§ 10. Одночлены и действия над ними. Степень и стандартный вид одночлена

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 2: Многочлены. Страницы 77–83.

Чему научишься

• Узнавать одночлен среди других выражений и отличать его от суммы и от дроби с буквой внизу.
• Приводить одночлен к стандартному виду и называть его коэффициент и степень.
• Умножать одночлены и возводить одночлен в степень.
• Находить значение одночлена при заданных значениях букв, не считая «в лоб».
• Узнавать подобные одночлены.

Разминка

Перед стартом вспомним степени из прошлого раздела.

• Чему равно $a^{3}\cdot a^{4}$? При умножении показатели складываются: $a^{7}$.
• Чему равно $(a^{3})^{4}$? При возведении степени в степень показатели перемножаются: $a^{12}$.
• Чему равно $(2b)^{3}$? В степень возводим каждый множитель: $2^{3}b^{3}=8b^{3}$.
• Чему равно $a^{0}$ при $a\ne 0$? Единице. Это пригодится: число $7$ можно записать как $7\cdot a^{0}$.
• Что даёт $(-1)^{5}$ и $(-1)^{6}$? $-1$ и $1$: нечётная степень сохраняет минус, чётная его убирает.

Разбираемся

Что такое одночлен

Представь, что ты считаешь площадь комнаты в Астане: длина $a$, ширина $b$, да ещё цена за метр. Получается запись вроде $15ab$. Это одночлен: произведение числа и букв (с их степенями).

Число в нём называют числовым множителем, а буквы со степенями — буквенными множителями. Примеры одночленов: $3^{3}xy$, $15ab^{3}$, $-\frac{8}{9}nm^{4}$.

Одиночное число ($7$, $0{,}09$, $-\frac{5}{6}$) и одиночная буква ($b$) тоже одночлены: ведь $7=7\cdot a^{0}$, а $b=1\cdot b$.

⚠️ Частая ошибка. Сумма, разность и дробь с буквой в знаменателе одночленами не бывают. $a+b$ или $\frac{4}{b}$ — не одночлены. А вот $\frac{a}{5}$ — одночлен: это $\frac{1}{5}a$.

Стандартный вид

Одночлен можно записать красиво: сначала один числовой множитель, потом буквы по одному разу, каждая со своей степенью. Это и есть стандартный вид.

Возьмём пример из учебника в своих числах. Сократим $12a^{2}b\cdot(0{,}5ab^{3})\cdot 4c$:

1. Числа вместе: $12\cdot 0{,}5\cdot 4=24$.
2. Буква $a$: $a^{2}\cdot a=a^{3}$.
3. Буква $b$: $b\cdot b^{3}=b^{4}$.
4. Буква $c$ одна.

Итог: $24a^{3}b^{4}c$.

💡 Сначала упрощай, потом подставляй числа. При $a=-1$, $b=2$, $c=13$ выражение $30a^{5}b^{4}c$ даёт $30\cdot(-1)\cdot 16\cdot 13=-6240$. Считать длинное произведение с самого начала было бы дольше и опаснее для ошибок.

Коэффициент и степень

Коэффициент — это числовой множитель в стандартном виде. У $\frac{4}{9}x$ коэффициент $\frac{4}{9}$, у $-7x^{2}$ он равен $-7$. Единицу и минус единицу не пишут: $1\cdot a^{4}b^{3}c=a^{4}b^{3}c$ (коэффициент $1$), а $-mn^{7}t^{3}$ имеет коэффициент $-1$.

Степень одночлена — сумма показателей всех букв. У $3a^{4}b^{3}c$ она равна $4+3+1=8$. У числа без букв степень нулевая: $125=125\cdot x^{0}y^{0}$.

⚠️ Частая ошибка. Не забывай про букву без показателя: у $x^{5}yz^{2}$ степень $5+1+2=8$, а не $7$.

Подобные одночлены

Если одночлены отличаются только коэффициентами (буквенная часть одна и та же), они подобные. Например, $7xy^{3}t$, $-8{,}9xy^{3}t$ и $1\frac{5}{11}xy^{3}t$ подобны. А $3ab^{2}$ и $3a^{2}b$ — нет: показатели стоят на других буквах.

Умножаем одночлены и возводим в степень

Чтобы умножить одночлены, перемножь числа и сложи показатели одинаковых букв. Например, $(9n^{3}m)\cdot(-1{,}1nm^{4})=-9{,}9n^{4}m^{5}$.

Чтобы возвести одночлен в степень, возведи в неё каждый множитель — и число, и буквы: $\left(\frac{1}{5}tk^{4}\right)^{3}=\frac{1}{125}t^{3}k^{12}$.

Можно и наоборот: представить одночлен как куб. $-0{,}125x^{9}y^{3}=(-0{,}5)^{3}(x^{3})^{3}y^{3}=(-0{,}5x^{3}y)^{3}$.

📌 $(a^{m}b^{n})^{k}=a^{mk}b^{nk}$, а число в скобке возводится в ту же степень целиком.

🌟 Пример 5 из учебника показывает, что иногда в одночлене прячется неизвестный показатель. Из равенства $\left(2\frac{1}{3}m^{5}\right)^{n}\cdot\frac{9}{49}m^{11}=29\frac{52}{81}m^{41}$ при $m\ne 0$ получаем $n=6$. А при $m=0$ равенство верно с любым $n$. Смотри, как сначала сравнивают степени $m$: $5n+11=41$, откуда $n=6$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка вслух назвать для $-3a^{2}bc^{3}$ коэффициент и степень. Типичный промах — забыть про букву $b$ без показателя. Помогает фраза: «Если показателя не видно, там единица».

Проверь себя

• Можно ли одночлен представить как произведение числа и степеней с натуральными показателями? Да. В стандартном виде это число, умноженное на степени разных букв. Число без букв тоже подходит: $7=7\cdot a^{0}$ (нулевой показатель не натуральный, но мы просто не пишем буквы).
• Верно ли определение: «Одночлен — это выражение, у которого последнее действие не сложение и не вычитание»? Нет. Выражение $(a+b)\cdot c$ оканчивается умножением, но одночленом не является. И дробь $\frac{a+b}{c}$ тоже.
• Верно ли, что любой одночлен является выражением? Да, любой.
• А что любое выражение является одночленом? Нет: $a+b$ — выражение, но не одночлен.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 10.1

Какие из выражений $8a$; $-0{,}5bc$; $\frac{2}{3}x^{2}yz$; $\frac{x-2}{3}$; $\frac{y+1}{z}$; $10\frac{a}{5}$; $\frac{4}{b}$ являются одночленами?

Как думать. Одночлен — это только умножение чисел и букв (со степенями). Сложение или буква в знаменателе сразу выбивают выражение из списка.

Решение.

1. $8a$ — одночлен.
2. $-0{,}5bc$ — одночлен.
3. $\frac{2}{3}x^{2}yz$ — одночлен.
4. $\frac{x-2}{3}=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$ — разность, не одночлен.
5. $\frac{y+1}{z}$ — есть сумма и буква в знаменателе, не одночлен.
6. $10\cdot\frac{a}{5}=2a$ — одночлен.
7. $\frac{4}{b}$ — буква в знаменателе, не одночлен.

Ответ: одночлены $8a$; $-0{,}5bc$; $\frac{2}{3}x^{2}yz$; $10\frac{a}{5}$.

№ 10.2

Какие из одночленов $41{,}9a^{2}c$; $-\frac{8}{17}x^{5}$; $6a^{4}ba$; $107x^{2}yzy^{2}$; $-26a^{2}nm^{10}$; $3ab\cdot\frac{5}{9}b$; $0{,}24x^{3}y\frac{7}{3}x^{7}y$ записаны в стандартном виде?

Как думать. В стандартном виде один числовой множитель впереди и каждая буква встречается один раз.

Решение.

1. $41{,}9a^{2}c$ — стандартный вид.
2. $-\frac{8}{17}x^{5}$ — стандартный вид.
3. $6a^{4}ba$ — буква $a$ повторяется, нет.
4. $107x^{2}yzy^{2}$ — повторяется $y$, нет.
5. $-26a^{2}nm^{10}$ — стандартный вид.
6. $3ab\cdot\frac{5}{9}b$ — два числовых множителя и повтор $b$, нет.
7. $0{,}24x^{3}y\frac{7}{3}x^{7}y$ — два числа, повторы $x$ и $y$, нет.

Ответ: $41{,}9a^{2}c$; $-\frac{8}{17}x^{5}$; $-26a^{2}nm^{10}$.

№ 10.3

Запиши в стандартном виде и найди степень: 1) $8x^{5}x$; 2) $-b^{4}b^{4}b$; 3) $xyx^{4}$; 4) $-a^{5}(-a^{8})$; 5) $7nm^{4}(-8n^{3})$; 6) $\frac{5}{24}k^{5}t\left(-\frac{3}{10}t^{6}\right)$.

Как думать. Числа перемножаем, у одинаковых букв показатели складываем.

Решение.

1. $8x^{5}\cdot x=8x^{6}$, степень $6$.
2. $-b^{4+4+1}=-b^{9}$, степень $9$.
3. $x^{1+4}y=x^{5}y$, степень $6$.
4. $-a^{5}\cdot(-a^{8})=a^{13}$ (минус на минус даёт плюс), степень $13$.
5. $7\cdot(-8)=-56$, $n\cdot n^{3}=n^{4}$: $-56n^{4}m^{4}$, степень $8$.
6. $\frac{5}{24}\cdot\left(-\frac{3}{10}\right)=-\frac{15}{240}=-\frac{1}{16}$; $k^{5}t^{7}$: $-\frac{1}{16}k^{5}t^{7}$, степень $12$.

Ответ: 1) $8x^{6}$, 6; 2) $-b^{9}$, 9; 3) $x^{5}y$, 6; 4) $a^{13}$, 13; 5) $-56n^{4}m^{4}$, 8; 6) $-\frac{1}{16}k^{5}t^{7}$, 12.

№ 10.4

То же для: 1) $1{,}8a^{5}b^{7}a^{10}$; 2) $\frac{14}{5}cd^{5}\left(-\frac{8}{7}c^{4}\right)$; 3) $2{,}8xt^{5}(-0{,}5x^{2}t)$; 4) $-b^{5}(-b^{8})(-b)$; 5) $1{,}4a^{6}t\left(-\frac{3}{2}at^{8}\right)$; 6) $20bc^{8}(-0{,}05b^{10})$.

Решение.

1. $1{,}8a^{15}b^{7}$, степень $22$.
2. $\frac{14}{5}\cdot\left(-\frac{8}{7}\right)=-\frac{16}{5}=-3{,}2$; $c\cdot c^{4}=c^{5}$: $-3{,}2c^{5}d^{5}$, степень $10$.
3. $2{,}8\cdot(-0{,}5)=-1{,}4$; $x^{3}t^{6}$: $-1{,}4x^{3}t^{6}$, степень $9$.
4. три минуса дают минус, показатели $5+8+1=14$: $-b^{14}$, степень $14$.
5. $1{,}4\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-2{,}1$; $a^{7}t^{9}$: $-2{,}1a^{7}t^{9}$, степень $16$.
6. $20\cdot(-0{,}05)=-1$; $b^{11}c^{8}$: $-b^{11}c^{8}$, степень $19$.

Ответ: 1) $1{,}8a^{15}b^{7}$, 22; 2) $-3{,}2c^{5}d^{5}$, 10; 3) $-1{,}4x^{3}t^{6}$, 9; 4) $-b^{14}$, 14; 5) $-2{,}1a^{7}t^{9}$, 16; 6) $-b^{11}c^{8}$, 19.

№ 10.5

Приведи к стандартному виду: 1) $5a^{3}\cdot(-3)ab^{5}$; 2) $7m^{2}\cdot 6c^{3}m$; 3) $-6m^{8}\cdot 9am^{3}$; 4) $-8ac^{5}\cdot(-2a^{4})$; 5) $3m^{2}np\cdot(-5mn^{2})$; 6) $ab\cdot 9a\cdot 4b$.

Решение.

1. $5\cdot(-3)=-15$; $a^{4}b^{5}$: $-15a^{4}b^{5}$.
2. $7\cdot 6=42$; $m^{3}c^{3}$: $42m^{3}c^{3}$.
3. $-6\cdot 9=-54$; $a m^{11}$: $-54am^{11}$.
4. $(-8)(-2)=16$; $a^{5}c^{5}$: $16a^{5}c^{5}$.
5. $3\cdot(-5)=-15$; $m^{3}n^{3}p$: $-15m^{3}n^{3}p$.
6. $9\cdot 4=36$; $a^{2}b^{2}$: $36a^{2}b^{2}$.

Ответ: 1) $-15a^{4}b^{5}$; 2) $42m^{3}c^{3}$; 3) $-54am^{11}$; 4) $16a^{5}c^{5}$; 5) $-15m^{3}n^{3}p$; 6) $36a^{2}b^{2}$.

№ 10.6

Приведи к стандартному виду: 1) $\left(-\frac{1}{2}m^{3}\right)(-16m^{2})$; 2) $\left(\frac{3}{4}x^{2}y^{3}z\right)\left(\frac{2}{3}x^{3}y^{2}z^{2}\right)$; 3) $\left(-\frac{3}{5}a^{2}xy^{3}\right)\left(\frac{2}{3}ax^{2}y\right)$; 4) $\left(10\frac{1}{3}ab^{2}c^{4}\right)\left(1\frac{5}{31}a^{7}bc^{2}\right)$.

Как думать. Смешанные числа сначала переведи в неправильные дроби — часто всё красиво сокращается.

Решение.

1. $\left(-\frac{1}{2}\right)(-16)=8$; $m^{5}$: $8m^{5}$.
2. $\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$; $x^{5}y^{5}z^{3}$: $0{,}5x^{5}y^{5}z^{3}$.
3. $-\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{3}=-\frac{2}{5}$; $a^{3}x^{3}y^{4}$: $-0{,}4a^{3}x^{3}y^{4}$.
4. $10\frac{1}{3}=\frac{31}{3}$, $1\frac{5}{31}=\frac{36}{31}$; $\frac{31}{3}\cdot\frac{36}{31}=12$; $a^{8}b^{3}c^{6}$: $12a^{8}b^{3}c^{6}$.

Ответ: 1) $8m^{5}$; 2) $0{,}5x^{5}y^{5}z^{3}$; 3) $-0{,}4a^{3}x^{3}y^{4}$; 4) $12a^{8}b^{3}c^{6}$.

№ 10.7

То же: 1) $\frac{4pc^{2}}{15}\cdot\frac{9ca^{3}}{2}$; 2) $\left(-\frac{4}{5}m^{4}np\right)\left(-\frac{1}{4}m^{2}n^{3}p^{2}\right)$; 3) $\left(-4\frac{3}{4}mn^{2}\right)\left(-\frac{17}{38}amn\right)$; 4) $\left(6\frac{1}{2}x^{3}yz^{2}\right)\left(2\frac{2}{13}x^{6}yz^{3}\right)$.

Решение.

1. $\frac{4\cdot 9}{15\cdot 2}=\frac{36}{30}=\frac{6}{5}=1{,}2$; $a^{3}c^{3}p$: $1{,}2a^{3}c^{3}p$.
2. $\left(-\frac{4}{5}\right)\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{5}$; $m^{6}n^{4}p^{3}$: $0{,}2m^{6}n^{4}p^{3}$.
3. $-4\frac{3}{4}=-\frac{19}{4}$; $\frac{19}{4}\cdot\frac{17}{38}=\frac{17}{8}$; $a m^{2}n^{3}$: $\frac{17}{8}am^{2}n^{3}=2\frac{1}{8}am^{2}n^{3}$.
4. $\frac{13}{2}\cdot\frac{28}{13}=14$; $x^{9}y^{2}z^{5}$: $14x^{9}y^{2}z^{5}$.

Ответ: 1) $1{,}2a^{3}c^{3}p$; 2) $0{,}2m^{6}n^{4}p^{3}$; 3) $2\frac{1}{8}am^{2}n^{3}$; 4) $14x^{9}y^{2}z^{5}$.

№ 10.8

Найди степень одночлена: 1) $\left(\frac{2}{3}ab^{2}\right)^{3}$; 2) $\left(\frac{3}{4}a^{2}b^{3}\right)^{4}$; 3) $\left(\frac{4}{3}m^{5}n^{2}\right)^{5}$; 4) $\left(\frac{2}{9}m^{10}n^{13}\right)^{3}$; 5) $(-0{,}6a^{3}b^{4})^{4}$; 6) $(-1{,}3x^{10}y^{4})^{3}$; 7) $(0{,}02m^{3}n^{3})^{2}$; 8) $(0{,}5x^{3}y^{5})^{3}$.

Как думать. Степень одночлена в скобках умножается на показатель скобки. Достаточно сложить показатели букв внутри и умножить.

Решение.

1. $(1+2)\cdot 3=9$.
2. $(2+3)\cdot 4=20$.
3. $(5+2)\cdot 5=35$.
4. $(10+13)\cdot 3=69$.
5. $(3+4)\cdot 4=28$.
6. $(10+4)\cdot 3=42$.
7. $(3+3)\cdot 2=12$.
8. $(3+5)\cdot 3=24$.

Ответ: 1) 9; 2) 20; 3) 35; 4) 69; 5) 28; 6) 42; 7) 12; 8) 24.

Уровень B

№ 10.9

Стороны прямоугольника заданы одночленами $5x^{4}y^{7}$ и $7x^{2}y^{5}$. Запиши формулу площади и найди степень одночлена площади.

Как думать. Площадь прямоугольника — произведение сторон.

Решение. $S=5x^{4}y^{7}\cdot 7x^{2}y^{5}=35x^{6}y^{12}$. Степень: $6+12=18$.

Ответ: $S=35x^{6}y^{12}$, степень $18$.

№ 10.10

Сторона квадрата равна $6x^{4}y^{3}$. Запиши формулу площади и найди степень.

Решение. $S=a^{2}=(6x^{4}y^{3})^{2}=36x^{8}y^{6}$. Степень: $8+6=14$.

Ответ: $S=36x^{8}y^{6}$, степень $14$.

№ 10.11

Умножь одночлены и найди значение: 1) $\frac{3}{4}a^{2}\cdot\frac{4}{5}b^{2}$ при $a=2$, $b=\frac{3}{5}$; 2) $0{,}4ab\cdot 8b^{2}$ при $a=0{,}5$, $b=3$; 3) $0{,}5ab^{3}\cdot 16a^{2}b$ при $a=-0{,}5$, $b=-2$; 4) $\frac{5}{18}a^{3}b^{4}\cdot 3\frac{3}{5}a^{4}b^{4}$ при $a=-0{,}2$, $b=-5$; 5) $\frac{1}{2}a^{2}b^{4}x\cdot\frac{3}{4}ab^{5}x^{3}$ при $a=2$, $b=1$, $x=\frac{1}{2}$; 6) $-4a^{2}b^{2}c^{2}\cdot 6a^{4}c^{3}$ при $a=1$, $b=\frac{1}{4}$, $c=2$; 7) $\frac{2}{5}x^{3}y^{2}z\cdot 7{,}5xz^{4}$ при $x=-2$, $y=-1$, $z=-0{,}5$; 8) $-25n^{2}m^{2}\cdot 0{,}16n^{5}m^{7}$ при $n=-0{,}1$, $m=10$.

Как думать. Сначала приводим к стандартному виду, потом подставляем. Следи за знаками: нечётная степень отрицательного числа даёт минус.

Решение.

1. $\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{5}=\frac{3}{5}$: $\frac{3}{5}a^{2}b^{2}=\frac{3}{5}\cdot 4\cdot\frac{9}{25}=\frac{108}{125}$.
2. $3{,}2ab^{3}=3{,}2\cdot 0{,}5\cdot 27=43{,}2$.
3. $0{,}5\cdot 16=8$: $8a^{3}b^{4}=8\cdot\left(-\frac{1}{8}\right)\cdot 16=-16$.
4. $\frac{5}{18}\cdot\frac{18}{5}=1$: $a^{7}b^{8}=(-0{,}2)^{7}\cdot(-5)^{8}=-\frac{1}{5^{7}}\cdot 5^{8}=-5$.
5. $\frac{3}{8}a^{3}b^{9}x^{4}=\frac{3}{8}\cdot 8\cdot 1\cdot\frac{1}{16}=\frac{3}{16}$.
6. $-24a^{6}b^{2}c^{5}=-24\cdot 1\cdot\frac{1}{16}\cdot 32=-48$.
7. $\frac{2}{5}\cdot 7{,}5=3$: $3x^{4}y^{2}z^{5}=3\cdot 16\cdot 1\cdot\left(-\frac{1}{32}\right)=-1{,}5$.
8. $-25\cdot 0{,}16=-4$: $-4n^{7}m^{9}$. $n^{7}=-10^{-7}$, $m^{9}=10^{9}$, произведение $-100$. Итого $-4\cdot(-100)=400$.

Ответ: 1) $\frac{108}{125}$; 2) $43{,}2$; 3) $-16$; 4) $-5$; 5) $\frac{3}{16}$; 6) $-48$; 7) $-1{,}5$; 8) $400$.

№ 10.12

Представь одночлен как квадрат другого: 1) $16a^{6}$; 2) $100m^{8}n^{4}$; 3) $\frac{25}{81}x^{6}y^{12}$; 4) $\frac{169}{225}a^{10}b^{2}$; 5) $3{,}24m^{4}p^{14}$; 6) $0{,}0289\frac{x^{20}}{y^{18}}$.

Как думать. Квадрат — это когда число извлекается в корень, а показатели делятся пополам.

Решение.

1. $16=4^{2}$, $a^{6}=(a^{3})^{2}$: $(4a^{3})^{2}$.
2. $(10m^{4}n^{2})^{2}$.
3. $\frac{25}{81}=\left(\frac{5}{9}\right)^{2}$: $\left(\frac{5}{9}x^{3}y^{6}\right)^{2}$.
4. $\frac{169}{225}=\left(\frac{13}{15}\right)^{2}$: $\left(\frac{13}{15}a^{5}b\right)^{2}$.
5. $3{,}24=1{,}8^{2}$: $(1{,}8m^{2}p^{7})^{2}$.
6. $0{,}0289=0{,}17^{2}$: $\left(0{,}17\frac{x^{10}}{y^{9}}\right)^{2}$.

Ответ: 1) $(4a^{3})^{2}$; 2) $(10m^{4}n^{2})^{2}$; 3) $\left(\frac{5}{9}x^{3}y^{6}\right)^{2}$; 4) $\left(\frac{13}{15}a^{5}b\right)^{2}$; 5) $(1{,}8m^{2}p^{7})^{2}$; 6) $\left(0{,}17\frac{x^{10}}{y^{9}}\right)^{2}$.

№ 10.13

Выпиши выражения, которые можно представить как квадрат и как куб одночлена с натуральными показателями: 1) $a^{13}b^{30}$; 2) $n^{6}m^{18}k^{9}$; 3) $x^{24}y^{16}z^{20}$; 4) $0{,}16a^{2}b^{6}$; 5) $216a^{6}b^{6}$; 6) $7{,}296a^{15}c^{9}$.

Как думать. Квадрат: все показатели чётные и число — полный квадрат. Куб: все показатели делятся на $3$ и число — полный куб. «И квадрат, и куб» значит, что подходит и то и другое сразу (показатели кратны $6$).

Решение.

1. $a^{13}$: $13$ не делится ни на $2$, ни на $3$. Ни то ни другое.
2. Показатели $6, 18, 9$ делятся на $3$, но $9$ нечётное. Только куб: $(nm^{6}k^{3})^{3}$.
3. Показатели $24, 16, 20$ чётные, но $16$ не делится на $3$. Только квадрат: $(x^{12}y^{8}z^{10})^{2}$.
4. $0{,}16=0{,}4^{2}$, показатели чётные. Только квадрат: $(0{,}4ab^{3})^{2}$. Кубом не будет: у $a^{2}$ показатель не кратен $3$.
5. $216=6^{3}$, показатели кратны $3$. Только куб: $(6a^{2}b^{2})^{3}$. Квадратом не будет: $216$ не полный квадрат.
6. Показатель $15$ нечётный (не квадрат), а $7{,}296$ не куб рационального числа. Ни то ни другое.

Ответ: и квадратом, и кубом не представляется ни одно из выражений; только квадрат — 3) и 4); только куб — 2) и 5).

Уровень C

Здесь сложнее, но ты справишься: каждый пример — это один хитрый ход. Даже попытка засчитывается.

№ 10.14

Известно, что $5x^{2}y^{3}=8$. Найди значение выражения: 1) $45x^{2}y^{3}$; 2) $3x^{2}y^{3}$; 3) $-5{,}5x^{2}y^{3}$; 4) $25x^{4}y^{6}$; 5) $125x^{6}y^{9}$; 6) $\frac{625}{128}x^{8}y^{12}$.

Как думать. Не ищи $x$ и $y$ по отдельности. Ищи кусок $5x^{2}y^{3}$ в каждом выражении или его степень.

Решение.

1. $45x^{2}y^{3}=9\cdot 5x^{2}y^{3}=9\cdot 8=72$.
2. $3x^{2}y^{3}=\frac{3}{5}\cdot 8=4{,}8$.
3. $-5{,}5x^{2}y^{3}=-1{,}1\cdot 5x^{2}y^{3}=-8{,}8$.
4. $25x^{4}y^{6}=(5x^{2}y^{3})^{2}=8^{2}=64$.
5. $125x^{6}y^{9}=(5x^{2}y^{3})^{3}=8^{3}=512$.
6. $\frac{625}{128}x^{8}y^{12}=\frac{(5x^{2}y^{3})^{4}}{128}=\frac{4096}{128}=32$.

Ответ: 1) $72$; 2) $4{,}8$; 3) $-8{,}8$; 4) $64$; 5) $512$; 6) $32$.

№ 10.15

Известно, что $3x^{3}y=4$. Найди: 1) $21x^{3}y$; 2) $6x^{-3}y^{-1}$.

Решение.

1. $21x^{3}y=7\cdot 3x^{3}y=7\cdot 4=28$.
2. $6x^{-3}y^{-1}=\frac{6}{x^{3}y}=\frac{18}{3x^{3}y}=\frac{18}{4}=4{,}5$.

Ответ: 1) $28$; 2) $4{,}5$.

№ 10.16

Упрости $(a^{5}b^{3})^{6}\cdot(a^{7}b^{4})^{5}:(a^{21}b^{12})^{3}$ и найди значение при $a=-\frac{5}{11}$, $b=3\frac{2}{3}$.

Как думать. Раскрой скобки, сложи и вычти показатели, а уже потом подставляй.

Решение. Как в шагах выше: $a^{2}b^{2}=(ab)^{2}=\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$.

Ответ: $a^{2}b^{2}$; значение $2\frac{7}{9}$.

№ 10.17

Поставь знак $=$,

Как думать. Чётная степень убирает минус, нечётная его оставляет.

Решение.

1. Степень $3$ нечётная: $-27a^{12}<27a^{12}$.
2. Степень $8$ чётная: оба равны $5^{8}a^{40}$.
3. Степень $10$ чётная: оба равны $4^{10}a^{40}$.
4. $-6\cdot(-a^{6})=6a^{6}$, значит левое $=(6a^{6})^{5}>0$. Правое: $6\cdot(-a^{6})=-6a^{6}$, $(-6a^{6})^{5}<0$. Левое больше.

Ответ: 1)

Готовимся к следующей теме

№ 10.18

Замени: 1) разность одночленов $2a^{2}b-13ab^{3}$ суммой одночленов; 2) сумму одночленов $11x^{2}y+(-xy^{3})$ разностью.

Как думать. Вычитание — это прибавление противоположного, и наоборот.

Решение.

1. $2a^{2}b-13ab^{3}=2a^{2}b+(-13ab^{3})$.
2. $11x^{2}y+(-xy^{3})=11x^{2}y-xy^{3}$.

Ответ: 1) $2a^{2}b+(-13ab^{3})$; 2) $11x^{2}y-xy^{3}$.

№ 10.19

Какой из одночленов $17a^{3}$; $-5ya^{4}$; $8a^{2}n^{3}$; $12xy^{5}$ имеет наибольшую степень?

Решение. Степени: $3$; $1+4=5$; $2+3=5$; $1+5=6$. Наибольшая $6$.

Ответ: $12xy^{5}$ (степень $6$).

Шпаргалка

• Сначала упрощай, потом подставляй числа.
• $-3^{2}\ne(-3)^{2}$ — следи за скобками.
• Показатель без записи — единица.

Мини-тест