§ 38. Основное свойство алгебраической дроби

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 6: Алгебраические дроби. Страницы 226–231.

Чему научишься

• Формулировать основное свойство алгебраической дроби.
• Сокращать дроби, раскладывая числитель и знаменатель на множители.
• Приводить дробь к новому знаменателю с помощью дополнительного множителя.
• Понимать, что такое тождество и тождественное преобразование.
• Менять знаки в числителе и знаменателе, когда множители «зеркальные»: $a-b$ и $b-a$.

Разминка

• Как сократить $\frac{12}{18}$? Делим числитель и знаменатель на 6: получится $\frac23$.
• Как привести $\frac35$ к знаменателю 20? Умножаем обе части на 4: $\frac{12}{20}$.
• Чему равно $(-1)\cdot(a-b)$? $-a+b=b-a$.
• Как разложить $x^2-9$ на множители? По разности квадратов: $(x-3)(x+3)$.

Разбираемся

Дробь не меняется, если умножить или разделить обе части

Для обычных дробей это знакомо: $\frac{3}{4}=\frac{3\cdot5}{4\cdot5}=\frac{15}{20}$. С алгебраическими дробями то же самое.

📌 Основное свойство дроби. При любых $a$, а также при $b\ne0$ и $c\ne0$ верно: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{ac}{bc}$.

Условие $c\ne0$ важно: на нуль умножать (и сокращать) нельзя.

Тождество

Равенство, верное при всех допустимых значениях букв, называют тождеством. Основное свойство дроби — тождество. Два выражения, которые равны при всех допустимых значениях букв, называют тождественно равными, а замену одного на другое — тождественным преобразованием.

💡 Сократить дробь — это и есть тождественное преобразование: выражение стало проще, а значения у него те же.

Сокращаем дробь

Правило простое: сначала разложи на множители, потом вычёркивай общие. Вычёркивать можно только множители, но никак не слагаемые!

Пример: $\dfrac{14x^3}{21x^2y}$. Выписываем общее: $7x^2$.

$\frac{14x^3}{21x^2y}=\frac{2x\cdot7x^2}{3y\cdot7x^2}=\frac{2x}{3y}.$

⚠️ Частая ошибка. Сокращают слагаемые: $\frac{x+3}{3}=x$ (так нельзя!). Проверь при $x=3$: слева $2$, справа $3$. Можно сокращать только множители: $\frac{3x}{3}=x$.

Сокращаем, когда есть скобки

Если в числителе и знаменателе есть многочлены, вынеси общий множитель за скобки или примени формулу сокращённого умножения.

Пример: $\dfrac{16-x^2}{8x+2x^2}$. В числителе $(4-x)(4+x)$, в знаменателе $2x(4+x)$. Сокращаем $(4+x)$:

$\frac{(4-x)(4+x)}{2x(4+x)}=\frac{4-x}{2x}.$

Приводим к новому знаменателю

Чтобы получить нужный знаменатель, найди, на что надо умножить старый. Этот множитель называют дополнительным. Умножаем на него и числитель, и знаменатель.

Пример: привести $\frac{5x}{6y}$ к знаменателю $12y^3$. Так как $12y^3=6y\cdot2y^2$, дополнительный множитель $2y^2$:

$\frac{5x}{6y}=\frac{5x\cdot2y^2}{6y\cdot2y^2}=\frac{10xy^2}{12y^3}.$

Умножаем на $-1$

Знаменатель $9y-7$ и $7-9y$ отличаются знаком. Умножим числитель и знаменатель на $-1$:

$\frac{2x^2}{9y-7}=\frac{-2x^2}{7-9y}=-\frac{2x^2}{7-9y}.$

📌 Выражения $a-b$ и $b-a$ противоположны: $b-a=-(a-b)$. Поэтому $\dfrac{a-b}{b-a}=-1$, а $(a-b)^2=(b-a)^2$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Самая частая беда в этой теме: «сокращение» слагаемых и потерянный знак. Предложите ребёнку проверять себя подстановкой: взять любое число, посчитать исходную дробь и результат. Если значения разные, где-то ошибка.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Может ли тождеством быть равенство, которое при каких-то значениях переменной неверно? Нет. Тождество верно при всех допустимых значениях.
• А равенство, у которого при каких-то значениях нет смысла? Может, если оно верно при всех допустимых. Например, $\frac{ac}{bc}=\frac ab$ не имеет смысла при $c=0$, но это тождество.
• При каких значениях выполняется основное свойство дроби? При всех допустимых: знаменатель и множитель $c$ не равны нулю.
• Что значит сократить дробь? Разделить числитель и знаменатель на общий множитель.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 38.1

Сократи дроби: 1) $\frac{12xa}{15ya}$; 2) $\frac{12cb^2}{9bc^3}$; 3) $\frac{12ay^3}{-8a^2y}$; 4) $\frac{-6p^3q}{-12q^3}$; 5) $\frac{-4ax^2}{12xy}$; 6) $\frac{9axy^2}{6ay^3}$; 7) $\frac{48a^2c^2}{36ac}$; 8) $\frac{63x^3y^5}{84x^6y^4}$.

Как думать. Сокращаем отдельно числа и каждую букву: числа делим на общий делитель, степени делим, вычитая показатели.

Решение.

1. Делим на $3a$: $\frac{4x}{5y}$.
2. Числа на 3, $b$ и $c$: $\frac{4b}{3c^2}$.
3. $12:(-4)=-3$; $a$ один раз; $y$ один раз: $-\frac{3y^2}{2a}$.
4. Минусы сокращаются: $\frac{6p^3q}{12q^3}=\frac{p^3}{2q^2}$.
5. $-\frac{4ax^2}{12xy}=-\frac{ax}{3y}$.
6. $\frac{9axy^2}{6ay^3}=\frac{3x}{2y}$.
7. $\frac{48}{36}=\frac43$: $\frac{4ac}{3}$.
8. $\frac{63}{84}=\frac34$; $x^3:x^6=\frac1{x^3}$; $y^5:y^4=y$: $\frac{3y}{4x^3}$.

Ответ: 1) $\frac{4x}{5y}$; 2) $\frac{4b}{3c^2}$; 3) $-\frac{3y^2}{2a}$; 4) $\frac{p^3}{2q^2}$; 5) $-\frac{ax}{3y}$; 6) $\frac{3x}{2y}$; 7) $\frac{4ac}{3}$; 8) $\frac{3y}{4x^3}$.

№ 38.2

Сократи дроби: 1) $\frac{18bc}{24c}$; 2) $\frac{25a^2y}{15by}$; 3) $\frac{24a^3}{6ac}$; 4) $\frac{27x^2y}{21xy^3}$; 5) $\frac{-2a^6b^3}{a^3b^5}$; 6) $\frac{x^7y^4}{x^5y^8}$; 7) $\frac{42m^3n^5}{35mn^5}$; 8) $\frac{75p^4q}{150p^5q}$.

Как думать. То же, что в № 38.1.

Решение.

1. $\frac{3b}{4}$.
2. $\frac{5a^2}{3b}$.
3. $\frac{4a^2}{c}$.
4. $\frac{9x}{7y^2}$.
5. $-\frac{2a^3}{b^2}$.
6. $\frac{x^2}{y^4}$.
7. $\frac{6m^2}{5}$.
8. $\frac{75}{150}=\frac12$; $p^4:p^5=\frac1p$: $\frac{1}{2p}$.

Ответ: 1) $\frac{3b}{4}$; 2) $\frac{5a^2}{3b}$; 3) $\frac{4a^2}{c}$; 4) $\frac{9x}{7y^2}$; 5) $-\frac{2a^3}{b^2}$; 6) $\frac{x^2}{y^4}$; 7) $\frac{6m^2}{5}$; 8) $\frac{1}{2p}$.

№ 38.3

Приведи дробь к знаменателю $4a^5c^2$: 1) $\frac{4a}{a^3c}$; 2) $\frac{5ac^3}{a^2c}$; 3) $\frac{4a}{2ac^2}$; 4) $\frac{ac^4}{0{,}5ac}$; 5) $\frac{5{,}5ac}{a^2c}$; 6) $\frac{-ax}{a^3c}$.

Как думать. Делим новый знаменатель на старый, получаем дополнительный множитель. Им умножаем обе части.

Решение.

1. $4a^5c^2:(a^3c)=4a^2c$. Числитель $4a\cdot4a^2c=16a^3c$.
2. $4a^5c^2:(a^2c)=4a^3c$. Числитель $5ac^3\cdot4a^3c=20a^4c^4$.
3. $4a^5c^2:(2ac^2)=2a^4$. Числитель $4a\cdot2a^4=8a^5$.
4. $4a^5c^2:(0{,}5ac)=8a^4c$. Числитель $ac^4\cdot8a^4c=8a^5c^5$.
5. Множитель $4a^3c$. Числитель $5{,}5ac\cdot4a^3c=22a^4c^2$.
6. Множитель $4a^2c$. Числитель $-ax\cdot4a^2c=-4a^3cx$.

Ответ: 1) $\frac{16a^3c}{4a^5c^2}$; 2) $\frac{20a^4c^4}{4a^5c^2}$; 3) $\frac{8a^5}{4a^5c^2}$; 4) $\frac{8a^5c^5}{4a^5c^2}$; 5) $\frac{22a^4c^2}{4a^5c^2}$; 6) $\frac{-4a^3cx}{4a^5c^2}$.

№ 38.4

Приведи дробь: 1) $\frac{2y}{a-b}$ к знаменателю $(a-b)^2$; 2) $\frac{-3x}{x+a}$ к $x^2-a^2$; 3) $\frac{5a}{y-1}$ к $y^3-1$; 4) $\frac{4b}{a^2+ab+b^2}$ к $a^3-b^3$; 5) $\frac{9y}{y-b}$ к $b-y$; 6) $\frac{-5x}{x-10}$ к $10-x$; 7) $\frac{-4p}{p+2}$ к $4-p^2$; 8) $\frac{2a+3}{6-2a}$ к $2(a^2-9)$; 9) $\frac{7a}{3xy^2}$ к $15x^2y^3$; 10) $\frac{11}{x+1}$ к $x^3+1$.

Как думать. Новый знаменатель разложи на множители (формулы сокращённого умножения!). Найди в разложении старый знаменатель, остаток и будет дополнительным множителем. Если знаменатели противоположные, умножай на $-1$.

Решение.

1. $(a-b)^2=(a-b)(a-b)$, множитель $(a-b)$: $\frac{2y(a-b)}{(a-b)^2}$.
2. $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$, множитель $(x-a)$: $\frac{-3x(x-a)}{x^2-a^2}$.
3. См. шаги выше: $\frac{5a(y^2+y+1)}{y^3-1}$.
4. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, множитель $(a-b)$: $\frac{4b(a-b)}{a^3-b^3}$.
5. $b-y=-(y-b)$, умножаем на $-1$: $\frac{-9y}{b-y}$.
6. $10-x=-(x-10)$: $\frac{5x}{10-x}$.
7. $4-p^2=(2-p)(2+p)$, множитель $(2-p)$: $\frac{-4p(2-p)}{4-p^2}$.
8. $6-2a=-2(a-3)$, а $2(a^2-9)=2(a-3)(a+3)$. Множитель: $2(a-3)(a+3):(6-2a)=-(a+3)$. Числитель: $-(2a+3)(a+3)=-(2a^2+9a+9)$. Получится $\frac{-(2a^2+9a+9)}{2(a^2-9)}$.
9. $15x^2y^3:(3xy^2)=5xy$. Числитель $7a\cdot5xy=35axy$: $\frac{35axy}{15x^2y^3}$.
10. $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$, множитель $(x^2-x+1)$: $\frac{11(x^2-x+1)}{x^3+1}$.

Ответ: 1) $\frac{2y(a-b)}{(a-b)^2}$; 2) $\frac{-3x(x-a)}{x^2-a^2}$; 3) $\frac{5a(y^2+y+1)}{y^3-1}$; 4) $\frac{4b(a-b)}{a^3-b^3}$; 5) $\frac{-9y}{b-y}$; 6) $\frac{5x}{10-x}$; 7) $\frac{-4p(2-p)}{4-p^2}$; 8) $\frac{-(2a^2+9a+9)}{2(a^2-9)}$; 9) $\frac{35axy}{15x^2y^3}$; 10) $\frac{11(x^2-x+1)}{x^3+1}$.

№ 38.5

Упрости дробно-рациональное выражение: 1) $\frac{x^7+x^5}{x^4+x^2}$; 2) $\frac{y^7+y^9}{y^4+y^2}$; 3) $\frac{a^7-a^{10}}{a^5-a^2}$; 4) $\frac{x^6-x^4}{x^3+x^2}$; 5) $\frac{a-2b}{2b-a}$; 6) $\frac{4(a-b)^2}{2b-2a}$; 7) $\frac{(-a-b)^2}{a+b}$; 8) $\frac{(a-b)^2}{(b-a)^2}$.

Как думать. Вынеси наименьшую степень за скобки в числителе и знаменателе, потом сократи.

Решение.

1. $\frac{x^5(x^2+1)}{x^2(x^2+1)}=x^3$.
2. $\frac{y^7(1+y^2)}{y^2(y^2+1)}=y^5$.
3. $\frac{a^7(1-a^3)}{a^2(a^3-1)}=-a^5$, потому что $1-a^3=-(a^3-1)$.
4. $\frac{x^4(x-1)(x+1)}{x^2(x+1)}=x^2(x-1)$.
5. $2b-a=-(a-2b)$, дробь равна $-1$.
6. $2b-2a=-2(a-b)$: $\frac{4(a-b)^2}{-2(a-b)}=-2(a-b)=2b-2a$.
7. $(-a-b)^2=(a+b)^2$: $\frac{(a+b)^2}{a+b}=a+b$.
8. Квадраты равны: $1$.

Ответ: 1) $x^3$; 2) $y^5$; 3) $-a^5$; 4) $x^2(x-1)$; 5) $-1$; 6) $-2(a-b)$; 7) $a+b$; 8) $1$.

Уровень B

№ 38.6

Найди значение выражения: 1) $\frac{x^5+4x^4}{x^4+4x^3}$ при $x=-0{,}6$; 2) $\frac{3x^5-4x^4}{3x^3-4x^2}$ при $x=-3\frac23$.

Как думать. Сначала упрощаем, потом подставляем. Так считать куда легче.

Решение.

1. $\frac{x^4(x+4)}{x^3(x+4)}=x=-0{,}6$.
2. $\frac{x^4(3x-4)}{x^2(3x-4)}=x^2$. При $x=-3\frac23=-\frac{11}{3}$ получаем $\frac{121}{9}=13\frac49$.

Ответ: 1) $-0{,}6$; 2) $13\frac49$.

№ 38.7

Сократи алгебраическую дробь: 1) $\frac{a(x-2y)}{b(2y-x)}$; 2) $\frac{3a-36}{12b-ab}$; 3) $\frac{25-a^2}{3a-15}$; 4) $\frac{8b^2-8a^2}{a^2-2ab+b^2}$; 5) $\frac{5x(x-y)}{x^3(y-x)}$; 6) $\frac{7b-14b^2}{42b^2-21b}$; 7) $\frac{3-3x}{x^2-2x+1}$; 8) $\frac{(b-2)^3}{(2-b)^2}$.

Как думать. Всё разложи на множители. Если встретились $x-y$ и $y-x$, вынеси минус.

Решение.

1. $2y-x=-(x-2y)$: $-\frac ab$.
2. $\frac{3(a-12)}{b(12-a)}=-\frac3b$.
3. $\frac{(5-a)(5+a)}{3(a-5)}=-\frac{5+a}{3}$.
4. $\frac{8(b-a)(b+a)}{(a-b)^2}=\frac{-8(a+b)}{a-b}$ (так как $b-a=-(a-b)$).
5. $-\frac{5}{x^2}$.
6. $\frac{7b(1-2b)}{21b(2b-1)}=-\frac13$.
7. $\frac{3(1-x)}{(x-1)^2}=-\frac{3}{x-1}=\frac{3}{1-x}$.
8. $(2-b)^2=(b-2)^2$: $\frac{(b-2)^3}{(b-2)^2}=b-2$.

Ответ: 1) $-\frac ab$; 2) $-\frac3b$; 3) $-\frac{5+a}{3}$; 4) $-\frac{8(a+b)}{a-b}$; 5) $-\frac5{x^2}$; 6) $-\frac13$; 7) $\frac{3}{1-x}$; 8) $b-2$.

№ 38.8

Сократи дробно-рациональное выражение: 1) $\frac{18a-3a^2}{8a^2-48a}$; 2) $\frac{8p-40}{15-3p}$; 3) $\frac{4-x^2}{10-5x}$; 4) $\frac{(3x+6y)^2}{5x+10y}$; 5) $\frac{ax+bx-ay-by}{bx-by}$; 6) $\frac{a^2-6a+9}{27-a^3}$; 7) $\frac{(2a-2b)^2}{a-b}$; 8) $\frac{(4c+12d)^2}{c+3d}$; 9) $\frac{4x^2-y^2}{(6x-3y)^2}$; 10) $\frac{ab-3b-2a+6}{15-5a}$.

Как думать. Числитель и знаменатель превращаем в произведения: выносим общий множитель, группируем, применяем формулы.

Решение.

1. $\frac{3a(6-a)}{8a(a-6)}=-\frac38$.
2. $\frac{8(p-5)}{3(5-p)}=-\frac83$.
3. $\frac{(2-x)(2+x)}{5(2-x)}=\frac{2+x}{5}$.
4. $\frac{9(x+2y)^2}{5(x+2y)}=\frac{9(x+2y)}{5}$.
5. $\frac{a+b}{b}$ (см. шаги).
6. $a^2-6a+9=(a-3)^2$; $27-a^3=(3-a)(9+3a+a^2)$. Тогда $\frac{(a-3)^2}{-(a-3)(a^2+3a+9)}=-\frac{a-3}{a^2+3a+9}=\frac{3-a}{a^2+3a+9}$.
7. $\frac{4(a-b)^2}{a-b}=4(a-b)$.
8. $\frac{16(c+3d)^2}{c+3d}=16(c+3d)$.
9. $\frac{(2x-y)(2x+y)}{9(2x-y)^2}=\frac{2x+y}{9(2x-y)}$.
10. Числитель: $b(a-3)-2(a-3)=(a-3)(b-2)$. Знаменатель $5(3-a)=-5(a-3)$. Итог: $-\frac{b-2}{5}=\frac{2-b}{5}$.

Ответ: 1) $-\frac38$; 2) $-\frac83$; 3) $\frac{2+x}{5}$; 4) $\frac{9(x+2y)}{5}$; 5) $\frac{a+b}{b}$; 6) $\frac{3-a}{a^2+3a+9}$; 7) $4(a-b)$; 8) $16(c+3d)$; 9) $\frac{2x+y}{9(2x-y)}$; 10) $\frac{2-b}{5}$.

Уровень C

Здесь задачи потруднее. Не страшно, если сразу не получится: попытка уже тренирует мышление!

№ 38.9

Зная, что $a+2c=7$, найди значение выражения: 1) $\frac{3a+6c}{(2c+a)^2}$; 2) $\frac{a+2c}{2(2c+a)^2}$; 3) $\frac{a+2c}{(2c+a)^3}$; 4) $\frac{(2c-a)\cdot4}{4c^2-a^2}$.

Как думать. Не нужно искать $a$ и $c$ по отдельности. Сократи дробь так, чтобы осталась комбинация $a+2c$, и подставь 7.

Решение.

1. $\frac{3(a+2c)}{(a+2c)^2}=\frac{3}{a+2c}=\frac37$.
2. $\frac{a+2c}{2(a+2c)^2}=\frac{1}{2(a+2c)}=\frac1{14}$.
3. $\frac{a+2c}{(a+2c)^3}=\frac{1}{(a+2c)^2}=\frac1{49}$.
4. $4c^2-a^2=(2c-a)(2c+a)$: $\frac{4}{2c+a}=\frac47$.

Ответ: 1) $\frac37$; 2) $\frac1{14}$; 3) $\frac1{49}$; 4) $\frac47$.

№ 38.10

Упрости и найди значение дроби: 1) $\frac{15a^2-10ab}{3ab-2b^2}$ при $a=-3$, $b=-0{,}2$; 2) $\frac{9c^2-4d^2}{18c^2d-12cd^2}$ при $c=1\frac23$, $d=0{,}5$; 3) $\frac{6x^2+12xy}{5xy+10y^2}$ при $x=\frac23$, $y=-0{,}4$; 4) $\frac{x^2+6xy+9y^2}{4x^2+12xy}$ при $x=-0{,}2$, $y=-0{,}6$.

Как думать. Сначала разложи на множители и сократи, потом подставляй. Тогда числа получаются небольшими.

Решение.

1. $\frac{5a(3a-2b)}{b(3a-2b)}=\frac{5a}{b}=\frac{5\cdot(-3)}{-0{,}2}=75$.
2. $\frac{(3c-2d)(3c+2d)}{6cd(3c-2d)}=\frac{3c+2d}{6cd}$. $3c=5$, $2d=1$, $6cd=6\cdot\frac53\cdot\frac12=5$. Получаем $\frac65=1{,}2$.
3. $\frac{6x(x+2y)}{5y(x+2y)}=\frac{6x}{5y}=\frac{6\cdot\frac23}{5\cdot(-0{,}4)}=\frac{4}{-2}=-2$.
4. $\frac{(x+3y)^2}{4x(x+3y)}=\frac{x+3y}{4x}=\frac{-0{,}2-1{,}8}{-0{,}8}=\frac{-2}{-0{,}8}=2{,}5$.

Ответ: 1) $75$; 2) $1{,}2$; 3) $-2$; 4) $2{,}5$.

Готовимся к следующей теме

№ 38.11

Два токаря должны изготовить 120 деталей за 8 ч. Сколько деталей в час делает каждый, если один делает на 3 детали в час больше другого? Составь обратные задачи и реши их.

Как думать. Сначала узнаем общую скорость работы: сколько деталей в час нужно вдвоём. Потом разделим её на две части с разницей 3.

Решение.

1. Вдвоём в час: $120:8=15$ деталей.
2. Пусть первый делает $x$ деталей в час, тогда второй $x+3$. Уравнение: $x+(x+3)=15$.
3. $2x=12$, $x=6$. Второй: $6+3=9$.
4. Проверка: $(6+9)\cdot8=120$ ✓.

Обратные задачи (образцы).

• Один токарь делает 6 деталей в час, другой 9. За сколько часов они вдвоём сделают 120 деталей? Ответ: $120:(6+9)=8$ ч.
• Два токаря за 8 ч сделали 120 деталей; первый делает 6 деталей в час. Сколько в час делает второй? Ответ: $120:8-6=9$.

Ответ: 6 деталей в час и 9 деталей в час.

№ 38.12

Найди значение выражения: 1) $\frac23+1\frac45$; 2) $\frac{11}{15}-2\frac35$; 3) $4\frac57-2\frac{3}{14}$.

Как думать. Приводим дроби к общему знаменателю. В смешанных числах отдельно считаем целые и дробные части.

Решение.

1. $\frac{10}{15}+1\frac{12}{15}=1\frac{22}{15}=2\frac7{15}$.
2. $2\frac35=2\frac9{15}$. $\frac{11}{15}-2\frac{9}{15}=-\frac{28}{15}=-1\frac{13}{15}$.
3. $4\frac{10}{14}-2\frac3{14}=2\frac7{14}=2\frac12=2{,}5$.

Ответ: 1) $2\frac7{15}$; 2) $-1\frac{13}{15}$; 3) $2{,}5$.

Шпаргалка

• Сначала разложи на множители, потом сокращай.
• Для разложения: вынос общего множителя, группировка, формулы сокращённого умножения.
• Меняя знак у одной скобки, меняй знак у всей дроби.
• Проверяй себя подстановкой числа.

Мини-тест