6-сынып математика курсын қайталауға арналған жаттығулар

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 10 тарау: Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер және олардың жүйелері. 168–176-беттер.

Нені қайталаймыз

Бұл — оқу жылының соңы. Мұнда жаңа ереже жоқ, тек сен білетін бәріне арналған есептер. Қиналсаң — қажетті параграфты аш.

• Рационал сандарды қосу, азайту, көбейту және бөлу — § 11–21 (1-бөлім).
• Жақшаны ашу, ұқсас қосылғыштар — § 23–25 (1-бөлім).
• Сызықтық теңдеулер, соның ішінде модульді теңдеулер — § 27–30 (2-бөлім).
• Сызықтық теңдеулер жүйесі және оларға арналған есептер — § 51–55 (2-бөлім).
• Сызықтық теңсіздіктер, сан аралықтары, теңсіздіктер жүйесі — § 32–39 (2-бөлім).
• Арифметикалық орта, ауытқу, мода, медиана — § 46 (2-бөлім).

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Мұнда 48 жаттығу, және көбі ұзын. Бәрін бір кеште шығарудың қажеті жоқ. Бір-бір бөлімнен алған ыңғайлы. Бала қандай да бір тақырыпта «адасса», көрсетілген параграфқа оралып, сол жерден 2–3 есепті талдаңыз.

💡 Бірнеше жаттығуда құтқаратын үш ереже: жақшаның алдындағы минус жақша ішіндегі таңбаларды өзгертеді; теңсіздікті теріс санға бөлгенде таңба қарама-қарсыға ауысады; жүйенің жауабы — сандар жұбы, оны екі теңдеуде де тексеру керек.

Жаттығуларды шығарамыз

1. Рационал сандармен амалдар

№ 1313

Амалды орындаңдар: 1) $-8 - 4$; 2) $-9 - 10$; 3) $6 - (-5)$; 4) $12 - (-4)$; 5) $-5 - (-1)$; 6) $5 - (-3)$; 7) $-13 + 10$; 8) $13 - (-7)$; 9) $-29 - 5$; 10) $5 - (-5)$; 11) $-1{,}2 - 1{,}2$; 12) $-3{,}2 - (-4{,}1)$; 13) $2{,}6 - 5{,}96$; 14) $0 - 5{,}2$; 15) $0 - (-2{,}4)$; 16) $-5{,}3 - 0$; 17) $1 - (-4{,}9)$; 18) $2 - 7{,}3$.

Қалай ойлаймыз. Азайтуды қарама-қарсы санды қосумен алмастырамыз: $a - (-b) = a + b$, $a - b = a + (-b)$.

Шешуі.

Жауабы: $-12$; $-19$; 11; 16; $-4$; 8; $-3$; 20; $-34$; 10; $-2{,}4$; 0,9; $-3{,}36$; $-5{,}2$; 2,4; $-5{,}3$; 5,9; $-5{,}3$.

№ 1314

Азайтуды орындап, қосудың көмегімен тексеріңдер: 1) $7{,}8 - (-6{,}9)$; 2) $-6{,}7 - (-7{,}6)$; 3) $-5{,}4 - 6{,}8$; 4) $-5\frac{4}{5} - (-20\frac{3}{5})$; 5) $-1\frac{7}{9} - 3\frac{5}{6}$; 6) $\frac{16}{21} - 5\frac{1}{3}$.

Қалай ойлаймыз. Тексеру: айырым мен азайтқышты қосқанда азайғыш шығуы керек.

Шешуі.

1. $7{,}8 + 6{,}9 = 14{,}7$. Тексеру: $14{,}7 + (-6{,}9) = 7{,}8$ ✓.
2. $-6{,}7 + 7{,}6 = 0{,}9$. Тексеру: $0{,}9 + (-7{,}6) = -6{,}7$ ✓.
3. $-5{,}4 - 6{,}8 = -12{,}2$. Тексеру: $-12{,}2 + 6{,}8 = -5{,}4$ ✓.
4. $-5\frac{4}{5} + 20\frac{3}{5} = 14\frac{4}{5}$. Тексеру: $14\frac{4}{5} + (-20\frac{3}{5}) = -5\frac{4}{5}$ ✓.
5. $-(1\frac{14}{18} + 3\frac{15}{18}) = -4\frac{29}{18} = -5\frac{11}{18}$. Тексеру: $-5\frac{11}{18} + 3\frac{15}{18} = -1\frac{14}{18} = -1\frac{7}{9}$ ✓.
6. $\frac{16}{21} - \frac{112}{21} = -\frac{96}{21} = -4\frac{4}{7}$. Тексеру: $-4\frac{12}{21} + 5\frac{7}{21} = \frac{16}{21}$ ✓.

Жауабы: 1) 14,7; 2) 0,9; 3) $-12{,}2$; 4) $14\frac{4}{5}$; 5) $-5\frac{11}{18}$; 6) $-4\frac{4}{7}$.

№ 1315

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $-1\frac{3}{7} - \frac{1}{4}$; 2) $2\frac{1}{3} - 3\frac{4}{9}$; 3) $-5\frac{3}{4} - (-2\frac{1}{9})$; 4) $-5{,}9 - 0$; 5) $1 - (-2{,}7)$; 6) $5 - 6\frac{2}{3}$.

Шешуі.

1. $-(1\frac{12}{28} + \frac{7}{28}) = -1\frac{19}{28}$.
2. $2\frac{3}{9} - 3\frac{4}{9} = -1\frac{1}{9}$.
3. $-5\frac{27}{36} + 2\frac{4}{36} = -3\frac{23}{36}$.
4. $-5{,}9$.
5. $1 + 2{,}7 = 3{,}7$.
6. $5 - 6\frac{2}{3} = -1\frac{2}{3}$.

Жауабы: 1) $-1\frac{19}{28}$; 2) $-1\frac{1}{9}$; 3) $-3\frac{23}{36}$; 4) $-5{,}9$; 5) 3,7; 6) $-1\frac{2}{3}$.

№ 1316

Амалдарды орындаңдар: 1) $-2{,}4 - 1{,}75 - (-\frac{5}{12})$; 2) $-4{,}2 - 3{,}25 - (-\frac{1}{12})$; 3) $-61{,}3 - (-7{,}7) + 5{,}36$; 4) $-8{,}6 + (-4{,}9) - 8{,}6 - (-5{,}3)$; 5) $-9 + 10 - 51 + 42$; 6) $10 - 61 + 72 - 13$; 7) $-10 - 2 + 33 - 4$; 8) $60 - 71 + 8 - 9 + 10$.

Қалай ойлаймыз. 1–2-тармақтарда $\frac{5}{12}$ бөлшегі ақырлы ондық бөлшекке айналмайды. Сондықтан ондық бөлшектерді жай бөлшекке айналдырамыз. 5–8-тармақтарда барлық «плюстерді» және барлық «минустерді» бөлек қосқан ыңғайлы.

Шешуі.

1. $-2{,}4 - 1{,}75 = -4{,}15 = -4\frac{3}{20}$. Одан әрі $-4\frac{9}{60} + \frac{25}{60} = -3\frac{44}{60} = -3\frac{11}{15}$.
2. $-4{,}2 - 3{,}25 = -7{,}45 = -7\frac{27}{60}$. Одан әрі $-7\frac{27}{60} + \frac{5}{60} = -7\frac{22}{60} = -7\frac{11}{30}$.
3. $-61{,}3 + 7{,}7 + 5{,}36 = -53{,}6 + 5{,}36 = -48{,}24$.
4. $-8{,}6 - 4{,}9 - 8{,}6 + 5{,}3 = -22{,}1 + 5{,}3 = -16{,}8$.
5. $52 - 60 = -8$.
6. $82 - 74 = 8$.
7. $33 - 16 = 17$.
8. $78 - 80 = -2$.

Жауабы: 1) $-3\frac{11}{15}$; 2) $-7\frac{11}{30}$; 3) $-48{,}24$; 4) $-16{,}8$; 5) $-8$; 6) 8; 7) 17; 8) $-2$.

№ 1317

Амалдарды орындаңдар: 1) $21{,}8 - (7\frac{19}{20} - 8\frac{3}{5})$; 2) $-8{,}25 - (-\frac{1}{30} + \frac{7}{30})$; 3) $3\frac{1}{14} + 2\frac{3}{7} - (-2{,}85)$; 4) $28 - 3\frac{5}{12} + (-4{,}5 + 2\frac{1}{4})$.

Шешуі.

1. Жақшада: $7\frac{19}{20} - 8\frac{12}{20} = -\frac{13}{20} = -0{,}65$. Одан әрі $21{,}8 + 0{,}65 = 22{,}45 = 22\frac{9}{20}$.
2. Жақшада: $\frac{6}{30} = 0{,}2$. Одан әрі $-8{,}25 - 0{,}2 = -8{,}45$.
3. $3\frac{1}{14} + 2\frac{6}{14} = 5\frac{7}{14} = 5{,}5$. Одан әрі $5{,}5 + 2{,}85 = 8{,}35$.
4. Жақшада: $-4{,}5 + 2{,}25 = -2{,}25 = -2\frac{3}{12}$. Одан әрі $28 - 3\frac{5}{12} - 2\frac{3}{12} = 28 - 5\frac{8}{12} = 22\frac{1}{3}$.

Жауабы: 1) $22\frac{9}{20}$; 2) $-8{,}45$; 3) 8,35; 4) $22\frac{1}{3}$.

№ 1318

Бөлуді орындаңдар: 1) $-9{,}6 : 12$; 2) $-0{,}12 : (-0{,}3)$; 3) $-0{,}35 : (-0{,}07)$; 4) $636 : (-0{,}12)$.

Қалай ойлаймыз. Таңбалары бірдей — бөлінді оң, әртүрлі — теріс.

Шешуі. 1) $-0{,}8$; 2) $1{,}2 : 3 = 0{,}4$; 3) $35 : 7 = 5$; 4) $-(63,600 : 12) = -5300$.

Жауабы: 1) $-0{,}8$; 2) 0,4; 3) 5; 4) $-5300$.

№ 1319

Амалдарды орындаңдар: 1) $9{,}8 \cdot (-3\frac{4}{29}) \cdot 4\frac{1}{7}$; 2) $4\frac{1}{2} \cdot (-4{,}05) \cdot (-1\frac{1}{9})$; 3) $4\frac{2}{3} \cdot (-1\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{5}{18})$; 4) $4{,}8 \cdot \frac{5}{6} \cdot (-1{,}8) \cdot \frac{5}{9}$; 5) $-2{,}36 \cdot 5{,}4 \cdot 2\frac{7}{9}$; 6) $(-1\frac{1}{2}) \cdot 0{,}5 \cdot 2{,}8$; 7) $2\frac{7}{20} \cdot \frac{15}{47} \cdot (-0{,}64)$; 8) $7{,}5 \cdot (-0{,}01) \cdot \frac{1}{10} \cdot (-1\frac{1}{3}) \cdot \frac{1}{40}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен таңбасын анықта: минус саны жұп болса — плюс, тақ болса — минус. Сосын таңбасыз есепте және алдын ала қысқарт.

Шешуі.

1. $-127\frac{2}{5}$ (қадамдарын қара).
2. Екі минус — плюс. $\frac{9}{2} \cdot \frac{81}{20} \cdot \frac{10}{9} = \frac{81}{4} = 20\frac{1}{4}$.
3. Екі минус — плюс. $\frac{14}{3} \cdot \frac{9}{5} \cdot \frac{5}{18} = \frac{14}{6} = 2\frac{1}{3}$.
4. $4{,}8 \cdot \frac{5}{6} = 4$; $4 \cdot (-1{,}8) = -7{,}2$; $-7{,}2 \cdot \frac{5}{9} = -4$.
5. $-2{,}36 \cdot 5{,}4 = -12{,}744$; $-12{,}744 \cdot \frac{25}{9} = -1{,}416 \cdot 25 = -35{,}4$.
6. $-1{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 2{,}8 = -2{,}1$.
7. $\frac{47}{20} \cdot \frac{15}{47} = \frac{3}{4}$; $\frac{3}{4} \cdot (-\frac{16}{25}) = -\frac{12}{25}$.
8. Екі минус — плюс. $7{,}5 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}1 = 0{,}0075$; $0{,}0075 \cdot \frac{4}{3} = 0{,}01$; $0{,}01 : 40 = \frac{1}{4000}$.

Жауабы: 1) $-127\frac{2}{5}$; 2) $20\frac{1}{4}$; 3) $2\frac{1}{3}$; 4) $-4$; 5) $-35{,}4$; 6) $-2{,}1$; 7) $-\frac{12}{25}$; 8) $\frac{1}{4000}$.

№ 1320

Өрнектердің мәнін салыстырыңдар: 1) $-24 \cdot 8$ және 0; 2) $-2{,}4 \cdot (-3{,}6)$ және 0; 3) $-3{,}5 \cdot \frac{2}{7}$ және $(-\frac{2}{9})$; 4) 0 және $(-2{,}4) \cdot (-3{,}9)$.

Қалай ойлаймыз. 1, 2, 4-тармақтарда есептеудің қажеті жоқ: көбейтіндінің таңбасы жеткілікті.

Шешуі.

1. Минус пен плюстің көбейтіндісі — теріс: $-192 < 0$.
2. Минус пен минустің көбейтіндісі — оң: $8{,}64 > 0$.
3. $-3{,}5 \cdot \frac{2}{7} = -1$. Екі теріс саннан модулі үлкені кіші болады: $-1 < -\frac{2}{9}$.
4. $0 < 9{,}36$.

Жауабы: 1)

2. Жақшалар және сызықтық теңдеулер

№ 1321

Жақшаны ашыңдар: 1) $m + (n - k)$; 2) $c - (-a - b)$; 3) $(-2) \cdot (x + y - 8)$; 4) $(-3) \cdot (-x + y + 2)$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаның алдында плюс тұрса — таңбалар сақталады. Минус тұрса — жақша ішіндегі барлық таңба өзгереді. Көбейткішті әр қосылғышқа көбейтеміз.

Шешуі. 1) $m + n - k$; 2) $c + a + b$; 3) $-2x - 2y + 16$; 4) $3x - 3y - 6$.

Жауабы: 1) $m + n - k$; 2) $c + a + b$; 3) $-2x - 2y + 16$; 4) $3x - 3y - 6$.

№ 1322

Жақшаны ашып, теңдеуді шешіңдер: 1) $3{,}3 - (x - 6{,}7) = 100$; 2) $-1{,}3 + (x - 4{,}8) = -7{,}1$; 3) $4 - \frac{5}{7} - (m - 1) = \frac{11}{14}$; 4) $1\frac{5}{6} - (y + \frac{1}{2}) = 1\frac{1}{2}$.

Шешуі.

1. $3{,}3 - x + 6{,}7 = 100$, $10 - x = 100$, $x = -90$.
2. $-1{,}3 + x - 4{,}8 = -7{,}1$, $x - 6{,}1 = -7{,}1$, $x = -1$.
3. $4 - \frac{5}{7} - m + 1 = \frac{11}{14}$, $4\frac{2}{7} - m = \frac{11}{14}$, $m = \frac{60}{14} - \frac{11}{14} = \frac{49}{14} = 3{,}5$.
4. $1\frac{5}{6} - y - \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}$, $1\frac{1}{3} - y = 1\frac{1}{2}$, $y = -\frac{1}{6}$.

Жауабы: 1) $-90$; 2) $-1$; 3) 3,5; 4) $-\frac{1}{6}$.

№ 1323

Теңдеуді шешіңдер: 1) $9x = 8x - 6 - x$; 2) $-4x + 8 - 7 = x - 1$; 3) $6 - 4y - 1 = y + 3$; 4) $5y = 2y + 9$.

Қалай ойлаймыз. Әріптерді — солға, сандарды — оңға. «=» белгісі арқылы көшіргенде таңба өзгереді.

Шешуі.

1. $9x = 7x - 6$, $2x = -6$, $x = -3$.
2. $-4x + 1 = x - 1$, $-5x = -2$, $x = 0{,}4$.
3. $5 - 4y = y + 3$, $-5y = -2$, $y = 0{,}4$.
4. $3y = 9$, $y = 3$.

Жауабы: 1) $-3$; 2) 0,4; 3) 0,4; 4) 3.

№ 1324

Теңдеуді шешіңдер: 1) $3(x - 2) = 4x$; 2) $5(y + 3) = 10$; 3) $3(2x - 7) = 9$; 4) $6(z - 1) = 18$.

Шешуі.

1. $3x - 6 = 4x$, $-x = 6$, $x = -6$.
2. $y + 3 = 2$, $y = -1$.
3. $2x - 7 = 3$, $2x = 10$, $x = 5$.
4. $z - 1 = 3$, $z = 4$.

Жауабы: 1) $-6$; 2) $-1$; 3) 5; 4) 4.

№ 1325

Теңдеуді шешіңдер: 1) $2(2 - y) = y - 5$; 2) $-4(x - 2) = -6$; 3) $-(3x - 4) = 3x - 8$; 4) $3(x - 5) = x + 3$.

Шешуі.

1. $4 - 2y = y - 5$, $-3y = -9$, $y = 3$.
2. $-4x + 8 = -6$, $-4x = -14$, $x = 3{,}5$.
3. $-3x + 4 = 3x - 8$, $-6x = -12$, $x = 2$.
4. $3x - 15 = x + 3$, $2x = 18$, $x = 9$.

Жауабы: 1) 3; 2) 3,5; 3) 2; 4) 9.

№ 1326

Теңдеуді шешіңдер: 1) $0{,}8x - 3{,}5 = -1{,}2x + 0{,}5$; 2) $1{,}3(t - 0{,}6) = 1{,}8t$; 3) $1{,}2(x - 5) = 0{,}2x + 6$; 4) $7{,}2 - (6{,}2 - x) = 2{,}2$.

Шешуі.

1. $0{,}8x + 1{,}2x = 0{,}5 + 3{,}5$, $2x = 4$, $x = 2$.
2. $1{,}3t - 0{,}78 = 1{,}8t$, $-0{,}5t = 0{,}78$, $t = -1{,}56$.
3. $1{,}2x - 6 = 0{,}2x + 6$, $x = 12$.
4. $7{,}2 - 6{,}2 + x = 2{,}2$, $1 + x = 2{,}2$, $x = 1{,}2$.

Жауабы: 1) 2; 2) $-1{,}56$; 3) 12; 4) 1,2.

№ 1327

Теңдеуді шешіңдер: 1) $3x - 4 + 2x = 6 + 2x - 4$; 2) $50 - 7y - 16 = 3y - 16$; 3) $-6a + 16 = 4a - 6a - 24$; 4) $5x - 6 + x = 2(x - 1)$.

Шешуі.

1. $5x - 4 = 2x + 2$, $3x = 6$, $x = 2$.
2. $34 - 7y = 3y - 16$, $-10y = -50$, $y = 5$.
3. $-6a + 16 = -2a - 24$, $-4a = -40$, $a = 10$.
4. $6x - 6 = 2x - 2$, $4x = 4$, $x = 1$.

Жауабы: 1) 2; 2) 5; 3) 10; 4) 1.

№ 1328

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\frac{1}{3}x + 6 = 2x$; 2) $\frac{1}{2}(4x - 2) = -7$; 3) $\frac{5}{6}x + 3 = \frac{1}{6}x$.

Шешуі.

1. $6 = 2x - \frac{1}{3}x = \frac{5}{3}x$, $x = 6 \cdot \frac{3}{5} = 3{,}6$.
2. $2x - 1 = -7$, $2x = -6$, $x = -3$.
3. $\frac{4}{6}x = -3$, $x = -3 \cdot \frac{3}{2} = -4{,}5$.

Жауабы: 1) 3,6; 2) $-3$; 3) $-4{,}5$.

№ 1329

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\frac{5}{16} - (\frac{3}{16} - x) = \frac{5}{8}$; 2) $(m + \frac{4}{15}) - \frac{2}{15} = 0{,}8$; 3) $\frac{5}{24} - (x - \frac{1}{6}) = -\frac{7}{24}$; 4) $(y + \frac{5}{18}) + \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.

Шешуі.

1. $\frac{5}{16} - \frac{3}{16} + x = \frac{10}{16}$, $\frac{2}{16} + x = \frac{10}{16}$, $x = \frac{8}{16} = 0{,}5$.
2. $m + \frac{2}{15} = \frac{12}{15}$, $m = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.
3. $\frac{5}{24} - x + \frac{4}{24} = -\frac{7}{24}$, $x = \frac{9}{24} + \frac{7}{24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.
4. $y + \frac{5}{18} + \frac{8}{18} = \frac{10}{18}$, $y = -\frac{3}{18} = -\frac{1}{6}$.

Жауабы: 1) 0,5; 2) $\frac{2}{3}$; 3) $\frac{2}{3}$; 4) $-\frac{1}{6}$.

№ 1330

Теңдеуді шешіңдер: 1) $3(2x + 8) - (5x + 2) = 0$; 2) $-(3y + 4) + (2y - 1) = 0$; 3) $8(3 - 2x) + 5(3x + 5) = 9$; 4) $3(y - 5) - 2(y - 4) = 8$.

Шешуі.

1. $6x + 24 - 5x - 2 = 0$, $x + 22 = 0$, $x = -22$.
2. $-3y - 4 + 2y - 1 = 0$, $-y - 5 = 0$, $y = -5$.
3. $24 - 16x + 15x + 25 = 9$, $49 - x = 9$, $x = 40$.
4. $3y - 15 - 2y + 8 = 8$, $y - 7 = 8$, $y = 15$.

Жауабы: 1) $-22$; 2) $-5$; 3) 40; 4) 15.

№ 1331

Төменде берілген теңдеулерді шешіп, Қазақстан қалалары жайлы дерек аласыңдар. 1) $0{,}01x - 2^4 = |-1{,}18|$ теңдеуінің түбірі — Семей қаласының; 2) $0{,}5^2x + |-11| = 21^2$ — Өскемен қаласының; 3) $\frac{3}{4}x - |-2|^8 - \frac{5}{6}x = -|-7|^2 - 0{,}5^2x$ — Ақмола аймағының; 4) $0{,}375x - |-6| - \frac{4}{9}x - |-3|^4 = 0{,}5x + |-2|^4 - \frac{5^4}{10^3}x$ — Верный бекінісінің (қазіргі Алматы қаласы); 5) $-0{,}1^2x + |-4|^2 = -1{,}3^2 - 1$ — Ақтөбе қаласының; 6) $-(-\frac{1}{2})^4x - 3^4 = -|-7|^2 \cdot |-2|^3 \cdot (-5) + 0{,}9375x - 148$ — Қостанай қаласының іргетасы қаланған жылды береді.

Қалай ойлаймыз. Алдымен барлық дәреже мен модульді есепте — қарапайым сызықтық теңдеу қалады.

Шешуі.

1. $0{,}01x - 16 = 1{,}18$, $0{,}01x = 17{,}18$, $x = 1718$.
2. $0{,}25x + 11 = 441$, $0{,}25x = 430$, $x = 1720$.
3. $\frac{3}{4}x - 256 - \frac{5}{6}x = -49 - 0{,}25x$. $x$-терді солға: $(\frac{3}{4} - \frac{5}{6} + \frac{1}{4})x = 256 - 49$, $\frac{1}{6}x = 207$, $x = 1242$. Бірақ Ақмолинск бекінісі 1830 жылы құрылған. Бұл сан $|-7|^2$ алдында плюс тұрса шығады: $\frac{1}{6}x = 256 + 49 = 305$, $x = 1830$. Шартта таңбаның қатесі бар сияқты.
4. $x = 1854$ (қадамдарын қара).
5. $-0{,}01x + 16 = -1{,}69 - 1$, $-0{,}01x = -18{,}69$, $x = 1869$.
6. $(-\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$, $|-7|^2 \cdot |-2|^3 \cdot (-5) = 49 \cdot 8 \cdot (-5) = -1960$, алдында минус тұрғандықтан $+1960$. Теңдеу: $-\frac{1}{16}x - 81 = 1960 + \frac{15}{16}x - 148$. $x$-терді солға: $-x = 1812 + 81 = 1893$, $x = -1893$. Жыл теріс болмайды; шартта таңба түсіп қалған, яғни 1893 жыл деп түсіну керек — сол жылы елді мекен Қостанай қаласы болған.

Жауабы: 1) 1718; 2) 1720; 3) 1830 (шарттағы жазу бойынша 1242 шығады); 4) 1854; 5) 1869; 6) 1893 (жазу бойынша $-1893$ шығады).

🌟 Бұл қалалардың бәрінің жасы 150 жылдан асады. Семей (1718) — орыс бекіністерімен байланысты Қазақстандағы ең көне қалалардың бірі, ал Верный көп жылдан кейін Алматы болды.

3. Ұқсас қосылғыштар және өрнек мәндері

№ 1332

Ұқсас қосылғыштарды біріктіріңдер: 1) $6a + b + 2b - a$; 2) $6x + 4b - b - 3x$; 3) $4a - b - a + 16$; 4) $15a + a - 3a - 6a$.

Шешуі. 1) $5a + 3b$; 2) $3x + 3b$; 3) $3a - b + 16$; 4) $7a$.

Жауабы: 1) $5a + 3b$; 2) $3x + 3b$; 3) $3a - b + 16$; 4) $7a$.

№ 1333

1) $m = -5$ болғанда $-m^2 + 2m - 4 - 3m - 6 + 2m^2 + m$; 2) $x = -2$; $-\frac{1}{8}$; $-0{,}4$ болғанда $-6{,}3x + 8 - 3{,}7x - 5$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен ықшамда, сонан соң қой — есептеу аз болады.

Шешуі.

1. $-m^2 + 2m^2 = m^2$; $2m - 3m + m = 0$; $-4 - 6 = -10$. Өрнек $= m^2 - 10 = 25 - 10 = 15$.
2. Өрнек $= -10x + 3$. $x = -2$ болғанда: $20 + 3 = 23$. $x = -\frac{1}{8}$ болғанда: $1{,}25 + 3 = 4{,}25$. $x = -0{,}4$ болғанда: $4 + 3 = 7$.

Жауабы: 1) 15; 2) 23; 4,25; 7.

№ 1334

Жақшаны ашып, ұқсас қосылғыштарды біріктіріңдер: 1) $5a + (a - 8) - (2a - 4)$; 2) $(6x - 1) + (8 - x) - (3 - 2x)$; 3) $7 + (3a - 2) - (4 + 2a) - 11 + 3a$; 4) $5m - (3m + 5) + (2m - 4)$.

Шешуі.

1. $5a + a - 8 - 2a + 4 = 4a - 4$.
2. $6x - 1 + 8 - x - 3 + 2x = 7x + 4$.
3. $7 + 3a - 2 - 4 - 2a - 11 + 3a = 4a - 10$.
4. $5m - 3m - 5 + 2m - 4 = 4m - 9$.

Жауабы: 1) $4a - 4$; 2) $7x + 4$; 3) $4a - 10$; 4) $4m - 9$.

№ 1335

Өрнектегі ұқсас қосылғыштарды біріктіріңдер: 1) $\frac{5}{7}x - \frac{2}{3} - \frac{3}{14}x - \frac{1}{3}$; 2) $\frac{5}{6}a - 1\frac{1}{3}a + \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}x$; 3) $0{,}2m - \frac{2}{9} - 4m + \frac{5}{9}$; 4) $\frac{2}{7}x - \frac{4}{9}y - \frac{5}{14}x + \frac{2}{3}y$.

Шешуі.

1. $\frac{10}{14}x - \frac{3}{14}x = \frac{1}{2}x$; $-\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = -1$. Нәтиже: $\frac{1}{2}x - 1$.
2. $\frac{5}{6}a - \frac{8}{6}a = -\frac{1}{2}a$; $\frac{3}{4}x - \frac{1}{4}x = \frac{1}{2}x$. Нәтиже: $-\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}x$.
3. $0{,}2m - 4m = -3{,}8m$; $-\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{1}{3}$. Нәтиже: $-3{,}8m + \frac{1}{3}$.
4. $\frac{4}{14}x - \frac{5}{14}x = -\frac{1}{14}x$; $-\frac{4}{9}y + \frac{6}{9}y = \frac{2}{9}y$. Нәтиже: $-\frac{1}{14}x + \frac{2}{9}y$.

Жауабы: 1) $\frac{1}{2}x - 1$; 2) $-\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}x$; 3) $-3{,}8m + \frac{1}{3}$; 4) $-\frac{1}{14}x + \frac{2}{9}y$.

4. Тағы теңдеулер: түбірі жоқ, бөлшекті, пропорциялар

№ 1336

1) $x + 4 = x - 3$; 2) $|2x - 3| = -1$ теңдеуінің рационал түбірі болмайтынын көрсетіңдер.

Шешуі.

1. Екі жағынан да $x$-ті азайтамыз: $4 = -3$. Бұл $x$-тің кез келген мәнінде дұрыс емес. Демек, түбірі жоқ.
2. Кез келген санның модулі — қашықтық, ол теріс болмайды: $|2x - 3| \ge 0$. Ал оң жағы $-1 < 0$. $x$-тің ешбір мәнінде теңдік орындалмайды.

Жауабы: екі теңдеудің де түбірі жоқ.

№ 1337

Теңдеуді шешіңдер: 1) $6x = 2x - 12$; 2) $5a = -a - 13$; 3) $-4x + 8 - 7 = x - 1$; 4) $6 - 4y = y + 3$; 5) $-\frac{1}{6}x - 1 = 3 - \frac{5}{6}x$; 6) $-\frac{11}{21}x + 2 = \frac{10}{21}x - 9$; 7) $\frac{1}{3} + \frac{5}{6}x = \frac{1}{12}x - \frac{3}{4}$; 8) $-\frac{14}{15}x + \frac{9}{10} = \frac{1}{30}x + \frac{2}{3}$.

Шешуі.

1. $4x = -12$, $x = -3$.
2. $6a = -13$, $a = -2\frac{1}{6}$.
3. $-5x = -2$, $x = 0{,}4$.
4. $-5y = -3$, $y = 0{,}6$.
5. $\frac{4}{6}x = 4$, $x = 6$.
6. $-\frac{21}{21}x = -11$, $x = 11$.
7. $\frac{9}{12}x = -\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = -\frac{13}{12}$, $x = -\frac{13}{9} = -1\frac{4}{9}$.
8. $-\frac{29}{30}x = \frac{20}{30} - \frac{27}{30} = -\frac{7}{30}$, $x = \frac{7}{29}$.

Жауабы: 1) $-3$; 2) $-2\frac{1}{6}$; 3) 0,4; 4) 0,6; 5) 6; 6) 11; 7) $-1\frac{4}{9}$; 8) $\frac{7}{29}$.

№ 1338

Теңдеуді шешіңдер: 1) $4(-2z + 5) = 14 - 2(4z - 3)$; 2) $-5(z - 7) = 30 - (2z + 1)$; 3) $-2(x + 5) + 3 = 2 - 3(x + 1)$; 4) $3(2x - 1) + 6x = 10x - 7$; 5) $0{,}3(x - 4) - 0{,}7x = -2$; 6) $0{,}6(5 + 2x) - 2 = 0{,}2x$; 7) $-2{,}5(x - 4) + 0{,}5x = 24$; 8) $48 - 0{,}2(x + 16) + 1{,}2x = 3{,}8$; 9) $\frac{4}{7}(21 - x) = \frac{3}{7}x + 20$; 10) $-\frac{1}{9}x + 14 = \frac{8}{9}(x + 18)$; 11) $\frac{2}{33}(11x - 3) + \frac{1}{3}x = -\frac{9}{11}$; 12) $\frac{5}{6}x + \frac{7}{12}(12 + 2x) = -10$.

Қалай ойлаймыз. 1-тармақта тосын жағдай бар: жақшаны ашқаннан кейін екі жақ бірдей болады.

Шешуі.

1. $-8z + 20 = 14 - 8z + 6 = 20 - 8z$. Теңдік $z$-тің кез келген мәнінде дұрыс.
2. $-5z + 35 = 29 - 2z$, $-3z = -6$, $z = 2$.
3. $-2x - 7 = -3x - 1$, $x = 6$.
4. $12x - 3 = 10x - 7$, $2x = -4$, $x = -2$.
5. $-0{,}4x - 1{,}2 = -2$, $-0{,}4x = -0{,}8$, $x = 2$.
6. $3 + 1{,}2x - 2 = 0{,}2x$, $x = -1$.
7. $-2{,}5x + 10 + 0{,}5x = 24$, $-2x = 14$, $x = -7$.
8. $48 - 0{,}2x - 3{,}2 + 1{,}2x = 3{,}8$, $x + 44{,}8 = 3{,}8$, $x = -41$.
9. $12 - \frac{4}{7}x = \frac{3}{7}x + 20$, $-x = 8$, $x = -8$.
10. $-\frac{1}{9}x + 14 = \frac{8}{9}x + 16$, $-x = 2$, $x = -2$.
11. $\frac{2}{3}x - \frac{2}{11} + \frac{1}{3}x = -\frac{9}{11}$, $x = -\frac{7}{11}$.
12. $\frac{5}{6}x + 7 + \frac{7}{6}x = -10$, $2x = -17$, $x = -8{,}5$.

Жауабы: 1) кез келген сан; 2) 2; 3) 6; 4) $-2$; 5) 2; 6) $-1$; 7) $-7$; 8) $-41$; 9) $-8$; 10) $-2$; 11) $-\frac{7}{11}$; 12) $-8{,}5$.

№ 1339

Пропорцияны шешіңдер: 1) $\frac{0{,}9}{7 + 5y} = \frac{0{,}2}{y - 4}$; 2) $\frac{2}{2 - x} = \frac{7}{4{,}5 - 4x}$; 3) $\frac{3}{x + 1} = \frac{10}{3x + 3\frac{2}{9}}$.

Қалай ойлаймыз. Пропорцияның негізгі қасиеті: шеткі мүшелерінің көбейтіндісі ортаңғы мүшелерінің көбейтіндісіне тең. Табылған түбірде бөлім нөлге айналмауы керек.

Шешуі.

1. $0{,}9(y - 4) = 0{,}2(7 + 5y)$, $0{,}9y - 3{,}6 = 1{,}4 + y$, $-0{,}1y = 5$, $y = -50$.
2. $2(4{,}5 - 4x) = 7(2 - x)$, $9 - 8x = 14 - 7x$, $-x = 5$, $x = -5$.
3. $3(3x + 3\frac{2}{9}) = 10(x + 1)$, $9x + 9\frac{2}{3} = 10x + 10$, $x = -\frac{1}{3}$.

3-тармақты тексеру: $\frac{3}{2/3} = 4{,}5$ және $\frac{10}{-1 + 29/9} = \frac{10}{20/9} = 4{,}5$ ✓.

Жауабы: 1) $-50$; 2) $-5$; 3) $-\frac{1}{3}$.

№ 1340

Теңдеулерді шешіп, ең кішкентай маймыл туралы дерек аласыңдар. 1) $0{,}15(x - 9) + 3{,}2(x - 6{,}5) = 0{,}12(x - 31) - 68{,}68 - 4{,}7(x - 36)$ теңдеуінің түбірі $x$ — граммен алынған маймылдың массасын; 2) $4{,}5(10y - 5^2 \cdot 2) - 3(3\frac{2}{3}y + 10^3) = 9(2\frac{5}{9}y + 30) - (19y - 75)$ теңдеуінің түбірі $y$ — граммен алынған ең кішкентай маймылдың ең үлкен массасын; 3) $\frac{13}{17}(48\frac{5}{13}z - 52\frac{4}{13}) - 6\frac{1}{3}(6z + 805\frac{5}{19}) = \frac{3}{8}(122\frac{2}{3}z - 240) - \frac{9}{11}(14\frac{2}{3}z - 12\frac{2}{9}) - 300 - 70$ теңдеуінің түбірі $z$ — миллиметрмен алынған ең кішкентай маймыл денесінің ұзындығын береді.

Қалай ойлаймыз. Ұзын, бірақ қиын емес: жақшаны ашамыз, $x$-терді солға, сандарды оңға. Аралас сандар әдемі қысқаратындай етіп таңдалған.

Шешуі.

1. $0{,}15x - 1{,}35 + 3{,}2x - 20{,}8 = 0{,}12x - 3{,}72 - 68{,}68 - 4{,}7x + 169{,}2$. Сол жағы $3{,}35x - 22{,}15$, оң жағы $-4{,}58x + 96{,}8$. Сонда $7{,}93x = 118{,}95$, $x = 15$.
2. $45y - 225 - 11y - 3000 = 23y + 270 - 19y + 75$. Сол жағы $34y - 3225$, оң жағы $4y + 345$. Сонда $30y = 3570$, $y = 119$.
3. Сол жағы: $\frac{13}{17} \cdot \frac{629}{13}z = 37z$, $\frac{13}{17} \cdot \frac{680}{13} = 40$, $\frac{19}{3} \cdot 6z = 38z$, $\frac{19}{3} \cdot \frac{15,300}{19} = 5100$. Шығады: $-z - 5140$. Оң жағы: $46z - 90 - 12z + 10 - 370 = 34z - 450$. Сонда $-35z = 4690$, $z = -134$. Ұзындық теріс болмайды — шартта қате бар сияқты. Оқулықтың жауабында 136 мм тұр.

Жауабы: 1) 15 г; 2) 119 г; 3) шарттағы жазу бойынша $-134$ шығады; оқулықтың жауабы — 136 мм.

📕 Оқулықтың жауаптарында 3) үшін 136 мм тұр, ал басылған шарт бойынша $z = -134$ шығады. Шартта қате бар сияқты.

🌟 Ең кішкентай маймыл — Амазонка ормандарында тіршілік ететін шағын тұқым. Ересегінің массасы шамамен 100–120 г — смартфоннан да жеңіл!

5. Теңдеулер жүйесі және есептер

№ 1341

Теңдеулер жүйесін шешіңдер: 1) $x + y = 33$, $x - y = 11$; 2) $x - y = 39$, $x + y = 61$; 3) $x + 2y = 27$, $3x - y = 11$; 4) $4x - y = 19$, $x + 15y = 20$; 5) $7x - 4y = 11{,}5$, $9x + 5y = -5{,}5$; 6) $11x - 13y = -35$, $-17x + 2y = 36$; 7) $\frac{6}{7}x - \frac{5}{9}y = 2$, $-\frac{2}{21}x - \frac{1}{9}y = 6$; 8) $\frac{1}{6}x - \frac{3}{4}y = -1$, $\frac{11}{12}x + \frac{1}{2}y = 13$; 9) $\frac{3}{5}x + \frac{1}{25}y = 32$, $\frac{7}{50}x - \frac{9}{10}y = -38$; 10) $\frac{4}{11}x - \frac{20}{33}y = -\frac{8}{11}$, $\frac{2}{3}x + \frac{10}{11}y = -\frac{8}{11}$.

Қалай ойлаймыз. Айнымалының коэффициенті 1 болса — алмастыр. Коэффициенттері қарама-қарсы немесе оңай теңестірілетін болса — қос. Бөлшектерді алдымен ортақ бөлімге көбейтіп жой.

Шешуі.

1. Қосамыз: $2x = 44$, $x = 22$, $y = 11$.
2. Қосамыз: $2x = 100$, $x = 50$, $y = 11$.
3. $y = 3x - 11$; $x + 6x - 22 = 27$, $7x = 49$, $x = 7$, $y = 10$.
4. $y = 4x - 19$; $x + 60x - 285 = 20$, $61x = 305$, $x = 5$, $y = 1$.
5. 5-ке және 4-ке көбейтеміз: $35x - 20y = 57{,}5$, $36x + 20y = -22$. Қосамыз: $71x = 35{,}5$, $x = 0{,}5$; $4y = 3{,}5 - 11{,}5 = -8$, $y = -2$.
6. $2y = 36 + 17x$, $y = 18 + 8{,}5x$; $11x - 234 - 110{,}5x = -35$, $-99{,}5x = 199$, $x = -2$, $y = 1$.
7. Екеуін де 63-ке көбейтеміз: $54x - 35y = 126$, $-6x - 7y = 378$. Екіншіні 5-ке көбейтіп, біріншіден азайтамыз: $84x = -1764$, $x = -21$; $-7y = 378 - 126 = 252$, $y = -36$.
8. 12-ге көбейтеміз: $2x - 9y = -12$, $11x + 6y = 156$. 2-ге және 3-ке көбейтіп қосамыз: $37x = 444$, $x = 12$; $9y = 36$, $y = 4$.
9. 25-ке және 50-ге көбейтеміз: $15x + y = 800$, $7x - 45y = -1900$. $y = 800 - 15x$; $682x = 34,100$, $x = 50$, $y = 50$.
10. 33-ке көбейтеміз: $12x - 20y = -24$, $22x + 30y = -24$, яғни $3x - 5y = -6$ және $11x + 15y = -12$. Біріншіні 3-ке көбейтіп қосамыз: $20x = -30$, $x = -1{,}5$; $5y = 3x + 6 = 1{,}5$, $y = 0{,}3$.

Жауабы: 1) $(22; 11)$; 2) $(50; 11)$; 3) $(7; 10)$; 4) $(5; 1)$; 5) $(0{,}5; -2)$; 6) $(-2; 1)$; 7) $(-21; -36)$; 8) $(12; 4)$; 9) $(50; 50)$; 10) $(-1{,}5; 0{,}3)$.

№ 1342

Бөлшекті теңдеулер жүйесін шешіңдер: 1) $\frac{3x - 1}{2} + \frac{9 - 5y}{3} = 2{,}5$, $\frac{8 - 3y}{4} - \frac{6 + 5x}{3} = 0$; 2) $\frac{7y + 1}{5} - \frac{x - 2}{6} = 2\frac{4}{15}$, $\frac{8x + 3}{2} - \frac{y - 10}{7} = -5\frac{3}{14}$; 3) $\frac{2x - 1}{10} - \frac{y + 2}{5} + \frac{3 - x}{15} = \frac{1}{30}$, $\frac{3 + x}{6} + \frac{5 - y}{4} - \frac{2y - 1}{12} = 1\frac{3}{4}$; 4) $\frac{y + 2}{9} - \frac{x - 2}{2} + \frac{x - y}{18} = \frac{1}{9}$, $\frac{x + y}{2} + \frac{6 - x}{8} - \frac{7 - y}{16} = 1\frac{1}{4}$.

Қалай ойлаймыз. Әр теңдеуді оның барлық бөлшегінің ортақ бөліміне көбейтеміз. Бөлшексіз қарапайым жүйе шығады.

Шешуі.

1. 6-ға және 12-ге көбейтеміз: $9x - 10y = 0$ және $20x + 9y = 0$. Тек $x = 0$, $y = 0$ сай келеді (тексер: $-\frac{1}{2} + 3 = 2{,}5$ ✓, $2 - 2 = 0$ ✓).
2. $(-2; 1)$ — қадамдарын қара.
3. Біріншіні 30-ға көбейтеміз: $3(2x - 1) - 6(y + 2) + 2(3 - x) = 1$, яғни $2x - 3y = 5$. Екіншіні 12-ге көбейтеміз: $2(3 + x) + 3(5 - y) - (2y - 1) = 21$, яғни $2x - 5y = -1$. Азайтамыз: $2y = 6$, $y = 3$, $x = 7$.
4. 18-ге көбейтеміз: $-8x + y = -20$. Екіншіні 16-ға көбейтеміз: $6x + 9y = 15$, яғни $2x + 3y = 5$. $y = 8x - 20$; $26x - 60 = 5$, $x = 2{,}5$, $y = 0$.

Жауабы: 1) $(0; 0)$; 2) $(-2; 1)$; 3) $(7; 3)$; 4) $(2{,}5; 0)$.

№ 1343

Үш еселенген бірінші сан мен екі еселенген екінші санның қосындысының мәні 62 саны, 5-ке көбейтілген бірінші сан мен 6-ға көбейтілген екінші санның айырымының мәні $-18$ саны болатын екі санды табыңдар.

Шешуі. $3x + 2y = 62$, $5x - 6y = -18$. Біріншіні 3-ке көбейтеміз: $9x + 6y = 186$. Екіншімен қосамыз: $14x = 168$, $x = 12$. $2y = 62 - 36 = 26$, $y = 13$.

Жауабы: 12 және 13.

№ 1344

1) Егер екі автокөліктің жақындау жылдамдығы 173 км/сағ, алыстау жылдамдығы 17 км/сағ болса, онда олардың меншікті жылдамдықтарын табыңдар. 2) Егер кеменің өзен ағысымен жылдамдығы 47 км/сағ, өзен ағысына қарсы жылдамдығы 39 км/сағ болса, кеменің меншікті жылдамдығы мен өзен ағысының жылдамдығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бір-біріне қарсы жүрсе — жылдамдықтар қосылады, бір бағытта жүріп алыстаса — азаяды.

Шешуі.

1. $x + y = 173$, $x - y = 17$. $x = 95$, $y = 78$.
2. $v + c = 47$, $v - c = 39$. $2c = 8$, $c = 4$; $v = 43$.

Жауабы: 1) 95 км/сағ және 78 км/сағ; 2) ағыс 4 км/сағ, кеме 43 км/сағ.

№ 1345

1) $-2x + 5y - 7 = 0$, $px + 3y - 1 = 0$; 2) $8x - 9y + 4 = 0$, $4x - py + 2 = 0$ теңдеулер жүйесін $x$ және $y$ арқылы (мұндағы $p$ — қандай да бір сан) шешіңдер.

Қалай ойлаймыз. Қиындығы жоғары есеп. Әдеттегідей шығарамыз, тек $p$ — сан-«әріп». $p$-мен өрнекке бөлуге тек ол нөлге тең болмағанда болады. Бұл жағдайды бөлек қарастырамыз.

Шешуі.

1. Біріншіні 3-ке, екіншіні 5-ке көбейтеміз: $-6x + 15y = 21$, $5px + 15y = 5$. Азайтамыз: $-(6 + 5p)x = 16$.
   • Егер $p \ne -1{,}2$ болса: $x = -\frac{16}{5p + 6}$, $y = \frac{7 + 2x}{5} = \frac{7p + 2}{5p + 6}$.
   • Егер $p = -1{,}2$ болса: $0 \cdot x = 16$ шығады — шешімі жоқ. $p = 0$ болғанда тексеру: $x = -\frac{8}{3}$, $y = \frac{1}{3}$; $\frac{16}{3} + \frac{5}{3} = 7$ ✓, $3 \cdot \frac{1}{3} = 1$ ✓.
2. Екіншіні 2-ге көбейтеміз: $8x - 2py + 4 = 0$. Біріншіден азайтамыз: $(2p - 9)y = 0$.
   • Егер $p \ne 4{,}5$ болса: $y = 0$, сонда $8x + 4 = 0$, $x = -0{,}5$.
   • Егер $p = 4{,}5$ болса: теңдеулер бірдей, шешімі шексіз көп: $y$ — кез келген, $x = \frac{9y - 4}{8}$.

Жауабы: 1) $p \ne -1{,}2$ болғанда: $\left(-\frac{16}{5p + 6}; \frac{7p + 2}{5p + 6}\right)$, $p = -1{,}2$ болғанда шешімі жоқ; 2) $p \ne 4{,}5$ болғанда: $(-0{,}5; 0)$, $p = 4{,}5$ болғанда шешімі шексіз көп.

6. Теңсіздіктер және олардың жүйелері

№ 1346

1) $17{,}2x + 0{,}91 \le 16x + 18{,}71$; 2) $26x - 4{,}5 > 27x + 2{,}8$; 3) $50x - \frac{4}{9} \ge \frac{2}{3} + 51x$; 4) $7{,}4x + 5 < 7{,}3x + \frac{5}{6}$ теңсіздігі дұрыс болатындай ең үлкен бүтін санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Теңсіздікті шешіп, жауапқа қарайық: оған кіретін ең үлкен бүтін сан. Есіңде болсын: теріс санға бөлгенде таңбаны ауыстырамыз.

Шешуі.

1. $1{,}2x \le 17{,}8$, $x \le 14\frac{5}{6}$. Ең үлкен бүтін сан 14.
2. $-x > 7{,}3$, $x < -7{,}3$. Ең үлкен бүтін сан $-8$.
3. $-x \ge \frac{10}{9}$, $x \le -1\frac{1}{9}$. Ең үлкен бүтін сан $-2$.
4. $0{,}1x < -4\frac{1}{6}$, $x < -41\frac{2}{3}$. Ең үлкен бүтін сан $-42$.

Жауабы: 1) 14; 2) $-8$; 3) $-2$; 4) $-42$.

⚠️ Жиі кететін қате. 2)-тармақта жауапты $-7$ деп жазады. Бірақ $-7 > -7{,}3$, ол аралыққа кірмейді. Санау түзуінде « $-7{,}3$-тен кіші» — сол жақта, ал онда бірінші бүтін сан — $-8$.

№ 1347

1) $2{,}43x - 21{,}11 \ge -1{,}57x + 2{,}89$; 2) $x - 1 > \frac{6}{7}x + \frac{4}{7}$; 3) $-19{,}83 + 5x \le 8x + 1{,}17$; 4) $-1{,}74x + 2 \le 3{,}26x - \frac{8}{11}$ теңсіздігі дұрыс болатындай ең кіші бүтін санды табыңдар.

Шешуі.

1. $4x \ge 24$, $x \ge 6$. Ең кіші бүтін сан 6.
2. $\frac{1}{7}x > \frac{11}{7}$, $x > 11$. Ең кіші бүтін сан 12.
3. $-3x \le 21$, $x \ge -7$. Ең кіші бүтін сан $-7$.
4. $-5x \le -2\frac{8}{11}$, $x \ge \frac{6}{11}$. Ең кіші бүтін сан 1.

Жауабы: 1) 6; 2) 12; 3) $-7$; 4) 1.

№ 1348

1) $-0{,}12x - 4{,}8 \ge 0{,}38x + 6{,}7$; 2) $23x - 100 < 16x + 71{,}1$ теңсіздігі дұрыс болатындай ең үлкен бүтін санды табыңдар.

Шешуі.

1. $-0{,}5x \ge 11{,}5$, $x \le -23$. Ең үлкен бүтін сан $-23$.
2. $7x < 171{,}1$, $x < 24\frac{31}{70}$ (шамамен 24,44). Ең үлкен бүтін сан 24.

Жауабы: 1) $-23$; 2) 24.

№ 1349

1) $3\frac{4}{5}x - \frac{13}{21} \le 8x + \frac{1}{3} + 3\frac{101}{105}$; 2) $7\frac{3}{8}x - 7{,}9 > 5{,}6 + 6\frac{5}{8}x$; 3) $0{,}05x + 12 \ge 32 - 2{,}95x$; 4) $10 - 0{,}07x < 0{,}6 + 0{,}43x$ теңсіздігі дұрыс болатындай ең кіші бүтін санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. 3)-тармақта теңсіздік белгісі оқулықта анық басылмаған; мағынасы мен жауабы бойынша ол «артық» (

Шешуі.

1. Сандарды оңға: $\frac{1}{3} + \frac{13}{21} + 3\frac{101}{105} = \frac{35 + 65 + 416}{105} = \frac{516}{105} = \frac{172}{35}$. $x$-терді солға: $3{,}8x - 8x = -4{,}2x$. Шығады: $-4{,}2x \le \frac{172}{35}$, $x \ge -\frac{172}{147} \approx -1{,}17$. Ең кіші бүтін сан $-1$.
2. $\frac{3}{4}x > 13{,}5$, $x > 18$. Ең кіші бүтін сан 19.
3. $3x \ge 20$, $x \ge 6\frac{2}{3}$. Ең кіші бүтін сан 7.
4. $-0{,}5x < -9{,}4$, $x > 18{,}8$. Ең кіші бүтін сан 19.

Жауабы: 1) $-1$; 2) 19; 3) 7; 4) 19.

📕 Оқулықтың жауаптарында 1) −4; 2) 21 тұр, бірақ дұрысы 1) −1; 2) 19: басылған шартқа қойып тексердік.

№ 1350

1) $a \le 3$ см; 2) $a \ge 4$ см; 3) 5 см $\le a \le$ 6 см болса, онда қабырғасы $a$-ға тең текшенің көлемі туралы не айтуға болады?

Қалай ойлаймыз. $V = a^3$. Оң сандар үшін: қыры неғұрлым үлкен болса, текше соғұрлым үлкен. Демек, теңсіздікті «текшеге шығаруға» болады.

Шешуі. 1) $V \le 27$ см³; 2) $V \ge 64$ см³; 3) $125 \le V \le 216$ см³.

Жауабы: 1) $V \le 27$ см³; 2) $V \ge 64$ см³; 3) 125-тен 216-ға дейін см³.

№ 1351

1) $a \ge 2$ см; $b \ge 3$ см; $c \ge 4$ см; 2) $a \le \frac{3}{4}$ см; $b \le 1\frac{1}{3}$ см; $c \le 0{,}15$ см; 3) $0{,}2$ см $\le a \le 1{,}2$ см; $0{,}5$ см $\le b \le 1{,}5$ см; $0{,}3$ см $\le c \le 1{,}3$ см болса, онда $a$ см, $b$ см және $c$ см болатын тікбұрышты параллелепипедтің көлемі туралы не айтуға болады?

Қалай ойлаймыз. Мағынасы бірдей, бөліктері оң теңсіздіктерді көбейтуге болады.

Шешуі.

1. $V = abc \ge 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ см³.
2. $V \le \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} \cdot 0{,}15 = 0{,}15$ см³.
3. $0{,}2 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}3 = 0{,}03$ және $1{,}2 \cdot 1{,}5 \cdot 1{,}3 = 2{,}34$. Демек, $0{,}03 \le V \le 2{,}34$ см³.

Жауабы: 1) $V \ge 24$ см³; 2) $V \le 0{,}15$ см³; 3) $0{,}03 \le V \le 2{,}34$ см³.

№ 1352

Астана — Қазақстанның бас қаласы. Бұрын Астана қаласы Ақмола және Целиноград деп аталған. Теңсіздіктерді шешіп, Астана қаласының қай жылдары қалай аталғанын біліңдер: 1) $0{,}01x - 19{,}61 \le 0$, $x$ — осы жылға дейін Ақмола; 2) $1930 \le y - 31 \le 1961$, $y$ — осы жылдары Целиноград; 3) $19{,}95 \le 0{,}01z + 0{,}03 \le 20$, $z$ — осы жылдары Ақмола деп аталған.

Шешуі.

1. $0{,}01x \le 19{,}61$, $x \le 1961$.
2. Барлық бөлікке 31-ді қосамыз: $1961 \le y \le 1992$.
3. $0{,}03$-ті азайтамыз: $19{,}92 \le 0{,}01z \le 19{,}97$. 100-ге көбейтеміз: $1992 \le z \le 1997$.

Жауабы: 1) Ақмола — 1961 жылға дейін; 2) Целиноград — 1961–1992 жж.; 3) Ақмола — 1992–1997 жж.

🌟 1997 жылы астана Алматыдан Ақмолаға көшірілді, ал 1998 жылы қала Астана атауын алды — қазақша «бас қала» деген сөз.

№ 1353

Теңсіздіктер жүйесін шешіңдер: 1) $3x - 8 \ge x - 1$, $x + 9 \le 2x$; 2) $78x + 3 > 79x + 9{,}5$, $3{,}1x - 0{,}2 \le 2{,}5x - 0{,}8$; 3) $\frac{1}{3}x - 7 \le \frac{1}{2}x + 5$, $\frac{4}{9}x + 1 \ge \frac{1}{9}x - 3$; 4) $\frac{5}{6} + x > \frac{1}{6} - 2x$, $\frac{3}{7} + 3x < -\frac{3}{7} - x$.

Қалай ойлаймыз. Әр теңсіздікті бөлек шешеміз, екеуін де түзуде сызып, ортақ бөлігін аламыз.

Шешуі.

1. $2x \ge 7$, $x \ge 3{,}5$; $9 \le x$. Ортақ бөлігі: $x \ge 9$.
2. $-x > 6{,}5$, $x < -6{,}5$; $0{,}6x \le -0{,}6$, $x \le -1$. Ортақ бөлігі: $x < -6{,}5$.
3. $-\frac{1}{6}x \le 12$, $x \ge -72$; $\frac{3}{9}x \ge -4$, $x \ge -12$. Ортақ бөлігі: $x \ge -12$.
4. $3x > -\frac{4}{6}$, $x > -\frac{2}{9}$; $4x < -\frac{6}{7}$, $x < -\frac{3}{14}$. Салыстырамыз: $-\frac{2}{9} = -\frac{28}{126}$, $-\frac{3}{14} = -\frac{27}{126}$, біріншісі кіші. Ортақ бөлігі: $-\frac{2}{9} < x < -\frac{3}{14}$.

Жауабы: 1) $[9; +\infty)$; 2) $(-\infty; -6{,}5)$; 3) $[-12; +\infty)$; 4) $\left(-\frac{2}{9}; -\frac{3}{14}\right)$.

№ 1354

Теңсіздіктер жүйесін шешіңдер: 1) $20x - 7 \le 22x - 9$, $8{,}2x + 1 \le 7{,}9x + 3{,}1$; 2) $13 - 3{,}1x \ge 10 - 3{,}6x$, $16x + 7{,}8 \ge 0{,}8 + 23x$; 3) $\frac{2}{3}(x - 27) + \frac{1}{3}x < 4x - 1$, $\frac{5}{11}(22 + x) - 5 > -\frac{7}{11}x + 3$; 4) $2(x + 4) - 5(x - 7) \ge 4(x + 3) - 12$, $-3(x - 1) + 7(1 + x) \le 8(2 - x) + 11$; 5) $\frac{2}{9}(9 - 2x) \le \frac{5}{9}(x + 18) - 6$, $\frac{4}{15}(30 + x) - 2 > \frac{11}{15}(15 - x) + 3$; 6) $\frac{5}{24}x - 3(x + 1) \ge 10 - \frac{19}{24}x$, $\frac{6}{7}x + 13 < \frac{1}{7}(14 - x) - 2$.

Шешуі.

1. $-2x \le -2$, $x \ge 1$; $0{,}3x \le 2{,}1$, $x \le 7$. Жауабы $[1; 7]$.
2. $0{,}5x \ge -3$, $x \ge -6$; $7 \ge 7x$, $x \le 1$. Жауабы $[-6; 1]$.
3. $x - 18 < 4x - 1$, $-3x < 17$, $x > -5\frac{2}{3}$; $10 + \frac{5}{11}x - 5 > -\frac{7}{11}x + 3$, $\frac{12}{11}x > -2$, $x > -1\frac{5}{6}$. Жауабы $(-1\frac{5}{6}; +\infty)$.
4. $-3x + 43 \ge 4x$, $x \le 6\frac{1}{7}$; $4x + 10 \le 27 - 8x$, $12x \le 17$, $x \le 1\frac{5}{12}$. Жауабы $(-\infty; 1\frac{5}{12}]$.
5. $2 - \frac{4}{9}x \le \frac{5}{9}x + 4$, $-x \le 2$, $x \ge -2$; $8 + \frac{4}{15}x - 2 > 11 - \frac{11}{15}x + 3$, $x > 8$. Жауабы $(8; +\infty)$.
6. $\frac{5}{24}x + \frac{19}{24}x - 3x \ge 13$, $-2x \ge 13$, $x \le -6{,}5$; $\frac{6}{7}x + 13 < 2 - \frac{1}{7}x - 2$, $x < -13$. Жауабы $(-\infty; -13)$.

Жауабы: 1) $[1; 7]$; 2) $[-6; 1]$; 3) $(-1\frac{5}{6}; +\infty)$; 4) $(-\infty; 1\frac{5}{12}]$; 5) $(8; +\infty)$; 6) $(-\infty; -13)$.

📕 Оқулықтың жауаптарында 2) үшін $[-6; -1]$ тұр, бірақ дұрысы $[-6; 1]$: екінші теңсіздік $16x + 7{,}8 \ge 0{,}8 + 23x$ береді $7 \ge 7x$, яғни $x \le 1$.

№ 1355

Теңсіздіктер жүйесінің шешімдері болатын барлық бүтін сандарды табыңдар: 1) $1{,}3x + 2 > 10 - 2{,}7x$, $16x - 29 > 17x - 34$; 2) $78x + 3 \le 79x + 9$, $3{,}1x - 0{,}2 \le 2{,}5x - 0{,}8$.

Шешуі.

1. $4x > 8$, $x > 2$; $-x > -5$, $x < 5$. Бүтін сандар: 3, 4.
2. $-x \le 6$, $x \ge -6$; $0{,}6x \le -0{,}6$, $x \le -1$. Бүтін сандар: $-6$, $-5$, $-4$, $-3$, $-2$, $-1$.

Жауабы: 1) 3; 4; 2) $-6$; $-5$; $-4$; $-3$; $-2$; $-1$.

№ 1356

Теңсіздіктер жүйесінің шешімдері болатын барлық бүтін сандарды табыңдар: 1) $5(x - 3) + 23 > 3x$, $7(2 - x) + 6x > 12$; 2) $11(4 - x) < 46 - 9x$, $20{,}7x - 2 \le 19{,}7x$.

Шешуі.

1. $5x + 8 > 3x$, $2x > -8$, $x > -4$; $14 - x > 12$, $x < 2$. Бүтін сандар: $-3$, $-2$, $-1$, 0, 1.
2. $44 - 11x < 46 - 9x$, $-2x < 2$, $x > -1$; $x \le 2$. Бүтін сандар: 0, 1, 2.

Жауабы: 1) $-3$; $-2$; $-1$; 0; 1; 2) 0; 1; 2.

📕 Оқулықтың жауаптарында 1) үшін −5; −4; −3; −2; −1; 0; 1 тұр, бірақ дұрысы −3; −2; −1; 0; 1: $5(x - 3) + 23 > 3x$ теңсіздігінен $x > -4$ шығады.

№ 1357

1) $9 + x < 2x + 4$, $17 + 8x \le x + 59$; 2) $103 - 14x > 40 - 23x$, $509 - 51x \ge 259 - x$ теңсіздіктер жүйесі дұрыс болатын барлық бүтін сандар қосындысының мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. 1)-де екінші теңсіздік қатаң емес ($\le$), ал бірінші қатаң (

Шешуі.

1. $x > 5$; $7x \le 42$, $x \le 6$. Аралық $5 < x \le 6$: бір ғана бүтін сан — 6. Қосынды 6.
2. $9x > -63$, $x > -7$; $250 \ge 50x$, $x \le 5$. Аралық $-7 < x \le 5$: бүтін сандар $-6$-дан 5-ке дейін. $-5$-тен 5-ке дейінгі сандар бір-бірін жояды, тек $-6$ қалады. Қосынды $-6$.

Жауабы: 1) 6; 2) $-6$.

7. Статистика

№ 1358

1) 1990–1999 жылдар аралығына сәйкес республика бойынша көгөніс өнімділігін (ц/га) көрсететін 154; 121; 114; 106; 104; 101; 96; 101; 114; 134; 2) 1999–2008 жылдар аралығына сәйкес көгөніс өнімділігін көрсететін 134; 153; 166; 172; 177; 186; 196; 201; 211; 204 сандар қатарының арифметикалық ортасын, ауытқуын және модасын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Арифметикалық орта — қосындыны санға бөлу. Ауытқу — ең үлкені минус ең кішісі. Мода — басқаларынан жиі кездесетін мән (олар бірнешеу болуы немесе мүлде болмауы мүмкін).

Шешуі.

1. Қосындысы 1145, сан 10, арифметикалық орта $114{,}5$. Ауытқуы $154 - 96 = 58$. 101 де, 114 те екі реттен кездеседі — екі мода.
2. Қосындысы 1800, арифметикалық орта 180. Ауытқуы $211 - 134 = 77$. Барлық сан әртүрлі — мода жоқ.

Жауабы: 1) арифметикалық орта 114,5; ауытқу 58; мода 101 және 114; 2) арифметикалық орта 180; ауытқу 77; мода жоқ.

💡 Екі қатарды салыстыр: өнімділік 114,5-тен 180 ц/га-ға дейін өсті — орта есеппен бір жарым еседен астам.

№ 1359

Берілген сандар қатарының арифметикалық ортасын, ауытқуын, медианасын және модасын табыңдар: 1) 9,2; 4,9; 3,3; 3,2; 3,4; 2,9; 1,9; 2,8; 4,2; 4,9 сандар қатары 1992 жылдан 1999 жылға дейін бір гектардан алынған күнбағыстың өнімділігін (ц/га) береді; 2) 6,0; 5,9; 6,8; 5,9; 6,3; 5,9; 5,9; 4,1 сандар қатары 1999 жылдан 2008 жылға дейін күнбағыстың сәйкесінше бір гектардан алынған өнімділігін береді.

Қалай ойлаймыз. Медиана үшін сандарды алдымен ретімен тіземіз. Сан жұп болса — ортасындағы екі санның орта мәнін аламыз.

Шешуі.

1. Ретімен: 1,9; 2,8; 2,9; 3,2; 3,3; 3,4; 4,2; 4,9; 4,9; 9,2. Қосындысы 40,7, арифметикалық орта 4,07. Ауытқуы $9{,}2 - 1{,}9 = 7{,}3$. Медиана $(3{,}3 + 3{,}4) : 2 = 3{,}35$. Мода 4,9.
2. Ретімен: 4,1; 5,9; 5,9; 5,9; 5,9; 6,0; 6,3; 6,8. Қосындысы 46,8, арифметикалық орта 5,85. Ауытқуы $6{,}8 - 4{,}1 = 2{,}7$. Медиана 5,9. Мода 5,9.

Жауабы: 1) арифметикалық орта 4,07; ауытқу 7,3; медиана 3,35; мода 4,9; 2) арифметикалық орта 5,85; ауытқу 2,7; медиана 5,9; мода 5,9.

№ 1360

2003–2008 жылдар аралығында Қазақстанда өндірілген жүн (мың тоннамен алынған) сәйкесінше 26,8; 28,5; 30,4; 32,4; 34,2; 35,2-ні құрады. Жүн өндіру медианасын табыңдар.

Шешуі. Сандар өсу ретімен тұр. Сан 6, ортаңғылары — 30,4 және 32,4. Медиана $(30{,}4 + 32{,}4) : 2 = 31{,}4$.

Жауабы: 31,4 мың т.

Жадынама

• Ұзын мысалды қадамдап шеш: алдымен таңбасы, сосын сандардың модулі.
• Теңдеуде: жақшаны аш → $x$-терді солға, сандарды оңға → бөл.
• Теңдеудегі немесе жүйедегі бөлшектерді ортақ бөлімге көбейтіп жоямыз.
• « $x < -7{,}3$ болғандағы ең үлкен бүтін сан» — $-8$, ал $-7$ емес.
• Қызық жауап (теріс жыл, ұзындық) — шартты қайта оқуға себеп.

Шағын тест