§ 37. Алгебралық бөлшек

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 6 бөлім: Алгебралық бөлшектер. 220–225-беттер.

Нені үйренесің

• Бүтін өрнекті бөлшекті өрнектен, көпмүшені алгебралық бөлшектен ажыратуды.
• Алгебралық бөлшектің әріптердің берілген мәндеріндегі мәнін табуды.
• Бөлшектің қашан мағынасы болмайтынын түсінуді.
• Айнымалының мүмкін болатын мәндерін табуды және оларды аралықпен жазуды.
• Алымы, бөлімі немесе «тыйым салынған» сандары берілген бөлшекті құрастыруды.

Ой қозғау

• Көпмүше дегеніміз не? Бірмүшелердің қосындысы: $3x^2 - 5x + 1$, $-2a^2b^5$ (бұл бірмүше), $x^3 + 0{,}12y^3$ (екімүше).
• Нөлге бөлуге бола ма? Жоқ. $\frac{5}{0}$ сияқты өрнектің мағынасы болмайды.
• Көбейтіндінің нөлге тең болуын қалай табамыз? Көбейткіштердің ең болмағанда бірі нөлге тең болса, көбейтінді нөлге тең: $x(x-3)=0$ теңдеуінің түбірлері $x=0$ немесе $x=3$.

Тақырыпты талдаймыз

Бүтін және бөлшекті өрнектер

Айталық, сенде бір әріп пен бес амал бар. Егер тек қосып, азайтып, көбейтсең (және қарапайым санға бөлсең), бүтін өрнек шығады, яғни көпмүше. Мысалы, $\frac{b-36}{2}$ да көпмүше: 2 санына бөлу — $\frac12$-ге көбейтумен бірдей.

Ал әрпі бар өрнекке бөлсең, бөлшекті өрнек, яғни алгебралық бөлшек шығады.

📌 Алгебралық (рационал) бөлшек — $\frac{A}{B}$ түріндегі өрнек, мұндағы $A$ және $B$ — көпмүшелер. $A$ — алымы, $B$ — бөлімі деп аталады. Бүтін және бөлшекті өрнектерді бірге рационал өрнектер дейді.

Сандарды қоямыз

Бөлшектің мәнін кез келген өрнектің мәнін табатындай табады: әріптің орнына сандарды қойып, есептейді. $\frac{2a-b}{ab}$ өрнегін $a=3$, $b=-1$ болғанда алайық:

$\frac{2\cdot 3-(-1)}{3\cdot(-1)}=\frac{7}{-3}=-2\frac13.$

Бөлімдегі минус қорқатын нәрсе емес: жетіні минус үшке бөлеміз, болды.

Бөлшек қашан «бұзылады»

Бүтін өрнектің мағынасы кез келген сандарда болады. Бөлшекте басқаша: бөлім нөлге айналса, есептеуге болмайды. $\frac{10x-12}{x}$ бөлшегінің $x=0$ болғанда мағынасы жоқ, ал $x$-тің қалған барлық мәндерінде бәрі дұрыс.

📌 Айнымалының мүмкін болатын мәндері — бөлшектің бөлімі нөлге тең болмайтын мәндері.

⚠️ Жиі кететін қате. Алымды емес, бөлімді тексеру керек. $\frac{x-3}{x+1}$ бөлшегінің $x=3$ болғанда мағынасы бар: $\frac{0}{4}=0$ шығады. Ал $x=-1$ болғанда мағынасы жоқ.

Мүмкін болатын мәндерді қалай іздейміз

Бөлімді алып, нөлге теңестіріп, теңдеуді шешеміз. Табылған сандардың бәрі — «тыйым салынған». Қалғандары жарайды.

Мысал: $\frac{7+8x}{x(x-3)}$. $x(x-3)=0$ теңдеуін шешеміз: $x=0$ немесе $x=3$. Демек, $0$ мен $3$-тен басқа барлық сандар мүмкін:

$(-\infty;,0)\cup(0;,3)\cup(3;,+\infty).$

🌟 $\cup$ белгісі «бірігу» деп оқылады. Ол «мынау да, мынау да, мынау да бірден» дегенді білдіреді. Ал сәуледегі бос шеңбер нүктенің өзі кірмейтінін көрсетеді.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан сұраңыз: «Қандай сандарда бөлім нөлге айналады?» Егер бала алымның емес, бөлімнің түбірлерін бірден іздесе, тақырып меңгерілген. Сонымен қатар еске салыңыз: көбейткіштердің ең болмағанда бірі нөлге тең болса, көбейтінді нөлге тең.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Кез келген бөлшекті өрнек рационал өрнек болады ма? Иә, рационал өрнектер — бүтін және бөлшекті өрнектердің бәрі.
• Кез келген рационал өрнек бөлшекті өрнек болады ма? Жоқ: көпмүше — рационал, бірақ бүтін өрнек.
• Кез келген рационал өрнек бүтін өрнек болады ма? Жоқ, бөлшекті өрнектер де бар.
• Кез келген бүтін өрнек рационал өрнек болады ма? Иә.
• Кез келген алгебралық бөлшек бөлшекті өрнек болады ма? Иә, бұл — бір нәрсе.
• Кез келген көпмүше бүтін өрнек болады ма? Иә.
• Рационал өрнектегі айнымалылардың қандай мәндері мүмкін болмауы мүмкін? Бөлшектің бөлімі нөлге тең болатын мәндері. Бүтін өрнекте мүмкін болмайтын мәндер жоқ.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 37.1

Мына өрнектердің арасынан бөлшек-рационал өрнектерді атаңдар: 1) $\frac{2x}{3}+\frac47$; 2) $\frac{2-5x}{7{,}3}-\frac{4x+3}{3}$; 3) $\frac{3}{x-2}$; 4) $\frac{3x+4}{x-2}+\frac{x}{7}$; 5) $\frac{3y}{2{,}7-\frac37}$; 6) $\frac{4y-5}{3-0{,}2y}+\frac{2y-3}{8}$.

Қалай ойлаймыз. Әрпі бар өрнекке бөлуді іздейміз. Қарапайым санға бөлу (тіпті $7{,}3$ немесе $2{,}7-\frac37$ сияқты бөлшек сан болса да) өрнекті бүтін болудан айырмайды.

Шешуі.

1. Біріншісінде бөлімдер 3 пен 7 — сандар. Бүтін өрнек.
2. Екіншісінде бөлімдер 7,3 және 3 — сандар. Бүтін өрнек.
3. Үшіншісінде бөлім $x-2$ — әрпі бар. Бөлшекті өрнек.
4. Төртіншісінде $\frac{3x+4}{x-2}$ бөлшегі $x-2$ өрнегіне бөледі. Бөлшекті өрнек.
5. Бесіншісінде бөлім $2{,}7-\frac37$ — жай ғана сан. Бүтін өрнек.
6. Алтыншысында бөлім $3-0{,}2y$ — әрпі бар. Бөлшекті өрнек.

Жауабы: 3), 4), 6).

№ 37.2

Өрнектердің мәнін табыңдар: 1) $x=3;,1;,-5;,\frac12;,-1{,}6;,100$ болғанда $\frac{2x-1}{x}$; 2) $a=-2;,-0{,}4;,0;,2{,}5$ болғанда $\frac{3a-7}{2a+5}$; 3) $b=3;,4{,}4;,5;,6$ болғанда $\frac{b^2+6}{3b-4}$; 4) $x=-\frac12;,0{,}5;,1;,3$ болғанда $2x+\frac{8}{x+1}$; 5) $y=1{,}5;,2{,}5;,4;,4{,}5$ болғанда $\frac{y+3}{2y}+\frac{2y}{y-3}$; 6) $x=-\frac12;,1{,}5;,2;,3$ болғанда $\frac{x+3}{x}+\frac{x}{x-3}$.

Қалай ойлаймыз. Санды қойып, алым мен бөлімді бөлек есептейміз, содан кейін бөлеміз. Алдымен бөлімнің нөл емес екеніне көз жеткіз.

Шешуі.

1. $x=3$: $\frac{5}{3}=1\frac23$. $x=1$: $\frac11=1$. $x=-5$: $\frac{-11}{-5}=2{,}2$. $x=\frac12$: алымы $2\cdot\frac12-1=0$, демек, $0$. $x=-1{,}6$: $\frac{-4{,}2}{-1{,}6}=2\frac58$. $x=100$: $\frac{199}{100}=1{,}99$.

2. $a=-2$: $\frac{-13}{1}=-13$. $a=-0{,}4$: $\frac{-8{,}2}{4{,}2}=-\frac{41}{21}=-1\frac{20}{21}$. $a=0$: $\frac{-7}{5}=-1{,}4$. $a=2{,}5$: $\frac{0{,}5}{10}=0{,}05$.

3. $b=3$: $\frac{15}{5}=3$. $b=4{,}4$: $\frac{25{,}36}{9{,}2}=\frac{317}{115}=2\frac{87}{115}$. $b=5$: $\frac{31}{11}=2\frac{9}{11}$. $b=6$: $\frac{42}{14}=3$.

4. $x=-\frac12$: $-1+\frac{8}{0{,}5}=-1+16=15$. $x=0{,}5$: $1+\frac{8}{1{,}5}=1+5\frac13=6\frac13$. $x=1$: $2+4=6$. $x=3$: $6+2=8$.

5. $y=1{,}5$: $\frac{4{,}5}{3}+\frac{3}{-1{,}5}=1{,}5-2=-0{,}5$. $y=2{,}5$: $\frac{5{,}5}{5}+\frac{5}{-0{,}5}=1{,}1-10=-8{,}9$. $y=4$: $\frac78+\frac81=8\frac78$. $y=4{,}5$: $\frac{7{,}5}{9}+\frac{9}{1{,}5}=\frac56+6=6\frac56$.

6. $x=-\frac12$: $\frac{2{,}5}{-0{,}5}+\frac{-0{,}5}{-3{,}5}=-5+\frac17=-4\frac67$. $x=1{,}5$: $\frac{4{,}5}{1{,}5}+\frac{1{,}5}{-1{,}5}=3-1=2$. $x=2$: $\frac52+\frac{2}{-1}=2{,}5-2=0{,}5$. $x=3$: екінші қосылғыш $\frac{3}{0}$, мәні жоқ.

Жауабы: 1) $1\frac23$; $1$; $2{,}2$; $0$; $2\frac58$; $1{,}99$. 2) $-13$; $-1\frac{20}{21}$; $-1{,}4$; $0{,}05$. 3) $3$; $2\frac{87}{115}$; $2\frac9{11}$; $3$. 4) $15$; $6\frac13$; $6$; $8$. 5) $-0{,}5$; $-8{,}9$; $8\frac78$; $6\frac56$. 6) $-4\frac67$; $2$; $0{,}5$; $x=3$ болғанда мағынасы жоқ.

№ 37.3

$x=-13;,-5;,-0{,}2;,0;,\frac12;,1;,5;,7$ болғанда $\frac{x+5}{x-3}$ бөлшегінің мәндері бойынша 37.1-кестені толтырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бір формулаға сегіз рет сан қоямыз. Сандардың арасында $x=3$ жоқ, демек, барлық мәндер бар.

Шешуі.

Жауабы: $0{,}5$; $0$; $-1{,}5$; $-1\frac23$; $-2{,}2$; $-3$; $5$; $3$.

№ 37.4

Айнымалының қандай мәндерінде берілген өрнектердің мағынасы болмайды: 1) $\frac{x}{x-2}$; 2) $\frac{b+4}{b^2+7}$; 3) $\frac{y^2-1}{y}+\frac{y}{y-3}$; 4) $\frac{a+10}{a(a-1)}-1$; 5) $\frac{y^3-1}{2-y}-\frac{2y}{3y-3}$; 6) $\frac{c^2-1}{3c}+\frac{4c}{2c-3}$?

Қалай ойлаймыз. Әр бөлімді нөлге теңестіріп, шешеміз.

Шешуі.

1. $x-2=0$, $x=2$.
2. $b^2+7\ge7$ кез келген $b$ үшін, нөл болмайды. Мұндай мәндер жоқ.
3. $y=0$ немесе $y-3=0$, яғни $y=0$ және $y=3$.
4. $a(a-1)=0$, демек, $a=0$ немесе $a=1$.
5. $2-y=0$ болса $y=2$; $3y-3=0$ болса $y=1$.
6. $3c=0$ болса $c=0$; $2c-3=0$ болса $c=1{,}5$.

Жауабы: 1) $2$; 2) мұндай мәндер жоқ; 3) $0$ және $3$; 4) $0$ және $1$; 5) $1$ және $2$; 6) $0$ және $1{,}5$.

№ 37.5

Мынадай бөлшек құрастырыңдар: 1) алымы $x$ пен $y$-тің көбейтіндісі, ал бөлімі $2x$ пен $3y$-тің қосындысы болатын; 2) алымы $2a$ мен $b-1$ өрнектерінің айырымы, ал бөлімі олардың көбейтіндісі болатын.

Қалай ойлаймыз. Сөздерді формулалар тіліне аударамыз. Екі өрнектің айырымы мен көбейтіндісін, егер олардың мүшесі біреуден көп болса, жақшаға аламыз.

Шешуі.

1. Алымы $x\cdot y=xy$, бөлімі $2x+3y$.
2. Алымы $2a-(b-1)=2a-b+1$, бөлімі $2a(b-1)$.

Жауабы: 1) $\frac{xy}{2x+3y}$; 2) $\frac{2a-b+1}{2a(b-1)}$.

B деңгейі

№ 37.6

1) $\frac{5y-8}{11}$; 2) $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$; 3) $\frac{y-10}{y^2+3}$; 4) $\frac{32}{5y}-\frac{3y+1}{2y+7}$ өрнектеріндегі айнымалының мүмкін болатын мәндерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бөлімдерден «тыйым салынған» сандарды тауып, бүкіл сан түзуінен сызып тастаймыз.

Шешуі.

1. Бөлімі 11 — сан, шектеу жоқ.
2. $y^2-2y=y(y-2)=0$ болады, егер $y=0$ және $y=2$ болса.
3. $y^2+3\ge3$, нөл жоқ, шектеу жоқ.
4. $5y=0$ болса $y=0$; $2y+7=0$ болса $y=-3{,}5$.

Жауабы: 1) $(-\infty;+\infty)$; 2) $(-\infty;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty)$; 3) $(-\infty;+\infty)$; 4) $(-\infty;-\frac72)\cup(-\frac72;0)\cup(0;+\infty)$.

№ 37.7

1) $\frac4x-\frac{1}{2x-6}$; 2) $\frac{2x+3}{x(x+1)}+\frac{4}{3x}$; 3) $\frac{5y-7}{(y-3)(2y+5)}-\frac5y$ өрнектеріндегі айнымалының мүмкін болатын мәндерін көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Барлық бөлімдердің нөлдерін іздейміз. Бәрін бірден алып тастаймыз.

Шешуі.

1. $x=0$; $2x-6=0$, $x=3$.
2. $x(x+1)=0$: $x=0$, $x=-1$; $3x=0$: $x=0$. Барлығы $0$ және $-1$.
3. $y-3=0$: $y=3$; $2y+5=0$: $y=-2{,}5$; $y=0$.

Жауабы: 1) $(-\infty;0)\cup(0;3)\cup(3;+\infty)$; 2) $(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;+\infty)$; 3) $(-\infty;-2{,}5)\cup(-2{,}5;0)\cup(0;3)\cup(3;+\infty)$.

№ 37.8

$x$-тің: 1) $3$; 2) $4$; 3) $-2$; 4) $-1$ мен $2$; 5) $3$ пен $5$; 6) $-\frac23$ мен $7$ сандарынан басқа барлық мәндерінде мағынасы болатын $x$ айнымалысы бар бөлшекті жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Кері бағытта жүреміз. Бөлім $x=3$ болғанда нөлге айналу үшін $x-3$ көбейткішін аламыз. Екі сан керек болса, екі көбейткішті көбейтеміз. Алым кез келген, мысалы $1$.

Шешуі.

1. $\frac{1}{x-3}$.
2. $\frac{1}{x-4}$.
3. $\frac{1}{x+2}$.
4. $\frac{1}{(x+1)(x-2)}$.
5. $\frac{1}{(x-3)(x-5)}$.
6. $\frac{1}{(3x+2)(x-7)}$: $3x+2$ көбейткіші $x=-\frac23$ болғанда нөлге айналады.

Жауабы: мүмкін болатын бөлшектердің бірі: 1) $\frac1{x-3}$; 2) $\frac1{x-4}$; 3) $\frac1{x+2}$; 4) $\frac1{(x+1)(x-2)}$; 5) $\frac1{(x-3)(x-5)}$; 6) $\frac1{(3x+2)(x-7)}$. Кез келген басқа алым да жарайды, мысалы $5x$ немесе $7$.

C деңгейі

Бұл тапсырмалар ең қиын. Бірден шықпаса, ештеңе етпейді: басты нәрсе — сен байқап көруге бел будың!

№ 37.9

Арақашықтығы $s$ км $A$ және $B$ қалаларынан екі пойыз бір мезгілде бір-біріне қарама-қарсы бағытта жолға шықты. Біріншісі $v_1$ км/сағ жылдамдықпен, ал екіншісі $v_2$ км/сағ жылдамдықпен жүріп, олар $t$ сағ уақыттан кейін кездесті. $t$ айнымалысын $s$, $v_1$ және $v_2$ арқылы өрнектеңдер. Егер: 1) $s=350$, $v_1=55$, $v_2=45$; 2) $s=465$, $v_1=85$, $v_2=70$ екені белгілі болса, онда $t$ айнымалысын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Олар бір-біріне қарсы жүреді, яғни арасындағы қашықтық $v_1+v_2$ жылдамдықпен қысқарады. Уақыт — жолды жылдамдыққа бөлгенге тең.

Шешуі.

1. $t$ сағатта біріншісі $v_1t$, екіншісі $v_2t$ жол жүреді. Екеуі бірге бүкіл жолды жүріп өтеді: $v_1t+v_2t=s$, яғни $(v_1+v_2)t=s$.
2. $t=\frac{s}{v_1+v_2}$.
3. 1-тармақ: $t=\frac{350}{55+45}=\frac{350}{100}=3{,}5$ сағ.
4. 2-тармақ: $t=\frac{465}{85+70}=\frac{465}{155}=3$ сағ.

Жауабы: $t=\frac{s}{v_1+v_2}$; 1) $3{,}5$ сағ; 2) $3$ сағ.

№ 37.10

1) $x=0$; $x=0{,}5$; $x=2$; $x=4{,}6$; $x=3$ болғанда $\frac{3x}{x^3-3x^2}$ бөлшегінің мәні бар болса, онда ол неге тең? 2) $c=-2$; $c=4{,}5$; $c=6\frac14$; $c=\frac23$; $c=1{,}5$ болғанда $\frac{2c-3}{2c^3-3c^2}$ бөлшегінің мәні бар болса, онда ол неге тең?

Қалай ойлаймыз. Алдымен бөлімді көбейткіштерге жікте. Сонда бөлшектің қайда жоқ екені бірден көрінеді және қысқартуға болады.

Шешуі.

1. $x^3-3x^2=x^2(x-3)$, ол $x=0$ және $x=3$ болғанда нөлге тең. Қалғандары үшін $\frac{3x}{x^2(x-3)}=\frac{3}{x(x-3)}$.

• $x=0$ және $x=3$: бөлшек жоқ.
• $x=0{,}5$: $\frac{3}{0{,}5\cdot(-2{,}5)}=\frac{3}{-1{,}25}=-2{,}4$.
• $x=2$: $\frac{3}{2\cdot(-1)}=-1{,}5$.
• $x=4{,}6$: $\frac{3}{4{,}6\cdot1{,}6}=\frac{3}{7{,}36}=\frac{75}{184}$.

2. Бөлшек $c\ne0$ және $c\ne1{,}5$ болғанда $\frac{1}{c^2}$-қа тең.

• $c=-2$: $\frac14$.
• $c=4{,}5$: $\frac{1}{20{,}25}=\frac{4}{81}$.
• $c=6\frac14=\frac{25}{4}$: $\frac{16}{625}$.
• $c=\frac23$: $\frac94=2\frac14$.
• $c=1{,}5$: бөлім $2\cdot3{,}375-3\cdot2{,}25=0$, бөлшек жоқ.

Жауабы: 1) $0$ және $3$ болғанда жоқ; $-2{,}4$; $-1{,}5$; $\frac{75}{184}$. 2) $\frac14$; $\frac4{81}$; $\frac{16}{625}$; $2\frac14$; $1{,}5$ болғанда жоқ.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 37.11

$\frac{x-4y}{y}=12$ болса, 1) $\frac xy$; 2) $\frac yx$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бөлшекті алымы бойынша екі бөлікке бөлеміз: сонда $\frac xy$ өзі шығады.

Шешуі.

1. $\frac{x-4y}{y}=\frac xy-4=12$.
2. Демек, $\frac xy=16$.
3. $\frac yx$ — аударылған бөлшек: $\frac{1}{16}$.

Жауабы: 1) $16$; 2) $\frac1{16}$.

№ 37.12

Ақиқат теңдіктерді көрсетіңдер: 1) $\frac{65}{85}=\frac{13}{17}$; 2) $\frac{46}{79}=\frac{138}{237}$.

Қалай ойлаймыз. Бір бөлшектің алымы мен бөлімін екіншісінен бір санға көбейту (немесе бөлу) арқылы алса, бөлшектер тең.

Шешуі.

1. $65:5=13$, $85:5=17$. Теңдік дұрыс.
2. $46\cdot3=138$, $79\cdot3=237$. Теңдік дұрыс.

Жауабы: екі теңдік те ақиқат.

Жадынама

• Бүтін өрнектің мағынасы айнымалылардың кез келген мәнінде болады.
• Бөлім нөлге тең болғанда бөлшектің мағынасы болмайды.
• Алым нөлге тең болуы мүмкін: сонда бөлшек нөлге тең.
• Бірнеше бөлім болса — әрқайсысының нөлдерін алып тастаймыз.

Шағын тест