§ 22. Айнымалы

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 3 тарау: Алгебралық өрнектер. 150–155-беттер.

Нені үйренесің

• Айнымалысы бар өрнекті, теңдікті және теңсіздікті танып білуді.
• Әріптің орнына санды қойып, өрнектің мәнін табуды.
• Өрнектің қашан «мағынасы болмайтынын» түсінуді.
• Айнымалының мүмкін болатын және мүмкін болмайтын мәндерін табуды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 683 және 684 тапсырмалары. Ауызша жауап беріп көр, сосын жауабын аш.

• $a$-ның қандай мәндерінде $a + 24$ қосындысы теріс болады? $a$ саны $-24$-тен кіші болғанда. Мысалы, $a = -30$ немесе $a = -25$.
• Ал қандай мәндерінде оң болады? $a$ саны $-24$-тен үлкен болғанда. Мысалы, $a = 0$ немесе $a = 10$.
• $a = 0{,}01$ болғанда $813{,}7a + 186{,}3a - 100$ неге тең? Алдымен $813{,}7 + 186{,}3 = 1000$. Демек, $1000a - 100 = 10 - 100 = -90$.
• Ал $b = 10$ болғанда $179{,}8b + 820{,}2b - 9010$ ше? $1000b - 9010 = 10,000 - 9010 = 990$.

💡 Байқадың ба? $a + 24$ өрнегіне әртүрлі сандар қойдық — және жауабы әр жолы өзгерді. $a$ әрпі «өзгеріп» тұрғандай. Бүгінгі тақырыптың атауы да сондықтан.

Тақырыпты талдаймыз

Өзгеріп тұратын әріп

Сен дәптерді 150 теңгеден сатып аласың. Қанша төлейсің? Қанша дәптер алатыныңа байланысты. Егер дәптер саны $n$ болса, бағасы — $150n$ теңге: 2 дәптер — 300, 5 дәптер — 750.

Мұндағы $n$ әрпі — айнымалы. Оның орнына әртүрлі сандар қойылады. Ал сол сандардың өзін айнымалының мәндері деп атайды.

📌 Айнымалы — орнына сан қоюға болатын әріп. Айнымалының мәні — орнына қойылған сан.

Өрнек, теңдік, теңсіздік

Әріптері бар жазбалардың үш түрі болады. Олар таңбасымен ерекшеленеді: «=» немесе «<», «>» бар ма, жоқ па.

• $24a + 13$ — $a$ айнымалысы бар өрнек. Салыстыру таңбасы жоқ.
• $24a + 13 = 74$ — $a$ айнымалысы бар теңдік.
• $x + y > 5$ — $x$ және $y$ айнымалылары бар теңсіздік.

Амал таңбаларымен (қосу, азайту, көбейту, бөлу, дәрежеге шығару) байланысқан сандар мен әріптерден тұратын жазба — алгебралық өрнек. Әріптердің орнына сандарды қойып, есептесең — өрнектің мәнін табасың.

$4 < y < 9$ теңсіздігі көптеген сандар үшін бірден тура болады. Түзуге қара: барлық сәйкес $y$ мәндері 4 пен 9 арасында жатыр.

Өрнек қашан «бұзылады»

Кез келген сандарды қосуға, азайтуға, көбейтуге болады. Ал нөлге бөлуге болмайды. $125 : (8 : 4 - 2)$ өрнегіне қара. Жақшада $2 - 2 = 0$, ал 0-ге бөлмейді. Бұл жағдайда өрнектің мағынасы жоқ дейді.

Әріптермен де солай. $136 : (a - 1{,}27)$ өрнегін алайық.

• $a = 0{,}27$ болғанда: $136 : (0{,}27 - 1{,}27) = 136 : (-1) = -136$. Есептеледі! Демек, 0,27 — мүмкін болатын мән.
• $a = 1{,}27$ болғанда: жақшада 0, бөлуге болмайды. Демек, 1,27 — мүмкін болмайтын мән.

📌 Әріптердің берілген мәндерінде өрнектің мәнін есептеуге болса, ол мәндер мүмкін болатын мәндер. Есептеуге болмаса — мүмкін болмайтын мәндер.

💡 Мүмкін болмайтын мәндерді қалай іздейміз? Барлық бөлгішті тап — яғни нені бөліп тұрғанымызды. Өзіңнен сұра: әріптің қандай мәнінде бөлгіш нөлге айналады? Дәл сол мән тыйым салынған.

Мысалы, $-2x + 3y$ өрнегінде бөлу мүлде жоқ. Демек, кез келген сан мүмкін. Ал $(-3x + 14) : (10y - 6)$ өрнегінде $10y - 6$ бөлгіші $y = 0{,}6$ болғанда нөлге тең. Сондықтан $y = 0{,}6$ мәнінен басқа бәрі мүмкін. Былай жазады: $y \ne 0{,}6$.

⚠️ Жиі кететін қате. Әріптің өзінің нөлі тыйым салынған деп ойлайды. $136 : (a - 1{,}27)$ өрнегіне нөлді қоюға болады: $136 : (-1{,}27)$ есептеледі. Тыйым салынғаны — бүкіл бөлгіш нөлге айналатын сан.

📕 Оқулықтағы мәтінде $136 : (a - 1{,}27)$ өрнегінің мәні $a = 0{,}27$ болғанда «13,6-ға тең» деп жазылған, бірақ дұрысы — $-136$: $136 : (-1) = -136$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан нөлге бөлуге неге болмайтынын түсіндіріп беруін сұраңыз. Мысал: «12 кәмпитті 0 досқа үлестірдік — әрқайсысына қанша тиді?» Жауабы жоқ, және бұл жақсы есте қалады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Айнымалысы бар өрнек айнымалысы бар теңдік және теңсіздіктен немен ерекшеленеді? Өрнекте «=», «<», «>» таңбалары жоқ. Теңдікте «=» тұрады, теңсіздікте — «<», «>», «≤» немесе «≥».
• Қандай өрнекті алгебралық өрнек дейді? Қосу, азайту, көбейту, бөлу және дәрежеге шығару таңбаларымен байланысқан сандар мен әріптерден құралған өрнекті.
• Айнымалының мәндері деген не? Әріптің орнына қойылатын сандар.
• Мағынасы болмайтын сандық өрнекке мысал келтір. Мысалы, $5 : (3 - 3)$: жақшада 0, ал нөлге бөлуге болмайды.
• $5 : (x - y)$ өрнегі үшін қандай мәндер мүмкін? $x - y \ne 0$ болса, кез келген, яғни $x \ne y$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 685

Берілген өрнектердің қайсысы айнымалысы бар өрнек болады: 1) $5 \cdot 6 + 11$; 2) $7a + 20$; 3) $400 : 25 \cdot 213$; 4) $a - 5b + c$; 5) $-8a \cdot 3a$; 6) $-21x + y - 7$?

Қалай ойлаймыз. Кем дегенде бір әріп болса — айнымалысы бар өрнек. Тек сандар болса — сандық өрнек.

Шешуі. 1) Тек сандар — жоқ. 2) $a$ бар — иә. 3) Тек сандар — жоқ. 4) Иә. 5) Иә. 6) Иә.

Жауабы: айнымалысы бар — 2, 4, 5, 6; айнымалысы жоқ — 1, 3.

№ 686

Өрнектегі айнымалыларды атаңдар: 1) $8a - 9$; 2) $\frac{2}{3} \cdot b - c$; 3) $20x + 40y$; 4) $1{,}4x + y$; 5) $15a + 28b + d$; 6) $a - b + 8 - c$.

Шешуі. Әр өрнектегі барлық әріпті жазып аламыз.

Жауабы: 1) $a$; 2) $b$, $c$; 3) $x$, $y$; 4) $x$, $y$; 5) $a$, $b$, $d$; 6) $a$, $b$, $c$.

№ 687

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $x = 17; -17; 8{,}5; -\frac{4}{9}; 30{,}2$ болса, онда $19 - x$; 2) $y = 3; -7; 0{,}25; -\frac{4}{3}; -\frac{1}{42}$ болса, онда $5 + 4y$.

Қалай ойлаймыз. Әріптің орнына санды қоямыз. Теріс санды жақшаға аламыз — сонда таңбаларға шатаспайсың.

Шешуі.

1. $19 - 17 = 2$; $19 - (-17) = 36$; $19 - 8{,}5 = 10{,}5$; $19 - (-\frac{4}{9}) = 19\frac{4}{9}$; $19 - 30{,}2 = -11{,}2$.
2. $5 + 4 \cdot 3 = 17$; $5 + 4 \cdot (-7) = -23$; $5 + 4 \cdot 0{,}25 = 6$; $5 + 4 \cdot (-\frac{4}{3}) = 5 - 5\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}$; $5 + 4 \cdot (-\frac{1}{42}) = 5 - \frac{2}{21} = 4\frac{19}{21}$.

Жауабы: 1) $2$; $36$; $10{,}5$; $19\frac{4}{9}$; $-11{,}2$. 2) $17$; $-23$; $6$; $-\frac{1}{3}$; $4\frac{19}{21}$.

№ 688

Айнымалының қандай мәнінде: 1) $x + 25 = 51$; 2) $\frac{1}{7} - y = \frac{1}{7}$; 3) $x : 2 + 17 = 43$; 4) $18x - 102 = 78$ теңдігі тура болады?

Шешуі.

1. $x = 51 - 25 = 26$.
2. $\frac{1}{7}$-ден $y$ азайттық, ештеңе өзгермеді. Демек, $y = 0$.
3. $x : 2 = 43 - 17 = 26$, $x = 52$.
4. $18x = 78 + 102 = 180$, $x = 10$.

Жауабы: 1) 26; 2) 0; 3) 52; 4) 10.

№ 689

Теңсіздік тура болатындай айнымалының үш мәнін көрсетіңдер: 1) $x > 40$; 2) $x \ge 56$; 3) $x \le 40\frac{1}{3}$; 4) $x > -35$; 5) $x < -9{,}5$; 6) $x > -80$.

Қалай ойлаймыз. Сәйкес сандар шексіз көп — кез келген үшеуін таңда. «≥» және «≤» таңбалары шекаралық санның өзін де қосуға мүмкіндік береді.

Шешуі. Мысалдар:

1. 41; 50; 100.
2. 56; 57; 70.
3. $40\frac{1}{3}$; 40; $-5$.
4. $-34$; 0; 10.
5. $-10$; $-9{,}6$; $-20$.
6. $-79$; 0; 5.

Жауабы: мысалы, жоғарыдағылар. Сенде өз сандарың болуы мүмкін.

№ 690

Тендік тура болатындай айнымалының екі мәнін жазыңдар: 1) $a - b = 30$; 2) $c + d = 50$; 3) $xy = -55$; 4) $x - y + 77 = 0$; 5) $a : b - 5 = 0$; 6) $23 - ab = 15$.

Қалай ойлаймыз. Бір әріпті өзіміз таңдаймыз, екіншісін таңдап табамыз.

Шешуі.

1. $a = 40$, $b = 10$; $a = 30$, $b = 0$.
2. $c = 20$, $d = 30$; $c = 60$, $d = -10$.
3. $x = 5$, $y = -11$; $x = -1$, $y = 55$.
4. $x - y = -77$ болуы керек: $x = 0$, $y = 77$; $x = 3$, $y = 80$.
5. $a : b = 5$ болуы керек: $a = 10$, $b = 2$; $a = -5$, $b = -1$.
6. $ab = 8$ болуы керек: $a = 2$, $b = 4$; $a = -1$, $b = -8$.

Жауабы: мысалы, жоғарыдағылар.

№ 691

Берілген өрнек үшін $a$ айнымалысының мүмкін болмайтын мәнін табыңдар: 1) $333 : a$; 2) $822 : a + 4$; 3) $-12 : a - 12$; 4) $20 : (-5{,}4 + a)$; 5) $-a + 18\frac{1}{9}$; 6) $\frac{13}{25} : (-14{,}5 - a)$.

Қалай ойлаймыз. $a$-ның қандай мәнінде бөлгіш нөлге айналатынын іздейміз.

Шешуі.

1. $a$-ға бөлеміз — $a = 0$ болмайды.
2. $a$-ға бөлеміз, ал 4-ті кейін қосамыз — $a = 0$ болмайды.
3. Мұнда да $a$-ға бөлеміз — $a = 0$ болмайды.
4. $-5{,}4 + a = 0$ болатыны $a = 5{,}4$ кезінде.
5. Бөлу жоқ — мүмкін болмайтын мәндер жоқ.
6. $-14{,}5 - a = 0$ болатыны $a = -14{,}5$ кезінде.

Жауабы: 1) 0; 2) 0; 3) 0; 4) 5,4; 5) жоқ; 6) $-14{,}5$.

№ 692

Берілген санды өрнектің мағынасы бола ма: 1) $284 : (-30{,}3 \cdot 0{,}6 + 18{,}09 - 36{,}27)$; 2) $36{,}9 : (23{,}7 \cdot 7{,}8 - 312{,}9 + 128{,}04)$?

Қалай ойлаймыз. Тек бөлгішті — жақшадағыны есептейміз.

Шешуі.

1. $-30{,}3 \cdot 0{,}6 = -18{,}18$; $-18{,}18 + 18{,}09 = -0{,}09$; $-0{,}09 - 36{,}27 = -36{,}36$. Нөл емес — мағынасы бар.
2. $23{,}7 \cdot 7{,}8 = 184{,}86$; $184{,}86 - 312{,}9 = -128{,}04$; $-128{,}04 + 128{,}04 = 0$. 0-ге бөлуге болмайды.

Жауабы: 1) мағынасы бар; 2) мағынасы жоқ.

№ 693

$x = -17{,}5$ үшін алгебралық өрнектің мағынасы бола ма: 1) $74{,}28 : (x + 17{,}5) \cdot 93{,}4$; 2) $(24{,}13 - 9{,}34) : (17{,}5 - x)$?

Шешуі.

1. $x + 17{,}5 = -17{,}5 + 17{,}5 = 0$ — нөлге бөлеміз, мағынасы жоқ.
2. $17{,}5 - (-17{,}5) = 35$ — бөлуге болады, мағынасы бар.

Жауабы: 1) болмайды; 2) болады.

№ 694

$z$ алгебралық өрнектің мәніне тең болса, $z$ айнымалысының мәні мүмкін болмайтындай етіп өрнек жазыңдар: 1) $-397 + 410 \cdot 0{,}9$; 2) $789 - 1{,}51 \cdot 500$; 3) $696{,}6 : 25{,}8 + 72{,}8 : 5{,}6$; 4) $214{,}7 \cdot 0{,}31 + 23{,}443$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен $z$-ті табамыз. Сосын осы $z$ кезінде нөлге тең болатын жақшаға бөлуді жазамыз.

Шешуі.

1. $z = -397 + 369 = -28$. Өрнек: $1 : (z + 28)$.
2. $z = 789 - 755 = 34$. Өрнек: $5 : (z - 34)$.
3. $z = 27 + 13 = 40$. Өрнек: $7 : (z - 40)$.
4. $z = 66{,}557 + 23{,}443 = 90$. Өрнек: $1 : (z - 90)$.

Жауабы: $z = -28$; $34$; $40$; $90$. Мысалы: $1 : (z + 28)$; $5 : (z - 34)$; $7 : (z - 40)$; $1 : (z - 90)$.

№ 695

Санды өрнектің мағынасы бола ма: 1) $47{,}5 : ((17\frac{8}{9} - 65\frac{7}{18}) - (98{,}12 - 50{,}62))$; 2) $7\frac{12}{13} : ((45\frac{1}{3} - 58\frac{3}{4}) - (83 - 96\frac{5}{12}))$?

Шешуі.

1. $17\frac{16}{18} - 65\frac{7}{18} = -47\frac{9}{18} = -47{,}5$; $98{,}12 - 50{,}62 = 47{,}5$; бөлгіш $-47{,}5 - 47{,}5 = -95$. Мағынасы бар: $47{,}5 : (-95) = -0{,}5$.
2. $45\frac{4}{12} - 58\frac{9}{12} = -13\frac{5}{12}$; $83 - 96\frac{5}{12} = -13\frac{5}{12}$; бөлгіш $-13\frac{5}{12} - (-13\frac{5}{12}) = 0$. Мағынасы жоқ.

Жауабы: екінші өрнектің мағынасы жоқ.

B деңгейі

№ 696

Қостеңсіздік тура болатындай $y$ айнымалысының төрт мәнін көрсетіңдер: 1) $4 < y < 9$; 2) $-1 < y < 8$; 3) $-7 \le y \le 17$; 4) $-3{,}4 \le y \le -1{,}5$; 5) $-10{,}7 \le y \le 3\frac{1}{3}$; 6) $-2{,}5 < y < 8{,}7$.

Қалай ойлаймыз. Қостеңсіздік — «дәліз». Сан оның ішіне түсуі керек. «≤» тұрған жерде шеттері де сәйкес келеді.

Шешуі. Мысалдар:

1. 5; 6; 7; 8.
2. 0; 1; 3; 7.
3. $-7$; 0; 10; 17.
4. $-3{,}4$; $-3$; $-2$; $-1{,}5$.
5. $-10{,}7$; $-5$; 0; $3\frac{1}{3}$.
6. $-2$; 0; 5; 8,5.

Жауабы: мысалы, жоғарыдағылар.

№ 697

Алгебралық өрнектің мәнін табыңдар: 1) $-2\frac{18}{25}x + y : 1\frac{1}{6} - 99z$, мұндағы $x = -4\frac{4}{17}$, $y = -25\frac{2}{3}$, $z = -0{,}02$; 2) $x : (-14\frac{2}{7}) + 19y + 87{,}5 : z$, мұндағы $x = -42\frac{6}{7}$, $y = -0{,}3$, $z = -125$.

Қалай ойлаймыз. Ұзын өрнекті қосылғыштар бойынша есептейміз. Аралас сандарды бұрыс бөлшекке айналдырамыз.

Шешуі.

1. Жоғарыдағы қадамдар бойынша: $11{,}52 - 22 + 1{,}98 = -8{,}5$.
2. $-42\frac{6}{7} : (-14\frac{2}{7}) = \frac{300}{7} : \frac{100}{7} = 3$; $19 \cdot (-0{,}3) = -5{,}7$; $87{,}5 : (-125) = -0{,}7$. Барлығы $3 - 5{,}7 - 0{,}7 = -3{,}4$.

Жауабы: 1) $-8{,}5$; 2) $-3{,}4$.

№ 698

Айнымалысы бар теңсіздікке төрт мысал келтіріңдер және ол теңсіздік тура болатындай мәнін көрсетіңдер.

Шешуі. Орындау үлгісі:

1. $x > 12$ — $x = 20$ болғанда тура.
2. $a + 3 < 0$ — $a = -5$ болғанда тура.
3. $-2 \le y \le 2$ — $y = 0$ болғанда тура.
4. $5b \ge 15$ — $b = 3$ болғанда тура.

Жауабы: мысалы, жоғарыдағылар.

№ 699

Берілген өрнек үшін $x$ айнымалысы мәндерінің қайсысы мүмкін, қайсысы мүмкін емес мәні болады: 1) $17 : x \cdot (x + 1)$, мұндағы $x = 0$ немесе $x = -1$; 2) $15 : (x - 11) : (x - 74)$, мұндағы $x = -11$ немесе $x = 74$?

Қалай ойлаймыз. Тек нені бөліп тұрғанымызға қараймыз. Нені көбейтетініміз маңызды емес.

Шешуі.

1. $x$-ке бөлеміз. $x = 0$ болғанда болмайды. $x = -1$ болғанда: $17 : (-1) \cdot 0 = 0$ — есептелді. $x + 1 = 0$ көбейткіші кедергі келтірмейді: нөлге көбейтуге болады.
2. $x - 11$ және $x - 74$ өрнектеріне бөлеміз. $x = -11$ болғанда $-22$ және $-85$ шығады — нөл емес, болады. $x = 74$ болғанда: $74 - 74 = 0$ — болмайды.

Жауабы: 1) $x = 0$ мүмкін емес, $x = -1$ мүмкін; 2) $x = -11$ мүмкін, $x = 74$ мүмкін емес.

⚠️ Жиі кететін қате. 2)-де $x = -11$ мәніне тыйым салғың келеді, өйткені өрнекте «11» бар. Бірақ тыйым салынғаны — $x = 11$: дәл сонда $x - 11 = 0$.

№ 700

$z$ және $x$ айнымалыларының мәндері мүмкін болмайтындай етіп теңдік жазыңдар: 1) $x = 3{,}4$, $z = -8{,}1$; 2) $x = \frac{1}{3} + \frac{2}{7}$, $z = \frac{4}{9} - \frac{11}{12}$; 3) $x = 0{,}28 + \frac{18}{25}$, $z = 7{,}84 : 4 - 1{,}96$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен $x$ пен $z$-ті табамыз. Сосын осы сандар кезінде нөлге айналатын жақшаларға бөлеміз.

Шешуі.

1. Мысалы: $y = 5 : (x - 3{,}4) + 2 : (z + 8{,}1)$.
2. $x = \frac{7}{21} + \frac{6}{21} = \frac{13}{21}$; $z = \frac{16}{36} - \frac{33}{36} = -\frac{17}{36}$. Мысалы: $y = 1 : (x - \frac{13}{21}) + 1 : (z + \frac{17}{36})$.
3. $x = 0{,}28 + 0{,}72 = 1$; $z = 1{,}96 - 1{,}96 = 0$. Мысалы: $y = 3 : (x - 1) + 4 : z$.

Жауабы: мысалы, жоғарыдағылар.

№ 701

Алгебралық өрнектің мағынасы болатындай айнымалының мәнін табыңдар: 1) $(x + 8) \cdot (x + 14) \cdot (x - 11)$; 2) $(x + 1) \cdot (x + 2) : (x + 3)$; 3) $(4 - x) : (5 - x) \cdot (8 + x)$; 4) $(81 + x) : (19 + x) : (47 - x)$.

Шешуі.

1. Тек көбейту — кез келген $x$ жарайды.
2. $x + 3$-ке бөлеміз: $x = -3$ болмайды.
3. $5 - x$-ке бөлеміз: $x = 5$ болмайды.
4. $19 + x$ және $47 - x$ өрнектеріне бөлеміз: $x = -19$ және $x = 47$ болмайды.

Жауабы: 1) кез келген $x$ үшін; 2) $x \ne -3$; 3) $x \ne 5$; 4) $x \ne -19$, $x \ne 47$.

№ 702

$z$ айнымалысының мәні мүмкін болатындай теңсіздікті жазыңдар: 1) $z = 0$; 2) $z = -15$; 3) $z = 4{,}8$; 4) $z = 26\frac{1}{3}$.

Қалай ойлаймыз. Осы $z$ кезінде есептелетін кез келген теңсіздік жарайды. Қызық үшін тура болатындарын таңдайық.

Шешуі. Мысалдар:

1. $7 : (z + 1) > 2$: $z = 0$ болғанда $7 > 2$.
2. $z + 20 > 0$: $5 > 0$.
3. $z < 5$: $4{,}8 < 5$.
4. $3z > 70$: $3 \cdot 26\frac{1}{3} = 79 > 70$.

Жауабы: мысалы, жоғарыдағылар.

№ 703

Екі теңсіздік бір мезетте тура болатындай айнымалының екі мәнін атаңдар: 1) $y < 10$ және $y > 1$; 2) $y \le 6$ және $y \le -3{,}7$; 3) $y \le 81$ және $y > -13$; 4) $y \le 20$ және $y \le -2$.

Қалай ойлаймыз. Сан екі тексеруден де өтуі керек. 2) және 4)-те қаталырақ шартты орындау жеткілікті.

Шешуі.

1. 2 және 5.
2. $y \le -3{,}7$ жеткілікті: $-4$ және $-10$.
3. 0 және 50.
4. $y \le -2$ жеткілікті: $-2$ және $-5$.

Жауабы: мысалы, 1) 2; 5. 2) $-4$; $-10$. 3) 0; 50. 4) $-2$; $-5$.

C деңгейі

№ 704

Берілген өрнектің мағынасы болатындай айнымалының мәнін табыңдар: 1) $47 : (x + y) - 128$; 2) $17 : (x - 8) + 19 : (y + 16)$; 3) $(39x + 19) : 4 - 275 \cdot x : y$; 4) $4 : (39x + 19) - x(275 + y)$.

Қалай ойлаймыз. Барлық бөлгішті тауып, олардың ешқайсысы нөл болмауын талап етеміз.

Шешуі.

1. $x + y \ne 0$, яғни $y \ne -x$. Мысалы, $x = 1$, $y = 1$.
2. $x \ne 8$ және $y \ne -16$. Мысалы, $x = 0$, $y = 0$.
3. 4-ке бөлуге болады, ал $y$-ке бөлеміз: $y \ne 0$ керек, ал $x$ кез келген.
4. $39x + 19 \ne 0$, яғни $x \ne -\frac{19}{39}$; $y$ кез келген.

Жауабы: 1) $x + y \ne 0$; 2) $x \ne 8$, $y \ne -16$; 3) $y \ne 0$; 4) $x \ne -\frac{19}{39}$.

№ 705

Айнымалысы бар өрнекті жазыңдар, оның мүмкін болатын мәндері: 1) 5 санынан; 2) $-7{,}3$ санынан; 3) $-4{,}2$; 0 сандарынан; 4) $-3$; $\frac{1}{3}$ сандарынан басқа барлық рационал сандар болсын.

Қалай ойлаймыз. Дәл осы сандарда ғана нөлге айналатын бөлгіш керек.

Шешуі. Мысалдар:

1. $1 : (x - 5)$.
2. $1 : (x + 7{,}3)$.
3. $1 : (x + 4{,}2) + 1 : x$.
4. $1 : (x + 3) - 1 : (x - \frac{1}{3})$.

Жауабы: мысалы, жоғарыдағылар.

№ 706

1) $-2 \le a < 6$ және $2 < a \le 9$; 2) $0 \le a \le 5$ және $1 < a < 4{,}5$; 3) $-1 < a \le 30$ және $28 \le a < 30$; 4) $7{,}4 \le a \le 20{,}5$ және $7\frac{2}{50} \le a \le 20$ теңсіздіктерін бірдей қанағаттандыратын барлық натурал сандарды атаңдар.

Қалай ойлаймыз. Натурал сандар — 1, 2, 3… Әр шартқа сәйкес келетіндерін жазып, ортақтарын тап.

Шешуі.

1. Біріншісі: 1, 2, 3, 4, 5. Екіншісі: 3, 4, …, 9. Ортақтары: 3, 4, 5.
2. Біріншісі: 1, …, 5. Екіншісі: 2, 3, 4. Ортақтары: 2, 3, 4.
3. Біріншісі: 1, …, 30. Екіншісі: 28, 29. Ортақтары: 28, 29.
4. Біріншісі: 8, …, 20. Екіншісі ($7\frac{2}{50} = 7{,}04$): 8, …, 20. Ортақтары: 8-ден 20-ға дейін.

Жауабы: 1) 3; 4; 5. 2) 2; 3; 4. 3) 28; 29. 4) 8-ден 20-ға дейінгі барлық натурал сандар, 8 бен 20-ны қоса алғанда.

№ 707

Каспий теңізі туралы біл: 1) $(-101{,}1 + 84{,}85) : (-22{,}81 + 23{,}06) \cdot (-0{,}2)$ — Каспий теңізінің тұздылығының көрсеткіші, пайыз есебімен; 2) $(-2{,}5 + 8{,}1) \cdot (1{,}24 - 7{,}79) + 126{,}68$ — Каспий теңізіндегі балықтардың дүниежүзілік қорындағы көрсеткіші, пайыз есебімен; 3) $(12,908{,}6 + 966{,}9) : (11{,}813 + 15{,}938)$ — Каспий теңізіндегі өсімдіктер түрі; 4) $312 : (24{,}89 - 26{,}14) + 1103{,}6$ — Каспий теңізінде тіршілік ететін балықтар түрінің саны.

Шешуі.

1. $-16{,}25 : 0{,}25 = -65$; $-65 \cdot (-0{,}2) = 13$.
2. $5{,}6 \cdot (-6{,}55) = -36{,}68$; $-36{,}68 + 126{,}68 = 90$.
3. $13,875{,}5 : 27{,}751 = 500$.
4. $312 : (-1{,}25) = -249{,}6$; $-249{,}6 + 1103{,}6 = 854$.

Жауабы: 1) 13%; 2) 90%; 3) 500 түр; 4) 854 түр.

🌟 Каспий — жер бетіндегі ең үлкен көл, оны теңіз деп атаса да. Мұнда дүниежүзіндегі бекіре балықтарының басым бөлігі тіршілік етеді.

№ 708

Берілген өрнектерді есептеп, тарихи мағлұматтар аласыңдар. 1) $10^3 + 30^2 + 0{,}39 \cdot 10^2$ — «Ленфильм» киностудиясында қазақ көркем киносының алғашқы перзенті — «Амангелді» фильмінің түсірілген жылы; 2) $2 \cdot 30^2 + 10^2 + 0{,}21 \cdot 20^2$ — «Қазақфильм» киностудиясына ұлттық кинематографияның көрнекті қайраткері Шәкен Кенжетайұлы Аймановтың аты берілген жыл.

Шешуі.

1. $1000 + 900 + 39 = 1939$.
2. $1800 + 100 + 84 = 1984$.

Жауабы: 1) 1939 ж.; 2) 1984 ж.

🌟 «Амангелді» — қазақ халқы туралы түсірілген тұңғыш көркем фильм. Онда 1916 жылғы көтерілістің батыры Амангелді Имановтың өмірі баяндалады.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 709

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $25 \cdot 0{,}05 + 75 \cdot 0{,}05$; 2) $6{,}27 \cdot 87 + 87 \cdot 3{,}73$; 3) $100{,}9 \cdot 483 - 383 \cdot 100{,}9$.

Қалай ойлаймыз. Әр жұпта бірдей көбейткіш бар. Оны жақша сыртына шығар — дөңгелек сандар қалады.

Шешуі.

1. $0{,}05 \cdot (25 + 75) = 0{,}05 \cdot 100 = 5$.
2. $87 \cdot (6{,}27 + 3{,}73) = 87 \cdot 10 = 870$.
3. $100{,}9 \cdot (483 - 383) = 100{,}9 \cdot 100 = 10,090$.

Жауабы: 1) 5; 2) 870; 3) 10 090.

№ 710

Теңдеуді шешіңдер: 1) $3x + 4x = 70{,}7$; 2) $10x - 4x = 0{,}006$.

Шешуі.

1. $7x = 70{,}7$, $x = 10{,}1$.
2. $6x = 0{,}006$, $x = 0{,}001$.

Жауабы: 1) 10,1; 2) 0,001.

Жадынама

• Өрнекте «=» және «<, >» жоқ; теңдікте «=» бар; теңсіздікте «<, >, ≤, ≥» бар.
• Теріс санды жақшаға алып қой: $19 - (-17)$.
• Нөлге бөлуге болмайды.
• Мүмкін болмайтын мәндерді табу үшін әр бөлгішті нөлге теңестір.
• Бөлу жоқ болса — кез келген сан мүмкін.

Шағын тест