§ 38. Алгебралық бөлшектің негізгі қасиеті

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 6 бөлім: Алгебралық бөлшектер. 225–230-беттер.

Нені үйренесің

• Алгебралық бөлшектің негізгі қасиетін айтуды.
• Алым мен бөлімді көбейткіштерге жіктеп, бөлшекті қысқартуды.
• Бөлшекті толықтауыш көбейткіш арқылы жаңа бөлімге келтіруді.
• Тепе-теңдік пен тепе-тең түрлендіру дегеніміздің не екенін түсінуді.
• $a-b$ және $b-a$ «айна» көбейткіштері кезінде алым мен бөлімдегі таңбаларды ауыстыруды.

Ой қозғау

• $\frac{12}{18}$ бөлшегін қалай қысқартамыз? Алым мен бөлімді 6-ға бөлеміз: $\frac23$ шығады.
• $\frac35$ бөлшегін 20 бөліміне қалай келтіреміз? Екі бөлігін де 4-ке көбейтеміз: $\frac{12}{20}$.
• $(-1)\cdot(a-b)$ неге тең? $-a+b=b-a$.
• $x^2-9$ өрнегін көбейткіштерге қалай жіктейміз? Квадраттардың айырымы бойынша: $(x-3)(x+3)$.

Тақырыпты талдаймыз

Екі бөлігін де көбейтсең немесе бөлсең, бөлшек өзгермейді

Жай бөлшектер үшін бұл таныс: $\frac{3}{4}=\frac{3\cdot5}{4\cdot5}=\frac{15}{20}$. Алгебралық бөлшектермен де дәл солай.

📌 Алгебралық бөлшектің негізгі қасиеті. Кез келген $a$ үшін, сондай-ақ $b\ne0$ және $c\ne0$ болғанда мына теңдік ақиқат: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{ac}{bc}$.

$c\ne0$ шарты маңызды: нөлге көбейтуге (және қысқартуға) болмайды.

Тепе-теңдік

Әріптердің барлық мүмкін болатын мәндерінде ақиқат теңдікті тепе-теңдік дейді. Бөлшектің негізгі қасиеті — тепе-теңдік. Әріптердің барлық мүмкін болатын мәндерінде тең екі өрнекті тепе-тең деп, ал бірін екіншісімен алмастыруды тепе-тең түрлендіру деп атайды.

💡 Бөлшекті қысқарту — тепе-тең түрлендіру: өрнек қарапайымдалды, ал мәндері сол күйінде қалды.

Бөлшекті қысқартамыз

Ереже қарапайым: алдымен көбейткіштерге жікте, содан кейін ортақтарын сызып таста. Тек көбейткіштерді сызуға болады, қосылғыштарды ешқашан!

Мысал: $\dfrac{14x^3}{21x^2y}$. Ортақ көбейткіші: $7x^2$.

$\frac{14x^3}{21x^2y}=\frac{2x\cdot7x^2}{3y\cdot7x^2}=\frac{2x}{3y}.$

⚠️ Жиі кететін қате. Қосылғыштарды қысқартады: $\frac{x+3}{3}=x$ (олай етуге болмайды!). $x=3$ болғанда тексер: сол жағы $2$, оң жағы $3$. Тек көбейткіштерді қысқартуға болады: $\frac{3x}{3}=x$.

Жақшалар болғанда қысқартамыз

Алым мен бөлімде көпмүшелер болса, ортақ көбейткішті жақша сыртына шығар немесе қысқаша көбейту формуласын қолдан.

Мысал: $\dfrac{16-x^2}{8x+2x^2}$. Алымы $(4-x)(4+x)$, бөлімі $2x(4+x)$. $(4+x)$-ті қысқартамыз:

$\frac{(4-x)(4+x)}{2x(4+x)}=\frac{4-x}{2x}.$

Жаңа бөлімге келтіреміз

Керекті бөлімді алу үшін ескі бөлімді неге көбейту керегін тап. Бұл көбейткішті толықтауыш көбейткіш дейді. Оған алымды да, бөлімді де көбейтеміз.

Мысал: $\frac{5x}{6y}$ бөлшегін $12y^3$ бөліміне келтірейік. $12y^3=6y\cdot2y^2$ болғандықтан, толықтауыш көбейткіш — $2y^2$:

$\frac{5x}{6y}=\frac{5x\cdot2y^2}{6y\cdot2y^2}=\frac{10xy^2}{12y^3}.$

$-1$-ге көбейтеміз

$9y-7$ және $7-9y$ бөлімдері таңбасымен ғана ерекшеленеді. Алым мен бөлімді $-1$-ге көбейтейік:

$\frac{2x^2}{9y-7}=\frac{-2x^2}{7-9y}=-\frac{2x^2}{7-9y}.$

📌 $a-b$ және $b-a$ өрнектері қарама-қарсы: $b-a=-(a-b)$. Сондықтан $\dfrac{a-b}{b-a}=-1$, ал $(a-b)^2=(b-a)^2$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бұл тақырыптағы ең жиі кездесетін қиындық: қосылғыштарды «қысқарту» және таңбаны жоғалту. Балаға өзін-өзі санмен тексеруді ұсыныңыз: кез келген санды алып, бастапқы бөлшекті де, нәтижені де есептесін. Мәндері әртүрлі шықса, бір жерде қате бар.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Айнымалының кейбір мәндерінде ақиқат болмайтын теңдік тепе-теңдік бола ала ма? Жоқ. Тепе-теңдік барлық мүмкін болатын мәндерде ақиқат.
• Ал кейбір мәндерінде мағынасы болмайтын теңдік ше? Бола алады, егер ол барлық мүмкін болатын мәндерде ақиқат болса. Мысалы, $\frac{ac}{bc}=\frac ab$ теңдігінің $c=0$ болғанда мағынасы жоқ, бірақ бұл — тепе-теңдік.
• Бөлшектің негізгі қасиеті қандай мәндерде орындалады? Барлық мүмкін болатын мәндерде: бөлім мен $c$ көбейткіші нөлге тең емес.
• Бөлшекті қысқарту дегеніміз не? Алым мен бөлімді ортақ көбейткішке бөлу.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 38.1

Берілген алгебралық бөлшектерді қысқартыңдар: 1) $\frac{12xa}{15ya}$; 2) $\frac{12cb^2}{9bc^3}$; 3) $\frac{12ay^3}{-8a^2y}$; 4) $\frac{-6p^3q}{-12q^3}$; 5) $\frac{-4ax^2}{12xy}$; 6) $\frac{9axy^2}{6ay^3}$; 7) $\frac{48a^2c^2}{36ac}$; 8) $\frac{63x^3y^5}{84x^6y^4}$.

Қалай ойлаймыз. Сандарды да, әр әріпті де бөлек қысқартамыз: сандарды ортақ бөлгішке бөлеміз, дәрежелерді көрсеткіштерін азайту арқылы бөлеміз.

Шешуі.

1. $3a$-ға бөлеміз: $\frac{4x}{5y}$.
2. Сандарды 3-ке, $b$ мен $c$-ны қысқартамыз: $\frac{4b}{3c^2}$.
3. $12:(-4)=-3$; $a$ бір рет; $y$ бір рет: $-\frac{3y^2}{2a}$.
4. Минустар қысқарады: $\frac{6p^3q}{12q^3}=\frac{p^3}{2q^2}$.
5. $-\frac{4ax^2}{12xy}=-\frac{ax}{3y}$.
6. $\frac{9axy^2}{6ay^3}=\frac{3x}{2y}$.
7. $\frac{48}{36}=\frac43$: $\frac{4ac}{3}$.
8. $\frac{63}{84}=\frac34$; $x^3:x^6=\frac1{x^3}$; $y^5:y^4=y$: $\frac{3y}{4x^3}$.

Жауабы: 1) $\frac{4x}{5y}$; 2) $\frac{4b}{3c^2}$; 3) $-\frac{3y^2}{2a}$; 4) $\frac{p^3}{2q^2}$; 5) $-\frac{ax}{3y}$; 6) $\frac{3x}{2y}$; 7) $\frac{4ac}{3}$; 8) $\frac{3y}{4x^3}$.

№ 38.2

Берілген алгебралық бөлшектерді қысқартыңдар: 1) $\frac{18bc}{24c}$; 2) $\frac{25a^2y}{15by}$; 3) $\frac{24a^3}{6ac}$; 4) $\frac{27x^2y}{21xy^3}$; 5) $\frac{-2a^6b^3}{a^3b^5}$; 6) $\frac{x^7y^4}{x^5y^8}$; 7) $\frac{42m^3n^5}{35mn^5}$; 8) $\frac{75p^4q}{150p^5q}$.

Қалай ойлаймыз. № 38.1-дегідей.

Шешуі.

1. $\frac{3b}{4}$.
2. $\frac{5a^2}{3b}$.
3. $\frac{4a^2}{c}$.
4. $\frac{9x}{7y^2}$.
5. $-\frac{2a^3}{b^2}$.
6. $\frac{x^2}{y^4}$.
7. $\frac{6m^2}{5}$.
8. $\frac{75}{150}=\frac12$; $p^4:p^5=\frac1p$: $\frac{1}{2p}$.

Жауабы: 1) $\frac{3b}{4}$; 2) $\frac{5a^2}{3b}$; 3) $\frac{4a^2}{c}$; 4) $\frac{9x}{7y^2}$; 5) $-\frac{2a^3}{b^2}$; 6) $\frac{x^2}{y^4}$; 7) $\frac{6m^2}{5}$; 8) $\frac{1}{2p}$.

№ 38.3

1) $\frac{4a}{a^3c}$; 2) $\frac{5ac^3}{a^2c}$; 3) $\frac{4a}{2ac^2}$; 4) $\frac{ac^4}{0{,}5ac}$; 5) $\frac{5{,}5ac}{a^2c}$; 6) $\frac{-ax}{a^3c}$ бөлшектерін бөлімі $4a^5c^2$ болатын бөлшекке келтіріңдер.

Қалай ойлаймыз. Жаңа бөлімді ескі бөлімге бөліп, толықтауыш көбейткішті аламыз. Оған екі бөлігін де көбейтеміз.

Шешуі.

1. $4a^5c^2:(a^3c)=4a^2c$. Алымы $4a\cdot4a^2c=16a^3c$.
2. $4a^5c^2:(a^2c)=4a^3c$. Алымы $5ac^3\cdot4a^3c=20a^4c^4$.
3. $4a^5c^2:(2ac^2)=2a^4$. Алымы $4a\cdot2a^4=8a^5$.
4. $4a^5c^2:(0{,}5ac)=8a^4c$. Алымы $ac^4\cdot8a^4c=8a^5c^5$.
5. Көбейткіші $4a^3c$. Алымы $5{,}5ac\cdot4a^3c=22a^4c^2$.
6. Көбейткіші $4a^2c$. Алымы $-ax\cdot4a^2c=-4a^3cx$.

Жауабы: 1) $\frac{16a^3c}{4a^5c^2}$; 2) $\frac{20a^4c^4}{4a^5c^2}$; 3) $\frac{8a^5}{4a^5c^2}$; 4) $\frac{8a^5c^5}{4a^5c^2}$; 5) $\frac{22a^4c^2}{4a^5c^2}$; 6) $\frac{-4a^3cx}{4a^5c^2}$.

№ 38.4

1) $\frac{2y}{a-b}$ алгебралық бөлшегін бөлімі $(a-b)^2$; 2) $\frac{-3x}{x+a}$ бөлшегін бөлімі $x^2-a^2$; 3) $\frac{5a}{y-1}$ бөлшегін бөлімі $y^3-1$; 4) $\frac{4b}{a^2+ab+b^2}$ бөлшегін бөлімі $a^3-b^3$; 5) $\frac{9y}{y-b}$ бөлшегін бөлімі $b-y$; 6) $\frac{-5x}{x-10}$ бөлшегін бөлімі $10-x$; 7) $\frac{-4p}{p+2}$ бөлшегін бөлімі $4-p^2$; 8) $\frac{2a+3}{6-2a}$ бөлшегін бөлімі $2(a^2-9)$; 9) $\frac{7a}{3xy^2}$ бөлшегін бөлімі $15x^2y^3$; 10) $\frac{11}{x+1}$ бөлшегін бөлімі $x^3+1$ болатын бөлшекке келтіріңдер.

Қалай ойлаймыз. Жаңа бөлімді көбейткіштерге жікте (қысқаша көбейту формулалары!). Жіктеуден ескі бөлімді тап, қалғаны толықтауыш көбейткіш болады. Бөлімдер қарама-қарсы болса, $-1$-ге көбейт.

Шешуі.

1. $(a-b)^2=(a-b)(a-b)$, көбейткіші $(a-b)$: $\frac{2y(a-b)}{(a-b)^2}$.
2. $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$, көбейткіші $(x-a)$: $\frac{-3x(x-a)}{x^2-a^2}$.
3. Жоғарыдағы қадамдарды қара: $\frac{5a(y^2+y+1)}{y^3-1}$.
4. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, көбейткіші $(a-b)$: $\frac{4b(a-b)}{a^3-b^3}$.
5. $b-y=-(y-b)$, $-1$-ге көбейтеміз: $\frac{-9y}{b-y}$.
6. $10-x=-(x-10)$: $\frac{5x}{10-x}$.
7. $4-p^2=(2-p)(2+p)$, көбейткіші $(2-p)$: $\frac{-4p(2-p)}{4-p^2}$.
8. $6-2a=-2(a-3)$, ал $2(a^2-9)=2(a-3)(a+3)$. Көбейткіші: $2(a-3)(a+3):(6-2a)=-(a+3)$. Алымы: $-(2a+3)(a+3)=-(2a^2+9a+9)$. Шығатыны $\frac{-(2a^2+9a+9)}{2(a^2-9)}$.
9. $15x^2y^3:(3xy^2)=5xy$. Алымы $7a\cdot5xy=35axy$: $\frac{35axy}{15x^2y^3}$.
10. $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$, көбейткіші $(x^2-x+1)$: $\frac{11(x^2-x+1)}{x^3+1}$.

Жауабы: 1) $\frac{2y(a-b)}{(a-b)^2}$; 2) $\frac{-3x(x-a)}{x^2-a^2}$; 3) $\frac{5a(y^2+y+1)}{y^3-1}$; 4) $\frac{4b(a-b)}{a^3-b^3}$; 5) $\frac{-9y}{b-y}$; 6) $\frac{5x}{10-x}$; 7) $\frac{-4p(2-p)}{4-p^2}$; 8) $\frac{-(2a^2+9a+9)}{2(a^2-9)}$; 9) $\frac{35axy}{15x^2y^3}$; 10) $\frac{11(x^2-x+1)}{x^3+1}$.

№ 38.5

1) $\frac{x^7+x^5}{x^4+x^2}$; 2) $\frac{y^7+y^9}{y^4+y^2}$; 3) $\frac{a^7-a^{10}}{a^5-a^2}$; 4) $\frac{x^6-x^4}{x^3+x^2}$; 5) $\frac{a-2b}{2b-a}$; 6) $\frac{4(a-b)^2}{2b-2a}$; 7) $\frac{(-a-b)^2}{a+b}$; 8) $\frac{(a-b)^2}{(b-a)^2}$ бөлшек-рационал өрнектерін ықшамдаңдар.

Қалай ойлаймыз. Алым мен бөлімде ең кіші дәрежені жақша сыртына шығар, содан кейін қысқарт.

Шешуі.

1. $\frac{x^5(x^2+1)}{x^2(x^2+1)}=x^3$.
2. $\frac{y^7(1+y^2)}{y^2(y^2+1)}=y^5$.
3. $\frac{a^7(1-a^3)}{a^2(a^3-1)}=-a^5$, себебі $1-a^3=-(a^3-1)$.
4. $\frac{x^4(x-1)(x+1)}{x^2(x+1)}=x^2(x-1)$.
5. $2b-a=-(a-2b)$, бөлшек $-1$-ге тең.
6. $2b-2a=-2(a-b)$: $\frac{4(a-b)^2}{-2(a-b)}=-2(a-b)=2b-2a$.
7. $(-a-b)^2=(a+b)^2$: $\frac{(a+b)^2}{a+b}=a+b$.
8. Квадраттар тең: $1$.

Жауабы: 1) $x^3$; 2) $y^5$; 3) $-a^5$; 4) $x^2(x-1)$; 5) $-1$; 6) $-2(a-b)$; 7) $a+b$; 8) $1$.

B деңгейі

№ 38.6

1) $x=-0{,}6$ болғанда $\frac{x^5+4x^4}{x^4+4x^3}$; 2) $x=-3\frac23$ болғанда $\frac{3x^5-4x^4}{3x^3-4x^2}$ бөлшегінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен ықшамдаймыз, содан кейін санды қоямыз. Олай есептеу әлдеқайда оңай.

Шешуі.

1. $\frac{x^4(x+4)}{x^3(x+4)}=x=-0{,}6$.
2. $\frac{x^4(3x-4)}{x^2(3x-4)}=x^2$. $x=-3\frac23=-\frac{11}{3}$ болғанда $\frac{121}{9}=13\frac49$ шығады.

Жауабы: 1) $-0{,}6$; 2) $13\frac49$.

№ 38.7

1) $\frac{a(x-2y)}{b(2y-x)}$; 2) $\frac{3a-36}{12b-ab}$; 3) $\frac{25-a^2}{3a-15}$; 4) $\frac{8b^2-8a^2}{a^2-2ab+b^2}$; 5) $\frac{5x(x-y)}{x^3(y-x)}$; 6) $\frac{7b-14b^2}{42b^2-21b}$; 7) $\frac{3-3x}{x^2-2x+1}$; 8) $\frac{(b-2)^3}{(2-b)^2}$ алгебралық бөлшегін қысқартыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бәрін көбейткіштерге жікте. $x-y$ және $y-x$ кездессе, минусты шығар.

Шешуі.

1. $2y-x=-(x-2y)$: $-\frac ab$.
2. $\frac{3(a-12)}{b(12-a)}=-\frac3b$.
3. $\frac{(5-a)(5+a)}{3(a-5)}=-\frac{5+a}{3}$.
4. $\frac{8(b-a)(b+a)}{(a-b)^2}=\frac{-8(a+b)}{a-b}$ (өйткені $b-a=-(a-b)$).
5. $-\frac{5}{x^2}$.
6. $\frac{7b(1-2b)}{21b(2b-1)}=-\frac13$.
7. $\frac{3(1-x)}{(x-1)^2}=-\frac{3}{x-1}=\frac{3}{1-x}$.
8. $(2-b)^2=(b-2)^2$: $\frac{(b-2)^3}{(b-2)^2}=b-2$.

Жауабы: 1) $-\frac ab$; 2) $-\frac3b$; 3) $-\frac{5+a}{3}$; 4) $-\frac{8(a+b)}{a-b}$; 5) $-\frac5{x^2}$; 6) $-\frac13$; 7) $\frac{3}{1-x}$; 8) $b-2$.

№ 38.8

1) $\frac{18a-3a^2}{8a^2-48a}$; 2) $\frac{8p-40}{15-3p}$; 3) $\frac{4-x^2}{10-5x}$; 4) $\frac{(3x+6y)^2}{5x+10y}$; 5) $\frac{ax+bx-ay-by}{bx-by}$; 6) $\frac{a^2-6a+9}{27-a^3}$; 7) $\frac{(2a-2b)^2}{a-b}$; 8) $\frac{(4c+12d)^2}{c+3d}$; 9) $\frac{4x^2-y^2}{(6x-3y)^2}$; 10) $\frac{ab-3b-2a+6}{15-5a}$ бөлшек-рационал өрнегін қысқартыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алым мен бөлімді көбейтіндіге айналдырамыз: ортақ көбейткішті шығарамыз, топтаймыз, формулаларды қолданамыз.

Шешуі.

1. $\frac{3a(6-a)}{8a(a-6)}=-\frac38$.
2. $\frac{8(p-5)}{3(5-p)}=-\frac83$.
3. $\frac{(2-x)(2+x)}{5(2-x)}=\frac{2+x}{5}$.
4. $\frac{9(x+2y)^2}{5(x+2y)}=\frac{9(x+2y)}{5}$.
5. $\frac{a+b}{b}$ (қадамдарды қара).
6. $a^2-6a+9=(a-3)^2$; $27-a^3=(3-a)(9+3a+a^2)$. Сонда $\frac{(a-3)^2}{-(a-3)(a^2+3a+9)}=-\frac{a-3}{a^2+3a+9}=\frac{3-a}{a^2+3a+9}$.
7. $\frac{4(a-b)^2}{a-b}=4(a-b)$.
8. $\frac{16(c+3d)^2}{c+3d}=16(c+3d)$.
9. $\frac{(2x-y)(2x+y)}{9(2x-y)^2}=\frac{2x+y}{9(2x-y)}$.
10. Алымы: $b(a-3)-2(a-3)=(a-3)(b-2)$. Бөлімі $5(3-a)=-5(a-3)$. Нәтиже: $-\frac{b-2}{5}=\frac{2-b}{5}$.

Жауабы: 1) $-\frac38$; 2) $-\frac83$; 3) $\frac{2+x}{5}$; 4) $\frac{9(x+2y)}{5}$; 5) $\frac{a+b}{b}$; 6) $\frac{3-a}{a^2+3a+9}$; 7) $4(a-b)$; 8) $16(c+3d)$; 9) $\frac{2x+y}{9(2x-y)}$; 10) $\frac{2-b}{5}$.

C деңгейі

Мұндағы есептер қиынырақ. Бірден шықпаса, қорқатын ештеңе жоқ: байқап көрудің өзі ойыңды жаттықтырады!

№ 38.9

$a+2c=7$ екенін ескеріп, бөлшек-рационал өрнектің мәнін табыңдар: 1) $\frac{3a+6c}{(2c+a)^2}$; 2) $\frac{a+2c}{2(2c+a)^2}$; 3) $\frac{a+2c}{(2c+a)^3}$; 4) $\frac{(2c-a)\cdot4}{4c^2-a^2}$.

Қалай ойлаймыз. $a$ мен $c$-ны жеке іздеудің қажеті жоқ. Бөлшекті $a+2c$ тіркесімі қалатындай қысқарт та, 7-ні қой.

Шешуі.

1. $\frac{3(a+2c)}{(a+2c)^2}=\frac{3}{a+2c}=\frac37$.
2. $\frac{a+2c}{2(a+2c)^2}=\frac{1}{2(a+2c)}=\frac1{14}$.
3. $\frac{a+2c}{(a+2c)^3}=\frac{1}{(a+2c)^2}=\frac1{49}$.
4. $4c^2-a^2=(2c-a)(2c+a)$: $\frac{4}{2c+a}=\frac47$.

Жауабы: 1) $\frac37$; 2) $\frac1{14}$; 3) $\frac1{49}$; 4) $\frac47$.

№ 38.10

1) $a=-3$, $b=-0{,}2$ болғанда $\frac{15a^2-10ab}{3ab-2b^2}$; 2) $c=1\frac23$, $d=0{,}5$ болғанда $\frac{9c^2-4d^2}{18c^2d-12cd^2}$; 3) $x=\frac23$, $y=-0{,}4$ болғанда $\frac{6x^2+12xy}{5xy+10y^2}$; 4) $x=-0{,}2$, $y=-0{,}6$ болғанда $\frac{x^2+6xy+9y^2}{4x^2+12xy}$ алгебралық бөлшегін ықшамдап, мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен көбейткіштерге жікте де қысқарт, содан кейін санды қой. Сонда сандар шағын болып шығады.

Шешуі.

1. $\frac{5a(3a-2b)}{b(3a-2b)}=\frac{5a}{b}=\frac{5\cdot(-3)}{-0{,}2}=75$.
2. $\frac{(3c-2d)(3c+2d)}{6cd(3c-2d)}=\frac{3c+2d}{6cd}$. $3c=5$, $2d=1$, $6cd=6\cdot\frac53\cdot\frac12=5$. Сонда $\frac65=1{,}2$.
3. $\frac{6x(x+2y)}{5y(x+2y)}=\frac{6x}{5y}=\frac{6\cdot\frac23}{5\cdot(-0{,}4)}=\frac{4}{-2}=-2$.
4. $\frac{(x+3y)^2}{4x(x+3y)}=\frac{x+3y}{4x}=\frac{-0{,}2-1{,}8}{-0{,}8}=\frac{-2}{-0{,}8}=2{,}5$.

Жауабы: 1) $75$; 2) $1{,}2$; 3) $-2$; 4) $2{,}5$.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 38.11

Есепті шығарыңдар. Оған кері есептерді құрастырыңдар және оларды шешіңдер. Екі темір ұстасы 8 сағатта 120 тетік дайындайды. Егер бір ұста екіншісіне қарағанда бір сағатта 3 тетік артық жасаса, ұсталардың әрқайсысы сағатына қанша тетік дайындайды?

Қалай ойлаймыз. Алдымен жалпы жұмыс жылдамдығын табамыз: екеуіне бірге сағатына қанша тетік керек. Содан кейін оны айырмасы 3 болатын екі бөлікке бөлеміз.

Шешуі.

1. Екеуі бірге сағатына: $120:8=15$ тетік.
2. Біріншісі сағатына $x$ тетік жасасын, сонда екіншісі $x+3$. Теңдеу: $x+(x+3)=15$.
3. $2x=12$, $x=6$. Екіншісі: $6+3=9$.
4. Тексеру: $(6+9)\cdot8=120$ ✓.

Кері есептер (үлгі).

• Бір ұста сағатына 6 тетік, екіншісі 9 тетік жасайды. Екеуі бірге 120 тетікті неше сағатта жасайды? Жауабы: $120:(6+9)=8$ сағ.
• Екі ұста 8 сағатта 120 тетік жасады; біріншісі сағатына 6 тетік жасайды. Екіншісі сағатына қанша тетік жасайды? Жауабы: $120:8-6=9$.

Жауабы: сағатына 6 тетік және сағатына 9 тетік.

№ 38.12

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $\frac23+1\frac45$; 2) $\frac{11}{15}-2\frac35$; 3) $4\frac57-2\frac{3}{14}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіреміз. Аралас сандарда бүтін және бөлшек бөліктерін бөлек есептейміз.

Шешуі.

1. $\frac{10}{15}+1\frac{12}{15}=1\frac{22}{15}=2\frac7{15}$.
2. $2\frac35=2\frac9{15}$. $\frac{11}{15}-2\frac{9}{15}=-\frac{28}{15}=-1\frac{13}{15}$.
3. $4\frac{10}{14}-2\frac3{14}=2\frac7{14}=2\frac12=2{,}5$.

Жауабы: 1) $2\frac7{15}$; 2) $-1\frac{13}{15}$; 3) $2{,}5$.

Жадынама

• Алдымен көбейткіштерге жікте, содан кейін қысқарт.
• Жіктеу үшін: ортақ көбейткішті шығару, топтау, қысқаша көбейту формулалары.
• Бір жақшаның таңбасын ауыстырсаң, бүкіл бөлшектің таңбасын ауыстыр.
• Өзіңді санмен қойып тексер.

Шағын тест