§ 41. Тождественные преобразования алгебраических выражений

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 6: Алгебраические дроби. Страницы 248–254.

Чему научишься

• Определять порядок действий в выражении с дробями, скобками и степенями.
• Приводить любое дробно-рациональное выражение к одной несокращаемой дроби.
• Доказывать тождества четырьмя разными способами и выбирать самый удобный.
• Показывать, что значение выражения не зависит от переменных.
• Подставлять числа в уже упрощённое выражение и не путаться в вычислениях.

Разминка

Тут повторяем всё, что нужно из прошлых параграфов.

• Как сложить $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$? Приводим к общему знаменателю: $\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}=\frac{a+b}{ab}$.
• Как поделить дробь на дробь? Делимое оставляем, делитель переворачиваем и умножаем.
• Как разложить $x^2-16$ и $y^2+6y+9$? $x^2-16=(x-4)(x+4)$ и $y^2+6y+9=(y+3)^2$.
• Что такое тождество? Равенство, верное при всех допустимых значениях букв. Например $a(b+c)=ab+ac$.
• Чему равно $\frac{x-5}{5-x}$? Это $-1$, так как $5-x=-(x-5)$.

Разбираемся

Какое действие первое?

Порядок тот же, что с числами: сначала скобки, потом степень, потом умножение и деление, потом сложение и вычитание. Чтобы не запутаться, подчёркивай в выражении главное действие, которое делается последним: от него зависит вид всего ответа.

Возьмём $x+3-\dfrac{x^2-1}{x^2+2x+1}\cdot\dfrac{x+1}{x}$. Умножение стоит раньше вычитания, значит, сначала считаем произведение двух дробей, а потом вычитаем его из двучлена $x+3$.

⚠️ Частая ошибка. Когда вычитаешь дробь, у которой числитель из двух членов, забывают скобки: $x(x+3)-(x-1)$ это не $x^2+3x-x-1$. Минус меняет знак у каждого члена в скобках, и получается $-x+1$.

Как доказывать тождество

Тождество можно доказать четырьмя способами. Выбирай самый удобный.

1. Преобразуй левую часть, пока не получится правая.
2. Преобразуй правую часть, пока не получится левая.
3. Преобразуй обе части и получи одинаковые выражения.
4. Найди разность левой и правой частей и приведи её к нулю.

Докажем, что $\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{2}{x+2}=1+\dfrac{8}{x^2-4}$ (третий способ).

💡 Если в одной части выражение огромное, а в другой короткое, упрощай большую часть: цель обычно видна по короткой.

Любую дробь можно привести к одной дроби

Любое дробно-рациональное выражение, где есть сложение, вычитание, умножение, деление и степень, можно записать в виде одной рациональной дроби: числитель и знаменатель у неё многочлены. Удобно потом разложить на множители и сократить. Если после упрощения буквы пропали, значит, значение выражения не зависит от переменных. Если остался многочлен без знаменателя, то у выражения вообще нет «запретных» значений, кроме тех, что были в самом начале.

📌 Допустимые значения определяются по исходному выражению, а не по упрощённому. Если в начале был знаменатель $a-1$, то $a=1$ запрещено, даже если после сокращения этот множитель исчез.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка проговаривать вслух, какое действие делает сейчас и зачем. Если он путается, пусть выписывает каждый шаг в новой строке: длинную цепочку на одной строчке проверять невозможно.

Проверь себя

• Любое ли дробно-рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби? Да. Действуя по порядку, мы каждый раз получаем дробь: складываем, умножаем и делим дроби и снова получаем дробь. Правда, в конце иногда выходит не дробь, а многочлен или число, и это тоже частный случай дроби (со знаменателем 1).
• Любое ли тождество удобно доказывать любым из известных способов? Нет. Один способ может быть коротким, другой очень длинным. Сначала посмотри, какая часть проще, и выбери способ по ней.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 41.1

Выполни действия: 1) $\left(\frac{2a}{y^2}-\frac{2}{a}\right):\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{a}\right)$; 2) $\left(\frac{n}{m^2}+\frac{n^2}{m^3}\right):\left(\frac{m^2}{3n^2}+\frac{m}{3n}\right)$; 3) $\frac{ab+b^2}{5}:\frac{b^3}{5a}+\frac{a+b}{b}$; 4) $\frac{x-y}{x}-\frac{5y}{x^2}\cdot\frac{x^2-xy}{5y}$; 5) $\left(\frac{x}{x+1}+1\right)\cdot\frac{1+x}{2x-1}$; 6) $\left(\frac{4a}{2-a}-a\right):\frac{a+2}{a-2}$; 7) $\frac{5y^2}{1-y^2}:\left(1-\frac{1}{1-y}\right)$; 8) $\frac{xb+b^2}{7}:\frac{b^2}{7x}+\frac{x+b}{b}$; 9) $\frac{x-4}{x-5}\cdot\left(x+\frac{x}{4-x}\right)$; 10) $\left(\frac{a-b}{2a+2b}\right):\left(\frac{2}{a}-\frac{2}{b}\right)\cdot\left(\frac{4a+4b}{a^2b}\right)$.

Как думать. Сначала скобки (сложение и вычитание дробей), потом деление и умножение, в конце сложение или вычитание.

Решение.

1. $\frac{2a}{y^2}-\frac{2}{a}=\frac{2a^2-2y^2}{ay^2}=\frac{2(a-y)(a+y)}{ay^2}$ и $\frac{1}{y}+\frac{1}{a}=\frac{a+y}{ay}$. Делим: $\frac{2(a-y)(a+y)}{ay^2}\cdot\frac{ay}{a+y}=\frac{2(a-y)}{y}$.
2. $\frac{n}{m^2}+\frac{n^2}{m^3}=\frac{nm+n^2}{m^3}=\frac{n(m+n)}{m^3}$ и $\frac{m^2}{3n^2}+\frac{m}{3n}=\frac{m^2+mn}{3n^2}=\frac{m(m+n)}{3n^2}$. Делим: $\frac{n(m+n)}{m^3}\cdot\frac{3n^2}{m(m+n)}=\frac{3n^3}{m^4}$.
3. Деление: $\frac{b(a+b)}{5}\cdot\frac{5a}{b^3}=\frac{a(a+b)}{b^2}$. Прибавляем $\frac{a+b}{b}=\frac{b(a+b)}{b^2}$: $\frac{(a+b)(a+b)}{b^2}=\frac{(a+b)^2}{b^2}$.
4. Произведение: $\frac{5y}{x^2}\cdot\frac{x(x-y)}{5y}=\frac{x-y}{x}$. Тогда $\frac{x-y}{x}-\frac{x-y}{x}=0$.
5. $\frac{x}{x+1}+1=\frac{2x+1}{x+1}$. Умножаем: $\frac{2x+1}{x+1}\cdot\frac{x+1}{2x-1}=\frac{2x+1}{2x-1}$.
6. $\frac{4a}{2-a}-a=\frac{4a-2a+a^2}{2-a}=\frac{a(a+2)}{2-a}$. Делим: $\frac{a(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2}=-a$, потому что $\frac{a-2}{2-a}=-1$.
7. $1-\frac{1}{1-y}=\frac{1-y-1}{1-y}=\frac{-y}{1-y}$. Делим: $\frac{5y^2}{(1-y)(1+y)}\cdot\frac{1-y}{-y}=-\frac{5y}{1+y}$.
8. $\frac{b(x+b)}{7}\cdot\frac{7x}{b^2}=\frac{x(x+b)}{b}$. Прибавляем $\frac{x+b}{b}$: $\frac{(x+b)(x+1)}{b}$.
9. $x+\frac{x}{4-x}=\frac{x(4-x)+x}{4-x}=\frac{x(5-x)}{4-x}$. Умножаем на $\frac{x-4}{x-5}$: $\frac{x(5-x)(x-4)}{(4-x)(x-5)}=x$. Два множителя поменяли знак, минусы сократились.
10. $\frac{2}{a}-\frac{2}{b}=\frac{2(b-a)}{ab}$. Делим: $\frac{a-b}{2(a+b)}\cdot\frac{ab}{2(b-a)}=-\frac{ab}{4(a+b)}$. Умножаем на $\frac{4(a+b)}{a^2b}$: $-\frac{1}{a}$.

Ответ: 1) $\frac{2(a-y)}{y}$; 2) $\frac{3n^3}{m^4}$; 3) $\frac{(a+b)^2}{b^2}$; 4) $0$; 5) $\frac{2x+1}{2x-1}$; 6) $-a$; 7) $-\frac{5y}{y+1}$; 8) $\frac{(x+b)(x+1)}{b}$; 9) $x$; 10) $-\frac{1}{a}$.

№ 41.2

Выполни действия: 1) $\left(\frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}\right):\frac{16m}{10m-5}$; 2) $\frac{y+3}{y^2+9}\cdot\left(\frac{y+3}{y-3}+\frac{y-3}{y+3}\right)$.

Решение.

1. Разность в скобках: $\frac{(2m+1)^2-(2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)}=\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}$. Делим на $\frac{16m}{5(2m-1)}$: $\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}\cdot\frac{5(2m-1)}{16m}=\frac{5}{2(2m+1)}$.
2. Сумма в скобках: $\frac{(y+3)^2+(y-3)^2}{(y-3)(y+3)}=\frac{2y^2+18}{(y-3)(y+3)}=\frac{2(y^2+9)}{(y-3)(y+3)}$. Умножаем: $\frac{y+3}{y^2+9}\cdot\frac{2(y^2+9)}{(y-3)(y+3)}=\frac{2}{y-3}$.

Ответ: 1) $\frac{5}{2(2m+1)}$; 2) $\frac{2}{y-3}$.

№ 41.3

Упрости выражение: 1) $\frac{n^2-9}{2n^2+1}\cdot\left(\frac{6n+1}{n-3}+\frac{6n-1}{n+3}\right)$; 2) $\left(\frac{6x+y}{x-6y}+\frac{6x-y}{x+6y}\right):\frac{x^2+y^2}{x^2-36y^2}$.

Как думать. В обоих случаях скобка после сложения должна красиво «подружиться» с соседней дробью.

Решение.

1. Сумма: $\frac{(6n+1)(n+3)+(6n-1)(n-3)}{(n-3)(n+3)}$. Числитель: $6n^2+19n+3+6n^2-19n+3=12n^2+6=6(2n^2+1)$. Тогда $\frac{n^2-9}{2n^2+1}\cdot\frac{6(2n^2+1)}{n^2-9}=6$.
2. Сумма: $\frac{(6x+y)(x+6y)+(6x-y)(x-6y)}{x^2-36y^2}$. Числитель: $6x^2+37xy+6y^2+6x^2-37xy+6y^2=12x^2+12y^2$. Делим: $\frac{12(x^2+y^2)}{x^2-36y^2}\cdot\frac{x^2-36y^2}{x^2+y^2}=12$.

Ответ: 1) $6$; 2) $12$.

№ 41.4

Упрости выражение: 1) $\left(\frac{x}{xy-y^2}-\frac{y}{x^2-xy}\right):\frac{x^2-y^2}{5xy}$; 2) $\left(\frac{4p-8}{p^3-2p^2}-\frac{q+2}{q^3+2q^2}\right)\cdot\frac{p}{2q-p}$; 3) $\left(\frac{a}{b^2-ab}+\frac{b}{a^2-ab}\right)\cdot\frac{3ab}{b-a}$; 4) $\left(\frac{a-7b}{ab-b^2}+\frac{7a+b}{a^2-ab}\right):\frac{a^2+b^2}{a-b}$.

Решение.

1. $xy-y^2=y(x-y)$ и $x^2-xy=x(x-y)$. Разность: $\frac{x^2-y^2}{xy(x-y)}=\frac{x+y}{xy}$. Делим на $\frac{(x-y)(x+y)}{5xy}$: $\frac{x+y}{xy}\cdot\frac{5xy}{(x-y)(x+y)}=\frac{5}{x-y}$.
2. $\frac{4(p-2)}{p^2(p-2)}=\frac{4}{p^2}$ и $\frac{q+2}{q^2(q+2)}=\frac{1}{q^2}$. Разность: $\frac{4q^2-p^2}{p^2q^2}=\frac{(2q-p)(2q+p)}{p^2q^2}$. Умножаем на $\frac{p}{2q-p}$: $\frac{2q+p}{pq^2}$.
3. $b^2-ab=b(b-a)$, $a^2-ab=a(a-b)=-a(b-a)$. Сумма: $\frac{a}{b(b-a)}-\frac{b}{a(b-a)}=\frac{a^2-b^2}{ab(b-a)}$. Умножаем на $\frac{3ab}{b-a}$: $\frac{3(a^2-b^2)}{(b-a)^2}=\frac{3(a-b)(a+b)}{(a-b)^2}=\frac{3(a+b)}{a-b}$.
4. $ab-b^2=b(a-b)$, $a^2-ab=a(a-b)$. Сумма: $\frac{a(a-7b)+b(7a+b)}{ab(a-b)}=\frac{a^2+b^2}{ab(a-b)}$. Делим на $\frac{a^2+b^2}{a-b}$: $\frac{1}{ab}$.

Ответ: 1) $\frac{5}{x-y}$; 2) $\frac{2q+p}{pq^2}$; 3) $\frac{3(a+b)}{a-b}$; 4) $\frac{1}{ab}$.

№ 41.5

Найди значение выражения: 1) $\frac{a^2-25}{a+3}\cdot\frac{1}{a^2+5a}-\frac{a+5}{a^2-3a}$ при $a=2$ и при $a=-4$; 2) $\frac{1-2x}{2x+1}+\frac{x^2+3x}{4x^2-1}:\frac{3+x}{4x+2}$ при $x=-1$ и при $x=-2{,}5$.

Как думать. Пока в выражении есть буквы, его надо упростить, а уже потом подставлять числа.

Решение.

1. Произведение: $\frac{(a-5)(a+5)}{(a+3)\cdot a(a+5)}=\frac{a-5}{a(a+3)}$. Вычитаем $\frac{a+5}{a(a-3)}$. Общий знаменатель $a(a+3)(a-3)$, числитель $(a-5)(a-3)-(a+5)(a+3)=a^2-8a+15-a^2-8a-15=-16a$. Итого $\frac{-16a}{a(a^2-9)}=-\frac{16}{a^2-9}$. При $a=2$: $-\frac{16}{4-9}=\frac{16}{5}=3{,}2$. При $a=-4$: $-\frac{16}{16-9}=-\frac{16}{7}=-2\frac{2}{7}$.
2. Деление: $\frac{x(x+3)}{(2x-1)(2x+1)}\cdot\frac{2(2x+1)}{x+3}=\frac{2x}{2x-1}$. Складываем: $\frac{1-2x}{2x+1}+\frac{2x}{2x-1}=\frac{-(2x-1)^2+2x(2x+1)}{(2x+1)(2x-1)}=\frac{6x-1}{(2x+1)(2x-1)}$. При $x=-1$: $\frac{-7}{(-1)(-3)}=-\frac{7}{3}=-2\frac{1}{3}$. При $x=-2{,}5$: $\frac{-16}{(-4)(-6)}=-\frac{2}{3}$.

Ответ: 1) $3{,}2$ и $-2\frac{2}{7}$; 2) $-2\frac{1}{3}$ и $-\frac{2}{3}$.

№ 41.6

Найди значение выражения: 1) $\frac{n-c}{a+n}-\frac{an-n^2}{a^2-ac}\cdot\frac{a^2-c^2}{a^2-n^2}+10{,}5n$ при $a=2$, $n=-1$, $c=3$; 2) $\frac{n^2-4}{x^2-9}:\frac{n^2-2n}{xy+3y}+\frac{2-y}{x-3}$ при $n=3$, $x=-4$, $y=-5$.

Решение.

1. Произведение: $\frac{n(a-n)}{a(a-c)}\cdot\frac{(a-c)(a+c)}{(a-n)(a+n)}=\frac{n(a+c)}{a(a+n)}$. Разность: $\frac{n-c}{a+n}-\frac{n(a+c)}{a(a+n)}=\frac{a(n-c)-n(a+c)}{a(a+n)}=\frac{-c(a+n)}{a(a+n)}=-\frac{c}{a}$. Остаётся $-\frac{c}{a}+10{,}5n$. При $a=2$, $n=-1$, $c=3$: $-1{,}5-10{,}5=-12$.
2. Деление: $\frac{(n-2)(n+2)}{(x-3)(x+3)}\cdot\frac{y(x+3)}{n(n-2)}=\frac{y(n+2)}{n(x-3)}$. Сумма: $\frac{y(n+2)+n(2-y)}{n(x-3)}=\frac{2y+2n}{n(x-3)}$. При $n=3$, $x=-4$, $y=-5$: $\frac{2\cdot(-2)}{3\cdot(-7)}=\frac{4}{21}$.

Ответ: 1) $-12$; 2) $\frac{4}{21}$.

№ 41.7

Выполни действия: 1) $\left(2a+1-\frac{1}{1-2a}\right):\left(2a-\frac{4a^2}{2a-1}\right)$; 2) $(y+1)^2\cdot\left(\frac{1}{y+1}+\frac{1}{y^2-1}-\frac{1}{y-1}\right)$; 3) $1-\left(\frac{2}{c-2}-\frac{2}{c+2}\right)\cdot\left(c-\frac{3c+2}{4}\right)$; 4) $1+\left(1-\frac{9x^2+4}{12x}\right):\left(\frac{1}{3x}-\frac{1}{2}\right)$.

Решение.

1. Смотри шаги выше: $-2a$.
2. Приводим сумму к знаменателю $y^2-1$: $\frac{(y-1)+1-(y+1)}{y^2-1}=\frac{-1}{y^2-1}$. Умножаем на $(y+1)^2$: $-\frac{(y+1)^2}{(y-1)(y+1)}=-\frac{y+1}{y-1}=\frac{y+1}{1-y}$.
3. $\frac{2}{c-2}-\frac{2}{c+2}=\frac{2(c+2)-2(c-2)}{c^2-4}=\frac{8}{c^2-4}$. Вторая скобка: $c-\frac{3c+2}{4}=\frac{4c-3c-2}{4}=\frac{c-2}{4}$. Произведение: $\frac{8(c-2)}{4(c-2)(c+2)}=\frac{2}{c+2}$. Вычитаем: $1-\frac{2}{c+2}=\frac{c}{c+2}$.
4. $1-\frac{9x^2+4}{12x}=\frac{12x-9x^2-4}{12x}=-\frac{(3x-2)^2}{12x}$ и $\frac{1}{3x}-\frac{1}{2}=\frac{2-3x}{6x}=-\frac{3x-2}{6x}$. Делим: $\frac{(3x-2)^2}{12x}\cdot\frac{6x}{3x-2}=\frac{3x-2}{2}$. Прибавляем 1: $\frac{3x-2+2}{2}=\frac{3x}{2}=1{,}5x$.

Ответ: 1) $-2a$; 2) $\frac{y+1}{1-y}$; 3) $\frac{c}{c+2}$; 4) $1{,}5x$.

№ 41.8

Найди $x$ из пропорции: 1) $(a^2-4):(2a-4)=x:(a+2)$; 2) $(a^2-1)^2:x=(a^2-1):(a^3+1)$.

Как думать. В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. Или можно записать её дробью и найти неизвестный член.

Решение.

1. $x=\frac{(a^2-4)(a+2)}{2a-4}=\frac{(a-2)(a+2)(a+2)}{2(a-2)}=\frac{(a+2)^2}{2}$.
2. $x=\frac{(a^2-1)^2(a^3+1)}{a^2-1}=(a^2-1)(a^3+1)$. Можно оставить так.

Ответ: 1) $x=\frac{(a+2)^2}{2}$; 2) $x=(a^2-1)(a^3+1)$.

№ 41.9

Докажи, что верно равенство: 1) $\frac{x^3}{x^2-4}+\frac{x}{x+2}-x=\frac{x}{x-2}$; 2) $\frac{5a^2-10}{a^4+2a^3-a^2-4a-2}-\frac{6}{(a+1)^2}=-\frac{1}{(a+1)^2}$.

Решение.

1. Преобразуем левую часть. Общий знаменатель $x^2-4$: $\frac{x^3+x(x-2)-x(x^2-4)}{x^2-4}=\frac{x^3+x^2-2x-x^3+4x}{x^2-4}=\frac{x^2+2x}{x^2-4}=\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x}{x-2}$. Совпало с правой частью.
2. Разложим знаменатель первой дроби: $a^4+2a^3-a^2-4a-2=(a^2+2a+1)(a^2-2)=(a+1)^2(a^2-2)$. Проверим, раскрыв скобки: $a^4+2a^3+a^2-2a^2-4a-2$, это верно. Числитель: $5a^2-10=5(a^2-2)$. Первая дробь равна $\frac{5}{(a+1)^2}$. Тогда $\frac{5}{(a+1)^2}-\frac{6}{(a+1)^2}=-\frac{1}{(a+1)^2}$.

Ответ: 1) верно; 2) верно.

№ 41.10

Реши уравнение относительно $x$: 1) $(c^2-9)\cdot x=2c+6$; 2) $\frac{x}{(c+2)^2}=\frac{3}{c^2-4}$; 3) $\frac{4x}{(c+1)^2}=\frac{3c}{c^2-1}$; 4) $\frac{x-3}{(c-4)^2}=\frac{2{,}4}{16-c^2}$.

Как думать. Здесь $c$ это «параметр»: известное число, а искомое $x$. Выражаем $x$ через $c$ и следим, чтобы знаменатели не обращались в ноль.

Решение.

1. Делим обе части на $c^2-9=(c-3)(c+3)$ (при $c\ne\pm3$): $x=\frac{2(c+3)}{(c-3)(c+3)}=\frac{2}{c-3}$.
2. Домножаем на $(c+2)^2$: $x=\frac{3(c+2)^2}{(c-2)(c+2)}=\frac{3(c+2)}{c-2}$.
3. Домножаем на $\frac{(c+1)^2}{4}$: $x=\frac{3c(c+1)^2}{4(c-1)(c+1)}=\frac{3c(c+1)}{4(c-1)}$.
4. Домножаем на $(c-4)^2$: $x-3=\frac{2{,}4(c-4)^2}{-(c-4)(c+4)}=-\frac{2{,}4(c-4)}{c+4}$. Тогда $x=3-\frac{2{,}4(c-4)}{c+4}=\frac{3c+12-2{,}4c+9{,}6}{c+4}=\frac{0{,}6c+21{,}6}{c+4}=\frac{3(c+36)}{5(c+4)}$.

Ответ: 1) $x=\frac{2}{c-3}$; 2) $x=\frac{3(c+2)}{c-2}$; 3) $x=\frac{3c(c+1)}{4(c-1)}$; 4) $x=\frac{3(c+36)}{5(c+4)}$.

№ 41.11

Упрости выражение: 1) $\frac{3x^2}{5y^3}:\frac{9x^3}{2y^2}\cdot\frac{5y}{3(x-1)}$; 2) $\frac{5a(b-1)}{3^2d}:\frac{5cd^2}{9ab}:\frac{a^2(b-1)}{c^3d}$; 3) $\frac{7p^4}{10q^3}\cdot\frac{5q^2(p+1)}{14p^2}:\frac{3p}{4q^4}$; 4) $\frac{8x^2y^3}{7ab^2}:\frac{14xy^2}{7a^2b}:\frac{2x^2(y+2)}{ab}$.

Как думать. Только умножение и деление: всё превращаем в произведение и пишем одной дробью.

Решение.

1. $\frac{3x^2}{5y^3}\cdot\frac{2y^2}{9x^3}\cdot\frac{5y}{3(x-1)}=\frac{30x^2y^3}{135x^3y^3(x-1)}=\frac{2}{9x(x-1)}$.
2. $\frac{5a(b-1)}{9d}\cdot\frac{9ab}{5cd^2}\cdot\frac{c^3d}{a^2(b-1)}=\frac{45a^2bc^3d(b-1)}{45a^2cd^3(b-1)}=\frac{bc^2}{d^2}$.
3. $\frac{7p^4}{10q^3}\cdot\frac{5q^2(p+1)}{14p^2}\cdot\frac{4q^4}{3p}=\frac{140p^4q^6(p+1)}{420p^3q^3}=\frac{pq^3(p+1)}{3}$.
4. $\frac{8x^2y^3}{7ab^2}\cdot\frac{7a^2b}{14xy^2}\cdot\frac{ab}{2x^2(y+2)}=\frac{56a^3b^2x^2y^3}{196ab^2x^3y^2(y+2)}=\frac{2a^2y}{7x(y+2)}$.

Ответ: 1) $\frac{2}{9x(x-1)}$; 2) $\frac{bc^2}{d^2}$; 3) $\frac{pq^3(p+1)}{3}$; 4) $\frac{2a^2y}{7x(y+2)}$.

№ 41.12

Известно, что $x=\frac{3n}{n+2}$. Найди значение выражения: 1) $\frac{x-3}{2x+n}$; 2) $\frac{2x-4n}{x+2n}+\frac{1}{x}$; 3) $\frac{3x-3}{(2+n)x+n}-\frac{x-3}{2x-3n}$.

Как думать. Подставляем $x=\frac{3n}{n+2}$ и работаем только с $n$.

Решение.

1. $x-3=\frac{3n-3(n+2)}{n+2}=\frac{-6}{n+2}$. $2x+n=\frac{6n+n(n+2)}{n+2}=\frac{n(n+8)}{n+2}$. Делим: $\frac{-6}{n(n+8)}=-\frac{6}{n^2+8n}$.
2. $2x-4n=\frac{6n-4n(n+2)}{n+2}=\frac{-2n(2n+1)}{n+2}$ и $x+2n=\frac{3n+2n(n+2)}{n+2}=\frac{n(2n+7)}{n+2}$. Дробь: $-\frac{2(2n+1)}{2n+7}$. Плюс $\frac{1}{x}=\frac{n+2}{3n}$. Общий знаменатель $3n(2n+7)$: $\frac{-6n(2n+1)+(n+2)(2n+7)}{3n(2n+7)}=\frac{-10n^2+5n+14}{3n(2n+7)}$.
3. $3x-3=\frac{9n-3(n+2)}{n+2}=\frac{6n-6}{n+2}$. $(2+n)x+n=3n+n=4n$. Первая дробь: $\frac{6(n-1)}{4n(n+2)}=\frac{3(n-1)}{2n(n+2)}$. Далее $2x-3n=\frac{6n-3n(n+2)}{n+2}=\frac{-3n^2}{n+2}$, а $x-3=\frac{-6}{n+2}$: вторая дробь $\frac{-6}{-3n^2}=\frac{2}{n^2}$. Разность: $\frac{3(n-1)}{2n(n+2)}-\frac{2}{n^2}=\frac{3n(n-1)-4(n+2)}{2n^2(n+2)}=\frac{3n^2-7n-8}{2n^2(n+2)}$.

Ответ: 1) $-\frac{6}{n^2+8n}$; 2) $\frac{-10n^2+5n+14}{3n(2n+7)}$; 3) $\frac{3n^2-7n-8}{2n^2(n+2)}$.

№ 41.13

Сравни значения выражений $\left(a-\frac{4ab}{a+b}+b\right):(a-b)$ и $\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b-a}-\frac{2ab}{a^2-b^2}$ при $a=3$, $b=-4$.

Как думать. Упростим оба выражения, а потом подставим числа.

Решение.

1. Первое: $a+b-\frac{4ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{a+b}=\frac{(a-b)^2}{a+b}$. Делим на $(a-b)$: $\frac{a-b}{a+b}$. При $a=3$, $b=-4$: $\frac{7}{-1}=-7$.
2. Второе: $\frac{b}{b-a}=-\frac{b}{a-b}$, поэтому $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a-b}-\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{a(a-b)+b(a+b)-2ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{a^2-2ab+b^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{a-b}{a+b}$. При тех же числах: $-7$.

Значения равны: оба выражения тождественно равны $\frac{a-b}{a+b}$, и оба дают $-7$.

Ответ: значения равны, каждое $-7$.

№ 41.14

Докажи, что верно равенство: 1) $\frac{a^2-25}{a+3}\cdot\frac{1}{a^2+5a}-\frac{a+5}{a^2-3a}=\frac{16}{9-a^2}$; 2) $\frac{b-c}{a+b}-\frac{ab-b^2}{a^2-ac}\cdot\frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}=-\frac{c}{a}$.

Решение.

1. Из № 41.5(1) левая часть равна $-\frac{16}{a^2-9}=\frac{16}{9-a^2}$. Совпало.
2. $\frac{b(a-b)}{a(a-c)}\cdot\frac{(a-c)(a+c)}{(a-b)(a+b)}=\frac{b(a+c)}{a(a+b)}$. Тогда $\frac{b-c}{a+b}-\frac{b(a+c)}{a(a+b)}=\frac{a(b-c)-b(a+c)}{a(a+b)}=\frac{-ac-bc}{a(a+b)}=-\frac{c(a+b)}{a(a+b)}=-\frac{c}{a}$.

Ответ: 1) верно; 2) верно.

№ 41.15

Убедись, что значение выражения не зависит от допустимых значений переменной: 1) $\frac{(x-2)^2}{3x^4}\cdot\frac{4x^3}{x-2}\cdot\frac{-x}{2-x}$; 2) $\frac{(3x+2)^3}{x-3}:\frac{3x+2}{(x-3)^2}\cdot\frac{5}{(x-3)(3x+2)^2}$.

Решение.

1. $\frac{(x-2)^2}{3x^4}\cdot\frac{4x^3}{x-2}=\frac{4(x-2)}{3x}$. Умножаем на $\frac{-x}{2-x}$: $\frac{-x}{2-x}=\frac{x}{x-2}$, поэтому $\frac{4(x-2)}{3x}\cdot\frac{x}{x-2}=\frac{4}{3}$.
2. Деление: $\frac{(3x+2)^3}{x-3}\cdot\frac{(x-3)^2}{3x+2}=(3x+2)^2(x-3)$. Умножаем на $\frac{5}{(x-3)(3x+2)^2}$: получаем $5$.

В обоих случаях получилось число: $\frac{4}{3}$ и $5$.

Ответ: 1) $\frac{4}{3}$; 2) $5$.

№ 41.16

Докажи, что верно равенство: 1) $\frac{2x-q}{xq}-\frac{1}{x+q}\cdot\left(\frac{x}{q}-\frac{q}{x}\right)=\frac{1}{q}$; 2) $\frac{1{,}2a^2-ac}{0{,}36a^2-0{,}25c^2}=\frac{20a}{6a+5c}$.

Решение.

1. $\frac{x}{q}-\frac{q}{x}=\frac{x^2-q^2}{xq}$. Умножаем: $\frac{1}{x+q}\cdot\frac{(x-q)(x+q)}{xq}=\frac{x-q}{xq}$. Тогда $\frac{2x-q}{xq}-\frac{x-q}{xq}=\frac{x}{xq}=\frac{1}{q}$.
2. Числитель: $a(1{,}2a-c)$. Знаменатель: $(0{,}6a-0{,}5c)(0{,}6a+0{,}5c)$. Но $1{,}2a-c=2(0{,}6a-0{,}5c)$. Сокращаем: $\frac{2a}{0{,}6a+0{,}5c}$. Умножаем числитель и знаменатель на 10: $\frac{20a}{6a+5c}$.

Ответ: 1) верно; 2) верно.

Уровень B

№ 41.17

Выполни действия: 1) $(a^2-1)\cdot\left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+1}+1\right)$; 2) $\left(\frac{1}{y}+\frac{2}{x-y}\right)\cdot\left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)$; 3) $\left(x+1-\frac{1}{1-x}\right):\left(x-\frac{x^2}{x-1}\right)$; 4) $\left(a+b-\frac{2ab}{a+b}\right):\left(\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}\right)$.

Решение.

1. $\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+1}=\frac{2}{a^2-1}$. Плюс 1: $\frac{a^2+1}{a^2-1}$. Умножаем на $(a^2-1)$: $a^2+1$.
2. $\frac{1}{y}+\frac{2}{x-y}=\frac{x-y+2y}{y(x-y)}=\frac{x+y}{y(x-y)}$. Вторая скобка: $\frac{x^2+xy-x^2-y^2}{x+y}=\frac{y(x-y)}{x+y}$. Произведение: $1$.
3. $x+1-\frac{1}{1-x}=\frac{(x+1)(1-x)-1}{1-x}=\frac{-x^2}{1-x}=\frac{x^2}{x-1}$. $x-\frac{x^2}{x-1}=\frac{x^2-x-x^2}{x-1}=\frac{-x}{x-1}$. Делим: $\frac{x^2}{x-1}\cdot\frac{x-1}{-x}=-x$.
4. $a+b-\frac{2ab}{a+b}=\frac{a^2+b^2}{a+b}$. $\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}=\frac{a(a-b)+b(a+b)}{a(a+b)}=\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}$. Делим: $\frac{a^2+b^2}{a+b}\cdot\frac{a(a+b)}{a^2+b^2}=a$.

Ответ: 1) $a^2+1$; 2) $1$; 3) $-x$; 4) $a$.

№ 41.18

Выполни действия: 1) $\left(\frac{a-1}{3a+(a-1)^2}-\frac{1-3a+a^2}{a^3-1}-\frac{1}{a-1}\right):\frac{a^2+1}{1-a}$; 2) $\left(\frac{1}{n+1}-\frac{3}{n^3+1}+\frac{3}{n^2-n+1}\right)\cdot\left(n-\frac{2n-1}{n+1}\right)$.

Как думать. Сначала разберись со знаменателями: $3a+(a-1)^2=a^2+a+1$, а $a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$. Они «родственные».

Решение.

1. См. шаги выше: $\frac{1}{a^2+a+1}$.
2. $n^3+1=(n+1)(n^2-n+1)$. Первая скобка: $\frac{(n^2-n+1)-3+3(n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)}=\frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n^2-n+1)}=\frac{n+1}{n^2-n+1}$. Вторая скобка: $\frac{n^2+n-2n+1}{n+1}=\frac{n^2-n+1}{n+1}$. Произведение: $1$.

Ответ: 1) $\frac{1}{a^2+a+1}$; 2) $1$.

№ 41.19

Упрости выражение: 1) $\left(\frac{a^2}{a+n}-\frac{a^3}{a^2+n^2+2an}\right):\left(\frac{a}{a+n}-\frac{a^2}{a^2-n^2}\right)$; 2) $\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)$; 3) $\left(\frac{2a}{2a+b}-\frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2}\right):\left(\frac{2a}{4a^2-b^2}+\frac{1}{b-2a}\right)$; 4) $\left(\frac{x-2y}{x^2+2xy}-\frac{1}{x^2-4y^2}:\frac{x+2y}{(2y-x)^2}\right)\cdot\frac{(x+2y)^2}{4y^2}$; 5) $\frac{4{,}5a+4x}{0{,}81a^2-0{,}64x^2}-\frac{50}{9a-8x}+\frac{1}{ax}$.

Решение.

1. Первая скобка: $\frac{a^2}{a+n}-\frac{a^3}{(a+n)^2}=\frac{a^2(a+n)-a^3}{(a+n)^2}=\frac{a^2n}{(a+n)^2}$. Вторая: $\frac{a(a-n)-a^2}{(a-n)(a+n)}=\frac{-an}{(a-n)(a+n)}$. Делим: $\frac{a^2n}{(a+n)^2}\cdot\frac{(a-n)(a+n)}{-an}=-\frac{a(a-n)}{a+n}$.
2. $y^2-x^2=(y-x)(y+x)$, а $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$. Сумма: $\frac{(x+y)+(y-x)}{(y-x)(x+y)^2}=\frac{2y}{(y-x)(x+y)^2}$. Делим: $\frac{4xy}{(y-x)(y+x)}\cdot\frac{(y-x)(x+y)^2}{2y}=2x(x+y)$.
3. Первая скобка: $\frac{2a(2a+b)-4a^2}{(2a+b)^2}=\frac{2ab}{(2a+b)^2}$. Вторая: $\frac{2a}{(2a-b)(2a+b)}-\frac{1}{2a-b}=\frac{2a-(2a+b)}{(2a-b)(2a+b)}=\frac{-b}{(2a-b)(2a+b)}$. Делим: $\frac{2ab}{(2a+b)^2}\cdot\frac{(2a-b)(2a+b)}{-b}=-\frac{2a(2a-b)}{2a+b}=\frac{2a(b-2a)}{2a+b}$.
4. Сначала деление в скобке: $\frac{1}{(x-2y)(x+2y)}\cdot\frac{(x-2y)^2}{x+2y}=\frac{x-2y}{(x+2y)^2}$. Затем вычитание: $\frac{x-2y}{x(x+2y)}-\frac{x-2y}{(x+2y)^2}=\frac{(x-2y)(x+2y-x)}{x(x+2y)^2}=\frac{2y(x-2y)}{x(x+2y)^2}$. Умножаем на $\frac{(x+2y)^2}{4y^2}$: $\frac{x-2y}{2xy}$.
5. $4{,}5a+4x=5(0{,}9a+0{,}8x)$, а $0{,}81a^2-0{,}64x^2=(0{,}9a-0{,}8x)(0{,}9a+0{,}8x)$. Первая дробь: $\frac{5}{0{,}9a-0{,}8x}=\frac{50}{9a-8x}$. Она сокращается с вычитаемой дробью, остаётся $\frac{1}{ax}$.

Ответ: 1) $-\frac{a(a-n)}{a+n}$; 2) $2x(x+y)$; 3) $\frac{(b-2a)\cdot 2a}{2a+b}$; 4) $\frac{x-2y}{2xy}$; 5) $\frac{1}{ax}$.

№ 41.20

Вычисли значение выражения: 1) $\frac{x+2}{x^2-2x+1}\cdot\frac{3x-3}{x^2-4}-\frac{3}{x-2}$ при $x=-1{,}5$; 2) $\left(\frac{y^2-3y}{y^2-6y+9}-\frac{3y+9}{y^2-9}\right)\cdot\left(1-\frac{3}{y}\right)$ при $y=-3{,}6$.

Решение.

1. $\frac{x+2}{(x-1)^2}\cdot\frac{3(x-1)}{(x-2)(x+2)}=\frac{3}{(x-1)(x-2)}$. Вычитаем $\frac{3}{x-2}$: $\frac{3-3(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{3(2-x)}{(x-1)(x-2)}=-\frac{3}{x-1}$. При $x=-1{,}5$: $-\frac{3}{-2{,}5}=1{,}2$.
2. $\frac{y(y-3)}{(y-3)^2}=\frac{y}{y-3}$ и $\frac{3(y+3)}{(y-3)(y+3)}=\frac{3}{y-3}$. Разность: $\frac{y-3}{y-3}=1$. Умножаем на $\frac{y-3}{y}$: $\frac{y-3}{y}$. При $y=-3{,}6$: $\frac{-6{,}6}{-3{,}6}=\frac{11}{6}=1\frac{5}{6}$.

Ответ: 1) $1{,}2$; 2) $1\frac{5}{6}$.

Уровень C

Здесь тоже можно делать по шагам. Не бойся длинных записей.

№ 41.21

Найди значения $x$ и $y$ из тождества: 1) $\frac{1}{a^2+2a-8}=\frac{x}{a+4}+\frac{y}{a-2}$; 2) $\frac{1}{a^2-5a+6}=\frac{x}{a-3}+\frac{y}{a-2}$; 3) $\frac{1}{a^2-2a-8}=\frac{x}{a-4}+\frac{y}{a+2}$; 4) $\frac{1}{2a^2-5a+3}=\frac{x}{a-1}+\frac{y}{2a-3}$.

Как думать. Раскладываем знаменатель на множители, складываем дроби справа и приравниваем числители. Они равны при всех $a$, значит, равны коэффициенты при одинаковых степенях $a$.

Решение.

1. $a^2+2a-8=(a+4)(a-2)$. Справа: $\frac{x(a-2)+y(a+4)}{(a+4)(a-2)}$. Числитель должен равняться 1: $(x+y)a+(-2x+4y)=1$. Значит, $x+y=0$ и $-2x+4y=1$. Из первого $x=-y$, во втором $2y+4y=1$, $y=\frac{1}{6}$, $x=-\frac{1}{6}$.
2. $a^2-5a+6=(a-3)(a-2)$. Числитель: $x(a-2)+y(a-3)=(x+y)a-2x-3y=1$. $x+y=0$, $-2x-3y=1$: $x=-y$, $2y-3y=1$, $y=-1$, $x=1$.
3. $a^2-2a-8=(a-4)(a+2)$. Числитель: $x(a+2)+y(a-4)=(x+y)a+2x-4y=1$. $x=-y$, $-2y-4y=1$, $y=-\frac{1}{6}$, $x=\frac{1}{6}$.
4. $2a^2-5a+3=(a-1)(2a-3)$. Числитель: $x(2a-3)+y(a-1)=(2x+y)a-3x-y=1$. $2x+y=0$, значит $y=-2x$. Тогда $-3x+2x=1$, $x=-1$, $y=2$.

Ответ: 1) $x=-\frac{1}{6}$, $y=\frac{1}{6}$; 2) $x=1$, $y=-1$; 3) $x=\frac{1}{6}$, $y=-\frac{1}{6}$; 4) $x=-1$, $y=2$.

№ 41.22

Если $a+c=4$ и $ac=2$, найди значение выражения $\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2c}\right)^4+\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\right)\cdot\frac{1}{2ac}$.

Как думать. Не ищи $a$ и $c$ по отдельности. Выразим всё через $a+c$ и $ac$.

Решение.

1. $\frac{1}{2a}+\frac{1}{2c}=\frac{a+c}{2ac}=\frac{4}{4}=1$. Четвёртая степень: $1$.
2. $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{a^2+c^2}{(ac)^2}=\frac{(a+c)^2-2ac}{(ac)^2}=\frac{16-4}{4}=3$.
3. $\frac{1}{2ac}=\frac{1}{4}$. Произведение: $3\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
4. Сумма: $1+\frac{3}{4}=1\frac{3}{4}$.

Ответ: $1\frac{3}{4}$.

№ 41.23

Реши уравнение относительно $x$: 1) $\left(\frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b}\right)\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}\cdot x=1$; 2) $\frac{c}{a-c}-\frac{a^3-ac^2}{a^2+c^2}\cdot\left(\frac{a}{(a-c)^2}-\frac{c}{a^2-c^2}\right)=2x$.

Решение.

1. Скобка: общий знаменатель $2(a-b)(a+b)$: $\frac{4ab+(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}=\frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)}=\frac{a+b}{2(a-b)}$. Умножаем на $\frac{2a}{a+b}$: $\frac{a}{a-b}$. Уравнение: $\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b}\cdot x=1$. Умножаем на $(a-b)$: $a-bx=a-b$, откуда $bx=b$, $x=1$.
2. Скобка: $\frac{a(a+c)-c(a-c)}{(a-c)^2(a+c)}=\frac{a^2+c^2}{(a-c)^2(a+c)}$. Множитель $a^3-ac^2=a(a-c)(a+c)$. Произведение: $\frac{a(a-c)(a+c)}{a^2+c^2}\cdot\frac{a^2+c^2}{(a-c)^2(a+c)}=\frac{a}{a-c}$. Уравнение: $\frac{c}{a-c}-\frac{a}{a-c}=2x$. Левая часть: $\frac{c-a}{a-c}=-1$. Значит, $2x=-1$, $x=-\frac{1}{2}$.

Ответ: 1) $x=1$; 2) $x=-\frac{1}{2}$.

№ 41.24

Докажи, что при всех допустимых значениях переменных $a$ и $c$ не зависит значение выражения: 1) $\left(\frac{1}{a-c}-\frac{3c^2}{a^3-c^3}-\frac{c}{a^2+ac+c^2}\right)\cdot\left(c+\frac{a^2}{a+c}\right)$; 2) $3a\cdot\left(\frac{1}{a-c}-\frac{c}{a^3-c^3}\cdot\frac{a^2+ac+c^2}{a+c}\right)-\frac{3c^2}{a^2-c^2}$.

Решение.

1. $a^3-c^3=(a-c)(a^2+ac+c^2)$. Первая скобка: $\frac{a^2+ac+c^2-3c^2-c(a-c)}{(a-c)(a^2+ac+c^2)}=\frac{a^2-c^2}{(a-c)(a^2+ac+c^2)}=\frac{a+c}{a^2+ac+c^2}$. Вторая: $\frac{c(a+c)+a^2}{a+c}=\frac{a^2+ac+c^2}{a+c}$. Произведение: $1$.
2. Внутри скобки: $\frac{c}{(a-c)(a^2+ac+c^2)}\cdot\frac{a^2+ac+c^2}{a+c}=\frac{c}{(a-c)(a+c)}$. Разность в скобке: $\frac{1}{a-c}-\frac{c}{(a-c)(a+c)}=\frac{a+c-c}{(a-c)(a+c)}=\frac{a}{a^2-c^2}$. Умножаем на $3a$: $\frac{3a^2}{a^2-c^2}$. Вычитаем: $\frac{3a^2-3c^2}{a^2-c^2}=3$.

В обоих случаях получилось число ($1$ и $3$), значит, от $a$ и $c$ значение не зависит.

Ответ: 1) $1$; 2) $3$.

№ 41.25

Докажи, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения: 1) $\left(\frac{2xb}{x^2-b^2}+\frac{x-b}{2x+2b}\right)\cdot\frac{2x}{x+b}+\frac{b}{b-x}$; 2) $\frac{y}{y-x}+\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}\cdot\left(\frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{x^2-y^2}\right)$ неотрицательно и не зависит от значения переменных.

Решение.

1. Как в № 41.23(1): скобка $\frac{x+b}{2(x-b)}$, умножаем на $\frac{2x}{x+b}$: $\frac{x}{x-b}$. Прибавляем $\frac{b}{b-x}=-\frac{b}{x-b}$: $\frac{x-b}{x-b}=1$.
2. Скобка: $\frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)^2(x+y)}=\frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}$, а $x^3-xy^2=x(x-y)(x+y)$. Произведение: $\frac{x}{x-y}$. Прибавляем $\frac{y}{y-x}=-\frac{y}{x-y}$: $\frac{x-y}{x-y}=1$.

В обоих случаях получилось $1$. Это число не зависит от переменных и неотрицательно ($1>0$).

Ответ: 1) $1$; 2) $1$.

№ 41.26

Упрости выражение: 1) $\dfrac{3-\frac{2}{x}}{3+\frac{2}{x}}$; 2) $\dfrac{\frac{5n-b}{b}+1}{\frac{15n+b}{b}-1}$; 3) $\dfrac{\frac{2x}{y^2}+\frac{y}{x^2}}{\frac{x}{y^2}-\frac{2y}{x^2}}$; 4) $\dfrac{\frac{11}{a}+\frac{11}{b}+\frac{11}{c}}{\frac{12}{ab}+\frac{12}{bc}+\frac{12}{ac}}+\frac{1}{12}$.

Как думать. «Этажная» дробь это просто деление числителя на знаменатель. Часто проще всего умножить верх и низ на общий знаменатель всех маленьких дробей.

Решение.

1. Умножаем верх и низ на $x$: $\frac{3x-2}{3x+2}$.
2. Числитель: $\frac{5n-b+b}{b}=\frac{5n}{b}$. Знаменатель: $\frac{15n+b-b}{b}=\frac{15n}{b}$. Делим: $\frac{5n}{15n}=\frac{1}{3}$.
3. Умножаем верх и низ на $x^2y^2$: числитель $2x^3+y^3$, знаменатель $x^3-2y^3$. Получаем $\frac{2x^3+y^3}{x^3-2y^3}$.
4. Числитель: $11\cdot\frac{bc+ac+ab}{abc}$. Знаменатель: $12\cdot\frac{c+a+b}{abc}$. Дробь: $\frac{11(ab+bc+ac)}{12(a+b+c)}$. Прибавляем $\frac{1}{12}$: $\frac{11(ab+bc+ac)+(a+b+c)}{12(a+b+c)}$.

Ответ: 1) $\frac{3x-2}{3x+2}$; 2) $\frac{1}{3}$; 3) $\frac{2x^3+y^3}{x^3-2y^3}$; 4) $\frac{11(ab+bc+ac)+a+b+c}{12(a+b+c)}$.

Шпаргалка

• Не торопись перемножать многочлены: сначала разложи их на множители и сократи.
• Когда вычитаешь дробь, ставь числитель в скобки.
• Если можно, упрости выражение до подстановки чисел.
• Результат проверяй подстановкой простого числа (например, $a=2$) в начальное и в конечное выражение.

Мини-тест