§ 13. Көпмүшелерді көбейту

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 2 бөлім: Көпмүшелер. 93–97-беттер.

Нені үйренесің

• Көпмүшені бірмүшеге көбейтуді: жақшадағы әрбір мүше сол бірмүшеге көбейтіледі.
• Көпмүшені көпмүшеге «әрқайсысы әрқайсысымен» ережесі бойынша көбейтуді.
• Жақшаны ашқаннан кейін ұқсас қосылғыштарды біріктіруді және өрнектерді ықшамдауды.
• Алдымен жақшаны ашу керек болатын өрнектердің мәнін табуды, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді.
• Тепе-теңдіктерді дәлелдеуді: сол жағын оң жағына келтіру.

Ой қозғау

• $3(a+b)$ жақшасын қалай ашамыз? Көбейтудің үлестірімділік қасиеті бойынша: $3a+3b$. Санды әр қосылғышқа көбейтеміз.
• $x\cdot x^{2}$ неге тең? $x^{3}$: негіздері бірдей дәрежелерді көбейткенде көрсеткіштері қосылады.
• $-2ab$ және $5a^{2}$ бірмүшелерін қалай көбейтеміз? Сандарын бөлек, әріптерін бөлек: $-10a^{3}b$.
• «Ұқсас мүшелерді біріктіру» дегеніміз не? Әріптік бөлігі бірдей қосылғыштарды қосу: $5x+3x=8x$.
• Стандарт түрдегі көпмүше қандай болады? Стандарт түрде жазылған, ұқсас мүшелері жоқ бірмүшелердің қосындысы.

Тақырыпты талдаймыз

Жақшаны бірмүшеге көбейту

Елестетші: Алматыдағы кондитерлік дүкенде әр қорапта $a$ шоколад және $b$ кәмпит жатыр. Біз осындай $x$ қорап аламыз. Барлық тәттінің саны: $x(a+b)=xa+xb$. Шоколадты бөлек, кәмпитті бөлек санаймыз.

📌 Көпмүшені бірмүшеге көбейту үшін көпмүшенің әрбір мүшесін сол бірмүшеге көбейтіп, шыққан көбейтінділерді қос.

Мысалы: $(30a-7b)\cdot0{,}4x=30a\cdot0{,}4x-7b\cdot0{,}4x=12ax-2{,}8bx$.

⚠️ Жиі кететін қате. Тек бірінші қосылғышты көбейтеді: $2(x+5)=2x+5$. Олай емес! Екілік барлығымен «амандасады»: $2x+10$.

Жақшаны жақшаға көбейту: «әрқайсысы әрқайсысымен»

$(a+c)$ және $(a^{2}-c^{3}+5)$ өрнектерін көбейту үшін алдымен $(a+c)$-ны бір сан деп, $x$ деп алайық. Таныс ереже бойынша жақшаны ашамыз, содан кейін $a+c$-ны орнына қайтарып, тағы бір рет ашамыз. Нәтижесінде бірінші жақшаның әрбір мүшесін екінші жақшаның әрбір мүшесіне көбейткен боламыз.

📌 Көпмүшені көпмүшеге көбейту үшін біреуінің әрбір мүшесін екіншісінің әрбір мүшесіне көбейтіп, барлық көбейтіндіні қос. Содан кейін ұқсас мүшелерді біріктір.

Қабырғалары $x+3$ және $x+2$ болатын тіктөртбұрыштың ауданына қара (мұнда $x=4$). Ол төрт бөлікке кесілген, ал бүкіл тіктөртбұрыштың ауданы бөліктер аудандарының қосындысына тең.

Қорытынды: $(x+3)(x+2)=x^{2}+3x+2x+6=x^{2}+5x+6$. Төрт көбейтінді шықты, себебі $2\cdot2=4$ мүше. Үшмүшені екімүшеге көбейткенде $3\cdot2=6$ көбейтінді болады.

💡 Ұқсас мүшелерді біріктірместен бұрын, қанша қосылғыш шығуы керек екенін санап ал: бірінші жақшадағы мүше санын екіншісіндегі мүше санына көбейт. Сонда бірде-бірін жоғалтпайсың.

Қадам-қадаммен: үшмүшені екімүшеге көбейту

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Кез келген жауапты тексерудің жақсы тәсілі: әріптің орнына кішкентай санды (мысалы, 1 немесе 2) бастапқы өрнекке де, нәтижеге де қойыңыз. Мәндері әртүрлі шықса, таңбаларда қате бар.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Көпмүшені бірмүшеге қалай көбейтеді? Көпмүшенің әрбір мүшесін бірмүшеге көбейтіп, шыққан көбейтінділерді қосады.
• Екімүшені екімүшеге қалай көбейтеді? Біріншісінің әрбір мүшесін екіншісінің әрбір мүшесіне көбейтеді: төрт көбейтінді шығады. Содан кейін ұқсас мүшелерді біріктіреді.
• Үшмүшені екімүшеге қалай көбейтеді? Дәл солай: алты көбейтінді, сосын ұқсас мүшелерді біріктіру.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 13.1

Көбейтіндіні көпмүше түрінде жазыңдар: 1) $a(a-c+1)$; 2) $-c(m+n-3)$; 3) $5x(x+y^{2}-5)$; 4) $4y(y+x^{2}-6)$; 5) $-xy(3y^{2}+2x)$; 6) $mn(7-m+8n^{2})$; 7) $2^{2}xy(4x-3y+5xy)$; 8) $-3a^{2}b(2a+5b-7ab)$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаның алдындағы бірмүшені жақшадағы әр мүшеге көбейтеміз. Таңбаларға мұқият бол.

Шешуі.

1. $a\cdot a-a\cdot c+a\cdot1=a^{2}-ac+a$.
2. $-cm-cn+3c$.
3. $5x^{2}+5xy^{2}-25x$.
4. $4y^{2}+4x^{2}y-24y$.
5. $-xy\cdot3y^{2}=-3xy^{3}$ және $-xy\cdot2x=-2x^{2}y$.
6. $7mn-m^{2}n+8mn^{3}$.
7. $2^{2}=4$, сондықтан $4xy\cdot4x=16x^{2}y$, $4xy\cdot(-3y)=-12xy^{2}$, $4xy\cdot5xy=20x^{2}y^{2}$.
8. $-3a^{2}b\cdot2a=-6a^{3}b$; $-3a^{2}b\cdot5b=-15a^{2}b^{2}$; $-3a^{2}b\cdot(-7ab)=+21a^{3}b^{2}$.

Жауабы: 1) $a^{2}-ac+a$; 2) $-cm-cn+3c$; 3) $5x^{2}+5xy^{2}-25x$; 4) $4x^{2}y+4y^{2}-24y$; 5) $-3xy^{3}-2x^{2}y$; 6) $7mn-m^{2}n+8mn^{3}$; 7) $16x^{2}y-12xy^{2}+20x^{2}y^{2}$; 8) $-6a^{3}b-15a^{2}b^{2}+21a^{3}b^{2}$.

№ 13.2

Екімүшелердің көбейтіндісін көпмүше түрінде жазыңдар: 1) $(x-a)(x+y)$; 2) $(a+z)(n-m)$; 3) $(t+s)(b+k)$; 4) $(c-d)(x-y)$; 5) $(a+2)(b-3)$; 6) $(4-b)(5+c)$; 7) $(d-4)(t+5)$; 8) $(k-6)(7-d)$.

Қалай ойлаймыз. Әр мысалда төрт көбейтінді: бірінші мен бірінші, бірінші мен екінші, екінші мен бірінші, екінші мен екінші.

Шешуі.

1. $x\cdot x+x\cdot y-a\cdot x-a\cdot y=x^{2}+xy-ax-ay$.
2. $an-am+zn-zm$.
3. $tb+tk+sb+sk$.
4. $cx-cy-dx+dy$.
5. $ab-3a+2b-6$.
6. $20+4c-5b-bc$.
7. $dt+5d-4t-20$.
8. $7k-kd-42+6d$.

Жауабы: 1) $x^{2}+xy-ax-ay$; 2) $an-am+zn-zm$; 3) $bt+kt+bs+ks$; 4) $cx-cy-dx+dy$; 5) $ab-3a+2b-6$; 6) $20+4c-5b-bc$; 7) $dt+5d-4t-20$; 8) $7k-dk-42+6d$.

№ 13.3

Көбейтіп, ұқсас мүшелерді біріктіріңдер: 1) $(x-7)(x+8)$; 2) $(9-y)(y+5)$; 3) $(a+6)(4-a)$; 4) $(2-b)(b+3)$; 5) $(10-c)(9-c)$; 6) $(d+3)(d+11)$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаны ашқаннан кейін бір әріпті ұқсас қосылғыштар шығады: оларды қосамыз.

Шешуі.

1. $x^{2}+8x-7x-56=x^{2}+x-56$.
2. $9y+45-y^{2}-5y=-y^{2}+4y+45$.
3. $4a-a^{2}+24-6a=-a^{2}-2a+24$.
4. $2b+6-b^{2}-3b=-b^{2}-b+6$.
5. $90-10c-9c+c^{2}=c^{2}-19c+90$.
6. $d^{2}+11d+3d+33=d^{2}+14d+33$.

Жауабы: 1) $x^{2}+x-56$; 2) $-y^{2}+4y+45$; 3) $-a^{2}-2a+24$; 4) $-b^{2}-b+6$; 5) $c^{2}-19c+90$; 6) $d^{2}+14d+33$.

№ 13.4

Көбейтуді орындаңдар: 1) $(b+3)(b^{2}-b-7)$; 2) $(2-a)(16-a+a^{2})$; 3) $(a+4)(a^{2}+a-2)$; 4) $(5-b)(4-b-b^{2})$; 5) $(3xy-4)(6+xy)$; 6) $(4nm+3)(nm-8)$.

Қалай ойлаймыз. Екімүше мен үшмүше: алты көбейтінді. Оларды ретімен жазып, содан кейін ұқсас мүшелерді біріктір.

Шешуі.

1. $b^{3}-b^{2}-7b+3b^{2}-3b-21=b^{3}+2b^{2}-10b-21$.
2. $32-2a+2a^{2}-16a+a^{2}-a^{3}=-a^{3}+3a^{2}-18a+32$.
3. $a^{3}+a^{2}-2a+4a^{2}+4a-8=a^{3}+5a^{2}+2a-8$.
4. $20-5b-5b^{2}-4b+b^{2}+b^{3}=b^{3}-4b^{2}-9b+20$.
5. $18xy+3x^{2}y^{2}-24-4xy=3x^{2}y^{2}+14xy-24$.
6. $4n^{2}m^{2}-32nm+3nm-24=4n^{2}m^{2}-29nm-24$.

Жауабы: 1) $b^{3}+2b^{2}-10b-21$; 2) $-a^{3}+3a^{2}-18a+32$; 3) $a^{3}+5a^{2}+2a-8$; 4) $b^{3}-4b^{2}-9b+20$; 5) $3x^{2}y^{2}+14xy-24$; 6) $4m^{2}n^{2}-29mn-24$.

№ 13.5

Көбейтіңдер: 1) $(a^{3}-2a-4)(-a+5)$; 2) $(7b-20)(2-b+4b^{2})$; 3) $(-3c^{2}+c-9)(5c+6)$; 4) $(4-3d+2d^{2})(1-7d)$.

Қалай ойлаймыз. Үшмүше мен екімүше. Мұнда «минус» таңбасын шатастыру өте оңай, сондықтан әр көбейтіндіні бөлек жаз.

Шешуі.

1. $-a^{4}+5a^{3}+2a^{2}-10a+4a-20=-a^{4}+5a^{3}+2a^{2}-6a-20$.
2. $14b-7b^{2}+28b^{3}-40+20b-80b^{2}=28b^{3}-87b^{2}+34b-40$.
3. $-15c^{3}-18c^{2}+5c^{2}+6c-45c-54=-15c^{3}-13c^{2}-39c-54$.
4. $4-28d-3d+21d^{2}+2d^{2}-14d^{3}=-14d^{3}+23d^{2}-31d+4$.

Жауабы: 1) $-a^{4}+5a^{3}+2a^{2}-6a-20$; 2) $28b^{3}-87b^{2}+34b-40$; 3) $-15c^{3}-13c^{2}-39c-54$; 4) $-14d^{3}+23d^{2}-31d+4$.

№ 13.6

Көбейтіңдер: 1) $(ab+7)(8-ab)$; 2) $(xy+11)(xy-12)$; 3) $(1{,}5-6nm)(8nm+2{,}5)$; 4) $(9st-1{,}6)(10+1{,}8st)$.

Қалай ойлаймыз. $ab$-ны бір әріп, мысалы $u$ деп алуға болады. Сонда $(u+7)(8-u)$ — өте қарапайым мысал.

Шешуі.

1. $8ab-a^{2}b^{2}+56-7ab=-a^{2}b^{2}+ab+56$.
2. $x^{2}y^{2}-12xy+11xy-132=x^{2}y^{2}-xy-132$.
3. $12nm+3{,}75-48n^{2}m^{2}-15nm=-48n^{2}m^{2}-3nm+3{,}75$.
4. $90st+16{,}2s^{2}t^{2}-16-2{,}88st=16{,}2s^{2}t^{2}+87{,}12st-16$.

Жауабы: 1) $-a^{2}b^{2}+ab+56$; 2) $x^{2}y^{2}-xy-132$; 3) $-48m^{2}n^{2}-3mn+3{,}75$; 4) $16{,}2s^{2}t^{2}+87{,}12st-16$.

№ 13.7

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $8(3n-2m)-5(2n-m)$; 2) $-11(4x+3y)-9(2y-3x)$; 3) $-1{,}2(5x-6y)+1{,}4(5y-3x)$; 4) $(x-4a)(5a+8x)-(6a-7x)(3x-2a)$; 5) $(6c+d)(8c-9d)+(-10d+2c)(11c-4d)$; 6) $\left(\frac{2}{3}b-5k\right)(6k-0{,}3b)-\left(3k+\frac{5}{6}b\right)(6b-1{,}8k)$; 7) $\left(\frac{1}{7}x-\frac{1}{8}y\right)(7y-8x)+\left(\frac{1}{7}y-\frac{1}{8}x\right)(7x-8y)$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен барлық жақшаны аш, содан кейін ұқсас мүшелерді біріктір. Жақшаның алдында минус тұрса, барлық мүшенің таңбасын ауыстыр.

Шешуі.

1. $24n-16m-10n+5m=14n-11m$.
2. $-44x-33y-18y+27x=-17x-51y$.
3. $-6x+7{,}2y+7y-4{,}2x=-10{,}2x+14{,}2y$.
4. Біріншісі: $5ax+8x^{2}-20a^{2}-32ax=8x^{2}-27ax-20a^{2}$. Екіншісі: $18ax-12a^{2}-21x^{2}+14ax=-21x^{2}+32ax-12a^{2}$. Азайтамыз: $8x^{2}-27ax-20a^{2}+21x^{2}-32ax+12a^{2}=29x^{2}-59ax-8a^{2}$.
5. Біріншісі: $48c^{2}-54cd+8cd-9d^{2}=48c^{2}-46cd-9d^{2}$. Екіншісі: $22c^{2}-8cd-110cd+40d^{2}=22c^{2}-118cd+40d^{2}$. Қосынды: $70c^{2}-164cd+31d^{2}$.
6. Біріншісі: $4bk-0{,}2b^{2}-30k^{2}+1{,}5bk=-0{,}2b^{2}+5{,}5bk-30k^{2}$. Екіншісі: $18bk-5{,}4k^{2}+5b^{2}-1{,}5bk=5b^{2}+16{,}5bk-5{,}4k^{2}$. Айырымы: $-5{,}2b^{2}-11bk-24{,}6k^{2}$.
7. Біріншісі: $xy-\frac{8}{7}x^{2}-\frac{7}{8}y^{2}+xy$. Екіншісі: $xy-\frac{8}{7}y^{2}-\frac{7}{8}x^{2}+xy$. Қосынды: $4xy-\left(\frac{8}{7}+\frac{7}{8}\right)(x^{2}+y^{2})=4xy-\frac{113}{56}x^{2}-\frac{113}{56}y^{2}$, яғни $4xy-2\frac{1}{56}x^{2}-2\frac{1}{56}y^{2}$.

Жауабы: 1) $14n-11m$; 2) $-17x-51y$; 3) $-10{,}2x+14{,}2y$; 4) $29x^{2}-8a^{2}-59ax$; 5) $70c^{2}-164cd+31d^{2}$; 6) $-5{,}2b^{2}-11bk-24{,}6k^{2}$; 7) $4xy-2\frac{1}{56}x^{2}-2\frac{1}{56}y^{2}$.

№ 13.8

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $8a^{2}(a-5)-4a(a^{2}-7)$, мұндағы $a=3$; 2) $b(-9b^{2}+1)+3b(3b^{2}+b)$, мұндағы $b=-2$; 3) $(3x-4)(8x+2)-24x^{2}-2$, мұндағы $x=2$; 4) $(c^{2}+3)(c-9)-c^{2}(c-6)$, мұндағы $c=-5$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен ықшамдап, содан кейін мәнін қойған тиімді: сандар кішірек болады.

Шешуі.

1. $8a^{3}-40a^{2}-4a^{3}+28a=4a^{3}-40a^{2}+28a$. $a=3$ болғанда: $108-360+84=-168$.
2. $-9b^{3}+b+9b^{3}+3b^{2}=3b^{2}+b$. $b=-2$ болғанда: $12-2=10$.
3. $24x^{2}+6x-32x-8-24x^{2}-2=-26x-10$. $x=2$ болғанда: $-52-10=-62$.
4. $c^{3}-9c^{2}+3c-27-c^{3}+6c^{2}=-3c^{2}+3c-27$. $c=-5$ болғанда: $-75-15-27=-117$.

Жауабы: 1) $-168$; 2) $10$; 3) $-62$; 4) $-117$.

№ 13.9

Теңдеуді шешіңдер: 1) $3x(x^{2}-8)-3x^{3}=12$; 2) $(x+8)(5x-6)-20=5x^{2}$; 3) $18y^{3}-2y(1+9y^{2})=6{,}5$; 4) $53-8y(1-3y)=24y^{2}$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаны ашамыз. Үлкен дәрежелер ($x^{3}$ немесе $x^{2}$-лы мүшелер) жойылып, қарапайым теңдеу қалады.

Шешуі.

1. $3x^{3}-24x-3x^{3}=12$, яғни $-24x=12$, $x=-0{,}5$.
2. $5x^{2}-6x+40x-48-20=5x^{2}$, яғни $34x=68$, $x=2$.
3. $18y^{3}-2y-18y^{3}=6{,}5$, яғни $-2y=6{,}5$, $y=-3{,}25$.
4. $53-8y+24y^{2}=24y^{2}$, яғни $8y=53$, $y=\frac{53}{8}=6\frac{5}{8}$.

Жауабы: 1) $-0{,}5$; 2) $2$; 3) $-3{,}25$; 4) $6\frac{5}{8}$.

№ 13.10

$A=6a^{3}-5$, $B=a$, $C=a^{4}-2$ болсын. 1) $A\cdot B-6C$ өрнегін құрастырыңдар. 2) $A\cdot B-6\cdot C\le12$ теңсіздігін шешіңдер. 3) Теңсіздікті қанағаттандыратын ең кіші бүтін санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әріптердің орнына көпмүшелерді қоямыз. Ықшамдағаннан кейін теңсіздік өте қарапайым болады.

Шешуі.

1. $A\cdot B-6C=(6a^{3}-5)a-6(a^{4}-2)=6a^{4}-5a-6a^{4}+12=12-5a$.
2. $12-5a\le12$, демек, $-5a\le0$. $-5$-ке бөліп, теңсіздік таңбасын өзгертеміз: $a\ge0$.
3. $0$-ден бастап барлық бүтін сан. Ең кішісі — $0$.

Жауабы: 1) $12-5a$; 2) $a\ge0$, яғни $[0;+\infty)$; 3) $0$.

B деңгейі

№ 13.11

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $0{,}8x(5x-0{,}8)+0{,}04x\le4x^{2}-12$; 2) $9x^{2}-11\ge9x(x-2)-3$; 3) $(4x-5)(6-3x)-4<(1-2x)(7+6x)$; 4) $(1{,}8x+1)(5x-1)-2{,}2x>9x^{2}-4$.

Қалай ойлаймыз. Теңдеулердегідей: жақшаны аш, бәрін бір жаққа шығар. Квадраттар жойылады. Теріс санға бөлгенде теңсіздік таңбасы өзгеретінін ұмытпа.

Шешуі.

1. Сол жағы: $4x^{2}-0{,}64x+0{,}04x=4x^{2}-0{,}6x$. Сонда $-0{,}6x\le-12$, $x\ge20$.
2. $9x^{2}-11\ge9x^{2}-18x-3$, демек, $18x\ge8$, $x\ge\frac{4}{9}$.
3. Сол жағы: $24x-12x^{2}-30+15x-4=-12x^{2}+39x-34$. Оң жағы: $7+6x-14x-12x^{2}=-12x^{2}-8x+7$. Шығады $47x<41$, $x<\frac{41}{47}$.
4. Сол жағы: $9x^{2}-1{,}8x+5x-1-2{,}2x=9x^{2}+x-1$. Сонда $x-1>-4$, $x>-3$.

Жауабы: 1) $[20;+\infty)$; 2) $\left[\frac{4}{9};+\infty\right)$; 3) $\left(-\infty;\frac{41}{47}\right)$; 4) $(-3;+\infty)$.

№ 13.12

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $(7x-3)(4-8x)+2x(28x-26)=-12$; 2) $1{,}1x^{2}(x^{2}-10)-x(1{,}1x^{3}-9x)=-2x^{2}$; 3) $(-y^{3}+5y)2y-10y^{2}(1+0{,}2y^{2})=-4y^{4}$; 4) $(2{,}5a+b^{2})(-4a)+2a(5a-b^{2})=-6ab^{2}$.

Қалай ойлаймыз. Тепе-теңдікті дәлелдеу — сол жағын түрлендіріп, оң жағын алу деген сөз.

Шешуі.

1. $28x-56x^{2}-12+24x+56x^{2}-52x=-12$. Барлық $x$ және $x^{2}$ жойылды. Дұрыс.
2. $1{,}1x^{4}-11x^{2}-1{,}1x^{4}+9x^{2}=-2x^{2}$. Дұрыс.
3. $-2y^{4}+10y^{2}-10y^{2}-2y^{4}=-4y^{4}$. Дұрыс.
4. $-10a^{2}-4ab^{2}+10a^{2}-2ab^{2}=-6ab^{2}$. Дұрыс.

Жауабы: төрт жағдайда да сол жағы оң жағына тең, тепе-теңдіктер дәлелденді.

№ 13.13

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $(x-4)(x^{2}+2x-5)-x^{3}$, мұндағы $x=-\frac{4}{5}$; 2) $(a^{2}-a+9)(2a+1)-2a^{3}$, мұндағы $a=-\frac{3}{8}$; 3) $24y^{3}-3(8y^{2}-1)(y+6)$, мұндағы $y=-\frac{2}{3}$; 4) $40m^{3}-(5m^{2}+m-2)(8m+3)$, мұндағы $m=\frac{7}{10}$.

Қалай ойлаймыз. Ықшамдаймыз: кубтар жойылады. Содан кейін бөлшекті қарапайым өрнекке қоямыз.

Шешуі.

1. $x^{3}+2x^{2}-5x-4x^{2}-8x+20-x^{3}=-2x^{2}-13x+20$. $x=-\frac{4}{5}$ болғанда: $-2\cdot\frac{16}{25}+\frac{52}{5}+20=-\frac{32}{25}+\frac{260}{25}+\frac{500}{25}=\frac{728}{25}=29{,}12$.
2. $2a^{3}+a^{2}-2a^{2}-a+18a+9-2a^{3}=-a^{2}+17a+9$. $a=-\frac{3}{8}$ болғанда: $-\frac{9}{64}-\frac{51}{8}+9=\frac{-9-408+576}{64}=\frac{159}{64}=2\frac{31}{64}$.
3. $24y^{3}-3(8y^{3}+48y^{2}-y-6)=24y^{3}-24y^{3}-144y^{2}+3y+18=-144y^{2}+3y+18$. $y=-\frac{2}{3}$ болғанда: $-144\cdot\frac{4}{9}-2+18=-64-2+18=-48$.
4. $40m^{3}-(40m^{3}+15m^{2}+8m^{2}+3m-16m-6)=-23m^{2}+13m+6$. $m=\frac{7}{10}$ болғанда: $-23\cdot0{,}49+9{,}1+6=-11{,}27+15{,}1=3{,}83$.

Жауабы: 1) $\frac{728}{25}=29{,}12$; 2) $\frac{159}{64}=2\frac{31}{64}$; 3) $-48$; 4) $3{,}83=\frac{383}{100}$.

№ 13.14

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(x^{2}+1)(x-2)-x^{3}=-2x^{2}$; 2) $(3-y)(1-y^{2})+3y^{2}=y^{3}$; 3) $(z+6)(z+5)-(z-2)z=30$; 4) $3a(a-3)+a(2-3a)=-100{,}59$.

Қалай ойлаймыз. Тағы да жақшаны ашып, ең жоғарғы дәрежелерді жоямыз.

Шешуі.

1. $x^{3}-2x^{2}+x-2-x^{3}=-2x^{2}$, демек, $x-2=0$, $x=2$.
2. $3-3y^{2}-y+y^{3}+3y^{2}=y^{3}$, демек, $3-y=0$, $y=3$.
3. $z^{2}+11z+30-z^{2}+2z=30$, демек, $13z=0$, $z=0$.
4. $3a^{2}-9a+2a-3a^{2}=-7a$. Сонда $-7a=-100{,}59$, $a=14{,}37$.

Жауабы: 1) $2$; 2) $3$; 3) $0$; 4) $14{,}37$.

C деңгейі

Мұнда есептер қиынырақ. Бірден шықпаса, қорықпа: талпынысыңның өзі сені күштірек етеді.

№ 13.15

Тіктөртбұрыш пішінді жер телімінің қабырғалары $x^{3}-1$ және $2+3x^{3}$ өрнектерімен берілген. 1) Жер телімінің ауданын есептеу формуласын жазыңдар. 2) $x=2$ болғанда жер телімінің ауданының сандық мәнін есептеңдер.

Қалай ойлаймыз. Тіктөртбұрыштың ауданы — қабырғаларының көбейтіндісі. Екі екімүшені көбейтеміз.

Шешуі.

1. $S=(x^{3}-1)(2+3x^{3})=2x^{3}+3x^{6}-2-3x^{3}=3x^{6}-x^{3}-2$.
2. $x=2$ болғанда: $x^{3}=8$, демек, қабырғалары $7$ және $26$, $S=7\cdot26=182$. Формула бойынша: $3\cdot64-8-2=182$. Сәйкес келді.

Жауабы: 1) $S=3x^{6}-x^{3}-2$; 2) $182$ (қабырғалардың өлшем бірлігінің квадратымен).

№ 13.16

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(x+10)(x-9)-(x-8)^{2}=0$; 2) $(x+11)(x+9)-(x-3)(x+40)=0$; 3) $(x-6)(7+x)+(3-x)(3+x)=0$; 4) $(x-4)(4+x)-(1-x)(9-x)=0$.

Қалай ойлаймыз. $(x-8)^{2}$ квадраты — $(x-8)(x-8)$, жақшаларды көбейтеміз. $x^{2}$-тар жойылып, сызықтық теңдеу қалады.

Шешуі.

1. $x^{2}+x-90-(x^{2}-16x+64)=17x-154=0$, $x=\frac{154}{17}=9\frac{1}{17}$.
2. $x^{2}+20x+99-(x^{2}+37x-120)=-17x+219=0$, $x=\frac{219}{17}=12\frac{15}{17}$.
3. $x^{2}+x-42+9-x^{2}=x-33=0$, $x=33$.
4. $x^{2}-16-(9-10x+x^{2})=10x-25=0$, $x=2{,}5$.

Жауабы: 1) $9\frac{1}{17}$; 2) $12\frac{15}{17}$; 3) $33$; 4) $2{,}5$.

№ 13.17

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $(a+6)(a-5)-a^{2}\le0$; 2) $a^{2}-(a-2)(a+4)>0$; 3) $(2a-1)(a-4)-2a^{2}\ge0$; 4) $3a^{2}+(2-a)(4+3a)<0$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаны ашамыз: квадраттар кетіп, сызықтық теңсіздік шығады. $-9$-ға немесе $-2$-ге бөлгенде таңбаны өзгертеміз.

Шешуі.

1. $a^{2}+a-30-a^{2}=a-30\le0$, $a\le30$.
2. $a^{2}-(a^{2}+2a-8)=-2a+8>0$, $a<4$.
3. $2a^{2}-9a+4-2a^{2}=4-9a\ge0$, $a\le\frac{4}{9}$.
4. $3a^{2}+8+2a-3a^{2}=2a+8<0$, $a<-4$.

Жауабы: 1) $(-\infty;30]$; 2) $(-\infty;4)$; 3) $\left(-\infty;\frac{4}{9}\right]$; 4) $(-\infty;-4)$.

№ 13.18

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $b(b-4)+(b-8)(b+9)-2(b-3)^{2}=9b-90$; 2) $(c+2)^{2}-(c-4)(3-c)-0{,}5(4c^{2}-1)=16{,}5-3c$; 3) $(d-4)(d^{2}+d+1)-d(d^{2}-3)=-3d^{2}-4$; 4) $(k+7)(k-6)-2(k-2)^{2}+(k-3)^{2}=3k-41$.

Қалай ойлаймыз. Өрнектің квадраты — екі бірдей жақшаның көбейтіндісі. Сол жағын түгел аш та, не шыққанын қара.

Шешуі.

1. $b^{2}-4b+b^{2}+b-72-2(b^{2}-6b+9)=2b^{2}-3b-72-2b^{2}+12b-18=9b-90$.
2. $(c+2)^{2}=c^{2}+4c+4$; $(c-4)(3-c)=-c^{2}+7c-12$; $0{,}5(4c^{2}-1)=2c^{2}-0{,}5$. Барлығы: $c^{2}+4c+4+c^{2}-7c+12-2c^{2}+0{,}5=-3c+16{,}5$.
3. $d^{3}-3d^{2}-3d-4-d^{3}+3d=-3d^{2}-4$.
4. $k^{2}+k-42-2(k^{2}-4k+4)+k^{2}-6k+9=k^{2}+k-42-2k^{2}+8k-8+k^{2}-6k+9=3k-41$.

Жауабы: барлық жағдайда сол жағы оң жағына тең, тепе-теңдіктер дәлелденді.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 13.19

Амалдарды орындамай, өрнектердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $(12{,}4+13{,}5):3$ және $12{,}4:3+13{,}5$; 2) $(5{,}1-0{,}34):1{,}7$ және $5{,}1-0{,}34:1{,}7$; 3) $(400-120):40$ және $400:40-120:40$.

Қалай ойлаймыз. Қосындыны (айырымды) санға мүшелеп бөлуге болады: әр қосылғышты сол санға бөлеміз. Екінші өрнекте екі қосылғыштың да бөлінгеніне қара.

Шешуі.

1. Сол жағы: $12{,}4:3+13{,}5:3$. Оң жағында екінші қосылғыш $13{,}5$ бөлінбей қалған. Демек, оң жағы үлкен (яғни $13{,}5-13{,}5:3$-ке).
2. Сол жағы: $5{,}1:1{,}7-0{,}34:1{,}7=3-0{,}2=2{,}8$. Оң жағы: $5{,}1-0{,}34:1{,}7=5{,}1-0{,}2=4{,}9$. Сол жағы кіші. Өйткені $5{,}1:1{,}7=3<5{,}1$.
3. Сол жағы: $280:40=7$. Оң жағы: $10-3=7$. Тең: мұнда екі қосылғыш та бөлінген.

Жауабы: 1) біріншісі екіншісінен кіші; 2) біріншісі екіншісінен кіші; 3) тең.

Жадынама

• Ереже: $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.
• Таңбаларды жоғалтпа: $(x-3)(x+2)=x^{2}+2x-3x-6=x^{2}-x-6$.
• Теңдеулер мен теңсіздіктерде жақшаны ашқаннан кейін үлкен дәрежелер жиі жойылады.
• Теңсіздікті теріс санға бөлгенде таңбасы өзгереді.

Шағын тест