Өзіңді тексер! VI бөлім

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 6 бөлім: Алгебралық бөлшектер. 253–256-беттер.

Бұл тест «Алгебралық бөлшектер» бөлімінің қорытындысы: бөлшектің мағынасы болатын жағдай, қысқарту, ортақ бөлім, қосу, көбейту, бөлу, дәрежеге шығару және тепе-тең түрлендірулер. Әр сұраққа шешуі мен дұрыс әріп төменде берілген. Алдымен өзің шығар, содан кейін салыстыр.

Басты нәрсені еске түсірейік.

⚠️ Жиі кететін қате. $a-b$ мен $b-a$ шатастырылады: олар таңбасымен ерекшеленеді, $b-a=-(a-b)$. Сондықтан тестте минусы түсіп қалған қате нұсқалар жиі жасырынып тұрады.

Жаттығуларды шығарамыз

№ 1

$a$-ның қандай мәндерінде $\frac{a-1}{a^2+4}$ бөлшегінің мағынасы болады: A. 4-тен басқа барлық сандар; B. 1-ден басқа барлық сандар; C. $-2$ және 2-ден басқа барлық сандар; D. $a$ — кез келген сан.

Қалай ойлаймыз. Бөлшектің мағынасы тек бөлімі нөлге тең болғанда ғана жоқ.

Шешуі. $a^2\ge 0$, сондықтан $a^2+4\ge 4$ және ешқашан нөлге тең болмайды. Демек, $a$-ға шектеу жоқ. Алымы бөлшектің мағынасына әсер етпейді.

Жауабы: D.

№ 2

$x$ айнымалысының қандай мәнінде $\frac{x-3}{x+3}$ бөлшегінің мағынасы болмайды: A. 9; B. 3; C. 0; D. $-3$.

Шешуі. Бөлімі $x+3=0$, яғни $x=-3$ болғанда нөлге тең. $x=3$ болғанда алымы нөл, бұл жол беріледі.

Жауабы: D.

№ 3

$\frac{8x^2-4xy}{y-2x}$ бөлшегін қысқартыңдар: A. 4; B. $-4x$; C. $4x$; D. $-4$.

Шешуі. $8x^2-4xy=4x(2x-y)$, ал $y-2x=-(2x-y)$. Сонда бөлшек $\frac{4x(2x-y)}{-(2x-y)}=-4x$-ке тең.

Жауабы: B.

№ 4

$\frac{3}{y-x}$ бөлшегіне тең бөлшекті табыңдар: A. $\frac{6}{2x-y}$; B. $-\frac{6}{2x-2y}$; C. $\frac{3}{x+y}$; D. $-\frac{3}{y-x}$.

Шешуі. Бөліміндегі минусты шығарамыз: $\frac{3}{y-x}=-\frac{3}{x-y}$. Алымы мен бөлімін 2-ге көбейтеміз: $-\frac{6}{2x-2y}$. Бұл — B нұсқасы. A және C нұсқаларында бөлімі басқа, D нұсқасында таңбасы қарама-қарсы.

Жауабы: B.

№ 5

Ақиқат теңдікті көрсетіңдер: A. $\frac{5a}{a^2-3}=\frac{5}{a-3}$; B. $\frac{x+y}{x-y}=\frac{(x+y)^2}{x^2-y^2}$; C. $\frac{b}{b-3}=\frac{7b}{21-7b}$; D. $\frac{5}{11}=\frac{5}{11n}$.

Шешуі.

1. A: $a$-ға қысқартуға болмайды, өйткені $a$ — $a^2-3$ бөлімінің бүтін көбейткіші емес. Дұрыс емес.
2. B: $\frac{(x+y)^2}{(x-y)(x+y)}=\frac{x+y}{x-y}$. Дұрыс.
3. C: $\frac{7b}{21-7b}=\frac{7b}{7(3-b)}=\frac{b}{3-b}$, ал бұл $-\frac{b}{b-3}$. Дұрыс емес.
4. D: оң жағында бөлімі $n$ есе үлкен. Дұрыс емес.

Жауабы: B.

№ 6

$\frac{1}{3x^2}$, $\frac{5}{6xy^2}$, $\frac{3}{10xy^3}$ бөлшектерінің ортақ бөлімін табыңдар: A. $30x^2y^3$; B. $60x^2y^3$; C. $30x^5y^5$; D. $180x^2y^3$.

Қалай ойлаймыз. Сандардың ең кіші ортақ еселігін және әр әріптің ең үлкен дәрежесін аламыз.

Шешуі. 3, 6 және 10 сандарының ЕКОЕ-і 30-ға тең. $x$ әрпінің ең үлкен дәрежесі — $x^2$. $y$ әрпінікі — $y^3$. Ортақ бөлім $30x^2y^3$. B және D нұсқалары да үш бөлімге бөлінеді, бірақ олар ең кіші емес, ал C нұсқасында артық дәрежелер бар.

Жауабы: A.

№ 7

$\frac{6}{3a-a^2}$; $\frac{a+1}{a^2-9}$; $\frac{4}{a^2}$ бөлшектерінің ортақ бөлімі неге тең: A. $a^2-9$; B. $a(a^2-9)$; C. $a(9-a^2)$; D. $a^2(9-a^2)$.

Шешуі.

1. $3a-a^2=a(3-a)$, $a^2-9=(a-3)(a+3)$, $a^2$. $3-a$ және $a-3$ көбейткіштері таңбасымен ерекшеленеді.
2. Ортақ бөлімге $a^2$ ($a$-ның ең жоғары дәрежесі), $(a-3)$ және $(a+3)$ кіреді. Шығады: $a^2(a-3)(a+3)=a^2(a^2-9)$.
3. Нұсқалар арасында дәл бұл жоқ, бірақ $a^2(9-a^2)=-a^2(a^2-9)$ бар, ол тек таңбасымен ерекшеленеді және үш бөлімге де бөлінеді. A, B және C нұсқаларында $a^2$ толық жоқ.

Жауабы: D.

№ 8

$\frac{3x-26}{18x^2}-\frac{x-4}{3x^2}-\frac{5}{9x}$ өрнегін ықшамдаңдар: A. $\frac{13x-26}{18x^2}$; B. $\frac{19x-22}{18x^2}$; C. $-\frac{13x+2}{18x^2}$; D. $\frac{13x-26}{18x^2}$.

Шешуі. Ортақ бөлім $18x^2$. Екінші бөлшекті 6-ға, үшіншісін $2x$-ке көбейтеміз: $\frac{3x-26-6(x-4)-10x}{18x^2}=\frac{3x-26-6x+24-10x}{18x^2}=\frac{-13x-2}{18x^2}=-\frac{13x+2}{18x^2}.$

Жауабы: C.

№ 9

$x$-тің қандай мәнінде $\frac{2}{x^2-9}=\frac{1}{x-3}+\frac{3}{x+3}$ теңдігі орындалады: A. 1; B. 0; C. 2; D. $-1$.

Шешуі. Оң жағы: $\frac{(x+3)+3(x-3)}{x^2-9}=\frac{4x-6}{x^2-9}$. Алымдарын теңестіреміз: $2=4x-6$, $x=2$. Тексеру: $x^2-9=-5\ne 0$, демек, бәрі жарайды.

Жауабы: C.

№ 10

$\frac{2y+3}{x}\cdot\frac{3y^2}{4y^2-9}:\frac{y}{10xy-15x}$ өрнегін ықшамдаңдар: A. 15; B. $15y$; C. $\frac{1}{15y}$; D. $\frac{x}{15y}$.

Шешуі. $4y^2-9=(2y-3)(2y+3)$ және $10xy-15x=5x(2y-3)$. Көбейтуге көшеміз: $\frac{2y+3}{x}\cdot\frac{3y^2}{(2y-3)(2y+3)}\cdot\frac{5x(2y-3)}{y}=\frac{15xy^2}{xy}=15y.$

Жауабы: B.

№ 11

$\left(1-\frac{3}{a}\right)\cdot\frac{a}{a^2-9}$ өрнегін ықшамдаңдар: A. $\frac{1}{a+3}$; B. $a+3$; C. $\frac{a^2}{a+3}$; D. 1.

Шешуі. $1-\frac{3}{a}=\frac{a-3}{a}$. Көбейтеміз: $\frac{a-3}{a}\cdot\frac{a}{(a-3)(a+3)}=\frac{1}{a+3}$.

Жауабы: A.

№ 12

$\frac{8-a^3}{16-a^2}\cdot\frac{a+4}{a^2+2a+4}$ өрнегін ықшамдап, $a=-2$ болғандағы мәнін табыңдар: A. 0; B. $\frac{2}{3}$; C. 1; D. $-1$.

Шешуі. $8-a^3=(2-a)(4+2a+a^2)$ және $16-a^2=(4-a)(4+a)$. $a^2+2a+4$ және $a+4$ көбейткіштерін қысқартамыз: $\frac{(2-a)}{(4-a)}.$ $a=-2$ болғанда: $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Жауабы: B.

№ 13

$\frac{9x^2+24xy+16y^2}{9x^2-16y^2}$ бөлшегін қысқартыңдар: A. $\frac{4y+3x}{4y-3x}$; B. $\frac{3x-4y}{4y+3x}$; C. $\frac{4y+3x}{3x-4y}$; D. $\frac{1}{3x+4y}$.

Шешуі. Алымы: $(3x+4y)^2$. Бөлімі: $(3x-4y)(3x+4y)$. Қысқартқаннан кейін $\frac{3x+4y}{3x-4y}=\frac{4y+3x}{3x-4y}$.

Жауабы: C.

№ 14

$\frac{2a-b}{3a+2}=5$ болса, $\frac{4b-8a}{15a+10}$ өрнегінің мәнін табыңдар: A. 4; B. 100; C. $-4$; D. $-100$.

Қалай ойлаймыз. Жаңа бөлшекті берілген бөлшек арқылы өрнектеп көрейік.

Шешуі. $4b-8a=-4(2a-b)$ және $15a+10=5(3a+2)$. Сонда $\frac{4b-8a}{15a+10}=-\frac{4}{5}\cdot\frac{2a-b}{3a+2}=-\frac{4}{5}\cdot 5=-4.$

Жауабы: C.

№ 15

$\left(\frac{6a}{5b}\right)^2\cdot\left(\frac{5b^3}{6a}\right)^4\cdot(6a)^2$ өрнегін ықшамдаңдар: A. $25b^{10}$; B. $\frac{b^{10}}{5}$; C. $30a^4b^{12}$; D. 1.

Шешуі. Дәрежеге шығарамыз: $\frac{36a^2}{25b^2}\cdot\frac{625b^{12}}{1296a^4}\cdot 36a^2$. Сандар: $\frac{36\cdot 625\cdot 36}{25\cdot 1296}=25$. Әріптер: $a^{2-4+2}=a^0=1$, $b^{12-2}=b^{10}$. Жиыны $25b^{10}$.

Жауабы: A.

№ 16

$\frac{a^3-25a}{2a+10}=\frac{3a^2-15a}{x}$ пропорциясынан $x$-тің мәнін табыңдар: A. $\frac{1}{6}$; B. 1; C. 6; D. $-6$.

Шешуі. Сол жақ бөлшекті ықшамдаймыз: $\frac{a(a-5)(a+5)}{2(a+5)}=\frac{a(a-5)}{2}$. Оң жағы: $\frac{3a(a-5)}{x}$. Теңестіреміз: $\frac{a(a-5)}{2}=\frac{3a(a-5)}{x}$, одан $x=6$ ($a\ne 0$, $a\ne 5$ болғанда).

Жауабы: C.

№ 17

$\frac{1}{x}=\frac{b}{a}-b$ теңдігінен $a$-ны өрнектеңдер: A. $\frac{4+xb}{xb}$; B. $\frac{xb}{1+xb}$; C. $\frac{1-xb}{xb}$; D. $\frac{xb}{1-xb}$.

Шешуі. $b$-ны көшіреміз: $\frac{1}{x}+b=\frac{b}{a}$. Сол жағын ортақ бөлімге келтіреміз: $\frac{1+xb}{x}=\frac{b}{a}$. Сонда $a=\frac{bx}{1+xb}$.

Жауабы: B.

№ 18

$\frac{1}{x}+x=m$ екені белгілі болса, онда $\frac{1}{x^2}+x^2$ өрнегін табыңдар: A. $m^2$; B. $2+m^2$; C. $m^2-2$; D. $2-m^2$.

Шешуі. Теңдікті квадраттаймыз: $\left(\frac{1}{x}+x\right)^2=\frac{1}{x^2}+2+x^2=m^2$. Демек, $\frac{1}{x^2}+x^2=m^2-2$.

Жауабы: C.

№ 19

Егер $x=10$ болғанда $\left(\frac{x-10}{x}+1\right)\cdot x^2$ өрнегінің мәні $a$-ның 25%-ына тең болса, онда $a$-ның мәнін табыңдар: A. 500; B. 600; C. 700; D. 400.

Шешуі. $x=10$ болғанда: $\frac{0}{10}+1=1$, демек, өрнектің мәні $1\cdot 100=100$. Бұл $a$-ның 25%-ы: $a=100:0{,}25=400$.

Жауабы: D.

№ 20

1-кестеде $A=\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\cdot 2^6:108$ және $B=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x+y}\right)$, мұндағы $x=1$, $y=1$. 1-кестені қолданып, берілген тұжырымдардың қайсылары ақиқат болатынын анықтаңдар: 1) $A+2B=0$; 2) $A\cdot B=-1$; 3) $0{,}5A\le|B|$; 4) $|A+B|>1$. Нұсқалар: A. 3); 4); B. 1); 3); C. 2); 3); D. 1); 4).

Шешуі.

1. $A$: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}=\frac{27}{8}$, $64$-ке көбейтеміз: $216$, $108$-ге бөлеміз: $A=2$.
2. $B$: $\left(1+1\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$.
3. 1-тұжырым: $2+2\cdot(-1)=0$. Дұрыс.
4. 2-тұжырым: $2\cdot(-1)=-2\ne -1$. Дұрыс емес.
5. 3-тұжырым: $0{,}5\cdot 2=1$ және $|B|=1$, демек, $1\le 1$. Дұрыс.
6. 4-тұжырым: $|2-1|=1$, ал $1>1$ дұрыс емес.

1. және 3) ақиқат.

Жауабы: B.

№ 21

$y=13$ болғанда $\frac{x+1}{1+y}\cdot\frac{y^2-1}{x+1}+y$ өрнегінің мәні 100 санынан қанша есе кем болады: A. 2 есе; B. 3 есе; C. 4 есе; D. 5 есе.

Шешуі. $\frac{x+1}{1+y}\cdot\frac{(y-1)(y+1)}{x+1}=y-1$. $y$-ті қосамыз: $2y-1$. $y=13$ болғанда: $25$. Сонда $100:25=4$.

Жауабы: C.

№ 22

20; 32; 18; 42; $A$; $B$; 30; 18 сандар тізбегі берілген, мұндағы $A$-ның мәні $x=7$ болғанда $\frac{3x}{3+x}\cdot\frac{x^2-9}{x}$; ал $B$-ның мәні $y=5$ болғанда $\frac{y-5}{y-4}\cdot\frac{16-y^2}{y^2-25}+28{,}9$ өрнегінің мәніне тең. Сандар қатарының ең кіші мәнін, медианасын табыңдар: A. Ең кіші мәні — 18; медианасы — 24; B. Ең кіші мәні — 12; медианасы — 24; C. Ең кіші мәні — 12; медианасы — 22; D. Ең кіші мәні — 16; медианасы — 22.

Шешуі. Жоғарыдағы қадамдарды қара. Барлығы 8 сан, демек, медиана — екі ортаңғы санның орташасы: төртіншісі (20) мен бесіншісі (28). Шығады: 24.

⚠️ Нүктелі жайт. Қатаң айтқанда, $y=5$ болғанда бастапқы өрнектің мағынасы жоқ: $y^2-25$ бөлімі нөлге тең. Есепте қысқартылған бөлшектің мәні (28 саны) ойластырылған. Бірақ есіңде болсын: бастапқы өрнекте тыйым салынған мәнді қысқартып алып, қоюға болмайды.

Жауабы: B.

Жауаптар кілті

Жадынама

• Қате жауаптарды тез алып тастау үшін шартқа да, әр нұсқаға да қарапайым сан (мысалы, 2) қойып көр.
• Әрдайым қысқаша көбейту формулаларын іздеп көр: квадраттар айырымы, қосындының квадраты, кубтар қосындысы мен айырымы.
• Өрнектің нақты сандардағы мәнін табу керек болса, алдымен өрнекті ықшамда.