 \cdot 2{,}6 = 47{,}346$; $0{,}18 \cdot 67 = 12{,}06$; $47{,}346 + 12{,}06 = 59{,}406$.
4. $41{,}24 : 4 = 10{,}31$; $10{,}31 + 29{,}36 = 39{,}67$.
5. $0{,}46 \cdot 2{,}5 = 1{,}15$; $12{,}6 : 2{,}1 = 6$; $1{,}15 + 6 = 7{,}15$.
6. $95 \cdot 0{,}21 = 19{,}95$; $14{,}3 : 11 = 1{,}3$; $19{,}95 - 1{,}3 = 18{,}65$.

Жауабы: 1) 6,1; 2) 239,44; 3) 59,406; 4) 39,67; 5) 7,15; 6) 18,65.

⚠️ Жиі кететін қате. Көбейтіндідегі үтірді «бірінші көбейткіштегідей» қояды. Ал былай болу керек: үтірден кейінгі таңбалар саны екі көбейткіштегі таңбалардың қосындысына тең. $18{,}21 \cdot 2{,}6$ мысалында бұл $2 + 1 = 3$ таңба: 47,346.

№ 1345

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $7 \cdot (2{,}3 + 0{,}8x) + 1{,}9x$, мұндағы $x = 0{,}4$; 2) $0{,}9 \cdot (6x + 5) - 3{,}2$, мұндағы $x = 1{,}2$; 3) $2{,}5(3x + 0{,}4) - 5{,}1x$, мұндағы $x = 8$.

Қалай ойлаймыз. $x$ орнына санды қойып, ретімен есепте: жақшалар, көбейту, қосу.

Шешуі.

1. $x = 0{,}4$ болғанда: $0{,}8 \cdot 0{,}4 = 0{,}32$; $2{,}3 + 0{,}32 = 2{,}62$; $7 \cdot 2{,}62 = 18{,}34$; $1{,}9 \cdot 0{,}4 = 0{,}76$; $18{,}34 + 0{,}76 = 19{,}1$.
2. $x = 1{,}2$ болғанда: $6 \cdot 1{,}2 = 7{,}2$; $7{,}2 + 5 = 12{,}2$; $0{,}9 \cdot 12{,}2 = 10{,}98$; $10{,}98 - 3{,}2 = 7{,}78$.
3. $x = 8$ болғанда: $3 \cdot 8 = 24$; $24 + 0{,}4 = 24{,}4$; $2{,}5 \cdot 24{,}4 = 61$; $5{,}1 \cdot 8 = 40{,}8$; $61 - 40{,}8 = 20{,}2$.

Жауабы: 1) 19,1; 2) 7,78; 3) 20,2.

№ 1346

Барлық өріктің $\frac{4}{7}$-і бірінші жәшікке салынып, қалғаны екінші жәшікке салынды. Бірінші жәшіктегі өрік екінші жәшіктегіден $2\frac{3}{4}$ кг артық. Екі жәшікте барлығы неше килограмм өрік бар?

Қалай ойлаймыз. Жәшіктердің айырмасы — барлық өріктің дәл жетіден бірі. Оны тапсақ — барлығын табамыз.

Шешуі.

1. Екінші жәшікте барлық өріктің $1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$ бөлігі.
2. Айырмасы: $\frac{4}{7} - \frac{3}{7} = \frac{1}{7}$ барлық өріктің, бұл $2\frac{3}{4}$ кг.
3. Барлық өрік: $2\frac{3}{4} \cdot 7 = \frac{11}{4} \cdot 7 = \frac{77}{4} = 19\frac{1}{4}$ кг.

Жауабы: $19\frac{1}{4}$ кг (19,25 кг).

№ 1347

Егер берілген ондық бөлшектің үтірін оңға қарай бір орынға жылжытсақ, бөлшек 78,75-ке артады. Берілген ондық бөлшекті табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Үтірді оңға бір таңбаға жылжыту — санды 10 есе үлкейту. Ескісі — 1 бөлік, жаңасы — 10 бөлік, айырмасы — 9 бөлік.

Шешуі.

1. $10x - x = 9x = 78{,}75$.
2. $x = 78{,}75 : 9 = 8{,}75$.

Тексеру: $87{,}5 - 8{,}75 = 78{,}75$. Дұрыс.

Жауабы: 8,75.

№ 1348

Ұзындығы 720 м пойыз ұзындығы 900 м көпірден 1,5 минутта өтті. Пойыз жылдамдығын өзгертпей, 1,1 минутта ұзындығы неше метр көпірден өтеді?

Қалай ойлаймыз. Көпір «өтілді» дегеніміз — оның үстінен соңғы вагон түсті. Демек, жол көпірдің ұзындығы плюс пойыздың ұзындығына тең.

Шешуі.

1. Жол: $900 + 720 = 1620$ м.
2. Жылдамдығы: $1620 : 1{,}5 = 1080$ м/мин.
3. 1,1 минутта: $1080 \cdot 1{,}1 = 1188$ м.
4. Көпірдің ұзындығы: $1188 - 720 = 468$ м.

Жауабы: 468 м.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. 660 м деген жауап — пойыздың ұзындығын ұмытқан деген сөз. Жолдың басында және соңында көпір мен пойызды сызып қараңыздар: пойыздың басы артық 720 м жүріп өтетіні көрінеді.

№ 1349

Арақашықтығы 406,2 км екі қаладан әртүрлі уақытта бір-біріне қарама-қарсы екі автобус жолға шықты. Бірінші автобус 53,82 км/сағ жылдамдықпен 269,1 км жол жүргеннен кейін 45,7 км/сағ жылдамдықпен жүрген екінші автобуспен кездесті. Бірінші автобус екінші автобустан неше сағат бұрын шыққан?

Қалай ойлаймыз. Кездесуге дейін әр автобус неше сағат жолда болғанын табамыз. Айырмасы — жауап.

Шешуі.

1. Біріншісінің уақыты: $269{,}1 : 53{,}82 = 5$ сағ.
2. Екіншісінің жүрген жолы: $406{,}2 - 269{,}1 = 137{,}1$ км.
3. Екіншісінің уақыты: $137{,}1 : 45{,}7 = 3$ сағ.
4. Айырмасы: $5 - 3 = 2$ сағ.

Жауабы: 2 сағат бұрын.

№ 1350

Теңдеуді тиімді тәсілмен шешіңдер: 1) $\frac{0{,}5}{1{,}63} = \frac{9{,}2 - x}{16{,}3}$; 2) $\frac{0{,}1}{0{,}952} = \frac{6{,}3 + x}{95{,}2}$.

Қалай ойлаймыз. Оң жақтағы бөлім сол жақтағы бөлімнен неше есе үлкен екеніне қара. Оң жақтағы алым да сол жақтағы алымнан дәл сонша есе үлкен.

Шешуі.

1. $16{,}3 = 1{,}63 \cdot 10$, демек, $9{,}2 - x = 0{,}5 \cdot 10 = 5$; $x = 9{,}2 - 5 = 4{,}2$.
2. $95{,}2 = 0{,}952 \cdot 100$, демек, $6{,}3 + x = 0{,}1 \cdot 100 = 10$; $x = 10 - 6{,}3 = 3{,}7$.

Жауабы: 1) 4,2; 2) 3,7.

5. Жиындар

№ 1351

$A = {12, 14, 16, 18}$; $B = {15, 30, 45}$ жиындарының қайсысы $C = {15, 20, 25, 30, 35, 45}$ жиынына ішкі жиын болады?

Қалай ойлаймыз. Ішкі жиын — кіші жиынның әр элементі үлкен жиында бар болғанда.

Шешуі.

1. $B$ жиынының барлық элементі (15, 30, 45) $C$ жиынында бар. Демек, $B \subset C$.
2. $A$ жиынының бірде-бір элементі $C$ жиынында жоқ, сондықтан $A \not\subset C$.

Жауабы: $B \subset C$.

№ 1352

Лаура дәптеріне 20 сан жазды. Ондағы 12 сан 5-ке бөлінеді, 13 сан 9-ға бөлінеді. Лаура дәптеріне жазған сандардың нешеуі: 1) 5-ке де, 9-ға да бөлінеді? 2) 5-ке ғана бөлінеді? 3) 9-ға ғана бөлінеді? Жауабын Эйлер–Венн дөңгелектерімен кескіндеңдер.

Қалай ойлаймыз. Әр сан кемінде 5-ке немесе 9-ға бөлінеді. Бірақ $12 + 13 = 25$ — бұл 20-дан көп! Артық 5 — ортақ бөліктегі сандар, оларды екі рет санаған.

Шешуі.

1. 5-ке де, 9-ға да бөлінетіндері: $12 + 13 - 20 = 5$ сан.
2. Тек 5-ке бөлінетіндері: $12 - 5 = 7$ сан.
3. Тек 9-ға бөлінетіндері: $13 - 5 = 8$ сан.

Сурет: қиылысқан екі дөңгелек. Сол жақтағысында («5-ке бөлінеді») ортақ бөліктен тыс — 7, ортақ бөлікте — 5, оң жақтағысында («9-ға бөлінеді») ортақ бөліктен тыс — 8. Тексеру: $7 + 5 + 8 = 20$.

Жауабы: 1) 5; 2) 7; 3) 8.

№ 1353

Қиылысуы: 1) үшбұрыш; 2) квадрат; 3) тік төртбұрыш болатын екі квадрат салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Квадраттарды ойда жылжыт немесе қағаздан екі квадрат қиып алып, оларды әртүрлі етіп қой.

Шешуі.

1. Үшбұрыш. Екінші квадратты «ромб» етіп бұр ($45^\circ$-қа) да, бір бұрышымен бірінші квадраттың қабырғасынан ішке қарай аздап кіргіз. Ортақ бөлігі — үшбұрыш, оның бір қабырғасы бірінші квадраттың қабырғасында жатады.
2. Квадрат. Үлкен квадраттың ішіне кішкентай квадрат сыз — қиылысуы кішкентай квадраттың өзі болады. Немесе екі тең квадратты диагональ бойымен жылжыт — ортақ бұрыш та квадрат болады.
3. Тік төртбұрыш. Екі тең квадратты үстіне қойып, біреуін оңға жылжыт (түгел емес). Ортақ бөлігі — тік төртбұрыш: биіктігі квадраттікіндей, ені кішірек.

Жауабы: салу сипаттамаларын қара.

№ 1354

1-суретте $A$, $B$ және $C$ жиындары кескінделген. 1) $A$, $B$ және $C$ жиындарының әрқайсысын жеке-жеке элементтерімен жазыңдар; 2) $A$ және $C$; $A$ және $B$ жиындарының арақатынастарын белгіленуі мен жазыңдар. (Суретте: $A$ және $B$ дөңгелектері қиылысады; $A$ ішінде 6 және 9 сандары бар кішкентай $C$ дөңгелегі жатыр. $A$-да ($B$ мен $C$-дан тыс) — 18, 21, 33; $A$ мен $B$-ның ортақ бөлігінде — 15 және 45; $B$-да $A$-дан тыс — 10, 25, 35.)

Қалай ойлаймыз. Элемент жиынға оның дөңгелегінің ішінде жатса, сол жиынға тиесілі — кез келген бөлігінде, ортақ бөлігін қоса.

Шешуі.

1. $A = {6, 9, 15, 18, 21, 33, 45}$; $B = {10, 15, 25, 35, 45}$; $C = {6, 9}$.
2. а) $C$ дөңгелегі түгелдей $A$ ішінде: $C \subset A$. ә) $A$ және $B$ қиылысады: $A \cap B = {15, 45}$.

Жауабы: 1) $A = {6, 9, 15, 18, 21, 33, 45}$, $B = {10, 15, 25, 35, 45}$, $C = {6, 9}$; 2) а) $C \subset A$; ә) $A \cap B = {15, 45}$.

6. Проценттер

№ 1355

Қоспаның $90%$-і темір, қалғаны — никель. Массасы 51 кг қоспаның құрамында қанша темір, қанша никель бар?

Қалай ойлаймыз. $90%$ — бұл санның $0{,}9$ бөлігі, ал никельге $10%$ қалады.

Шешуі.

1. Темір: $51 \cdot 0{,}9 = 45{,}9$ кг.
2. Никель: $100% - 90% = 10%$; $51 \cdot 0{,}1 = 5{,}1$ кг.

Жауабы: темір 45,9 кг, никель 5,1 кг.

№ 1356

Оператор шығарманың бірінші күні $28%$-ін, екінші күні $20%$-ін тергенде, терілмеген 39 беті қалды. Шығармада барлығы неше бет бар?

Қалай ойлаймыз. Неше процент қалғанын табамыз. Сол проценттер — дәл 39 бет.

Шешуі.

1. Екі күнде: $28% + 20% = 48%$.
2. Қалғаны: $100% - 48% = 52%$, бұл 39 бет.
3. Бүкіл шығарма: $39 : 0{,}52 = 75$ бет.

Жауабы: 75 бет.

№ 1357

Теледидардың алғашқы бағасы $a$ тг. Оның бағасы бірінші рет $20%$-ке арзандады, екінші рет соңғы бағасы тағы да $5%$-ке арзандады. Теледидардың соңғы бағасы алғашқы бағасынан неше процентке арзандады?

Қалай ойлаймыз. Екінші рет $5%$ жаңа, арзандаған бағадан алынады. Сондықтан $20% + 5%$ деп жай қосуға болмайды.

Шешуі.

1. Бірінші арзандаудан кейін: $a - 0{,}2a = 0{,}8a$.
2. Екінші арзандау: $0{,}8a \cdot 0{,}05 = 0{,}04a$. Баға: $0{,}8a - 0{,}04a = 0{,}76a$.
3. Барлығы баға $a - 0{,}76a = 0{,}24a$-ға, яғни $24%$-ке түсті.

Жауабы: $24%$-ке.

⚠️ Жиі кететін қате. «$25%$» деген жауап. Санмен тексер: $a = 100,000$ тг болғанда арзандағаннан кейінгі баға 76 000 тг, 75 000 тг емес.

№ 1358

Самат стансыдан саяжайға бару үшін 2,4 км қашықтықты жаяу жүрді. Бұл стансыдан саяжайға дейінгі барлық қашықтықтың $30%$-індей. Стансы мен саяжайдың арасы неше километр?

Қалай ойлаймыз. Бөлігін және ол неше процент екенін білеміз — бүтінді бөлу арқылы табамыз.

Шешуі. $2{,}4 : 0{,}3 = 8$ км.

Жауабы: 8 км.

№ 1359

Сыйымдылықтары бірдей екі ыдысқа су құйылған. Бірінші ыдыстың $10%$-і бос, қалған бөлігінде су бар. Екінші ыдыстың $10%$-інде су бар, қалғаны бос. Бірінші ыдыстағы су екінші ыдыстағы судан 16 л артық. Бірінші ыдыстың сыйымдылығы неше литр?

Қалай ойлаймыз. Бәрін «неше процент толған» деп аудар. Проценттердегі айырма 16 л-ге сәйкес келеді.

Шешуі.

1. Бірінші ыдыс $100% - 10% = 90%$-ке толған, екіншісі — $10%$-ке.
2. Айырмасы: $90% - 10% = 80%$ сыйымдылықтың, бұл 16 л.
3. Сыйымдылығы: $16 : 0{,}8 = 20$ л.

Жауабы: 20 л.

7. Бұрыштар. Көпбұрыштар

№ 1360

1) Жазыңқы бұрыштың $\frac{1}{4}$-і неше градус? 2) Тік бұрыштың $\frac{5}{9}$-і неше градус? 3) Толық бұрыштың $\frac{1}{6}$-і неше градус?

Қалай ойлаймыз. «Эталондарды» еске түсір: жазыңқы бұрыш — $180^\circ$, тік бұрыш — $90^\circ$, толық бұрыш — $360^\circ$. Әрі қарай — санның бөлшегі.

Шешуі.

1. $180^\circ : 4 = 45^\circ$.
2. $90^\circ : 9 \cdot 5 = 50^\circ$.
3. $360^\circ : 6 = 60^\circ$.

Жауабы: 1) $45^\circ$; 2) $50^\circ$; 3) $60^\circ$.

№ 1361

Градустық өлшемі $35^\circ$-қа тең $AOB$ бұрышын салыңдар. $OB$ сәулесі $AOC$ бұрышының биссектрисасы болатындай етіп, $OC$ сәулесін жүргізіңдер. $AOC$ бұрышының градустық өлшемі неше градус?

Қалай ойлаймыз. Биссектриса бұрышты тең екіге бөледі. Демек, $\angle BOC = \angle AOB = 35^\circ$.

Шешуі.

1. $OA$ сәулесін жүргіз, транспортирді қойып, $35^\circ$ белгіле де, $OB$ сәулесін жүргіз.
2. Транспортирді қозғамай, $OB$-дан сол жаққа тағы $35^\circ$ өлшеп сал (бұл $OA$-дан $70^\circ$) және $OC$ сәулесін жүргіз.
3. $\angle AOC = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ$.

Жауабы: $70^\circ$.

№ 1362

$ABCD$ төртбұрышының периметрі 24 см (2-сурет). $ABC$ үшбұрышының периметрі 18 см, ал $ACD$ үшбұрышының периметрі 22 см. $AC$ диагоналінің ұзындығын табыңдар. (Суретте: $ABCD$ төртбұрышының $AC$ диагоналі оны $ABC$ және $ACD$ үшбұрыштарына бөледі.)

Қалай ойлаймыз. Екі үшбұрыштың периметрлерін қосамыз. Оған төртбұрыштың барлық қабырғасы және $AC$ диагоналі екі рет кіреді.

Шешуі.

1. $P_{ABC} + P_{ACD} = (AB + BC + AC) + (AC + CD + DA) = P_{ABCD} + 2 \cdot AC$.
2. $18 + 22 = 40$ см; $40 = 24 + 2 \cdot AC$.
3. $2 \cdot AC = 16$ см, $AC = 8$ см.

Жауабы: $AC = 8$ см.

8. Дөңгелек диаграммалар. Кубтың жазбасы

№ 1363

3-суретте сыныптағы оқушылардың спорттық үйірмелерге, шахмат үйірмесіне және көркемөнерпаздар үйірмесіне қатысуларының дөңгелек диаграммасы берілген. Диаграммада сыныптағы бір оқушы бір ғана үйірмеге қатысады. • Есептің шартын диаграмма бойынша құрастырыңдар. • Егер сыныпта 30 оқушы болса, олардан неше оқушы спорттық үйірмеге, неше оқушы шахмат үйірмесіне қатысады? (Диаграммада: спорттық — $50%$, шахмат — $20%$, көркемөнерпаздар — $30%$.)

Қалай ойлаймыз. Дөңгелектің жартысы — сыныптың жартысы. Қалғаны — санның проценті.

Шешуі.

1. Шарттың мысалы: «Сыныпта 30 оқушы бар, әрқайсысы бір үйірмеге қатысады. Жартысы спортпен, $20%$-і шахматпен айналысады, қалғаны көркемөнерпаздар үйірмесінде. Әр үйірмеде неше оқушы бар?»
2. Спорттық: $30 \cdot 0{,}5 = 15$ оқушы.
3. Шахмат: $30 \cdot 0{,}2 = 6$ оқушы.
4. Көркемөнерпаздар: $30 \cdot 0{,}3 = 9$ оқушы. Тексеру: $15 + 6 + 9 = 30$.

Жауабы: 15 оқушы спорттық үйірмеге, 6 оқушы шахмат үйірмесіне қатысады (көркемөнерпаздар үйірмесінде 9 оқушы).

№ 1364

Ауаның $78%$-і — азот, $21%$-і — оттегі, қалғаны — әртүрлі газдар. Ауадағы азоттың, оттегінің, түрлі газдардың дөңгелек диаграммасын салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бүкіл дөңгелек — $100%$, бұл $360^\circ$. Демек, $1% = 3{,}6^\circ$.

Шешуі.

1. Басқа газдар: $100% - 78% - 21% = 1%$.
2. Азот: $78 \cdot 3{,}6^\circ = 280{,}8^\circ \approx 281^\circ$.
3. Оттегі: $21 \cdot 3{,}6^\circ = 75{,}6^\circ \approx 76^\circ$.
4. Басқа газдар: $1 \cdot 3{,}6^\circ = 3{,}6^\circ \approx 3^\circ$ (қосындысы $360^\circ$ болуы үшін осылай дөңгелектейміз).
5. Дөңгелек пен радиус сыз. Транспортирмен радиустан $281^\circ$ өлшеп сал (ыңғайлысы: $180^\circ$ және тағы $101^\circ$) — бұл азот. Содан кейін $76^\circ$ өлшеп сал — оттегі. Шамамен $3^\circ$ жіңішке сектор — басқа газдар. Бояп, проценттерін жаз.

Жауабы: секторлар $\approx 281^\circ$ (азот), $\approx 76^\circ$ (оттегі), $\approx 3^\circ$ (басқа газдар).

🌟 Біз жұтатын оттегі ауада шамамен бестен бір ғана бөлігін құрайды. Қалғанының дерлік бәрі — азот.

№ 1365

4-суретте кескінделген жазбаны ойша бүктеп, куб құрастырғанда, боялған (2) жағы оның төменгі жағы болса, қай жағы жоғарғы жағы болады? (Суретте: 1, 3, 4, 6 квадраттарынан тұратын баған; 2 боялған квадраты 1-дің оң жағында, 5 квадраты 6-ның сол жағында.)

Қалай ойлаймыз. Бағандағы төрт квадрат сақина болып бүктеледі — бұлар бүйір жақтар. Бағанға әртүрлі жағынан жапсырылған екі квадрат сақинаны екі ұшынан жабады. Демек, олар қарама-қарсы жақтар.

Шешуі.

1. 1, 3, 4, 6 квадраттарынан тұратын бағанды сақина етіп бүгеміз — бұлар бүйір жақтар.
2. Боялған 2-квадрат бағанға оң жағынан жапсырылған, сақинаны бір жағынан жабады. Ол төменгі жақ болсын.
3. 5-квадрат бағанның төменгі жағындағы 6-квадраттың сол жағына жапсырылған, сақинаны екінші жағынан жабады. Ол боялғанға қарама-қарсы — бұл жоғарғы жақ.

Жауабы: жоғарғы жағы — 5-квадрат.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Ойша шықпаса, жазбаны торкөзді қағазға қайта сызып, қиып алып, бүктеңіздер. Осындай екі-үш тәжірибеден кейін бала қайшысыз-ақ кубты «көре» бастайды.

Жадынама

• Бөлгіштерді жұптап ізде: $1 \cdot 28$, $2 \cdot 14$, $4 \cdot 7$.
• Бірлесіп жұмыс істеу: бүкіл тапсырма — 1, бір күнде — $\frac{1}{\text{күн саны}}$.
• Пойыз көпірден өтті: жол = көпір + пойыз.
• Диаграммадағы бүкіл дөңгелек — $100% = 360^\circ$, демек, $1% = 3{,}6^\circ$.
• Куб жазбасында қарама-қарсы жақтар бір-біріне тимейді.

Шағын тест