§ 55. Мәтінді есептерді теңдеулер жүйесі арқылы шешу

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 10 тарау: Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер және олардың жүйелері. 163–167-беттер.

Нені үйренесің

• Есептен екі белгісіз шаманы көріп, оларды $x$ және $y$ әріптерімен белгілеуді.
• Есептің әр шартын жеке теңдеу етіп жазуды.
• Шыққан жүйені қосу немесе алмастыру тәсілімен шешуді.
• Жауапты тек теңдеулер бойынша емес, есептің шарты бойынша тексеруді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 1291–1293 тапсырмалары. Қолжазбада шығарып, сонан соң жауабын аш.

• Тіктөртбұрыштың ұзындығы 2,8 дм, ені одан 4 есе кем. Ауданы осы тіктөртбұрыштың ауданына тең шаршының қабырғасы қандай? Ені $2{,}8 : 4 = 0{,}7$ дм, ауданы $2{,}8 \cdot 0{,}7 = 1{,}96$ дм². Шаршының қабырғасы 1,4 дм, себебі $1{,}4 \cdot 1{,}4 = 1{,}96$.
• Бағасы 215 тг қызанақ ($x$ кг) және 190 тг қияр ($y$ кг). 2000 теңгеден қанша ақша қайтарылады? $C = 2000 - (215x + 190y)$. $x = 1{,}5$, $y = 0{,}5$ болғанда 1582,5 тг қайтарылады.
• $x + y = 7$, $-4x + y = 2$ жүйесінің қанша шешімі бар? Азайтамыз: $5x = 5$, $x = 1$, $y = 6$. Шешімі біреу.
• Ал $y + x = 5$, $y = -x + 5$ жүйесінің ше? Бұл — бір теңдеудің екі түрлі жазылуы. Шешімі шексіз көп.

💡 Соңғы сұрақ былай деп тұр: жауап жалғыз болуы үшін есептің екі шарты әртүрлі нәрсе айтуы керек.

Тақырыпты талдаймыз

Екі сан туралы жұмбақ

Екі санның қосындысы 95, айырымы 19. Бұл қандай сандар? Іріктеп таппақ болсаң — ұзақ. Бірақ сандарды әріппен белгілесең, есептің өзі жауап береді.

Бірінші сан $x$, екіншісі $y$ болсын. Қосындысы 95: $x + y = 95$. Айырымы 19: $x - y = 19$. Екі теңдеуден тұратын жүйе шықты. Қосамыз: $2x = 114$, $x = 57$. Сонда $y = 95 - 57 = 38$.

📌 Есепті жүйемен шығару жоспары. 1) Екі белгісізді $x$ және $y$ әріптерімен белгіле. 2) Әр шартты теңдеумен жаз. 3) Жүйені шеш. 4) Жауапты шарт бойынша тексеріп, сөзбен жаз.

Суреттен қарайық

Кішірек сандар алайық: қосындысы 12, айырымы 6. $x + y = 12$ теңдеуі — бір түзу, $x - y = 6$ — екінші түзу. Есептің жауабы — олар қиылысатын нүкте. Соны тап.

$(9; 3)$ нүктесі: $9 + 3 = 12$ және $9 - 3 = 6$. Сандар — 9 және 3.

Дүкендегі есеп

Үш қарындаш пен бес дәптердің бағасы 375 тг, осындай жеті қарындаш пен төрт дәптердің бағасы 530 тг. Бес қарындаш пен тоғыз дәптерге қанша төлеу керек?

Қарындаштың бағасы $x$ тг, дәптердің бағасы $y$ тг болсын. Сонда $3x + 5y = 375$ және $7x + 4y = 530$.

⚠️ Жиі кететін қате. $x$ пен $y$-ті тауып, соларды жауап етіп жазады. Ал сұралғаны мүлде басқа: бес қарындаш пен тоғыз дәптердің құны. Жауап берер алдында есептің сұрағын қайта оқы!

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Ең қиын қадам — жүйені шешу емес, шарттарды теңдеумен жазу. Баладан әр әріптің нені білдіретінін және әр теңдеудің қайдан шыққанын дауыстап айтып беруін сұраңыз.

Қайда керек болады

Жүйемен өзендегі қозғалыс (қайықтың жылдамдығы мен ағыс жылдамдығы), сатып алу (екі тауардың бағасы), «қаншаға артық және неше есе» сияқты есептерді ыңғайлы шығарады.

🌟 Өзен туралы есепте әрдайым екі формула жұмыс істейді: ағыс бойымен $v + c$, ағысқа қарсы $v - c$. Бұл — дайын жүйе!

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай жағдайда есепті екі теңдеуден тұратын жүйемен шығарған ыңғайлы? Есепте екі белгісіз шама болып, оларды байланыстыратын екі тәуелсіз шарт болғанда.
• 95 және 19 сандары туралы есепті бір айнымалысы бар бір теңдеумен шығаруға бола ма? Болады. Бір санды $x$ десек, екіншісі $x - 19$. $x + (x - 19) = 95$ теңдеуінен $2x = 114$, $x = 57$, екінші сан 38. Бірақ жүйемен оңайырақ: бір санды екіншісі арқылы бірден өрнектеудің қажеті жоқ.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1294

1) Қосындысының мәні 12, айырымының мәні 6-ға; 2) қосындысының мәні 55-ке, айырымының мәні 25-ке; 3) қосындысының мәні $-13$-ке, айырымының мәні 1-ге; 4) қосындысының мәні 3-ке, айырымының мәні $-13$-ке; 5) қосындысының мәні 10-ға, айырымының мәні 5,84-ке; 6) қосындысының мәні $\frac{5}{56}$-ке, айырымының мәні $\frac{1}{168}$-ге тең болатын екі санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $x + y = s$ және $x - y = d$ теңдеулерін қосқанда $2x = s + d$, азайтқанда $2y = s - d$ шығады. Демек, үлкен сан — жарты қосынды, кіші сан — жарты айырым.

Шешуі.

6)-тармақта $\frac{5}{56}$ бөлшегін 168 бөліміне келтір: $\frac{5}{56} = \frac{15}{168}$.

Жауабы: 1) 9 және 3; 2) 40 және 15; 3) $-6$ және $-7$; 4) $-5$ және 8; 5) 7,92 және 2,08; 6) $\frac{1}{21}$ және $\frac{1}{24}$.

№ 1295

1) Қосындысының мәні 5-ке, бөліндісінің мәні 4-ке; 2) айырымының мәні 2-ге, бөліндісінің мәні 1,2-ге тең екі санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. «Бөлінді 4-ке тең» дегені: бірінші сан екіншіден 4 есе артық, $x = 4y$.

Шешуі.

1. $x = 4y$, $x + y = 5$. Сонда $5y = 5$, $y = 1$, $x = 4$.
2. $x = 1{,}2y$, $x - y = 2$. Сонда $0{,}2y = 2$, $y = 10$, $x = 12$.

Жауабы: 1) 4 және 1; 2) 12 және 10.

№ 1296

1) Айырымының мәні 2 және бірі екіншісінен 7 есе артық; 2) қосындысының мәні $16\frac{2}{3}$ және бірі екіншісінен 9 есе артық екі санды табыңдар.

Шешуі.

1. $x = 7y$, $x - y = 2$. Демек, $6y = 2$, $y = \frac{1}{3}$, $x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.
2. $x = 9y$, $x + y = 16\frac{2}{3} = \frac{50}{3}$. Демек, $10y = \frac{50}{3}$, $y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$, $x = 15$.

Жауабы: 1) $2\frac{1}{3}$ және $\frac{1}{3}$; 2) 15 және $1\frac{2}{3}$.

№ 1297

Екі бірдей май қорабы мен бірдей үш печенье қорабы үшін 510 тг төленді. Тура осындай үш май қорабы мен бес қорап печенье үшін 790 тг төленді. Бір қорап май мен бір қорап печенье қанша тұрады?

Қалай ойлаймыз. Май қорабының бағасы $x$ тг, печенье қорабының бағасы $y$ тг болсын. $x$-тің коэффициенттерін теңестіреміз.

Шешуі.

1. $2x + 3y = 510$ теңдеуін 3-ке көбейтеміз: $6x + 9y = 1530$.
2. $3x + 5y = 790$ теңдеуін 2-ге көбейтеміз: $6x + 10y = 1580$.
3. Азайтамыз: $y = 50$.
4. $2x + 150 = 510$, $2x = 360$, $x = 180$.

Тексеру: $3 \cdot 180 + 5 \cdot 50 = 540 + 250 = 790$ ✓.

Жауабы: бір қорап май 180 тг, бір қорап печенье 50 тг (екеуі бірге 230 тг).

№ 1298

Аралығы 78 км $A$ мен $B$ пунктінен бір-біріне қарама-қарсы мотоциклші мен велосипедші шықса, олар 1,5 сағ өткеннен кейін кездеседі. Егер велосипедшінің жылдамдығы мотоциклші жылдамдығының 30%-ын құраса, онда велосипедшінің жылдамдығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Мотоциклшінің жылдамдығы $x$, велосипедшінікі $y$ болсын. Екеуі бірге 1,5 сағатта 78 км жүріп өтеді.

Шешуі.

1. $1{,}5(x + y) = 78$, яғни $x + y = 52$.
2. $y = 0{,}3x$.
3. Қоямыз: $x + 0{,}3x = 52$, $1{,}3x = 52$, $x = 40$.
4. $y = 0{,}3 \cdot 40 = 12$.

Жауабы: 12 км/сағ.

№ 1299

Қайықтың козғалыс жылдамдығы моторлы қайық жылдамдығынан 9 км/сағ кем және оның 40%-ын құрайды. Моторлы қайықтың жылдамдығын табыңдар.

Шешуі. Моторлы қайық сағатына $x$ км, жай қайық $y$ км жүрсін. Сонда $x - y = 9$ және $y = 0{,}4x$. Қоямыз: $x - 0{,}4x = 9$, $0{,}6x = 9$, $x = 15$. Жай қайықтың жылдамдығы: $0{,}4 \cdot 15 = 6$ км/сағ.

Жауабы: 15 км/сағ.

B деңгейі

№ 1300

1) Ең кіші үкінің биіктігі ең үлкен үкінің биіктігінен 57 см кем, ең кіші үкінің $\frac{1}{7}$ биіктігі мен ең үлкен үкінің 0,1 биіктігін қоса алғанда 9,1 см. Ең кіші және ең үлкен үкінің биіктігін табыңдар. 2) Ең кіші үкінің массасы жапалақ массасының 5%-ын құрайды, 100 кіші үкі мен 3 жапалақтың массасы 17 кг. Жапалақтың массасы мен ең кіші үкінің массасы қандай?

Қалай ойлаймыз. Екі тармақта да бір шарт «қаншаға» немесе «қандай бөлігі» туралы, ал екіншісі — қосынды туралы. Бір әріпті екіншісі арқылы өрнектеп, қою ыңғайлы.

Шешуі.

1. Қадамдары жоғарыда: $y = 71$, $x = 14$. Тексеру: $14 : 7 + 7{,}1 = 2 + 7{,}1 = 9{,}1$ ✓.
2. Жапалақтың массасы $y$ кг, кіші үкінікі $x$ кг болсын. $x = 0{,}05y$ және $100x + 3y = 17$. Сонда $5y + 3y = 17$, $8y = 17$, $y = 2{,}125$ кг. $x = 0{,}05 \cdot 2{,}125 = 0{,}10625$ кг — шамамен 106 г.

Жауабы: 1) ең үлкен үкі 71 см, ең кіші үкі 14 см; 2) жапалақ 2,125 кг, ең кіші үкі 0,10625 кг (шамамен 106 г).

🌟 Ең кіші үкі — кактустарда тіршілік ететін шағын үкі. Ол Америка шөлдерінде мекендейді және алақанға еркін сыяды.

№ 1301

1) Ең үлкен бұғының биіктігі ең кіші бұғының биіктігінен $6\frac{3}{19}$ есе артық. Ең үлкен бұғы биіктігінің $\frac{1}{117}$-і мен ең кіші бұғының $\frac{1}{19}$-інің қосындысының мәні 4 см. Ең кіші бұғының биіктігі қанша сантиметр және ең үлкен бұғының биіктігі қанша метр? 2) Ең кіші бұғының массасы ең үлкен бұғы массасының 1%-ын құрайды. Ең үлкен бұғы массасының $\frac{1}{8}$-і мен ең кіші бұғы массасының айырымы 92 кг. Аңдардың массаларын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $6\frac{3}{19} = \frac{117}{19}$. Демек, үлкен бұғы биіктігінің $\frac{1}{117}$-і — кіші бұғы биіктігінің дәл $\frac{1}{19}$-іне тең. Екі бірдей үлес бірге 4 береді.

Шешуі.

1. Кіші бұғы $x$, үлкен бұғы $y$ болсын. $y = \frac{117}{19}x$, сондықтан $\frac{y}{117} = \frac{x}{19}$. Екінші шарттан $\frac{x}{19} + \frac{x}{19} = 4$, $\frac{2x}{19} = 4$, $x = 38$. Сонда $y = \frac{117}{19} \cdot 38 = 234$. Кіші бұғы 38 см, үлкен бұғы $234$ см $= 2{,}34$ м. Бұл — шындыққа жақын: үлкен бұғы бойы екі метрден асады.
2. Үлкен бұғының массасы $y$ кг, кіші бұғыныкі $x$ кг болсын. $x = 0{,}01y$, $\frac{y}{8} - x = 92$. Сонда $0{,}125y - 0{,}01y = 92$, $0{,}115y = 92$, $y = 800$. $x = 8$.

Жауабы: 1) ең кіші бұғы 38 см, ең үлкен бұғы 2,34 м; 2) ең үлкен бұғы 800 кг, ең кіші бұғы 8 кг.

💡 Жауаптың ақылға сыйымдылығын әрдайым тексер: бұғы 38 м болып шықса, бірлікте қате кеткені айқын болар еді.

№ 1302

2008 жылы Атырау облысында картоп егілген жер ауданы Оңтүстік Қазақстан облысындағы картоп егілген жер ауданының $\frac{1}{17}$-ін құрайды. Егер олардың жалпы ауданы 10 800 га болса, онда әр облыстағы картоп егілген жер ауданын табыңдар.

Шешуі. Атырау $x$ га, Оңтүстік Қазақстан $y$ га болсын. $x = \frac{y}{17}$, $x + y = 10,800$. Сонда $\frac{y}{17} + y = \frac{18y}{17} = 10,800$, $y = 10,200$, $x = 600$.

Жауабы: Атырау облысында 600 га, Оңтүстік Қазақстан облысында 10 200 га.

№ 1303

2008 жылы Павлодар облысындағы орман алқабы ауданы Ақтөбе облысындағы орман алқабы ауданының 50%-ын құрайды және ол Павлодар облысындағы орман алқабы ауданының $\frac{3}{5}$-і және Ақтөбе облысындағы орман алқабы ауданының $\frac{1}{8}$-і болып табылады. Олардың жалпы ауданы 425 мың гектарға тең. Әрбір облыстағы орман алқабының ауданын табыңдар.

Шешуі. Ақтөбе $y$ мың га, Павлодар $x = 0{,}5y$ болсын. Шарт: $0{,}6x + 0{,}125y = 425$. Қоямыз: $0{,}3y + 0{,}125y = 0{,}425y = 425$, $y = 1000$, $x = 500$.

Жауабы: Павлодар облысында 500 мың га, Ақтөбе облысында 1000 мың га (1 млн га).

№ 1304

Егер 2007 жылға қарағанда 2006 жылы республикамызда 392 014 т кем қант, осы екі жылда барлығы 392 508 т қант өндірілсе, онда әр жылда қанша тонна қант өндірілген?

Шешуі. 2007 жылы $x$ т, 2006 жылы $y$ т болсын. $x - y = 392,014$, $x + y = 392,508$. Қосамыз: $2x = 784,522$, $x = 392,261$. $y = 392,508 - 392,261 = 247$.

Жауабы: 2006 жылы — 247 т, 2007 жылы — 392 261 т.

№ 1305

2008 жылы Қарағанды облысы мен Қостанай облысы әрбір гектардан 467 ц көгөніс жинаған. Қарағанды облысының 1 га-дан жинаған өнімі Қостанай облысының 4 гектардан жинаған өнімінен 548 ц кем. 2008 жылы әрбір облыс әр гектардан қанша центнер көгөніс жинаған?

Шешуі. Қарағанды $x$ ц/га, Қостанай $y$ ц/га болсын. $x + y = 467$ және $4y - x = 548$. Қосамыз: $5y = 1015$, $y = 203$. $x = 467 - 203 = 264$. Тексеру: $4 \cdot 203 - 264 = 812 - 264 = 548$ ✓.

Жауабы: Қарағанды облысында 264 ц, Қостанай облысында 203 ц.

C деңгейі

№ 1306

Елімізде $a$ жылы егіншаруашылығы мен малшаруашылығы өнімдері $b$ млрд тг өндірілген және егіншаруашылық өнімдері малшаруашылық өнімдеріне қарағанда $c$ млрд тг артық өндірілген. Егін және малшаруашылық өнімдері қанша млрд тг өндірілген? 1) $a = 2003$; $b = 615{,}4$; $c = 97$; 2) $a = 2004$; $b = 698{,}4$; $c = 83{,}6$ деп алып, есепті шығарыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бұл — «қосынды мен айырым» есебі: $x + y = b$, $x - y = c$. Демек, $x = \frac{b + c}{2}$, $y = \frac{b - c}{2}$. $a$ жылы есептеуге кірмейді.

Шешуі.

1. $x = (615{,}4 + 97) : 2 = 356{,}2$; $y = (615{,}4 - 97) : 2 = 259{,}2$.
2. $x = (698{,}4 + 83{,}6) : 2 = 391$; $y = (698{,}4 - 83{,}6) : 2 = 307{,}4$.

Жауабы: 1) егіншілік 356,2 млрд тг, малшаруашылық 259,2 млрд тг; 2) 391 және 307,4 млрд тг.

№ 1307

Елімізде $a$ жылы $b$ мың т картоп, көгөніс пен бидай $c$ мың т және бидай көгөніс пен картопқа қарағанда $d$ мың т артық жиналған. Қанша мың т бидай, картоп және көгөніс жиналған? 1) $a = 2003$; $b = 2354{,}4$; $c = 16715{,}7$; $d = 10530{,}8$; 2) $a = 2004$; $b = 2414{,}8$; $c = 14433{,}5$; $d = 8054{,}2$ деп алып, есептің шешімін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бидай $x$, көгөніс $y$ болсын. Сонда $x + y = c$ және $x - (b + y) = d$, яғни $x - y = b + d$. Тағы да қосынды мен айырым! Картоптың мөлшері — $b$ — шартта дайын берілген.

Шешуі.

1. $x - y = 2354{,}4 + 10,530{,}8 = 12,885{,}2$. $x = (16,715{,}7 + 12,885{,}2) : 2 = 14,800{,}45$; $y = (16,715{,}7 - 12,885{,}2) : 2 = 1915{,}25$.
2. $x - y = 2414{,}8 + 8054{,}2 = 10,469$. $x = (14,433{,}5 + 10,469) : 2 = 12,451{,}25$; $y = (14,433{,}5 - 10,469) : 2 = 1982{,}25$.

Жауабы: 1) бидай 14 800,45 мың т, картоп 2354,4 мың т, көгөніс 1915,25 мың т; 2) бидай 12 451,25 мың т, картоп 2414,8 мың т, көгөніс 1982,25 мың т.

№ 1308

Елімізде $a$ жылы картоп егістігінің ауданы көгөніс егістігінің ауданынан $b$ мың га артық, көгөніс пен дәнді дақылдар себілген аудан $c$ мың га болды. Егер дәнді дақылдар ауданы картоп егістігінің ауданынан $d$ мың га артық болса, онда көгөніс, картоп және дәнді дақылдар егістігінің ауданын табыңдар. 1) $a = 2003$; $b = 56{,}7$; $c = 13,982{,}8$; $d = 13,705{,}7$; 2) $a = 2004$; $b = 56{,}9$; $c = 14,389{,}3$; $d = 14,109{,}8$ деп алып, есептің шешімін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Белгісіз үшеу, бірақ бәрі біреуі арқылы өрнектеледі. Бастысы — кім кімнен артық екенін мұқият жазу.

Шешуі.

1. Көгөніс 110,2; картоп $110{,}2 + 56{,}7 = 166{,}9$; дәнді дақылдар $166{,}9 + 13,705{,}7 = 13,872{,}6$. Тексеру: $110{,}2 + 13,872{,}6 = 13,982{,}8$ ✓.
2. $y = (14,389{,}3 - 56{,}9 - 14,109{,}8) : 2 = 222{,}6 : 2 = 111{,}3$. Картоп $111{,}3 + 56{,}9 = 168{,}2$; дәнді дақылдар $168{,}2 + 14,109{,}8 = 14,278$. Тексеру: $111{,}3 + 14,278 = 14,389{,}3$ ✓.

Жауабы: 1) көгөніс 110,2, картоп 166,9, дәнді дақылдар 13 872,6 мың га; 2) көгөніс 111,3, картоп 168,2, дәнді дақылдар 14 278 мың га.

№ 1309

Үш қалам мен бес қарындаш 220 тг тұрады. Бір қалам бір қарындаштан 20 тг артық. Бір қалам және бір қарындаштың бағасын табыңдар.

Шешуі. Қаламның бағасы $x$ тг, қарындаштікі $y$ тг болсын. $3x + 5y = 220$, $x = y + 20$. Қоямыз: $3y + 60 + 5y = 220$, $8y = 160$, $y = 20$, $x = 40$.

Жауабы: қалам 40 тг, қарындаш 20 тг.

№ 1310

Қайықтың өзен ағысы бойымен жылдамдығы 7,6 км/сағ, өзен ағысына қарсы жылдамдығы 4,8 км/сағ. Өзен ағысының жылдамдығын табыңдар.

Шешуі. $v + c = 7{,}6$, $v - c = 4{,}8$. Азайтамыз: $2c = 2{,}8$, $c = 1{,}4$. Қайықтың меншікті жылдамдығы $v = 6{,}2$ км/сағ.

Жауабы: 1,4 км/сағ.

№ 1311

Өзен ағысы бойымен қандай да бір қашықтықты жүріп өту үшін қайыққа өзен ағысына қарсы жүрген жолға жіберген уақытынан үш есе кем уақыт қажет. Қайықтың меншікті жылдамдығы өзен ағысы жылдамдығынан қанша есе артық?

Қалай ойлаймыз. Жол бірдей. Уақыт 3 есе кем болса, жылдамдық 3 есе артық: $v + c = 3(v - c)$.

Шешуі. $v + c = 3v - 3c$, $4c = 2v$, $v = 2c$.

Жауабы: 2 есе.

№ 1312

Жүзгіш өзен ағысы бойымен 150 м жүзіп өтті. Ағысқа қарсы жүзген кезде өзен ағысы оны ағыс бойымен жүзген уақытқа тең уақытта 50 м төмен алып кетті. Өзен ағысының жылдамдығы жүзгіштің жылдамдығынан қанша есе артық?

Қалай ойлаймыз. Қиындығы жоғары есеп. Жүзгішті алып кетсе, ағыс одан күшті: ағысқа қарсы ол артқа $c - v$ жылдамдықпен жылжиды.

Шешуі.

1. Ағыс бойымен: $(v + c)t = 150$.
2. Ағысқа қарсы: $(c - v)t = 50$.
3. Бөлеміз: $\frac{v + c}{c - v} = 3$, демек, $v + c = 3c - 3v$, $4v = 2c$, $c = 2v$.

Жауабы: 2 есе.

Жадынама

• Екі белгісізді әріппен белгіле және олардың нені білдіретінін жаз.
• Әр шарт — жеке теңдеу.
• Жүйені қосу немесе алмастыру тәсілімен шеш.
• Жауапты есептің шарты бойынша тексеріп, нақты сұраққа жауап бер.
• Қызық жауап (теріс ұзындық, бойы 38 м бұғы) — шартты қайта оқуға себеп.

Шағын тест