§ 10. Бірмүшелер және оларға амалдар қолдану. Бірмүшенің дәрежесі және стандарт түрі

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 2 бөлім: Көпмүшелер. 77–83-беттер.

Нені үйренесің

• Бірмүшені басқа өрнектерден ажыратып, оны қосындыдан және төменгі жағында әрпі бар бөлшектен айыруды.
• Бірмүшені стандарт түрге келтіріп, оның коэффициенті мен дәрежесін атауды.
• Бірмүшелерді көбейтуді және бірмүшені дәрежеге шығаруды.
• Әріптердің берілген мәндерінде бірмүшенің мәнін «тура есептемей-ақ» табуды.
• Ұқсас бірмүшелерді танып білуді.

Ой қозғау

Бастамас бұрын өткен бөлімдегі дәрежелерді еске түсірейік.

• $a^{3}\cdot a^{4}$ неге тең? Көбейткенде көрсеткіштер қосылады: $a^{7}$.
• $(a^{3})^{4}$ неге тең? Дәрежені дәрежеге шығарғанда көрсеткіштер көбейтіледі: $a^{12}$.
• $(2b)^{3}$ неге тең? Әр көбейткішті дәрежеге шығарамыз: $2^{3}b^{3}=8b^{3}$.
• $a\ne 0$ болғанда $a^{0}$ неге тең? Бірге. Бұл керек болады: $7$ санын $7\cdot a^{0}$ деп жазуға болады.
• $(-1)^{5}$ және $(-1)^{6}$ неге тең? $-1$ және $1$: тақ дәреже минусты сақтайды, жұп дәреже оны алып тастайды.

Тақырыпты талдаймыз

Бірмүше дегеніміз не

Астанадағы бөлменің ауданын есептеп жатырсың делік: ұзындығы $a$, ені $b$, және әр метрдің бағасы бар. $15ab$ сияқты жазу шығады. Бұл — бірмүше: санның және әріптердің (дәрежелерімен) көбейтіндісі.

Ондағы санды сан көбейткіш, ал дәрежелері бар әріптерді әріпті көбейткіштер деп атайды. Бірмүшеге мысалдар: $3^{3}xy$, $15ab^{3}$, $-\frac{8}{9}nm^{4}$.

Жалғыз сан ($7$, $0{,}09$, $-\frac{5}{6}$) және жалғыз әріп ($b$) те бірмүше: өйткені $7=7\cdot a^{0}$, ал $b=1\cdot b$.

⚠️ Жиі кететін қате. Қосынды, айырым және бөлімінде әрпі бар бөлшек бірмүше бола алмайды. $a+b$ немесе $\frac{4}{b}$ — бірмүше емес. Ал $\frac{a}{5}$ — бірмүше: бұл $\frac{1}{5}a$.

Стандарт түр

Бірмүшені әдемі етіп жазуға болады: алдымен бір сан көбейткіш, содан кейін әріптер бір реттен, әрқайсысы өз дәрежесімен. Бұл — стандарт түр.

Оқулықтағы мысалды өз сандарымызбен алайық. $12a^{2}b\cdot(0{,}5ab^{3})\cdot 4c$ өрнегін ықшамдайық:

1. Сандарды бірге аламыз: $12\cdot 0{,}5\cdot 4=24$.
2. $a$ әрпі: $a^{2}\cdot a=a^{3}$.
3. $b$ әрпі: $b\cdot b^{3}=b^{4}$.
4. $c$ әрпі жалғыз.

Нәтиже: $24a^{3}b^{4}c$.

💡 Алдымен ықшамда, содан кейін сандарды қой. $a=-1$, $b=2$, $c=13$ болғанда $30a^{5}b^{4}c$ өрнегі $30\cdot(-1)\cdot 16\cdot 13=-6240$ береді. Ұзын көбейтіндіні басынан бастап есептеу ұзағырақ және қателесуге қауіптірек болар еді.

Коэффициент және дәреже

Коэффициент — стандарт түрдегі сан көбейткіш. $\frac{4}{9}x$ бірмүшесінің коэффициенті $\frac{4}{9}$, ал $-7x^{2}$ бірмүшесінде ол $-7$-ге тең. Бірді және минус бірді жазбайды: $1\cdot a^{4}b^{3}c=a^{4}b^{3}c$ (коэффициенті $1$), ал $-mn^{7}t^{3}$ бірмүшесінің коэффициенті $-1$.

Бірмүшенің дәрежесі — барлық әріптердің көрсеткіштерінің қосындысы. $3a^{4}b^{3}c$ үшін ол $4+3+1=8$-ге тең. Әріпсіз санның дәрежесі нөлге тең: $125=125\cdot x^{0}y^{0}$.

⚠️ Жиі кететін қате. Көрсеткіші жоқ әріпті ұмытпа: $x^{5}yz^{2}$ бірмүшесінің дәрежесі $5+1+2=8$, ал $7$ емес.

Ұқсас бірмүшелер

Егер бірмүшелер тек коэффициенттерімен ерекшеленсе (әріпті бөлігі бірдей), олар ұқсас. Мысалы, $7xy^{3}t$, $-8{,}9xy^{3}t$ және $1\frac{5}{11}xy^{3}t$ ұқсас. Ал $3ab^{2}$ және $3a^{2}b$ — ұқсас емес: көрсеткіштер басқа әріптерде тұр.

Бірмүшелерді көбейтеміз және дәрежеге шығарамыз

Бірмүшелерді көбейту үшін сандарын көбейт те, бірдей әріптердің көрсеткіштерін қос. Мысалы, $(9n^{3}m)\cdot(-1{,}1nm^{4})=-9{,}9n^{4}m^{5}$.

Бірмүшені дәрежеге шығару үшін оның әрбір көбейткішін — санды да, әріптерді де — сол дәрежеге шығар: $\left(\frac{1}{5}tk^{4}\right)^{3}=\frac{1}{125}t^{3}k^{12}$.

Керісінше де жасауға болады: бірмүшені куб түрінде көрсету. $-0{,}125x^{9}y^{3}=(-0{,}5)^{3}(x^{3})^{3}y^{3}=(-0{,}5x^{3}y)^{3}$.

📌 $(a^{m}b^{n})^{k}=a^{mk}b^{nk}$, ал жақшадағы сан да сол дәрежеге түгелдей шығарылады.

🌟 Оқулықтың 5-мысалы бірмүшенің ішінде белгісіз көрсеткіш жасырынуы мүмкін екенін көрсетеді. $\left(2\frac{1}{3}m^{5}\right)^{n}\cdot\frac{9}{49}m^{11}=29\frac{52}{81}m^{41}$ теңдігінен $m\ne 0$ болғанда $n=6$ шығады. Ал $m=0$ болғанда теңдік кез келген $n$-де дұрыс. Алдымен $m$-нің дәрежелерін қалай салыстыратынын қара: $5n+11=41$, бұдан $n=6$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан $-3a^{2}bc^{3}$ бірмүшесінің коэффициенті мен дәрежесін дауыстап атап беруін сұраңыз. Жиі кететін қате — көрсеткіші жоқ $b$ әрпін ұмыту. «Көрсеткіш көрінбесе, онда бір тұр» деген сөз көмектеседі.

Өзіңді тексер

• Бірмүшені сан мен натурал көрсеткішті дәрежелердің көбейтіндісінен тұратын өрнек түрінде жазуға бола ма? Иә. Стандарт түрде бұл — санның түрлі әріптердің дәрежелеріне көбейтіндісі. Әріпсіз сан да сәйкес келеді: $7=7\cdot a^{0}$ (нөлдік көрсеткіш натурал емес, бірақ біз жай ғана әріптерді жазбаймыз).
• «Ретімен орындалған соңғы амал қосу да, азайту да болмайтын өрнекті бірмүше деп атаймыз» деген анықтама дұрыс па? Жоқ. $(a+b)\cdot c$ өрнегі көбейтумен аяқталады, бірақ бірмүше емес. $\frac{a+b}{c}$ бөлшегі де бірмүше емес.
• Кез келген бірмүше өрнек болады деген тұжырым дұрыс па? Иә, кез келгені.
• Ал кез келген өрнек бірмүше болады ма? Жоқ: $a+b$ — өрнек, бірақ бірмүше емес.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 10.1

$8a$; $-0{,}5bc$; $\frac{2}{3}x^{2}yz$; $\frac{x-2}{3}$; $\frac{y+1}{z}$; $10\frac{a}{5}$; $\frac{4}{b}$ өрнектерінің қайсылары бірмүше болады?

Қалай ойлаймыз. Бірмүше — тек сандар мен әріптердің (дәрежелерімен) көбейтіндісі. Қосу немесе бөлімдегі әріп өрнекті тізімнен бірден шығарып тастайды.

Шешуі.

1. $8a$ — бірмүше.
2. $-0{,}5bc$ — бірмүше.
3. $\frac{2}{3}x^{2}yz$ — бірмүше.
4. $\frac{x-2}{3}=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$ — айырым, бірмүше емес.
5. $\frac{y+1}{z}$ — қосынды да, бөлімде әріп те бар, бірмүше емес.
6. $10\cdot\frac{a}{5}=2a$ — бірмүше.
7. $\frac{4}{b}$ — бөлімде әріп бар, бірмүше емес.

Жауабы: бірмүшелер $8a$; $-0{,}5bc$; $\frac{2}{3}x^{2}yz$; $10\frac{a}{5}$.

№ 10.2

$41{,}9a^{2}c$; $-\frac{8}{17}x^{5}$; $6a^{4}ba$; $107x^{2}yzy^{2}$; $-26a^{2}nm^{10}$; $3ab\cdot\frac{5}{9}b$; $0{,}24x^{3}y\frac{7}{3}x^{7}y$ бірмүшелерінің арасынан стандарт түрде жазылғандарын көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Стандарт түрде алдында бір сан көбейткіш тұрады және әр әріп бір рет кездеседі.

Шешуі.

1. $41{,}9a^{2}c$ — стандарт түр.
2. $-\frac{8}{17}x^{5}$ — стандарт түр.
3. $6a^{4}ba$ — $a$ әрпі қайталанады, жоқ.
4. $107x^{2}yzy^{2}$ — $y$ қайталанады, жоқ.
5. $-26a^{2}nm^{10}$ — стандарт түр.
6. $3ab\cdot\frac{5}{9}b$ — екі сан көбейткіш және $b$ қайталанады, жоқ.
7. $0{,}24x^{3}y\frac{7}{3}x^{7}y$ — екі сан, $x$ және $y$ қайталанады, жоқ.

Жауабы: $41{,}9a^{2}c$; $-\frac{8}{17}x^{5}$; $-26a^{2}nm^{10}$.

№ 10.3

Бірмүшені стандарт түрде жазыңдар және оның дәрежесін табыңдар: 1) $8x^{5}x$; 2) $-b^{4}b^{4}b$; 3) $xyx^{4}$; 4) $-a^{5}(-a^{8})$; 5) $7nm^{4}(-8n^{3})$; 6) $\frac{5}{24}k^{5}t\left(-\frac{3}{10}t^{6}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Сандарды көбейтеміз, бірдей әріптердің көрсеткіштерін қосамыз.

Шешуі.

1. $8x^{5}\cdot x=8x^{6}$, дәрежесі $6$.
2. $-b^{4+4+1}=-b^{9}$, дәрежесі $9$.
3. $x^{1+4}y=x^{5}y$, дәрежесі $6$.
4. $-a^{5}\cdot(-a^{8})=a^{13}$ (минус минусқа плюс береді), дәрежесі $13$.
5. $7\cdot(-8)=-56$, $n\cdot n^{3}=n^{4}$: $-56n^{4}m^{4}$, дәрежесі $8$.
6. $\frac{5}{24}\cdot\left(-\frac{3}{10}\right)=-\frac{15}{240}=-\frac{1}{16}$; $k^{5}t^{7}$: $-\frac{1}{16}k^{5}t^{7}$, дәрежесі $12$.

Жауабы: 1) $8x^{6}$, 6; 2) $-b^{9}$, 9; 3) $x^{5}y$, 6; 4) $a^{13}$, 13; 5) $-56n^{4}m^{4}$, 8; 6) $-\frac{1}{16}k^{5}t^{7}$, 12.

№ 10.4

Дәл солай: 1) $1{,}8a^{5}b^{7}a^{10}$; 2) $\frac{14}{5}cd^{5}\left(-\frac{8}{7}c^{4}\right)$; 3) $2{,}8xt^{5}(-0{,}5x^{2}t)$; 4) $-b^{5}(-b^{8})(-b)$; 5) $1{,}4a^{6}t\left(-\frac{3}{2}at^{8}\right)$; 6) $20bc^{8}(-0{,}05b^{10})$.

Шешуі.

1. $1{,}8a^{15}b^{7}$, дәрежесі $22$.
2. $\frac{14}{5}\cdot\left(-\frac{8}{7}\right)=-\frac{16}{5}=-3{,}2$; $c\cdot c^{4}=c^{5}$: $-3{,}2c^{5}d^{5}$, дәрежесі $10$.
3. $2{,}8\cdot(-0{,}5)=-1{,}4$; $x^{3}t^{6}$: $-1{,}4x^{3}t^{6}$, дәрежесі $9$.
4. үш минус минус береді, көрсеткіштер $5+8+1=14$: $-b^{14}$, дәрежесі $14$.
5. $1{,}4\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-2{,}1$; $a^{7}t^{9}$: $-2{,}1a^{7}t^{9}$, дәрежесі $16$.
6. $20\cdot(-0{,}05)=-1$; $b^{11}c^{8}$: $-b^{11}c^{8}$, дәрежесі $19$.

Жауабы: 1) $1{,}8a^{15}b^{7}$, 22; 2) $-3{,}2c^{5}d^{5}$, 10; 3) $-1{,}4x^{3}t^{6}$, 9; 4) $-b^{14}$, 14; 5) $-2{,}1a^{7}t^{9}$, 16; 6) $-b^{11}c^{8}$, 19.

№ 10.5

Бірмүшені стандарт түрде жазыңдар: 1) $5a^{3}\cdot(-3)ab^{5}$; 2) $7m^{2}\cdot 6c^{3}m$; 3) $-6m^{8}\cdot 9am^{3}$; 4) $-8ac^{5}\cdot(-2a^{4})$; 5) $3m^{2}np\cdot(-5mn^{2})$; 6) $ab\cdot 9a\cdot 4b$.

Шешуі.

1. $5\cdot(-3)=-15$; $a^{4}b^{5}$: $-15a^{4}b^{5}$.
2. $7\cdot 6=42$; $m^{3}c^{3}$: $42m^{3}c^{3}$.
3. $-6\cdot 9=-54$; $a m^{11}$: $-54am^{11}$.
4. $(-8)(-2)=16$; $a^{5}c^{5}$: $16a^{5}c^{5}$.
5. $3\cdot(-5)=-15$; $m^{3}n^{3}p$: $-15m^{3}n^{3}p$.
6. $9\cdot 4=36$; $a^{2}b^{2}$: $36a^{2}b^{2}$.

Жауабы: 1) $-15a^{4}b^{5}$; 2) $42m^{3}c^{3}$; 3) $-54am^{11}$; 4) $16a^{5}c^{5}$; 5) $-15m^{3}n^{3}p$; 6) $36a^{2}b^{2}$.

№ 10.6

Бірмүшені стандарт түрде жазыңдар: 1) $\left(-\frac{1}{2}m^{3}\right)(-16m^{2})$; 2) $\left(\frac{3}{4}x^{2}y^{3}z\right)\left(\frac{2}{3}x^{3}y^{2}z^{2}\right)$; 3) $\left(-\frac{3}{5}a^{2}xy^{3}\right)\left(\frac{2}{3}ax^{2}y\right)$; 4) $\left(10\frac{1}{3}ab^{2}c^{4}\right)\left(1\frac{5}{31}a^{7}bc^{2}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Аралас сандарды алдымен бұрыс бөлшектерге айналдыр: көбіне бәрі әдемі қысқарады.

Шешуі.

1. $\left(-\frac{1}{2}\right)(-16)=8$; $m^{5}$: $8m^{5}$.
2. $\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$; $x^{5}y^{5}z^{3}$: $0{,}5x^{5}y^{5}z^{3}$.
3. $-\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{3}=-\frac{2}{5}$; $a^{3}x^{3}y^{4}$: $-0{,}4a^{3}x^{3}y^{4}$.
4. $10\frac{1}{3}=\frac{31}{3}$, $1\frac{5}{31}=\frac{36}{31}$; $\frac{31}{3}\cdot\frac{36}{31}=12$; $a^{8}b^{3}c^{6}$: $12a^{8}b^{3}c^{6}$.

Жауабы: 1) $8m^{5}$; 2) $0{,}5x^{5}y^{5}z^{3}$; 3) $-0{,}4a^{3}x^{3}y^{4}$; 4) $12a^{8}b^{3}c^{6}$.

№ 10.7

Дәл солай: 1) $\frac{4pc^{2}}{15}\cdot\frac{9ca^{3}}{2}$; 2) $\left(-\frac{4}{5}m^{4}np\right)\left(-\frac{1}{4}m^{2}n^{3}p^{2}\right)$; 3) $\left(-4\frac{3}{4}mn^{2}\right)\left(-\frac{17}{38}amn\right)$; 4) $\left(6\frac{1}{2}x^{3}yz^{2}\right)\left(2\frac{2}{13}x^{6}yz^{3}\right)$.

Шешуі.

1. $\frac{4\cdot 9}{15\cdot 2}=\frac{36}{30}=\frac{6}{5}=1{,}2$; $a^{3}c^{3}p$: $1{,}2a^{3}c^{3}p$.
2. $\left(-\frac{4}{5}\right)\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{5}$; $m^{6}n^{4}p^{3}$: $0{,}2m^{6}n^{4}p^{3}$.
3. $-4\frac{3}{4}=-\frac{19}{4}$; $\frac{19}{4}\cdot\frac{17}{38}=\frac{17}{8}$; $a m^{2}n^{3}$: $\frac{17}{8}am^{2}n^{3}=2\frac{1}{8}am^{2}n^{3}$.
4. $\frac{13}{2}\cdot\frac{28}{13}=14$; $x^{9}y^{2}z^{5}$: $14x^{9}y^{2}z^{5}$.

Жауабы: 1) $1{,}2a^{3}c^{3}p$; 2) $0{,}2m^{6}n^{4}p^{3}$; 3) $2\frac{1}{8}am^{2}n^{3}$; 4) $14x^{9}y^{2}z^{5}$.

№ 10.8

Бірмүшенің дәрежесін табыңдар: 1) $\left(\frac{2}{3}ab^{2}\right)^{3}$; 2) $\left(\frac{3}{4}a^{2}b^{3}\right)^{4}$; 3) $\left(\frac{4}{3}m^{5}n^{2}\right)^{5}$; 4) $\left(\frac{2}{9}m^{10}n^{13}\right)^{3}$; 5) $(-0{,}6a^{3}b^{4})^{4}$; 6) $(-1{,}3x^{10}y^{4})^{3}$; 7) $(0{,}02m^{3}n^{3})^{2}$; 8) $(0{,}5x^{3}y^{5})^{3}$.

Қалай ойлаймыз. Жақшадағы бірмүшенің дәрежесі жақшаның көрсеткішіне көбейтіледі. Ішіндегі әріптердің көрсеткіштерін қосып, көбейту жеткілікті.

Шешуі.

1. $(1+2)\cdot 3=9$.
2. $(2+3)\cdot 4=20$.
3. $(5+2)\cdot 5=35$.
4. $(10+13)\cdot 3=69$.
5. $(3+4)\cdot 4=28$.
6. $(10+4)\cdot 3=42$.
7. $(3+3)\cdot 2=12$.
8. $(3+5)\cdot 3=24$.

Жауабы: 1) 9; 2) 20; 3) 35; 4) 69; 5) 28; 6) 42; 7) 12; 8) 24.

B деңгейі

№ 10.9

Егер тіктөртбұрыштың қабырғаларының ұзындығы $5x^{4}y^{7}$ және $7x^{2}y^{5}$ өрнектерімен берілсе, онда тіктөртбұрыштың ауданын табу формуласын жазыңдар. Тіктөртбұрыштың ауданын беретін бірмүшенің дәрежесі нешеге тең?

Қалай ойлаймыз. Тіктөртбұрыштың ауданы — қабырғаларының көбейтіндісі.

Шешуі. $S=5x^{4}y^{7}\cdot 7x^{2}y^{5}=35x^{6}y^{12}$. Дәрежесі: $6+12=18$.

Жауабы: $S=35x^{6}y^{12}$, дәрежесі $18$.

№ 10.10

Егер шаршының қабырғасының ұзындығы $6x^{4}y^{3}$ өрнегімен берілсе, онда шаршының ауданын табу формуласын жазыңдар. Шаршының ауданын беретін бірмүшенің дәрежесі нешеге тең?

Шешуі. $S=a^{2}=(6x^{4}y^{3})^{2}=36x^{8}y^{6}$. Дәрежесі: $8+6=14$.

Жауабы: $S=36x^{8}y^{6}$, дәрежесі $14$.

№ 10.11

Бірмүшелерді көбейтуді орындаңдар және шыққан өрнектің мәнін табыңдар: 1) $\frac{3}{4}a^{2}\cdot\frac{4}{5}b^{2}$, мұндағы $a=2$, $b=\frac{3}{5}$; 2) $0{,}4ab\cdot 8b^{2}$, мұндағы $a=0{,}5$, $b=3$; 3) $0{,}5ab^{3}\cdot 16a^{2}b$, мұндағы $a=-0{,}5$, $b=-2$; 4) $\frac{5}{18}a^{3}b^{4}\cdot 3\frac{3}{5}a^{4}b^{4}$, мұндағы $a=-0{,}2$, $b=-5$; 5) $\frac{1}{2}a^{2}b^{4}x\cdot\frac{3}{4}ab^{5}x^{3}$, мұндағы $a=2$, $b=1$, $x=\frac{1}{2}$; 6) $-4a^{2}b^{2}c^{2}\cdot 6a^{4}c^{3}$, мұндағы $a=1$, $b=\frac{1}{4}$, $c=2$; 7) $\frac{2}{5}x^{3}y^{2}z\cdot 7{,}5xz^{4}$, мұндағы $x=-2$, $y=-1$, $z=-0{,}5$; 8) $-25n^{2}m^{2}\cdot 0{,}16n^{5}m^{7}$, мұндағы $n=-0{,}1$, $m=10$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен стандарт түрге келтіреміз, содан кейін сандарды қоямыз. Таңбаларды қадағала: теріс санның тақ дәрежесі минус береді.

Шешуі.

1. $\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{5}=\frac{3}{5}$: $\frac{3}{5}a^{2}b^{2}=\frac{3}{5}\cdot 4\cdot\frac{9}{25}=\frac{108}{125}$.
2. $3{,}2ab^{3}=3{,}2\cdot 0{,}5\cdot 27=43{,}2$.
3. $0{,}5\cdot 16=8$: $8a^{3}b^{4}=8\cdot\left(-\frac{1}{8}\right)\cdot 16=-16$.
4. $\frac{5}{18}\cdot\frac{18}{5}=1$: $a^{7}b^{8}=(-0{,}2)^{7}\cdot(-5)^{8}=-\frac{1}{5^{7}}\cdot 5^{8}=-5$.
5. $\frac{3}{8}a^{3}b^{9}x^{4}=\frac{3}{8}\cdot 8\cdot 1\cdot\frac{1}{16}=\frac{3}{16}$.
6. $-24a^{6}b^{2}c^{5}=-24\cdot 1\cdot\frac{1}{16}\cdot 32=-48$.
7. $\frac{2}{5}\cdot 7{,}5=3$: $3x^{4}y^{2}z^{5}=3\cdot 16\cdot 1\cdot\left(-\frac{1}{32}\right)=-1{,}5$.
8. $-25\cdot 0{,}16=-4$: $-4n^{7}m^{9}$. $n^{7}=-10^{-7}$, $m^{9}=10^{9}$, көбейтіндісі $-100$. Барлығы $-4\cdot(-100)=400$.

Жауабы: 1) $\frac{108}{125}$; 2) $43{,}2$; 3) $-16$; 4) $-5$; 5) $\frac{3}{16}$; 6) $-48$; 7) $-1{,}5$; 8) $400$.

№ 10.12

Бірмүшені екінші бірмүшенің квадраты түрінде жазыңдар: 1) $16a^{6}$; 2) $100m^{8}n^{4}$; 3) $\frac{25}{81}x^{6}y^{12}$; 4) $\frac{169}{225}a^{10}b^{2}$; 5) $3{,}24m^{4}p^{14}$; 6) $0{,}0289\frac{x^{20}}{y^{18}}$.

Қалай ойлаймыз. Квадрат дегеніміз — саннан түбір шығады, ал көрсеткіштер екіге бөлінеді.

Шешуі.

1. $16=4^{2}$, $a^{6}=(a^{3})^{2}$: $(4a^{3})^{2}$.
2. $(10m^{4}n^{2})^{2}$.
3. $\frac{25}{81}=\left(\frac{5}{9}\right)^{2}$: $\left(\frac{5}{9}x^{3}y^{6}\right)^{2}$.
4. $\frac{169}{225}=\left(\frac{13}{15}\right)^{2}$: $\left(\frac{13}{15}a^{5}b\right)^{2}$.
5. $3{,}24=1{,}8^{2}$: $(1{,}8m^{2}p^{7})^{2}$.
6. $0{,}0289=0{,}17^{2}$: $\left(0{,}17\frac{x^{10}}{y^{9}}\right)^{2}$.

Жауабы: 1) $(4a^{3})^{2}$; 2) $(10m^{4}n^{2})^{2}$; 3) $\left(\frac{5}{9}x^{3}y^{6}\right)^{2}$; 4) $\left(\frac{13}{15}a^{5}b\right)^{2}$; 5) $(1{,}8m^{2}p^{7})^{2}$; 6) $\left(0{,}17\frac{x^{10}}{y^{9}}\right)^{2}$.

№ 10.13

Өрнектердің арасынан натурал көрсеткішті дәреже болатын бірмүшенің квадраты және бірмүшенің кубы түрінде жазылатын өрнектерді теріп жазыңдар: 1) $a^{13}b^{30}$; 2) $n^{6}m^{18}k^{9}$; 3) $x^{24}y^{16}z^{20}$; 4) $0{,}16a^{2}b^{6}$; 5) $216a^{6}b^{6}$; 6) $7{,}296a^{15}c^{9}$.

Қалай ойлаймыз. Квадрат үшін: барлық көрсеткіштер жұп және сан — толық квадрат. Куб үшін: барлық көрсеткіштер $3$-ке бөлінеді және сан — толық куб. «Квадрат та, куб та» деген екеуі бірден сәйкес келеді дегенді білдіреді (көрсеткіштер $6$-ға еселі).

Шешуі.

1. $a^{13}$: $13$ санына $2$-ге де, $3$-ке де бөлінбейді. Екеуі де емес.
2. Көрсеткіштер $6, 18, 9$ санын $3$-ке бөлуге болады, бірақ $9$ тақ. Тек куб: $(nm^{6}k^{3})^{3}$.
3. Көрсеткіштер $24, 16, 20$ жұп, бірақ $16$ санына $3$-ке бөлінбейді. Тек квадрат: $(x^{12}y^{8}z^{10})^{2}$.
4. $0{,}16=0{,}4^{2}$, көрсеткіштер жұп. Тек квадрат: $(0{,}4ab^{3})^{2}$. Куб болмайды: $a^{2}$ көрсеткіші $3$-ке еселі емес.
5. $216=6^{3}$, көрсеткіштер $3$-ке еселі. Тек куб: $(6a^{2}b^{2})^{3}$. Квадрат болмайды: $216$ толық квадрат емес.
6. $15$ көрсеткіші тақ (квадрат емес), ал $7{,}296$ рационал санның кубы емес. Екеуі де емес.

Жауабы: бір мезгілде квадрат және куб түрінде ешқайсысы жазылмайды; тек квадрат — 3) және 4); тек куб — 2) және 5).

C деңгейі

Мұнда қиынырақ, бірақ сен үддесесің: әр мысал — бір айлалы қадам. Әрекет жасаудың өзі де есепке алынады.

№ 10.14

Егер $5x^{2}y^{3}=8$ болса, онда: 1) $45x^{2}y^{3}$; 2) $3x^{2}y^{3}$; 3) $-5{,}5x^{2}y^{3}$; 4) $25x^{4}y^{6}$; 5) $125x^{6}y^{9}$; 6) $\frac{625}{128}x^{8}y^{12}$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $x$ пен $y$-ті бөлек іздеме. Әр өрнектен $5x^{2}y^{3}$ бөлігін немесе оның дәрежесін ізде.

Шешуі.

1. $45x^{2}y^{3}=9\cdot 5x^{2}y^{3}=9\cdot 8=72$.
2. $3x^{2}y^{3}=\frac{3}{5}\cdot 8=4{,}8$.
3. $-5{,}5x^{2}y^{3}=-1{,}1\cdot 5x^{2}y^{3}=-8{,}8$.
4. $25x^{4}y^{6}=(5x^{2}y^{3})^{2}=8^{2}=64$.
5. $125x^{6}y^{9}=(5x^{2}y^{3})^{3}=8^{3}=512$.
6. $\frac{625}{128}x^{8}y^{12}=\frac{(5x^{2}y^{3})^{4}}{128}=\frac{4096}{128}=32$.

Жауабы: 1) $72$; 2) $4{,}8$; 3) $-8{,}8$; 4) $64$; 5) $512$; 6) $32$.

№ 10.15

Егер $3x^{3}y=4$ болса, онда: 1) $21x^{3}y$; 2) $6x^{-3}y^{-1}$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Шешуі.

1. $21x^{3}y=7\cdot 3x^{3}y=7\cdot 4=28$.
2. $6x^{-3}y^{-1}=\frac{6}{x^{3}y}=\frac{18}{3x^{3}y}=\frac{18}{4}=4{,}5$.

Жауабы: 1) $28$; 2) $4{,}5$.

№ 10.16

$(a^{5}b^{3})^{6}\cdot(a^{7}b^{4})^{5}:(a^{21}b^{12})^{3}$ өрнегін ықшамдап, $a=-\frac{5}{11}$ және $b=3\frac{2}{3}$ болғандағы мәнін есептеңдер.

Қалай ойлаймыз. Жақшаларды аш, көрсеткіштерді қос және азайт, содан кейін ғана сандарды қой.

Шешуі. Жоғарыдағы қадамдардағыдай: $a^{2}b^{2}=(ab)^{2}=\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$.

Жауабы: $a^{2}b^{2}$; мәні $2\frac{7}{9}$.

№ 10.17

$a$-ның кез келген оң мәнінде ақиқат болатын теңдік немесе теңсіздік шығу үшін бірмүшелердің арасына «$=$», «

Қалай ойлаймыз. Жұп дәреже минусты алып тастайды, тақ дәреже оны қалдырады.

Шешуі.

1. Дәреже $3$ тақ: $-27a^{12}<27a^{12}$.
2. Дәреже $8$ жұп: екеуі де $5^{8}a^{40}$-ке тең.
3. Дәреже $10$ жұп: екеуі де $4^{10}a^{40}$-ке тең.
4. $-6\cdot(-a^{6})=6a^{6}$, демек сол жағы $=(6a^{6})^{5}>0$. Оң жағы: $6\cdot(-a^{6})=-6a^{6}$, $(-6a^{6})^{5}<0$. Сол жағы үлкен.

Жауабы: 1)

Келесі тақырыпқа дайындаламыз

№ 10.18

1) $2a^{2}b-13ab^{3}$ айырымын бірмүшелердің қосындысымен; 2) $11x^{2}y+(-xy^{3})$ қосындысын бірмүшелердің айырымы түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Азайту — қарама-қарсы санды қосу, ал керісінше де солай.

Шешуі.

1. $2a^{2}b-13ab^{3}=2a^{2}b+(-13ab^{3})$.
2. $11x^{2}y+(-xy^{3})=11x^{2}y-xy^{3}$.

Жауабы: 1) $2a^{2}b+(-13ab^{3})$; 2) $11x^{2}y-xy^{3}$.

№ 10.19

$17a^{3}$; $-5ya^{4}$; $8a^{2}n^{3}$; $12xy^{5}$ бірмүшелерінің арасынан дәрежесі ең үлкен бірмүшені көрсетіңдер.

Шешуі. Дәрежелері: $3$; $1+4=5$; $2+3=5$; $1+5=6$. Ең үлкені $6$.

Жауабы: $12xy^{5}$ (дәрежесі $6$).

Жадынама

• Алдымен ықшамда, содан кейін сандарды қой.
• $-3^{2}\ne(-3)^{2}$ — жақшаларды қадағала.
• Көрсеткіш жазылмаса — бір тұр.

Шағын тест