§ 19. Рационал сандарды көбейтудің ауыстырымдылық және терімділік қасиеттері

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 2 тарау: Рационал сандар және оларға амалдар қолдану. 131–134-беттер.

Нені үйренесің

• Көбейткіштердің орнын ауыстырып, оларды есептеуге ыңғайлы етіп топтауды.
• Көбейтіндінің таңбасын бірден көруді: бәрін көбейтпей, минустарды санау.
• $-0{,}3 \cdot a \cdot 3\frac{1}{3}$ сияқты өрнекті қысқа $-a$ түріне дейін ықшамдауды.
• «Ыңғайлы» көбейткіштер жұбын табуды: $2{,}5$ және $0{,}4$, $\frac{28}{33}$ және $\frac{33}{28}$.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 624 және 625 тапсырмалары. Ауызша шығарып көр.

• Газеттің бағасы 60 тг. 3 газет қанша тұрады? Ал 30 газет ше? $60 \cdot 3 = 180$ тг, $60 \cdot 30 = 1800$ тг.
• Ал 6, 9, 12 және 40 газет ше? 360 тг, 540 тг, 720 тг, 2400 тг.
• $a = 0{,}01$ болғанда $3{,}75a + 6{,}25a + 1{,}9$ неге тең? $3{,}75 + 6{,}25 = 10$, демек, $10a + 1{,}9 = 0{,}1 + 1{,}9 = $ 2.
• Ал $x = 100$ болғанда $13{,}32x + 16{,}68x - 3000$ неге тең? $30x - 3000 = 3000 - 3000 = $ 0.

💡 Байқадың ба? Алдымен ыңғайлы сандарды біріктірдік ($3{,}75 + 6{,}25 = 10$), содан кейін ғана мәнін қойдық. Көбейтуде де дәл сондай айла жұмыс істейді.

Тақырыпты талдаймыз

Көбейткіштер салынған қап

Көбейткіштерді қапқа салынған шарлар деп елестет. Оларды қалай араластырсаң да, қорапқа қалай бөліп салсаң да, жалпы «салмақ» өзгермейді. Кез келген $a$, $b$, $c$ рационал сандары үшін:

📌 $a \cdot b = b \cdot a$ — ауыстырымдылық қасиеті: көбейткіштердің орнын ауыстыруға болады. $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ — терімділік қасиеті: жақшаны қалағанша қоюға болады.

Бұл қасиеттерді бастауыш сыныптан білесің. Жаңалығы — олар теріс сандар мен бөлшектер үшін де орындалады.

«Достарды» іздейміз

Есептеп көр: $\frac{28}{33} \cdot (-13) \cdot \left(-\frac{33}{28}\right) \cdot \frac{1}{13}$. Тура есептесең — қорқынышты. Ал енді екінші және үшінші көбейткіштердің орнын ауыстырып, жақша қоямыз:

$\left(\frac{28}{33} \cdot \left(-\frac{33}{28}\right)\right) \cdot \left(-13 \cdot \frac{1}{13}\right) = (-1) \cdot (-1) = 1$.

$\frac{28}{33}$ және $\frac{33}{28}$ сандары — өзара кері сандар, олардың көбейтіндісі 1-ге тең (минус таңбасымен — $-1$). Дәл осындай жұптар «достар» болады.

💡 Ондық бөлшектерден шығатын пайдалы жұптар: $2{,}5 \cdot 4 = 10$, $0{,}25 \cdot 4 = 1$, $1{,}25 \cdot 8 = 10$, $0{,}2 \cdot 5 = 1$, $0{,}5 \cdot 2 = 1$. Оларды әр мысалдан көзбен іздеп жүр.

Минустарды санаймыз

Әрбір екі минус бірін-бірі «жояды»: $(-1) \cdot (-1) = 1$. Демек, барлығын көбейтіндідегі теріс көбейткіштер санасы шешеді.

📌 Минустар саны жұп (2, 4, 6…) болса — көбейтінді оң. Минустар саны тақ (1, 3, 5…) болса — көбейтінді теріс.

Мысалы, $-4 \cdot (-2) \cdot (-5) \cdot (-6) \cdot (-8)$ өрнегінде бес минус бар — ештеңе есептемей-ақ жауабы теріс болатыны белгілі.

⚠️ Жиі кететін қате. $-3 \cdot (-1) \cdot (-2) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot (-3)$ мысалында төрт минус деп қателесу оңай. Шын мәнінде олар бес! Минустарды саусақпен санап шық: әр көбейткішке біреуден.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан алдымен жауабының таңбасын айтуын, содан кейін ғана модулін есептеуін сұраңыз. Бұл — екі бөлек міндет, осылай істесе, қателер айтарлықтай азаяды.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• $a \cdot b = b \cdot a$ және $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ формулаларымен көбейтудің қандай қасиеттері жазылған? Біріншісі — ауыстырымдылық, екіншісі — көбейтудің терімділік қасиеті.
• Неліктен үш рационал санды кез келген ретпен көбейтуге болады? Ауыстырымдылық қасиеті көбейткіштердің орнын ауыстыруға, ал терімділік қасиеті жақшаны қалағанша қоюға мүмкіндік береді. Көбейтіндінің мәні өзгермейді.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 626

Есептеңдер: 1) $(-2{,}5) \cdot (-2{,}7) \cdot (-0{,}4)$; 2) $(-16) \cdot 7{,}3 \cdot (-1{,}5)$; 3) $3{,}75 \cdot (-11) \cdot (-0{,}8)$; 4) $(-5{,}2) \cdot (-10) \cdot (-2{,}5)$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен минустар санына қарап таңбасын анықтаймыз. Содан кейін дөңгелек сан беретін жұпты іздейміз.

Шешуі.

1. Минус үшеу — жауабы теріс. $2{,}5 \cdot 0{,}4 = 1$, демек, $-1 \cdot 2{,}7 = -2{,}7$.
2. Минус екеу — плюс. $16 \cdot 1{,}5 = 24$, $24 \cdot 7{,}3 = 175{,}2$.
3. Минус екеу — плюс. $3{,}75 \cdot 0{,}8 = 3$, $3 \cdot 11 = 33$.
4. Минус үшеу — минус. $10 \cdot 2{,}5 = 25$, $25 \cdot 5{,}2 = 130$, жауабы $-130$.

Жауабы: 1) $-2{,}7$; 2) $175{,}2$; 3) $33$; 4) $-130$.

№ 627

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $\left(-\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot (-4)$; 2) $\left(-4\frac{1}{5} \cdot 1{,}3\right) \cdot \frac{10}{13}$; 3) $\left(-5\frac{6}{7} \cdot \frac{3}{13}\right) \cdot \left(-4\frac{1}{3}\right)$; 4) $-\left(7\frac{5}{12} + \frac{7}{36}\right) \cdot 5\frac{1}{7}$.

Қалай ойлаймыз. Алғашқы үшеуінде жақшалар кедергі келтіреді. Көбейткіштердің орнын «достар» кездесетіндей етіп ауыстыр.

Шешуі.

1. $-\frac{3}{7} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot (-4)\right) = -\frac{3}{7} \cdot (-1) = \frac{3}{7}$.
2. $1{,}3 = \frac{13}{10}$, ал $\frac{13}{10} \cdot \frac{10}{13} = 1$. $-4\frac{1}{5} = -4{,}2$ қалады.
3. $\frac{3}{13} \cdot \left(-4\frac{1}{3}\right) = \frac{3}{13} \cdot \left(-\frac{13}{3}\right) = -1$. Сонда $-5\frac{6}{7} \cdot (-1) = 5\frac{6}{7}$.
4. Жақшада: $7\frac{15}{36} + \frac{7}{36} = 7\frac{22}{36} = \frac{274}{36}$. Әрі қарай $-\frac{274}{36} \cdot \frac{36}{7} = -\frac{274}{7} = -39\frac{1}{7}$.

Жауабы: 1) $\frac{3}{7}$; 2) $-4{,}2$; 3) $5\frac{6}{7}$; 4) $-39\frac{1}{7}$.

№ 628

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $-0{,}3 \cdot a \cdot 3\frac{1}{3}$; 2) $2\frac{2}{5} \cdot b \cdot \left(-\frac{5}{12}\right)$; 3) $-\frac{18}{25} \cdot x \cdot (-2{,}5)$; 4) $2{,}4 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{3} \cdot a$.

Қалай ойлаймыз. Әріпті соңына қойып, барлық сандарды көбейтеміз. «Сан мен әріп» түрі шығады.

Шешуі.

1. $-\frac{3}{10} \cdot \frac{10}{3} = -1$, шығады $-a$.
2. $\frac{12}{5} \cdot \left(-\frac{5}{12}\right) = -1$, шығады $-b$.
3. $-\frac{18}{25} \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{9}{5} = 1{,}8$, шығады $1{,}8x$.
4. $\left(-\frac{2}{3}\right)^3 = -\frac{8}{27}$; $\frac{12}{5} \cdot \left(-\frac{8}{27}\right) = -\frac{32}{45}$, шығады $-\frac{32}{45}a$.

Жауабы: 1) $-a$; 2) $-b$; 3) $1{,}8x$; 4) $-\frac{32}{45}a$.

№ 629

Көбейтіндінің мәнін табыңдар: 1) $\frac{3}{16} \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(-5\frac{1}{3}\right)$; 2) $\left(-\frac{2}{19}\right) \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(-9\frac{1}{2}\right)$; 3) $\frac{7}{20} \cdot \left(-\frac{3}{17}\right) \cdot \left(-8\frac{2}{21}\right)$; 4) $\left(-\frac{13}{25}\right) \cdot \left(-5\frac{10}{13}\right) \cdot \frac{2}{3}$.

Қалай ойлаймыз. Аралас сандарды бұрыс бөлшекке айналдырамыз, содан кейін айқастыра қысқартамыз.

Шешуі.

1. Бір минус. $\frac{3}{16} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{16}{3} = \frac{1}{3}$, жауабы $-\frac{1}{3}$.
2. Үш минус. $\frac{2}{19} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{19}{2} = \frac{3}{4}$, жауабы $-\frac{3}{4}$.
3. Екі минус. $\frac{7}{20} \cdot \frac{3}{17} \cdot \frac{170}{21} = \frac{1}{2}$.
4. Екі минус. $\frac{13}{25} \cdot \frac{75}{13} \cdot \frac{2}{3} = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$.

Жауабы: 1) $-\frac{1}{3}$; 2) $-\frac{3}{4}$; 3) $\frac{1}{2}$; 4) $2$.

№ 630

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $25x \cdot 16$, мұндағы $x = -37$; 2) $0{,}2y \cdot 2{,}5$, мұндағы $y = -71$; 3) $35b \cdot 8$, мұндағы $b = -450$; 4) $-30{,}4a \cdot (-8{,}5)$, мұндағы $a = 6{,}9$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен әріпсіз сандарды көбейт. Қысқа өрнек шығады — мәнін сонда қой.

Шешуі.

1. $25 \cdot 16 = 400$; $400 \cdot (-37) = -14,800$.
2. $0{,}2 \cdot 2{,}5 = 0{,}5$; $0{,}5 \cdot (-71) = -35{,}5$.
3. $35 \cdot 8 = 280$; $280 \cdot (-450) = -126,000$.
4. $-30{,}4 \cdot (-8{,}5) = 258{,}4$; $258{,}4 \cdot 6{,}9 = 1782{,}96$.

Жауабы: 1) $-14,800$; 2) $-35{,}5$; 3) $-126,000$; 4) $1782{,}96$.

№ 631

Есептеңдер: 1) $(-15{,}4) \cdot \left(-\frac{4}{27}\right) \cdot 1\frac{1}{14} \cdot \left(-3\frac{15}{22}\right)$; 2) $\left(-1\frac{11}{15}\right) \cdot 2\frac{6}{35} \cdot \left(-4\frac{37}{52}\right) \cdot \left(-\frac{15}{38}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Екі мысалда да үшеуден минус бар — жауаптары теріс. Қалғаны — қысқарту.

Шешуі.

1. $15{,}4 = \frac{77}{5}$, $1\frac{1}{14} = \frac{15}{14}$, $3\frac{15}{22} = \frac{81}{22}$. Шығады $\frac{77 \cdot 4 \cdot 15 \cdot 81}{5 \cdot 27 \cdot 14 \cdot 22}$. $14 \cdot 22 = 308 = 77 \cdot 4$ болғандықтан, $\frac{15 \cdot 81}{5 \cdot 27} = 3 \cdot 3 = 9$ қалады. Жауабы $-9$.
2. $\frac{26}{15} \cdot \frac{76}{35} \cdot \frac{245}{52} \cdot \frac{15}{38}$: $\frac{26}{52} = \frac{1}{2}$, $\frac{76}{38} = 2$, $\frac{245}{35} = 7$, он бес қысқарады. 7 шығады, жауабы $-7$.

Жауабы: 1) $-9$; 2) $-7$.

B деңгейі

№ 632

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $7{,}5 \cdot (-3{,}6) \cdot a \cdot b$, мұндағы $a = -24$, $b = -8$; 2) $0{,}81 \cdot (-m) \cdot 3{,}5 \cdot (-n)$, мұндағы $m = -2{,}4$, $n = 6{,}4$; 3) $\frac{29}{30} \cdot (-0{,}65) \cdot x \cdot y$, мұндағы $x = 2\frac{2}{39}$, $y = -3\frac{3}{29}$; 4) $\left(-8\frac{13}{19}\right) \cdot \frac{120}{259} \cdot x \cdot y$, мұндағы $x = -0{,}76$, $y = -\frac{37}{40}$.

Қалай ойлаймыз. Мәндерін жақшаға салып қой, минустарды сана. $-m$ жазуына абай бол: егер $m = -2{,}4$ болса, онда $-m = 2{,}4$.

Шешуі.

1. Минус үшеу. $7{,}5 \cdot 24 = 180$, $3{,}6 \cdot 8 = 28{,}8$, $180 \cdot 28{,}8 = 5184$. Жауабы $-5184$.
2. $-m = 2{,}4$, $-n = -6{,}4$: минус біреу. $0{,}81 \cdot 2{,}4 = 1{,}944$; $3{,}5 \cdot 6{,}4 = 22{,}4$; $1{,}944 \cdot 22{,}4 = 43{,}5456$. Жауабы $-43{,}5456$.
3. $x = \frac{80}{39}$, $y = -\frac{90}{29}$; минус екеу. $\frac{29}{30} \cdot \frac{13}{20} \cdot \frac{80}{39} \cdot \frac{90}{29} = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 3 = 4$.
4. Жоғарыдағы қадамдарды қара: $-2\frac{29}{35}$.

Жауабы: 1) $-5184$; 2) $-43{,}5456$; 3) $4$; 4) $-2\frac{29}{35}$.

№ 633

Бірінші сан $a$-ға тең, екінші сан бірінші санның $\frac{5}{18}$-іне, үшінші сан екінші санның 40%-ына тең болса, үшінші санды табу формуласын жазыңдар. Бірінші сан 900 болса, үшінші санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. «Санның бөлшегі» — көбейтеміз. 40% — бұл $0{,}4 = \frac{2}{5}$.

Шешуі.

1. Екінші сан: $\frac{5}{18}a$.
2. Үшінші сан: $\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{18}a = \frac{2}{18}a = \frac{1}{9}a$.
3. $a = 900$ болғанда: $900 : 9 = 100$.

Жауабы: $b = \frac{1}{9}a$; 100.

№ 634

$A$, $B$, $C$ нүктелерінің координаталарын және $AB$ мен $BC$ кесінділерінің ұзындықтарын табыңдар (52, 53-суреттер). 52-сурет: $C$ нөлден 6 бөлік солда, $B$ 2 бөлік солда, $A$ 8 бөлік оңда. 53-сурет: $A$ нөлден 8 бөлік солда, $B$ 3 бөлік оңда, $C$ 6 бөлік оңда. Бір бөлік — бірлік кесінді.

Қалай ойлаймыз. Кесіндінің ұзындығы — нүктелердің арақашықтығы: үлкен координатадан кішісін азайтамыз.

Шешуі.

• 52-сурет: $C(-6)$, $B(-2)$, $A(8)$. $AB = 8 - (-2) = 10$ бірл., $BC = -2 - (-6) = 4$ бірл.
• 53-сурет: $A(-8)$, $B(3)$, $C(6)$. $AB = 3 - (-8) = 11$ бірл., $BC = 6 - 3 = 3$ бірл.

Жауабы: 52-сурет: $A(8)$, $B(-2)$, $C(-6)$, $AB = 10$ бірл., $BC = 4$ бірл.; 53-сурет: $A(-8)$, $B(3)$, $C(6)$, $AB = 11$ бірл., $BC = 3$ бірл.

📕 Оқулықтың соңындағы жауаптарда 53-сурет үшін $AB = 14$ бірл. деп жазылған, бірақ дұрысы — 11 бірл.: $A(-8)$, $B(3)$ және $3 - (-8) = 11$. Бұл — қате басылып кеткен.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 635

Амалды орындаңдар: 1) $10{,}5 : 0{,}25$; 2) $127{,}2 : 0{,}4$; 3) $18\frac{1}{7} : 0{,}5$; 4) $9{,}15 : 3\frac{1}{3}$; 5) $17\frac{1}{3} : 8\frac{5}{6}$; 6) $4\frac{5}{7} : 2\frac{1}{35}$.

Қалай ойлаймыз. 0,25-ке бөлу — 4-ке көбейту сияқты. 0,5-ке бөлу — 2-ге көбейту. $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$-ге бөлу — $0{,}3$-ке көбейту.

Шешуі.

1. $10{,}5 \cdot 4 = 42$.
2. $1272 : 4 = 318$.
3. $18\frac{1}{7} \cdot 2 = 36\frac{2}{7}$.
4. $9{,}15 \cdot 0{,}3 = 2{,}745$.
5. $\frac{52}{3} \cdot \frac{6}{53} = \frac{104}{53} = 1\frac{51}{53}$.
6. $\frac{33}{7} \cdot \frac{35}{71} = \frac{165}{71} = 2\frac{23}{71}$.

Жауабы: 1) 42; 2) 318; 3) $36\frac{2}{7}$; 4) 2,745; 5) $1\frac{51}{53}$; 6) $2\frac{23}{71}$.

№ 636

$15\frac{1}{6} : 7\frac{2}{3} : 0{,}5 : \frac{1}{23}$ өрнегінің мәні натурал сан болатынын тексеріңдер.

Шешуі.

1. $\frac{91}{6} \cdot \frac{3}{23} = \frac{91}{46}$.
2. $\frac{91}{46} : 0{,}5 = \frac{91}{23}$.
3. $\frac{91}{23} : \frac{1}{23} = 91$.

Жауабы: иә, 91 натурал саны шығады.

№ 637

$A$ және $B$ пункттері арасындағы жолдың ұзындығы 48 км. $A$-дан $B$-ға: 1) 2 сағ; 2) 1,5 сағ; 3) 1 сағ 40 мин; 4) 1 сағ 20 мин; 5) 1 сағ 15 мин жүру үшін мотоциклшінің жылдамдығы қандай болуы керек?

Қалай ойлаймыз. Жылдамдық = жол : уақыт. Минутты сағатқа айналдырамыз: 40 мин $= \frac{2}{3}$ сағ, 20 мин $= \frac{1}{3}$ сағ, 15 мин $= \frac{1}{4}$ сағ.

Шешуі.

1. $48 : 2 = 24$ км/сағ.
2. $48 : 1{,}5 = 32$ км/сағ.
3. $48 : \frac{5}{3} = 48 \cdot \frac{3}{5} = 28{,}8$ км/сағ.
4. $48 : \frac{4}{3} = 36$ км/сағ.
5. $48 : \frac{5}{4} = 38{,}4$ км/сағ.

Жауабы: 1) 24 км/сағ; 2) 32 км/сағ; 3) 28,8 км/сағ; 4) 36 км/сағ; 5) 38,4 км/сағ.

Жадынама

• Көбейткіштердің орнын ауыстыруға және қалағанша топтауға болады.
• Алдымен таңбасы (минустарды санаймыз), содан кейін модулі.
• 1, 10, 100 беретін жұптарды іздеп жүр.
• Әріпті өрнекте барлық сандарды көбейт: $-0{,}3 \cdot a \cdot 3\frac{1}{3} = -a$.

Шағын тест