§ 12. Сложение и вычитание многочленов

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 2: Многочлены. Страницы 88–93.

Чему научишься

• Складывать многочлены: записать все члены и привести подобные.
• Вычитать многочлены: прибавлять многочлен, противоположный вычитаемому.
• Правильно раскрывать скобки, перед которыми стоит «минус».
• Находить многочлен, противоположный данному.
• Доказывать тождества и находить значения выражений после упрощения.

Разминка

• Что значит «привести подобные члены»? Подобные члены отличаются только коэффициентами (числами перед буквами). Их складывают: $3ab + 5ab = 8ab$.
• Подобны ли $4x^2y$ и $4xy^2$? Нет: буквенные части разные ($x^2y$ и $xy^2$).
• Чем заменить вычитание $a - b$? Сложением: $a + (-b)$.
• Как раскрыть скобки: $5 - (2 - x)$? Знаки внутри меняются: $5 - 2 + x = 3 + x$.

Разбираемся

Сложение: просто всё в одну строку

Допустим, в школьном буфете в Астане за день продали булочки и чай. Ты записал выручку утром и вечером двумя многочленами. Чтобы получить итог за день, нужно просто сложить их. Весь секрет такой: запиши все члены обоих многочленов со своими знаками, а потом приведи подобные.

📌 Скобки со знаком «плюс» перед ними убираем, ничего не меняя: $+(a - b) = +a - b$.

Вычитание: «минус» меняет все знаки

Вычесть многочлен — значит прибавить противоположный ему многочлен. А противоположный получается, если у каждого члена поменять знак.

📌 Скобки со знаком «минус» перед ними: $-(a - b + c) = -a + b - c$. Меняются знаки у всех членов, не только у первого.

Например, противоположный многочлену $2x^2 - 7xy + y^2$ — это $-2x^2 + 7xy - y^2$.

⚠️ Частая ошибка. Поменять знак только у первого члена: $(a + 5) - (3 - b)$ превращают в $a + 5 - 3 - b$. Правильно: $a + 5 - 3 + b$. Каждый знак в скобках после «минуса» меняется.

👨‍👩‍👧 Родителю. Почти все ошибки в этой теме — про знаки после «минуса». Попросите ребёнка перед записью ответа обвести скобки и подписать над каждым членом новый знак. Это занимает десять секунд и спасает от потери баллов.

Что может получиться в итоге

Результат сложения или вычитания многочленов — снова многочлен. Но он может «сжаться» до одночлена или даже до числа: $(x^2 + 5) - (x^2 - 4) = 9$. Всё потому, что переменные взаимно уничтожились.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какие преобразования используют при сложении и вычитании многочленов? Раскрытие скобок и приведение подобных членов.
• Может ли в результате получиться число или одночлен? Да. Например, $(x^2 + 5) - (x^2 - 4) = 9$ — число. А $(3a + 2b) - (2b - a) = 3a + 2b - 2b + a = 4a$ — одночлен.
• Какой многочлен противоположен $2x^2 - 7xy + y^2$? $-2x^2 + 7xy - y^2$: меняем знаки у всех членов.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 12.1

Найди сумму многочленов: 1) $x^2 + 5$ и $x^2 - 4$; 2) $y - 2x$ и $4x + 6$; 3) $2ab - 1$ и $ab + 10$; 4) $1{,}8a^2 - y^3$ и $22a^2 + 2y^3$.

Как думать. Просто пишем всё подряд и приводим подобные.

Решение.

1. $x^2 + 5 + x^2 - 4 = 2x^2 + 1$.
2. $y - 2x + 4x + 6 = 2x + y + 6$.
3. $2ab - 1 + ab + 10 = 3ab + 9$.
4. $1{,}8a^2 - y^3 + 22a^2 + 2y^3 = 23{,}8a^2 + y^3$.

Ответ: 1) $2x^2 + 1$; 2) $2x + y + 6$; 3) $3ab + 9$; 4) $23{,}8a^2 + y^3$.

№ 12.2

Найди разность многочленов: 1) $20 + a^3$ и $90a^3 + 21$; 2) $4b - c^2$ и $-17b + 8c^2$; 3) $77 - mn$ и $-30mn + 8$; 4) $4{,}9kt - 3z$ и $-8{,}3kt + 5{,}2z$.

Как думать. Из первого вычитаем второй: знаки во втором меняются все.

Решение.

1. $20 + a^3 - 90a^3 - 21 = -89a^3 - 1$.
2. $4b - c^2 + 17b - 8c^2 = 21b - 9c^2$.
3. $77 - mn + 30mn - 8 = 29mn + 69$.
4. $4{,}9kt - 3z + 8{,}3kt - 5{,}2z = 13{,}2kt - 8{,}2z$.

Ответ: 1) $-89a^3 - 1$; 2) $21b - 9c^2$; 3) $29mn + 69$; 4) $13{,}2kt - 8{,}2z$.

№ 12.3

Найди алгебраическую сумму: 1) $(4x + 8y) + (23x + 5y)$; 2) $(83a - 91b) - (89a - 100b)$; 3) $(1{,}5m - 4{,}2n) - (2m + 3n)$; 4) $(5k + 6t) + (2{,}8t - 3{,}1k)$; 5) $\left(\frac{3}{16}a - 20b\right) + \left(11b - \frac{1}{16}a\right)$; 6) $\left(\frac{7}{15}a + 53d\right) + \left(60d - \frac{13}{15}c\right)$.

Как думать. «Алгебраическая сумма» — это и плюсы, и минусы. Скобки с «минусом» раскрываем со сменой знаков.

Решение.

1. $4x + 8y + 23x + 5y = 27x + 13y$.
2. $83a - 91b - 89a + 100b = -6a + 9b$.
3. $1{,}5m - 4{,}2n - 2m - 3n = -0{,}5m - 7{,}2n$.
4. $5k + 6t + 2{,}8t - 3{,}1k = 1{,}9k + 8{,}8t$.
5. $\frac{3}{16}a - 20b + 11b - \frac{1}{16}a = \frac{2}{16}a - 9b = \frac{1}{8}a - 9b$.
6. $\frac{7}{15}a + 53d + 60d - \frac{13}{15}c = \frac{7}{15}a - \frac{13}{15}c + 113d$. Здесь подобных нет с $a$ и $c$, они остаются как есть.

Ответ: 1) $27x + 13y$; 2) $-6a + 9b$; 3) $-0{,}5m - 7{,}2n$; 4) $1{,}9k + 8{,}8t$; 5) $\frac{1}{8}a - 9b$; 6) $\frac{7}{15}a - \frac{13}{15}c + 113d$.

№ 12.4

Найди алгебраическую сумму: 1) $(5 + 4a^3) + (a + 2a^3)$; 2) $(y - 7x^4) - (2{,}3 - 9x^4)$; 3) $(9b + 7c^2) - (14b - 10c^2)$; 4) $(39n^2 - 2m) + (5m - 44n^2)$.

Как думать. То же самое, только степени выше. Подобные члены — с одинаковой буквенной частью.

Решение.

1. $5 + 4a^3 + a + 2a^3 = 6a^3 + a + 5$.
2. $y - 7x^4 - 2{,}3 + 9x^4 = 2x^4 + y - 2{,}3$.
3. $9b + 7c^2 - 14b + 10c^2 = -5b + 17c^2$.
4. $39n^2 - 2m + 5m - 44n^2 = -5n^2 + 3m$.

Ответ: 1) $6a^3 + a + 5$; 2) $2x^4 + y - 2{,}3$; 3) $-5b + 17c^2$; 4) $-5n^2 + 3m$.

№ 12.5

Заполни таблицу 12.1. Строка 1: $A = 8{,}1 - 7x^3$, $B = 9{,}2x^3 - 10$. Строка 2: $A = -15{,}1 + 6y^2$, $B = 23{,}4 - 11y^2$. Нужны $A + B$ и $A - B$.

Как думать. В каждой строке два действия — сложить и вычесть.

Решение. Строка 1:

• $A + B = 8{,}1 - 7x^3 + 9{,}2x^3 - 10 = 2{,}2x^3 - 1{,}9$.
• $A - B = 8{,}1 - 7x^3 - 9{,}2x^3 + 10 = 18{,}1 - 16{,}2x^3$.

Строка 2:

• $A + B = -15{,}1 + 6y^2 + 23{,}4 - 11y^2 = 8{,}3 - 5y^2$.
• $A - B = -15{,}1 + 6y^2 - 23{,}4 + 11y^2 = 17y^2 - 38{,}5$.

Ответ: в таблице выше.

№ 12.6

Пусть $A = \frac{2}{3}a^2 - 4{,}5$ и $B = 2\frac{1}{9}a^2 + 3{,}09$. Заполни таблицу 12.2: $A + B$, $B - A$, $A - B$.

Как думать. Дроби при $a^2$ складываем по правилам обыкновенных дробей: $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$.

Решение.

1. $A + B = \frac{6}{9}a^2 + 2\frac{1}{9}a^2 - 4{,}5 + 3{,}09 = 2\frac{7}{9}a^2 - 1{,}41$.
2. $B - A = 2\frac{1}{9}a^2 + 3{,}09 - \frac{6}{9}a^2 + 4{,}5 = 1\frac{4}{9}a^2 + 7{,}59$.
3. $A - B$ — противоположный к $B - A$: $-1\frac{4}{9}a^2 - 7{,}59$.

Ответ: $A + B = 2\frac{7}{9}a^2 - 1{,}41$; $B - A = 1\frac{4}{9}a^2 + 7{,}59$; $A - B = -1\frac{4}{9}a^2 - 7{,}59$.

№ 12.7

Верно ли равенство: 1) $(18{,}9 - x^2) - (5x^2 - 21) + (7x^2 - 39{,}9) = x^2$; 2) $(60b^3 + 51{,}3) + (70 - 62{,}8b^3) - (-2{,}8b^3 + 121) = 0{,}3$; 3) $\left(\frac{7}{9}y^4 - 10{,}1\right) - \left(18 - \frac{2}{3}y^4\right) + \left(27{,}1 - \frac{4}{9}y^4\right) = y^4$; 4) $\left(4{,}7c^2 - 6\frac{5}{7}\right) + \left(3\frac{4}{9} - 5c^2\right) - \left(0{,}7c^2 - 3\frac{5}{21}\right) = -c^2$?

Как думать. Упрощаем левую часть и сравниваем с правой.

Решение.

1. $18{,}9 - x^2 - 5x^2 + 21 + 7x^2 - 39{,}9 = (-1 - 5 + 7)x^2 + (18{,}9 + 21 - 39{,}9) = x^2 + 0 = x^2$. Верно.
2. $60b^3 + 51{,}3 + 70 - 62{,}8b^3 + 2{,}8b^3 - 121$: при $b^3$ имеем $60 - 62{,}8 + 2{,}8 = 0$; числа $51{,}3 + 70 - 121 = 0{,}3$. Верно.
3. $\frac{7}{9}y^4 - 10{,}1 - 18 + \frac{2}{3}y^4 + 27{,}1 - \frac{4}{9}y^4$: при $y^4$ имеем $\frac{7}{9} + \frac{6}{9} - \frac{4}{9} = 1$; числа $-10{,}1 - 18 + 27{,}1 = -1$. Получили $y^4 - 1$, а не $y^4$. Неверно.
4. При $c^2$: $4{,}7 - 5 - 0{,}7 = -1$. Числа: $-6\frac{5}{7} + 3\frac{4}{9} + 3\frac{5}{21}$. Целые: $-6 + 3 + 3 = 0$. Дроби: $-\frac{5}{7} + \frac{4}{9} + \frac{5}{21} = \frac{-45 + 28 + 15}{63} = -\frac{2}{63}$. Получили $-c^2 - \frac{2}{63}$. Неверно.

Ответ: 1) верно; 2) верно; 3) неверно; 4) неверно.

№ 12.8

Упрости и найди значение: 1) $(20a^7 + 7a^3) - (57 + 20a^7)$ при $a = 2$; 2) $(17{,}3x^5 - 62) + (3x^2 - 17{,}3x^5)$ при $x = -5$; 3) $\left(8\frac{3}{4}b^4 + 9{,}1\right) - (2{,}7b^3 + 8{,}75b^4)$ при $b = \frac{1}{3}$; 4) $\left(1\frac{44}{49} - 11{,}3y^4\right) + (6y^2 + 11{,}3y^4)$ при $y = -\frac{3}{7}$.

Как думать. Сначала упрощаем, потом подставляем: так считать намного проще.

Решение.

1. $20a^7 + 7a^3 - 57 - 20a^7 = 7a^3 - 57$. При $a = 2$: $7 \cdot 8 - 57 = 56 - 57 = -1$.
2. $17{,}3x^5 - 62 + 3x^2 - 17{,}3x^5 = 3x^2 - 62$. При $x = -5$: $3 \cdot 25 - 62 = 13$.
3. $8\frac{3}{4} = 8{,}75$, поэтому $8{,}75b^4$ сокращается: остаётся $9{,}1 - 2{,}7b^3$. При $b = \frac{1}{3}$: $b^3 = \frac{1}{27}$, $2{,}7 \cdot \frac{1}{27} = 0{,}1$. Ответ $9{,}1 - 0{,}1 = 9$.
4. $-11{,}3y^4$ и $+11{,}3y^4$ сокращаются: $1\frac{44}{49} + 6y^2$. При $y = -\frac{3}{7}$: $y^2 = \frac{9}{49}$, $6 \cdot \frac{9}{49} = \frac{54}{49} = 1\frac{5}{49}$. Сумма: $1\frac{44}{49} + 1\frac{5}{49} = 2\frac{49}{49} = 3$.

Ответ: 1) $-1$; 2) 13; 3) 9; 4) 3.

№ 12.9

При каком значении $a$ значение выражения равно нулю: 1) $(90 - 24{,}1a) - (15{,}9a + 86)$; 2) $(4{,}5 - 0{,}23a) + (-2{,}9 + 0{,}13a)$; 3) $\left(1{,}6a + \frac{1}{12}\right) - \left(0{,}5a - \frac{5}{6}\right)$; 4) $(18{,}7a - 3) + \left(2\frac{2}{7} - 13{,}7a\right)$?

Как думать. Упрощаем до вида $ka + l$ и решаем уравнение $ka + l = 0$.

Решение.

1. $90 - 24{,}1a - 15{,}9a - 86 = 4 - 40a$. $4 - 40a = 0$, $a = 0{,}1$.
2. $4{,}5 - 0{,}23a - 2{,}9 + 0{,}13a = 1{,}6 - 0{,}1a$. $0{,}1a = 1{,}6$, $a = 16$.
3. $1{,}6a + \frac{1}{12} - 0{,}5a + \frac{5}{6} = 1{,}1a + \frac{11}{12}$. $1{,}1a = -\frac{11}{12}$, значит $a = -\frac{11}{12} : \frac{11}{10} = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6}$.
4. $18{,}7a - 3 + 2\frac{2}{7} - 13{,}7a = 5a - \frac{5}{7}$. $5a = \frac{5}{7}$, $a = \frac{1}{7}$.

Ответ: 1) $0{,}1$; 2) 16; 3) $-\frac{5}{6}$; 4) $\frac{1}{7}$.

№ 12.10

Найди сумму и разность многочленов: 1) $5x^2 - 0{,}18y^3$ и $6{,}2x^2 + 7y^3$; 2) $-10{,}9b^3 + 43c$ и $60c + 11{,}1b^3$; 3) $76n^4 - 27{,}2t^2$ и $30t^2 - 80n^4$; 4) $88{,}1x - 64m^2$ и $41m^2 - 8{,}8x$.

Как думать. Для каждой пары два действия: сумма, потом разность (первый минус второй).

Решение.

1. Сумма: $11{,}2x^2 + 6{,}82y^3$. Разность: $5x^2 - 0{,}18y^3 - 6{,}2x^2 - 7y^3 = -1{,}2x^2 - 7{,}18y^3$.
2. Сумма: $0{,}2b^3 + 103c$. Разность: $-10{,}9b^3 + 43c - 60c - 11{,}1b^3 = -22b^3 - 17c$.
3. Сумма: $-4n^4 + 2{,}8t^2$. Разность: $76n^4 - 27{,}2t^2 - 30t^2 + 80n^4 = 156n^4 - 57{,}2t^2$.
4. Сумма: $79{,}3x - 23m^2$. Разность: $88{,}1x - 64m^2 - 41m^2 + 8{,}8x = 96{,}9x - 105m^2$.

Ответ: 1) $11{,}2x^2 + 6{,}82y^3$; $-1{,}2x^2 - 7{,}18y^3$. 2) $0{,}2b^3 + 103c$; $-22b^3 - 17c$. 3) $-4n^4 + 2{,}8t^2$; $156n^4 - 57{,}2t^2$. 4) $79{,}3x - 23m^2$; $96{,}9x - 105m^2$.

№ 12.11

Найди сумму и разность многочленов: 1) $9\frac{1}{5}y + 81z^3$ и $39z^3 - 10y$; 2) $-51k^4 + 10\frac{3}{7}c^2$ и $12\frac{3}{7}c^2 + 19k^4$; 3) $29m^3 - 3{,}8t$ и $2{,}8t - 21\frac{11}{19}m^3$; 4) $100s^5 + 31\frac{5}{12}k$ и $40k - 92{,}8s^5$.

Как думать. Те же два действия, но коэффициенты — смешанные числа. Целые и дробные части считаем отдельно.

Решение.

1. Сумма: $9{,}2y - 10y + 81z^3 + 39z^3 = -0{,}8y + 120z^3$. Разность: $9{,}2y + 10y + 81z^3 - 39z^3 = 19{,}2y + 42z^3$.
2. Сумма: $-32k^4 + 22\frac{6}{7}c^2$. Разность: $-51k^4 - 19k^4 + 10\frac{3}{7}c^2 - 12\frac{3}{7}c^2 = -70k^4 - 2c^2$.
3. Сумма: $29m^3 - 21\frac{11}{19}m^3 - 3{,}8t + 2{,}8t = 7\frac{8}{19}m^3 - t$. Разность: $29m^3 + 21\frac{11}{19}m^3 - 3{,}8t - 2{,}8t = 50\frac{11}{19}m^3 - 6{,}6t$.
4. Сумма: $100s^5 - 92{,}8s^5 + 31\frac{5}{12}k + 40k = 7{,}2s^5 + 71\frac{5}{12}k$. Разность: $192{,}8s^5 + \left(31\frac{5}{12} - 40\right)k = 192{,}8s^5 - 8\frac{7}{12}k$.

Ответ: 1) $-0{,}8y + 120z^3$; $19{,}2y + 42z^3$. 2) $-32k^4 + 22\frac{6}{7}c^2$; $-70k^4 - 2c^2$. 3) $7\frac{8}{19}m^3 - t$; $50\frac{11}{19}m^3 - 6{,}6t$. 4) $7{,}2s^5 + 71\frac{5}{12}k$; $192{,}8s^5 - 8\frac{7}{12}k$.

Уровень B

№ 12.12

Докажи, что значение выражения не зависит от значений переменных: 1) $(50 - 120x + 76y) + (88x - 74y) - (2y - 32x)$; 2) $(8{,}7a - 5{,}1b + 13) - (2{,}9a - 4{,}2b) + (0{,}9b - 5{,}8a)$.

Как думать. Надо упростить выражение так, чтобы переменных не осталось — только число.

Решение.

1. $50 - 120x + 76y + 88x - 74y - 2y + 32x$. При $x$: $-120 + 88 + 32 = 0$. При $y$: $76 - 74 - 2 = 0$. Остаётся $50$.
2. $8{,}7a - 5{,}1b + 13 - 2{,}9a + 4{,}2b + 0{,}9b - 5{,}8a$. При $a$: $8{,}7 - 2{,}9 - 5{,}8 = 0$. При $b$: $-5{,}1 + 4{,}2 + 0{,}9 = 0$. Остаётся $13$.

Ответ: значения равны 50 и 13 при любых значениях переменных, значит, от переменных не зависят.

№ 12.13

Докажи тождество: 1) $(11a + 12b) - (20a - 34b) + (10a - 45b) = a + b$; 2) $(22{,}4x + 31{,}3y) + (4{,}9y - 30x) - (35{,}2y - 6{,}6x) = y - x$.

Как думать. Чтобы доказать тождество, упрощаем левую часть и получаем правую.

Решение.

1. $11a + 12b - 20a + 34b + 10a - 45b$. При $a$: $11 - 20 + 10 = 1$. При $b$: $12 + 34 - 45 = 1$. Получили $a + b$ ✓.
2. $22{,}4x + 31{,}3y + 4{,}9y - 30x - 35{,}2y + 6{,}6x$. При $x$: $22{,}4 - 30 + 6{,}6 = -1$. При $y$: $31{,}3 + 4{,}9 - 35{,}2 = 1$. Получили $-x + y = y - x$ ✓.

Ответ: левые части упрощаются до правых, тождества доказаны.

№ 12.14

Упрости выражения: 1) $(a^3 - a^2 + 6) - (4a^3 + 8a^2 - 11)$; 2) $(11x^4 + 21x^3 - 43) + (60 - 19x^3 - 7x^4)$; 3) $(30b^5 - 15b + 16) - (17 + 17b + 44b^5)$; 4) $(-73 + 17x + 19x^3) + (-18x^3 - 39x + 50)$.

Решение.

1. $a^3 - a^2 + 6 - 4a^3 - 8a^2 + 11 = -3a^3 - 9a^2 + 17$.
2. $11x^4 + 21x^3 - 43 + 60 - 19x^3 - 7x^4 = 4x^4 + 2x^3 + 17$.
3. $30b^5 - 15b + 16 - 17 - 17b - 44b^5 = -14b^5 - 32b - 1$.
4. $-73 + 17x + 19x^3 - 18x^3 - 39x + 50 = x^3 - 22x - 23$.

Ответ: 1) $-3a^3 - 9a^2 + 17$; 2) $4x^4 + 2x^3 + 17$; 3) $-14b^5 - 32b - 1$; 4) $x^3 - 22x - 23$.

№ 12.15

Упрости выражения: 1) $(5a^2 - 4x + 25) + (-31 + 9a^2 - 3x)$; 2) $(17y + 8b^2 - 11) - (70 - 9b^2 + 18y)$; 3) $(2{,}3c - 9{,}1z^3 - 4) - (10z^3 - 3c + 5{,}9)$; 4) $(0{,}8t^2 - 20m + 5) - (41 - 3m - 2{,}4t^2)$.

Решение.

1. $5a^2 - 4x + 25 - 31 + 9a^2 - 3x = 14a^2 - 7x - 6$.
2. $17y + 8b^2 - 11 - 70 + 9b^2 - 18y = 17b^2 - y - 81$.
3. $2{,}3c - 9{,}1z^3 - 4 - 10z^3 + 3c - 5{,}9 = 5{,}3c - 19{,}1z^3 - 9{,}9$.
4. $0{,}8t^2 - 20m + 5 - 41 + 3m + 2{,}4t^2 = 3{,}2t^2 - 17m - 36$.

Ответ: 1) $14a^2 - 7x - 6$; 2) $17b^2 - y - 81$; 3) $5{,}3c - 19{,}1z^3 - 9{,}9$; 4) $3{,}2t^2 - 17m - 36$.

№ 12.16

Упрости выражения: 1) $(xy + 6a) + (6a - z) - (8z + 10xy)$; 2) $(4b - 3cd) - (11b + 20k) + (23k - 19cd)$; 3) $(2t - mn) + (8nm - 9k) - (-10k + 15t)$; 4) $(1{,}8a - bc) + (7{,}7bc - d) - (10{,}1d - a)$.

Как думать. Здесь несколько букв: подобными считаем члены с одинаковым набором букв. Помни, что $mn$ и $nm$ — одно и то же.

Решение.

1. $xy + 6a + 6a - z - 8z - 10xy = 12a - 9xy - 9z$.
2. $4b - 3cd - 11b - 20k + 23k - 19cd = -7b - 22cd + 3k$.
3. $2t - mn + 8mn - 9k + 10k - 15t = -13t + 7mn + k$.
4. $1{,}8a - bc + 7{,}7bc - d - 10{,}1d + a = 2{,}8a + 6{,}7bc - 11{,}1d$.

Ответ: 1) $12a - 9xy - 9z$; 2) $-7b - 22cd + 3k$; 3) $-13t + 7mn + k$; 4) $2{,}8a + 6{,}7bc - 11{,}1d$.

Уровень C

Здесь задачи потруднее, но по сути всё то же самое. Любая попытка — уже победа.

№ 12.17

Даны $A = 1{,}8a^2b^3 - 25a^3b^2$; $B = 20a^3b^2 - 0{,}7a^2b^3$; $C = 1{,}9a^2b^3 + 23a^3b^2$. Заполни таблицу 12.3: $A + B + C$, $A - B + C$, $A - B - C$, $C - A - B$.

Как думать. Подобные члены здесь двух видов: с $a^2b^3$ и с $a^3b^2$. Считаем коэффициенты каждого вида отдельно. Удобная табличка коэффициентов: у $A$ это $(1{,}8;\ -25)$, у $B$ — $(-0{,}7;\ 20)$, у $C$ — $(1{,}9;\ 23)$ (первое число при $a^2b^3$, второе при $a^3b^2$).

Решение.

1. $A + B + C$: $a^2b^3$: $1{,}8 - 0{,}7 + 1{,}9 = 3$; $a^3b^2$: $-25 + 20 + 23 = 18$.
2. $A - B + C$: $a^2b^3$: $1{,}8 + 0{,}7 + 1{,}9 = 4{,}4$; $a^3b^2$: $-25 - 20 + 23 = -22$.
3. $A - B - C$: $a^2b^3$: $1{,}8 + 0{,}7 - 1{,}9 = 0{,}6$; $a^3b^2$: $-25 - 20 - 23 = -68$.
4. $C - A - B$: $a^2b^3$: $1{,}9 - 1{,}8 + 0{,}7 = 0{,}8$; $a^3b^2$: $23 + 25 - 20 = 28$.

Ответ: см. таблицу выше.

№ 12.18

По данным упражнения 12.17 найди алгебраическую сумму: 1) $B - A + C$; 2) $C - A + B$; 3) $B - A - C$.

Как думать. Помни, что $B - A$ противоположно $A - B$. Коэффициенты считаем так же, как в № 12.17.

Решение.

1. $B - A + C$: $a^2b^3$: $-0{,}7 - 1{,}8 + 1{,}9 = -0{,}6$; $a^3b^2$: $20 + 25 + 23 = 68$.
2. $C - A + B$: те же слагаемые в другом порядке — результат такой же: $-0{,}6a^2b^3 + 68a^3b^2$. От перестановки слагаемых сумма не меняется.
3. $B - A - C$: $a^2b^3$: $-0{,}7 - 1{,}8 - 1{,}9 = -4{,}4$; $a^3b^2$: $20 + 25 - 23 = 22$.

Ответ: 1) $68a^3b^2 - 0{,}6a^2b^3$; 2) $68a^3b^2 - 0{,}6a^2b^3$; 3) $22a^3b^2 - 4{,}4a^2b^3$.

№ 12.19

Верно ли равенство: 1) $(a^2b^2z^4 - 0{,}3a^4b^3c^2) - (a^2b^3z^4 - 9{,}3a^4b^3c^2) = 9a^4b^3c^2$; 2) $(7x^3y^2z - 8{,}1xy^2z^3) + (7{,}1xy^2z^3 - 7x^3y^2z) = -xy^2z^3$?

Как думать. Смотрим внимательно на степени: $a^2b^2z^4$ и $a^2b^3z^4$ — не подобные!

Решение.

1. $a^2b^2z^4 - 0{,}3a^4b^3c^2 - a^2b^3z^4 + 9{,}3a^4b^3c^2$. Члены с $a^4b^3c^2$: $-0{,}3 + 9{,}3 = 9$. Но $a^2b^2z^4$ и $a^2b^3z^4$ друг с другом не сокращаются (у $b$ разные степени). Получаем $9a^4b^3c^2 + a^2b^2z^4 - a^2b^3z^4$ — это не равно правой части.
2. $7x^3y^2z - 8{,}1xy^2z^3 + 7{,}1xy^2z^3 - 7x^3y^2z$. Первый и четвёртый члены сокращаются; $-8{,}1 + 7{,}1 = -1$. Остаётся $-xy^2z^3$ ✓.

Ответ: 1) неверно; 2) верно.

№ 12.20

При каких значениях переменных значение алгебраической суммы равно 1: 1) $(47{,}5x^4y - 28{,}9xy^4) - (19{,}6x^4y - 28{,}9xy^4) + (2{,}7x - 27{,}9x^4y)$; 2) $\left(8\frac{3}{16}a^2b^2 - 18\frac{8}{15}a^2b^2\right) + \left(20{,}6a^2b^2 - 8\frac{3}{16}a^2b^2\right) - \left(2\frac{1}{15}a^2b^2 - 3{,}1a\right)$?

Как думать. Сначала упрощаем. Скорее всего, почти всё сократится, и останется простое уравнение.

Решение.

1. При $x^4y$: $47{,}5 - 19{,}6 - 27{,}9 = 0$. Члены $-28{,}9xy^4$ и $+28{,}9xy^4$ сокращаются. Остаётся $2{,}7x$. Уравнение $2{,}7x = 1$, откуда $x = \frac{10}{27}$. Значение $y$ может быть любым.
2. $8\frac{3}{16}$ сокращается с $-8\frac{3}{16}$. Для $a^2b^2$: $-18\frac{8}{15} + 20{,}6 - 2\frac{1}{15}$. Это $-18\frac{8}{15} - 2\frac{1}{15} = -20\frac{9}{15} = -20{,}6$, и вместе с $+20{,}6$ даёт $0$. Остаётся $3{,}1a$. Уравнение $3{,}1a = 1$, откуда $a = \frac{10}{31}$. Значение $b$ любое.

Ответ: 1) $x = \frac{10}{27}$, $y$ любое; 2) $a = \frac{10}{31}$, $b$ любое.

№ 12.21

Докажи тождество: 1) $(-9k^4t^2 + 11k^3t) - (19k^3t - 8k^4t^2) + (10k^4t^2 + 8k^3t) = 9k^4t^2$; 2) $(5n^3m^2 - n^3m^3) - (7n^3m^3 + 10n^3m^2) + (6n^3m^2 + 8n^3m^3) = n^3m^2$.

Решение.

1. $-9k^4t^2 + 11k^3t - 19k^3t + 8k^4t^2 + 10k^4t^2 + 8k^3t$. При $k^4t^2$: $-9 + 8 + 10 = 9$. При $k^3t$: $11 - 19 + 8 = 0$. Получаем $9k^4t^2$ ✓.
2. $5n^3m^2 - n^3m^3 - 7n^3m^3 - 10n^3m^2 + 6n^3m^2 + 8n^3m^3$. При $n^3m^2$: $5 - 10 + 6 = 1$. При $n^3m^3$: $-1 - 7 + 8 = 0$. Получаем $n^3m^2$ ✓.

Ответ: левые части упрощаются до правых, тождества доказаны.

Готовимся к следующей теме

№ 12.22

Выполни действия: $\left(11\frac{5}{8} : 15{,}5 + 4{,}25 - 3\frac{7}{9}\right) \cdot \frac{9}{22} - 0{,}59$.

Как думать. Порядок: деление в скобках, потом сложение и вычитание в скобках, умножение, в конце вычитание.

Решение.

1. $11\frac{5}{8} = \frac{93}{8}$; $15{,}5 = \frac{31}{2}$. $\frac{93}{8} : \frac{31}{2} = \frac{93 \cdot 2}{8 \cdot 31} = \frac{3}{4} = 0{,}75$.
2. $0{,}75 + 4{,}25 = 5$.
3. $5 - 3\frac{7}{9} = 1\frac{2}{9} = \frac{11}{9}$.
4. $\frac{11}{9} \cdot \frac{9}{22} = \frac{1}{2} = 0{,}5$.
5. $0{,}5 - 0{,}59 = -0{,}09$.

Ответ: $-0{,}09$.

№ 12.23

Напиши формулу пути автомобиля за $b$ ч при скорости 90 км/ч. Найди путь, если $b = 3\frac{1}{3}$ ч.

Как думать. Путь = скорость · время. Скорость известна, время — буква $b$.

Решение.

1. Формула: $S = 90b$.
2. При $b = 3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$: $S = 90 \cdot \frac{10}{3} = 30 \cdot 10 = 300$ км. Примерно столько от Алматы до Тараза.

Ответ: $S = 90b$ км; при $b = 3\frac{1}{3}$ ч путь 300 км.

Шпаргалка

• Ответ в стандартном виде: подобные приведены, члены расположены по порядку.
• Результат может сократиться до одночлена или числа.
• Если надо найти значение, сначала упрости, потом подставляй.
• Если значение не зависит от переменных, в ответе одно число.

Мини-тест