§ 23. Көбейтудің үлестірімділік қасиеті. Жақшаны ашу

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 3 тарау: Алгебралық өрнектер. 156–161-беттер.

Нені үйренесің

• Санды жақша ішіндегі қосындыға көбейтуді, жақшада теріс сандар болса да.
• Алдында «+» немесе «−» таңбасы тұрған жақшаны ашуды.
• Ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығаруды.
• $-9 \cdot 101$ сияқты көбейтіндіні бір-екі секундта ойша есептеуді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 709 және 710 тапсырмалары. Алдымен ойша жауап бер, сосын жауабын аш.

• $25 \cdot 0{,}05 + 75 \cdot 0{,}05$ неге тең? $0{,}05$ — ортақ көбейткіш: $0{,}05 \cdot 100 = 5$.
• $6{,}27 \cdot 87 + 87 \cdot 3{,}73$ ше? $87 \cdot (6{,}27 + 3{,}73) = 87 \cdot 10 = 870$.
• $100{,}9 \cdot 483 - 383 \cdot 100{,}9$ ше? $100{,}9 \cdot 100 = 10,090$.
• $3x + 4x = 70{,}7$ теңдеуін шеш. $7x = 70{,}7$, $x = 10{,}1$.
• $10x - 4x = 0{,}006$ теңдеуін шеш. $6x = 0{,}006$, $x = 0{,}001$.

💡 Барлық мысалда біз бірдей көбейткішті «бір үйіндіге» жинадық. Міне, осы — үлестірімділік қасиеті. Бүгін оның минус таңбасы бар сандармен де жұмыс істейтінін тексереміз.

Тақырыпты талдаймыз

Қасиет минус таңбасымен де орындала ма?

Сен мынаны білесің: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$. Мысалы, 3 пакетте 5 алмадан және 2 алмұрттан болса: $3 \cdot (5 + 2) = 15 + 6$. Ал сандар теріс болса ше?

Тексерейік: $-10 \cdot (-9 + 7)$.

• Сол жағы: $-10 \cdot (-2) = 20$.
• Оң жағы: $-10 \cdot (-9) + (-10) \cdot 7 = 90 - 70 = 20$.

Сәйкес келді! Кез келген рационал сандар үшін солай болады.

📌 Кез келген $a$, $b$, $c$ рационал сандары үшін: $c(a + b) = ca + cb$ және $(a + b)c = ac + bc$. $c(a + b)$ өрнегін $ca + cb$ өрнегімен алмастыру — жақшаны ашу деген сөз.

Жақша ішіндегі қосылғыш екіден көп болуы да мүмкін. Көбейткіш әрқайсысына тиеді: $3(2a + 4b - 8c) = 6a + 12b - 24c$.

Жақша алдындағы минус — таңба ауыстырғыш

$-(52x - 94y + 70)$ дегеніміз не? Бұл — $-1 \cdot (52x - 94y + 70)$. Әр қосылғышты $-1$-ге көбейтеміз, сонда әрқайсысының таңбасы өзгереді.

Ал жақша алдында «+» тұрса ше? Онда жақшаны жай ғана алып тастаймыз, таңбаларды өзгертпейміз: $20 + (15x + 6y) = 20 + 15x + 6y$.

📌 Жақша алдында «−» болса — жақшаны алып тастап, ішіндегі әрбір қосылғыштың таңбасын өзгертеміз. Жақша алдында «+» болса — жақшаны алып тастап, таңбаларды сол күйінде қалдырамыз.

⚠️ Жиі кететін қате. Тек бірінші қосылғыштың таңбасын өзгертеді: $-(a - b + c) = -a - b + c$. Бұл қате! Дұрысы: $-a + b - c$. Минус бүкіл жақшаға, ең соңына дейін әсер етеді.

Өзің байқап көр: қандай таңбалар шығады?

Кері бағытта: жақшаның сыртына шығарамыз

Теңдікті оңнан солға қарай да оқуға болады: $ac + bc = (a + b)c$. Қосылғыштардың ортақ көбейткіші болса, оны жақшаның сыртына шығаруға болады. Жақшада әр қосылғыштан «қалғаны» тұрады.

Мысалы: $5x + 50y - 15 = 5 \cdot x + 5 \cdot 10y - 5 \cdot 3 = 5(x + 10y - 3)$.

Бұл есептеуге де көмектеседі: $11 \cdot \left(-\frac{3}{7}\right) + 3 \cdot \left(-\frac{3}{7}\right) = (11 + 3) \cdot \left(-\frac{3}{7}\right) = 14 \cdot \left(-\frac{3}{7}\right) = -6$.

💡 Жақшаның сыртына шығарғаннан кейінгі тексеру оңай: жақшаны қайта аш. Бастаған өрнегің шығуы керек.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан дауыстап айтқызыңыз: «жақша алдында минус — барлық таңбаны өзгертемін». Бірнеше мысалдан кейін қателер дерлік жоғалады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Жақшаны ашқанда көбейтудің қандай қасиеті қолданылады? Көбейтудің үлестірімділік қасиеті: $c(a + b) = ca + cb$.
• Жақша алдында қандай көбейткіштің орнына тек «−» таңбасы қойылады? $-1$ көбейткішінің орнына.
• Алдында «−» таңбасы бар жақшаны ашқанда таңбалар қалай өзгереді? Жақша ішіндегі барлық қосылғыштың таңбасы қарама-қарсыға ауысады.
• Ал қосылғыштарды алдына «−» қойып жақшаға алсақ ше? Онда да барлық таңбаны өзгертеміз: $a - b = -(-a + b)$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 711

Алгебралық өрнектегі жақшаны ашыңдар: 1) $5(2 + a)$; 2) $-(5 + b)$; 3) $-(c - 3)$; 4) $-0{,}4(6 - x)$; 5) $-1{,}3(y + z)$; 6) $9{,}1(10 + t)$.

Қалай ойлаймыз. Жақша алдындағы көбейткішті әрбір қосылғышқа көбейтеміз. Таңбаларды қадағалаймыз.

Шешуі.

1. $5 \cdot 2 + 5a = 10 + 5a$.
2. $-5 - b$.
3. $-c + 3$.
4. $-0{,}4 \cdot 6 - 0{,}4 \cdot (-x) = -2{,}4 + 0{,}4x$.
5. $-1{,}3y - 1{,}3z$.
6. $91 + 9{,}1t$.

Жауабы: 1) $10 + 5a$; 2) $-5 - b$; 3) $-c + 3$; 4) $-2{,}4 + 0{,}4x$; 5) $-1{,}3y - 1{,}3z$; 6) $91 + 9{,}1t$.

№ 712

Алгебралық өрнектегі жақшаны ашыңдар: 1) $\frac{2}{3}(6a - 9b + 2{,}7)$; 2) $-\frac{2}{7}(7x + 28y - 0{,}7)$; 3) $-1{,}5(2 - 4a + 20b)$; 4) $2{,}3(3x - 4y + 5)$.

Шешуі.

1. $\frac{2}{3} \cdot 6a = 4a$; $\frac{2}{3} \cdot (-9b) = -6b$; $\frac{2}{3} \cdot 2{,}7 = 1{,}8$. Барлығы $4a - 6b + 1{,}8$.
2. $-2x - 8y + 0{,}2$.
3. $-3 + 6a - 30b$.
4. $6{,}9x - 9{,}2y + 11{,}5$.

Жауабы: 1) $4a - 6b + 1{,}8$; 2) $-2x - 8y + 0{,}2$; 3) $-3 + 6a - 30b$; 4) $6{,}9x - 9{,}2y + 11{,}5$.

№ 713

Ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығарыңдар: 1) $6a + 18$; 2) $-7b + 35$; 3) $8 - 24c$; 4) $\frac{2}{3}x - \frac{4}{9}$; 5) $-1{,}2 - 2{,}4y$; 6) $-10 + 80k$.

Қалай ойлаймыз. Әр қосылғыш бөлінетін санды іздейміз. Әр қосылғышты соған бөліп, нәтижені жақшаға жазамыз.

Шешуі.

1. $6(a + 3)$.
2. $7(-b + 5) = 7(5 - b)$.
3. $8(1 - 3c)$.
4. $\frac{4}{9} = \frac{2}{9} \cdot 2$, $\frac{2}{3} = \frac{2}{9} \cdot 3$. Сонда $\frac{2}{9}(3x - 2)$.
5. $-1{,}2(1 + 2y)$.
6. $10(-1 + 8k) = 10(8k - 1)$.

Жауабы: 1) $6(a + 3)$; 2) $7(5 - b)$; 3) $8(1 - 3c)$; 4) $\frac{2}{9}(3x - 2)$; 5) $-1{,}2(1 + 2y)$; 6) $10(8k - 1)$.

💡 2-тармақта $-7$-ні де шығаруға болады: $-7(b - 5)$. Бұл да дұрыс — жақшаны ашып тексер.

№ 714

Ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығарыңдар: 1) $8x + 8y$; 2) $-3a + 3b$; 3) $15t - 15k$; 4) $16a - 20b$; 5) $-35x + 42y$; 6) $-\frac{5}{6}c + \frac{5}{6}d$.

Шешуі.

1. $8(x + y)$.
2. $3(b - a)$.
3. $15(t - k)$.
4. 16 мен 20-ның ортақ бөлгіші — 4: $4(4a - 5b)$.
5. 35 пен 42-нің ортақ бөлгіші — 7: $7(6y - 5x)$.
6. $\frac{5}{6}(d - c)$.

Жауабы: 1) $8(x + y)$; 2) $3(b - a)$; 3) $15(t - k)$; 4) $4(4a - 5b)$; 5) $7(6y - 5x)$; 6) $\frac{5}{6}(d - c)$.

№ 715

Көбейтудің үлестірімділік қасиетін қолданып, көбейтіндінің мәнін табыңдар: 1) $-5 \cdot (-107)$; 2) $-9 \cdot 101$; 3) $(-8) \cdot 103$; 4) $13 \cdot (-101)$; 5) $(-98) \cdot (-21)$; 6) $(-17) \cdot 105$.

Қалай ойлаймыз. Ыңғайсыз санды дөңгелек санға және кішкентай санға бөліп жазамыз: $107 = 100 + 7$, $98 = 100 - 2$.

Шешуі.

1. $-5 \cdot (-100 - 7) = 500 + 35 = 535$.
2. $-9 \cdot (100 + 1) = -900 - 9 = -909$.
3. $-8 \cdot (100 + 3) = -800 - 24 = -824$.
4. $13 \cdot (-100 - 1) = -1300 - 13 = -1313$.
5. $98 \cdot 21 = (100 - 2) \cdot 21 = 2100 - 42 = 2058$.
6. $-17 \cdot (100 + 5) = -1700 - 85 = -1785$.

Жауабы: 1) 535; 2) $-909$; 3) $-824$; 4) $-1313$; 5) 2058; 6) $-1785$.

№ 716

Жақшаны ашып, өрнектің мәнін табыңдар: 1) $103 + (-3 + 24)$; 2) $-96 + (-4 + 82)$; 3) $(-105 + 89) + 5$; 4) $(97 - 111) + 11$.

Қалай ойлаймыз. Жақша алдында «+» тұр, таңбалар өзгермейді. Дөңгелек сан беретін жұптарды іздейміз.

Шешуі.

1. $103 - 3 + 24 = 100 + 24 = 124$.
2. $-96 - 4 + 82 = -100 + 82 = -18$.
3. $-105 + 89 + 5 = -100 + 89 = -11$.
4. $97 - 111 + 11 = 97 - 100 = -3$.

Жауабы: 1) 124; 2) $-18$; 3) $-11$; 4) $-3$.

№ 717

Жақшаны ашып, өрнектің мәнін табыңдар: 1) $8{,}4 + (-67{,}2 + 1{,}6)$; 2) $93{,}18 - (-5{,}9 - 6{,}82)$; 3) $-(24{,}17 - 25{,}3) + 74{,}7$; 4) $-118{,}12 + (-58{,}1 + 18{,}12)$.

Шешуі.

1. $8{,}4 - 67{,}2 + 1{,}6 = 10 - 67{,}2 = -57{,}2$.
2. $93{,}18 + 5{,}9 + 6{,}82 = 100 + 5{,}9 = 105{,}9$.
3. $-24{,}17 + 25{,}3 + 74{,}7 = -24{,}17 + 100 = 75{,}83$.
4. $-118{,}12 - 58{,}1 + 18{,}12 = -100 - 58{,}1 = -158{,}1$.

Жауабы: 1) $-57{,}2$; 2) $105{,}9$; 3) $75{,}83$; 4) $-158{,}1$.

№ 718

Жақшаны ашып, өрнектің мәнін табыңдар: 1) $\left(\frac{27}{28} - \frac{5}{9}\right) - \left(-\frac{1}{28} + 8\frac{4}{9}\right)$; 2) $-\left(-\frac{20}{27} + \frac{3}{8}\right) + \left(-5\frac{5}{8} + 4\frac{7}{27}\right)$; 3) $\left(10{,}8 - 49\frac{2}{7}\right) - \left(-9{,}2 + 3\frac{5}{7}\right)$; 4) $-\left(81{,}3 - 3\frac{11}{16}\right) - \left(9{,}9 - 11\frac{5}{16}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаны ашқаннан кейін «туыстарын» жинаймыз: бөлімдері бірдей бөлшектерді, ондық бөлшектерді ондық бөлшектермен.

Шешуі.

1. $\frac{27}{28} - \frac{5}{9} + \frac{1}{28} - 8\frac{4}{9} = \left(\frac{27}{28} + \frac{1}{28}\right) - \left(\frac{5}{9} + 8\frac{4}{9}\right) = 1 - 9 = -8$.
2. $\frac{20}{27} - \frac{3}{8} - 5\frac{5}{8} + 4\frac{7}{27} = \left(\frac{20}{27} + 4\frac{7}{27}\right) - \left(\frac{3}{8} + 5\frac{5}{8}\right) = 5 - 6 = -1$.
3. $10{,}8 - 49\frac{2}{7} + 9{,}2 - 3\frac{5}{7} = (10{,}8 + 9{,}2) - \left(49\frac{2}{7} + 3\frac{5}{7}\right) = 20 - 53 = -33$.
4. $-81{,}3 + 3\frac{11}{16} - 9{,}9 + 11\frac{5}{16} = -(81{,}3 + 9{,}9) + \left(3\frac{11}{16} + 11\frac{5}{16}\right) = -91{,}2 + 15 = -76{,}2$.

Жауабы: 1) $-8$; 2) $-1$; 3) $-33$; 4) $-76{,}2$.

B деңгейі

№ 719

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $-8{,}9 + (z - 1{,}9)$; 2) $-(2{,}4 - a) - 10{,}4$; 3) $-(-5{,}5 - b)$; 4) $-13{,}8 - (c + 20{,}2)$.

Шешуі.

1. $-8{,}9 + z - 1{,}9 = z - 10{,}8$.
2. $-2{,}4 + a - 10{,}4 = a - 12{,}8$.
3. $5{,}5 + b$.
4. $-13{,}8 - c - 20{,}2 = -c - 34$.

Жауабы: 1) $z - 10{,}8$; 2) $a - 12{,}8$; 3) $b + 5{,}5$; 4) $-c - 34$.

№ 720

Өрнектерді ықшамдаңдар (екі өрнектің қосындысы түрінде): 1) $-8{,}4 + a$ және $b - 9{,}6$; 2) $-x - 18$ және $-19\frac{2}{7} + y$; 3) $b - 73\frac{6}{7}$ және $-100 + c$; 4) $-61\frac{2}{9} - k$ және $t - 68\frac{1}{6}$.

Қалай ойлаймыз. Әріптерді қалдырамыз, ал сандарды өзара қосамыз.

Шешуі.

1. $-8{,}4 - 9{,}6 = -18$: $a + b - 18$ шығады.
2. $-18 - 19\frac{2}{7} = -37\frac{2}{7}$: $-x + y - 37\frac{2}{7}$ шығады.
3. $-73\frac{6}{7} - 100 = -173\frac{6}{7}$: $b + c - 173\frac{6}{7}$ шығады.
4. $-61\frac{4}{18} - 68\frac{3}{18} = -129\frac{7}{18}$: $-k + t - 129\frac{7}{18}$ шығады.

Жауабы: 1) $a + b - 18$; 2) $y - x - 37\frac{2}{7}$; 3) $b + c - 173\frac{6}{7}$; 4) $t - k - 129\frac{7}{18}$.

№ 721

Екі өрнектің айырымын жазып, ықшамдаңдар: 1) $-17{,}8 - x$ және $y - 100{,}4$; 2) $k - 57{,}4$ және $d - 60\frac{2}{3}$; 3) $-t + 30{,}1$ және $-k + 310\frac{2}{9}$; 4) $-90{,}7 - a$ және $81{,}4 - b$.

Қалай ойлаймыз. Әр өрнекті жақшаға аламыз, араларына «−» қоямыз. Содан кейін жақшаны ашамыз: екінші жақшада таңбалар өзгереді.

Шешуі.

1. $(-17{,}8 - x) - (y - 100{,}4) = -17{,}8 - x - y + 100{,}4 = 82{,}6 - x - y$.
2. $(k - 57{,}4) - \left(d - 60\frac{2}{3}\right) = k - d - 57\frac{2}{5} + 60\frac{2}{3} = k - d + 3\frac{4}{15}$.
3. $(-t + 30{,}1) - \left(-k + 310\frac{2}{9}\right) = -t + k + 30\frac{1}{10} - 310\frac{2}{9} = k - t - 280\frac{11}{90}$.
4. $(-90{,}7 - a) - (81{,}4 - b) = -90{,}7 - a - 81{,}4 + b = b - a - 172{,}1$.

Жауабы: 1) $82{,}6 - x - y$; 2) $k - d + 3\frac{4}{15}$; 3) $k - t - 280\frac{11}{90}$; 4) $b - a - 172{,}1$.

⚠️ Жиі кететін қате. Айырымды жақшасыз жазады: $-17{,}8 - x - y - 100{,}4$. Минус бүкіл екінші өрнекке әсер етуі керек, сондықтан алдымен жақша қой!

№ 722

Жақшаны ашып, өрнектің мәнін табыңдар: 1) $38{,}267 - 5\frac{17}{18} - \left(1{,}074 - 3\frac{1}{6}\right) - \left(37{,}193 - 2\frac{8}{9}\right)$; 2) $-\left(19\frac{4}{15} - 21{,}095\right) + \left(8\frac{1}{5} - 18{,}975\right) - \left(-11\frac{2}{3} + 2{,}12\right)$.

Қалай ойлаймыз. Ретімен есептеме! Алдымен жақшаны аш, сосын ондық бөлшектерді бөлек, жай бөлшектерді бөлек топта.

Шешуі.

1. Жоғарыдағы қадамдар бойынша: $0 + \frac{1}{9} = \frac{1}{9}$.
2. Ашамыз: $-19\frac{4}{15} + 21{,}095 + 8\frac{1}{5} - 18{,}975 + 11\frac{2}{3} - 2{,}12$. Ондық бөлшектер: $21{,}095 - 18{,}975 - 2{,}12 = 0$. Жай бөлшектер: $-19\frac{4}{15} + 8\frac{3}{15} + 11\frac{10}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.

Жауабы: 1) $\frac{1}{9}$; 2) $\frac{3}{5}$.

C деңгейі

№ 723

Жақшаны ашыңдар: 1) $(-x - y) - (z - t) + (a + b)$; 2) $-(x - a) + (-b - y) - (c + d)$.

Шешуі.

1. Бірінші жақшаның алдында «+» тұр (оны жазбайды) — таңбалар сол күйінде. Екінші жақшада «−» — өзгертеміз. Үшіншіде «+». Шығады: $-x - y - z + t + a + b$.
2. $-x + a - b - y - c - d$.

Жауабы: 1) $-x - y - z + t + a + b$; 2) $-x + a - b - y - c - d$.

№ 724

Жақшаның дұрыс ашылғанын тексеріңдер: 1) $-(-a - (-b + (-c))) = a - b - c$; 2) $-(a - (-b - (-c))) = -a - b + c$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаның ішіндегі жақшаларды іштен сыртқа қарай, біртіндеп ашамыз.

Шешуі.

1. $-b + (-c) = -b - c$. Одан кейін $-a - (-b - c) = -a + b + c$. Одан кейін $-(-a + b + c) = a - b - c$. Сәйкес келді.
2. $-b - (-c) = -b + c$. Одан кейін $a - (-b + c) = a + b - c$. Одан кейін $-(a + b - c) = -a - b + c$. Сәйкес келді.

Жауабы: екі жақша да дұрыс ашылған.

№ 725

Шаршының орнына қосу және азайту таңбаларын жазыңдар: 1) $-(a - b) + (-d + t) = -a \square b \square d \square t$; 2) $\square(-x + y) \square (z - k) = -x + y - z + k$.

Шешуі.

1. $-(a - b) = -a + b$, ал $+(-d + t) = -d + t$. Таңбалар: «+», «−», «+».
2. Оң жақта $-x + y$ — таңбалар бірінші жақшадағыдай, демек, оның алдында «+» тұр (оны жазбауға да болады). Әрі қарай $-z + k$ — таңбалар ауысқан, демек, екінші жақшаның алдында «−» тұр.

Жауабы: 1) $-a + b - d + t$; 2) $+(-x + y) - (z - k)$.

Қайталау

№ 726

Бірінші бригада жұмысты 8 күнде, екінші бригада осы жұмысты 4 күнде орындайды. Екі бригада бірігіп жұмысты қанша күнде орындайды?

Қалай ойлаймыз. Бүкіл жұмысты 1 деп аламыз. Бір күнде бірінші бригада жұмыстың $\frac{1}{8}$ бөлігін, екіншісі $\frac{1}{4}$ бөлігін орындайды.

Шешуі.

1. Бірге бір күнде: $\frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8}$ жұмыс.
2. Бүкіл жұмыс: $1 : \frac{3}{8} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$ күн.

Жауабы: $2\frac{2}{3}$ күнде.

№ 727

$\frac{x - 98{,}4}{-52} = \frac{-2{,}5}{1{,}3}$ пропорциясынан $x$-ті табыңдар.

Шешуі.

1. Пропорцияның негізгі қасиеті бойынша: $(x - 98{,}4) \cdot 1{,}3 = -52 \cdot (-2{,}5) = 130$.
2. $x - 98{,}4 = 130 : 1{,}3 = 100$.
3. $x = 198{,}4$.

Жауабы: $198{,}4$.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 728

Амалдарды орындаңдар: 1) $17\frac{1}{4} : 3\frac{12}{19} - 7{,}25$; 2) $\frac{37}{60} : \frac{74}{125} \cdot \frac{12}{25} + 3\frac{1}{3}$.

Шешуі.

1. $\frac{69}{4} : \frac{69}{19} = \frac{19}{4} = 4{,}75$; $4{,}75 - 7{,}25 = -2{,}5$.
2. $\frac{37}{60} \cdot \frac{125}{74} = \frac{125}{120} = \frac{25}{24}$; $\frac{25}{24} \cdot \frac{12}{25} = \frac{1}{2}$; $\frac{1}{2} + 3\frac{1}{3} = 3\frac{5}{6}$.

Жауабы: 1) $-2{,}5$; 2) $3\frac{5}{6}$.

№ 729

$3a - 4b + 1$ алгебралық өрнектің $a = 0{,}09$ және $b = -0{,}25$ болғандағы мәнін табыңдар.

Шешуі. $3 \cdot 0{,}09 - 4 \cdot (-0{,}25) + 1 = 0{,}27 + 1 + 1 = 2{,}27$.

Жауабы: $2{,}27$.

Жадынама

• Үлестірімділік қасиеті кез келген рационал сандар үшін орындалады.
• Жақша алдындағы минус әрбір қосылғыштың таңбасын өзгертеді.
• Жақша алдындағы плюс ештеңені өзгертпейді.
• Жақша ішіндегі жақшаларды іштен сыртқа қарай аш.
• Ыңғайсыз сандарды бөліп жаз: $-9 \cdot 101 = -900 - 9$.

Шағын тест