§ 19. Переместительное и сочетательное свойства умножения рациональных чисел

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 2: Рациональные числа и действия над ними. Страницы 131–134.

Чему научишься

• Переставлять множители и группировать их так, чтобы считать было удобно.
• Сразу видеть знак произведения: считать минусы, а не перемножать всё подряд.
• Упрощать выражения вроде $-0{,}3 \cdot a \cdot 3\frac{1}{3}$ до короткого $-a$.
• Находить пары «удобных» множителей: $2{,}5$ и $0{,}4$, $\frac{28}{33}$ и $\frac{33}{28}$.

Разминка

Это задания № 624 и 625 из прошлого урока. Реши в уме.

• Газета стоит 60 тг. Сколько стоят 3 газеты? А 30? $60 \cdot 3 = 180$ тг, $60 \cdot 30 = 1800$ тг.
• А 6, 9, 12 и 40 газет? 360 тг, 540 тг, 720 тг, 2400 тг.
• Сколько будет $3{,}75a + 6{,}25a + 1{,}9$ при $a = 0{,}01$? $3{,}75 + 6{,}25 = 10$, значит, $10a + 1{,}9 = 0{,}1 + 1{,}9 = $ 2.
• А $13{,}32x + 16{,}68x - 3000$ при $x = 100$? $30x - 3000 = 3000 - 3000 = $ 0.

💡 Заметил? Сначала мы собрали удобные числа вместе ($3{,}75 + 6{,}25 = 10$), а уже потом подставили. С умножением работает тот же фокус.

Разбираемся

Мешок с множителями

Представь, что множители — это шарики в мешке. Как ни перемешивай их, как ни раскладывай по коробкам, общий «вес» не изменится. Для любых рациональных чисел $a$, $b$, $c$:

📌 $a \cdot b = b \cdot a$ — переместительное свойство: множители можно менять местами. $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ — сочетательное свойство: скобки можно ставить как угодно.

Эти свойства ты знаешь с начальной школы. Новость в том, что они работают и для отрицательных чисел, и для дробей.

Ищем «друзей»

Посчитай: $\frac{28}{33} \cdot (-13) \cdot \left(-\frac{33}{28}\right) \cdot \frac{1}{13}$. В лоб — страшно. А теперь поменяем местами второй и третий множители и поставим скобки:

$\left(\frac{28}{33} \cdot \left(-\frac{33}{28}\right)\right) \cdot \left(-13 \cdot \frac{1}{13}\right) = (-1) \cdot (-1) = 1$.

Числа $\frac{28}{33}$ и $\frac{33}{28}$ — взаимно обратные, их произведение равно 1 (с минусом — $-1$). Такие пары и есть «друзья».

💡 Полезные пары из десятичных дробей: $2{,}5 \cdot 4 = 10$, $0{,}25 \cdot 4 = 1$, $1{,}25 \cdot 8 = 10$, $0{,}2 \cdot 5 = 1$, $0{,}5 \cdot 2 = 1$. Ищи их глазами в каждом примере.

Считаем минусы

Каждые два минуса «гасят» друг друга: $(-1) \cdot (-1) = 1$. Значит, всё решает, сколько в произведении отрицательных множителей.

📌 Минусов чётное число (2, 4, 6…) — произведение положительное. Минусов нечётное число (1, 3, 5…) — произведение отрицательное.

Например, в $-4 \cdot (-2) \cdot (-5) \cdot (-6) \cdot (-8)$ пять минусов — ответ будет отрицательным, ещё до всякого счёта.

⚠️ Частая ошибка. В примере $-3 \cdot (-1) \cdot (-2) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot (-3)$ легко насчитать четыре минуса. Их пять! Пересчитывай минусы пальцем — по одному на каждый множитель.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка сначала назвать знак ответа и только потом считать модуль. Это две отдельные задачи, и так ошибок становится заметно меньше.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какие свойства записаны формулами $a \cdot b = b \cdot a$ и $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$? Первое — переместительное, второе — сочетательное свойство умножения.
• Почему три рациональных числа можно умножать в любом порядке? Переместительное свойство разрешает менять множители местами, а сочетательное — ставить скобки как угодно. Значение произведения от этого не меняется.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 626

Вычисли: 1) $(-2{,}5) \cdot (-2{,}7) \cdot (-0{,}4)$; 2) $(-16) \cdot 7{,}3 \cdot (-1{,}5)$; 3) $3{,}75 \cdot (-11) \cdot (-0{,}8)$; 4) $(-5{,}2) \cdot (-10) \cdot (-2{,}5)$.

Как думать. Сначала знак по числу минусов. Потом ищем пару, дающую круглое число.

Решение.

1. Минусов три — ответ отрицательный. $2{,}5 \cdot 0{,}4 = 1$, значит, $-1 \cdot 2{,}7 = -2{,}7$.
2. Минусов два — плюс. $16 \cdot 1{,}5 = 24$, $24 \cdot 7{,}3 = 175{,}2$.
3. Минусов два — плюс. $3{,}75 \cdot 0{,}8 = 3$, $3 \cdot 11 = 33$.
4. Минусов три — минус. $10 \cdot 2{,}5 = 25$, $25 \cdot 5{,}2 = 130$, ответ $-130$.

Ответ: 1) $-2{,}7$; 2) $175{,}2$; 3) $33$; 4) $-130$.

№ 627

Найди значение: 1) $\left(-\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot (-4)$; 2) $\left(-4\frac{1}{5} \cdot 1{,}3\right) \cdot \frac{10}{13}$; 3) $\left(-5\frac{6}{7} \cdot \frac{3}{13}\right) \cdot \left(-4\frac{1}{3}\right)$; 4) $-\left(7\frac{5}{12} + \frac{7}{36}\right) \cdot 5\frac{1}{7}$.

Как думать. В первых трёх скобки мешают. Переставь множители так, чтобы встретились «друзья».

Решение.

1. $-\frac{3}{7} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot (-4)\right) = -\frac{3}{7} \cdot (-1) = \frac{3}{7}$.
2. $1{,}3 = \frac{13}{10}$, а $\frac{13}{10} \cdot \frac{10}{13} = 1$. Остаётся $-4\frac{1}{5} = -4{,}2$.
3. $\frac{3}{13} \cdot \left(-4\frac{1}{3}\right) = \frac{3}{13} \cdot \left(-\frac{13}{3}\right) = -1$. Тогда $-5\frac{6}{7} \cdot (-1) = 5\frac{6}{7}$.
4. В скобке: $7\frac{15}{36} + \frac{7}{36} = 7\frac{22}{36} = \frac{274}{36}$. Дальше $-\frac{274}{36} \cdot \frac{36}{7} = -\frac{274}{7} = -39\frac{1}{7}$.

Ответ: 1) $\frac{3}{7}$; 2) $-4{,}2$; 3) $5\frac{6}{7}$; 4) $-39\frac{1}{7}$.

№ 628

Упрости: 1) $-0{,}3 \cdot a \cdot 3\frac{1}{3}$; 2) $2\frac{2}{5} \cdot b \cdot \left(-\frac{5}{12}\right)$; 3) $-\frac{18}{25} \cdot x \cdot (-2{,}5)$; 4) $2{,}4 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{3} \cdot a$.

Как думать. Букву отодвигаем в конец, все числа перемножаем. Получится «число на букву».

Решение.

1. $-\frac{3}{10} \cdot \frac{10}{3} = -1$, выходит $-a$.
2. $\frac{12}{5} \cdot \left(-\frac{5}{12}\right) = -1$, выходит $-b$.
3. $-\frac{18}{25} \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{9}{5} = 1{,}8$, выходит $1{,}8x$.
4. $\left(-\frac{2}{3}\right)^3 = -\frac{8}{27}$; $\frac{12}{5} \cdot \left(-\frac{8}{27}\right) = -\frac{32}{45}$, выходит $-\frac{32}{45}a$.

Ответ: 1) $-a$; 2) $-b$; 3) $1{,}8x$; 4) $-\frac{32}{45}a$.

№ 629

Найди произведение: 1) $\frac{3}{16} \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(-5\frac{1}{3}\right)$; 2) $\left(-\frac{2}{19}\right) \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(-9\frac{1}{2}\right)$; 3) $\frac{7}{20} \cdot \left(-\frac{3}{17}\right) \cdot \left(-8\frac{2}{21}\right)$; 4) $\left(-\frac{13}{25}\right) \cdot \left(-5\frac{10}{13}\right) \cdot \frac{2}{3}$.

Как думать. Смешанные числа переводим в неправильные дроби, потом сокращаем крест-накрест.

Решение.

1. Один минус. $\frac{3}{16} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{16}{3} = \frac{1}{3}$, ответ $-\frac{1}{3}$.
2. Три минуса. $\frac{2}{19} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{19}{2} = \frac{3}{4}$, ответ $-\frac{3}{4}$.
3. Два минуса. $\frac{7}{20} \cdot \frac{3}{17} \cdot \frac{170}{21} = \frac{1}{2}$.
4. Два минуса. $\frac{13}{25} \cdot \frac{75}{13} \cdot \frac{2}{3} = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$.

Ответ: 1) $-\frac{1}{3}$; 2) $-\frac{3}{4}$; 3) $\frac{1}{2}$; 4) $2$.

№ 630

Найди значение: 1) $25x \cdot 16$ при $x = -37$; 2) $0{,}2y \cdot 2{,}5$ при $y = -71$; 3) $35b \cdot 8$ при $b = -450$; 4) $-30{,}4a \cdot (-8{,}5)$ при $a = 6{,}9$.

Как думать. Сначала перемножь числа без буквы. Получится короткое выражение — в него и подставляй.

Решение.

1. $25 \cdot 16 = 400$; $400 \cdot (-37) = -14,800$.
2. $0{,}2 \cdot 2{,}5 = 0{,}5$; $0{,}5 \cdot (-71) = -35{,}5$.
3. $35 \cdot 8 = 280$; $280 \cdot (-450) = -126,000$.
4. $-30{,}4 \cdot (-8{,}5) = 258{,}4$; $258{,}4 \cdot 6{,}9 = 1782{,}96$.

Ответ: 1) $-14,800$; 2) $-35{,}5$; 3) $-126,000$; 4) $1782{,}96$.

№ 631

Вычисли: 1) $(-15{,}4) \cdot \left(-\frac{4}{27}\right) \cdot 1\frac{1}{14} \cdot \left(-3\frac{15}{22}\right)$; 2) $\left(-1\frac{11}{15}\right) \cdot 2\frac{6}{35} \cdot \left(-4\frac{37}{52}\right) \cdot \left(-\frac{15}{38}\right)$.

Как думать. В обоих примерах по три минуса — ответы отрицательные. Остальное — сокращение.

Решение.

1. $15{,}4 = \frac{77}{5}$, $1\frac{1}{14} = \frac{15}{14}$, $3\frac{15}{22} = \frac{81}{22}$. Получаем $\frac{77 \cdot 4 \cdot 15 \cdot 81}{5 \cdot 27 \cdot 14 \cdot 22}$. Так как $14 \cdot 22 = 308 = 77 \cdot 4$, остаётся $\frac{15 \cdot 81}{5 \cdot 27} = 3 \cdot 3 = 9$. Ответ $-9$.
2. $\frac{26}{15} \cdot \frac{76}{35} \cdot \frac{245}{52} \cdot \frac{15}{38}$: $\frac{26}{52} = \frac{1}{2}$, $\frac{76}{38} = 2$, $\frac{245}{35} = 7$, пятнадцать сокращается. Получаем 7, ответ $-7$.

Ответ: 1) $-9$; 2) $-7$.

Уровень B

№ 632

Найди значение: 1) $7{,}5 \cdot (-3{,}6) \cdot a \cdot b$ при $a = -24$, $b = -8$; 2) $0{,}81 \cdot (-m) \cdot 3{,}5 \cdot (-n)$ при $m = -2{,}4$, $n = 6{,}4$; 3) $\frac{29}{30} \cdot (-0{,}65) \cdot x \cdot y$ при $x = 2\frac{2}{39}$, $y = -3\frac{3}{29}$; 4) $\left(-8\frac{13}{19}\right) \cdot \frac{120}{259} \cdot x \cdot y$ при $x = -0{,}76$, $y = -\frac{37}{40}$.

Как думать. Подставь значения в скобках, посчитай минусы. Будь внимателен с $-m$: если $m = -2{,}4$, то $-m = 2{,}4$.

Решение.

1. Минусов три. $7{,}5 \cdot 24 = 180$, $3{,}6 \cdot 8 = 28{,}8$, $180 \cdot 28{,}8 = 5184$. Ответ $-5184$.
2. $-m = 2{,}4$, $-n = -6{,}4$: минус один. $0{,}81 \cdot 2{,}4 = 1{,}944$; $3{,}5 \cdot 6{,}4 = 22{,}4$; $1{,}944 \cdot 22{,}4 = 43{,}5456$. Ответ $-43{,}5456$.
3. $x = \frac{80}{39}$, $y = -\frac{90}{29}$; минусов два. $\frac{29}{30} \cdot \frac{13}{20} \cdot \frac{80}{39} \cdot \frac{90}{29} = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 3 = 4$.
4. Смотри шаги выше: $-2\frac{29}{35}$.

Ответ: 1) $-5184$; 2) $-43{,}5456$; 3) $4$; 4) $-2\frac{29}{35}$.

№ 633

Первое число $a$, второе — $\frac{5}{18}$ от первого, третье — 40% от второго. Составь формулу для третьего числа и найди его при $a = 900$.

Как думать. «Дробь от числа» — умножаем. 40% — это $0{,}4 = \frac{2}{5}$.

Решение.

1. Второе число: $\frac{5}{18}a$.
2. Третье: $\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{18}a = \frac{2}{18}a = \frac{1}{9}a$.
3. При $a = 900$: $900 : 9 = 100$.

Ответ: $b = \frac{1}{9}a$; 100.

№ 634

Найди координаты точек $A$, $B$, $C$ и длины $AB$ и $BC$ по двум рисункам. Рис. 52: $C$ на 6 делений левее нуля, $B$ на 2 левее, $A$ на 8 правее. Рис. 53: $A$ на 8 делений левее нуля, $B$ на 3 правее, $C$ на 6 правее. Одно деление — единичный отрезок.

Как думать. Длина отрезка — это расстояние между точками: из большей координаты вычитаем меньшую.

Решение.

• Рис. 52: $C(-6)$, $B(-2)$, $A(8)$. $AB = 8 - (-2) = 10$ ед., $BC = -2 - (-6) = 4$ ед.
• Рис. 53: $A(-8)$, $B(3)$, $C(6)$. $AB = 3 - (-8) = 11$ ед., $BC = 6 - 3 = 3$ ед.

Ответ: рис. 52: $A(8)$, $B(-2)$, $C(-6)$, $AB = 10$ ед., $BC = 4$ ед.; рис. 53: $A(-8)$, $B(3)$, $C(6)$, $AB = 11$ ед., $BC = 3$ ед.

Готовимся к следующей теме

№ 635

Выполни деление: 1) $10{,}5 : 0{,}25$; 2) $127{,}2 : 0{,}4$; 3) $18\frac{1}{7} : 0{,}5$; 4) $9{,}15 : 3\frac{1}{3}$; 5) $17\frac{1}{3} : 8\frac{5}{6}$; 6) $4\frac{5}{7} : 2\frac{1}{35}$.

Как думать. Делить на 0,25 — то же, что умножать на 4. Делить на 0,5 — умножать на 2. Делить на $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ — умножать на $0{,}3$.

Решение.

1. $10{,}5 \cdot 4 = 42$.
2. $1272 : 4 = 318$.
3. $18\frac{1}{7} \cdot 2 = 36\frac{2}{7}$.
4. $9{,}15 \cdot 0{,}3 = 2{,}745$.
5. $\frac{52}{3} \cdot \frac{6}{53} = \frac{104}{53} = 1\frac{51}{53}$.
6. $\frac{33}{7} \cdot \frac{35}{71} = \frac{165}{71} = 2\frac{23}{71}$.

Ответ: 1) 42; 2) 318; 3) $36\frac{2}{7}$; 4) 2,745; 5) $1\frac{51}{53}$; 6) $2\frac{23}{71}$.

№ 636

Проверь, натуральное ли число $15\frac{1}{6} : 7\frac{2}{3} : 0{,}5 : \frac{1}{23}$.

Решение.

1. $\frac{91}{6} \cdot \frac{3}{23} = \frac{91}{46}$.
2. $\frac{91}{46} : 0{,}5 = \frac{91}{23}$.
3. $\frac{91}{23} : \frac{1}{23} = 91$.

Ответ: да, получается натуральное число 91.

№ 637

Дорога от $A$ до $B$ — 48 км. С какой скоростью ехать мотоциклисту, чтобы добраться за 1) 2 ч; 2) 1,5 ч; 3) 1 ч 40 мин; 4) 1 ч 20 мин; 5) 1 ч 15 мин?

Как думать. Скорость = путь : время. Минуты переводим в часы: 40 мин $= \frac{2}{3}$ ч, 20 мин $= \frac{1}{3}$ ч, 15 мин $= \frac{1}{4}$ ч.

Решение.

1. $48 : 2 = 24$ км/ч.
2. $48 : 1{,}5 = 32$ км/ч.
3. $48 : \frac{5}{3} = 48 \cdot \frac{3}{5} = 28{,}8$ км/ч.
4. $48 : \frac{4}{3} = 36$ км/ч.
5. $48 : \frac{5}{4} = 38{,}4$ км/ч.

Ответ: 1) 24 км/ч; 2) 32 км/ч; 3) 28,8 км/ч; 4) 36 км/ч; 5) 38,4 км/ч.

Шпаргалка

• Множители можно переставлять и группировать как угодно.
• Сначала знак (считаем минусы), потом модуль.
• Ищи пары, которые дают 1, 10, 100.
• В выражении с буквой перемножь все числа: $-0{,}3 \cdot a \cdot 3\frac{1}{3} = -a$.

Мини-тест