5-сынып математика курсын қайталауға арналған жаттығулар

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 0 тарау: 5-сынып курсын қайталау. 4–17-беттер.

Нені қайталаймыз

6-сыныпқа дейін өзің білетін нәрсенің бәрін «қыздырып» алған пайдалы. Мұнда 89 тапсырма бар, оның көбі — жұмбақ: дұрыс жауап нақты бір жыл немесе Қазақстан туралы дерек болып шығады. Егер жауап біртүрлі шықса (мысалы, мұражай 3017 жылы ашылған), онда бір жерде қате бар.

1. Натурал сандармен амалдар және амалдар реті — № 1–3, 5, 13, 58.
2. Ондық бөлшектер: төрт амал, есептеудің ыңғайлы тәсілдері — № 4, 6, 7, 10, 14, 61–66.
3. Жай бөлшектер және аралас сандар — № 8, 9, 11, 12, 15–20, 59, 60, 67, 68, 77.
4. Сандарды дөңгелектеу — № 22–25.
5. Әріпті өрнектер және формулалар — № 26, 27, 43, 44, 47.
6. Периметр, аудан, көлем — № 28–33, 42, 45, 46, 48, 49, 54, 56, 83, 89.
7. Теңдеулер — № 35–37, 69–76, 79, 80.
8. Пайыздар және санның бөліктері — № 38–41, 52–57, 81, 82.
9. Дөңгелек диаграмма және координаталық сәуле — № 84–88.

Карточкаларды аудар — бұлар 5-сыныптың басты ережелері.

💡 Бәрін бір кешке шығарып тастама. Бір тақырыпты алып, 10–15 тапсырма орында — сосын демал.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Жұмбақ тапсырмаларда жауапты «мағынасы бойынша» тексеруге болады: жыл шындыққа жанасуы тиіс, медаль саны — бүтін сан болуы керек. Егер жауап «шындыққа ұқсамаса», баладан қате кеткен қадамды өзіне тапқызыңыз.

Бастамас бұрын жылынып ал:

Жаттығуларды шығарамыз

Натурал және ондық сандар

№ 1

Есептеңдер: 1) $619 \cdot 17 + 237$; 2) $738 \cdot 54 - 28,852$; 3) $31,852 - 543 \cdot 49$; 4) $24,948 : 28 + 119$; 5) $60,180 : 68 : 15$; 6) $69,768 : 57 : 18$.

Қалай ойлаймыз. Көбейту мен бөлу қосу мен азайтудан бұрын орындалады. Қатар тұрған екі бөлуді солдан оңға қарай орындаймыз.

Шешуі.

1. $619 \cdot 17 = 10,523$; $10,523 + 237 = 10,760$.
2. $738 \cdot 54 = 39,852$; $39,852 - 28,852 = 11,000$.
3. $543 \cdot 49 = 26,607$; $31,852 - 26,607 = 5245$.
4. $24,948 : 28 = 891$; $891 + 119 = 1010$.
5. $60,180 : 68 = 885$; $885 : 15 = 59$.
6. $69,768 : 57 = 1224$; $1224 : 18 = 68$.

Жауабы: 1) 10 760; 2) 11 000; 3) 5245; 4) 1010; 5) 59; 6) 68.

№ 2

Амалдарды орындаңдар: 1) $67,812 - (489 \cdot 105 + 7445)$; 2) $39,405 : 555 + 301 \cdot 203$; 3) $(94,554 : 927 + 884) - 109$; 4) $346,252 : 428 - 18,231 : 309$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жақшадағыны, ал жақша ішінде — көбейту мен бөлуді.

Шешуі.

1. $489 \cdot 105 = 51,345$; $51,345 + 7445 = 58,790$; $67,812 - 58,790 = 9022$.
2. $39,405 : 555 = 71$; $301 \cdot 203 = 61,103$; $71 + 61,103 = 61,174$.
3. $94,554 : 927 = 102$; $102 + 884 = 986$; $986 - 109 = 877$.
4. $346,252 : 428 = 809$; $18,231 : 309 = 59$; $809 - 59 = 750$.

Жауабы: 1) 9022; 2) 61 174; 3) 877; 4) 750.

№ 3

Суретте Орта Азиядағы ең ірі мұражай — Астана қаласында орналасқан Қазақстан Республикасының Ұлттық мұражайы берілген. 1) $(895 \cdot 409 - 188,823) : 88$ өрнегінің мәні Ұлттық мұражайдың ашылған жылын береді; 2) 74 санын 1000 есе арттырса, шаршы метрмен алынған мұражай кешенінің алып жатқан ауданы шығады; 3) $(706 \cdot 273 - 17,497) : 179 : 89$ өрнегінің мәні мұражайдың экспозициялық алаңы қанша залдан тұратынын көрсетеді; 4) мұражай залдарда заманауи көрмелік технологиялар, мысалы, арнайы ілген экран пайдаланылады. 320 000 санын 400 есе кеміткенде шыққан мән экран санын береді.

Қалай ойлаймыз. «1000 есе арттырса» — көбейтеміз, «400 есе кемітсе» — бөлеміз.

Шешуі.

1. $895 \cdot 409 = 366,055$; $366,055 - 188,823 = 177,232$; $177,232 : 88 = 2014$.
2. $74 \cdot 1000 = 74,000$ м².
3. $706 \cdot 273 = 192,738$; $192,738 - 17,497 = 175,241$; $175,241 : 179 = 979$; $979 : 89 = 11$.
4. $320,000 : 400 = 800$.

Жауабы: мұражай 2014 жылы ашылған; кешеннің ауданы 74 000 м²; 11 зал; 800 экран.

№ 4

Өрнектің мәнін есептеңдер: 1) $8{,}6 + 0{,}064 \cdot 125 : 20$ өрнегінің мәні — Қазақстан жер аумағының дүниежүзі бойынша алатын орнын; 2) $89{,}89 : 101 + 45{,}75 : 25$ өрнегінің мәні — еліміздің алып жатқан ауданын (млн км²); 3) $(500{,}5 : 500 + 78{,}999) : \frac{2}{3} \cdot 25$ өрнегінің мәні еліміздің батыстан шығысқа дейінгі ұзындығын (км) береді.

Шешуі.

1. $0{,}064 \cdot 125 = 8$; $8 : 20 = 0{,}4$; $8{,}6 + 0{,}4 = 9$.
2. $89{,}89 : 101 = 0{,}89$; $45{,}75 : 25 = 1{,}83$; $0{,}89 + 1{,}83 = 2{,}72$.
3. $500{,}5 : 500 = 1{,}001$; $1{,}001 + 78{,}999 = 80$; $80 : \frac{2}{3} = 80 \cdot \frac{3}{2} = 120$; $120 \cdot 25 = 3000$.

Жауабы: 9-орын; 2,72 млн км²; 3000 км.

🌟 Қазақстан — әлемдегі мұхитқа шыға алмайтын ең үлкен ел.

№ 5

Есепте рим цифрлары арқылы берілген сандарды араб цифрларымен жазыңдар: 1) «Астана Арена» стадионы MMIX жылдың III шілдесінде ашылды. 2) Дүниежүзінде алтыншы орында тұрған астаналық стадионның төбесі қозғалмалы және XX мин ішінде ашылып-жабылады. 3) Алаң өлшемі CV × LXVIII м. Алаң биіктігі XL мм болатын шөппен жабылған. 4) «Астана Арена» стадионының футбол алаңында MMXI жылдың XXX қаңтарында VII Қысқы Азия ойындарының салтанатты ашылуы өтті.

Қалай ойлаймыз. I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, M = 1000. Егер кіші цифр үлкеннің алдында тұрса, оны азайтады: IV = 4, XL = 40.

Шешуі.

1. III = 3, MMIX = 2000 + 9 = 2009 → 2009 жылдың 3 шілдесі.
2. XX = 20 → 20 минутта.
3. CV = 100 + 5 = 105; LXVIII = 50 + 10 + 5 + 3 = 68; XL = 50 − 10 = 40.
4. XXX = 30; MMXI = 2011; VII = 7.

Жауабы: 1) 2009 жылдың 3 шілдесінде; 2) 20 мин; 3) 105 м, 68 м, 40 мм; 4) 2011 жылдың 30 қаңтарында, VII = 7.

№ 6

Тиімді тәсілмен есептеңдер: 1) $35{,}49 \cdot 1{,}42 + 35{,}49 \cdot 8{,}58$; 2) $2{,}753 \cdot 65{,}1 - 65{,}1 \cdot 2{,}247$; 3) $0{,}995 \cdot 7{,}28 - 0{,}09 \cdot 7{,}28$; 4) $49{,}49 \cdot 5{,}24 + 5{,}24 \cdot 6{,}51$.

Қалай ойлаймыз. Әр жұпта ортақ көбейткіш бар. Оны жақша сыртына шығарамыз: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$.

Шешуі.

1. $35{,}49 \cdot (1{,}42 + 8{,}58) = 35{,}49 \cdot 10 = 354{,}9$.
2. $65{,}1 \cdot (2{,}753 - 2{,}247) = 65{,}1 \cdot 0{,}506 = 32{,}9406$.
3. $7{,}28 \cdot (0{,}995 - 0{,}09) = 7{,}28 \cdot 0{,}905 = 6{,}5884$.
4. $5{,}24 \cdot (49{,}49 + 6{,}51) = 5{,}24 \cdot 56 = 293{,}44$.

Жауабы: 1) 354,9; 2) 32,9406; 3) 6,5884; 4) 293,44.

№ 7

1) $a = 8{,}25$ және $b = 614{,}08$ болғанда $9{,}4a - b : 8{,}08$ өрнегінің; 2) $c = 0{,}36$ және $d = 9{,}48$ болғанда $6{,}05c + 23{,}7 : d$ өрнегінің; 3) $m = 67{,}2$ және $n = 32{,}785$ болғанда $285{,}6 : m - n : 7{,}9$ өрнегінің; 4) $k = 3{,}9$ және $t = 5{,}7$ болғанда $2{,}8k + 11{,}4t$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Шешуі.

1. $9{,}4 \cdot 8{,}25 = 77{,}55$; $614{,}08 : 8{,}08 = 76$; $77{,}55 - 76 = 1{,}55$.
2. $6{,}05 \cdot 0{,}36 = 2{,}178$; $23{,}7 : 9{,}48 = 2{,}5$; $2{,}178 + 2{,}5 = 4{,}678$.
3. $285{,}6 : 67{,}2 = 4{,}25$; $32{,}785 : 7{,}9 = 4{,}15$; $4{,}25 - 4{,}15 = 0{,}1$.
4. $2{,}8 \cdot 3{,}9 = 10{,}92$; $11{,}4 \cdot 5{,}7 = 64{,}98$; $10{,}92 + 64{,}98 = 75{,}9$.

Жауабы: 1) 1,55; 2) 4,678; 3) 0,1; 4) 75,9.

Жай бөлшектер

№ 8

Жай бөлшекті ондық бөлшекке айналдырыңдар: 1) $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{5}$; $\frac{1}{8}$; $\frac{1}{16}$; $\frac{1}{20}$; $\frac{1}{25}$; $\frac{1}{40}$; $\frac{1}{50}$; 2) $\frac{3}{8}$; $\frac{5}{8}$; $\frac{7}{8}$; 3) $\frac{2}{25}$; $\frac{3}{25}$; $\frac{4}{25}$; $\frac{8}{25}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімі 10, 100, 1000 немесе 10 000 болатындай көбейткіш таңдаймыз: $\frac{1}{8} = \frac{125}{1000}$. Немесе алымын бөлімге бөлеміз.

Шешуі.

Жауабы: кестеде.

💡 Үш «сегізден бірді» есіңде сақта: $\frac{1}{8} = 0{,}125$, $\frac{3}{8} = 0{,}375$, $\frac{5}{8} = 0{,}625$. Олар өте жиі кездеседі.

№ 9

Есептеңдер: 1) $\frac{3}{20} + \frac{2}{15}$; 2) $\frac{17}{32} - \frac{5}{12}$; 3) $\frac{11}{28} + \frac{9}{14}$; 4) $\frac{35}{36} - \frac{41}{45}$; 5) $3\frac{21}{25} + 1\frac{2}{5}$; 6) $4\frac{13}{16} - 2\frac{3}{8}$; 7) $5\frac{5}{6} - \frac{31}{48}$; 8) $6\frac{4}{7} - 2\frac{37}{77}$.

Қалай ойлаймыз. Ең кіші ортақ бөлімді (бөлімдердің ЕКОЕ-ін) іздейміз. Аралас сандарда бүтін және бөлшек бөліктерін бөлек есептейміз.

Шешуі.

1. $\frac{9}{60} + \frac{8}{60} = \frac{17}{60}$.
2. $\frac{51}{96} - \frac{40}{96} = \frac{11}{96}$.
3. $\frac{11}{28} + \frac{18}{28} = \frac{29}{28} = 1\frac{1}{28}$.
4. $\frac{175}{180} - \frac{164}{180} = \frac{11}{180}$.
5. $3\frac{21}{25} + 1\frac{10}{25} = 4\frac{31}{25} = 5\frac{6}{25}$.
6. $4\frac{13}{16} - 2\frac{6}{16} = 2\frac{7}{16}$.
7. $5\frac{40}{48} - \frac{31}{48} = 5\frac{9}{48} = 5\frac{3}{16}$.
8. $6\frac{44}{77} - 2\frac{37}{77} = 4\frac{7}{77} = 4\frac{1}{11}$.

Жауабы: 1) $\frac{17}{60}$; 2) $\frac{11}{96}$; 3) $1\frac{1}{28}$; 4) $\frac{11}{180}$; 5) $5\frac{6}{25}$; 6) $2\frac{7}{16}$; 7) $5\frac{3}{16}$; 8) $4\frac{1}{11}$.

№ 10

Берілген сандардың қосындысы мен айырымының мәнін табыңдар: 1) 48,93 және 41,83; 2) 568,19 және 2,81; 3) 100,99 және 99,01; 4) 40,007 және 39,07.

Қалай ойлаймыз. Үтірді үтірдің астына жазамыз. Жетпейтін разрядтарды нөлмен толықтырамыз: 39,07 = 39,070.

Шешуі.

1. $48{,}93 + 41{,}83 = 90{,}76$; $48{,}93 - 41{,}83 = 7{,}1$.
2. $568{,}19 + 2{,}81 = 571$; $568{,}19 - 2{,}81 = 565{,}38$.
3. $100{,}99 + 99{,}01 = 200$; $100{,}99 - 99{,}01 = 1{,}98$.
4. $40{,}007 + 39{,}070 = 79{,}077$; $40{,}007 - 39{,}070 = 0{,}937$.

Жауабы: 1) 90,76 және 7,1; 2) 571 және 565,38; 3) 200 және 1,98; 4) 79,077 және 0,937.

№ 11

Берілген сандардың қосындысы мен айырымының мәнін табыңдар: 1) $7\frac{11}{12}$ және $4\frac{9}{16}$; 2) $25\frac{13}{42}$ және $19\frac{9}{14}$; 3) $5\frac{7}{30}$ және $3\frac{11}{18}$; 4) $49\frac{3}{20}$ және $38\frac{1}{12}$.

Қалай ойлаймыз. Егер азайғаштың бөлшек бөлігі кіші болса, азайтқанда бір бүтінді «қарызға аламыз»: $25\frac{13}{42} = 24\frac{55}{42}$.

Шешуі.

1. Бөлімі 48: $7\frac{44}{48} + 4\frac{27}{48} = 11\frac{71}{48} = 12\frac{23}{48}$; $7\frac{44}{48} - 4\frac{27}{48} = 3\frac{17}{48}$.
2. Бөлімі 42: $25\frac{13}{42} + 19\frac{27}{42} = 44\frac{40}{42} = 44\frac{20}{21}$; $24\frac{55}{42} - 19\frac{27}{42} = 5\frac{28}{42} = 5\frac{2}{3}$.
3. Бөлімі 90: $5\frac{21}{90} + 3\frac{55}{90} = 8\frac{76}{90} = 8\frac{38}{45}$; $4\frac{111}{90} - 3\frac{55}{90} = 1\frac{56}{90} = 1\frac{28}{45}$.
4. Бөлімі 60: $49\frac{9}{60} + 38\frac{5}{60} = 87\frac{14}{60} = 87\frac{7}{30}$; $49\frac{9}{60} - 38\frac{5}{60} = 11\frac{4}{60} = 11\frac{1}{15}$.

Жауабы: 1) $12\frac{23}{48}$ және $3\frac{17}{48}$; 2) $44\frac{20}{21}$ және $5\frac{2}{3}$; 3) $8\frac{38}{45}$ және $1\frac{28}{45}$; 4) $87\frac{7}{30}$ және $11\frac{1}{15}$.

№ 12

Ұлы Жібек жолындағы ең ежелгі қалалардың бірі Түркістан қаласында Қожа Ахмет Ясауи кесенесі орналасқан. Төмендегі өрнектердің мәндері кесене туралы мағлұматтар береді. 1) $39 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2$ өрнегінің мәні — метрмен алынған басты күмбездің сыртқы диаметрін; 2) $3^2 + (0{,}6)^2 + (0{,}8)^2 + 8$ өрнегінің мәні — метрмен алынған кірпіштен салынған күмбездің ішкі диаметрін; 3) $29{,}4375 + \left(\frac{3}{4}\right)^2$ өрнегінің мәні — кесенедегі бөлмелердің санын; 4) $23\frac{5}{9} + \left(3\frac{2}{3}\right)^2$ өрнегінің мәні — ортанғы залдың метрмен алынған биіктігін; 5) $7^2 + (0{,}3)^2 + (0{,}4)^2 + 10\frac{3}{4}$ өрнегінің мәні — ортанғы залдағы қоладан жасалған тайқазанға неше шелек су сыятынын; 6) нөл мен ең кіші жай санның қосындысының мәні қазанның тоннамен алынған массасын береді.

Қалай ойлаймыз. Алдымен квадраттаймыз, содан кейін қосамыз. Назар аудар: $\frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1$ және $0{,}36 + 0{,}64 = 1$ — әдемі жұптар.

Шешуі.

1. $39 + \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 39 + 1 = 40$.
2. $9 + 0{,}36 + 0{,}64 + 8 = 18$.
3. $29{,}4375 + 0{,}5625 = 30$.
4. $\left(\frac{11}{3}\right)^2 = \frac{121}{9} = 13\frac{4}{9}$; $23\frac{5}{9} + 13\frac{4}{9} = 37$.
5. $49 + 0{,}09 + 0{,}16 + 10{,}75 = 60$.
6. Ең кіші жай сан — 2; $0 + 2 = 2$.

Жауабы: 1) 40 м; 2) 18 м; 3) 30 бөлме және зал; 4) 37 м; 5) 60 шелек; 6) 2 т.

🌟 Бұл қазанды Тайқазан деп атайды. Оны жеті металдың қорытпасынан құйған, ал кесене ЮНЕСКО-ның Бүкіләлемдік мұралар тізіміне енген.

№ 13

Тапсырмаларды орындау барысында Дүниежүзілік ЭКСПО тарихы туралы білесіңдер. 1) $450,000 : 90 - 3149$ өрнегінің мәні І Дүниежүзілік көрменің ашылған жылын береді; 2) $(89 \cdot 101 + 1011) : 20 + 1355$ өрнегінің мәні көрмені ұйымдастырудың жаңа түрі — көрме алаңдарының енгізілген жылын береді; 3) $5 : 0{,}001 - 555 \cdot 9$ өрнегінің мәні Дүниежүзілік көрменің қанша жылда бір рет өткізіліп отыратынын көрсетеді. Дүниежүзілік көрмелердің арасында арнайы көрмелер өткізіліп отырады. Сондай арнайы көрмелердің бірі — «ЭКСПО-2017».

Шешуі.

1. $450,000 : 90 = 5000$; $5000 - 3149 = 1851$.
2. $89 \cdot 101 = 8989$; $8989 + 1011 = 10,000$; $10,000 : 20 = 500$; $500 + 1355 = 1855$.
3. $5 : 0{,}001 = 5000$; $555 \cdot 9 = 4995$; $5000 - 4995 = 5$.

Жауабы: 1) 1851 ж.; 2) 1855 ж.; 3) 5 жылда бір рет.

№ 14

Өрнектердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $8{,}39 + 17{,}51$ және $30 - 4{,}1$; 2) $81{,}27 - 35{,}2$ және $24{,}9 + 21{,}18$; 3) $100 - 81{,}25$ және $13{,}34 + 6{,}4$; 4) $202{,}09 - 183{,}82$ және $300{,}233 - 281{,}963$.

Шешуі.

1. $25{,}9$ және $25{,}9$ → тең.
2. $46{,}07$ және $46{,}08$ → $46{,}07 < 46{,}08$.
3. $18{,}75$ және $19{,}74$ → $18{,}75 < 19{,}74$.
4. $18{,}27$ және $18{,}27$ → тең.

Жауабы: 1) =; 2) <; 3) <; 4) =.

№ 15

Өрнектердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $8\frac{3}{16} + 1{,}3125$ және $10\frac{7}{20} - 0{,}95$; 2) $20{,}9 - 13\frac{7}{10}$ және $6\frac{8}{25} + 1{,}28$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшектерді ондыққа айналдырайық: $\frac{3}{16} = 0{,}1875$, $\frac{7}{20} = 0{,}35$, $\frac{8}{25} = 0{,}32$.

Шешуі.

1. $8{,}1875 + 1{,}3125 = 9{,}5$; $10{,}35 - 0{,}95 = 9{,}4$; $9{,}5 > 9{,}4$.
2. $20{,}9 - 13{,}7 = 7{,}2$; $6{,}32 + 1{,}28 = 7{,}6$; $7{,}2 < 7{,}6$.

Жауабы: 1) >; 2) <.

№ 16

Есептеңдер: 1) $\frac{25}{49} \cdot \frac{21}{50}$; 2) $\frac{45}{64} : \frac{81}{96}$; 3) $\frac{121}{140} \cdot \frac{350}{363}$; 4) $\frac{39}{203} : \frac{78}{145}$; 5) $22\frac{6}{7} \cdot 2\frac{11}{40}$; 6) $42\frac{2}{3} : 4\frac{20}{27}$.

Қалай ойлаймыз. Көбейтпес бұрын қысқарт — сандар кішкентай болады. Аралас сандарды алдымен бұрыс бөлшекке айналдыр.

Шешуі.

1. $\frac{25 \cdot 21}{49 \cdot 50} = \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 2} = \frac{3}{14}$.
2. $\frac{45}{64} \cdot \frac{96}{81} = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 9} = \frac{5}{6}$.
3. $\frac{121 \cdot 350}{140 \cdot 363} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{6}$.
4. $\frac{39}{203} \cdot \frac{145}{78} = \frac{1 \cdot 5}{7 \cdot 2} = \frac{5}{14}$ (мұнда $203 = 7 \cdot 29$, $145 = 5 \cdot 29$).
5. $\frac{160}{7} \cdot \frac{91}{40} = 4 \cdot 13 = 52$.
6. $\frac{128}{3} : \frac{128}{27} = \frac{128}{3} \cdot \frac{27}{128} = 9$.

Жауабы: 1) $\frac{3}{14}$; 2) $\frac{5}{6}$; 3) $\frac{5}{6}$; 4) $\frac{5}{14}$; 5) 52; 6) 9.

№ 17

Суретте Алматы қаласында орналасқан 28-панфиловшылар атындағы саябақ көрсетілген. Төмендегі тапсырмаларды орындап, осы саябақ туралы мағлұматтар аласыңдар. 1) 2 мен 9 сандарына еселік және 30 санынан кіші сан саябақтың гектармен алып жатқан ауданын береді. 2) $19\frac{3}{4} \cdot 10^2$ өрнегінің мәні Даңқ мемориалының ашылған және Мәңгі алаудың жағылған жылын береді. 3) Бұл мемориал Жеңіс күнінің қанша жылдығы қарсаңында ашылған?

Қалай ойлаймыз. Бір мезгілде 2-ге де, 9-ға да еселік сан 18-ге бөлінеді. 30-дан кіші мұндай сан тек 18.

Шешуі.

1. 18-ге еселіктер: 18, 36, … 30-дан кіші — тек 18.
2. $19\frac{3}{4} \cdot 100 = 19{,}75 \cdot 100 = 1975$.
3. $1975 - 1945 = 30$ — Жеңістің 30 жылдығы қарсаңында.

Жауабы: 1) 18 га; 2) 1975 ж.; 3) Жеңіс күнінің 30 жылдығына.

№ 18

Өрнектердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $\frac{2}{43} \cdot 10\frac{3}{4}$ және $5\frac{1}{7} : 2\frac{4}{7}$; 2) $9\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{19}$ және $3\frac{1}{6} : 6\frac{1}{3}$; 3) $5\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{34}$ және $11\frac{1}{2} : 8\frac{5}{8}$; 4) $\frac{8}{15} \cdot \frac{20}{24}$ және $1\frac{8}{27} : 1\frac{2}{3}$.

Шешуі.

1. $\frac{2}{43} \cdot \frac{43}{4} = \frac{1}{2}$; $\frac{36}{7} : \frac{18}{7} = 2$; $\frac{1}{2} < 2$.
2. $\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{19} = \frac{1}{2}$; $\frac{19}{6} : \frac{19}{3} = \frac{1}{2}$; тең.
3. $\frac{17}{3} \cdot \frac{9}{34} = \frac{3}{2}$; $\frac{23}{2} : \frac{69}{8} = \frac{23}{2} \cdot \frac{8}{69} = \frac{4}{3}$; $\frac{3}{2} > \frac{4}{3}$.
4. $\frac{8}{15} \cdot \frac{20}{24} = \frac{4}{9}$; $\frac{35}{27} : \frac{5}{3} = \frac{7}{9}$; $\frac{4}{9} < \frac{7}{9}$.

Жауабы: 1) <; 2) =; 3) >; 4) <.

№ 19

Амалдарды орындаңдар: 1) $\frac{2}{47} \cdot 9{,}4 + 5{,}6$; 2) $2{,}1 - 6{,}2 \cdot \frac{3}{31}$; 3) $5{,}8 : 9\frac{2}{3} + 8{,}04$.

Қалай ойлаймыз. $9{,}4 = 47 \cdot 0{,}2$ және $6{,}2 = 31 \cdot 0{,}2$ — бөлімдер қысқарады.

Шешуі.

1. $\frac{2}{47} \cdot 9{,}4 = 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}4$; $0{,}4 + 5{,}6 = 6$.
2. $6{,}2 \cdot \frac{3}{31} = 0{,}2 \cdot 3 = 0{,}6$; $2{,}1 - 0{,}6 = 1{,}5$.
3. $5{,}8 : \frac{29}{3} = 5{,}8 \cdot 3 : 29 = 0{,}6$; $0{,}6 + 8{,}04 = 8{,}64$.

Жауабы: 1) 6; 2) 1,5; 3) 8,64.

№ 20

Амалдарды орындаңдар: 1) $40 + 6\frac{1}{9} : 2\frac{1}{27} - 23\frac{10}{11}$; 2) $53{,}5 - 14\frac{1}{6} \cdot 1\frac{1}{17} + 8\frac{2}{3}$.

Шешуі.

1. $\frac{55}{9} : \frac{55}{27} = 3$; $40 + 3 = 43$; $43 - 23\frac{10}{11} = 19\frac{1}{11}$.
2. $\frac{85}{6} \cdot \frac{18}{17} = 15$; $53{,}5 - 15 = 38{,}5$; $38\frac{1}{2} + 8\frac{2}{3} = 47\frac{1}{6}$.

Жауабы: 1) $19\frac{1}{11}$; 2) $47\frac{1}{6}$.

№ 21

Берілген өрнектің мәні республикамыздың тарихымен байланысты оқиғалар туралы мәліметтер береді. 1) $19{,}91 \cdot 100$ өрнегінің мәні — Қазақстан Республикасының «Тәуелсіздік туралы» Заңының шыққан жылы; 2) $19{,}92 \cdot 2^2 \cdot 5^2$ өрнегінің мәні — Қазақстан Республикасының Мемлекеттік Туы мен Елтаңбасының бекітілген жылы; 3) $4 \cdot 19 \cdot 25 + 5^2 \cdot 31 \cdot 4 \cdot 0{,}03$ өрнегінің мәні — Қазақстан Республикасының алғашқы Конституциясының қабылданған жылы; 4) $19\frac{19}{20} \cdot 4 \cdot 5^2$ өрнегінің мәні Қазақстан Республикасының қолданыстағы Конституциясының қабылданған жылын береді.

Қалай ойлаймыз. $2^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 = 100$. Әр мысалдан жүзді іздеп көр!

Шешуі.

1. $19{,}91 \cdot 100 = 1991$.
2. $19{,}92 \cdot 100 = 1992$.
3. $4 \cdot 25 \cdot 19 = 1900$; $25 \cdot 4 \cdot 31 \cdot 0{,}03 = 100 \cdot 0{,}93 = 93$; $1900 + 93 = 1993$.
4. $19\frac{19}{20} \cdot 100 = 19{,}95 \cdot 100 = 1995$.

Жауабы: 1) 1991 ж.; 2) 1992 ж.; 3) 1993 ж.; 4) 1995 ж.

Дөңгелектеу

№ 22

2,499; 1,028; 25,0009; 300,4; 47,4663 сандарының қосындысының мәнін есептеп, шыққан нәтижені: 1) бірлікке; 2) ондық үлеске; 3) жүздік үлеске; 4) мыңдық үлеске дейін дөңгелектеңдер.

Қалай ойлаймыз. Керекті разрядтың оң жағындағы цифрға қараймыз: 0–4 болса — тастап кетеміз, 5–9 болса — 1 қосамыз.

Шешуі. $2{,}499 + 1{,}028 + 25{,}0009 + 300{,}4 + 47{,}4663 = 376{,}3942$.

Жауабы: 1) 376; 2) 376,4; 3) 376,39; 4) 376,394.

№ 23

1) 808,35 пен 99,169; 2) 22,1 мен 0,083; 3) 5,05 пен 1,207; 4) 33,402 мен 19,1 сандарының айырымының мәнін есептеп, шыққан нәтижені ондыққа; ондық үлеске; жүздік үлеске дейін дөңгелектеңдер.

Шешуі.

Жауабы: кестеде.

⚠️ Жиі кететін қате. 3,843 санын ондыққа дейін дөңгелектесе — 0, ал 4 емес. Ондық разрядта 0 тұр, ал келесі цифр 3 саны 5-тен кіші.

№ 24

1) 2,35 пен 9,05; 2) 0,47 мен 2,104; 3) 20,3 пен 0,771; 4) 7,06 мен 0,24 сандарының көбейтіндісінің мәнін есептеп, нәтижені бірлікке; жүздік үлеске; мыңдық үлеске дейін дөңгелектеңдер.

Шешуі.

Жауабы: кестеде.

№ 25

1) 23 пен 8; 2) 41 мен 16; 3) 103 пен 25; 4) 277 мен 32 сандарының бөліндісінің мәнін есептеп, шыққан нәтижені бірлікке; ондыққа; ондық үлеске; жүздік үлеске дейін дөңгелектеңдер.

Шешуі.

Жауабы: кестеде.

Әріпті өрнектер

№ 26

$a = 5{,}4$ және $b = \frac{7}{36}$ болса, 1) $100a + 0{,}9b$; 2) $a : \frac{20}{27} - 0{,}72b$; 3) $\frac{8}{9}a - b : \frac{35}{144}$; 4) $3{,}2 : a - \frac{81}{84}b$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Шешуі.

1. $100 \cdot 5{,}4 = 540$; $0{,}9 \cdot \frac{7}{36} = \frac{9}{10} \cdot \frac{7}{36} = \frac{7}{40} = 0{,}175$; барлығы $540{,}175$.
2. $5{,}4 \cdot \frac{27}{20} = 7{,}29$; $0{,}72 \cdot \frac{7}{36} = 0{,}14$; $7{,}29 - 0{,}14 = 7{,}15$.
3. $\frac{8}{9} \cdot 5{,}4 = 4{,}8$; $\frac{7}{36} \cdot \frac{144}{35} = \frac{4}{5} = 0{,}8$; $4{,}8 - 0{,}8 = 4$.
4. $3{,}2 : 5{,}4 = \frac{32}{54} = \frac{16}{27}$; $\frac{81}{84} \cdot \frac{7}{36} = \frac{3}{16}$; $\frac{16}{27} - \frac{3}{16} = \frac{256 - 81}{432} = \frac{175}{432}$.

Жауабы: 1) 540,175; 2) 7,15; 3) 4; 4) $\frac{175}{432}$.

№ 27

1) $c = 1{,}6$ және $d = \frac{25}{27}$; 2) $c = \frac{1}{90}$ және $d = \frac{2}{3}$; 3) $c = 0{,}09$ және $d = \frac{5}{36}$; 4) $c = \frac{7}{225}$ және $d = \frac{50}{57}$ деп алып, $450c + \frac{5}{24} : d$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Шешуі.

1. $450 \cdot 1{,}6 = 720$; $\frac{5}{24} \cdot \frac{27}{25} = \frac{9}{40} = 0{,}225$; $720{,}225$.
2. $450 \cdot \frac{1}{90} = 5$; $\frac{5}{24} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5}{16}$; $5\frac{5}{16}$.
3. $450 \cdot 0{,}09 = 40{,}5$; $\frac{5}{24} \cdot \frac{36}{5} = 1{,}5$; $42$.
4. $450 \cdot \frac{7}{225} = 14$; $\frac{5}{24} \cdot \frac{57}{50} = \frac{19}{80} = 0{,}2375$; $14{,}2375$.

Жауабы: 1) 720,225; 2) $5\frac{5}{16}$; 3) 42; 4) 14,2375.

Периметр, аудан, көлем

№ 28

Қабырғаларының ұзындықтары: 1) 0,6 дм және 0,5 дм; 2) 4,4 см және 1,5 см; 3) $\frac{4}{7}$ дм және $\frac{2}{14}$ дм; 4) $\frac{8}{15}$ см және 1,2 см болатын тіктөртбұрыштың периметрін және ауданын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $P = 2 \cdot (a + b)$, $S = a \cdot b$. Ауданды шаршы бірліктермен жазамыз.

Шешуі.

1. $P = 2 \cdot 1{,}1 = 2{,}2$ дм = 22 см; $S = 0{,}6 \cdot 0{,}5 = 0{,}3$ дм².
2. $P = 2 \cdot 5{,}9 = 11{,}8$ см; $S = 4{,}4 \cdot 1{,}5 = 6{,}6$ см².
3. $\frac{2}{14} = \frac{1}{7}$; $P = 2 \cdot \frac{5}{7} = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$ дм; $S = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{7} = \frac{4}{49}$ дм².
4. $1{,}2 = \frac{6}{5} = \frac{18}{15}$; $P = 2 \cdot \frac{26}{15} = 3\frac{7}{15}$ см; $S = \frac{8}{15} \cdot \frac{6}{5} = \frac{16}{25} = 0{,}64$ см².

Жауабы: 1) 2,2 дм (22 см), 0,3 дм²; 2) 11,8 см, 6,6 см²; 3) $1\frac{3}{7}$ дм, $\frac{4}{49}$ дм²; 4) $3\frac{7}{15}$ см, 0,64 см².

№ 29

Қабырғасының ұзындығы: 1) 6,5 см; 2) 1,8 см; 3) $\frac{25}{28}$ дм; 4) $5\frac{3}{4}$ см болатын шаршының периметрін және ауданын табыңдар.

Шешуі. $P = 4a$, $S = a \cdot a$.

1. $P = 26$ см; $S = 42{,}25$ см².
2. $P = 7{,}2$ см; $S = 3{,}24$ см².
3. $P = \frac{100}{28} = 3\frac{4}{7}$ дм; $S = \frac{625}{784}$ дм².
4. $P = 4 \cdot \frac{23}{4} = 23$ см; $S = \frac{529}{16} = 33\frac{1}{16}$ см².

Жауабы: 1) 26 см, 42,25 см²; 2) 7,2 см, 3,24 см²; 3) $3\frac{4}{7}$ дм, $\frac{625}{784}$ дм²; 4) 23 см, $33\frac{1}{16}$ см².

№ 30

Ауданы 15 см², ұзындығы: 1) 0,3 дм; 2) 1,2 см; 3) $\frac{5}{12}$ дм; 4) $3\frac{1}{3}$ см болатын тіктөртбұрыштың енін есептеңдер.

Қалай ойлаймыз. Ені = аудан : ұзындық. Бірақ алдымен дециметрді сантиметрге ауыстыр, себебі аудан см²-мен берілген.

Шешуі.

1. 0,3 дм = 3 см; $15 : 3 = 5$ см.
2. $15 : 1{,}2 = 12{,}5$ см.
3. $\frac{5}{12}$ дм $= \frac{50}{12}$ см $= \frac{25}{6}$ см; $15 : \frac{25}{6} = 15 \cdot \frac{6}{25} = 3{,}6$ см.
4. $15 : \frac{10}{3} = 15 \cdot \frac{3}{10} = 4{,}5$ см.

Жауабы: 1) 5 см; 2) 12,5 см; 3) 3,6 см; 4) 4,5 см.

№ 31

Қабырғасының ұзындығы: 1) 0,2 м; 2) $\frac{3}{4}$ см; 3) 1,1 см; 4) $1\frac{2}{5}$ см болатын текшенің көлемін табыңдар.

Шешуі. $V = a \cdot a \cdot a$.

1. $0{,}2 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}008$ м³.
2. $\frac{3 \cdot 3 \cdot 3}{4 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{27}{64}$ см³.
3. $1{,}1 \cdot 1{,}1 \cdot 1{,}1 = 1{,}331$ см³.
4. $1{,}4 \cdot 1{,}4 \cdot 1{,}4 = 2{,}744$ см³.

Жауабы: 1) 0,008 м³; 2) $\frac{27}{64}$ см³; 3) 1,331 см³; 4) 2,744 см³.

№ 32

Өлшемдері: 1) 5,5 см, 2,6 см және 3,4 см; 2) $\frac{10}{21}$ дм, $\frac{7}{25}$ дм және $\frac{9}{16}$ дм болатын тікбұрышты параллелепипедтің көлемін есептеңдер.

Шешуі.

1. $5{,}5 \cdot 2{,}6 = 14{,}3$; $14{,}3 \cdot 3{,}4 = 48{,}62$ см³.
2. Қадам-қадаммен: $\frac{10}{21} \cdot \frac{7}{25} = \frac{2}{15}$; $\frac{2}{15} \cdot \frac{9}{16} = \frac{3}{40}$ дм³.

Жауабы: 1) 48,62 см³; 2) $\frac{3}{40}$ дм³.

№ 33

Шаршы қабырғасының ұзындығы 23 см. 1) Шаршының периметрін табыңдар. 2) Периметрі берілген шаршының периметрінен 0,8 дм артық екінші шаршының ауданын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. 0,8 дм = 8 см. Шаршының периметрін біле тұра, қабырғасын 4-ке бөліп табамыз.

Шешуі.

1. $P = 4 \cdot 23 = 92$ см.
2. Екіншісінің периметрі: $92 + 8 = 100$ см; қабырғасы $100 : 4 = 25$ см; ауданы $25 \cdot 25 = 625$ см².

Жауабы: 1) 92 см; 2) 625 см².

Жұмбақ есептеулер мен теңдеулер

№ 34

1) $43\frac{2}{3} : 26{,}2 + \left(846 - 10\frac{2}{3}\right)$ өрнегінің мәні — еліміздегі омыртқалы жануарлар санын; 2) $(56{,}03 \cdot 4{,}6 - 256{,}848) : 0{,}005$ өрнегінің мәні еліміздегі сүтқоректілер санын береді; 3) еліміздің солтүстік облыстарында ең көп қолданылатын саңырауқұлақ — ақсаңырауқұлақ. $\left(17{,}6 : 4\frac{5}{7} + 2\frac{1}{3}\right) \cdot 1\frac{2}{13}$ өрнегінің мәні құрғақ ақсаңырауқұлақтан жасалған тағамның құнарлығы еттен жасалған тамақ құнарлығынан неше есе артық екенін көрсетеді.

Шешуі.

1. $\frac{131}{3} : \frac{131}{5} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$; $846 - 10\frac{2}{3} = 835\frac{1}{3}$; $1\frac{2}{3} + 835\frac{1}{3} = 837$.
2. $56{,}03 \cdot 4{,}6 = 257{,}738$; $257{,}738 - 256{,}848 = 0{,}89$; $0{,}89 : 0{,}005 = 178$.
3. $17{,}6 : \frac{33}{7} = \frac{88}{5} \cdot \frac{7}{33} = \frac{56}{15} = 3\frac{11}{15}$; $3\frac{11}{15} + 2\frac{5}{15} = 6\frac{1}{15} = \frac{91}{15}$; $\frac{91}{15} \cdot \frac{15}{13} = 7$.

Жауабы: 1) 837 түр; 2) 178 түр; 3) 7 есе.

№ 35

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x + 8{,}34 = 10$; 2) $9{,}26 + x = 13{,}1$; 3) $x + 27\frac{8}{9} = 52$; 4) $6{,}2 + \frac{2}{35}x = 11$; 5) $x + 71\frac{6}{13} = 72$; 6) $40\frac{5}{12} + x = 61\frac{4}{15}$; 7) $x - 19{,}5 = 2{,}85$; 8) $40{,}02 - x = 37{,}7$; 9) $x - 31\frac{4}{21} = 13\frac{9}{28}$; 10) $81\frac{5}{6} - x = 79\frac{3}{4}$.

Қалай ойлаймыз. Белгісіз қосылғыш = қосынды − белгілі қосылғыш. Белгісіз азайғыш = айырым + азайтқыш. Белгісіз азайтқыш = азайғыш − айырым.

Шешуі.

1. $x = 10 - 8{,}34 = 1{,}66$.
2. $x = 13{,}1 - 9{,}26 = 3{,}84$.
3. $x = 52 - 27\frac{8}{9} = 24\frac{1}{9}$.
4. $\frac{2}{35}x = 11 - 6{,}2 = 4{,}8$; $x = 4{,}8 : \frac{2}{35} = 4{,}8 \cdot 17{,}5 = 84$.
5. $x = 72 - 71\frac{6}{13} = \frac{7}{13}$.
6. $x = 61\frac{16}{60} - 40\frac{25}{60} = 60\frac{76}{60} - 40\frac{25}{60} = 20\frac{51}{60} = 20\frac{17}{20}$.
7. $x = 2{,}85 + 19{,}5 = 22{,}35$.
8. $x = 40{,}02 - 37{,}7 = 2{,}32$.
9. $x = 13\frac{27}{84} + 31\frac{16}{84} = 44\frac{43}{84}$.
10. $x = 81\frac{10}{12} - 79\frac{9}{12} = 2\frac{1}{12}$.

Жауабы: 1) 1,66; 2) 3,84; 3) $24\frac{1}{9}$; 4) 84; 5) $\frac{7}{13}$; 6) $20\frac{17}{20}$; 7) 22,35; 8) 2,32; 9) $44\frac{43}{84}$; 10) $2\frac{1}{12}$.

№ 36

Теңдеуді шешіңдер: 1) $7{,}5x = 35{,}88$; 2) $1{,}25x = 40$; 3) $7\frac{2}{3}x = \frac{9}{46}$; 4) $3\frac{2}{11}x = 35$; 5) $4\frac{1}{9}x = 72$; 6) $8\frac{5}{13}x = 4\frac{5}{26}$; 7) $x : 3{,}05 = 9{,}4$; 8) $315{,}9 : x = 7{,}02$; 9) $x : 10\frac{2}{3} = 14\frac{2}{23}$; 10) $27\frac{7}{12} : x = 3{,}31$; 11) $x : 12\frac{4}{13} = \frac{39}{160}$; 12) $2{,}64 : x = 37\frac{5}{7}$.

Қалай ойлаймыз. Белгісіз көбейткіш = көбейтінді : екінші көбейткіш. Белгісіз бөлінгіш = бөлінді · бөлгіш. Белгісіз бөлгіш = бөлінгіш : бөлінді.

Шешуі.

1. $x = 35{,}88 : 7{,}5 = 4{,}784$.
2. $x = 40 : 1{,}25 = 32$.
3. $x = \frac{9}{46} : \frac{23}{3} = \frac{9}{46} \cdot \frac{3}{23} = \frac{27}{1058}$.
4. $x = 35 : \frac{35}{11} = 11$.
5. $x = 72 : \frac{37}{9} = \frac{648}{37} = 17\frac{19}{37}$.
6. $x = \frac{109}{26} : \frac{109}{13} = \frac{1}{2}$.
7. $x = 9{,}4 \cdot 3{,}05 = 28{,}67$.
8. $x = 315{,}9 : 7{,}02 = 45$.
9. $x = \frac{324}{23} \cdot \frac{32}{3} = \frac{3456}{23} = 150\frac{6}{23}$.
10. $x = \frac{331}{12} : \frac{331}{100} = \frac{100}{12} = 8\frac{1}{3}$.
11. $x = \frac{39}{160} \cdot \frac{160}{13} = 3$.
12. $x = 2{,}64 : \frac{264}{7} = \frac{264}{100} \cdot \frac{7}{264} = 0{,}07$.

Жауабы: 1) 4,784; 2) 32; 3) $\frac{27}{1058}$; 4) 11; 5) $17\frac{19}{37}$; 6) $\frac{1}{2}$; 7) 28,67; 8) 45; 9) $150\frac{6}{23}$; 10) $8\frac{1}{3}$; 11) 3; 12) 0,07.

💡 Егіз сандарға назар аудар: 6-мысалда $\frac{109}{26}$ және $\frac{109}{13}$, 10-мысалда — 331 және 331. Авторлар былай деп ишара жасайды: «мені қысқарт!».

№ 37

Мұздықтың ең үлкен қабығы Сібірде орналасқан. $0{,}01x - 10 = 0$ теңдеуінің түбірі метрмен алынған Сібірдегі мұздықтың қалындығын береді.

Шешуі. $0{,}01x = 10$; $x = 10 : 0{,}01 = 1000$.

Жауабы: 1000 м.

Пайыздар және санның бөліктері

№ 38

Мұздық жер бетінің 15%-ын құрайды және Қытайда, Канадада, Аляскада және Сібірде кездеседі. Жер бетінің ауданы 510,2 млн км² болса, мұздық қанша миллион шаршы километрді алып жатыр?

Шешуі. $510{,}2 \cdot 0{,}15 = 76{,}53$.

Жауабы: шамамен 76,53 млн км².

№ 39

Табыңдар: 1) 200-дің 35%-ын; 2) 125-тің 40%-ын; 3) 88-дің 200%-ын; 4) 97-нің 80%-ын; 5) 132-нің 95%-ын; 6) 46-ның 250%-ын.

Қалай ойлаймыз. Пайыз — жүзден бір бөлік. Санды 100-ге бөліп, пайыз санына көбейтеміз. 200% — санды екі рет алу.

Шешуі.

1. $200 : 100 \cdot 35 = 70$.
2. $125 \cdot 0{,}4 = 50$.
3. $88 \cdot 2 = 176$.
4. $97 \cdot 0{,}8 = 77{,}6$.
5. $132 \cdot 0{,}95 = 125{,}4$.
6. $46 \cdot 2{,}5 = 115$.

Жауабы: 1) 70; 2) 50; 3) 176; 4) 77,6; 5) 125,4; 6) 115.

№ 40

Мынаған тең санды табыңдар: 1) 25%-ы 30-ға; 2) 60%-ы 120-ға; 3) 74%-ы 100-ге; 4) 150%-ы 3-ке; 5) 200%-ы 404-ке; 6) 500%-ы 500-ге.

Қалай ойлаймыз. Белгілі бөлікті пайыз санына бөлеміз (1%-ын табамыз) да, 100-ге көбейтеміз.

Шешуі.

1. $30 : 25 \cdot 100 = 120$.
2. $120 : 60 \cdot 100 = 200$.
3. $100 : 74 \cdot 100 = \frac{10,000}{74} = \frac{5000}{37} = 135\frac{5}{37}$.
4. $3 : 150 \cdot 100 = 2$.
5. $404 : 200 \cdot 100 = 202$.
6. $500 : 500 \cdot 100 = 100$.

Жауабы: 1) 120; 2) 200; 3) $135\frac{5}{37}$; 4) 2; 5) 202; 6) 100.

№ 41

Берілген өрнектердің мәні ғарыш алаңы туралы мағлұматтар береді. 1) 323 санының $\frac{1}{19}$-і дүниежүзіндегі ғарыш алаңдарының санын береді; 2) 3%-ы 35,67 болатын сан 1957 жылдан 2001 жылға дейінгі Байқоңыр ғарыш алаңынан қанша зымыран ұшырылғанын көрсетеді; 3) 60%-ы 742,2 болатын сан Байқоңырдан орбитаға қанша ғарыштық зымырандардың ұшырылғанын көрсетеді; 4) 900 санының $\frac{1}{30}$-іне тең сан 2000–2001 жылдары Байқоңырдан ұшырылған зымырандардың пайызбен алынған санын береді.

Шешуі.

1. $323 : 19 = 17$.
2. $35{,}67 : 3 \cdot 100 = 1189$.
3. $742{,}2 : 60 \cdot 100 = 1237$.
4. $900 : 30 = 30$.

Жауабы: 1) 17; 2) 1189; 3) 1237; 4) 30%.

🌟 Байқоңырдан 1961 жылы 12 сәуірде Юрий Гагарин ұшты, ал 1991 жылы — алғашқы қазақ ғарышкері Тоқтар Әубәкіров.

Есептер және формулалар

№ 42

1) Тіктөртбұрыштың бір қабырғасы 17,9 см, екінші қабырғасы одан 6,3 см кем. Осы тіктөртбұрыштың периметрін табыңдар. 2) Тіктөртбұрыштың бір қабырғасы 3,7 см, екінші қабырғасы одан 8,4 см артық. Осы тіктөртбұрыштың периметрін табыңдар. 3) Тіктөртбұрыштың бір қабырғасы 3,2 см, периметрі 33,2 см. Тіктөртбұрыштың екінші қабырғасын анықтаңдар.

Шешуі.

1. $17{,}9 - 6{,}3 = 11{,}6$ см; $P = 2 \cdot (17{,}9 + 11{,}6) = 59$ см.
2. $3{,}7 + 8{,}4 = 12{,}1$ см; $P = 2 \cdot (3{,}7 + 12{,}1) = 31{,}6$ см.
3. Жарты периметр $33{,}2 : 2 = 16{,}6$ см; екінші қабырғасы $16{,}6 - 3{,}2 = 13{,}4$ см.

Жауабы: 1) 59 см; 2) 31,6 см; 3) 13,4 см.

№ 43

$s = v \cdot t$ формуласын қолданып, 1) $v = 50$ км/сағ және $t = 3$ сағ 15 мин болғанда $s$ жүрілген жолдың ұзындығын; 2) $s = 180$ км және $t = 2$ сағ 30 мин болғанда $v$ қозғалыс жылдамдығын; 3) $s = 100$ км және $v = 60$ км/сағ болғанда $t$ жіберілген уақытты есептеңдер.

Қалай ойлаймыз. Минутты сағатқа айналдырамыз: 15 мин $= \frac{1}{4}$ сағ, 30 мин $= \frac{1}{2}$ сағ.

Шешуі.

1. $s = 50 \cdot 3{,}25 = 162{,}5$ км.
2. $v = 180 : 2{,}5 = 72$ км/сағ.
3. $t = 100 : 60 = 1\frac{2}{3}$ сағ = 1 сағ 40 мин.

Жауабы: 1) 162,5 км; 2) 72 км/сағ; 3) 1 сағ 40 мин.

№ 44

$Қ = М \cdot Б$ формуласын қолданып (мұндағы $Қ$ — құн, $М$ — мөлшер, $Б$ — баға), 1) $М = 20$ дана және $Б = 40$ тг/дана болғанда $Қ$ құнын; 2) $Қ = 500$ тг және $Б = 25$ тг/дана болғанда $М$ мөлшерін; 3) $Қ = 4230$ тг және $М = 6$ дана болғанда $Б$ бағасын есептеңдер.

Шешуі.

1. $Қ = 20 \cdot 40 = 800$ тг.
2. $М = 500 : 25 = 20$ дана.
3. $Б = 4230 : 6 = 705$ тг/дана.

Жауабы: 1) 800 тг; 2) 20 дана; 3) 705 тг/дана.

№ 45

1) Периметрі 1,8 дм, екі қабырғасының әркайсысы 0,5 дм болатын үшбұрыштың үшінші қабырғасын табыңдар. 2) Үшбұрыштың периметрі 3,4 дм, бір қабырғасы 1,4 дм, қалған екі қабырғасы өзара тең. Үшбұрыштың белгісіз қабырғаларын табыңдар.

Шешуі.

1. $1{,}8 - 0{,}5 - 0{,}5 = 0{,}8$ дм.
2. $3{,}4 - 1{,}4 = 2$ дм екі тең қабырғаға; $2 : 2 = 1$ дм.

Жауабы: 1) 0,8 дм; 2) әрқайсысы 1 дм.

№ 46

1) Тіктөртбұрыштың бір қабырғасы 12 см, екінші қабырғасы оның $\frac{2}{3}$-сін құрайды. Осы тіктөртбұрыштың периметрін табыңдар. 2) Тіктөртбұрыштың бір қабырғасы 8 см, екінші қабырғасы оның 40%-ын құрайды. Осы тіктөртбұрыштың периметрін табыңдар.

Шешуі.

1. Екінші қабырғасы $12 \cdot \frac{2}{3} = 8$ см; $P = 2 \cdot (12 + 8) = 40$ см.
2. Екінші қабырғасы $8 \cdot 0{,}4 = 3{,}2$ см; $P = 2 \cdot (8 + 3{,}2) = 22{,}4$ см.

Жауабы: 1) 40 см; 2) 22,4 см.

№ 47

Шоколад қосылған ірімшік пен асқабақтан жасалған асты әзірлеу үшін $x$ г тазаланған асқабақ, сонша ірімшік, қант, сұйық май және тазаланған асқабақтың 20%-ына тең шоколад, тазаланған асқабақтың 10%-ына тең қант ұнтағы қажет. Тазаланған асқабақтың массасы: 1) 500 г; 2) 1 кг; 3) 250 г болса, көрсетілген азық-түліктерді қандай мөлшерде алу керек?

Қалай ойлаймыз. Ірімшік, қант және май — $x$ г-нан. Шоколад — $0{,}2x$, қант ұнтағы — $0{,}1x$.

Шешуі.

Жауабы: кестеде.

📕 Оқулықтың соңындағы жауаптарда 500 г асқабаққа «100 г қант және 100 г сұйық май» деп көрсетілген, бірақ шарт бойынша («сонша ірімшік, қант, сұйық май») қант пен май да 500 г-нан болуы керек.

🌟 Менің отбасымдағы математика. Үйден сүйікті рецептіңді тауып, оны жарты порцияға немесе екі еселенген порцияға қайта есепте. Бұл да дәл сондай есеп!

№ 48

Тіктөртбұрыштың периметрі 20 см, бір қабырғасы периметрдің $\frac{3}{10}$-ін құрайды. Есепке сұрақ құрастырып, шығарыңдар.

Қалай ойлаймыз. Табиғи сұрақ: «Тіктөртбұрыштың қабырғаларының ұзындығын табыңдар» (тағы қосуға болады: «және оның ауданын»).

Шешуі.

1. Бір қабырғасы: $20 \cdot \frac{3}{10} = 6$ см.
2. Жарты периметр: $20 : 2 = 10$ см; екінші қабырғасы: $10 - 6 = 4$ см.
3. Ауданы (сұраса): $6 \cdot 4 = 24$ см².

Жауабы: қабырғалары 6 см және 4 см (ауданы 24 см²).

№ 49

Тіктөртбұрыштың периметрі 68 мм, бір қабырғасының ұзындығы периметрдің 15%-ын құрайды. Есепке сұрақ құрастырып, шығарыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сұрақ: «Тіктөртбұрыштың қабырғаларының ұзындығын табыңдар».

Шешуі.

1. Бір қабырғасы: $68 \cdot 0{,}15 = 10{,}2$ мм.
2. Екіншісі: $68 : 2 - 10{,}2 = 34 - 10{,}2 = 23{,}8$ мм = 2,38 см.

Жауабы: 10,2 мм және 23,8 мм (2,38 см).

№ 50

Катердің тынық судағы жылдамдығы 13,2 км/сағ, өзен ағысының жылдамдығы 3 км/сағ. Есепке сұрақ құрастырып, шығарыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сұрақ: «Катердің ағыспен және ағысқа қарсы жылдамдығын табыңдар». Ағыспен жүргенде өзен көмектеседі, ағысқа қарсы жүргенде — кедергі келтіреді.

Шешуі.

1. Ағыспен: $13{,}2 + 3 = 16{,}2$ км/сағ.
2. Ағысқа қарсы: $13{,}2 - 3 = 10{,}2$ км/сағ.

Жауабы: 16,2 км/сағ және 10,2 км/сағ.

№ 51

Катердің өзен ағысымен жылдамдығы 15 км/сағ, өзен ағысының жылдамдығы 2,7 км/сағ. Есепке сұрақ құрастырып, шығарыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сұрақ: «Катердің өз жылдамдығы қандай және ағысқа қарсы жылдамдығы қандай?»

Шешуі.

1. Өз жылдамдығы: $15 - 2{,}7 = 12{,}3$ км/сағ.
2. Ағысқа қарсы: $12{,}3 - 2{,}7 = 9{,}6$ км/сағ.

Жауабы: 12,3 км/сағ; ағысқа қарсы 9,6 км/сағ.

№ 52

Автокөлік ұзындығы 800 км жолдың 85%-ын жүріп өтті. Есепке сұрақ құрастырып, шығарыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сұрақтар: «Қанша километр жүрді? Қанша километр қалды?»

Шешуі.

1. Жүрді: $800 \cdot 0{,}85 = 680$ км.
2. Қалды: $800 - 680 = 120$ км (бұл жолдың 15%-ы).

Жауабы: 680 км жүрді, 120 км қалды.

№ 53

Автокөлік ұзындығы 450 км жол жүру керек. Ол жолдың $\frac{65}{90}$-ін жүріп өтті. Автокөлікке қанша километр жол жүру қалды? Есепке кері есеп құрастырып, шығарыңдар.

Шешуі.

1. Жүрді: $450 \cdot \frac{65}{90} = 5 \cdot 65 = 325$ км.
2. Қалды: $450 - 325 = 125$ км.

Кері есеп. Автокөлік 450 км жол жүруі керек еді, ол 325 км жүрді. Жолдың қандай бөлігін жүріп өтті? Шешуі: $\frac{325}{450} = \frac{13}{18}$ (бұл $\frac{65}{90}$-пен бірдей).

Жауабы: 125 км; кері есепте — жолдың $\frac{13}{18}$ бөлігі.

№ 54

Тіктөртбұрыштың ұзындығы 82 см, ені ұзындығының 65%-ын құрайды. Тіктөртбұрыштың периметрі мен ауданын табыңдар. Есепке кері есеп құрастырып, шығарыңдар.

Шешуі.

1. Ені: $82 \cdot 0{,}65 = 53{,}3$ см.
2. Ауданы: $82 \cdot 53{,}3 = 4370{,}6$ см².
3. Периметрі: $2 \cdot (82 + 53{,}3) = 270{,}6$ см = 2 м 7 дм 6 мм.

Кері есеп. Тіктөртбұрыштың ені 53,3 см, бұл оның ұзындығының 65%-ы. Ұзындығын табыңдар. Шешуі: $53{,}3 : 65 \cdot 100 = 82$ см.

Жауабы: $S = 4370{,}6$ см², $P = 270{,}6$ см; кері есепте — 82 см.

№ 55

Ауданы 330 га егістіктің $\frac{5}{11}$-і жыртылды. Қанша гектар жер жыртылды? Есепке кері есеп құрастырып, шығарыңдар.

Шешуі. $330 : 11 \cdot 5 = 150$ га.

Кері есеп. 150 га жер жыртылды, бұл егістіктің $\frac{5}{11}$-і. Егістіктің ауданы қандай? Шешуі: $150 : 5 \cdot 11 = 330$ га.

Жауабы: 150 га; кері есепте — 330 га.

№ 56

Үшбұрыштың бір қабырғасының ұзындығы 12 дм, қалған екі қабырғасының ұзындықтарының әрқайсысы бірінші қабырға ұзындығының 80%-ын құрайды. Үшбұрыштың периметрін табыңдар.

Шешуі. $12 \cdot 0{,}8 = 9{,}6$ дм; $P = 12 + 9{,}6 + 9{,}6 = 31{,}2$ дм.

Жауабы: 31,2 дм.

№ 57

Автокөлік бір қаладан екінші қалаға шықты. Бірінші сағатта ол 68 км немесе барлық жолдың 40%-ын, екінші сағатта 72 км жол жүрді. Автокөлік енді қанша километр жүруі керек?

Қалай ойлаймыз. Алдымен бөлігі бойынша бүкіл жолды табамыз.

Шешуі.

1. Бүкіл жол: $68 : 40 \cdot 100 = 170$ км.
2. Қалды: $170 - 68 - 72 = 30$ км.

Жауабы: 30 км.

Ұзын есептеулер

№ 58

VII Қысқы Азия ойындарында біздің еліміз командалық есепте бірінші орынды жеңіп алды. Берілген өрнектердің мәнін есептеп, еліміздің спортшылары қанша алтын, күміс, кола медальдар алғаны туралы білетін боласыңдар. 1) $((1{,}25 \cdot 800 + 1486{,}4 : 1{,}6) - 9) : 60$ өрнегінің мәні — алтын; 2) $((2{,}25 \cdot 600 + 2135 : 3{,}5) - 90) : 110$ өрнегінің мәні — кола; 3) $((100 : 0{,}05 - 323{,}4 : 9{,}8) - 77) : 90$ өрнегінің мәні күміс медальдар санын береді.

Шешуі.

1. $1{,}25 \cdot 800 = 1000$; $1486{,}4 : 1{,}6 = 929$; $1929 - 9 = 1920$; $1920 : 60 = 32$.
2. $2{,}25 \cdot 600 = 1350$; $2135 : 3{,}5 = 610$; $1960 - 90 = 1870$; $1870 : 110 = 17$.
3. $100 : 0{,}05 = 2000$; $323{,}4 : 9{,}8 = 33$; $1967 - 77 = 1890$; $1890 : 90 = 21$.

Жауабы: 32 алтын, 17 кола, 21 күміс медаль (барлығы 70).

№ 59

Амалдарды орындаңдар: 1) $1{,}26 \cdot \frac{10}{27} : 0{,}84 - \frac{5}{6}$; 2) $\frac{64}{155} \cdot 4{,}65 : 0{,}18 + 1\frac{1}{3}$; 3) $5\frac{1}{21} \cdot 0{,}9 : 6\frac{2}{35} - 0{,}5$; 4) $7{,}5 \cdot 2\frac{31}{40} : 16{,}65 + 0{,}25$.

Қалай ойлаймыз. Қайда ыңғайлы болса — ондық бөлшектерді жай бөлшекке айналдыр: $1{,}26 = \frac{126}{100}$, $0{,}9 = \frac{9}{10}$.

Шешуі.

1. $1{,}26 \cdot \frac{10}{27} = \frac{126}{270} = \frac{7}{15}$; $\frac{7}{15} : \frac{84}{100} = \frac{7}{15} \cdot \frac{100}{84} = \frac{5}{9}$; $\frac{5}{9} - \frac{5}{6} = \frac{10}{18} - \frac{15}{18}$. Азайтқыш азайғыштан үлкен: нәтиже нөлден кіші, $-\frac{5}{18}$. Мұндай сандарды § 7-де үйренесің.
2. $\frac{64}{155} \cdot 4{,}65 = 1{,}92$; $1{,}92 : 0{,}18 = 10\frac{2}{3}$; $10\frac{2}{3} + 1\frac{1}{3} = 12$.
3. $\frac{106}{21} \cdot \frac{9}{10} = \frac{159}{35}$; $\frac{159}{35} : \frac{212}{35} = \frac{159}{212} = \frac{3}{4}$; $0{,}75 - 0{,}5 = 0{,}25$.
4. $7{,}5 \cdot 2{,}775 = 20{,}8125$; $20{,}8125 : 16{,}65 = 1{,}25$; $1{,}25 + 0{,}25 = 1{,}5$.

Жауабы: 1) $-\frac{5}{18}$; 2) 12; 3) 0,25; 4) 1,5.

№ 60

Амалдарды орындаңдар: 1) $\left(3\frac{7}{16} : 20\frac{5}{8} - \frac{2}{15}\right) \cdot 0{,}9 + 1{,}17$; 2) $\left(2\frac{9}{16} + 5{,}45 : 6\frac{8}{35}\right) : 6\frac{1}{9}$; 3) $2{,}4 \cdot \left(5\frac{7}{18} : 3\frac{22}{25} - \frac{5}{12}\right) + 3\frac{1}{3} + 3$; 4) $\left(10\frac{1}{7} - 3{,}48 \cdot \frac{75}{116}\right) : 31\frac{4}{7}$.

Шешуі.

1. Жоғарыдағы қадамдарды қара: $1{,}2$.
2. $5{,}45 : \frac{218}{35} = \frac{545}{100} \cdot \frac{35}{218} = \frac{7}{8}$; $2\frac{9}{16} + \frac{14}{16} = 3\frac{7}{16} = \frac{55}{16}$; $\frac{55}{16} : \frac{55}{9} = \frac{9}{16}$.
3. $\frac{97}{18} : \frac{97}{25} = \frac{25}{18}$; $\frac{50}{36} - \frac{15}{36} = \frac{35}{36}$; $2{,}4 \cdot \frac{35}{36} = \frac{12}{5} \cdot \frac{35}{36} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$; $2\frac{1}{3} + 3\frac{1}{3} + 3 = 8\frac{2}{3}$.
4. $3{,}48 \cdot \frac{75}{116} = 2{,}25$; $10\frac{1}{7} - 2\frac{1}{4} = 7\frac{25}{28} = \frac{221}{28}$; $\frac{221}{28} : \frac{221}{7} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$.

Жауабы: 1) 1,2; 2) $\frac{9}{16}$; 3) $8\frac{2}{3}$; 4) $\frac{1}{4}$.

№ 61

9,86 және 1,7 сандарының бөліндісі мен 1,4 және 43,15 сандарының көбейтіндісін қосыңдар.

Шешуі. $9{,}86 : 1{,}7 + 1{,}4 \cdot 43{,}15 = 5{,}8 + 60{,}41 = 66{,}21$.

Жауабы: 66,21.

№ 62

4,9962 және 0,12 сандарының бөліндісінен 3,4 және 0,02 сандарының көбейтіндісін азайтыңдар.

Шешуі. $4{,}9962 : 0{,}12 - 3{,}4 \cdot 0{,}02 = 41{,}635 - 0{,}068 = 41{,}567$.

Жауабы: 41,567.

№ 63

8,945 және 12,255 сандарының қосындысын 80,94 және 78,84 сандарының айырымына көбейтіңдер.

Шешуі. $(8{,}945 + 12{,}255) \cdot (80{,}94 - 78{,}84) = 21{,}2 \cdot 2{,}1 = 44{,}52$.

Жауабы: 44,52.

№ 64

98,631 және 45,231 сандарының айырымын 19,781 және 0,219 сандарының қосындысына бөліңдер.

Шешуі. $(98{,}631 - 45{,}231) : (19{,}781 + 0{,}219) = 53{,}4 : 20 = 2{,}67$.

Жауабы: 2,67.

№ 65

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $45{,}6x - 8{,}901 : y + 6{,}2z$, мұндағы $x = 2{,}5$; $y = 0{,}09$; $z = 50{,}1$; 2) $65{,}065 : x - 4{,}25y + 6{,}8z$, мұндағы $x = 1{,}3$; $y = 0{,}08$; $z = 1{,}25$.

Шешуі.

1. $45{,}6 \cdot 2{,}5 = 114$; $8{,}901 : 0{,}09 = 98{,}9$; $6{,}2 \cdot 50{,}1 = 310{,}62$; $114 - 98{,}9 + 310{,}62 = 325{,}72$.
2. $65{,}065 : 1{,}3 = 50{,}05$; $4{,}25 \cdot 0{,}08 = 0{,}34$; $6{,}8 \cdot 1{,}25 = 8{,}5$; $50{,}05 - 0{,}34 + 8{,}5 = 58{,}21$.

Жауабы: 1) 325,72; 2) 58,21.

№ 66

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $63{,}5x + 78{,}78 : y - 34{,}6z$, мұндағы $x = 1{,}8$; $y = 1{,}3$; $z = 0{,}7$; 2) $x : 8{,}9 + 63{,}2y - 74{,}5z$, мұндағы $x = 49{,}84$; $y = 5{,}5$; $z = 0{,}08$.

Шешуі.

1. $63{,}5 \cdot 1{,}8 = 114{,}3$; $78{,}78 : 1{,}3 = 60{,}6$; $34{,}6 \cdot 0{,}7 = 24{,}22$; $114{,}3 + 60{,}6 - 24{,}22 = 150{,}68$.
2. $49{,}84 : 8{,}9 = 5{,}6$; $63{,}2 \cdot 5{,}5 = 347{,}6$; $74{,}5 \cdot 0{,}08 = 5{,}96$; $5{,}6 + 347{,}6 - 5{,}96 = 347{,}24$.

Жауабы: 1) 150,68; 2) 347,24.

№ 67

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $x = 0{,}33$; $y = 2{,}5$; $z = 50$ болса, $8\frac{2}{3}x + 3\frac{3}{5} : y - 0{,}076z$; 2) $x = 2\frac{4}{13}$; $y = 3\frac{1}{2}$; $z = 1{,}8$ болса, $\frac{25}{26} : x + 3\frac{6}{7}y - 9\frac{4}{9}z$.

Шешуі.

1. $\frac{26}{3} \cdot 0{,}33 = 2{,}86$; $3{,}6 : 2{,}5 = 1{,}44$; $0{,}076 \cdot 50 = 3{,}8$; $2{,}86 + 1{,}44 - 3{,}8 = 0{,}5$.
2. $\frac{25}{26} : \frac{30}{13} = \frac{25}{26} \cdot \frac{13}{30} = \frac{5}{12}$; $\frac{27}{7} \cdot \frac{7}{2} = 13\frac{1}{2}$; $\frac{85}{9} \cdot \frac{9}{5} = 17$. Алғашқы екеуінің қосындысы $13\frac{11}{12}$ 17-ден кіші, сондықтан нәтиже нөлден кіші: $13\frac{11}{12} - 17 = -3\frac{1}{12}$. Үлкен саннан кішіні азайтуды § 15-те үйренесің.

Жауабы: 1) 0,5; 2) $-3\frac{1}{12}$.

№ 68

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $x = 0{,}375$; $y = 3\frac{3}{7}$ және $z = \frac{25}{27}$ болса, $1\frac{5}{9}x - 1\frac{2}{7} : y + 0{,}9z$; 2) $x = 3{,}375$; $y = 1\frac{2}{3}$ және $z = 24{,}5$ болса, $\frac{9}{16} : x + 1\frac{1}{25}y - \frac{1}{35}z$.

Қалай ойлаймыз. $0{,}375 = \frac{3}{8}$, $3{,}375 = 3\frac{3}{8} = \frac{27}{8}$.

Шешуі.

1. $\frac{14}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{7}{12}$; $\frac{9}{7} : \frac{24}{7} = \frac{3}{8}$; $\frac{9}{10} \cdot \frac{25}{27} = \frac{5}{6}$; $\frac{14}{24} - \frac{9}{24} + \frac{20}{24} = \frac{25}{24} = 1\frac{1}{24}$.
2. $\frac{9}{16} : \frac{27}{8} = \frac{1}{6}$; $\frac{26}{25} \cdot \frac{5}{3} = \frac{26}{15}$; $\frac{1}{35} \cdot 24{,}5 = 0{,}7$; $\frac{5}{30} + \frac{52}{30} - \frac{21}{30} = \frac{36}{30} = 1{,}2$.

Жауабы: 1) $1\frac{1}{24}$; 2) 1,2.

Теңдеулер

№ 69

1) $2000 - x = 3$ теңдеуінің түбірі — Қазақстан Республикасының «Ерекше қорғалатын табиғи аумақтар туралы» Заңының қабылданған жылы; 2) $998 + x = 3000$ теңдеуінің түбірі — Қазақстан Республикасының «Атмосфералық ауаны қорғау туралы» Заңының қабылданған жылы; 3) $3000 - x = 998$ теңдеуінің түбірі — Қазақстан Республикасының «Өсімдіктерді қорғау туралы» Заңының қабылданған жылы; 4) $x : 4 = 501$ теңдеуінің түбірі — Қазақстан Республикасының «Азық-түліктің сапасы және қауіпсіздігі туралы» Заңының қабылданған жылы; 5) $10,020 : x = 5$ теңдеуінің түбірі Қазақстан Республикасындағы «Жануарлар әлемін қорғау, өндіру және қолдану туралы» Заңының қабылданған жылын береді.

Шешуі.

1. $x = 2000 - 3 = 1997$ — ерекше қорғалатын табиғи аумақтар туралы заң.
2. $x = 3000 - 998 = 2002$ — атмосфералық ауаны қорғау туралы.
3. $x = 3000 - 998 = 2002$ — өсімдіктерді қорғау туралы.
4. $x = 501 \cdot 4 = 2004$ — азық-түліктің сапасы және қауіпсіздігі туралы.
5. $x = 10,020 : 5 = 2004$ — жануарлар әлемін қорғау туралы.

Жауабы: 1) 1997 ж.; 2) 2002 ж.; 3) 2002 ж.; 4) 2004 ж.; 5) 2004 ж.

№ 70

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(60{,}1 - x) + 9{,}09 = 18{,}1$; 2) $44{,}2 - (x + 0{,}45) = 21{,}8$; 3) $7{,}34 + (100 - x) = 56{,}3$; 4) $(x + 67{,}45) - 91{,}01 = 4{,}59$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаны бір «үлкен белгісіз» деп есептейміз. Алдымен оны табамыз, содан кейін $x$-ті.

Шешуі.

1. $60{,}1 - x = 18{,}1 - 9{,}09 = 9{,}01$; $x = 60{,}1 - 9{,}01 = 51{,}09$.
2. $x + 0{,}45 = 44{,}2 - 21{,}8 = 22{,}4$; $x = 22{,}4 - 0{,}45 = 21{,}95$.
3. $100 - x = 56{,}3 - 7{,}34 = 48{,}96$; $x = 100 - 48{,}96 = 51{,}04$.
4. $x + 67{,}45 = 4{,}59 + 91{,}01 = 95{,}6$; $x = 95{,}6 - 67{,}45 = 28{,}15$.

Жауабы: 1) 51,09; 2) 21,95; 3) 51,04; 4) 28,15.

№ 71

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\left(x - 12\frac{23}{40}\right) + 5\frac{8}{15} = 13\frac{19}{24}$; 2) $\left(x - 17\frac{1}{9}\right) - 4\frac{5}{12} = 19\frac{17}{18}$.

Шешуі.

1. Ортақ бөлім 120. $x - 12\frac{23}{40} = 13\frac{95}{120} - 5\frac{64}{120} = 8\frac{31}{120}$; $x = 8\frac{31}{120} + 12\frac{69}{120} = 20\frac{100}{120} = 20\frac{5}{6}$.
2. Ортақ бөлім 36. $x - 17\frac{1}{9} = 19\frac{34}{36} + 4\frac{15}{36} = 24\frac{13}{36}$; $x = 24\frac{13}{36} + 17\frac{4}{36} = 41\frac{17}{36}$.

Жауабы: 1) $20\frac{5}{6}$; 2) $41\frac{17}{36}$.

№ 72

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(y - 9{,}2) - 13\frac{5}{9} = 35{,}5$; 2) $80{,}5 - \left(y - 9\frac{3}{4}\right) = 28\frac{5}{6}$.

Қалай ойлаймыз. $\frac{5}{9}$ ондыққа айналмайды, сондықтан жай бөлшектермен есептейміз: $9{,}2 = 9\frac{1}{5}$, $35{,}5 = 35\frac{1}{2}$, $80{,}5 = 80\frac{1}{2}$.

Шешуі.

1. $y - 9\frac{1}{5} = 35\frac{9}{18} + 13\frac{10}{18} = 49\frac{1}{18}$; $y = 49\frac{5}{90} + 9\frac{18}{90} = 58\frac{23}{90}$.
2. $y - 9\frac{3}{4} = 80\frac{1}{2} - 28\frac{5}{6} = 51\frac{2}{3}$; $y = 51\frac{8}{12} + 9\frac{9}{12} = 61\frac{5}{12}$.

Жауабы: 1) $58\frac{23}{90}$; 2) $61\frac{5}{12}$.

№ 73

Теңдеудің түбірін табыңдар: 1) $(5{,}6 - x) : 0{,}04 = 3{,}5$; 2) $88{,}4 : (x + 11{,}03) = 4{,}42$; 3) $2{,}8 \cdot (6{,}21 - x) = 0{,}84$; 4) $(x + 0{,}579) \cdot 5{,}1 = 3{,}06$.

Шешуі.

1. $5{,}6 - x = 3{,}5 \cdot 0{,}04 = 0{,}14$; $x = 5{,}46$.
2. $x + 11{,}03 = 88{,}4 : 4{,}42 = 20$; $x = 8{,}97$.
3. $6{,}21 - x = 0{,}84 : 2{,}8 = 0{,}3$; $x = 5{,}91$.
4. $x + 0{,}579 = 3{,}06 : 5{,}1 = 0{,}6$; $x = 0{,}021$.

Жауабы: 1) 5,46; 2) 8,97; 3) 5,91; 4) 0,021.

№ 74

Теңдеудің түбірін табыңдар: 1) $(8{,}9 + x) : 3{,}4 = 8{,}5$; 2) $20{,}5 : (x + 399) = 0{,}05$; 3) $1{,}8 \cdot (10{,}7 - x) = 1{,}98$; 4) $(0{,}988 + x) \cdot 2{,}5 = 4{,}87$.

Шешуі.

1. $8{,}9 + x = 8{,}5 \cdot 3{,}4 = 28{,}9$; $x = 20$.
2. $x + 399 = 20{,}5 : 0{,}05 = 410$; $x = 11$.
3. $10{,}7 - x = 1{,}98 : 1{,}8 = 1{,}1$; $x = 9{,}6$.
4. $0{,}988 + x = 4{,}87 : 2{,}5 = 1{,}948$; $x = 0{,}96$.

Жауабы: 1) 20; 2) 11; 3) 9,6; 4) 0,96.

№ 75

Теңдеудің түбірін табыңдар: 1) $\frac{9}{11} \cdot \left(x - \frac{2}{3}\right) = 50$; 2) $11{,}2 : \left(x - \frac{2}{15}\right) = 6$; 3) $\left(2\frac{1}{16} + x\right) : 3\frac{9}{32} = \frac{2}{3}$; 4) $\left(x + \frac{8}{27}\right) : 19\frac{5}{9} = \frac{1}{12}$.

Шешуі.

1. $x - \frac{2}{3} = 50 : \frac{9}{11} = \frac{550}{9} = 61\frac{1}{9}$; $x = 61\frac{1}{9} + \frac{6}{9} = 61\frac{7}{9}$.
2. $x - \frac{2}{15} = 11{,}2 : 6 = \frac{112}{60} = 1\frac{13}{15}$; $x = 1\frac{13}{15} + \frac{2}{15} = 2$.
3. $2\frac{1}{16} + x = \frac{2}{3} \cdot \frac{105}{32} = \frac{35}{16} = 2\frac{3}{16}$; $x = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.
4. $x + \frac{8}{27} = \frac{1}{12} \cdot \frac{176}{9} = \frac{44}{27}$; $x = \frac{36}{27} = 1\frac{1}{3}$.

Жауабы: 1) $61\frac{7}{9}$; 2) 2; 3) $\frac{1}{8}$; 4) $1\frac{1}{3}$.

№ 76

Алматы қаласындағы ең үлкен концерт залдарының бірі — Республика сарайы. 1) $x - (317{,}25 + 532{,}54) = 652\frac{3}{4} + 467{,}46$ теңдеуінің түбірі — Республика сарайының салынған жылын; 2) $x - 4\frac{3}{8} = 5{,}625$ теңдеуінің түбірі — мың шаршы метрмен алынған ауданын; 3) 3 және $10^3$ сандарының ең кіші ортақ еселігіне тең сан көрермендер залындағы орындар санын береді.

Шешуі.

1. $317{,}25 + 532{,}54 = 849{,}79$; $652{,}75 + 467{,}46 = 1120{,}21$; $x = 1120{,}21 + 849{,}79 = 1970$.
2. $x = 5{,}625 + 4{,}375 = 10$.
3. 3 пен 1000-нің 1-ден басқа ортақ бөлгіші жоқ, сондықтан ЕКОЕ $= 3 \cdot 1000 = 3000$.

Жауабы: 1970 жылы салынған; ауданы 10 мың м²; 3000 орын.

№ 77

1) $a = 2{,}2 \cdot (3{,}428 + 1{,}572) \cdot \left(13 - 12\frac{4}{11}\right)$ және $b = \left(40\frac{2}{3} : 2\frac{7}{27} - 16\frac{4}{9}\right) \cdot 4{,}5$ болса, $a$ саны мен $b$ санының көбейтіндісінің мәні еліміздегі бауырымен жорғалаушылар түрінің санын береді. 2) $a = \frac{13}{33} : 2\frac{59}{198} \cdot 2\frac{6}{7} : \frac{6}{7}$ және $b = \left(16\frac{1}{3} : 5\frac{5}{6} + 1\frac{2}{5}\right) + 16{,}8$ болса, $a$ саны мен $b$ санының көбейтіндісінің мәні еліміздегі сумен жорғалаушылар түрінің санын береді. Көбейтінді $c = a \cdot b$.

Шешуі.

1. $a$: $3{,}428 + 1{,}572 = 5$; $13 - 12\frac{4}{11} = \frac{7}{11}$; $2{,}2 \cdot 5 \cdot \frac{7}{11} = 11 \cdot \frac{7}{11} = 7$. $b$: $\frac{122}{3} : \frac{61}{27} = 18$; $18 - 16\frac{4}{9} = 1\frac{5}{9}$; $\frac{14}{9} \cdot 4{,}5 = 7$. $c = 7 \cdot 7 = 49$.
2. Жоғарыдағы қадамдар бойынша: $a = \frac{4}{7}$, $b = 21$, $c = 12$.

Жауабы: 1) бауырымен жорғалаушылардың 49 түрі; 2) сумен жорғалаушылардың 12 түрі.

№ 78

1) Жолбарыстың қылыш тісті түрі $10^4$ жыл бұрын жойылып кеткен. Осы жылды натурал сан арқылы жазыңдар. 2) Амур жолбарысының ең үлкен массасы килограммен алынған $2^3 \cdot 5^3 - 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5^3$ өрнегінің мәніне тең. Амур жолбарысының ең үлкен массасын табыңдар.

Шешуі.

1. $10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10,000$ жыл бұрын (шамамен б.з.б. VIII мыңжылдықта).
2. $2^3 \cdot 5^3 = 1000$; $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900$; $2 \cdot 5^3 = 250$; $1000 - 900 + 250 = 350$.

Жауабы: 1) 10 000 жыл бұрын; 2) 350 кг-ға дейін.

№ 79

1) $98{,}1 : (0{,}2x - 389{,}6) = 10{,}9$ теңдеуін шешіп, еліміздің ұлттық валютасы — теңгенің енгізілген жылын; 2) $1{,}195 : (0{,}5x - 4{,}22) = 0{,}25$ теңдеуін шығарып, еліміздің валютасының қорғалу мүмкіндігінің санын білесіңдер.

Шешуі.

1. $0{,}2x - 389{,}6 = 98{,}1 : 10{,}9 = 9$; $0{,}2x = 398{,}6$; $x = 398{,}6 : 0{,}2 = 1993$.
2. $0{,}5x - 4{,}22 = 1{,}195 : 0{,}25 = 4{,}78$; $0{,}5x = 9$; $x = 18$.

Жауабы: 1) 1993 ж. (15 қараша); 2) 18 қорғаныс дәрежесі.

№ 80

Ойлаған саннан 97,1 саны азайтылып, шыққан айырымның мәні 2,5 санына көбейтілді. Шыққан нәтижеге 4,25 санын қосқанда 7 саны шықты. Ойлаған санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Соңынан бастап кері амалдарды орындаймыз: «қосу» орнына «азайту», «көбейту» орнына «бөлу». Теңдеумен де шығаруға болады: $(x - 97{,}1) \cdot 2{,}5 + 4{,}25 = 7$.

Шешуі. $7 - 4{,}25 = 2{,}75$; $2{,}75 : 2{,}5 = 1{,}1$; $1{,}1 + 97{,}1 = 98{,}2$.

Жауабы: 98,2.

Есептердегі бөліктер мен пайыздар

№ 81

Автокөлік бірінші күні 170 км жүрді. Екінші күні бірінші күні жүрілген жол ұзындығының $\frac{15}{17}$-ін, үшінші күні екінші күні жүрілген жол ұзындығының 120%-ын құрайтын жол жүрді. Үш күнде автокөлік қанша километр жол жүрген?

Шешуі.

1. Екінші күні: $170 : 17 \cdot 15 = 150$ км.
2. Үшінші күні: $150 \cdot 1{,}2 = 180$ км.
3. Барлығы: $170 + 150 + 180 = 500$ км.

Жауабы: 500 км.

№ 82

Бірінші күні 180 га жер жыртылды. Екінші күні жыртылған жер бірінші күні жыртылған жердің 80%-ына, үшінші күні жыртылған жер екінші күні жыртылған жердің $\frac{11}{12}$-іне тең. Үш күнде қанша гектар жер жыртылған?

Шешуі.

1. Екінші күні: $180 \cdot 0{,}8 = 144$ га.
2. Үшінші күні: $144 : 12 \cdot 11 = 132$ га.
3. Барлығы: $180 + 144 + 132 = 456$ га.

Жауабы: 456 га.

№ 83

1) Тіктөртбұрыштың ұзындығы 20 см, ені ұзындығының 80%-ын құрайды. Периметрі берілген тіктөртбұрыштың периметрінің $\frac{8}{9}$-іне тең шаршының ауданын табыңдар. 2) Шаршының қабырғасы 16 см. Периметрі берілген шаршы периметрінің $\frac{1}{32}$-іне тең екінші шаршының ауданын табыңдар.

Шешуі.

1. Ені $20 \cdot 0{,}8 = 16$ см; тіктөртбұрыштың периметрі $2 \cdot 36 = 72$ см; шаршының периметрі $72 : 9 \cdot 8 = 64$ см; қабырғасы $64 : 4 = 16$ см; ауданы $16 \cdot 16 = 256$ см².
2. Біріншісінің периметрі $4 \cdot 16 = 64$ см; екіншісінікі $64 : 32 = 2$ см; қабырғасы $2 : 4 = 0{,}5$ см; ауданы $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$ см².

Жауабы: 1) 256 см²; 2) 0,25 см².

⚠️ Жиі кететін қате. Периметр 32 есе кем болса, аудан 32 есе емес, $32 \cdot 32 = 1024$ есе кемиді: $256 : 1024 = 0{,}25$.

Диаграммалар, координаталық сәуле, торкөздегі аудан

№ 84

Бурабай өлкесі тауды-орманды кеңде орналасқан. Бурабайдың өсімдіктер әлемінің 65%-ын қарағай, 31%-ын ақкайың, 3%-ын емен және 1%-ын бұталар алып жатыр. Бурабай өлкесінің өсімдіктер әлемін дөңгелек диаграмма арқылы көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Бүкіл дөңгелек — 100% және $360^\circ$. Демек, 1% — бұл $3{,}6^\circ$. Әр пайызды 3,6-ға көбейтіп, бұрышты транспортирмен саламыз.

Шешуі.

• қарағай: $65 \cdot 3{,}6 = 234^\circ$;
• ақкайың: $31 \cdot 3{,}6 = 111{,}6^\circ \approx 112^\circ$;
• емен: $3 \cdot 3{,}6 = 10{,}8^\circ \approx 11^\circ$;
• бұталар: $1 \cdot 3{,}6 = 3{,}6^\circ \approx 4^\circ$.

Тексеру: $234 + 111{,}6 + 10{,}8 + 3{,}6 = 360^\circ$.

Жауабы: сектор бұрыштары $234^\circ$, $\approx 112^\circ$, $\approx 11^\circ$, $\approx 4^\circ$ (диаграмма жоғарыда).

№ 85

$A(1)$, $B(5{,}5)$, $C(7)$, $M(9{,}5)$ нүктелерін координаталық сәуледе кескіндеңдер.

Қалай ойлаймыз. Ыңғайлы бірлік кесінді — 1 см (2 торкөз). Сонда 5,5 және 9,5 сантиметрлік торкөздердің дәл ортасына түседі.

Шешуі. Нөлден санаймыз: $A$ — 1 см, $B$ — 5,5 см, $C$ — 7 см, $M$ — 9,5 см.

Жауабы: нүктелер жоғарыдағы сәуледе.

№ 86

Сәйкес бірлік кесіндіні таңдап, 1) $A(10)$, $B(80)$, $C(70)$, $M(100)$; 2) $A(4)$, $B(8)$, $C(20)$, $M(24)$; 3) $A(13)$, $B(26)$, $C(52)$, $M(65)$ нүктелерін координаталық сәуледе салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сандар үлкен, сондықтан бір бөлік бірден бірнеше бірлік болсын. Барлық координата бөлінетін санды таңдаймыз.

Шешуі.

1. Барлық сан 10-ға бөлінеді. Бір бөлік (1 см) — 10 бірлік: $A$ — 1-бөлікте, $B$ — 8-бөлікте, $C$ — 7-бөлікте, $M$ — 10-бөлікте.
2. Бәрі 4-ке бөлінеді. 1 см — 4 бірлік: $A$ — 1 см, $B$ — 2 см, $C$ — 5 см, $M$ — 6 см.
3. Бәрі 13-ке бөлінеді. 1 см — 13 бірлік: $A$ — 1 см, $B$ — 2 см, $C$ — 4 см, $M$ — 5 см.

Жауабы: 1) бөлік = 10; 2) бөлік = 4; 3) бөлік = 13.

№ 87

$A(2{,}5)$, $B(3{,}5)$, $C(6)$ нүктелерін және 1) координатасы $A$ нүктесінің координатасынан 1,5-ке кем $K$ нүктесін; 2) координатасы $B$ нүктесінің координатасынан 0,5 есе кем $M$ нүктесін; 3) координатасы $C$ нүктесінің координатасының $\frac{2}{3}$-сіне тең $E$ нүктесін координаталық сәуледе салыңдар.

Қалай ойлаймыз. «Кем» — азайтамыз. «… есе кем» — бөлеміз. Ал санның $\frac{2}{3}$-сі — 3-ке бөліп, 2-ге көбейтеміз.

Шешуі.

1. $K$: $2{,}5 - 1{,}5 = 1$.
2. $M$: $3{,}5 : 0{,}5 = 7$. Тосын жағдай: 0,5-ке бөлгенде сан үлкен шығады — екі есе үлкен.
3. $E$: $6 : 3 \cdot 2 = 4$.

Жауабы: $K(1)$, $M(7)$, $E(4)$.

№ 88

1-суретте координаталық сәуле берілген. Бірлік кесіндінің орналасуын табыңдар. Осы координаталық сәуледе үш нүкте белгілеңдер, олардың сәйкес координаталарын көрсетіңдер.

Суретте бөліктері тең үш координаталық сәуле: 1) 4 нүктесі 16-бөлікте тұр; 2) $3\frac{2}{7}$ нүктесі 23-бөлікте тұр; 3) 3,2 нүктесі 16-бөлікте тұр.

Қалай ойлаймыз. Нүктеге дейінгі бөлік санын оның координатасына бөлеміз — бірлік кесіндіде қанша бөлік бар екені шығады.

Шешуі.

1. $16 : 4 = 4$ бөлік бірлік кесіндіде; бір бөлік — $\frac{1}{4}$. Мысалы: 1 — 4-бөлікте, 2,5 — 10-бөлікте, 5 — 20-бөлікте.
2. $3\frac{2}{7} = \frac{23}{7}$, нүкте 23-бөлікте, демек бір бөлік — $\frac{1}{7}$, ал бірлік кесіндіде 7 бөлік бар. Мысалы: 1 — 7-бөлікте, 2 — 14-бөлікте, $3\frac{3}{7}$ — 24-бөлікте.
3. 16 бөлік — бұл 3,2, бір бөлік — $3{,}2 : 16 = 0{,}2$, бірлік кесінді — 5 бөлік. Мысалы: 1 — 5-бөлікте, 2,4 — 12-бөлікте, 4,8 — 24-бөлікте.

Жауабы: бірлік кесінділер — 4, 7 және 5 бөлік; нүктелер — кез келген, мысалы, жоғарыда көрсетілгендер.

№ 89

Бір шаршының (торкөздің) ауданы 1 шаршы бірлік болса, 2-суретте кескінделген фигуралардың аудандарын табыңдар. 2.3-суретте кескінделген фигураның ауданы 2.1-суретте кескінделген фигураның ауданынан неше есе артық? 2.2-суретте кескінделген фигураның ауданы 2.3-суретте кескінделген фигураның ауданынан неше шаршы бірлікке кем?

Қалай ойлаймыз. Фигураны тіктөртбұрышқа дейін толықтырып, кесіліп қалған бөліктерін шегереміз. Бір торкөздің диагоналі бойынша кесілген бұрыш — торкөздің жартысы.

Шешуі.

1. Тіктөртбұрыш $8 \cdot 4 = 32$; $\frac{1}{2}$-ден 4 бұрыш кесілген: $32 - 2 = 30$ ш. б.
2. Тіктөртбұрыш $11 \cdot 4 = 44$; 2 үшбұрыш кесілген — $2 \times 2$ шаршының жартысы, әрқайсысы 2 ш. б.: $44 - 4 = 40$ ш. б.
3. Тіктөртбұрыш $13 \cdot 5 = 65$; $\frac{1}{2}$-ден 4 бұрыш — бұл 2; төменгі ойық: $1 \times 2 = 2$ тілік және $\frac{1}{2}$-ден екі қиғаш — бұл 3. Барлығы $65 - 2 - 3 = 60$ ш. б.
4. $60 : 30 = 2$ — 2 есе; $60 - 40 = 20$ — 20 ш. б.-ке.

Жауабы: 30, 40 және 60 шаршы бірлік; 2 есе; 20 шаршы бірлікке.

Жадынама

• Амалдар реті: жақша → көбейту мен бөлу → қосу мен азайту.
• Ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарамыз — олай есептеу тезірек (№ 6).
• Пайыз — жүзден бір бөлік: $a$ санының $p%$-ы — бұл $a : 100 \cdot p$.
• Торкөздегі күрделі фигураның ауданы: тіктөртбұрышқа дейін толықтыр да, артығын шегер.
• «Сан ойладым» есебін соңынан кері амалдармен шығар.

Шағын тест