§ 41. Алгебралық өрнектерді тепе-тең түрлендіру

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 6 бөлім: Алгебралық бөлшектер. 247–253-беттер.

Нені үйренесің

• Бөлшектері, жақшалары және дәрежелері бар өрнектегі амалдардың ретін анықтауды.
• Кез келген бөлшек-рационал өрнекті бір қысқармайтын бөлшекке келтіруді.
• Тепе-теңдікті төрт түрлі тәсілмен дәлелдеуді және ең ыңғайлысын таңдауды.
• Өрнектің мәні айнымалыларға тәуелді болмайтынын көрсетуді.
• Ықшамдалған өрнекке сандарды қойып, есептеуде адаспауды.

Ой қозғау

Мұнда алдыңғы параграфтардан керегінің бәрін қайталаймыз.

• $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ қалай қосылады? Ортақ бөлімге келтіреміз: $\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}=\frac{a+b}{ab}$.
• Бөлшекті бөлшекке қалай бөледі? Бөлінгішті қалдырамыз, бөлгішті аударып, көбейтеміз.
• $x^2-16$ және $y^2+6y+9$ өрнектерін қалай жіктейміз? $x^2-16=(x-4)(x+4)$ және $y^2+6y+9=(y+3)^2$.
• Тепе-теңдік деген не? Әріптердің барлық мүмкін мәндерінде орындалатын теңдік. Мысалы, $a(b+c)=ab+ac$.
• $\frac{x-5}{5-x}$ неге тең? Ол $-1$, өйткені $5-x=-(x-5)$.

Тақырыпты талдаймыз

Қай амал бірінші?

Тәртіп сандардағыдай: алдымен жақшалар, содан кейін дәреже, сосын көбейту мен бөлу, сосын қосу мен азайту. Адаспау үшін өрнектегі ең соңғы орындалатын басты амалды сыз: бүкіл жауаптың түрі соған байланысты.

$x+3-\dfrac{x^2-1}{x^2+2x+1}\cdot\dfrac{x+1}{x}$ өрнегін алайық. Көбейту азайтудан бұрын тұр, демек, алдымен екі бөлшектің көбейтіндісін есептеп, содан кейін оны $x+3$ екімүшесінен азайтамыз.

⚠️ Жиі кететін қате. Алымы екі мүшеден тұратын бөлшекті азайтқанда жақшаларды ұмытады: $x(x+3)-(x-1)$ дегеніміз $x^2+3x-x-1$ емес. Минус жақшадағы әр мүшенің таңбасын өзгертеді, сонда $-x+1$ шығады.

Тепе-теңдікті қалай дәлелдейміз

Тепе-теңдікті төрт тәсілмен дәлелдеуге болады. Ең ыңғайлысын таңда.

1. Сол жағын оң жағы шыққанша түрлендір.
2. Оң жағын сол жағы шыққанша түрлендір.
3. Екі жағын да түрлендіріп, бірдей өрнек ал.
4. Сол жағы мен оң жағының айырмасын тауып, нөлге келтір.

$\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{2}{x+2}=1+\dfrac{8}{x^2-4}$ екенін дәлелдейік (үшінші тәсіл).

💡 Егер бір жағындағы өрнек зор, ал екіншісі қысқа болса, үлкенін ықшамда: мақсат әдетте қысқасынан көрініп тұрады.

Кез келген өрнекті бір бөлшекке келтіруге болады

Қосу, азайту, көбейту, бөлу және дәреже бар кез келген бөлшек-рационал өрнекті бір рационал бөлшек түрінде жазуға болады: оның алымы мен бөлімі көпмүшелер. Содан кейін оны көбейткіштерге жіктеп, қысқартқан ыңғайлы. Ықшамдағаннан кейін әріптер жоғалса, өрнектің мәні айнымалыларға тәуелді емес деген сөз. Ал бөлімсіз көпмүше қалса, өрнектің бастапқыдан басқа «тыйым салынған» мәндері мүлде жоқ.

📌 Мүмкін мәндер бастапқы өрнек бойынша анықталады, ықшамдалған өрнек бойынша емес. Егер басында бөлімде $a-1$ тұрса, қысқартқаннан кейін бұл көбейткіш жоғалса да, $a=1$ мәніне тыйым салынады.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан қазір қандай амал істеп жатқанын және не үшін екенін дауыстап айтқызыңыз. Шатасса, әр қадамды жаңа жолға жазсын: ұзын тізбекті бір жолда тексеру мүмкін емес.

Өзіңді тексер

• Кез келген бөлшек-рационал өрнекті рационал бөлшек түрінде көрсетуге бола ма? Иә. Ретімен әрекет етсек, әр жолы бөлшек шығады: бөлшектерді қосамыз, көбейтеміз, бөлеміз және тағы бөлшек аламыз. Рас, соңында кейде бөлшек емес, көпмүше немесе сан шығады, бұл да бөлшектің дербес жағдайы (бөлімі 1-ге тең).
• Кез келген тепе-теңдікті белгілі тәсілдердің кез келгенімен дәлелдеген ыңғайлы ма? Жоқ. Бір тәсіл қысқа болуы мүмкін, екіншісі өте ұзақ. Алдымен қай жағы қарапайым екенін қарап, тәсілді соған қарай таңда.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 41.1

Амалдарды орындаңдар: 1) $\left(\frac{2a}{y^2}-\frac{2}{a}\right):\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{a}\right)$; 2) $\left(\frac{n}{m^2}+\frac{n^2}{m^3}\right):\left(\frac{m^2}{3n^2}+\frac{m}{3n}\right)$; 3) $\frac{ab+b^2}{5}:\frac{b^3}{5a}+\frac{a+b}{b}$; 4) $\frac{x-y}{x}-\frac{5y}{x^2}\cdot\frac{x^2-xy}{5y}$; 5) $\left(\frac{x}{x+1}+1\right)\cdot\frac{1+x}{2x-1}$; 6) $\left(\frac{4a}{2-a}-a\right):\frac{a+2}{a-2}$; 7) $\frac{5y^2}{1-y^2}:\left(1-\frac{1}{1-y}\right)$; 8) $\frac{xb+b^2}{7}:\frac{b^2}{7x}+\frac{x+b}{b}$; 9) $\frac{x-4}{x-5}\cdot\left(x+\frac{x}{4-x}\right)$; 10) $\left(\frac{a-b}{2a+2b}\right):\left(\frac{2}{a}-\frac{2}{b}\right)\cdot\left(\frac{4a+4b}{a^2b}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жақшалар (бөлшектерді қосу және азайту), сосын бөлу мен көбейту, соңында қосу немесе азайту.

Шешуі.

1. $\frac{2a}{y^2}-\frac{2}{a}=\frac{2a^2-2y^2}{ay^2}=\frac{2(a-y)(a+y)}{ay^2}$ және $\frac{1}{y}+\frac{1}{a}=\frac{a+y}{ay}$. Бөлеміз: $\frac{2(a-y)(a+y)}{ay^2}\cdot\frac{ay}{a+y}=\frac{2(a-y)}{y}$.
2. $\frac{n}{m^2}+\frac{n^2}{m^3}=\frac{nm+n^2}{m^3}=\frac{n(m+n)}{m^3}$ және $\frac{m^2}{3n^2}+\frac{m}{3n}=\frac{m^2+mn}{3n^2}=\frac{m(m+n)}{3n^2}$. Бөлеміз: $\frac{n(m+n)}{m^3}\cdot\frac{3n^2}{m(m+n)}=\frac{3n^3}{m^4}$.
3. Бөлу: $\frac{b(a+b)}{5}\cdot\frac{5a}{b^3}=\frac{a(a+b)}{b^2}$. $\frac{a+b}{b}=\frac{b(a+b)}{b^2}$-ді қосамыз: $\frac{(a+b)(a+b)}{b^2}=\frac{(a+b)^2}{b^2}$.
4. Көбейтінді: $\frac{5y}{x^2}\cdot\frac{x(x-y)}{5y}=\frac{x-y}{x}$. Сонда $\frac{x-y}{x}-\frac{x-y}{x}=0$.
5. $\frac{x}{x+1}+1=\frac{2x+1}{x+1}$. Көбейтеміз: $\frac{2x+1}{x+1}\cdot\frac{x+1}{2x-1}=\frac{2x+1}{2x-1}$.
6. $\frac{4a}{2-a}-a=\frac{4a-2a+a^2}{2-a}=\frac{a(a+2)}{2-a}$. Бөлеміз: $\frac{a(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2}=-a$, өйткені $\frac{a-2}{2-a}=-1$.
7. $1-\frac{1}{1-y}=\frac{1-y-1}{1-y}=\frac{-y}{1-y}$. Бөлеміз: $\frac{5y^2}{(1-y)(1+y)}\cdot\frac{1-y}{-y}=-\frac{5y}{1+y}$.
8. $\frac{b(x+b)}{7}\cdot\frac{7x}{b^2}=\frac{x(x+b)}{b}$. $\frac{x+b}{b}$-ны қосамыз: $\frac{(x+b)(x+1)}{b}$.
9. $x+\frac{x}{4-x}=\frac{x(4-x)+x}{4-x}=\frac{x(5-x)}{4-x}$. $\frac{x-4}{x-5}$-ке көбейтеміз: $\frac{x(5-x)(x-4)}{(4-x)(x-5)}=x$. Екі көбейткіштің таңбасы ауысты, минустар қысқарды.
10. $\frac{2}{a}-\frac{2}{b}=\frac{2(b-a)}{ab}$. Бөлеміз: $\frac{a-b}{2(a+b)}\cdot\frac{ab}{2(b-a)}=-\frac{ab}{4(a+b)}$. $\frac{4(a+b)}{a^2b}$-ге көбейтеміз: $-\frac{1}{a}$.

Жауабы: 1) $\frac{2(a-y)}{y}$; 2) $\frac{3n^3}{m^4}$; 3) $\frac{(a+b)^2}{b^2}$; 4) $0$; 5) $\frac{2x+1}{2x-1}$; 6) $-a$; 7) $-\frac{5y}{y+1}$; 8) $\frac{(x+b)(x+1)}{b}$; 9) $x$; 10) $-\frac{1}{a}$.

№ 41.2

Амалдарды орындаңдар: 1) $\left(\frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}\right):\frac{16m}{10m-5}$; 2) $\frac{y+3}{y^2+9}\cdot\left(\frac{y+3}{y-3}+\frac{y-3}{y+3}\right)$.

Шешуі.

1. Жақшадағы айырма: $\frac{(2m+1)^2-(2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)}=\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}$. $\frac{16m}{5(2m-1)}$-ге бөлеміз: $\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}\cdot\frac{5(2m-1)}{16m}=\frac{5}{2(2m+1)}$.
2. Жақшадағы қосынды: $\frac{(y+3)^2+(y-3)^2}{(y-3)(y+3)}=\frac{2y^2+18}{(y-3)(y+3)}=\frac{2(y^2+9)}{(y-3)(y+3)}$. Көбейтеміз: $\frac{y+3}{y^2+9}\cdot\frac{2(y^2+9)}{(y-3)(y+3)}=\frac{2}{y-3}$.

Жауабы: 1) $\frac{5}{2(2m+1)}$; 2) $\frac{2}{y-3}$.

№ 41.3

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $\frac{n^2-9}{2n^2+1}\cdot\left(\frac{6n+1}{n-3}+\frac{6n-1}{n+3}\right)$; 2) $\left(\frac{6x+y}{x-6y}+\frac{6x-y}{x+6y}\right):\frac{x^2+y^2}{x^2-36y^2}$.

Қалай ойлаймыз. Екі жағдайда да қосқаннан кейінгі жақша көрші бөлшекпен әдемі «достасуы» керек.

Шешуі.

1. Қосынды: $\frac{(6n+1)(n+3)+(6n-1)(n-3)}{(n-3)(n+3)}$. Алымы: $6n^2+19n+3+6n^2-19n+3=12n^2+6=6(2n^2+1)$. Сонда $\frac{n^2-9}{2n^2+1}\cdot\frac{6(2n^2+1)}{n^2-9}=6$.
2. Қосынды: $\frac{(6x+y)(x+6y)+(6x-y)(x-6y)}{x^2-36y^2}$. Алымы: $6x^2+37xy+6y^2+6x^2-37xy+6y^2=12x^2+12y^2$. Бөлеміз: $\frac{12(x^2+y^2)}{x^2-36y^2}\cdot\frac{x^2-36y^2}{x^2+y^2}=12$.

Жауабы: 1) $6$; 2) $12$.

№ 41.4

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $\left(\frac{x}{xy-y^2}-\frac{y}{x^2-xy}\right):\frac{x^2-y^2}{5xy}$; 2) $\left(\frac{4p-8}{p^3-2p^2}-\frac{q+2}{q^3+2q^2}\right)\cdot\frac{p}{2q-p}$; 3) $\left(\frac{a}{b^2-ab}+\frac{b}{a^2-ab}\right)\cdot\frac{3ab}{b-a}$; 4) $\left(\frac{a-7b}{ab-b^2}+\frac{7a+b}{a^2-ab}\right):\frac{a^2+b^2}{a-b}$.

Шешуі.

1. $xy-y^2=y(x-y)$ және $x^2-xy=x(x-y)$. Айырма: $\frac{x^2-y^2}{xy(x-y)}=\frac{x+y}{xy}$. $\frac{(x-y)(x+y)}{5xy}$-ге бөлеміз: $\frac{x+y}{xy}\cdot\frac{5xy}{(x-y)(x+y)}=\frac{5}{x-y}$.
2. $\frac{4(p-2)}{p^2(p-2)}=\frac{4}{p^2}$ және $\frac{q+2}{q^2(q+2)}=\frac{1}{q^2}$. Айырма: $\frac{4q^2-p^2}{p^2q^2}=\frac{(2q-p)(2q+p)}{p^2q^2}$. $\frac{p}{2q-p}$-ға көбейтеміз: $\frac{2q+p}{pq^2}$.
3. $b^2-ab=b(b-a)$, $a^2-ab=a(a-b)=-a(b-a)$. Қосынды: $\frac{a}{b(b-a)}-\frac{b}{a(b-a)}=\frac{a^2-b^2}{ab(b-a)}$. $\frac{3ab}{b-a}$-ға көбейтеміз: $\frac{3(a^2-b^2)}{(b-a)^2}=\frac{3(a-b)(a+b)}{(a-b)^2}=\frac{3(a+b)}{a-b}$.
4. $ab-b^2=b(a-b)$, $a^2-ab=a(a-b)$. Қосынды: $\frac{a(a-7b)+b(7a+b)}{ab(a-b)}=\frac{a^2+b^2}{ab(a-b)}$. $\frac{a^2+b^2}{a-b}$-ға бөлеміз: $\frac{1}{ab}$.

Жауабы: 1) $\frac{5}{x-y}$; 2) $\frac{2q+p}{pq^2}$; 3) $\frac{3(a+b)}{a-b}$; 4) $\frac{1}{ab}$.

№ 41.5

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $\frac{a^2-25}{a+3}\cdot\frac{1}{a^2+5a}-\frac{a+5}{a^2-3a}$, мұндағы 1) $a=2$; 2) $a=-4$; 2) $\frac{1-2x}{2x+1}+\frac{x^2+3x}{4x^2-1}:\frac{3+x}{4x+2}$, мұндағы 1) $x=-1$; 2) $x=-2{,}5$.

Қалай ойлаймыз. Өрнекте әріптер тұрғанда, оны ықшамдап алу керек, содан кейін ғана сандарды қоямыз.

Шешуі.

1. Көбейтінді: $\frac{(a-5)(a+5)}{(a+3)\cdot a(a+5)}=\frac{a-5}{a(a+3)}$. $\frac{a+5}{a(a-3)}$-ті азайтамыз. Ортақ бөлім $a(a+3)(a-3)$, алымы $(a-5)(a-3)-(a+5)(a+3)=a^2-8a+15-a^2-8a-15=-16a$. Барлығы $\frac{-16a}{a(a^2-9)}=-\frac{16}{a^2-9}$. $a=2$ болғанда: $-\frac{16}{4-9}=\frac{16}{5}=3{,}2$. $a=-4$ болғанда: $-\frac{16}{16-9}=-\frac{16}{7}=-2\frac{2}{7}$.
2. Бөлу: $\frac{x(x+3)}{(2x-1)(2x+1)}\cdot\frac{2(2x+1)}{x+3}=\frac{2x}{2x-1}$. Қосамыз: $\frac{1-2x}{2x+1}+\frac{2x}{2x-1}=\frac{-(2x-1)^2+2x(2x+1)}{(2x+1)(2x-1)}=\frac{6x-1}{(2x+1)(2x-1)}$. $x=-1$ болғанда: $\frac{-7}{(-1)(-3)}=-\frac{7}{3}=-2\frac{1}{3}$. $x=-2{,}5$ болғанда: $\frac{-16}{(-4)(-6)}=-\frac{2}{3}$.

Жауабы: 1) $3{,}2$ және $-2\frac{2}{7}$; 2) $-2\frac{1}{3}$ және $-\frac{2}{3}$.

№ 41.6

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $\frac{n-c}{a+n}-\frac{an-n^2}{a^2-ac}\cdot\frac{a^2-c^2}{a^2-n^2}+10{,}5n$, мұндағы $a=2$, $n=-1$, $c=3$; 2) $\frac{n^2-4}{x^2-9}:\frac{n^2-2n}{xy+3y}+\frac{2-y}{x-3}$, мұндағы $n=3$, $x=-4$, $y=-5$.

Шешуі.

1. Көбейтінді: $\frac{n(a-n)}{a(a-c)}\cdot\frac{(a-c)(a+c)}{(a-n)(a+n)}=\frac{n(a+c)}{a(a+n)}$. Айырма: $\frac{n-c}{a+n}-\frac{n(a+c)}{a(a+n)}=\frac{a(n-c)-n(a+c)}{a(a+n)}=\frac{-c(a+n)}{a(a+n)}=-\frac{c}{a}$. Қалатыны: $-\frac{c}{a}+10{,}5n$. $a=2$, $n=-1$, $c=3$ болғанда: $-1{,}5-10{,}5=-12$.
2. Бөлу: $\frac{(n-2)(n+2)}{(x-3)(x+3)}\cdot\frac{y(x+3)}{n(n-2)}=\frac{y(n+2)}{n(x-3)}$. Қосынды: $\frac{y(n+2)+n(2-y)}{n(x-3)}=\frac{2y+2n}{n(x-3)}$. $n=3$, $x=-4$, $y=-5$ болғанда: $\frac{2\cdot(-2)}{3\cdot(-7)}=\frac{4}{21}$.

Жауабы: 1) $-12$; 2) $\frac{4}{21}$.

№ 41.7

Амалдарды орындаңдар: 1) $\left(2a+1-\frac{1}{1-2a}\right):\left(2a-\frac{4a^2}{2a-1}\right)$; 2) $(y+1)^2\cdot\left(\frac{1}{y+1}+\frac{1}{y^2-1}-\frac{1}{y-1}\right)$; 3) $1-\left(\frac{2}{c-2}-\frac{2}{c+2}\right)\cdot\left(c-\frac{3c+2}{4}\right)$; 4) $1+\left(1-\frac{9x^2+4}{12x}\right):\left(\frac{1}{3x}-\frac{1}{2}\right)$.

Шешуі.

1. Жоғарыдағы қадамдарды қара: $-2a$.
2. Қосындыны $y^2-1$ бөліміне келтіреміз: $\frac{(y-1)+1-(y+1)}{y^2-1}=\frac{-1}{y^2-1}$. $(y+1)^2$-қа көбейтеміз: $-\frac{(y+1)^2}{(y-1)(y+1)}=-\frac{y+1}{y-1}=\frac{y+1}{1-y}$.
3. $\frac{2}{c-2}-\frac{2}{c+2}=\frac{2(c+2)-2(c-2)}{c^2-4}=\frac{8}{c^2-4}$. Екінші жақша: $c-\frac{3c+2}{4}=\frac{4c-3c-2}{4}=\frac{c-2}{4}$. Көбейтінді: $\frac{8(c-2)}{4(c-2)(c+2)}=\frac{2}{c+2}$. Азайтамыз: $1-\frac{2}{c+2}=\frac{c}{c+2}$.
4. $1-\frac{9x^2+4}{12x}=\frac{12x-9x^2-4}{12x}=-\frac{(3x-2)^2}{12x}$ және $\frac{1}{3x}-\frac{1}{2}=\frac{2-3x}{6x}=-\frac{3x-2}{6x}$. Бөлеміз: $\frac{(3x-2)^2}{12x}\cdot\frac{6x}{3x-2}=\frac{3x-2}{2}$. 1-ді қосамыз: $\frac{3x-2+2}{2}=\frac{3x}{2}=1{,}5x$.

Жауабы: 1) $-2a$; 2) $\frac{y+1}{1-y}$; 3) $\frac{c}{c+2}$; 4) $1{,}5x$.

№ 41.8

Пропорцияның белгісіз мүшесін табыңдар: 1) $(a^2-4):(2a-4)=x:(a+2)$; 2) $(a^2-1)^2:x=(a^2-1):(a^3+1)$.

Қалай ойлаймыз. Пропорцияда шеткі мүшелерінің көбейтіндісі ортаңғы мүшелерінің көбейтіндісіне тең. Немесе оны бөлшек етіп жазып, белгісіз мүшені табуға болады.

Шешуі.

1. $x=\frac{(a^2-4)(a+2)}{2a-4}=\frac{(a-2)(a+2)(a+2)}{2(a-2)}=\frac{(a+2)^2}{2}$.
2. $x=\frac{(a^2-1)^2(a^3+1)}{a^2-1}=(a^2-1)(a^3+1)$. Осылай қалдыруға болады.

Жауабы: 1) $x=\frac{(a+2)^2}{2}$; 2) $x=(a^2-1)(a^3+1)$.

№ 41.9

Теңдіктің ақиқаттығын дәлелдеңдер: 1) $\frac{x^3}{x^2-4}+\frac{x}{x+2}-x=\frac{x}{x-2}$; 2) $\frac{5a^2-10}{a^4+2a^3-a^2-4a-2}-\frac{6}{(a+1)^2}=-\frac{1}{(a+1)^2}$.

Шешуі.

1. Сол жағын түрлендіреміз. Ортақ бөлім $x^2-4$: $\frac{x^3+x(x-2)-x(x^2-4)}{x^2-4}=\frac{x^3+x^2-2x-x^3+4x}{x^2-4}=\frac{x^2+2x}{x^2-4}=\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x}{x-2}$. Оң жағымен сәйкес келді.
2. Бірінші бөлшектің бөлімін жіктейміз: $a^4+2a^3-a^2-4a-2=(a^2+2a+1)(a^2-2)=(a+1)^2(a^2-2)$. Жақшаларды ашып тексерейік: $a^4+2a^3+a^2-2a^2-4a-2$, бұл дұрыс. Алымы: $5a^2-10=5(a^2-2)$. Бірінші бөлшек $\frac{5}{(a+1)^2}$-қа тең. Сонда $\frac{5}{(a+1)^2}-\frac{6}{(a+1)^2}=-\frac{1}{(a+1)^2}$.

Жауабы: 1) дұрыс; 2) дұрыс.

№ 41.10

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(c^2-9)\cdot x=2c+6$; 2) $\frac{x}{(c+2)^2}=\frac{3}{c^2-4}$; 3) $\frac{4x}{(c+1)^2}=\frac{3c}{c^2-1}$; 4) $\frac{x-3}{(c-4)^2}=\frac{2{,}4}{16-c^2}$.

Қалай ойлаймыз. Мұндағы $c$ — «параметр»: белгілі сан, ал ізделетіні — $x$. $x$-ті $c$ арқылы өрнектейміз және бөлімдердің нөлге айналмауын қадағалаймыз.

Шешуі.

1. Екі жағын да $c^2-9=(c-3)(c+3)$-ке бөлеміз ($c\ne\pm3$ болғанда): $x=\frac{2(c+3)}{(c-3)(c+3)}=\frac{2}{c-3}$.
2. $(c+2)^2$-қа көбейтеміз: $x=\frac{3(c+2)^2}{(c-2)(c+2)}=\frac{3(c+2)}{c-2}$.
3. $\frac{(c+1)^2}{4}$-ке көбейтеміз: $x=\frac{3c(c+1)^2}{4(c-1)(c+1)}=\frac{3c(c+1)}{4(c-1)}$.
4. $(c-4)^2$-қа көбейтеміз: $x-3=\frac{2{,}4(c-4)^2}{-(c-4)(c+4)}=-\frac{2{,}4(c-4)}{c+4}$. Сонда $x=3-\frac{2{,}4(c-4)}{c+4}=\frac{3c+12-2{,}4c+9{,}6}{c+4}=\frac{0{,}6c+21{,}6}{c+4}=\frac{3(c+36)}{5(c+4)}$.

Жауабы: 1) $x=\frac{2}{c-3}$; 2) $x=\frac{3(c+2)}{c-2}$; 3) $x=\frac{3c(c+1)}{4(c-1)}$; 4) $x=\frac{3(c+36)}{5(c+4)}$.

№ 41.11

Өрнегін ықшамдаңдар: 1) $\frac{3x^2}{5y^3}:\frac{9x^3}{2y^2}\cdot\frac{5y}{3(x-1)}$; 2) $\frac{5a(b-1)}{3^2d}:\frac{5cd^2}{9ab}:\frac{a^2(b-1)}{c^3d}$; 3) $\frac{7p^4}{10q^3}\cdot\frac{5q^2(p+1)}{14p^2}:\frac{3p}{4q^4}$; 4) $\frac{8x^2y^3}{7ab^2}:\frac{14xy^2}{7a^2b}:\frac{2x^2(y+2)}{ab}$.

Қалай ойлаймыз. Тек көбейту мен бөлу бар: бәрін көбейтіндіге айналдырып, бір бөлшек етіп жазамыз.

Шешуі.

1. $\frac{3x^2}{5y^3}\cdot\frac{2y^2}{9x^3}\cdot\frac{5y}{3(x-1)}=\frac{30x^2y^3}{135x^3y^3(x-1)}=\frac{2}{9x(x-1)}$.
2. $\frac{5a(b-1)}{9d}\cdot\frac{9ab}{5cd^2}\cdot\frac{c^3d}{a^2(b-1)}=\frac{45a^2bc^3d(b-1)}{45a^2cd^3(b-1)}=\frac{bc^2}{d^2}$.
3. $\frac{7p^4}{10q^3}\cdot\frac{5q^2(p+1)}{14p^2}\cdot\frac{4q^4}{3p}=\frac{140p^4q^6(p+1)}{420p^3q^3}=\frac{pq^3(p+1)}{3}$.
4. $\frac{8x^2y^3}{7ab^2}\cdot\frac{7a^2b}{14xy^2}\cdot\frac{ab}{2x^2(y+2)}=\frac{56a^3b^2x^2y^3}{196ab^2x^3y^2(y+2)}=\frac{2a^2y}{7x(y+2)}$.

Жауабы: 1) $\frac{2}{9x(x-1)}$; 2) $\frac{bc^2}{d^2}$; 3) $\frac{pq^3(p+1)}{3}$; 4) $\frac{2a^2y}{7x(y+2)}$.

№ 41.12

Егер $x=\frac{3n}{n+2}$ болса, онда берілген өрнекті ықшамдаңдар: 1) $\frac{x-3}{2x+n}$; 2) $\frac{2x-4n}{x+2n}+\frac{1}{x}$; 3) $\frac{3x-3}{(2+n)x+n}-\frac{x-3}{2x-3n}$.

Қалай ойлаймыз. $x=\frac{3n}{n+2}$ мәнін қойып, тек $n$-мен жұмыс істейміз.

Шешуі.

1. $x-3=\frac{3n-3(n+2)}{n+2}=\frac{-6}{n+2}$. $2x+n=\frac{6n+n(n+2)}{n+2}=\frac{n(n+8)}{n+2}$. Бөлеміз: $\frac{-6}{n(n+8)}=-\frac{6}{n^2+8n}$.
2. $2x-4n=\frac{6n-4n(n+2)}{n+2}=\frac{-2n(2n+1)}{n+2}$ және $x+2n=\frac{3n+2n(n+2)}{n+2}=\frac{n(2n+7)}{n+2}$. Бөлшек: $-\frac{2(2n+1)}{2n+7}$. Қосамыз $\frac{1}{x}=\frac{n+2}{3n}$. Ортақ бөлім $3n(2n+7)$: $\frac{-6n(2n+1)+(n+2)(2n+7)}{3n(2n+7)}=\frac{-10n^2+5n+14}{3n(2n+7)}$.
3. $3x-3=\frac{9n-3(n+2)}{n+2}=\frac{6n-6}{n+2}$. $(2+n)x+n=3n+n=4n$. Бірінші бөлшек: $\frac{6(n-1)}{4n(n+2)}=\frac{3(n-1)}{2n(n+2)}$. Әрі қарай $2x-3n=\frac{6n-3n(n+2)}{n+2}=\frac{-3n^2}{n+2}$, ал $x-3=\frac{-6}{n+2}$: екінші бөлшек $\frac{-6}{-3n^2}=\frac{2}{n^2}$. Айырма: $\frac{3(n-1)}{2n(n+2)}-\frac{2}{n^2}=\frac{3n(n-1)-4(n+2)}{2n^2(n+2)}=\frac{3n^2-7n-8}{2n^2(n+2)}$.

Жауабы: 1) $-\frac{6}{n^2+8n}$; 2) $\frac{-10n^2+5n+14}{3n(2n+7)}$; 3) $\frac{3n^2-7n-8}{2n^2(n+2)}$.

№ 41.13

$a=3$, $b=-4$ болғандағы $\left(a-\frac{4ab}{a+b}+b\right):(a-b)$ және $\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b-a}=\frac{2ab}{a^2-b^2}$ өрнектерінің мәндерін салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Екі өрнекті де ықшамдап, содан кейін сандарды қоямыз.

Шешуі.

1. Біріншісі: $a+b-\frac{4ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{a+b}=\frac{(a-b)^2}{a+b}$. $(a-b)$-ға бөлеміз: $\frac{a-b}{a+b}$. $a=3$, $b=-4$ болғанда: $\frac{7}{-1}=-7$.
2. Екіншісі: $\frac{b}{b-a}=-\frac{b}{a-b}$, сондықтан $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a-b}-\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{a(a-b)+b(a+b)-2ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{a^2-2ab+b^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{a-b}{a+b}$. Сол сандармен: $-7$.

Мәндері тең: екі өрнек те $\frac{a-b}{a+b}$-ға тепе-тең, және екеуі де $-7$ береді.

📕 Қазақша оқулықта екінші өрнекте екінші және үшінші бөлшектің арасында «=» таңбасы басылған. Тапсырманың мағынасы бойынша (екі өрнекті салыстыру) бұл минус болуы керек, сондықтан $\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b-a}-\frac{2ab}{a^2-b^2}$ деп оқыдық.

Жауабы: мәндері тең, әрқайсысы $-7$.

№ 41.14

Теңдіктің ақиқаттығын дәлелдеңдер: 1) $\frac{a^2-25}{a+3}\cdot\frac{1}{a^2+5a}-\frac{a+5}{a^2-3a}=\frac{16}{9-a^2}$; 2) $\frac{b-c}{a+b}-\frac{ab-b^2}{a^2-ac}\cdot\frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}=-\frac{c}{a}$.

Шешуі.

1. № 41.5(1) бойынша сол жағы $-\frac{16}{a^2-9}=\frac{16}{9-a^2}$-ға тең. Сәйкес келді.
2. $\frac{b(a-b)}{a(a-c)}\cdot\frac{(a-c)(a+c)}{(a-b)(a+b)}=\frac{b(a+c)}{a(a+b)}$. Сонда $\frac{b-c}{a+b}-\frac{b(a+c)}{a(a+b)}=\frac{a(b-c)-b(a+c)}{a(a+b)}=\frac{-ac-bc}{a(a+b)}=-\frac{c(a+b)}{a(a+b)}=-\frac{c}{a}$.

Жауабы: 1) дұрыс; 2) дұрыс.

№ 41.15

Берілген өрнектердің мәні айнымалының мүмкін мәндеріне тәуелді болмайтынын тексеріңдер: 1) $\frac{(x-2)^2}{3x^4}\cdot\frac{4x^3}{x-2}\cdot\frac{-x}{2-x}$; 2) $\frac{(3x+2)^3}{x-3}:\frac{3x+2}{(x-3)^2}\cdot\frac{5}{(x-3)(3x+2)^2}$.

Шешуі.

1. $\frac{(x-2)^2}{3x^4}\cdot\frac{4x^3}{x-2}=\frac{4(x-2)}{3x}$. $\frac{-x}{2-x}$-ке көбейтеміз: $\frac{-x}{2-x}=\frac{x}{x-2}$, сондықтан $\frac{4(x-2)}{3x}\cdot\frac{x}{x-2}=\frac{4}{3}$.
2. Бөлу: $\frac{(3x+2)^3}{x-3}\cdot\frac{(x-3)^2}{3x+2}=(3x+2)^2(x-3)$. $\frac{5}{(x-3)(3x+2)^2}$-ге көбейтеміз: $5$ шығады.

Екі жағдайда да сан шықты: $\frac{4}{3}$ және $5$.

Жауабы: 1) $\frac{4}{3}$; 2) $5$.

№ 41.16

Теңдіктің ақиқаттығын дәлелдеңдер: 1) $\frac{2x-q}{xq}-\frac{1}{x+q}\cdot\left(\frac{x}{q}-\frac{q}{x}\right)=\frac{1}{q}$; 2) $\frac{1{,}2a^2-ac}{0{,}36a^2-0{,}25c^2}=\frac{20a}{6a+5c}$.

Шешуі.

1. $\frac{x}{q}-\frac{q}{x}=\frac{x^2-q^2}{xq}$. Көбейтеміз: $\frac{1}{x+q}\cdot\frac{(x-q)(x+q)}{xq}=\frac{x-q}{xq}$. Сонда $\frac{2x-q}{xq}-\frac{x-q}{xq}=\frac{x}{xq}=\frac{1}{q}$.
2. Алымы: $a(1{,}2a-c)$. Бөлімі: $(0{,}6a-0{,}5c)(0{,}6a+0{,}5c)$. Бірақ $1{,}2a-c=2(0{,}6a-0{,}5c)$. Қысқартамыз: $\frac{2a}{0{,}6a+0{,}5c}$. Алымы мен бөлімін 10-ға көбейтеміз: $\frac{20a}{6a+5c}$.

Жауабы: 1) дұрыс; 2) дұрыс.

B деңгейі

№ 41.17

Амалдарды орындаңдар: 1) $(a^2-1)\cdot\left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+1}+1\right)$; 2) $\left(\frac{1}{y}+\frac{2}{x-y}\right)\cdot\left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)$; 3) $\left(x+1-\frac{1}{1-x}\right):\left(x-\frac{x^2}{x-1}\right)$; 4) $\left(a+b-\frac{2ab}{a+b}\right):\left(\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}\right)$.

Шешуі.

1. $\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+1}=\frac{2}{a^2-1}$. 1-ді қосамыз: $\frac{a^2+1}{a^2-1}$. $(a^2-1)$-ге көбейтеміз: $a^2+1$.
2. $\frac{1}{y}+\frac{2}{x-y}=\frac{x-y+2y}{y(x-y)}=\frac{x+y}{y(x-y)}$. Екінші жақша: $\frac{x^2+xy-x^2-y^2}{x+y}=\frac{y(x-y)}{x+y}$. Көбейтінді: $1$.
3. $x+1-\frac{1}{1-x}=\frac{(x+1)(1-x)-1}{1-x}=\frac{-x^2}{1-x}=\frac{x^2}{x-1}$. $x-\frac{x^2}{x-1}=\frac{x^2-x-x^2}{x-1}=\frac{-x}{x-1}$. Бөлеміз: $\frac{x^2}{x-1}\cdot\frac{x-1}{-x}=-x$.
4. $a+b-\frac{2ab}{a+b}=\frac{a^2+b^2}{a+b}$. $\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}=\frac{a(a-b)+b(a+b)}{a(a+b)}=\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}$. Бөлеміз: $\frac{a^2+b^2}{a+b}\cdot\frac{a(a+b)}{a^2+b^2}=a$.

Жауабы: 1) $a^2+1$; 2) $1$; 3) $-x$; 4) $a$.

№ 41.18

Амалдарды орындаңдар: 1) $\left(\frac{a-1}{3a+(a-1)^2}-\frac{1-3a+a^2}{a^3-1}-\frac{1}{a-1}\right):\frac{a^2+1}{1-a}$; 2) $\left(\frac{1}{n+1}-\frac{3}{n^3+1}+\frac{3}{n^2-n+1}\right)\cdot\left(n-\frac{2n-1}{n+1}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бөлімдермен жұмыс істейміз: $3a+(a-1)^2=a^2+a+1$, ал $a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$. Олар «туыс».

Шешуі.

1. Жоғарыдағы қадамдарды қара: $\frac{1}{a^2+a+1}$.
2. $n^3+1=(n+1)(n^2-n+1)$. Бірінші жақша: $\frac{(n^2-n+1)-3+3(n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)}=\frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n^2-n+1)}=\frac{n+1}{n^2-n+1}$. Екінші жақша: $\frac{n^2+n-2n+1}{n+1}=\frac{n^2-n+1}{n+1}$. Көбейтінді: $1$.

Жауабы: 1) $\frac{1}{a^2+a+1}$; 2) $1$.

№ 41.19

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $\left(\frac{a^2}{a+n}-\frac{a^3}{a^2+n^2+2an}\right):\left(\frac{a}{a+n}-\frac{a^2}{a^2-n^2}\right)$; 2) $\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)$; 3) $\left(\frac{2a}{2a+b}-\frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2}\right):\left(\frac{2a}{4a^2-b^2}+\frac{1}{b-2a}\right)$; 4) $\left(\frac{x-2y}{x^2+2xy}-\frac{1}{x^2-4y^2}:\frac{x+2y}{(2y-x)^2}\right)\cdot\frac{(x+2y)^2}{4y^2}$; 5) $\frac{4{,}5a+4x}{0{,}81a^2-0{,}64x^2}-\frac{50}{9a-8x}+\frac{1}{ax}$.

Шешуі.

1. Бірінші жақша: $\frac{a^2}{a+n}-\frac{a^3}{(a+n)^2}=\frac{a^2(a+n)-a^3}{(a+n)^2}=\frac{a^2n}{(a+n)^2}$. Екіншісі: $\frac{a(a-n)-a^2}{(a-n)(a+n)}=\frac{-an}{(a-n)(a+n)}$. Бөлеміз: $\frac{a^2n}{(a+n)^2}\cdot\frac{(a-n)(a+n)}{-an}=-\frac{a(a-n)}{a+n}$.
2. $y^2-x^2=(y-x)(y+x)$, ал $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$. Қосынды: $\frac{(x+y)+(y-x)}{(y-x)(x+y)^2}=\frac{2y}{(y-x)(x+y)^2}$. Бөлеміз: $\frac{4xy}{(y-x)(y+x)}\cdot\frac{(y-x)(x+y)^2}{2y}=2x(x+y)$.
3. Бірінші жақша: $\frac{2a(2a+b)-4a^2}{(2a+b)^2}=\frac{2ab}{(2a+b)^2}$. Екіншісі: $\frac{2a}{(2a-b)(2a+b)}-\frac{1}{2a-b}=\frac{2a-(2a+b)}{(2a-b)(2a+b)}=\frac{-b}{(2a-b)(2a+b)}$. Бөлеміз: $\frac{2ab}{(2a+b)^2}\cdot\frac{(2a-b)(2a+b)}{-b}=-\frac{2a(2a-b)}{2a+b}=\frac{2a(b-2a)}{2a+b}$.
4. Алдымен жақшадағы бөлу: $\frac{1}{(x-2y)(x+2y)}\cdot\frac{(x-2y)^2}{x+2y}=\frac{x-2y}{(x+2y)^2}$. Содан кейін азайту: $\frac{x-2y}{x(x+2y)}-\frac{x-2y}{(x+2y)^2}=\frac{(x-2y)(x+2y-x)}{x(x+2y)^2}=\frac{2y(x-2y)}{x(x+2y)^2}$. $\frac{(x+2y)^2}{4y^2}$-қа көбейтеміз: $\frac{x-2y}{2xy}$.
5. $4{,}5a+4x=5(0{,}9a+0{,}8x)$, ал $0{,}81a^2-0{,}64x^2=(0{,}9a-0{,}8x)(0{,}9a+0{,}8x)$. Бірінші бөлшек: $\frac{5}{0{,}9a-0{,}8x}=\frac{50}{9a-8x}$. Ол азайғыш бөлшекпен қысқарады, $\frac{1}{ax}$ қалады.

Жауабы: 1) $-\frac{a(a-n)}{a+n}$; 2) $2x(x+y)$; 3) $\frac{(b-2a)\cdot 2a}{2a+b}$; 4) $\frac{x-2y}{2xy}$; 5) $\frac{1}{ax}$.

№ 41.20

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $\frac{x+2}{x^2-2x+1}\cdot\frac{3x-3}{x^2-4}-\frac{3}{x-2}$, мұндағы $x=-1{,}5$; 2) $\left(\frac{y^2-3y}{y^2-6y+9}-\frac{3y+9}{y^2-9}\right)\cdot\left(1-\frac{3}{y}\right)$, мұндағы $y=-3{,}6$.

Шешуі.

1. $\frac{x+2}{(x-1)^2}\cdot\frac{3(x-1)}{(x-2)(x+2)}=\frac{3}{(x-1)(x-2)}$. $\frac{3}{x-2}$-ні азайтамыз: $\frac{3-3(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{3(2-x)}{(x-1)(x-2)}=-\frac{3}{x-1}$. $x=-1{,}5$ болғанда: $-\frac{3}{-2{,}5}=1{,}2$.
2. $\frac{y(y-3)}{(y-3)^2}=\frac{y}{y-3}$ және $\frac{3(y+3)}{(y-3)(y+3)}=\frac{3}{y-3}$. Айырма: $\frac{y-3}{y-3}=1$. $\frac{y-3}{y}$-ге көбейтеміз: $\frac{y-3}{y}$. $y=-3{,}6$ болғанда: $\frac{-6{,}6}{-3{,}6}=\frac{11}{6}=1\frac{5}{6}$.

Жауабы: 1) $1{,}2$; 2) $1\frac{5}{6}$.

C деңгейі

Мұнда да қадам-қадаммен істеуге болады. Ұзын жазбалардан қорықпа.

№ 41.21

1) $\frac{1}{a^2+2a-8}=\frac{x}{a+4}+\frac{y}{a-2}$; 2) $\frac{1}{a^2-5a+6}=\frac{x}{a-3}+\frac{y}{a-2}$; 3) $\frac{1}{a^2-2a-8}=\frac{x}{a-4}+\frac{y}{a+2}$; 4) $\frac{1}{2a^2-5a+3}=\frac{x}{a-1}+\frac{y}{2a-3}$ тепе-теңдіктерінен $x$ пен $y$-тің мәндерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бөлімін көбейткіштерге жіктейміз, оң жағындағы бөлшектерді қосамыз да, алымдарын теңестіреміз. Олар барлық $a$ үшін тең, демек, $a$-ның бірдей дәрежелерінің коэффициенттері тең.

Шешуі.

1. $a^2+2a-8=(a+4)(a-2)$. Оң жағы: $\frac{x(a-2)+y(a+4)}{(a+4)(a-2)}$. Алымы 1-ге тең болуы керек: $(x+y)a+(-2x+4y)=1$. Демек, $x+y=0$ және $-2x+4y=1$. Біріншіден $x=-y$, екіншіде $2y+4y=1$, $y=\frac{1}{6}$, $x=-\frac{1}{6}$.
2. $a^2-5a+6=(a-3)(a-2)$. Алымы: $x(a-2)+y(a-3)=(x+y)a-2x-3y=1$. $x+y=0$, $-2x-3y=1$: $x=-y$, $2y-3y=1$, $y=-1$, $x=1$.
3. $a^2-2a-8=(a-4)(a+2)$. Алымы: $x(a+2)+y(a-4)=(x+y)a+2x-4y=1$. $x=-y$, $-2y-4y=1$, $y=-\frac{1}{6}$, $x=\frac{1}{6}$.
4. $2a^2-5a+3=(a-1)(2a-3)$. Алымы: $x(2a-3)+y(a-1)=(2x+y)a-3x-y=1$. $2x+y=0$, демек $y=-2x$. Сонда $-3x+2x=1$, $x=-1$, $y=2$.

Жауабы: 1) $x=-\frac{1}{6}$, $y=\frac{1}{6}$; 2) $x=1$, $y=-1$; 3) $x=\frac{1}{6}$, $y=-\frac{1}{6}$; 4) $x=-1$, $y=2$.

№ 41.22

Егер $a+c=4$ және $ac=2$ болса, онда $\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2c}\right)^4+\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\right)\cdot\frac{1}{2ac}$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $a$ мен $c$-ны жеке іздеме. Бәрін $a+c$ және $ac$ арқылы өрнектейміз.

Шешуі.

1. $\frac{1}{2a}+\frac{1}{2c}=\frac{a+c}{2ac}=\frac{4}{4}=1$. Төртінші дәрежесі: $1$.
2. $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{a^2+c^2}{(ac)^2}=\frac{(a+c)^2-2ac}{(ac)^2}=\frac{16-4}{4}=3$.
3. $\frac{1}{2ac}=\frac{1}{4}$. Көбейтінді: $3\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
4. Қосынды: $1+\frac{3}{4}=1\frac{3}{4}$.

Жауабы: $1\frac{3}{4}$.

№ 41.23

Теңдеуді $x$ бойынша шешіңдер: 1) $\left(\frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b}\right)\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}\cdot x=1$; 2) $\frac{c}{a-c}-\frac{a^3-ac^2}{a^2+c^2}\cdot\left(\frac{a}{(a-c)^2}-\frac{c}{a^2-c^2}\right)=2x$.

Шешуі.

1. Жақша: ортақ бөлім $2(a-b)(a+b)$: $\frac{4ab+(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}=\frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)}=\frac{a+b}{2(a-b)}$. $\frac{2a}{a+b}$-ға көбейтеміз: $\frac{a}{a-b}$. Теңдеу: $\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b}\cdot x=1$. $(a-b)$-ға көбейтеміз: $a-bx=a-b$, одан $bx=b$, $x=1$.
2. Жақша: $\frac{a(a+c)-c(a-c)}{(a-c)^2(a+c)}=\frac{a^2+c^2}{(a-c)^2(a+c)}$. Көбейткіш $a^3-ac^2=a(a-c)(a+c)$. Көбейтінді: $\frac{a(a-c)(a+c)}{a^2+c^2}\cdot\frac{a^2+c^2}{(a-c)^2(a+c)}=\frac{a}{a-c}$. Теңдеу: $\frac{c}{a-c}-\frac{a}{a-c}=2x$. Сол жағы: $\frac{c-a}{a-c}=-1$. Демек, $2x=-1$, $x=-\frac{1}{2}$.

Жауабы: 1) $x=1$; 2) $x=-\frac{1}{2}$.

№ 41.24

Өрнектің мәні $a$ және $c$ айнымалыларының мәніне тәуелді болмайтынын дәлелдеңдер: 1) $\left(\frac{1}{a-c}-\frac{3c^2}{a^3-c^3}-\frac{c}{a^2+ac+c^2}\right)\cdot\left(c+\frac{a^2}{a+c}\right)$; 2) $3a\cdot\left(\frac{1}{a-c}-\frac{c}{a^3-c^3}\cdot\frac{a^2+ac+c^2}{a+c}\right)-\frac{3c^2}{a^2-c^2}$.

Шешуі.

1. $a^3-c^3=(a-c)(a^2+ac+c^2)$. Бірінші жақша: $\frac{a^2+ac+c^2-3c^2-c(a-c)}{(a-c)(a^2+ac+c^2)}=\frac{a^2-c^2}{(a-c)(a^2+ac+c^2)}=\frac{a+c}{a^2+ac+c^2}$. Екіншісі: $\frac{c(a+c)+a^2}{a+c}=\frac{a^2+ac+c^2}{a+c}$. Көбейтінді: $1$.
2. Жақшаның ішінде: $\frac{c}{(a-c)(a^2+ac+c^2)}\cdot\frac{a^2+ac+c^2}{a+c}=\frac{c}{(a-c)(a+c)}$. Жақшадағы айырма: $\frac{1}{a-c}-\frac{c}{(a-c)(a+c)}=\frac{a+c-c}{(a-c)(a+c)}=\frac{a}{a^2-c^2}$. $3a$-ға көбейтеміз: $\frac{3a^2}{a^2-c^2}$. Азайтамыз: $\frac{3a^2-3c^2}{a^2-c^2}=3$.

Екі жағдайда да сан шықты ($1$ және $3$), демек, мәні $a$ мен $c$-ға тәуелді емес.

Жауабы: 1) $1$; 2) $3$.

№ 41.25

Айнымалылардың барлық мүмкін мәндерінде: 1) $\left(\frac{2xb}{x^2-b^2}+\frac{x-b}{2x+2b}\right)\cdot\frac{2x}{x+b}+\frac{b}{b-x}$; 2) $\frac{y}{y-x}+\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}\cdot\left(\frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{x^2-y^2}\right)$ өрнегінің мәні айнымалының мүмкін мәндерінде теріс емес және айнымалыға тәуелді болмайтынын дәлелдеңдер.

Шешуі.

1. № 41.23(1) сияқты: жақша $\frac{x+b}{2(x-b)}$, $\frac{2x}{x+b}$-ға көбейтеміз: $\frac{x}{x-b}$. $\frac{b}{b-x}=-\frac{b}{x-b}$-ны қосамыз: $\frac{x-b}{x-b}=1$.
2. Жақша: $\frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)^2(x+y)}=\frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}$, ал $x^3-xy^2=x(x-y)(x+y)$. Көбейтінді: $\frac{x}{x-y}$. $\frac{y}{y-x}=-\frac{y}{x-y}$-ті қосамыз: $\frac{x-y}{x-y}=1$.

Екі жағдайда да $1$ шықты. Бұл сан айнымалыларға тәуелді емес және теріс емес ($1>0$).

Жауабы: 1) $1$; 2) $1$.

№ 41.26

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $\dfrac{3-\frac{2}{x}}{3+\frac{2}{x}}$; 2) $\dfrac{\frac{5n-b}{b}+1}{\frac{15n+b}{b}-1}$; 3) $\dfrac{\frac{2x}{y^2}+\frac{y}{x^2}}{\frac{x}{y^2}-\frac{2y}{x^2}}$; 4) $\dfrac{\frac{11}{a}+\frac{11}{b}+\frac{11}{c}}{\frac{12}{ab}+\frac{12}{bc}+\frac{12}{ac}}+\frac{1}{12}$.

Қалай ойлаймыз. «Қабатты» бөлшек — бұл жай ғана алымын бөлімге бөлу. Көбіне ең оңайы — үстін де, астын да барлық ұсақ бөлшектердің ортақ бөліміне көбейту.

Шешуі.

1. Үстін де, астын да $x$-ке көбейтеміз: $\frac{3x-2}{3x+2}$.
2. Алымы: $\frac{5n-b+b}{b}=\frac{5n}{b}$. Бөлімі: $\frac{15n+b-b}{b}=\frac{15n}{b}$. Бөлеміз: $\frac{5n}{15n}=\frac{1}{3}$.
3. Үстін де, астын да $x^2y^2$-қа көбейтеміз: алымы $2x^3+y^3$, бөлімі $x^3-2y^3$. Шығады: $\frac{2x^3+y^3}{x^3-2y^3}$.
4. Алымы: $11\cdot\frac{bc+ac+ab}{abc}$. Бөлімі: $12\cdot\frac{c+a+b}{abc}$. Бөлшек: $\frac{11(ab+bc+ac)}{12(a+b+c)}$. $\frac{1}{12}$-ді қосамыз: $\frac{11(ab+bc+ac)+(a+b+c)}{12(a+b+c)}$.

Жауабы: 1) $\frac{3x-2}{3x+2}$; 2) $\frac{1}{3}$; 3) $\frac{2x^3+y^3}{x^3-2y^3}$; 4) $\frac{11(ab+bc+ac)+a+b+c}{12(a+b+c)}$.

📕 4-тармақтың бөлімін (оқулықта $\frac{12}{ab}+\frac{12}{bc}+\frac{12}{ac}$ деп басылған) осылай оқысақ, әдемі нәтиже шықпайды. Қазақша оқулықтың жауаптарында да 4-тармақ жоқ.

Жадынама

• Көпмүшелерді асықпай көбейтпе: алдымен жікте де, қысқарт.
• Бөлшекті азайтқанда алымын жақшаға ал.
• Мүмкін болса, сандарды қоймай тұрып, өрнекті ықшамда.
• Нәтижені тексер: бастапқы және соңғы өрнекке қарапайым санды (мысалы, $a=2$) қой.

Шағын тест