§ 12. Көпмүшелерді қосу және азайту

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 2 бөлім: Көпмүшелер. 88–93-беттер.

Нені үйренесің

• Көпмүшелерді қосуды: барлық мүшесін жазып, ұқсас мүшелерін біріктіру.
• Көпмүшелерді азайтуды: азайғышқа қарама-қарсы көпмүшені қосу.
• Алдында «минус» тұрған жақшаны дұрыс ашуды.
• Берілген көпмүшеге қарама-қарсы көпмүшені табуды.
• Тепе-теңдіктерді дәлелдеуді және ықшамдағаннан кейін өрнектің мәнін табуды.

Ой қозғау

• «Ұқсас мүшелерді біріктіру» дегеніміз не? Ұқсас мүшелер тек коэффициенттерімен (әріптердің алдындағы сандармен) ерекшеленеді. Оларды қосады: $3ab + 5ab = 8ab$.
• $4x^2y$ және $4xy^2$ ұқсас па? Жоқ: әріптік бөліктері әртүрлі ($x^2y$ және $xy^2$).
• $a - b$ азайтуды немен алмастыруға болады? Қосумен: $a + (-b)$.
• $5 - (2 - x)$ жақшасын қалай ашамыз? Жақша ішіндегі таңбалар өзгереді: $5 - 2 + x = 3 + x$.

Тақырыпты талдаймыз

Қосу: бәрін бір жолға жазамыз

Айталық, Астанадағы мектеп асханасында бір күнде тоқаш пен шай сатылды. Түсімді таңертең және кешке екі көпмүшемен жаздың. Күндізгі жиынтықты алу үшін оларды жай ғана қосу керек. Бар құпия мынада: екі көпмүшенің барлық мүшесін өз таңбаларымен жаз, содан кейін ұқсас мүшелерін біріктір.

📌 Алдында «плюс» тұрған жақшаны ештеңені өзгертпей алып тастаймыз: $+(a - b) = +a - b$.

Азайту: «минус» барлық таңбаны өзгертеді

Көпмүшені азайту — оған қарама-қарсы көпмүшені қосу деген сөз. Ал қарама-қарсы көпмүше әрбір мүшенің таңбасын ауыстыру арқылы шығады.

📌 Алдында «минус» тұрған жақша: $-(a - b + c) = -a + b - c$. Таңбасы жақша ішіндегі барлық мүшеде өзгереді, тек біріншісінде ғана емес.

Мысалы, $2x^2 - 7xy + y^2$ көпмүшесіне қарама-қарсы көпмүше — $-2x^2 + 7xy - y^2$.

⚠️ Жиі кететін қате. Тек бірінші мүшенің таңбасын өзгерту: $(a + 5) - (3 - b)$ өрнегін $a + 5 - 3 - b$ деп жазады. Дұрысы: $a + 5 - 3 + b$. «Минустан» кейінгі жақшадағы әрбір таңба өзгереді.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бұл тақырыптағы қателердің дерлік бәрі «минустан» кейінгі таңбаларға байланысты. Баладан жауабын жазбас бұрын жақшаларды дөңгелектеп, әр мүшенің үстіне жаңа таңбасын жаздыртыңыз. Бұл он секундты алады, бірақ балдан айырылудан сақтайды.

Соңында не шығуы мүмкін

Көпмүшелерді қосу немесе азайту нәтижесі — тағы да көпмүше. Бірақ ол бірмүшеге, тіпті санға дейін «қысқаруы» мүмкін: $(x^2 + 5) - (x^2 - 4) = 9$. Себебі айнымалылар бір-бірін жойып жібереді.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Көпмүшелерді қосу және азайту кезінде қандай түрлендірулер қолданылады? Жақшаны ашу және ұқсас мүшелерді біріктіру.
• Нәтижесінде сан немесе бірмүше шығуы мүмкін бе? Иә. Мысалы, $(x^2 + 5) - (x^2 - 4) = 9$ — сан. Ал $(3a + 2b) - (2b - a) = 3a + 2b - 2b + a = 4a$ — бірмүше.
• $2x^2 - 7xy + y^2$ көпмүшесіне қарама-қарсы көпмүше қандай? $-2x^2 + 7xy - y^2$: барлық мүшенің таңбасын ауыстырамыз.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 12.1

Көпмүшелердің қосындысын табыңдар: 1) $x^2 + 5$ және $x^2 - 4$; 2) $y - 2x$ және $4x + 6$; 3) $2ab - 1$ және $ab + 10$; 4) $1{,}8a^2 - y^3$ және $22a^2 + 2y^3$.

Қалай ойлаймыз. Бәрін қатарынан жазып, ұқсас мүшелерді біріктіреміз.

Шешуі.

1. $x^2 + 5 + x^2 - 4 = 2x^2 + 1$.
2. $y - 2x + 4x + 6 = 2x + y + 6$.
3. $2ab - 1 + ab + 10 = 3ab + 9$.
4. $1{,}8a^2 - y^3 + 22a^2 + 2y^3 = 23{,}8a^2 + y^3$.

Жауабы: 1) $2x^2 + 1$; 2) $2x + y + 6$; 3) $3ab + 9$; 4) $23{,}8a^2 + y^3$.

№ 12.2

Көпмүшелердің айырымын табыңдар: 1) $20 + a^3$ және $90a^3 + 21$; 2) $4b - c^2$ және $-17b + 8c^2$; 3) $77 - mn$ және $-30mn + 8$; 4) $4{,}9kt - 3z$ және $-8{,}3kt + 5{,}2z$.

Қалай ойлаймыз. Біріншіден екіншісін азайтамыз: екіншісіндегі барлық таңба өзгереді.

Шешуі.

1. $20 + a^3 - 90a^3 - 21 = -89a^3 - 1$.
2. $4b - c^2 + 17b - 8c^2 = 21b - 9c^2$.
3. $77 - mn + 30mn - 8 = 29mn + 69$.
4. $4{,}9kt - 3z + 8{,}3kt - 5{,}2z = 13{,}2kt - 8{,}2z$.

Жауабы: 1) $-89a^3 - 1$; 2) $21b - 9c^2$; 3) $29mn + 69$; 4) $13{,}2kt - 8{,}2z$.

№ 12.3

Көпмүшелердің алгебралық қосындысын табыңдар: 1) $(4x + 8y) + (23x + 5y)$; 2) $(83a - 91b) - (89a - 100b)$; 3) $(1{,}5m - 4{,}2n) - (2m + 3n)$; 4) $(5k + 6t) + (2{,}8t - 3{,}1k)$; 5) $\left(\frac{3}{16}a - 20b\right) + \left(11b - \frac{1}{16}a\right)$; 6) $\left(\frac{7}{15}a + 53d\right) + \left(60d - \frac{13}{15}c\right)$.

Қалай ойлаймыз. «Алгебралық қосынды» — плюс те, минус те бар дегені. «Минус» тұрған жақшаларды таңбасын өзгертіп ашамыз.

Шешуі.

1. $4x + 8y + 23x + 5y = 27x + 13y$.
2. $83a - 91b - 89a + 100b = -6a + 9b$.
3. $1{,}5m - 4{,}2n - 2m - 3n = -0{,}5m - 7{,}2n$.
4. $5k + 6t + 2{,}8t - 3{,}1k = 1{,}9k + 8{,}8t$.
5. $\frac{3}{16}a - 20b + 11b - \frac{1}{16}a = \frac{2}{16}a - 9b = \frac{1}{8}a - 9b$.
6. $\frac{7}{15}a + 53d + 60d - \frac{13}{15}c = \frac{7}{15}a - \frac{13}{15}c + 113d$. Мұнда $a$ және $c$ бойынша ұқсас мүшелер жоқ, олар сол күйінде қалады.

Жауабы: 1) $27x + 13y$; 2) $-6a + 9b$; 3) $-0{,}5m - 7{,}2n$; 4) $1{,}9k + 8{,}8t$; 5) $\frac{1}{8}a - 9b$; 6) $\frac{7}{15}a - \frac{13}{15}c + 113d$.

№ 12.4

Көпмүшелердің алгебралық қосындысын табыңдар: 1) $(5 + 4a^3) + (a + 2a^3)$; 2) $(y - 7x^4) - (2{,}3 - 9x^4)$; 3) $(9b + 7c^2) - (14b - 10c^2)$; 4) $(39n^2 - 2m) + (5m - 44n^2)$.

Қалай ойлаймыз. Дәл сол әрекет, тек дәрежелері жоғарырақ. Ұқсас мүшелер — әріптік бөлігі бірдей мүшелер.

Шешуі.

1. $5 + 4a^3 + a + 2a^3 = 6a^3 + a + 5$.
2. $y - 7x^4 - 2{,}3 + 9x^4 = 2x^4 + y - 2{,}3$.
3. $9b + 7c^2 - 14b + 10c^2 = -5b + 17c^2$.
4. $39n^2 - 2m + 5m - 44n^2 = -5n^2 + 3m$.

Жауабы: 1) $6a^3 + a + 5$; 2) $2x^4 + y - 2{,}3$; 3) $-5b + 17c^2$; 4) $-5n^2 + 3m$.

№ 12.5

12.1-кестені толтырыңдар. 1-жол: $A = 8{,}1 - 7x^3$, $B = 9{,}2x^3 - 10$. 2-жол: $A = -15{,}1 + 6y^2$, $B = 23{,}4 - 11y^2$. $A + B$ және $A - B$ керек.

Қалай ойлаймыз. Әр жолда екі амал бар: қосу және азайту.

Шешуі. 1-жол:

• $A + B = 8{,}1 - 7x^3 + 9{,}2x^3 - 10 = 2{,}2x^3 - 1{,}9$.
• $A - B = 8{,}1 - 7x^3 - 9{,}2x^3 + 10 = 18{,}1 - 16{,}2x^3$.

2-жол:

• $A + B = -15{,}1 + 6y^2 + 23{,}4 - 11y^2 = 8{,}3 - 5y^2$.
• $A - B = -15{,}1 + 6y^2 - 23{,}4 + 11y^2 = 17y^2 - 38{,}5$.

Жауабы: жоғарыдағы кестеде.

№ 12.6

$A = \frac{2}{3}a^2 - 4{,}5$ және $B = 2\frac{1}{9}a^2 + 3{,}09$ болсын. 12.2-кестені толтырыңдар: $A + B$, $B - A$, $A - B$.

Қалай ойлаймыз. $a^2$-тың алдындағы бөлшектерді жай бөлшектерді қосу ережесімен қосамыз: $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$.

Шешуі.

1. $A + B = \frac{6}{9}a^2 + 2\frac{1}{9}a^2 - 4{,}5 + 3{,}09 = 2\frac{7}{9}a^2 - 1{,}41$.
2. $B - A = 2\frac{1}{9}a^2 + 3{,}09 - \frac{6}{9}a^2 + 4{,}5 = 1\frac{4}{9}a^2 + 7{,}59$.
3. $A - B$ — $B - A$-ға қарама-қарсы: $-1\frac{4}{9}a^2 - 7{,}59$.

Жауабы: $A + B = 2\frac{7}{9}a^2 - 1{,}41$; $B - A = 1\frac{4}{9}a^2 + 7{,}59$; $A - B = -1\frac{4}{9}a^2 - 7{,}59$.

№ 12.7

Теңдіктің ақиқаттығын тексеріңдер: 1) $(18{,}9 - x^2) - (5x^2 - 21) + (7x^2 - 39{,}9) = x^2$; 2) $(60b^3 + 51{,}3) + (70 - 62{,}8b^3) - (-2{,}8b^3 + 121) = 0{,}3$; 3) $\left(\frac{7}{9}y^4 - 10{,}1\right) - \left(18 - \frac{2}{3}y^4\right) + \left(27{,}1 - \frac{4}{9}y^4\right) = y^4$; 4) $\left(4{,}7c^2 - 6\frac{5}{7}\right) + \left(3\frac{4}{9} - 5c^2\right) - \left(0{,}7c^2 - 3\frac{5}{21}\right) = -c^2$.

Қалай ойлаймыз. Сол жағын ықшамдап, оң жағымен салыстырамыз.

Шешуі.

1. $18{,}9 - x^2 - 5x^2 + 21 + 7x^2 - 39{,}9 = (-1 - 5 + 7)x^2 + (18{,}9 + 21 - 39{,}9) = x^2 + 0 = x^2$. Ақиқат.
2. $60b^3 + 51{,}3 + 70 - 62{,}8b^3 + 2{,}8b^3 - 121$: $b^3$-тің алдында $60 - 62{,}8 + 2{,}8 = 0$; сандар $51{,}3 + 70 - 121 = 0{,}3$. Ақиқат.
3. $\frac{7}{9}y^4 - 10{,}1 - 18 + \frac{2}{3}y^4 + 27{,}1 - \frac{4}{9}y^4$: $y^4$-тің алдында $\frac{7}{9} + \frac{6}{9} - \frac{4}{9} = 1$; сандар $-10{,}1 - 18 + 27{,}1 = -1$. Шықты $y^4 - 1$, ал $y^4$ емес. Ақиқат емес.
4. $c^2$-тың алдында: $4{,}7 - 5 - 0{,}7 = -1$. Сандар: $-6\frac{5}{7} + 3\frac{4}{9} + 3\frac{5}{21}$. Бүтін бөліктері: $-6 + 3 + 3 = 0$. Бөлшектері: $-\frac{5}{7} + \frac{4}{9} + \frac{5}{21} = \frac{-45 + 28 + 15}{63} = -\frac{2}{63}$. Шықты $-c^2 - \frac{2}{63}$. Ақиқат емес.

Жауабы: 1) ақиқат; 2) ақиқат; 3) ақиқат емес; 4) ақиқат емес.

№ 12.8

Өрнекті ықшамдап, мәнін табыңдар: 1) $(20a^7 + 7a^3) - (57 + 20a^7)$, мұндағы $a = 2$; 2) $(17{,}3x^5 - 62) + (3x^2 - 17{,}3x^5)$, мұндағы $x = -5$; 3) $\left(8\frac{3}{4}b^4 + 9{,}1\right) - (2{,}7b^3 + 8{,}75b^4)$, мұндағы $b = \frac{1}{3}$; 4) $\left(1\frac{44}{49} - 11{,}3y^4\right) + (6y^2 + 11{,}3y^4)$, мұндағы $y = -\frac{3}{7}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен ықшамдаймыз, сосын мәнін қоямыз: олай есептеу әлдеқайда жеңіл.

Шешуі.

1. $20a^7 + 7a^3 - 57 - 20a^7 = 7a^3 - 57$. $a = 2$ болғанда: $7 \cdot 8 - 57 = 56 - 57 = -1$.
2. $17{,}3x^5 - 62 + 3x^2 - 17{,}3x^5 = 3x^2 - 62$. $x = -5$ болғанда: $3 \cdot 25 - 62 = 13$.
3. $8\frac{3}{4} = 8{,}75$, сондықтан $8{,}75b^4$ жойылады: $9{,}1 - 2{,}7b^3$ қалады. $b = \frac{1}{3}$ болғанда: $b^3 = \frac{1}{27}$, $2{,}7 \cdot \frac{1}{27} = 0{,}1$. Жауабы $9{,}1 - 0{,}1 = 9$.
4. $-11{,}3y^4$ және $+11{,}3y^4$ жойылады: $1\frac{44}{49} + 6y^2$. $y = -\frac{3}{7}$ болғанда: $y^2 = \frac{9}{49}$, $6 \cdot \frac{9}{49} = \frac{54}{49} = 1\frac{5}{49}$. Қосынды: $1\frac{44}{49} + 1\frac{5}{49} = 2\frac{49}{49} = 3$.

Жауабы: 1) $-1$; 2) 13; 3) 9; 4) 3.

№ 12.9

$a$ айнымалысының қандай мәнінде берілген өрнектің мәні нөлге тең болады: 1) $(90 - 24{,}1a) - (15{,}9a + 86)$; 2) $(4{,}5 - 0{,}23a) + (-2{,}9 + 0{,}13a)$; 3) $\left(1{,}6a + \frac{1}{12}\right) - \left(0{,}5a - \frac{5}{6}\right)$; 4) $(18{,}7a - 3) + \left(2\frac{2}{7} - 13{,}7a\right)$?

Қалай ойлаймыз. $ka + l$ түріне дейін ықшамдап, $ka + l = 0$ теңдеуін шешеміз.

Шешуі.

1. $90 - 24{,}1a - 15{,}9a - 86 = 4 - 40a$. $4 - 40a = 0$, $a = 0{,}1$.
2. $4{,}5 - 0{,}23a - 2{,}9 + 0{,}13a = 1{,}6 - 0{,}1a$. $0{,}1a = 1{,}6$, $a = 16$.
3. $1{,}6a + \frac{1}{12} - 0{,}5a + \frac{5}{6} = 1{,}1a + \frac{11}{12}$. $1{,}1a = -\frac{11}{12}$, демек, $a = -\frac{11}{12} : \frac{11}{10} = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6}$.
4. $18{,}7a - 3 + 2\frac{2}{7} - 13{,}7a = 5a - \frac{5}{7}$. $5a = \frac{5}{7}$, $a = \frac{1}{7}$.

Жауабы: 1) $0{,}1$; 2) 16; 3) $-\frac{5}{6}$; 4) $\frac{1}{7}$.

№ 12.10

Көпмүшелердің қосындысы мен айырымын табыңдар: 1) $5x^2 - 0{,}18y^3$ және $6{,}2x^2 + 7y^3$; 2) $-10{,}9b^3 + 43c$ және $60c + 11{,}1b^3$; 3) $76n^4 - 27{,}2t^2$ және $30t^2 - 80n^4$; 4) $88{,}1x - 64m^2$ және $41m^2 - 8{,}8x$.

Қалай ойлаймыз. Әр жұп үшін екі амал: алдымен қосынды, сосын айырым (біріншіден екіншісін азайтамыз).

Шешуі.

1. Қосындысы: $11{,}2x^2 + 6{,}82y^3$. Айырымы: $5x^2 - 0{,}18y^3 - 6{,}2x^2 - 7y^3 = -1{,}2x^2 - 7{,}18y^3$.
2. Қосындысы: $0{,}2b^3 + 103c$. Айырымы: $-10{,}9b^3 + 43c - 60c - 11{,}1b^3 = -22b^3 - 17c$.
3. Қосындысы: $-4n^4 + 2{,}8t^2$. Айырымы: $76n^4 - 27{,}2t^2 - 30t^2 + 80n^4 = 156n^4 - 57{,}2t^2$.
4. Қосындысы: $79{,}3x - 23m^2$. Айырымы: $88{,}1x - 64m^2 - 41m^2 + 8{,}8x = 96{,}9x - 105m^2$.

Жауабы: 1) $11{,}2x^2 + 6{,}82y^3$; $-1{,}2x^2 - 7{,}18y^3$. 2) $0{,}2b^3 + 103c$; $-22b^3 - 17c$. 3) $-4n^4 + 2{,}8t^2$; $156n^4 - 57{,}2t^2$. 4) $79{,}3x - 23m^2$; $96{,}9x - 105m^2$.

№ 12.11

Көпмүшелердің қосындысы мен айырымын табыңдар: 1) $9\frac{1}{5}y + 81z^3$ және $39z^3 - 10y$; 2) $-51k^4 + 10\frac{3}{7}c^2$ және $12\frac{3}{7}c^2 + 19k^4$; 3) $29m^3 - 3{,}8t$ және $2{,}8t - 21\frac{11}{19}m^3$; 4) $100s^5 + 31\frac{5}{12}k$ және $40k - 92{,}8s^5$.

Қалай ойлаймыз. Сол екі амал, тек коэффициенттері — аралас сандар. Бүтін және бөлшек бөліктерін бөлек есептейміз.

Шешуі.

1. Қосындысы: $9{,}2y - 10y + 81z^3 + 39z^3 = -0{,}8y + 120z^3$. Айырымы: $9{,}2y + 10y + 81z^3 - 39z^3 = 19{,}2y + 42z^3$.
2. Қосындысы: $-32k^4 + 22\frac{6}{7}c^2$. Айырымы: $-51k^4 - 19k^4 + 10\frac{3}{7}c^2 - 12\frac{3}{7}c^2 = -70k^4 - 2c^2$.
3. Қосындысы: $29m^3 - 21\frac{11}{19}m^3 - 3{,}8t + 2{,}8t = 7\frac{8}{19}m^3 - t$. Айырымы: $29m^3 + 21\frac{11}{19}m^3 - 3{,}8t - 2{,}8t = 50\frac{11}{19}m^3 - 6{,}6t$.
4. Қосындысы: $100s^5 - 92{,}8s^5 + 31\frac{5}{12}k + 40k = 7{,}2s^5 + 71\frac{5}{12}k$. Айырымы: $192{,}8s^5 + \left(31\frac{5}{12} - 40\right)k = 192{,}8s^5 - 8\frac{7}{12}k$.

Жауабы: 1) $-0{,}8y + 120z^3$; $19{,}2y + 42z^3$. 2) $-32k^4 + 22\frac{6}{7}c^2$; $-70k^4 - 2c^2$. 3) $7\frac{8}{19}m^3 - t$; $50\frac{11}{19}m^3 - 6{,}6t$. 4) $7{,}2s^5 + 71\frac{5}{12}k$; $192{,}8s^5 - 8\frac{7}{12}k$.

B деңгейі

№ 12.12

Өрнектің мәні айнымалылардың мәндеріне байланысты болмайтынын дәлелдеңдер: 1) $(50 - 120x + 76y) + (88x - 74y) - (2y - 32x)$; 2) $(8{,}7a - 5{,}1b + 13) - (2{,}9a - 4{,}2b) + (0{,}9b - 5{,}8a)$.

Қалай ойлаймыз. Өрнекті айнымалылар қалмайтындай ықшамдау керек — тек сан қалуы тиіс.

Шешуі.

1. $50 - 120x + 76y + 88x - 74y - 2y + 32x$. $x$ бойынша: $-120 + 88 + 32 = 0$. $y$ бойынша: $76 - 74 - 2 = 0$. $50$ қалады.
2. $8{,}7a - 5{,}1b + 13 - 2{,}9a + 4{,}2b + 0{,}9b - 5{,}8a$. $a$ бойынша: $8{,}7 - 2{,}9 - 5{,}8 = 0$. $b$ бойынша: $-5{,}1 + 4{,}2 + 0{,}9 = 0$. $13$ қалады.

Жауабы: мәндері айнымалылардың кез келген мәнінде 50 және 13-ке тең, демек, айнымалыларға тәуелді емес.

№ 12.13

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $(11a + 12b) - (20a - 34b) + (10a - 45b) = a + b$; 2) $(22{,}4x + 31{,}3y) + (4{,}9y - 30x) - (35{,}2y - 6{,}6x) = y - x$.

Қалай ойлаймыз. Тепе-теңдікті дәлелдеу үшін сол жағын ықшамдап, оң жағын аламыз.

Шешуі.

1. $11a + 12b - 20a + 34b + 10a - 45b$. $a$ бойынша: $11 - 20 + 10 = 1$. $b$ бойынша: $12 + 34 - 45 = 1$. $a + b$ шықты ✓.
2. $22{,}4x + 31{,}3y + 4{,}9y - 30x - 35{,}2y + 6{,}6x$. $x$ бойынша: $22{,}4 - 30 + 6{,}6 = -1$. $y$ бойынша: $31{,}3 + 4{,}9 - 35{,}2 = 1$. $-x + y = y - x$ шықты ✓.

Жауабы: сол жақтары оң жақтарына дейін ықшамдалды, тепе-теңдіктер дәлелденді.

№ 12.14

Өрнектерді ықшамдаңдар: 1) $(a^3 - a^2 + 6) - (4a^3 + 8a^2 - 11)$; 2) $(11x^4 + 21x^3 - 43) + (60 - 19x^3 - 7x^4)$; 3) $(30b^5 - 15b + 16) - (17 + 17b + 44b^5)$; 4) $(-73 + 17x + 19x^3) + (-18x^3 - 39x + 50)$.

Шешуі.

1. $a^3 - a^2 + 6 - 4a^3 - 8a^2 + 11 = -3a^3 - 9a^2 + 17$.
2. $11x^4 + 21x^3 - 43 + 60 - 19x^3 - 7x^4 = 4x^4 + 2x^3 + 17$.
3. $30b^5 - 15b + 16 - 17 - 17b - 44b^5 = -14b^5 - 32b - 1$.
4. $-73 + 17x + 19x^3 - 18x^3 - 39x + 50 = x^3 - 22x - 23$.

Жауабы: 1) $-3a^3 - 9a^2 + 17$; 2) $4x^4 + 2x^3 + 17$; 3) $-14b^5 - 32b - 1$; 4) $x^3 - 22x - 23$.

№ 12.15

Өрнектерді ықшамдаңдар: 1) $(5a^2 - 4x + 25) + (-31 + 9a^2 - 3x)$; 2) $(17y + 8b^2 - 11) - (70 - 9b^2 + 18y)$; 3) $(2{,}3c - 9{,}1z^3 - 4) - (10z^3 - 3c + 5{,}9)$; 4) $(0{,}8t^2 - 20m + 5) - (41 - 3m - 2{,}4t^2)$.

Шешуі.

1. $5a^2 - 4x + 25 - 31 + 9a^2 - 3x = 14a^2 - 7x - 6$.
2. $17y + 8b^2 - 11 - 70 + 9b^2 - 18y = 17b^2 - y - 81$.
3. $2{,}3c - 9{,}1z^3 - 4 - 10z^3 + 3c - 5{,}9 = 5{,}3c - 19{,}1z^3 - 9{,}9$.
4. $0{,}8t^2 - 20m + 5 - 41 + 3m + 2{,}4t^2 = 3{,}2t^2 - 17m - 36$.

Жауабы: 1) $14a^2 - 7x - 6$; 2) $17b^2 - y - 81$; 3) $5{,}3c - 19{,}1z^3 - 9{,}9$; 4) $3{,}2t^2 - 17m - 36$.

№ 12.16

Өрнектерді ықшамдаңдар: 1) $(xy + 6a) + (6a - z) - (8z + 10xy)$; 2) $(4b - 3cd) - (11b + 20k) + (23k - 19cd)$; 3) $(2t - mn) + (8nm - 9k) - (-10k + 15t)$; 4) $(1{,}8a - bc) + (7{,}7bc - d) - (10{,}1d - a)$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда әріптер көп: ұқсас мүшелер — әріптер жиыны бірдей мүшелер. $mn$ мен $nm$ — бір нәрсе екенін ұмытпа.

Шешуі.

1. $xy + 6a + 6a - z - 8z - 10xy = 12a - 9xy - 9z$.
2. $4b - 3cd - 11b - 20k + 23k - 19cd = -7b - 22cd + 3k$.
3. $2t - mn + 8mn - 9k + 10k - 15t = -13t + 7mn + k$.
4. $1{,}8a - bc + 7{,}7bc - d - 10{,}1d + a = 2{,}8a + 6{,}7bc - 11{,}1d$.

Жауабы: 1) $12a - 9xy - 9z$; 2) $-7b - 22cd + 3k$; 3) $-13t + 7mn + k$; 4) $2{,}8a + 6{,}7bc - 11{,}1d$.

C деңгейі

Мұнда есептер қиынырақ, бірақ мәні — сол баяғы. Кез келген талпыныс — жеңіс.

№ 12.17

$A = 1{,}8a^2b^3 - 25a^3b^2$; $B = 20a^3b^2 - 0{,}7a^2b^3$; $C = 1{,}9a^2b^3 + 23a^3b^2$ берілген. 12.3-кестені толтырыңдар: $A + B + C$, $A - B + C$, $A - B - C$, $C - A - B$.

Қалай ойлаймыз. Мұндағы ұқсас мүшелер екі түрлі: $a^2b^3$-лы және $a^3b^2$-лы. Әр түрдің коэффициенттерін бөлек есептейміз. Коэффициенттердің ыңғайлы тізімі: $A$ үшін $(1{,}8;\ -25)$, $B$ үшін $(-0{,}7;\ 20)$, $C$ үшін $(1{,}9;\ 23)$ (бірінші сан $a^2b^3$-тің, екіншісі $a^3b^2$-тің алдында).

Шешуі.

1. $A + B + C$: $a^2b^3$: $1{,}8 - 0{,}7 + 1{,}9 = 3$; $a^3b^2$: $-25 + 20 + 23 = 18$.
2. $A - B + C$: $a^2b^3$: $1{,}8 + 0{,}7 + 1{,}9 = 4{,}4$; $a^3b^2$: $-25 - 20 + 23 = -22$.
3. $A - B - C$: $a^2b^3$: $1{,}8 + 0{,}7 - 1{,}9 = 0{,}6$; $a^3b^2$: $-25 - 20 - 23 = -68$.
4. $C - A - B$: $a^2b^3$: $1{,}9 - 1{,}8 + 0{,}7 = 0{,}8$; $a^3b^2$: $23 + 25 - 20 = 28$.

Жауабы: жоғарыдағы кестеде.

№ 12.18

12.17-жаттығудағы берілгендерді қолданып, 1) $B - A + C$; 2) $C - A + B$; 3) $B - A - C$ алгебралық қосындысын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $B - A$ өрнегі $A - B$-ға қарама-қарсы екенін есте сақта. Коэффициенттерді № 12.17-дегідей есептейміз.

Шешуі.

1. $B - A + C$: $a^2b^3$: $-0{,}7 - 1{,}8 + 1{,}9 = -0{,}6$; $a^3b^2$: $20 + 25 + 23 = 68$.
2. $C - A + B$: сол қосылғыштар, тек басқа ретпен — нәтиже де сондай: $-0{,}6a^2b^3 + 68a^3b^2$. Қосылғыштардың орнын ауыстырғаннан қосынды өзгермейді.
3. $B - A - C$: $a^2b^3$: $-0{,}7 - 1{,}8 - 1{,}9 = -4{,}4$; $a^3b^2$: $20 + 25 - 23 = 22$.

Жауабы: 1) $68a^3b^2 - 0{,}6a^2b^3$; 2) $68a^3b^2 - 0{,}6a^2b^3$; 3) $22a^3b^2 - 4{,}4a^2b^3$.

№ 12.19

Теңдіктің ақиқаттығын тексеріңдер: 1) $(a^2b^2z^4 - 0{,}3a^4b^3c^2) - (a^2b^3z^4 - 9{,}3a^4b^3c^2) = 9a^4b^3c^2$; 2) $(7x^3y^2z - 8{,}1xy^2z^3) + (7{,}1xy^2z^3 - 7x^3y^2z) = -xy^2z^3$.

Қалай ойлаймыз. Дәрежелеріне мұқият қара: $a^2b^2z^4$ және $a^2b^3z^4$ ұқсас емес!

Шешуі.

1. $a^2b^2z^4 - 0{,}3a^4b^3c^2 - a^2b^3z^4 + 9{,}3a^4b^3c^2$. $a^4b^3c^2$-лы мүшелер: $-0{,}3 + 9{,}3 = 9$. Бірақ $a^2b^2z^4$ мен $a^2b^3z^4$ бір-бірімен жойылмайды ($b$-ның дәрежелері әртүрлі). Шығады: $9a^4b^3c^2 + a^2b^2z^4 - a^2b^3z^4$ — бұл оң жағына тең емес.
2. $7x^3y^2z - 8{,}1xy^2z^3 + 7{,}1xy^2z^3 - 7x^3y^2z$. Бірінші және төртінші мүшелер жойылады; $-8{,}1 + 7{,}1 = -1$. $-xy^2z^3$ қалады ✓.

Жауабы: 1) ақиқат емес; 2) ақиқат.

№ 12.20

Айнымалылардың қандай мәнінде алгебралық қосындының мәні 1-ге тең болады: 1) $(47{,}5x^4y - 28{,}9xy^4) - (19{,}6x^4y - 28{,}9xy^4) + (2{,}7x - 27{,}9x^4y)$; 2) $\left(8\frac{3}{16}a^2b^2 - 18\frac{8}{15}a^2b^2\right) + \left(20{,}6a^2b^2 - 8\frac{3}{16}a^2b^2\right) - \left(2\frac{1}{15}a^2b^2 - 3{,}1a\right)$?

Қалай ойлаймыз. Алдымен ықшамдаймыз. Көбі жойылып, қарапайым теңдеу қалады.

Шешуі.

1. $x^4y$ бойынша: $47{,}5 - 19{,}6 - 27{,}9 = 0$. $-28{,}9xy^4$ және $+28{,}9xy^4$ жойылады. $2{,}7x$ қалады. $2{,}7x = 1$ теңдеуінен $x = \frac{10}{27}$. $y$-тің мәні кез келген болуы мүмкін.
2. $8\frac{3}{16}$ мен $-8\frac{3}{16}$ жойылады. $a^2b^2$ үшін: $-18\frac{8}{15} + 20{,}6 - 2\frac{1}{15}$. Бұл $-18\frac{8}{15} - 2\frac{1}{15} = -20\frac{9}{15} = -20{,}6$, және $+20{,}6$-мен бірге $0$ береді. $3{,}1a$ қалады. $3{,}1a = 1$ теңдеуінен $a = \frac{10}{31}$. $b$-ның мәні кез келген.

Жауабы: 1) $x = \frac{10}{27}$, $y$ — кез келген сан; 2) $a = \frac{10}{31}$, $b$ — кез келген сан.

№ 12.21

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $(-9k^4t^2 + 11k^3t) - (19k^3t - 8k^4t^2) + (10k^4t^2 + 8k^3t) = 9k^4t^2$; 2) $(5n^3m^2 - n^3m^3) - (7n^3m^3 + 10n^3m^2) + (6n^3m^2 + 8n^3m^3) = n^3m^2$.

Шешуі.

1. $-9k^4t^2 + 11k^3t - 19k^3t + 8k^4t^2 + 10k^4t^2 + 8k^3t$. $k^4t^2$ бойынша: $-9 + 8 + 10 = 9$. $k^3t$ бойынша: $11 - 19 + 8 = 0$. $9k^4t^2$ шықты ✓.
2. $5n^3m^2 - n^3m^3 - 7n^3m^3 - 10n^3m^2 + 6n^3m^2 + 8n^3m^3$. $n^3m^2$ бойынша: $5 - 10 + 6 = 1$. $n^3m^3$ бойынша: $-1 - 7 + 8 = 0$. $n^3m^2$ шықты ✓.

Жауабы: сол жақтары оң жақтарына дейін ықшамдалды, тепе-теңдіктер дәлелденді.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 12.22

Амалдарды орындаңдар: $\left(11\frac{5}{8} : 15{,}5 + 4{,}25 - 3\frac{7}{9}\right) \cdot \frac{9}{22} - 0{,}59$.

Қалай ойлаймыз. Реті: жақшадағы бөлу, сосын жақшадағы қосу және азайту, көбейту, соңында азайту.

Шешуі.

1. $11\frac{5}{8} = \frac{93}{8}$; $15{,}5 = \frac{31}{2}$. $\frac{93}{8} : \frac{31}{2} = \frac{93 \cdot 2}{8 \cdot 31} = \frac{3}{4} = 0{,}75$.
2. $0{,}75 + 4{,}25 = 5$.
3. $5 - 3\frac{7}{9} = 1\frac{2}{9} = \frac{11}{9}$.
4. $\frac{11}{9} \cdot \frac{9}{22} = \frac{1}{2} = 0{,}5$.
5. $0{,}5 - 0{,}59 = -0{,}09$.

Жауабы: $-0{,}09$.

№ 12.23

Автомобильдің 90 км/сағ жылдамдықпен $b$ сағатта жүрген жолын өрнектейтін формуланы жазыңдар. Егер $b = 3\frac{1}{3}$ сағ болса, жүрілген жолдың ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жол = жылдамдық · уақыт. Жылдамдық белгілі, уақыт — $b$ әрпі.

Шешуі.

1. Формула: $S = 90b$.
2. $b = 3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ болғанда: $S = 90 \cdot \frac{10}{3} = 30 \cdot 10 = 300$ км. Алматыдан Таразға дейінгі қашықтықтай шамамен.

Жауабы: $S = 90b$ км; $b = 3\frac{1}{3}$ сағ болғанда жол 300 км.

Жадынама

• Жауап стандарт түрде: ұқсас мүшелер біріктірілген, мүшелері ретімен орналасқан.
• Нәтиже бірмүшеге немесе санға дейін қысқаруы мүмкін.
• Мәнін табу керек болса, алдымен ықшамда, сосын мәнін қой.
• Мәні айнымалыларға тәуелді болмаса, жауап — бір ғана сан.

Шағын тест