§ 18. Рационал сандарды көбейту

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 2 тарау: Рационал сандар және оларға амалдар қолдану. 123–130-беттер.

Нені үйренесің

• Таңбалары әртүрлі және таңбалары бірдей сандарды көбейтуді.
• Көбейткіш бес-алты болғанның өзінде де көбейтіндінің таңбасын тез анықтауды.
• $-3^2$ және $(-3)^2$ өрнектерін шатастырмауды.
• «Көбейтінді нөлге тең» түріндегі теңдеулерді шешуді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 584 және 585 тапсырмалары.

• $|-8| \cdot |0{,}01| \cdot |125| \cdot 0{,}1 = ?$ $8 \cdot 125 = 1000$, $0{,}01 \cdot 0{,}1 = 0{,}001$. Нәтиже 1.
• $0{,}1 \cdot |-62{,}5| \cdot |16| \cdot 0{,}01 = ?$ $62{,}5 \cdot 16 = 1000$. Нәтиже де 1.
• $a = 0{,}01$ болғанда $93{,}1a + 16{,}9a - 1{,}1$ неге тең? $110a - 1{,}1 = 1{,}1 - 1{,}1 = $ 0.
• $b = 100$ болғанда $(9{,}72b + 0{,}28b) : 250$ неге тең? $10b : 250 = 1000 : 250 = $ 4.

💡 Байқадың ба? Біз дөңгелек 1000 шығару үшін көбейткіштердің орнын ауыстырдық. Бұл — ауыстырымдылық және терімділік қасиеттері. Бүгін олар теріс сандарды қалай көбейтетінімізді түсінуге көмектеседі.

Тақырыпты талдаймыз

Минус пен плюс

Көбейту — бірдей қосылғыштарды қосу: $4 \cdot 3 = 4 + 4 + 4 = 12$. Демек, $(-4) \cdot 3 = (-4) + (-4) + (-4) = -12$. 4 теңгеден үш қарыз — 12 теңге қарыз.

Ал көбейткіштердің орнын ауыстырсақ, жауап өзгермеуі керек: $3 \cdot (-4) = -12$.

📌 Таңбалары әртүрлі сандарды көбейткенде модульдерін көбейтіп, жауабының алдына минус қой.

Мысалдар: $(-1{,}5) \cdot 20 = -30$; $0{,}3 \cdot (-1{,}2) = -0{,}36$; $\left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \frac{9}{14} = -\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 14} = -\frac{3}{7}$.

$-1$-ге көбейту

$(-1) \cdot 12{,}4 = -12{,}4$, $27 \cdot (-1) = -27$. $-1$-ге көбейту санның таңбасын қарама-қарсысына ауыстырады. Демек, $(-12) \cdot (-1) = 12$.

Минус пен минус

$(-3) \cdot (-4)$ есептейік. $-3$ саны — $3 \cdot (-1)$. Сонда:

$(-3) \cdot (-4) = (-1) \cdot 3 \cdot (-4) = (-1) \cdot (-12) = 12$.

📌 Екі теріс санды көбейту үшін олардың модульдерін көбейт. Жауабы оң сан болады.

Мысалдар: $-20 \cdot (-30) = 600$; $-40 \cdot (-0{,}3) = 12$; $-\frac{3}{14} \cdot \left(-\frac{7}{9}\right) = \frac{1}{6}$.

💡 Есте сақтау оңай: «дұшпанымның дұшпаны — менің досым». Минус (дұшпан) пен минус (дұшпанның) — плюс (дос).

Көбейтіндінің қалай өсетінін қара

$-3$ санын 3, 2, 1, 0, −1, −2, −3 сандарына көбейтеміз. Әр жолы көбейткіш 1-ге кемиді, ал көбейтінді 3-ке өседі. Осылайша ол нөлден «аттап» оң жаққа өтеді.

Неше минус болса, таңба сондай

Көбейткіш көп болса, минустарды сана:

• минус саны жұп (2, 4, 6…) — жауабы оң;
• минус саны тақ (1, 3, 5…) — жауабы теріс.

Мысалы, $-2 \cdot (-2{,}1) \cdot (-5) \cdot (-3) \cdot (-1{,}1)$: бес минус, демек, жауабы теріс: $-69{,}3$.

Нөл бәрін «нөлдеп» жібереді

📌 Көбейткіштердің ең болмағанда біреуі нөлге тең болса, көбейтінді нөлге тең. Және керісінше: көбейтінді нөлге тең болса, көбейткіштердің ең болмағанда біреуі нөл.

Бұл теңдеулерді шешуге көмектеседі. $(-5) \cdot (x + 42) = 0$. $-5$ көбейткіші нөл емес, демек, $x + 42 = 0$, $x = -42$.

Ал $(-21 + 7x)(18 - 9x) = 0$ теңдеуінде кез келген жақша нөл бола алады: $7x = 21$, $x = 3$ немесе $9x = 18$, $x = 2$. Екі түбір: 2 және 3.

Дәреже тұзағы

⚠️ Жиі кететін қате. $-3^2$ және $(-3)^2$ — әртүрлі сандар! $(-3)^2$ өрнегінде $-3$ санын квадраттайды: $(-3) \cdot (-3) = 9$. Ал $-3^2$ өрнегінде тек 3-ті квадраттайды, минусты кейін қояды: $-9$.

🌟 Дұрыс сөйле. $(-3) \cdot (-5)$ былай оқылады: «минус үшті минус беске көбейту» немесе «минус үш пен минус бестің көбейтіндісі». Ал $-6x$ — «минус алты икс».

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Кез келген көбейтуден бұрын балаға алдымен жауаптың таңбасын дауыстап айтуын, сонан соң ғана модульдерді есептеуін сұраңыз. Он шақты мысалдан кейін бұл әдетке айналады да, таңбаға қатысты қателер дерлік болмайды.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Көбейтінді қашан нөлге тең болады? Көбейткіштердің ең болмағанда біреуі нөлге тең болғанда.
• Көбейтінді қашан оң болады? Көбейткіштердің арасында минус саны жұп болғанда (бірде-бір минус болмағанда да).
• Қашан теріс болады? Минус саны тақ және нөл жоқ болғанда.
• $(-x + 2)(1 - x)(8 + x) = 0$ теңдеуінің неліктен үш түбірі бар? Көбейтінді кез келген жақша нөлге тең болғанда нөл болады: $-x + 2 = 0$ теңдеуінен $x = 2$; $1 - x = 0$ теңдеуінен $x = 1$; $8 + x = 0$ теңдеуінен $x = -8$.
• $(-1{,}5) \cdot 20$ қалай көбейтілді? Модульдерді көбейттік ($1{,}5 \cdot 20 = 30$) да, минус қойдық: $-30$.
• $(-1) \cdot 12{,}4$, $(-1) \cdot 45{,}21$, $27 \cdot (-1)$ неге тең? $-12{,}4$; $-45{,}21$; $-27$. Оң көбейткіштерге қарама-қарсы сандар шығады.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 586

Көбейтіндінің мәнін табыңдар: 1) $1{,}6 \cdot 8$, $-1{,}6 \cdot (-8)$; 2) $1{,}5 \cdot 0{,}4$, $-1{,}5 \cdot (-0{,}4)$; 3) $60 \cdot 0{,}2$, $-60 \cdot (-0{,}2)$; 4) $0{,}9 \cdot 9$, $-0{,}9 \cdot (-9)$; 5) $0{,}4 \cdot 0{,}6$, $-0{,}4 \cdot (-0{,}6)$; 6) $5 \cdot 0{,}02$, $-5 \cdot (-0{,}02)$.

Қалай ойлаймыз. Әр жұптың екінші жартысында екі минус бар, олар плюс береді. Демек, жұптағы екі көбейтінді бірдей.

Шешуі. 1) 12,8; 2) 0,6; 3) 12; 4) 8,1; 5) 0,24; 6) 0,1 — әр жұпта екі сан да тең.

Жауабы: 1) 12,8; 12,8; 2) 0,6; 0,6; 3) 12; 12; 4) 8,1; 8,1; 5) 0,24; 0,24; 6) 0,1; 0,1.

№ 587

Көбейтіндінің мәнін табыңдар: 1) $\frac{5}{11} \cdot \frac{8}{15}$, $-\frac{5}{11} \cdot \left(-\frac{8}{15}\right)$; 2) $\frac{9}{16} \cdot \frac{5}{12}$, $-\frac{9}{16} \cdot \left(-\frac{5}{12}\right)$; 3) $\frac{3}{14} \cdot \frac{7}{10}$, $-\frac{3}{14} \cdot \left(-\frac{7}{10}\right)$.

Шешуі.

1. $\frac{5 \cdot 8}{11 \cdot 15} = \frac{8}{33}$.
2. $\frac{9 \cdot 5}{16 \cdot 12} = \frac{3 \cdot 5}{16 \cdot 4} = \frac{15}{64}$.
3. $\frac{3 \cdot 7}{14 \cdot 10} = \frac{3}{20} = 0{,}15$.

Әр жұпта екінші көбейтінді де дәл солай.

Жауабы: 1) $\frac{8}{33}$; $\frac{8}{33}$; 2) $\frac{15}{64}$; $\frac{15}{64}$; 3) 0,15; 0,15.

№ 588

Көбейтіндінің мәнін табыңдар: 1) $0{,}625 \cdot (-8)$; 2) $-0{,}75 \cdot 4$; 3) $-0{,}375 \cdot 16$; 4) $8 \cdot (-0{,}875)$.

Қалай ойлаймыз. Мынаны есте сақтаған пайдалы: $0{,}625 = \frac{5}{8}$, $0{,}75 = \frac{3}{4}$, $0{,}375 = \frac{3}{8}$, $0{,}875 = \frac{7}{8}$.

Шешуі. 1) $-\frac{5}{8} \cdot 8 = -5$; 2) $-\frac{3}{4} \cdot 4 = -3$; 3) $-\frac{3}{8} \cdot 16 = -6$; 4) $-\frac{7}{8} \cdot 8 = -7$.

Жауабы: 1) $-5$; 2) $-3$; 3) $-6$; 4) $-7$.

№ 589

Көбейтіндінің мәнін табыңдар: 1) $\frac{3}{8} \cdot \left(-2\frac{2}{3}\right)$; 2) $-1{,}6 \cdot \frac{5}{8}$; 3) $-\frac{7}{8} \cdot 1\frac{1}{7}$; 4) $4\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{14}\right)$.

Шешуі.

1. $-\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3} = -1$.
2. $-\frac{8}{5} \cdot \frac{5}{8} = -1$.
3. $-\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7} = -1$.
4. $-\frac{14}{3} \cdot \frac{3}{14} = -1$.

Жауабы: төртеуінде де $-1$.

💡 Барлық мысалда көбейткіштер өзара кері сандар. Олардың модульдері 1 береді, ал таңбалары әртүрлі — демек, $-1$.

№ 590

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $3\frac{8}{9} \cdot \left(-2\frac{1}{7}\right)$; 2) $8\frac{1}{6} \cdot \left(-7\frac{1}{5}\right)$; 3) $6\frac{3}{8} \cdot \left(-2\frac{6}{11}\right)$; 4) $10\frac{4}{7} \cdot \left(-2\frac{11}{12}\right)$; 5) $5\frac{5}{8} \cdot \left(-7\frac{4}{15}\right)$; 6) $7\frac{5}{9} \cdot \left(-9\frac{3}{4}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Барлық жерде таңбалары әртүрлі — жауабы теріс. Аралас сандарды бұрыс бөлшекке айналдырамыз да, көбейтпес бұрын қысқартамыз.

Шешуі.

1. $-\frac{35}{9} \cdot \frac{15}{7} = -\frac{5 \cdot 5}{3} = -\frac{25}{3} = -8\frac{1}{3}$.
2. $-\frac{49}{6} \cdot \frac{36}{5} = -\frac{49 \cdot 6}{5} = -\frac{294}{5} = -58{,}8$.
3. $-\frac{51}{8} \cdot \frac{28}{11} = -\frac{51 \cdot 7}{2 \cdot 11} = -\frac{357}{22} = -16\frac{5}{22}$.
4. $-\frac{74}{7} \cdot \frac{35}{12} = -\frac{37 \cdot 5}{6} = -\frac{185}{6} = -30\frac{5}{6}$.
5. $-\frac{45}{8} \cdot \frac{109}{15} = -\frac{3 \cdot 109}{8} = -\frac{327}{8} = -40\frac{7}{8}$.
6. $-\frac{68}{9} \cdot \frac{39}{4} = -\frac{17 \cdot 13}{3} = -\frac{221}{3} = -73\frac{2}{3}$.

Жауабы: 1) $-8\frac{1}{3}$; 2) $-58{,}8$; 3) $-16\frac{5}{22}$; 4) $-30\frac{5}{6}$; 5) $-40\frac{7}{8}$; 6) $-73\frac{2}{3}$.

№ 591

Көбейтуді орындаңдар: 1) $-4{,}7 \cdot (-36)$; 2) $-5{,}9 \cdot (-6{,}3)$; 3) $-7{,}4 \cdot (-90)$; 4) $-31{,}6 \cdot (-75)$; 5) $-3{,}2 \cdot (-0{,}47)$; 6) $-200 \cdot (-0{,}85)$.

Қалай ойлаймыз. Барлық жерде екі минус — жауаптары оң. Модульдерін көбейте саламыз.

Шешуі. 1) $4{,}7 \cdot 36 = 169{,}2$; 2) $5{,}9 \cdot 6{,}3 = 37{,}17$; 3) $7{,}4 \cdot 90 = 666$; 4) $31{,}6 \cdot 75 = 2370$; 5) $3{,}2 \cdot 0{,}47 = 1{,}504$; 6) $200 \cdot 0{,}85 = 170$.

Жауабы: 1) 169,2; 2) 37,17; 3) 666; 4) 2370; 5) 1,504; 6) 170.

№ 592

Есептеңдер: 1) $-3^2$; 2) $(-3)^2$; 3) $-0{,}3^2$; 4) $(-0{,}3)^2$.

Қалай ойлаймыз. Минус жақшаның ішінде санмен бірге тұрса, оны да дәрежеге шығарады. Тұрмаса — минусты нәтиженің алдына қоя салады.

Шешуі. 1) $-(3 \cdot 3) = -9$; 2) $(-3) \cdot (-3) = 9$; 3) $-(0{,}3 \cdot 0{,}3) = -0{,}09$; 4) $(-0{,}3) \cdot (-0{,}3) = 0{,}09$.

Жауабы: 1) $-9$; 2) 9; 3) $-0{,}09$; 4) 0,09.

№ 593

Есептеңдер: 1) $-5^2$; 2) $(-5)^2$; 3) $-0{,}5^2$; 4) $(-0{,}5)^2$.

Шешуі. 1) $-25$; 2) 25; 3) $-0{,}25$; 4) 0,25.

Жауабы: 1) $-25$; 2) 25; 3) $-0{,}25$; 4) 0,25.

№ 594

Есептеңдер: 1) $\left(-\frac{2}{3}\right)^2$; 2) $-\left(\frac{3}{4}\right)^2$; 3) $\left(-\frac{5}{6}\right)^2$; 4) $-\left(\frac{7}{9}\right)^2$.

Шешуі. 1) $\frac{4}{9}$; 2) $-\frac{9}{16}$; 3) $\frac{25}{36}$; 4) $-\frac{49}{81}$.

Жауабы: 1) $\frac{4}{9}$; 2) $-\frac{9}{16}$; 3) $\frac{25}{36}$; 4) $-\frac{49}{81}$.

№ 595

Есептеңдер: 1) $-11^2$; 2) $(-1{,}3)^2$; 3) $-3{,}3^2$; 4) $-\left(\frac{5}{6}\right)^2$.

Қалай ойлаймыз. 4-тармақта минус жақшаның сыртында тұр, сондықтан $\frac{5}{6}$ квадраттайды да, нәтиженің алдына минус қояды.

Шешуі. 1) $-121$; 2) $1{,}69$; 3) $-(3{,}3 \cdot 3{,}3) = -10{,}89$; 4) $-\left(\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6}\right) = -\frac{25}{36}$.

Жауабы: 1) $-121$; 2) 1,69; 3) $-10{,}89$; 4) $-\frac{25}{36}$.

№ 596

Көбейтуді орындаңдар: 1) $-15{,}1 \cdot 8{,}6$; 2) $80{,}4 \cdot (-3{,}05)$; 3) $0{,}72 \cdot (-3{,}5)$; 4) $57{,}8 \cdot (-0{,}35)$; 5) $-258{,}4 \cdot 0{,}25$; 6) $0{,}216 \cdot (-25)$.

Қалай ойлаймыз. Барлық жерде таңбалары әртүрлі — жауаптары теріс. 0,25-ке көбейту — 4-ке бөлу.

Шешуі. 1) $-129{,}86$; 2) $-245{,}22$; 3) $-2{,}52$; 4) $-20{,}23$; 5) $-258{,}4 : 4 = -64{,}6$; 6) $-0{,}216 \cdot 25 = -5{,}4$.

Жауабы: 1) $-129{,}86$; 2) $-245{,}22$; 3) $-2{,}52$; 4) $-20{,}23$; 5) $-64{,}6$; 6) $-5{,}4$.

№ 597

Көбейтуді орындаңдар: 1) $-15{,}1 \cdot 0{,}1$; 2) $80{,}4 \cdot (-0{,}01)$; 3) $0{,}01 \cdot (-3{,}5)$; 4) $-57{,}8 \cdot (-10)$; 5) $-256{,}7 \cdot (-10)$; 6) $-0{,}206 \cdot (-100)$.

Қалай ойлаймыз. 10, 100-ге көбейткенде үтір оңға ығысады, 0,1, 0,01-ге көбейткенде — солға. Таңбасын ережемен анықтаймыз.

Шешуі. 1) $-1{,}51$; 2) $-0{,}804$; 3) $-0{,}035$; 4) 578; 5) 2567; 6) 20,6.

Жауабы: 1) $-1{,}51$; 2) $-0{,}804$; 3) $-0{,}035$; 4) 578; 5) 2567; 6) 20,6.

№ 598

Көбейтуді орындаңдар: 1) $6\frac{1}{3} \cdot \left(-1\frac{2}{11}\right)$; 2) $-1\frac{3}{7} \cdot 2\frac{4}{5}$; 3) $-2\frac{2}{7} \cdot 3\frac{1}{4}$; 4) $1\frac{3}{5} \cdot \left(-3\frac{3}{4}\right)$; 5) $2\frac{1}{2} \cdot \left(-2\frac{2}{15}\right)$; 6) $-1\frac{9}{11} \cdot 2\frac{19}{40}$.

Шешуі.

1. $-\frac{19}{3} \cdot \frac{13}{11} = -\frac{247}{33} = -7\frac{16}{33}$.
2. $-\frac{10}{7} \cdot \frac{14}{5} = -4$.
3. $-\frac{16}{7} \cdot \frac{13}{4} = -\frac{52}{7} = -7\frac{3}{7}$.
4. $-\frac{8}{5} \cdot \frac{15}{4} = -6$.
5. $-\frac{5}{2} \cdot \frac{32}{15} = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3}$.
6. $-\frac{20}{11} \cdot \frac{99}{40} = -\frac{9}{2} = -4{,}5$.

Жауабы: 1) $-7\frac{16}{33}$; 2) $-4$; 3) $-7\frac{3}{7}$; 4) $-6$; 5) $-5\frac{1}{3}$; 6) $-4{,}5$.

№ 599

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $\left(\frac{2}{9}\right)^2$; 2) $\left(-\frac{1}{11}\right)^2$; 3) $\left(-\frac{3}{10}\right)^2$; 4) $\left(-\frac{3}{5}\right)^3$; 5) $\left(-\frac{7}{10}\right)^3$.

Қалай ойлаймыз. Квадрат — екі бірдей көбейткіш, екі минус плюс береді. Куб — үш көбейткіш, үш минус минус береді.

Шешуі. 1) $\frac{4}{81}$; 2) $\frac{1}{121}$; 3) $\frac{9}{100}$; 4) $-\frac{27}{125}$; 5) $-\frac{343}{1000} = -0{,}343$.

Жауабы: 1) $\frac{4}{81}$; 2) $\frac{1}{121}$; 3) $\frac{9}{100}$; 4) $-\frac{27}{125}$; 5) $-0{,}343$.

№ 600

Көбейтуді орындаңдар: 1) $-\frac{2}{3} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{1}{10}$; 2) $-\frac{6}{7} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{6}{5}$; 3) $-\frac{24}{36} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(-\frac{2}{9}\right)$; 4) $-\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6} \cdot \left(-\frac{9}{10}\right)$; 5) $-\frac{1}{3} \cdot (-135) \cdot \frac{1}{5}$; 6) $\frac{2}{7} \cdot (-21) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен таңбасы (минустарды санаймыз), сонан соң модульдері қысқартумен.

Шешуі.

1. Бір минус: $-\frac{2 \cdot 6 \cdot 1}{3 \cdot 7 \cdot 10} = -\frac{2}{35}$.
2. Екі минус: $\frac{6 \cdot 3 \cdot 6}{7 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{108}{175}$.
3. Үш минус: $-\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9} = -\frac{1}{9}$.
4. Екі минус: $\frac{2 \cdot 5 \cdot 9}{3 \cdot 6 \cdot 10} = \frac{1}{2}$.
5. Екі минус: $\frac{135}{15} = 9$.
6. Екі минус: $\frac{2 \cdot 21}{7 \cdot 3} = 2$.

Жауабы: 1) $-\frac{2}{35}$; 2) $\frac{108}{175}$; 3) $-\frac{1}{9}$; 4) 0,5; 5) 9; 6) 2.

№ 601

Көбейтіндінің мәнін табыңдар: 1) $-2 \cdot (-2{,}1) \cdot (-5) \cdot (-3) \cdot (-1{,}1)$; 2) $-3 \cdot (-1{,}2) \cdot (-4) \cdot (-2) \cdot (-0{,}1)$.

Шешуі.

1. Жоғарыдағы қадамдар бойынша: $-69{,}3$.
2. Мұнда да бес минус. Модульдері: $3 \cdot 4 = 12$; $12 \cdot 1{,}2 = 14{,}4$; $14{,}4 \cdot 2 = 28{,}8$; $28{,}8 \cdot 0{,}1 = 2{,}88$. Жауабы $-2{,}88$.

Жауабы: 1) $-69{,}3$; 2) $-2{,}88$.

№ 602

Амалды орындаңдар: 1) $-4{,}9 \cdot 100$; 2) $49{,}2 \cdot (-1000)$; 3) $-16{,}79 \cdot (-10)$; 4) $-6 \cdot (-0{,}1)$; 5) $-8 \cdot 0{,}01$; 6) $377{,}4 \cdot (-0{,}001)$.

Шешуі. 1) $-490$; 2) $-49,200$; 3) 167,9; 4) 0,6; 5) $-0{,}08$; 6) $-0{,}3774$.

Жауабы: 1) $-490$; 2) $-49,200$; 3) 167,9; 4) 0,6; 5) $-0{,}08$; 6) $-0{,}3774$.

№ 603

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $-2\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8} \cdot \left(-3\frac{1}{3}\right)$; 2) $2\frac{2}{5} \cdot \left(-\frac{5}{6}\right) \cdot \left(-\frac{7}{10}\right)$.

Шешуі.

1. Екі минус — плюс: $\frac{8}{3} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{10}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$.
2. Екі минус — плюс: $\frac{12}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{10} = 2 \cdot \frac{7}{10} = 1{,}4$.

Жауабы: 1) $3\frac{1}{3}$; 2) 1,4.

№ 604

Есептеңдер: 1) $-1\frac{2}{3} \cdot 3{,}6$; 2) $1\frac{9}{31} \cdot (-3{,}1)$; 3) $-48 \cdot \left(-2\frac{5}{12}\right)$; 4) $4{,}5 \cdot \left(-1\frac{11}{15}\right)$; 5) $-12 \cdot \left(-4\frac{23}{24}\right)$; 6) $-7{,}5 \cdot \left(-2\frac{1}{125}\right)$.

Шешуі.

1. $-\frac{5}{3} \cdot 3{,}6 = -5 \cdot 1{,}2 = -6$.
2. $-\frac{40}{31} \cdot 3{,}1 = -40 \cdot 0{,}1 = -4$.
3. $48 \cdot \frac{29}{12} = 4 \cdot 29 = 116$.
4. $-4{,}5 \cdot \frac{26}{15} = -0{,}3 \cdot 26 = -7{,}8$.
5. $12 \cdot \frac{119}{24} = \frac{119}{2} = 59{,}5$.
6. $7{,}5 \cdot 2{,}008 = 15{,}06$.

Жауабы: 1) $-6$; 2) $-4$; 3) 116; 4) $-7{,}8$; 5) 59,5; 6) 15,06.

№ 605

1) 3-тен 9-ға; 2) $-3$-тен 3-ке; 3) $-7$-ден 5-ке; 4) $-11$-ден $-7$-ге; 5) $-18$-ден $-14$-ке; 6) $-24$-тен $-19$-ға дейінгі барлық тақ сандардың көбейтіндісінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Аралықтағы тақ сандарды жаз, олардың ішінде нешеуі теріс екенін сана — бұл жауаптың таңбасы.

Шешуі.

1. $3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 = 945$.
2. $-3, -1, 1, 3$: екі минус; $3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 3 = 9$.
3. $-7, -5, -3, -1, 1, 3, 5$: төрт минус; $7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 = 1575$.
4. $-11, -9, -7$: үш минус; $-693$.
5. $-17, -15$: екі минус; $255$.
6. $-23, -21, -19$: үш минус; $23 \cdot 21 \cdot 19 = 9177$, жауабы $-9177$.

Жауабы: 1) 945; 2) 9; 3) 1575; 4) $-693$; 5) 255; 6) $-9177$.

№ 606

Көбейту амалдарын орындамай, өрнектің мәнін салыстырыңдар: 1) $213 \cdot (-8716) \cdot (-507)$ және $-405 \cdot (-378) \cdot (-912)$; 2) $14{,}8 \cdot (-9{,}236) \cdot 853{,}2$ және $205{,}3 \cdot (-764{,}6) \cdot (-19{,}8)$; 3) $-463 \cdot (-903) \cdot 711{,}5$ және $356{,}8 \cdot (-558) \cdot 0$; 4) $-612{,}7 \cdot 0 \cdot (-425{,}3)$ және $237 \cdot (-106) \cdot 649$.

Қалай ойлаймыз. Тек таңбалары керек: оң сан > 0 > теріс сан.

Шешуі.

1. Сол жақта екі минус (плюс), оң жақта үш минус (минус):
   gt;$.
2. Сол жақта бір минус (минус), оң жақта екі минус (плюс):
   lt;$.
3. Сол жақта плюс, оң жақта нөл:
   gt;$.
4. Сол жақта нөл, оң жақта минус:
   gt;$.

Жауабы: 1)

№ 607

Тура теңсіздік шығатындай етіп жұлдызшаның орнына

Қалай ойлаймыз. Мұнда барлық көбейтінді теріс, сондықтан оларды есептеуге тура келеді. Екі теріс саннан модулі кіші болғаны үлкен.

Шешуі.

1. $-3{,}993$ және $-3{,}1746$: $-3{,}993 < -3{,}1746$.
2. $-4{,}0092$ және $-4{,}06$: $-4{,}0092 > -4{,}06$.
3. $-9{,}81$ және $-9{,}8192$: $-9{,}81 > -9{,}8192$.
4. $-12{,}7151$ және $-12{,}168$: $-12{,}7151 < -12{,}168$.

Жауабы: 1)

№ 608

Тура теңдіктен белгісіз бөлінгішті табыңдар: 1) $x : 0{,}71 = -0{,}46$; 2) $x : (-0{,}09) = 1$; 3) $x : (-5{,}9) = -1{,}1$; 4) $x : (-13{,}4) = -2{,}6$; 5) $x : (-0{,}8) = -0{,}7$; 6) $x : (-9{,}7) = -1{,}55$.

Қалай ойлаймыз. Бөлінгіш = бөлінді · бөлгіш.

Шешуі. 1) $-0{,}46 \cdot 0{,}71 = -0{,}3266$; 2) $1 \cdot (-0{,}09) = -0{,}09$; 3) $-1{,}1 \cdot (-5{,}9) = 6{,}49$; 4) $-2{,}6 \cdot (-13{,}4) = 34{,}84$; 5) $-0{,}7 \cdot (-0{,}8) = 0{,}56$; 6) $-1{,}55 \cdot (-9{,}7) = 15{,}035$.

Жауабы: 1) $-0{,}3266$; 2) $-0{,}09$; 3) 6,49; 4) 34,84; 5) 0,56; 6) 15,035.

№ 609

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x : 0{,}4 = -1\frac{2}{3}$; 2) $x : 0{,}25 = -\frac{4^2}{5}$; 3) $x : \frac{9}{13} = -2\frac{1}{6}$.

Шешуі.

1. $x = -\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5} = -\frac{2}{3}$.
2. $-\frac{4^2}{5} = -\frac{16}{5}$; $x = -\frac{16}{5} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{4}{5} = -0{,}8$.
3. $x = -\frac{13}{6} \cdot \frac{9}{13} = -\frac{3}{2} = -1{,}5$.

Жауабы: 1) $-\frac{2}{3}$; 2) $-0{,}8$; 3) $-1{,}5$.

№ 610

Амалдарды орындаңдар: 1) $-1{,}2 \cdot (25{,}5 \cdot 4)$; 2) $-1{,}7 \cdot (26{,}2 \cdot 0{,}5)$; 3) $(-16 \cdot 0{,}25) \cdot 6{,}6$; 4) $-0{,}6 \cdot (-15) \cdot 7{,}7$.

Шешуі. 1) $-1{,}2 \cdot 102 = -122{,}4$; 2) $-1{,}7 \cdot 13{,}1 = -22{,}27$; 3) $-4 \cdot 6{,}6 = -26{,}4$; 4) $9 \cdot 7{,}7 = 69{,}3$.

Жауабы: 1) $-122{,}4$; 2) $-22{,}27$; 3) $-26{,}4$; 4) 69,3.

№ 611

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $\left(\frac{2}{7} \cdot 3\frac{1}{2}\right) \cdot 4$; 2) $\left(-4\frac{1}{5} \cdot 2\frac{1}{7}\right) \cdot \frac{1}{18}$; 3) $\left(-5\frac{6}{7} \cdot 1\frac{1}{41}\right) \cdot \left(-4\frac{1}{3}\right)$; 4) $-\left(-2\frac{5}{12} \cdot 1\frac{1}{29}\right) \cdot \frac{4}{35}$.

Шешуі.

1. $\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2} = 1$; $1 \cdot 4 = 4$.
2. $-\frac{21}{5} \cdot \frac{15}{7} = -9$; $-9 \cdot \frac{1}{18} = -0{,}5$.
3. $-\frac{41}{7} \cdot \frac{42}{41} = -6$; $-6 \cdot \left(-\frac{13}{3}\right) = 26$.
4. $-\frac{29}{12} \cdot \frac{30}{29} = -\frac{5}{2}$; $-\left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{5}{2}$; $\frac{5}{2} \cdot \frac{4}{35} = \frac{2}{7}$.

Жауабы: 1) 4; 2) $-0{,}5$; 3) 26; 4) $\frac{2}{7}$.

№ 612

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $-\frac{5}{9}x$, мұндағы $x = -18$; 2) $-\frac{1}{15}y$, мұндағы $y = -5$; 3) $1{,}6b$, мұндағы $b = -450$; 4) $-30{,}7 \cdot a$, мұндағы $a = 6{,}8$.

Шешуі. 1) $\frac{5}{9} \cdot 18 = 10$; 2) $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$; 3) $-1{,}6 \cdot 450 = -720$; 4) $-30{,}7 \cdot 6{,}8 = -208{,}76$.

Жауабы: 1) 10; 2) $\frac{1}{3}$; 3) $-720$; 4) $-208{,}76$.

B деңгейі

№ 613

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $7{,}5a \cdot b$, мұндағы $a = -24$; $b = -8$; 2) $(-15) \cdot c \cdot (-d)$, мұндағы $c = 0{,}2$; $d = 3{,}5$; 3) $-5 \cdot y \cdot x$, мұндағы $x = -5{,}2$; $y = 0{,}7$; 4) $0{,}25 \cdot (-m) \cdot (-n)$, мұндағы $m = -2{,}4$; $n = 6{,}4$.

Қалай ойлаймыз. Сандарды жақшаға алып қоямыз. Абай бол: $d = 3{,}5$ болғанда $-d$ — бұл $-3{,}5$, ал $m = -2{,}4$ болғанда $-m$ — бұл $+2{,}4$.

Шешуі.

1. $7{,}5 \cdot (-24) \cdot (-8) = 7{,}5 \cdot 192 = 1440$.
2. $(-15) \cdot 0{,}2 \cdot (-3{,}5) = (-3) \cdot (-3{,}5) = 10{,}5$.
3. $-5 \cdot 0{,}7 \cdot (-5{,}2) = (-3{,}5) \cdot (-5{,}2) = 18{,}2$.
4. $0{,}25 \cdot 2{,}4 \cdot (-6{,}4) = 0{,}6 \cdot (-6{,}4) = -3{,}84$.

Жауабы: 1) 1440; 2) 10,5; 3) 18,2; 4) $-3{,}84$.

№ 614

Есептеңдер: 1) $-1\frac{2}{3} \cdot 3{,}4 \cdot \left(-2\frac{2}{17}\right)$; 2) $1\frac{9}{31} \cdot (-3{,}1) \cdot (-17{,}75)$; 3) $-28 \cdot \left(-3\frac{5}{12}\right) \cdot \left(-2\frac{4}{31}\right)$; 4) $4{,}6 \cdot 1\frac{11}{15} \cdot (-2{,}3)$.

Шешуі.

1. Екі минус: $\frac{5}{3} \cdot \frac{17}{5} \cdot \frac{36}{17} = \frac{36}{3} = 12$.
2. Екі минус: $\frac{40}{31} \cdot 3{,}1 = 4$; $4 \cdot 17{,}75 = 71$.
3. Үш минус: $28 \cdot \frac{41}{12} \cdot \frac{66}{31} = \frac{7 \cdot 41 \cdot 22}{31} = \frac{6314}{31} = 203\frac{21}{31}$; жауабы $-203\frac{21}{31}$.
4. Бір минус: $4{,}6 \cdot \frac{26}{15} = \frac{119{,}6}{15}$; $\frac{119{,}6 \cdot 2{,}3}{15} = \frac{275{,}08}{15} = 18\frac{127}{375}$; жауабы $-18\frac{127}{375}$.

Жауабы: 1) 12; 2) 71; 3) $-203\frac{21}{31}$; 4) $-18\frac{127}{375}$.

№ 615

Амалдарды орындаңдар: 1) $-1{,}7 \cdot (25{,}5 \cdot 4)$; 2) $-1{,}2 \cdot (26{,}6 \cdot 1{,}5)$; 3) $(-16 \cdot 14{,}5) \cdot 2{,}9$; 4) $-0{,}5 \cdot (-14) \cdot 12{,}5 \cdot 0{,}6$.

Шешуі.

1. $-1{,}7 \cdot 102 = -173{,}4$.
2. $-1{,}2 \cdot 39{,}9 = -47{,}88$.
3. $-232 \cdot 2{,}9 = -672{,}8$.
4. $7 \cdot 12{,}5 \cdot 0{,}6 = 7 \cdot 7{,}5 = 52{,}5$.

Жауабы: 1) $-173{,}4$; 2) $-47{,}88$; 3) $-672{,}8$; 4) 52,5.

№ 616

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x : \left(-5\frac{5}{11}\right) = 10 - 7{,}8$; 2) $x : 0{,}14 = 3\frac{1}{49} - 5\frac{1}{7}$; 3) $x : \left(-\frac{25}{47}\right) = 23 - 13{,}6$; 4) $x : 1\frac{31}{80} = \frac{3}{37} - 12\frac{1}{3}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен оң жағын есептейміз, сонан соң бөлінгіш = бөлінді · бөлгіш.

Шешуі.

1. $10 - 7{,}8 = 2{,}2 = \frac{11}{5}$; $x = \frac{11}{5} \cdot \left(-\frac{60}{11}\right) = -12$.
2. $3\frac{1}{49} - 5\frac{7}{49} = -2\frac{6}{49} = -\frac{104}{49}$; $x = -\frac{104}{49} \cdot \frac{7}{50} = -\frac{52}{175}$.
3. $23 - 13{,}6 = 9{,}4$; $x = 9{,}4 \cdot \left(-\frac{25}{47}\right) = -0{,}2 \cdot 25 = -5$.
4. $\frac{9}{111} - \frac{1369}{111} = -\frac{1360}{111}$; $x = -\frac{1360}{111} \cdot \frac{111}{80} = -17$.

Жауабы: 1) $-12$; 2) $-\frac{52}{175}$; 3) $-5$; 4) $-17$.

№ 617

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(40{,}2 + x) : (-2{,}5) = -11\frac{3}{5}$; 2) $(x - 3{,}1) : \left(-3\frac{4}{7}\right) = 4{,}2$; 3) $(29{,}3 - x) : \left(-2\frac{2}{9}\right) = -13{,}5$; 4) $(x + 11{,}7) : (-2{,}8) = 7\frac{1}{7}$.

Шешуі.

1. $40{,}2 + x = -11{,}6 \cdot (-2{,}5) = 29$; $x = 29 - 40{,}2 = -11{,}2$.
2. $x - 3{,}1 = 4{,}2 \cdot \left(-\frac{25}{7}\right) = -15$; $x = -15 + 3{,}1 = -11{,}9$.
3. Жоғарыдағы қадамдар бойынша: $x = -0{,}7$.
4. $x + 11{,}7 = \frac{50}{7} \cdot (-2{,}8) = -20$; $x = -20 - 11{,}7 = -31{,}7$.

Жауабы: 1) $-11{,}2$; 2) $-11{,}9$; 3) $-0{,}7$; 4) $-31{,}7$.

C деңгейі

№ 618

Теңдіктің тура болатынын тексеріңдер: 1) $\left(-85\frac{5}{7}\right) \cdot (-1{,}96) \cdot 0{,}04 \cdot \left(-\frac{5}{21}\right) \cdot (-4{,}5) = 7{,}2$; 2) $18\frac{3}{20} \cdot \left(-\frac{25}{88}\right) \cdot (-1{,}6) \cdot \frac{2}{15} \cdot (-12{,}5) = -13{,}75$.

Қалай ойлаймыз. Таңбасын минус санымен, модулін қадамдармен тексереміз.

Шешуі.

1. Төрт минус — плюс. $\frac{600}{7} \cdot 1{,}96 = 168$; $168 \cdot 0{,}04 = 6{,}72$; $6{,}72 \cdot \frac{5}{21} = 1{,}6$; $1{,}6 \cdot 4{,}5 = 7{,}2$. Тура.
2. Үш минус — минус. $18{,}15 \cdot \frac{25}{88} = 5{,}15625$; $\cdot 1{,}6 = 8{,}25$; $\cdot \frac{2}{15} = 1{,}1$; $\cdot 12{,}5 = 13{,}75$. Минуспен: $-13{,}75$. Тура.

Жауабы: 1) тура; 2) тура.

№ 619

$\left(-\frac{13}{14}\right) \cdot 20{,}5 \cdot \left(-\frac{5}{99}\right) \cdot (-79{,}2) \cdot \left(-1\frac{8}{13}\right)$ өрнегінің мәні $4{,}75 \cdot \left(-\frac{6}{19}\right) \cdot \left(-1\frac{8}{27}\right) \cdot 15\frac{3}{7}$ өрнегінің мәнінен 8,2 есе үлкен екенін көрсетіңдер.

Шешуі.

1. Біріншісі: төрт минус — плюс. $\frac{13}{14} \cdot \frac{21}{13} = \frac{3}{2}$; $\frac{5}{99} \cdot 79{,}2 = 4$; $\frac{3}{2} \cdot 4 \cdot 20{,}5 = 123$.
2. Екіншісі: екі минус — плюс. $4{,}75 \cdot \frac{6}{19} = 1{,}5$; $1{,}5 \cdot \frac{35}{27} = \frac{35}{18}$; $\frac{35}{18} \cdot \frac{108}{7} = 30$.
3. $123 : 30 = 4{,}1$. Бірінші мән екіншіден 8,2 есе емес, 4,1 есе үлкен.

Жауабы: тұжырым расталмайды: бірінші мән 123, екіншісі 30, қатынасы 4,1.

📕 Оқулықта № 619 бойынша бірінші өрнектің мәні екіншісінен 8,2 есе үлкен екенін көрсету керек, бірақ есептегенде 123 және 30 шығады, яғни қатынасы 4,1.

№ 620

Өрнектің мәні бүтін сан болатынын дәлелдеңдер: 1) $(-25{,}08) \cdot 4\frac{4}{19} \cdot \frac{35}{66} \cdot \left(-3\frac{1}{7}\right)$; 2) $\frac{27}{68} \cdot (-77{,}35) \cdot \left(-5\frac{20}{21}\right) \cdot 4\frac{12}{13}$.

Шешуі.

1. Екі минус — плюс. $25{,}08 \cdot \frac{80}{19} = 1{,}32 \cdot 80 = 105{,}6$; $105{,}6 \cdot \frac{35}{66} = 1{,}6 \cdot 35 = 56$; $56 \cdot \frac{22}{7} = 176$.
2. Екі минус — плюс. $77{,}35 : 68 = 1{,}1375$, $\cdot 27 = 30{,}7125$; $30{,}7125 \cdot \frac{125}{21} = 182{,}8125$; $182{,}8125 \cdot \frac{64}{13} = 900$.

Жауабы: 1) 176; 2) 900 — екі сан да бүтін.

№ 621

$y + 2x - 4 = 0$ формуласындағы: 1) $y$-ті $x$ арқылы; 2) $x$-ті $y$ арқылы өрнектеңдер.

Қалай ойлаймыз. Керекті әріпті жалғыз қалдырамыз, қалғанын белгісіз қосылғыштағыдай көшіреміз.

Шешуі.

1. $y = 4 - 2x$, яғни $y = -2x + 4$.
2. $2x = 4 - y$; $x = (4 - y) : 2 = 2 - 0{,}5y$.

Жауабы: 1) $y = -2x + 4$; 2) $x = 2 - 0{,}5y$.

№ 622

Теңдеудегі белгісіз азайғышты табыңдар: 1) $x - \left(10\frac{7}{9} + \left|-\frac{7}{9}\right| + \left(-11\frac{5}{9}\right)\right) = 0{,}8$; 2) $x - 412{,}5 = |-507 - 80{,}5|$.

Шешуі.

1. Жақшада: $10\frac{7}{9} + \frac{7}{9} - 11\frac{5}{9} = 11\frac{5}{9} - 11\frac{5}{9} = 0$. Сонда $x = 0{,}8$.
2. $|-587{,}5| = 587{,}5$; $x = 587{,}5 + 412{,}5 = 1000$.

Жауабы: 1) 0,8; 2) 1000.

№ 623

Координаталары $A$, $B$, $C$ нүктелерінің координаталарына қарама-қарсы $F$, $L$, $D$ нүктелерін координаталық түзуге салыңдар: 1) $A(3)$; $B(5)$; $C(11)$; 2) $A(-2)$; $B(-8)$; $C(-10)$. Бірлік кесінді 0,5 см болса, $AF$, $BL$, $CD$ кесінділерінің ұзындықтарын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Нүкте мен оған қарама-қарсы нүкте нөлдің екі жағында бірдей қашықтықта жатады. Демек, олардың арасы модульдің екі еселенгеніне тең. Сонан соң 0,5 см-ге көбейтеміз.

Шешуі.

1. $F(-3)$, $L(-5)$, $D(-11)$. $AF = 6 \cdot 0{,}5 = 3$ см; $BL = 10 \cdot 0{,}5 = 5$ см; $CD = 22 \cdot 0{,}5 = 11$ см.
2. $F(2)$, $L(8)$, $D(10)$. $AF = 4 \cdot 0{,}5 = 2$ см; $BL = 16 \cdot 0{,}5 = 8$ см; $CD = 20 \cdot 0{,}5 = 10$ см.

Жауабы: 1) 3 см, 5 см, 11 см; 2) 2 см, 8 см, 10 см.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 624

Газеттің бағасы 60 тг. Газет саны: 1) 3; 2) 6; 3) 9; 4) 12; 5) 30; 6) 40 болса, олардың қанша тұратынын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Құны = бағасы · саны. Саны 2 есе өссе, құны да 2 есе өседі.

Шешуі. 1) $60 \cdot 3 = 180$; 2) $60 \cdot 6 = 360$; 3) $60 \cdot 9 = 540$; 4) $60 \cdot 12 = 720$; 5) $60 \cdot 30 = 1800$; 6) $60 \cdot 40 = 2400$.

Жауабы: 1) 180 тг; 2) 360 тг; 3) 540 тг; 4) 720 тг; 5) 1800 тг; 6) 2400 тг.

№ 625

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $3{,}75a + 6{,}25a + 1{,}9$, мұндағы $a = 0{,}01$; 2) $13{,}32x + 16{,}68x - 3000$, мұндағы $x = 100$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бірдей әріптің коэффициенттерін қос: $3{,}75 + 6{,}25 = 10$; $13{,}32 + 16{,}68 = 30$.

Шешуі.

1. $10a + 1{,}9 = 0{,}1 + 1{,}9 = 2$.
2. $30x - 3000 = 3000 - 3000 = 0$.

Жауабы: 1) 2; 2) 0.

Жадынама

• Алдымен таңбасын анықта, сонан соң модульдерін көбейт.
• $-1$-ге көбейту санды қарама-қарсысына ауыстырады.
• Көбейтіндіде нөл болса, жауабы 0, есептеудің қажеті жоқ.
• $(-a)^2$ әрдайым оң, ал $(-a)^3$ теріс ($a > 0$ болғанда).
• «Көбейтінді = 0» теңдеуі: әр жақшаны нөлге теңе.

Шағын тест