Өзіңді тексер! I бөлім

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 1 бөлім: Бүтін көрсеткішті дәреже. 74–77-беттер.

Бұл тестке «Бүтін көрсеткішті дәреже» бөлімінде үйренгеніңнің бәрі жиналған: дәреже қасиеттері, нөлдік және теріс көрсеткіш, стандарт түр, пайыздар мен жуықтау қателіктері. Әр сұраққа A–D төрт жауап нұсқасы берілген. Алдымен өзің шығарып көр, содан кейін шешуін және дұрыс әріпті қара.

💡 Қателессең, қорықпа. Сұрақтың нөмірін тауып, керек параграфқа (§ 1–9) қайтып оралып, осындай бірнеше мысал шығар.

Жаттығуларды шығарамыз

№ 1

$2^{10}\cdot 2^{12} : 2^{21}$ өрнегінің мәнін есептеңдер. Нұсқалар: A. 4; B. 2; C. 1; D. 8.

Қалай ойлаймыз. Негіз барлық жерде бір — $2$. Көбейткенде көрсеткіштерді қосамыз, бөлгенде азайтамыз.

Шешуі. $2^{10}\cdot 2^{12} = 2^{22}$, сосын $2^{22} : 2^{21} = 2^{1} = 2$.

Жауабы: B ($2$).

№ 2

$a^{35}\cdot a^{19} : (a^{52}\cdot a^{2})$ өрнегін ықшамдаңдар. Нұсқалар: A. $a$; B. $a^{4}$; C. $1$; D. $a^{2}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жақшаның алдындағы және жақшаның ішіндегі көбейтіндіні бөлек есептейміз, сосын бөлеміз.

Шешуі. $a^{35}\cdot a^{19} = a^{54}$ және $a^{52}\cdot a^{2} = a^{54}$. Бірдей дәрежелерді бөлсек, бір шығады: $a^{54} : a^{54} = a^{0} = 1$.

Жауабы: C ($1$).

№ 3

$\dfrac{x^{10}y^{8}}{x^{9}y^{6}}$ өрнегін ықшамдап, $x = 2$, $y = 3$ болғандағы мәнін табыңдар. Нұсқалар: A. 24; B. 12; C. 6; D. 18.

Қалай ойлаймыз. Әр әріп бойынша бөлек қысқартамыз: көрсеткіштерді азайтамыз.

Шешуі. $\dfrac{x^{10}}{x^{9}} = x$, $\dfrac{y^{8}}{y^{6}} = y^{2}$. Өрнек $x y^{2}$-қа тең. $x=2$, $y=3$ болғанда: $2\cdot 3^{2} = 2\cdot 9 = 18$.

Жауабы: D ($18$).

№ 4

$0{,}2\cdot(-5)^{2} - 3^{3}$ өрнегінің мәнін есептеңдер. Нұсқалар: A. $-32$; B. $-22$; C. $-2$; D. $52$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен дәреже, сосын көбейту, сосын азайту. Есіңде болсын: $(-5)^{2}$ — бұл $25$, жұп дәреже минусты «жеп қояды».

Шешуі. $(-5)^{2} = 25$, $0{,}2\cdot 25 = 5$, $3^{3} = 27$. Сонда $5 - 27 = -22$.

Жауабы: B ($-22$).

№ 5

$\dfrac{(m^{3})^{5}\cdot(n^{4})^{3}}{(m^{3})^{4}\cdot(n^{5})^{2}}$ өрнегін ықшамдаңдар. Нұсқалар: A. $m^{23}n^{22}$; B. $m^{7}n^{22}$; C. $m^{3}n^{2}$; D. $m^{7}n^{2}$.

Қалай ойлаймыз. Дәрежені дәрежеге шығарғанда көрсеткіштерді көбейтеміз. Сосын негіздері бірдей дәрежелерді бөлеміз.

Шешуі. Алымы: $m^{15}n^{12}$. Бөлімі: $m^{12}n^{10}$. Бөлеміз: $m^{15-12}n^{12-10} = m^{3}n^{2}$.

Жауабы: C ($m^{3}n^{2}$).

№ 6

$\dfrac{x^{4}}{y^{6}}$ өрнегін дәрежелердің көбейтіндісі түрінде жазыңдар. Нұсқалар: A. $x^{4}y^{6}$; B. $x^{-4}y^{6}$; C. $x^{-4}y^{-6}$; D. $x^{4}y^{-6}$.

Қалай ойлаймыз. $\frac{1}{y^{6}}$ бөлшегі $y^{-6}$-ға тең. Бөлімнен алымға көшкенде көрсеткіштің таңбасы өзгереді.

Шешуі. $\dfrac{x^{4}}{y^{6}} = x^{4}\cdot\dfrac{1}{y^{6}} = x^{4}y^{-6}$.

Жауабы: D ($x^{4}y^{-6}$).

№ 7

$5^{-3}\cdot 25^{2}$ өрнегінің мәнін есептеңдер. Нұсқалар: A. $5$; B. $\frac{1}{5}$; C. $25$; D. $\frac{1}{25}$.

Қалай ойлаймыз. Бәрін $5$ негізіне келтіреміз: $25 = 5^{2}$.

Шешуі. $25^{2} = (5^{2})^{2} = 5^{4}$. Сонда $5^{-3}\cdot 5^{4} = 5^{1} = 5$.

Жауабы: A ($5$).

№ 8

$\dfrac{a^{2}}{b^{3}c^{-4}}$ өрнегін дәрежелердің көбейтіндісі түрінде жазыңдар. Нұсқалар: A. $a^{2}b^{3}c^{-4}$; B. $a^{2}b^{-3}c^{4}$; C. $a^{-2}b^{-3}c^{-4}$; D. $a^{-2}b^{-3}c^{4}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімде тұрған нәрсенің бәрі алымға қарама-қарсы таңбалы көрсеткішпен көшеді.

Шешуі. $a^{2}$ алымда қалады. Бөлімдегі $b^{3}$ алымға $b^{-3}$ болып көшеді. Бөлімдегі $c^{-4}$ алымға $c^{4}$ болып көшеді.

Жауабы: B ($a^{2}b^{-3}c^{4}$).

№ 9

$\dfrac{5a^{9}-3a^{7}}{4a^{8}}$ өрнегін ықшамдап, $a = -1$ болғандағы мәнін табыңдар. Нұсқалар: A. $\frac{1}{2}$; B. $-\frac{1}{2}$; C. $2$; D. $-2$.

Қалай ойлаймыз. Ықшамдауға болады: алымынан $a^{7}$-ні жақша сыртына шығарып, қысқартамыз. Немесе бірден $a=-1$ қоюға болады. Тексеру үшін екі тәсілмен жасайық.

Шешуі. 1-тәсіл: $\dfrac{a^{7}(5a^{2}-3)}{4a^{8}} = \dfrac{5a^{2}-3}{4a}$. $a=-1$ болғанда: $\dfrac{5-3}{-4} = -\dfrac{1}{2}$. 2-тәсіл (мәнін қою): $a^{9} = -1$, $a^{7} = -1$, $a^{8} = 1$. Алымы $-5 + 3 = -2$, бөлімі $4$. Шығады: $-\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Жауабы: B ($-\frac{1}{2}$).

№ 10

Кубы $-\frac{1}{8}$-ге тең санның бесінші дәрежесін табыңдар. Нұсқалар: A. $\frac{1}{32}$; B. $-0{,}5$; C. $-\frac{1}{32}$; D. $-32$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен $n^{3} = -\frac{1}{8}$ теңдігінен санның өзін $n$ табамыз, сосын оны бесінші дәрежеге шығарамыз.

Шешуі. $\left(-\frac{1}{2}\right)^{3} = -\frac{1}{8}$, демек, $n = -\frac{1}{2}$. Сонда $n^{5} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{5} = -\frac{1}{32}$.

Жауабы: C ($-\frac{1}{32}$).

№ 11

1-суретте дүкенге үш күнде әкелінген тауар туралы мәліметтер көрсетілген. Егер екінші күні әкелінген тауардың саны $(3^{5})^{2} : 27^{2} + 13^{2}$ өрнегінің мәніне тең болса, онда үш күнде әкелінген тауардың санын табыңдар. Нұсқалар: A. 900; B. 550; C. 1000; D. 650. (Диаграммада: бірінші күні $65%$, үшінші күні $10%$, екінші күні $x%$.)

Қалай ойлаймыз. Алдымен екінші күні қанша тауар әкелінгенін табамыз. Содан кейін ол бүтіннің қандай бөлігі екенін біліп, барлығын табамыз.

Шешуі.

1. $(3^{5})^{2} = 3^{10}$, ал $27^{2} = (3^{3})^{2} = 3^{6}$. Сонда $3^{10} : 3^{6} = 3^{4} = 81$. $13^{2} = 169$ қосамыз: $81 + 169 = 250$. Демек, екінші күні $250$ тауар әкелінген.
2. Бүкіл дөңгелек — $100%$. Екінші күні: $x = 100 - 65 - 10 = 25%$.
3. $250$ — бұл $25%$, сондықтан барлығы $250 : 0{,}25 = 1000$.

Жауабы: C ($1000$).

№ 12

$\left[5^{2};\ \left(\frac{1}{6}\right)^{-2}\right)$ интервалында қанша бүтін сан орналасқан? Нұсқалар: A. 11; B. 10; C. 13; D. 12.

Қалай ойлаймыз. Аралықтың ұштарын табамыз. Тік жақша $[$ сол ұшты қосады, дөңгелек жақша $)$ оң ұшты қоспайды. Жақшаларға мұқият қара.

Шешуі. $5^{2} = 25$. $\left(\frac{1}{6}\right)^{-2} = 6^{2} = 36$. Аралық $[25;\ 36)$: $25$ кіреді, $36$ кірмейді. Бүтін сандар $25$-тен $35$-ке дейін: $35 - 25 + 1 = 11$.

Жауабы: A ($11$).

⚠️ Жиі кететін қате. Жақшаның түрін байқамай, екі ұшын да санап жібереді. Нәтижесінде $12$ шығады, ал дұрыс жауап — $11$.

№ 13

Спартакиадаға қатыспаған оқушылар мектептің барлық оқушылар санының $30%$-ын құрайды. Егер қатыспаған оқушылар саны $18^{22}\cdot 18^{-21}\cdot 20$ өрнегінің мәніне тең болса, онда қанша оқушы спартакиадаға қатысқан? Нұсқалар: A. 360; B. 840; C. 340; D. 860.

Қалай ойлаймыз. Алдымен қатыспағандар санын, сосын мектептегі барлық оқушыны, сосын қатысқандарды табамыз.

Шешуі.

1. $18^{22}\cdot 18^{-21} = 18^{1} = 18$, сонда $18\cdot 20 = 360$ оқушы қатыспаған.
2. $360$ — бұл $30%$, демек, барлығы $360 : 0{,}3 = 1200$ оқушы.
3. Қатысқандар $100% - 30% = 70%$: $1200\cdot 0{,}7 = 840$. Немесе $1200 - 360 = 840$.

Жауабы: B ($840$).

№ 14

2-суретте тіктөртбұрыш бірдей бөліктерге бөлінген (ұзындығы бойынша 10 торкөз, ені бойынша 5 торкөз). Егер бір торкөздің қабырғасының ұзындығы $3^{-2}\cdot 27$ см болса, онда келесі тапсырмаларды орындаңдар. (Боялған 10 торкөз бөлек бөліктер құрайды.) 1) Тіктөртбұрыш қанша бірдей бөлікке бөлінген? Нұсқалар: A. 10; B. 40; C. 50; D. 25. 2) Тіктөртбұрыш боялған бөлігінің ауданы неге тең? Нұсқалар: A. 100 см²; B. 90 см²; C. 50 см²; D. 30 см². 3) Тіктөртбұрыш боялған бөліктерінің периметрі неге тең? Нұсқалар: A. 96 см; B. 90 см; C. 100 см; D. 50 см. 4) Тіктөртбұрыш боялмаған бөлігінің ауданы тіктөртбұрыштың ауданының қанша пайызын құрайды? Нұсқалар: A. 20%; B. 30%; C. 70%; D. 80%.

Қалай ойлаймыз. Алдымен торкөздің қабырғасын табамыз: $3^{-2}\cdot 27 = \frac{27}{9} = 3$ см. Бір торкөздің ауданы $3\cdot 3 = 9$ см².

Шешуі.

1. Барлық торкөз: $10\cdot 5 = 50$. Тіктөртбұрыш $50$ тең бөлікке бөлінген.
2. Боялған $10$ торкөз, біреуінің ауданы $9$ см². Боялған бөліктің ауданы: $10\cdot 9 = 90$ см².
3. Боялған торкөздер алты бөлік құрайды: төрт жалғыз торкөз (әрқайсысының периметрі $4\cdot 3 = 12$ см), үш торкөзден тұратын көлденең жолақ (периметрі $8\cdot 3 = 24$ см) және үш торкөзден тұратын тік жолақ (ол да $24$ см). Диагональ бойынша көрші торкөздер жабыспайды: олардың ортақ қабырғасы жоқ. Қосындысы: $4\cdot 12 + 24 + 24 = 96$ см.
4. Боялмаған $50 - 10 = 40$ торкөз, яғни $\frac{40}{50}\cdot 100% = 80%$.

Жауабы: 1) C ($50$); 2) B ($90$ см²); 3) A ($96$ см); 4) D ($80%$).

№ 15

1-кестені қолданып, тапсырмаларды орындаңдар: $A = 2^{9}\cdot 4^{8}\cdot 8^{-8}$ және $B = 3^{40}\cdot 9^{-15} : 27^{3}$. 1) $(A\cdot B)^{2}$: A. 16; B. 25; C. 36; D. 64. 2) $A^{-2}\cdot B$: A. 0,25; B. 0,75; C. 7,5; D. 1,5. 3) $(A^{2})^{3} - B^{4}$: A. 0; B. $-17$; C. 17; D. $-18$. 4) $B^{3} : A^{-3}$: A. 256; B. 243; C. 216; D. 492.

Қалай ойлаймыз. Алдымен $A$ мен $B$-ны ықшамдаймыз, яғни бір негізге келтіреміз.

Шешуі. $A = 2$, $B = 3$.

1. $(A\cdot B)^{2} = (2\cdot 3)^{2} = 36$. C нұсқасы.
2. $A^{-2}\cdot B = \dfrac{1}{4}\cdot 3 = 0{,}75$. B нұсқасы.
3. $(A^{2})^{3} = A^{6} = 2^{6} = 64$; $B^{4} = 3^{4} = 81$. Айырмасы $64 - 81 = -17$. B нұсқасы.
4. $B^{3} : A^{-3} = 27 : \dfrac{1}{8} = 27\cdot 8 = 216$. C нұсқасы.

Жауабы: 1) C ($36$); 2) B ($0{,}75$); 3) B ($-17$); 4) C ($216$).

№ 16

$81,300$ млн км шамасын стандарт түрінде жазыңдар. Нұсқалар: A. $81{,}3\cdot 10^{10}$ км; B. $0{,}813\cdot 10^{11}$ км; C. $8{,}13\cdot 10^{10}$ км; D. $8{,}13\cdot 10^{6}$ км.

Қалай ойлаймыз. Алдымен километрге айналдырамыз: «млн» — бұл $10^{6}$. Содан кейін үтірді бірінші цифрдан кейін қоямыз.

Шешуі. $81,300$ млн $= 81,300\cdot 10^{6} = 8{,}13\cdot 10^{4}\cdot 10^{6} = 8{,}13\cdot 10^{10}$ км. A және B нұсқалары стандарт түрде емес: A-да көбейткіш $81{,}3$, B-да $0{,}813$. D нұсқасында ретті көрсеткіш қате.

Жауабы: C ($8{,}13\cdot 10^{10}$ км).

№ 17

Материалдың ұзындығы $19\pm 0{,}03$ м. Осы жағдайда материалдың ұзындығы қандай болмауы мүмкін? Нұсқалар: A. $19{,}02$ м; B. $18{,}97$ м; C. $18{,}96$ м; D. $19{,}03$ м.

Қалай ойлаймыз. $19\pm 0{,}03$ жазбасы $18{,}97 \le L \le 19{,}03$ дегенді білдіреді. Шектен тыс жатқан нұсқаны іздейміз.

Шешуі. Төменгі шегі $19 - 0{,}03 = 18{,}97$, жоғарғы шегі $19 + 0{,}03 = 19{,}03$. $19{,}02$, $18{,}97$ және $19{,}03$ сандары аралықта жатыр (шектері қосылады). $18{,}96$ саны $18{,}97$-ден кіші, ол жарамайды.

Жауабы: C ($18{,}96$ м).

Жадынама

Тест жауаптары:

• Тапсырмада теріс көрсеткішті дәреже болса, алдымен оны бөлшек түрінде жаз.
• Тапсырмада негіздер әртүрлі болса ($4$, $8$, $9$, $27$), бәрін бір негізге келтір.
• Есепте пайыз бен дәреже қатар келсе, алдымен дәрежені есепте, сосын пайызды.