§ 1. Екі санның қатынасы. Екі санның пайыздық қатынасы

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 1 тарау: Қатынас және пропорция. 18–23-беттер.

Нені үйренесің

• Екі санның қатынасын табуды және оның нені көрсететінін түсінуді.
• Қатынасты дұрыс оқуды: «5-тің 7-ге қатынасы».
• Кері қатынасты жазуды.
• Бір санның екінші санның неше пайызын құрайтынын білуді.
• Бірдеңенің неше пайызға өскенін есептеуді.

Ой қозғау

Бүгін керек болатын нәрсені еске түсірейік. Алдымен ойша жауап бер, содан кейін жауабын аш.

• 20 саны 5-тен неше есе артық? $20 : 5 = 4$, яғни 4 есе.
• 5 саны 20-ның қандай бөлігін құрайды? $5 : 20 = \frac{1}{4} = 0{,}25$.
• 1% дегеніміз не? Бір жүзден бір бөлігі: $1% = \frac{1}{100} = 0{,}01$.
• 0,3 санында неше пайыз бар? $0{,}3 = \frac{30}{100} = $ 30%.
• 1000-ның 30%-ы неге тең? $1000 \cdot 0{,}3 = $ 300.

💡 Байқадың ба? Алғашқы екі сұрақта біз бір сандарды бөлдік, тек әртүрлі ретпен. Бүгінгі сабақ дәл осы туралы.

Тақырыпты талдаймыз

Салыстыратын бөлу

Айгерімнің 20 кәмпиті бар, ал інісі Темірдің — 5. Қалай салыстырамыз? Азайтуға болады: апасында 15-ке артық. Ал бөлуге де болады: $20 : 5 = 4$ — апасында 4 есе көп.

📌 Екі санның бөліндісін осы сандардың қатынасы дейді.

Қатынас екі сұраққа жауап береді:

• бір сан екіншісінен неше есе артық немесе кем: $20 : 5 = 4$;
• кіші сан үлкен санның қандай бөлігін құрайды: $5 : 20 = 0{,}25$, яғни төрттен бірін.

Қатынас бүтін сан болуы міндетті емес. Мысалы, $21 : 5 = 4{,}2$, ал $5 : 21 = \frac{5}{21}$.

Мұны қалай оқимыз

$5 : 7$ немесе $\frac{5}{7}$ жазуын әртүрлі оқуға болады: «5 пен 7-нің қатынасы», «5 санының 7 санына қатынасы», «5 және 7 сандарының қатынасы», «бестің жетіге қатынасы». Бәрі де дұрыс.

⚠️ Жиі кететін қате. «5-тің 7-ге қатынасы» — бұл $5 : 7$, ал $7 : 5$ емес. Алдымен аталған санды жазамыз, ол алымда тұрады.

Қатынасты аударып қарайық

Сандардың орнын ауыстырсақ, кері қатынас шығады. $3 : 4$ үшін кері қатынас — $4 : 3$. $\frac{3}{4}$ және $\frac{4}{3}$ бөлшектері сияқты мұндай қатынастар өзара кері деп аталады. Олардың көбейтіндісі әрқашан 1-ге тең.

Құпия: қатынас өзгермейді

Екі санды да нөлден өзгеше бірдей санға көбейтсең немесе бөлсең, қатынас сол күйінде қалады. Бұл бөлшектің негізгі қасиетімен бірдей:

$\frac{12}{16} = \frac{3}{4}$, себебі 12 мен 16-ны 4-ке бөлдік.

Бұл өте ыңғайлы: $228 : 342$ есептеу қиын, ал екі санды да 114-ке бөлсек, жай ғана $2 : 3$ шығады.

Пайыздағы қатынас

Пайыз — жүзден бір бөлік. Қатынасты пайызбен өрнектеу үшін оны 100-ге көбейтіп, % белгісін жаз.

$3 : 4 = 0{,}75 = 75%$.

100 тор көзден тұратын жолаққа қара: 100-дің 75-і боялған.

📌 $a$ саны $b$ санының неше пайызын құрайды? 1) $a$-ны $b$-ға бөл. 2) Шыққан санды 100-ге көбейтіп, % қой.

1-мысал. Картоп пен көкөніс

Бір гектардан 150 ц картоп және 200 ц көкөніс жиналады. Картоп өнімділігі көкөніс өнімділігінің неше пайызын құрайды?

$150 : 200 = 0{,}75 = 75%$. Жауабы: 75%.

2-мысал. Неше пайызға өсті

Картоп өнімділігі 80 ц/га-дан 150 ц/га-ға көтерілді. Неше пайызға?

1. Алдымен өнімділік неше центнерге артқанын табамыз: $150 - 80 = 70$ ц/га.
2. Енді өсімді бастапқы шамамен салыстырамыз: $70 : 80 = 0{,}875 = 87{,}5%$.

Жауабы: 87,5%-ға.

⚠️ Жиі кететін қате. Өсімді жаңа санға бөледі: $70 : 150$. Олай емес! Өсу пайызы өзгеріске дейінгі санмен, яғни 80-мен есептеледі.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бөлместен бұрын баладан дауыстап айтқызыңыз: «Нені? Немен салыстырамын?». Немен салыстырсақ, сол әрдайым бөлгіште тұрады. Бұл пайызға берілген есептердегі қателердің жартысын жояды.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Бір санның екіншісінен неше есе артық немесе кем екенін қалай табады? Үлкен санды кішіге бөледі.
• Кіші сан үлкен санның қандай бөлігін құрайтынын қалай біледі? Кіші санды үлкенге бөледі.
• Сандардың қатынасы туралы қашан айтады? Сандарды бөлу арқылы салыстырғанда, яғни олардың бөліндісін тапқанда.
• $a : b$ қатынасындағы $a$ мен $b$ мүшелерін нөлден өзгеше бірдей санға көбейтсе немесе бөлсе, қатынас өзгере ме? Жоқ, өзгермейді. Бұл бөлшектің негізгі қасиетімен бірдей.
• Бөліндіні пайызбен қалай өрнектейді? 100-ге көбейтіп, % белгісін жазады.
• Бір сан екіншісінің неше пайызын құрайтынын қалай табады? Бірінші санды екіншісіне бөліп, шыққан санды пайызбен өрнектейді.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 90

$a$ саны $b$ санынан неше есе үлкен немесе неше есе кіші болатынын табыңдар: 1) $a = 100$, $b = 20$; 2) $a = 50$, $b = 200$; 3) $a = 360$, $b = 60$; 4) $a = 9$, $b = 450$.

Қалай ойлаймыз. Әрдайым үлкен санды кішіге бөлеміз. Содан кейін қайсысы үлкен екенін қарап, «үлкен» немесе «кіші» деп айтамыз.

Шешуі.

1. $100 : 20 = 5$ — $a$ саны $b$-дан 5 есе үлкен.
2. $200 : 50 = 4$ — $a$ саны $b$-дан 4 есе кіші.
3. $360 : 60 = 6$ — $a$ саны $b$-дан 6 есе үлкен.
4. $450 : 9 = 50$ — $a$ саны $b$-дан 50 есе кіші.

Жауабы: 1) 5 есе үлкен; 2) 4 есе кіші; 3) 6 есе үлкен; 4) 50 есе кіші.

№ 91

$x$ саны $y$ санынан неше есе үлкен немесе неше есе кіші болатынын табыңдар: 1) $x = 11$, $y = 88$; 2) $x = 144$, $y = 12$; 3) $x = 53$, $y = 318$; 4) $x = 480$, $y = 24$.

Шешуі.

1. $88 : 11 = 8$ — $x$ саны 8 есе кіші.
2. $144 : 12 = 12$ — $x$ саны 12 есе үлкен.
3. $318 : 53 = 6$ — $x$ саны 6 есе кіші.
4. $480 : 24 = 20$ — $x$ саны 20 есе үлкен.

Жауабы: 1) 8 есе кіші; 2) 12 есе үлкен; 3) 6 есе кіші; 4) 20 есе үлкен.

№ 92

Үй шатырын бояу үшін 20 кг сырдың 18 килограмы қолданылды. Сырдың қандай бөлігі қолданылды?

Шешуі. $18 : 20 = \frac{18}{20} = \frac{9}{10} = 0{,}9$.

Жауабы: сырдың 0,9 бөлігі.

№ 93

Жөндеу жұмыстарына 16 бума тұсқағаздың 12 бумасы кетті. Тұсқағаздың қандай бөлігі жөндеу жұмыстарына жұмсалды?

Шешуі. $12 : 16 = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0{,}75$.

Жауабы: 0,75.

№ 94

Қабыланның жылдамдығы 120 км/сағ, семсербалықтың жылдамдығы 135 км/сағ. Қабыланның жылдамдығы семсербалық жылдамдығының қандай бөлігін құрайды?

Қалай ойлаймыз. «Семсербалық жылдамдығының қандай бөлігі» дегеніміз — семсербалықтың жылдамдығы бөлгіште тұрады.

Шешуі. $120 : 135 = \frac{120}{135} = \frac{8}{9}$ (15-ке қысқарттық).

Жауабы: $\frac{8}{9}$.

🌟 Семсербалық — мұхиттағы ең жылдам жүзгіштердің бірі. Қабылан құрлықта оның суда жүзуінен сәл баяулау жүгіреді!

№ 95

Ұлудың жылдамдығы 9,6 мм/мин, көртышқанның жылдамдығы 60 мм/мин. Ұлудың жылдамдығы көртышқан жылдамдығының қандай бөлігіне тең?

Шешуі. $9{,}6 : 60 = 0{,}16$.

Жауабы: 0,16.

№ 96

Инеліктің ұшу жылдамдығы 228 м/мин, торғайдың ұшу жылдамдығы 342 м/мин. Инеліктің ұшу жылдамдығы торғайдың ұшу жылдамдығының қандай бөлігін құрайды?

Қалай ойлаймыз. Сандар үлкен — қысқартамыз. Екеуі де 114-ке бөлінеді.

Шешуі. $\frac{228}{342} = \frac{228 : 114}{342 : 114} = \frac{2}{3}$.

Жауабы: $\frac{2}{3}$.

№ 97

Тікбұрыш: 1) толық бұрыштың; 2) жазыңқы бұрыштың қандай бөлігін құрайды?

Шешуі.

1. $90 : 360 = \frac{1}{4}$.
2. $90 : 180 = \frac{1}{2}$.

Жауабы: 1) $\frac{1}{4}$; 2) $\frac{1}{2}$.

№ 98

Тікбұрыш: 1) толық бұрыштың; 2) жазыңқы бұрыштың қанша пайызын береді?

Шешуі. № 97 жауаптарын алып, 100-ге көбейтеміз.

1. $\frac{1}{4} = 0{,}25 = 25%$.
2. $\frac{1}{2} = 0{,}5 = 50%$.

Жауабы: 1) 25%; 2) 50%.

№ 99

Жазыңқы бұрыш толық бұрыштың: 1) қандай бөлігін; 2) қанша пайызын береді?

Шешуі. $180 : 360 = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50%$.

Жауабы: 1) $\frac{1}{2}$; 2) 50%.

№ 100

1) $c = 400$ және $d = 100$; 2) $c = 555$ және $d = 111$; 3) $c = 130$ және $d = 780$; 4) $c = 321$ және $d = 963$ болса, $d$ саны $c$ санының қанша пайызын құрайды?

Қалай ойлаймыз. «$c$ санының» дегеніміз — $c$-ға бөлеміз. Егер $d$ саны $c$-дан үлкен болса, пайыз 100-ден көп шығады. Бұл қалыпты жағдай!

Шешуі.

1. $100 : 400 = 0{,}25 = 25%$.
2. $111 : 555 = 0{,}2 = 20%$.
3. $780 : 130 = 6 = 600%$.
4. $963 : 321 = 3 = 300%$.

Жауабы: 1) 25%; 2) 20%; 3) 600%; 4) 300%.

💡 100% — бұл санның толық өзі. 300% — сондай үш сан.

№ 101

6 кг қуырылмаған кофе дәнінен 5 кг қуырылған дән алынады. Қуырылған дән қуырылмаған дәннің қанша пайызын құрайды?

Шешуі. $5 : 6 = \frac{5}{6}$. Пайызбен: $\frac{5}{6} \cdot 100 = \frac{500}{6} = 83\frac{1}{3}%$.

Жауабы: $83\frac{1}{3}%$.

№ 102

10 кг ауада 8 кг азот және 2 кг оттек бар. 1) Азот ауаның; 2) оттек ауаның қанша пайызына тең?

Шешуі.

1. Азот: $8 : 10 = 0{,}8 = 80%$.
2. Оттек: $2 : 10 = 0{,}2 = 20%$.

Тексеру: $80% + 20% = 100%$ ✓.

Жауабы: 1) 80%; 2) 20%.

Математика және экология

№ 103

Орман шаң мен улы газдардан қорғайды. Төмендегі есептеулердің нәтижесі ағаштар мен бұталардың қанша шаң мен улы газдарды жұтатынын көрсетеді. 1) 15 санының 10,8-ін құрайтын сан — ағаштар мен бұталар жұтатын шаңның пайызын; 2) 119 санының 71,4-ін құрайтын сан ағаштар мен бұталар жұтатын улы газдың пайызын береді.

Шешуі.

1. $10{,}8 : 15 = 0{,}72 = 72%$.
2. $71{,}4 : 119 = 0{,}6 = 60%$.

Жауабы: 1) 72%-ға дейін шаң; 2) 60% улы газ.

🌟 Қалаларда жол бойына ағаш осы себепті отырғызылады. Алматы мен Астананың тал-теректері — үлкен шаң сүзгісі де.

B деңгейі

№ 104

1) $x = 8\frac{1}{3} \cdot 1{,}35 - 0{,}25$ және $z = (108 - 106{,}75) \cdot 17\frac{3}{5}$; 2) $x = \frac{1}{3} \cdot \left(40\frac{4}{7} - 38\frac{1}{3}\right) : 2\frac{5}{7}$ және $z = (51{,}4 - 50{,}8) \cdot \frac{20}{27}$ болса, $x$ саны $z$ санының қанша бөлігін береді?

Қалай ойлаймыз. Алдымен $x$ пен $z$-ті мұқият есептейміз, содан кейін $x$-ті $z$-ке бөлеміз.

Шешуі.

1. $8\frac{1}{3} \cdot 1{,}35 = \frac{25}{3} \cdot \frac{27}{20} = \frac{45}{4} = 11{,}25$; $x = 11{,}25 - 0{,}25 = 11$. $z = 1{,}25 \cdot 17{,}6 = 22$. $x : z = 11 : 22 = \frac{1}{2}$.

2. $40\frac{4}{7} - 38\frac{1}{3} = 2\frac{12}{21} - \frac{7}{21} = 2\frac{5}{21} = \frac{47}{21}$. $\frac{1}{3} \cdot \frac{47}{21} = \frac{47}{63}$; $\frac{47}{63} : \frac{19}{7} = \frac{47}{63} \cdot \frac{7}{19} = \frac{47}{171}$. Бұл — $x$. $z = 0{,}6 \cdot \frac{20}{27} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$. $x : z = \frac{47}{171} \cdot \frac{9}{4} = \frac{47}{76}$.

Жауабы: 1) $\frac{1}{2}$; 2) $\frac{47}{76}$.

№ 105

1) $a = 2\frac{7}{37} \cdot \left(73\frac{2}{9} - 71\frac{1}{6}\right)$ және $b = (1{,}819 + 3{,}181) : \frac{2}{9}$; 2) $a = \left(8{,}5 + 9\frac{2}{3}\right) \cdot \frac{60}{109}$ және $b = \left(13\frac{7}{15} + 11{,}8\right) \cdot \frac{300}{379}$ болса, $a$ саны $b$ санының қанша пайызын құрайды?

Қалай ойлаймыз. $\frac{60}{109}$ және $\frac{300}{379}$ көбейткіштері кездейсоқ таңдалмаған: жақша дәл 109 және 379 алым береді. Бәрі әдемі қысқарады.

Шешуі.

1. $73\frac{2}{9} - 71\frac{1}{6} = 2\frac{4}{18} - \frac{3}{18} = 2\frac{1}{18} = \frac{37}{18}$. $a = \frac{81}{37} \cdot \frac{37}{18} = \frac{81}{18} = 4{,}5$. $b = 5 : \frac{2}{9} = 5 \cdot \frac{9}{2} = 22{,}5$. $4{,}5 : 22{,}5 = 0{,}2 = 20%$.

2. Жоғарыдағы қадамдар бойынша: $a = 10$, $b = 20$, $10 : 20 = 50%$.

Жауабы: 1) 20%; 2) 50%.

C деңгейі

№ 106

1000 саны берілген. 1) Осы санның 30%-ын табыңдар. 2) Шыққан нәтижені 150 есе арттырыңдар. 3) Екінші пунктте алынған нәтиже мен берілген санның қатынасын табыңдар. 4) Шыққан қатынастың нәтижесі бойынша бір сан екінші саннан қанша есе артық (кем) екенін анықтаңдар.

Шешуі.

1. $1000 \cdot 0{,}3 = 300$.
2. $300 \cdot 150 = 45,000$.
3. $45,000 : 1000 = 45$.
4. 1000 саны 45-тен үлкен: $1000 : 45 = \frac{200}{9} = 22\frac{2}{9}$.

Жауабы: 1) 300; 2) 45 000; 3) 45; 4) 1000 саны $22\frac{2}{9}$ есе артық.

№ 107

Қабырғаларының ұзындығы сәйкесінше 2,5 см және 3 см болатын екі шаршы берілген. 1) Шаршылар қабырғалары ұзындықтарының қатынасын табыңдар. 2) Шаршылардың периметрін есептеңдер. 3) Периметрлердің қатынасын табыңдар. 4) Шаршылардың аудандарын есептеңдер. 5) Аудандардың пайыздық қатынастарын табыңдар. 6) Шыққан қатынастар мәндерін шаршылар қабырғаларының қатынастарының мәнімен салыстырыңдар.

Шешуі.

1. Қабырғалардың қатынасы: $2{,}5 : 3 = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$.
2. Периметрлері: $4 \cdot 2{,}5 = 10$ см және $4 \cdot 3 = 12$ см.
3. Периметрлердің қатынасы: $10 : 12 = \frac{5}{6}$.
4. Аудандары: $2{,}5 \cdot 2{,}5 = 6{,}25$ см² және $3 \cdot 3 = 9$ см².
5. $6{,}25 : 9 = \frac{625}{900} = \frac{25}{36}$; пайызбен $\frac{25}{36} \cdot 100 = 69\frac{4}{9}% \approx 69{,}4%$.
6. Периметрлердің қатынасы қабырғалардың қатынасына тең ($\frac{5}{6}$). Аудандардың қатынасы $\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$ — бұл қабырғалар қатынасының өзін-өзіне көбейтіндісі.

Жауабы: $\frac{5}{6}$; 10 см және 12 см; $\frac{5}{6}$; 6,25 см² және 9 см²; $69\frac{4}{9}%$; периметрлер қабырғалар сияқты, аудандар қабырғалардың квадраттары сияқты қатынасады.

💡 Осы бақылауды есіңде сақта: шаршының қабырғасын 2 есе арттырсаң, ауданы 4 есе өседі.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 108

Көбейтіндінің мәнін есептеңдер: 1) $259 \cdot 804$; 2) $2{,}9 \cdot 0{,}56$; 3) $\frac{87}{100} \cdot 6\frac{26}{29}$; 4) $8\frac{12}{13} \cdot 0{,}39$.

Шешуі.

1. $259 \cdot 804 = 259 \cdot 800 + 259 \cdot 4 = 207,200 + 1036 = 208,236$.
2. $2{,}9 \cdot 0{,}56 = 1{,}624$.
3. $\frac{87}{100} \cdot \frac{200}{29} = \frac{3 \cdot 2}{1} = 6$.
4. $\frac{116}{13} \cdot \frac{39}{100} = \frac{116 \cdot 3}{100} = 3{,}48$.

Жауабы: 1) 208 236; 2) 1,624; 3) 6; 4) 3,48.

№ 109

Өрнектердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $0{,}15 \cdot 6{,}6$ және $0{,}003 \cdot 33$; 2) $41\frac{1}{49} \cdot \frac{7}{201}$ және $343 : 4900$.

Шешуі.

1. $0{,}15 \cdot 6{,}6 = 0{,}99$; $0{,}003 \cdot 33 = 0{,}099$. $0{,}99 > 0{,}099$.
2. $41\frac{1}{49} = \frac{2010}{49}$; $\frac{2010}{49} \cdot \frac{7}{201} = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$. Ал $343 : 4900 = 0{,}07$. $1\frac{3}{7} > 0{,}07$.

Жауабы: 1) біріншісі үлкен; 2) біріншісі үлкен.

№ 110

Теңдеуді шешіңдер: 1) $2x \cdot 0{,}25 = 64$; 2) $3x \cdot 8\frac{2}{17} = 1\frac{11}{23}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен белгілі көбейткіштерді көбейтеміз, сосын белгісіз көбейткішті бөлу арқылы табамыз.

Шешуі.

1. $2 \cdot 0{,}25 = 0{,}5$, демек, $0{,}5x = 64$, $x = 64 : 0{,}5 = 128$.
2. $3 \cdot 8\frac{2}{17} = 3 \cdot \frac{138}{17} = \frac{414}{17}$. Сонда $x = \frac{34}{23} : \frac{414}{17} = \frac{34 \cdot 17}{23 \cdot 414} = \frac{289}{4761}$.

Жауабы: 1) 128; 2) $\frac{289}{4761}$.

Жадынама

• Қатынас — бөлінді: $20 : 5 = 4$, $5 : 20 = 0{,}25$.
• «$a$-ның $b$-ға қатынасы» — бұл $a : b$, алдымен аталған санды жазамыз.
• Кері қатынаста сандар орын ауыстырады.
• $a$ саны $b$ санының қанша бөлігін құрайды: $\frac{a}{b} \cdot 100%$.
• Өсу пайызы бастапқы мәнмен есептеледі.

Шағын тест