7-сыныптағы алгебра курсын қайталауға арналған жаттығулар

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 6 бөлім: Алгебралық бөлшектер. 256–270-беттер.

Нені қайталаймыз

Бұл — бүкіл жылға арналған қорытынды марафон. Алдымен «қолға қалам алып» орындайтын тапсырмалар, сосын бірнеше график пен сурет, ал соңында нағыз емтихандағыдай A–D жауап нұсқалары бар тест сұрақтары келеді.

• дәрежелермен есептеу және дәреже қасиеттері;
• өрнектерді ықшамдау, қысқаша көбейту формулалары, тепе-теңдіктерді дәлелдеу;
• алгебралық бөлшектер және олармен амалдар;
• теңдеулер, теңдеулер жүйесі және теңсіздіктер;
• сызықтық функция, гипербола, графиктерді оқу;
• пайыз, диаграммалар, жиындар және «бір амалды» есептер.

💡 Бәрін бір кеште шығарма. Блокпен жұмыс істе: алдымен есептеулер, сосын түрлендірулер, сосын теңдеулер. Ең «қорқынышты» тапсырмаларды екінші күнге қалдыр, олар да беріледі.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бұл — 8-сыныпқа дейінгі диагностика. Баладан әр блоктан 3–4 тапсырма таңдап, шешуін дауыстап айтқызыңыз. Егер жақшаны ашқандағы таңбалар, $(a\pm b)^2$ формулалары немесе бөлшектермен амалдар «қалқып» кетсе, тағы он ұқсас мысал шығарғаннан гөрі, сәйкес параграфқа оралған жөн.

Жаттығуларды шығарамыз

Есептеулер

№ 1

Есептеңдер: 1) $0{,}7\cdot5^4-37{,}5$; 2) $-9^4\cdot2{,}1+13,700{,}1$; 3) $6{,}3-10^3\cdot0{,}0073$; 4) $192\cdot(-0{,}2)^3-0{,}112$; 5) $-240{,}02+7^4\cdot0{,}02$; 6) $10^4\cdot3{,}241+7590$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен дәреже, сосын көбейту, соңында қосу немесе азайту. Минус дәрежеден бұрын тұрғанын және жақшаның ішінде тұрғанын ажырата біл.

Шешуі.

1. $5^4=625$, $0{,}7\cdot625=437{,}5$, $437{,}5-37{,}5=400$.
2. $9^4=6561$, $-6561\cdot2{,}1=-13,778{,}1$, сонда $-13,778{,}1+13,700{,}1=-78$.
3. $10^3\cdot0{,}0073=7{,}3$, сонда $6{,}3-7{,}3=-1$.
4. $(-0{,}2)^3=-0{,}008$, $192\cdot(-0{,}008)=-1{,}536$, сонда $-1{,}536-0{,}112=-1{,}648$.
5. $7^4=2401$, $2401\cdot0{,}02=48{,}02$, сонда $-240{,}02+48{,}02=-192$.
6. $10^4\cdot3{,}241=32,410$, сонда $32,410+7590=40,000$.

Жауабы: 1) $400$; 2) $-78$; 3) $-1$; 4) $-1{,}648$; 5) $-192$; 6) $40,000$.

№ 2

Дәрежелері бар бөлшектердің мәнін есептеңдер: 1) $\dfrac{4^8\cdot12^7\cdot9^3}{6^{12}\cdot16^4}$; 2) $\dfrac{21^8\cdot27^5\cdot49^6}{9^{11}\cdot343^7}$; 3) $\dfrac{25^{11}\cdot81^4}{625^4\cdot15^5\cdot9^6}$; 4) $\dfrac{32^9\cdot125^8}{8^{13}\cdot10^7\cdot25^8}$.

Қалай ойлаймыз. Орасан үлкен сандарды есептеме. Барлық негіздерді жай көбейткіштерге (2, 3, 5, 7) жікте, алым мен бөлгіштегі көрсеткіштерді қосып, қысқарт.

Шешуі.

1. Алымы: $4^8=2^{16}$, $12^7=2^{14}\cdot3^7$, $9^3=3^6$, барлығы $2^{30}\cdot3^{13}$. Бөлгіші: $6^{12}=2^{12}\cdot3^{12}$, $16^4=2^{16}$, барлығы $2^{28}\cdot3^{12}$. Бөлінді $2^2\cdot3=12$.
2. Алымы: $3^8\cdot7^8\cdot3^{15}\cdot7^{12}=3^{23}\cdot7^{20}$. Бөлгіші: $3^{22}\cdot7^{21}$. Бөлінді $\frac{3}{7}$.
3. Алымы: $5^{22}\cdot3^{16}$. Бөлгіші: $5^{16}\cdot3^5\cdot5^5\cdot3^{12}=5^{21}\cdot3^{17}$. Бөлінді $\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$.
4. Алымы: $2^{45}\cdot5^{24}$. Бөлгіші: $2^{39}\cdot2^7\cdot5^7\cdot5^{16}=2^{46}\cdot5^{23}$. Бөлінді $\frac{5}{2}=2{,}5$.

Жауабы: 1) $12$; 2) $\frac{3}{7}$; 3) $1\frac{2}{3}$; 4) $2{,}5$.

№ 3

Есептеңдер: 1) $10^4-9^4-951$; 2) $15^4+14^4-9041$; 3) $6^5+5^6+7719$; 4) $-7^4+8^4+305$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда дәрежелердің нақты мәндері керек, айла жоқ. Оларды бағанға жазып, мұқият қос.

Шешуі.

1. $10,000-6561-951=2488$.
2. $15^4=50,625$, $14^4=38,416$; $50,625+38,416=89,041$; $89,041-9041=80,000$.
3. $6^5=7776$, $5^6=15,625$; $7776+15,625=23,401$; $23,401+7719=31,120$.
4. $-2401+4096+305=2000$.

Жауабы: 1) $2488$; 2) $80,000$; 3) $31,120$; 4) $2000$.

№ 4

Есептеңдер: 1) $\dfrac{8^{13}\cdot(11^3)^5}{121^7\cdot4^{19}}$; 2) $\dfrac{81^{10}\cdot169^5}{(13^3)^3\cdot27^{13}}$; 3) $\dfrac{49^{25}\cdot625^{15}}{(5^{12})^5\cdot(7^{16})^3}$; 4) $\dfrac{216^8\cdot125^7}{625^5\cdot(6^5)^4}$; 5) $\dfrac{(\frac12)^2\cdot32^2\cdot1000\cdot5^3}{4^7\cdot0{,}001\cdot25^4}$; 6) $\dfrac{(\frac13)^4\cdot9^2+(\frac14)^3\cdot2^6}{(\frac1{11})^2\cdot363-(\frac1{12})^2\cdot3^2\cdot2^4}$.

Қалай ойлаймыз. Бәрін жай негіздерге келтіріп, $(a^m)^n=a^{mn}$ формуласын қолдан. 5) және 6) тармақтарда алым мен бөлгішті бөлек ықшамда.

Шешуі.

1. $8^{13}=2^{39}$, $(11^3)^5=11^{15}$, $121^7=11^{14}$, $4^{19}=2^{38}$. Шығады: $2^{39-38}\cdot11^{15-14}=2\cdot11=22$.
2. $81^{10}=3^{40}$, $169^5=13^{10}$, $(13^3)^3=13^9$, $27^{13}=3^{39}$. Шығады: $3\cdot13=39$.
3. $49^{25}=7^{50}$, $625^{15}=5^{60}$, $(5^{12})^5=5^{60}$, $(7^{16})^3=7^{48}$. Шығады: $7^2=49$.
4. $216^8=6^{24}$, $125^7=5^{21}$, $625^5=5^{20}$, $(6^5)^4=6^{20}$. Шығады: $6^4\cdot5=1296\cdot5=6480$.
5. Алымы: $2^{-2}\cdot2^{10}\cdot10^3\cdot5^3=2^8\cdot2^3\cdot5^3\cdot5^3=2^{11}\cdot5^6$. Бөлгіші: $2^{14}\cdot10^{-3}\cdot5^8=2^{14}\cdot2^{-3}\cdot5^{-3}\cdot5^8=2^{11}\cdot5^5$. Бөлінді $5$.
6. Алымы: $\frac{1}{81}\cdot81+\frac{1}{64}\cdot64=1+1=2$. Бөлгіші: $\frac{363}{121}-\frac{9\cdot16}{144}=3-1=2$. Бөлінді $1$.

Жауабы: 1) $22$; 2) $39$; 3) $49$; 4) $6480$; 5) $5$; 6) $1$.

№ 5

Ыңғайлы тәсілмен есептеңдер: 1) $\dfrac{27^2-17^2}{16^2-6^2}$; 2) $\dfrac{48^2-18^2}{35^2-15^2}$; 3) $\dfrac{87^2-43^2}{31^2-16^2}$; 4) $\dfrac{98^2-58^2}{75^2-35^2}$; 5) $\dfrac{123^3+73^3}{196}-123\cdot73$; 6) $\dfrac{186^3-34^3}{152}+186\cdot34$.

Қалай ойлаймыз. Алғашқы төрт тармақта квадраттар айырмасы $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ жұмыс істейді. Соңғы екеуінде кубтардың қосындысы мен айырмасы көрінеді, одан әрі бәрі квадратқа «жиналып» кетеді.

Шешуі.

1. $\frac{(27-17)(27+17)}{(16-6)(16+6)}=\frac{10\cdot44}{10\cdot22}=2$.
2. $\frac{30\cdot66}{20\cdot50}=\frac{1980}{1000}=1{,}98=1\frac{49}{50}$.
3. $\frac{44\cdot130}{15\cdot47}=\frac{5720}{705}=\frac{1144}{141}=8\frac{16}{141}$.
4. $\frac{40\cdot156}{40\cdot110}=\frac{156}{110}=\frac{78}{55}=1\frac{23}{55}$.
5. $123+73=196$, сондықтан $\frac{123^3+73^3}{196}=123^2-123\cdot73+73^2$. Одан $123\cdot73$ азайтамыз: $123^2-2\cdot123\cdot73+73^2=(123-73)^2=50^2=2500$.
6. $186-34=152$, сондықтан $\frac{186^3-34^3}{152}=186^2+186\cdot34+34^2$. Оған $186\cdot34$ қосамыз: $(186+34)^2=220^2=48,400$.

Жауабы: 1) $2$; 2) $1\frac{49}{50}$; 3) $8\frac{16}{141}$; 4) $1\frac{23}{55}$; 5) $2500$; 6) $48,400$.

№ 6

Амалдарды орындаңдар: 1) $243\cdot\left(\frac23\right)^6-8{,}75\cdot\left(\frac45\right)^3\cdot0{,}25+0{,}12$; 2) $\left(\frac67\right)^2\cdot2{,}45-\left(34-3\frac{5}{14}\right)+0{,}05\cdot2^8$; 3) $6{,}25\cdot\left(\frac45\right)^5-0{,}024\cdot9^3+1{,}552$; 4) $\left(\frac8{11}\right)^2\cdot0{,}5\cdot\left(3\frac23\right)^3+\left(1\frac13\right)^4:85\frac13$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшектердің дәрежелерін бірден есепте, ал ондық бөлшектерді жай бөлшекке тек қысқаратын жерде ғана айналдыр.

Шешуі.

1. $243\cdot\frac{64}{729}=\frac{64}{3}$. Әрі қарай $8{,}75\cdot\frac{64}{125}\cdot0{,}25=8{,}75\cdot0{,}512\cdot0{,}25=1{,}12$. Қорытынды: $\frac{64}{3}-1{,}12+0{,}12=\frac{64}{3}-1=\frac{61}{3}=20\frac13$.
2. $\frac{36}{49}\cdot2{,}45=1{,}8$; $34-3\frac{5}{14}=30\frac{9}{14}$; $0{,}05\cdot256=12{,}8$. Қорытынды: $1{,}8+12{,}8-30\frac{9}{14}=14\frac35-30\frac{9}{14}=-16\frac{3}{70}$.
3. $6{,}25\cdot\frac{1024}{3125}=2{,}048$; $0{,}024\cdot729=17{,}496$. Қорытынды: $2{,}048-17{,}496+1{,}552=-13{,}896$.
4. $\frac{64}{121}\cdot\frac12\cdot\frac{1331}{27}=\frac{32\cdot11}{27}=\frac{352}{27}$; $\left(\frac43\right)^4:\frac{256}{3}=\frac{256}{81}\cdot\frac{3}{256}=\frac{1}{27}$. Қорытынды: $\frac{353}{27}=13\frac{2}{27}$.

Жауабы: 1) $20\frac13$; 2) $-16\frac{3}{70}$; 3) $-13{,}896$; 4) $13\frac{2}{27}$.

№ 7

1) $b=2^5\cdot5^2+200$ және $a=11$; 2) $b=(-3)^3\cdot4^4+6962$ және $a=5$; 3) $b=(0{,}5)^4\cdot2^8+18^2$ және $a=13{,}5$; 4) $b=0{,}2^8\cdot5^{10}+6^2$ және $a=50$ болса, $b$ санының $a%$-ын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен $b$-ны тап, сосын оны $\frac{a}{100}$-ге көбейт. $b$ үшін көрсеткіштері бірдей дәрежелерді біріктіру ыңғайлы.

Шешуі.

1. $b=32\cdot25+200=1000$; $1000\cdot0{,}11=110$.
2. $b=-27\cdot256+6962=-6912+6962=50$; $50\cdot0{,}05=2{,}5$.
3. $(0{,}5)^4\cdot2^8=(0{,}5\cdot2)^4\cdot2^4=16$; $18^2=324$; $b=340$; $340\cdot0{,}135=45{,}9$.
4. $0{,}2^8\cdot5^{10}=(0{,}2\cdot5)^8\cdot5^2=25$; $b=25+36=61$; $61\cdot0{,}5=30{,}5$.

Жауабы: 1) $110$; 2) $2{,}5$; 3) $45{,}9$; 4) $30{,}5$.

№ 8

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $5a^4-7b^5+11c^3$, мұндағы $a=2$, $b=-1$, $c=-1$; 2) $1{,}2x^5+3{,}9y^4-6c^4$, мұндағы $x=-1$, $y=2$, $c=-2$; 3) $0{,}005n^3+0{,}023m^3$, мұндағы $n=-10$, $m=10$; 4) $64t^6-27s^3+125k^3$, мұндағы $t=-\frac12$, $s=\frac13$, $k=-\frac15$.

Қалай ойлаймыз. Сандарды жақшаға алып қой, әсіресе теріс сандарды: тақ дәреже минусты сақтайды, жұп дәреже оны жояды.

Шешуі.

1. $5\cdot16-7\cdot(-1)+11\cdot(-1)=80+7-11=76$.
2. $1{,}2\cdot(-1)+3{,}9\cdot16-6\cdot16=-1{,}2+62{,}4-96=-34{,}8$.
3. $0{,}005\cdot(-1000)+0{,}023\cdot1000=-5+23=18$.
4. $64\cdot\frac{1}{64}-27\cdot\frac{1}{27}+125\cdot\left(-\frac{1}{125}\right)=1-1-1=-1$.

Жауабы: 1) $76$; 2) $-34{,}8$; 3) $18$; 4) $-1$.

№ 9

Өрнектердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $7^3\cdot(-2)^2$ және $10^3+7^3$; 2) $\left(-\frac29\right)^4\cdot0{,}729$ және $3^3-5^2\cdot1{,}01$; 3) $(-0{,}2)^3\cdot5^4$ және $6^4:(11^3-35)$; 4) $4^5:(2\cdot5^3)$ және $2^2\cdot(0{,}9^2+0{,}14)$.

Қалай ойлаймыз. Екі мәнді де тауып, сандарды салыстыр. Таңбаны ұмытпа: теріс санның жұп дәрежесі оң болады.

Шешуі.

1. Сол жағы $343\cdot4=1372$, оң жағы $1000+343=1343$. Демек, $1372>1343$.
2. Сол жағы $\frac{16}{6561}\cdot0{,}729=\frac{2}{1125}\approx0{,}0018$, оң жағы $27-25{,}25=1{,}75$. Демек, сол жағы кіші.
3. Сол жағы $-0{,}008\cdot625=-5$, оң жағы $1296:(1331-35)=1296:1296=1$. Демек, $-5<1$.
4. Сол жағы $1024:250=4{,}096$, оң жағы $4\cdot(0{,}81+0{,}14)=3{,}8$. Демек, $4{,}096>3{,}8$.

Жауабы: 1)

№ 10

Дәреженің қасиеттерін қолданып, өрнектердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $40^{20}$ және $20^{40}$; 2) $25^5$ және $125^8$; 3) $16^5$ және $64^3$; 4) $72^{10}$ және $32\cdot12^{10}$.

Қалай ойлаймыз. Екі жағын да бір негізге немесе бірдей көрсеткішке келтір. Сандардың өзін есептеудің қажеті жоқ.

Шешуі.

1. $20^{40}=(20^2)^{20}=400^{20}$, ал $40^{20}$-ның көрсеткіші сол 20, бірақ негізі кіші. Демек, $40^{20}<20^{40}$.
2. $25^5=5^{10}$, $125^8=5^{24}$. $10<24$ болғандықтан, $25^5<125^8$.
3. $16^5=2^{20}$, $64^3=2^{18}$. Демек, $16^5>64^3$.
4. $72^{10}=(6\cdot12)^{10}=6^{10}\cdot12^{10}$. $6^{10}$ мен $32=2^5$ салыстырамыз: $6^{10}$ әлдеқайда үлкен. Демек, $72^{10}>32\cdot12^{10}$.

Жауабы: 1)

Өрнектерді тепе-тең түрлендіру

№ 11

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $(a-5)^2+(a+7)(5-a)+8a$; 2) $-73+(6+a)^2+(9-a)(a+4)$; 3) $(3a-4)(9a+8)-(2-27a)(16-a)$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаларды формулалармен және «әрқайсысын әрқайсысына» көбейту ережесімен аш, таңбаларды мұқият қой, сосын ұқсас мүшелерді біріктір.

Шешуі.

1. $(a-5)^2=a^2-10a+25$; $(a+7)(5-a)=5a-a^2+35-7a=-a^2-2a+35$. Қосынды: $a^2-10a+25-a^2-2a+35+8a=60-4a$.
2. $(6+a)^2=36+12a+a^2$; $(9-a)(a+4)=9a+36-a^2-4a=-a^2+5a+36$. Қосынды: $-73+36+12a+a^2-a^2+5a+36=17a-1$.
3. $(3a-4)(9a+8)=27a^2+24a-36a-32=27a^2-12a-32$; $(2-27a)(16-a)=32-2a-432a+27a^2=27a^2-434a+32$. Айырма: $27a^2-12a-32-27a^2+434a-32=422a-64$.

Жауабы: 1) $60-4a$; 2) $17a-1$; 3) $422a-64$.

№ 12

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $(a^2-5)(3+2a)-2a(a^2+4)$; 2) $(2-3a)^3-4(2-9a)+26a^3$; 3) $(4+a)^3-(a-4)^3-36(2a^2+3)$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда кубтар пайда болады: $(x\pm y)^3=x^3\pm3x^2y+3xy^2\pm y^3$ формуласын қолдан. Көп қосылғыштар бір-бірін жояды.

Шешуі.

1. $(a^2-5)(3+2a)=3a^2+2a^3-15-10a$; $2a(a^2+4)=2a^3+8a$. Айырма: $3a^2-18a-15$.
2. Жоғарыда толық талданды: $-a^3+54a^2$.
3. $(4+a)^3=64+48a+12a^2+a^3$; $(a-4)^3=a^3-12a^2+48a-64$; олардың айырмасы $128+24a^2$. Сосын $-36(2a^2+3)=-72a^2-108$. Қорытынды: $20-48a^2$.

Жауабы: 1) $3a^2-18a-15$; 2) $-a^3+54a^2$; 3) $20-48a^2$.

№ 13

$x$-тің орнына қандай өрнек қойғанда: 1) $(4m+x)^2=16m^2+24mn+9n^2$; 2) $(2a-x)^2=4a^2-28ab+49b^2$; 3) $(x+9n)^2=36m^2+108mn+81n^2$; 4) $(x-6b)^2=64a^2-96ab+36b^2$ теңдігі ақиқат болады?

Қалай ойлаймыз. Оң жағы толық квадрат болуы керек. Екінші қосылғыштың квадраты неге тең екенін анықтап, екі еселенген көбейтіндіні тексер.

Шешуі.

1. Оң жағында $9n^2=(3n)^2$, ал $2\cdot4m\cdot3n=24mn$. Демек, $x=3n$.
2. $49b^2=(7b)^2$ және $2\cdot2a\cdot7b=28ab$. Демек, $x=7b$.
3. $36m^2=(6m)^2$ және $2\cdot6m\cdot9n=108mn$. Демек, $x=6m$.
4. $64a^2=(8a)^2$ және $2\cdot8a\cdot6b=96ab$. Демек, $x=8a$.

Жауабы: 1) $x=3n$; 2) $x=7b$; 3) $x=6m$; 4) $x=8a$.

№ 14

$y$-тің орнына қандай өрнек қойғанда: 1) $(5a-y)^2=25a^2-2ac+0{,}04c^2$; 2) $(0{,}5a+y)^2=0{,}25a^2+6ab+36b^2$; 3) $(y-5c)^2=0{,}64a^2-8ac+25c^2$; 4) $(1{,}4a+y)^2=1{,}96a^2+16{,}8ab+36b^2$ теңдігі ақиқат болады?

Қалай ойлаймыз. № 13-тегідей: екінші қосылғышты квадраты бойынша тауып, екі еселенген көбейтіндіні тексер.

Шешуі.

1. $0{,}04c^2=(0{,}2c)^2$, $2\cdot5a\cdot0{,}2c=2ac$. Демек, $y=0{,}2c$.
2. $36b^2=(6b)^2$, $2\cdot0{,}5a\cdot6b=6ab$. Демек, $y=6b$.
3. $0{,}64a^2=(0{,}8a)^2$, $2\cdot0{,}8a\cdot5c=8ac$. Демек, $y=0{,}8a$.
4. $36b^2=(6b)^2$, $2\cdot1{,}4a\cdot6b=16{,}8ab$. Демек, $y=6b$.

Жауабы: 1) $y=0{,}2c$; 2) $y=6b$; 3) $y=0{,}8a$; 4) $y=6b$.

№ 15

Айнымалының кез келген мәнінде: 1) $(8ac-4)(ac+5)-4ac(2ac+9)$; 2) $(15mn-7)(12mn+8)-36mn(5mn+1)$; 3) $(10x^2-3)(9x^2-2)-3x^2(30x^2+17)+98x^2$; 4) $(4cd^3-7)^2+4cd^3(14-4cd^3)$ өрнегінің мәні айнымалыдан тәуелді болмайтынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Жақшаларды аш. Егер өрнек «тәуелді болмаса», айнымалысы бар барлық қосылғыштар қысқарады да, бір сан қалады.

Шешуі.

1. $(8ac-4)(ac+5)=8a^2c^2+36ac-20$, ал $4ac(2ac+9)=8a^2c^2+36ac$. Айырма $-20$.
2. $(15mn-7)(12mn+8)=180m^2n^2+36mn-56$, ал $36mn(5mn+1)=180m^2n^2+36mn$. Айырма $-56$.
3. $(10x^2-3)(9x^2-2)=90x^4-47x^2+6$; $3x^2(30x^2+17)=90x^4+51x^2$. Айырма $-98x^2+6$, оған $98x^2$ қосқанда $6$ шығады.
4. $(4cd^3-7)^2=16c^2d^6-56cd^3+49$; $4cd^3(14-4cd^3)=56cd^3-16c^2d^6$. Қосынды $49$.

Жауабы: 1) $-20$; 2) $-56$; 3) $6$; 4) $49$. Айнымалылар қысқарады, демек, мән олардан тәуелді емес.

№ 16

Айнымалылардың кез келген мәнінде: 1) $25x^2(x^2-y^2)-25x^2(x^2+y^2)+50x^2y^2$; 2) $(5ac-8)^2-(8ac-5)^2+39(a^2c^2-1)$ өрнегінің мәні нөлге тең болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді біріктір: нөл шығуы керек.

Шешуі.

1. $25x^4-25x^2y^2-25x^4-25x^2y^2+50x^2y^2=0$.
2. $(5ac-8)^2=25a^2c^2-80ac+64$; $(8ac-5)^2=64a^2c^2-80ac+25$. Айырма $-39a^2c^2+39$. Оған $39a^2c^2-39$ қосамыз: $0$ шығады.

Жауабы: екі жағдайда да $0$.

№ 17

Теңдіктің ақиқаттығын тексеріңдер: 1) $(12a-5)^2-18a(8a-6)+12a=25$; 2) $17(a-3)^2-(4a+1)^2-22(7-5a)=a^2-2$; 3) $9\left(b+1\frac23\right)^2-21(2b+1)-(3b-2)^2-200=0$; 4) $15(5a+6)(6-5a)+13(6a-1)^2-31(17+3a^2)-26=-156a$.

Қалай ойлаймыз. Сол жағын ықшамдап, оң жағымен салыстыр. Нәтиже басқа болса, теңдік ақиқат емес.

Шешуі.

1. $144a^2-120a+25-144a^2+108a+12a=25$. Ақиқат.
2. $17a^2-102a+153-16a^2-8a-1-154+110a=a^2-2$. Ақиқат.
3. $9\left(b+\frac53\right)^2=9b^2+30b+25$; $-21(2b+1)=-42b-21$; $-(3b-2)^2=-9b^2+12b-4$. $-200$ болмаса, бәрі $0$-ге дейін қысқарар еді, ал онымен $-200$ шығады, ал $-200=0$ теңдігі орындалмайды. Ақиқат емес.
4. $15(36-25a^2)=540-375a^2$; $13(36a^2-12a+1)=468a^2-156a+13$; $-31(17+3a^2)=-527-93a^2$. Қосамыз: $a^2$-лы мүшелер қысқарады ($-375+468-93=0$), сандар $540+13-527-26=0$, қалғаны $-156a$. Ақиқат.

Жауабы: 1) ақиқат; 2) ақиқат; 3) ақиқат емес (сол жағы $-200$-ге тең); 4) ақиқат.

№ 18

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $(8a-5)(9a+10)-(12a-7)(11+6a)+55a$; 2) $(14a-3)(15a+10)-(35a+2)(7+6a)+162a$; 3) $(a-3)^3-(a+7)^3+30a^2+120a$; 4) $(a+5)^3+(6-a)^3+33(20+a-a^2)$.

Қалай ойлаймыз. Бәрі санға келіп тіреледі, өйткені айнымалылар қысқаруы керек (авторлар осылай ойластырған).

Шешуі.

1. $(8a-5)(9a+10)=72a^2+35a-50$; $(12a-7)(11+6a)=72a^2+90a-77$. Айырма $-55a+27$, оған $55a$ қосқанда $27$ шығады.
2. $(14a-3)(15a+10)=210a^2+95a-30$; $(35a+2)(7+6a)=210a^2+257a+14$. Айырма $-162a-44$, оған $162a$ қосқанда $-44$ шығады.
3. $(a-3)^3-(a+7)^3=(a^3-9a^2+27a-27)-(a^3+21a^2+147a+343)=-30a^2-120a-370$. Оған $30a^2+120a$ қосқанда $-370$ шығады.
4. $(a+5)^3+(6-a)^3=(a^3+15a^2+75a+125)+(216-108a+18a^2-a^3)=33a^2-33a+341$. Оған $660+33a-33a^2$ қосамыз: $1001$ шығады.

Жауабы: 1) $27$; 2) $-44$; 3) $-370$; 4) $1001$.

№ 19

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $(a-m+7)(a+m-7)-a^2=(m-7)^2$; 2) $(3x+5-y)(3x+5+y)+y^2=(3x+5)^2$; 3) $(6x-8y+7)(6x+8y-7)+(8y-7)^2=36x^2$; 4) $(9k+11+2m+n)(9k-2m+11-n)-9k(9k+22)+4m(m+n)=121-n^2$.

Қалай ойлаймыз. Квадраттар айырмасын іздe: екі жақшаның бір бөлігінің алдындағы таңбалары ғана өзгеше екенін байқа. Сол бөлікті «үлкен» жақшаға шығар.

Шешуі.

1. $(a-m+7)(a+m-7)=\bigl(a-(m-7)\bigr)\bigl(a+(m-7)\bigr)=a^2-(m-7)^2$. Демек, сол жағы $-(m-7)^2$-қа тең, ал $(m-7)^2$-қа емес. Дұрыс тепе-теңдік қосылғыштардың орнын ауыстырғанда шығады: $a^2-(a-m+7)(a+m-7)=(m-7)^2$. Дәлелдейміз: $a^2-\bigl(a^2-(m-7)^2\bigr)=(m-7)^2$.
2. $(3x+5-y)(3x+5+y)=(3x+5)^2-y^2$. $y^2$ қоссақ, $(3x+5)^2$ шығады.
3. $(6x-(8y-7))(6x+(8y-7))=36x^2-(8y-7)^2$. $(8y-7)^2$ қоссақ, $36x^2$ шығады.
4. Бірінші жақша $(9k+11)+(2m+n)$, екіншісі $(9k+11)-(2m+n)$. Олардың көбейтіндісі $(9k+11)^2-(2m+n)^2=81k^2+198k+121-4m^2-4mn-n^2$. $9k(9k+22)=81k^2+198k$ азайтып, $4m(m+n)=4m^2+4mn$ қосамыз. Қалғаны $121-n^2$.

Жауабы: 2), 3), 4) тепе-теңдіктері дәлелденді. 1) тармақ түзетілген түрінде дәлелденді.

📕 Оқулықта «$(a-m+7)(a+m-7)-a^2=(m-7)^2$» деп басылған, бірақ дұрысы «$a^2-(a-m+7)(a+m-7)=(m-7)^2$»: жақшалардың көбейтіндісі $a^2-(m-7)^2$-қа тең, сондықтан $a^2$ азайтқанда $-(m-7)^2$ шығады, ал $(m-7)^2$ емес.

№ 20

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $4+(a+b)^2-7a=a(2b-7)+(a^2+4+b^2)$; 2) $4t^2+(3-k)^2-(2t-7+k)=k^2+2t(2t-1)+k-8(k-2)$; 3) $9x^2-(3x-2y)^2=2y(6x-2y)$.

Қалай ойлаймыз. Екі жағын да бөлек ықшамда. Бірдей көпмүшелер шықса, тепе-теңдік дәлелденді.

Шешуі.

1. Сол жағы: $4+a^2+2ab+b^2-7a$. Оң жағы: $2ab-7a+a^2+4+b^2$. Қосылғыштар бірдей.
2. Сол жағы: $4t^2+9-6k+k^2-2t+7-k=4t^2+k^2-2t-7k+16$. Оң жағы: $k^2+4t^2-2t+k-8k+16=4t^2+k^2-2t-7k+16$.
3. Сол жағы: $9x^2-9x^2+12xy-4y^2=12xy-4y^2$. Оң жағы: $12xy-4y^2$.

Жауабы: үш тепе-теңдік те дәлелденді.

№ 21

Берілген өрнектердің тепе-теңдігін дәлелдеңдер: 1) $\dfrac{x-2}{x^2+2x+4}-\dfrac{6x}{x^3-8}+\dfrac{1}{x-2}$ және $\dfrac{2x-4}{x^2+2x+4}$; 2) $\dfrac{2a^2+7a+3}{a^3-1}-\dfrac{1-2a}{a^2+a+1}-\dfrac{3}{a-1}$ және $\dfrac{1}{a-1}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлгіштерді жікте: $x^3-8$ және $a^3-1$ айырмаларға жіктеледі. Бұл — барлық бөлшектердің ортақ бөлгіші.

Шешуі.

1. Жоғарыда толық талданды.
2. $a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$. Ортақ бөлшектің алымы: $(2a^2+7a+3)-(1-2a)(a-1)-3(a^2+a+1)$. Мұнда $(1-2a)(a-1)=-2a^2+3a-1$. Шығады: $2a^2+7a+3+2a^2-3a+1-3a^2-3a-3=a^2+a+1$. Қысқартамыз: $\frac{a^2+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)}=\frac{1}{a-1}$.

Жауабы: екі тепе-теңдік те дәлелденді ($x\ne2$ және $a\ne1$ болғанда).

№ 22

Амалдарды орындаңдар: 1) $\dfrac{18c^4}{7d}:(-9c^2d)$; 2) $\dfrac{14}{9x^3}:\dfrac{7x}{2y^2}$; 3) $\dfrac{3x}{10a^3}:\dfrac{1}{5a^2}$; 4) $27a^3\cdot\dfrac{a^2}{b}:\dfrac{18a^4}{7b^2}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлуді аударылған бөлшекке көбейтумен ауыстырамыз, сосын қысқартамыз.

Шешуі.

1. $\frac{18c^4}{7d}\cdot\frac{1}{-9c^2d}=-\frac{2c^2}{7d^2}$.
2. $\frac{14}{9x^3}\cdot\frac{2y^2}{7x}=\frac{28y^2}{63x^4}=\frac{4y^2}{9x^4}$.
3. $\frac{3x}{10a^3}\cdot5a^2=\frac{15xa^2}{10a^3}=\frac{3x}{2a}$.
4. $\frac{27a^5}{b}\cdot\frac{7b^2}{18a^4}=\frac{189a^5b^2}{18a^4b}=\frac{21ab}{2}$.

Жауабы: 1) $-\frac{2c^2}{7d^2}$; 2) $\frac{4y^2}{9x^4}$; 3) $\frac{3x}{2a}$; 4) $\frac{21ab}{2}$.

№ 23

$\dfrac{5a^2-10}{a^4+2a^3-a^2-4a-2}=\dfrac{6}{(a+1)^2}-\dfrac{1}{(a+1)^2}$ тепе-теңдігін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Сол жақтағы бөлгішті көбейткіштерге жіктеп көр. Оң жағы бірден қосылады.

Шешуі. Оң жағы: $\frac{6-1}{(a+1)^2}=\frac{5}{(a+1)^2}$. Енді сол жақтағы бөлгіш. Жіктеуді тексереміз: $(a^2-2)(a+1)^2=(a^2-2)(a^2+2a+1)=a^4+2a^3+a^2-2a^2-4a-2=a^4+2a^3-a^2-4a-2$. Алымы $5a^2-10=5(a^2-2)$. Сонда $\frac{5(a^2-2)}{(a^2-2)(a+1)^2}=\frac{5}{(a+1)^2}$.

Жауабы: екі жағы да $\frac{5}{(a+1)^2}$-қа тең, тепе-теңдік дәлелденді.

№ 24

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $\dfrac{3x^2}{5y^3}:\dfrac{27x^5}{2y^4}\cdot\dfrac{5y}{3(x-1)}$; 2) $\dfrac{25a(b-1)}{3^2d}:\dfrac{5cd^2}{9ab}:\dfrac{a^3(b-1)}{c^3d}$; 3) $\dfrac{28p^4}{15q^3}\cdot\dfrac{5q^2(p+1)}{14p^2}:\dfrac{3p^2}{4q^4}$; 4) $\dfrac{8x^3y^4}{13ab^2}:\dfrac{4xy^2}{13a^2b}:\dfrac{2x^2(y+2)}{ab}$.

Қалай ойлаймыз. Амалдар солдан оңға қарай орындалады. Алдымен бөлгіштерді аударып жазамыз, сосын бәрі бір үлкен бөлшекке айналады.

Шешуі.

1. $\frac{3x^2}{5y^3}\cdot\frac{2y^4}{27x^5}\cdot\frac{5y}{3(x-1)}=\frac{30x^2y^5}{405x^5y^3(x-1)}=\frac{2y^2}{27x^3(x-1)}$.
2. $\frac{25a(b-1)}{9d}\cdot\frac{9ab}{5cd^2}\cdot\frac{c^3d}{a^3(b-1)}=\frac{225a^2b(b-1)c^3d}{45a^3(b-1)cd^3}=\frac{5bc^2}{ad^2}$.
3. $\frac{28p^4}{15q^3}\cdot\frac{5q^2(p+1)}{14p^2}=\frac{2p^2(p+1)}{3q}$; сосын $\cdot\frac{4q^4}{3p^2}=\frac{8q^3(p+1)}{9}$.
4. $\frac{8x^3y^4}{13ab^2}\cdot\frac{13a^2b}{4xy^2}\cdot\frac{ab}{2x^2(y+2)}=\frac{104a^3b^2x^3y^4}{104ab^2x^3y^2(y+2)}=\frac{a^2y^2}{y+2}$.

Жауабы: 1) $\frac{2y^2}{27x^3(x-1)}$; 2) $\frac{5bc^2}{ad^2}$; 3) $\frac{8q^3(p+1)}{9}$; 4) $\frac{a^2y^2}{y+2}$.

№ 25

Егер $x=\dfrac{2n}{n-2}$ болса, 1) $\dfrac{x-3}{2x+n}$; 2) $\dfrac{2x-4n}{x+2n}+\dfrac{1}{2x}$; 3) $\dfrac{3x-3}{(2-n)x+n}-\dfrac{x-3}{2x-3n}$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $x$-тің орнына қойып, әр бөлікті $(n-2)$ ортақ бөлгішіне келтір. Жауап $n$-і бар өрнек болады.

Шешуі.

1. $x-3=\frac{2n-3n+6}{n-2}=\frac{6-n}{n-2}$; $2x+n=\frac{4n+n^2-2n}{n-2}=\frac{n(n+2)}{n-2}$. Бөлінді $\frac{6-n}{n(n+2)}=\frac{6-n}{n^2+2n}$.
2. $2x-4n=\frac{4n(3-n)}{n-2}$; $x+2n=\frac{2n(n-1)}{n-2}$. Олардың бөліндісі $\frac{2(3-n)}{n-1}$. $\frac{1}{2x}=\frac{n-2}{4n}$ қосамыз: $\frac{8n(3-n)+(n-2)(n-1)}{4n(n-1)}=\frac{-7n^2+21n+2}{4n(n-1)}$.
3. $3x-3=\frac{3(n+2)}{n-2}$; $(2-n)x+n=-2n+n=-n$. Бірінші бөлшек $-\frac{3(n+2)}{n(n-2)}$. Әрі қарай $x-3=\frac{6-n}{n-2}$, $2x-3n=\frac{n(10-3n)}{n-2}$, екінші бөлшек $\frac{6-n}{n(10-3n)}$. Айырма: $-\frac{3(n+2)}{n(n-2)}-\frac{6-n}{n(10-3n)}=\frac{-3(n+2)(3n-10)+(6-n)(n-2)}{n(n-2)(3n-10)}=\frac{-2(5n^2-10n-24)}{n(n-2)(3n-10)}$.

Жауабы: 1) $\frac{6-n}{n^2+2n}$; 2) $\frac{-7n^2+21n+2}{4n(n-1)}$; 3) $-\frac{2(5n^2-10n-24)}{n(n-2)(3n-10)}$.

№ 26

$x=0{,}5$; $y=4$ болғанда $\left(\frac xy+1\right)^2+\left(\frac xy-1\right)^2-2$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен ықшамда: $\pm1$ қосылған квадраттардың қосындысы қатты қысқарады.

Шешуі. $t=\frac xy$ дейік. Сонда $(t+1)^2+(t-1)^2-2=t^2+2t+1+t^2-2t+1-2=2t^2$. Мұнда $t=\frac{0{,}5}{4}=\frac18$, демек, $2t^2=2\cdot\frac{1}{64}=\frac{1}{32}$.

Жауабы: $\frac{1}{32}$.

№ 27

Айнымалының мүмкін мәндерінде берілген өрнектердің мәні айнымалыға тәуелді болмайтынын дәлелдеңдер: 1) $\left(\dfrac{4a}{a^2-1}+\dfrac{a-1}{a+1}\right)\cdot\dfrac{a}{a+1}-\dfrac{a}{a-1}$; 2) $\left(\dfrac{8a}{a^2-4}+\dfrac{a-2}{a+2}\right)\cdot\dfrac{a}{a+2}-\dfrac{a}{a-2}$.

Қалай ойлаймыз. Жақшадағы бөлшектерді $a^2-1$ (немесе $a^2-4$) ортақ бөлгішіне келтіріп қос. Алым толық квадрат болады.

Шешуі.

1. $\frac{4a+(a-1)^2}{a^2-1}=\frac{a^2+2a+1}{(a-1)(a+1)}=\frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)}=\frac{a+1}{a-1}$. $\frac{a}{a+1}$-ге көбейтеміз: $\frac{a}{a-1}$ шығады. $\frac{a}{a-1}$ азайтамыз: $0$.
2. $\frac{8a+(a-2)^2}{a^2-4}=\frac{a^2+4a+4}{(a-2)(a+2)}=\frac{a+2}{a-2}$. $\frac{a}{a+2}$-ге көбейтеміз: $\frac{a}{a-2}$. Азайтамыз: $0$.

Жауабы: екі жағдайда да мәні $0$-ге тең және $a$-дан тәуелді емес.

№ 28

Айнымалының мүмкін мәндерінде берілген өрнектердің мәні айнымалыға тәуелді болмайтынын дәлелдеңдер: 1) $\left(\dfrac{20a}{25-a^2}+\dfrac{5-a}{a+5}\right):\dfrac{a+5}{5}-\dfrac{5}{5-a}$; 2) $\left(\dfrac{28c}{c^2-49}+\dfrac{c-7}{c+7}\right)\cdot\dfrac{c}{c+7}-\dfrac{c}{c-7}$.

Қалай ойлаймыз. № 27-дегі әдіс: жақшада ортақ бөлгіш, алымды толық квадратқа жинау.

Шешуі.

1. $\frac{20a+(5-a)^2}{25-a^2}=\frac{a^2+10a+25}{(5-a)(5+a)}=\frac{a+5}{5-a}$. $\frac{a+5}{5}$-ке бөлеміз: $\frac{5}{5-a}$. $\frac{5}{5-a}$ азайтамыз: $0$.
2. $\frac{28c+(c-7)^2}{c^2-49}=\frac{c^2+14c+49}{(c-7)(c+7)}=\frac{c+7}{c-7}$. $\frac{c}{c+7}$-ге көбейтеміз: $\frac{c}{c-7}$. Азайтамыз: $0$.

Жауабы: екі жағдайда да мәні $0$-ге тең.

Теңдеулер және теңсіздіктер

№ 29

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(x+2)^2-(x^2+2^2)-2^3=0$; 2) $(3+x)^2-(x^2+3^2)-3^2=0$; 3) $0{,}5(0{,}5+2x)+x^2-10-(x^2+0{,}25)=0$; 4) $x\left(x+1\frac13\right)+\frac49-\frac34-\left(\frac49+x^2\right)=0$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаларды аш, $x^2$ қысқарады: сызықтық теңдеу қалады.

Шешуі.

1. $x^2+4x+4-x^2-4-8=4x-8=0$, $x=2$.
2. $9+6x+x^2-x^2-9-9=6x-9=0$, $x=1{,}5$.
3. $0{,}25+x+x^2-10-x^2-0{,}25=x-10=0$, $x=10$.
4. $x^2+\frac43x+\frac49-\frac34-\frac49-x^2=\frac43x-\frac34=0$, $x=\frac34\cdot\frac34=\frac{9}{16}$.

Жауабы: 1) $2$; 2) $1{,}5$; 3) $10$; 4) $\frac{9}{16}$.

№ 30

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\left(x-\frac12\right)^2=7\frac14+x^2$; 2) $2-\left(\frac1{64}+x^2\right)=-\left(x-\frac18\right)^2$; 3) $27+25x^2+2{,}7^2=7{,}29+5x(5x-5{,}4)$; 4) $\frac1{49}x^2-7\left(-x-\frac27\right)=-61+\left(-\frac17x\right)^2$.

Қалай ойлаймыз. Сол және оң жақтағы $x^2$ квадраттары бірдей, олар жоғалады. Сызықтық теңдеу қалады.

Шешуі.

1. $x^2-x+\frac14=7\frac14+x^2$, демек, $-x=7$, $x=-7$.
2. $2-\frac{1}{64}-x^2=-x^2+\frac x4-\frac{1}{64}$, демек, $2=\frac x4$, $x=8$.
3. $2{,}7^2=7{,}29$. Сол жағы $27+25x^2+7{,}29$, оң жағы $7{,}29+25x^2-27x$. Сонда $27=-27x$, $x=-1$.
4. $\frac{x^2}{49}+7x+2=-61+\frac{x^2}{49}$, демек, $7x=-63$, $x=-9$.

Жауабы: 1) $-7$; 2) $8$; 3) $-1$; 4) $-9$.

№ 31

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x^2-(x-7)(x+7)=5-2(-2-x)$; 2) $121-(11-x)(x+11)=187+x(x+11)$; 3) $x^2-0{,}3\cdot\frac3{10}-x=(x+0{,}3)(x-0{,}3)$; 4) $\left(x-\frac34\right)(x+0{,}75)+\frac34(0{,}75-x)=x^2+1{,}5$.

Қалай ойлаймыз. $(x-a)(x+a)=x^2-a^2$ формуласы теңдеулерді сызықтыққа айналдырады.

Шешуі.

1. $x^2-(x^2-49)=5+4+2x$, демек, $49=9+2x$, $x=20$.
2. $121-(121-x^2)=187+x^2+11x$, яғни $x^2=187+x^2+11x$, $x=-17$.
3. $0{,}3\cdot\frac{3}{10}=0{,}09$. Сонда $x^2-0{,}09-x=x^2-0{,}09$, демек, $-x=0$, $x=0$.
4. $\left(x-\frac34\right)\left(x+\frac34\right)=x^2-\frac{9}{16}$ және $\frac34\cdot\left(\frac34-x\right)=\frac{9}{16}-\frac34x$. Қосынды $x^2-\frac34x=x^2+1{,}5$, демек, $-\frac34x=1{,}5$, $x=-2$.

Жауабы: 1) $20$; 2) $-17$; 3) $0$; 4) $-2$.

№ 32

Теңдеулер жүйесін графиктік тәсілмен шешіңдер: 1) $\begin{cases}2{,}25x+2y=3,\2x+y=5;\end{cases}$ 2) $\begin{cases}3x-y=5,\2x+y=10.\end{cases}$

Қалай ойлаймыз. Екі айнымалысы бар әр теңдеу түзуді береді. Әрқайсысынан екі нүктеден тауып, түзулерді сыз, қиылысу нүктесі шешімді береді.

Шешуі.

1. Бірінші түзу: $y=\frac{3-2{,}25x}{2}$, нүктелері $(0;1{,}5)$ және $(4;-3)$. Екіншісі: $y=5-2x$, нүктелері $(0;5)$ және $(4;-3)$. Ортақ нүкте $(4;-3)$. Тексеру: $2{,}25\cdot4+2\cdot(-3)=9-6=3$ және $2\cdot4-3=5$. Дұрыс.
2. Бірінші түзу: $y=3x-5$, нүктелері $(1;-2)$ және $(3;4)$. Екіншісі: $y=10-2x$, нүктелері $(1;8)$ және $(3;4)$. Ортақ нүкте $(3;4)$. Тексеру: $9-4=5$ және $6+4=10$. Дұрыс.

Жауабы: 1) $(4;-3)$; 2) $(3;4)$.

№ 33

1) Үш еселенген бірінші сан мен екі еселенген екінші санның қосындысының мәні $62$, ал $5$-ке көбейтілген бірінші сан мен $6$-ға көбейтілген екінші санның айырмасының мәні $-18$ болатын екі санды табыңдар; 2) екі санның айырмасының мәні $3$-ке, ал қосындысының мәні $-7$-ге тең болатын екі санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сандарды $x$ және $y$ деп белгілеп, шарттарды жүйе етіп жазамыз.

Шешуі.

1. $\begin{cases}3x+2y=62,\5x-6y=-18.\end{cases}$ Бірінші теңдеуді 3-ке көбейтеміз: $9x+6y=186$. Екіншісімен қосамыз: $14x=168$, $x=12$. Сонда $2y=62-36=26$, $y=13$.
2. $\begin{cases}x-y=3,\x+y=-7.\end{cases}$ Қосамыз: $2x=-4$, $x=-2$, сосын $y=-5$.

Жауабы: 1) $12$ және $13$; 2) $-2$ және $-5$.

№ 34

1) Егер екі автомобильдің жақындау жылдамдығы $173$ км/сағ, ал алыстау жылдамдығы $17$ км/сағ болса, онда олардың жылдамдықтарын табыңдар; 2) егер теплоходтың өзен ағысымен жылдамдығы $47$ км/сағ, ал өзен ағысына қарсы жылдамдығы $39$ км/сағ болса, теплоходтың меншікті жылдамдығы мен өзен ағысының жылдамдығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Екі есепте де екі жылдамдықтың қосындысы мен айырмасы белгілі. Жарты қосынды үлкен жылдамдықты, жарты айырма кішісін береді.

Шешуі.

1. Жақындау: $v_1+v_2=173$. Алыстау (бір көлік екіншісін қуып жетеді): $v_1-v_2=17$. Қосамыз: $2v_1=190$, $v_1=95$, сосын $v_2=78$.
2. Ағыспен $v+u=47$, ағысқа қарсы $v-u=39$. Қосамыз: $2v=86$, $v=43$ км/сағ. Азайтамыз: $2u=8$, $u=4$ км/сағ.

Жауабы: 1) $95$ км/сағ және $78$ км/сағ; 2) $43$ км/сағ (меншікті жылдамдық) және $4$ км/сағ (ағыс жылдамдығы).

№ 35

Параметрі бар жүйені шешіңдер: 1) $\begin{cases}-2x+5y-7=0,\px+3y-1=0;\end{cases}$ 2) $\begin{cases}8x-9y+4=0,\4x-py+2=0.\end{cases}$

Қалай ойлаймыз. Қосу тәсілін таңда. Параметр көбейткішті «нөлге айналдыруы» мүмкін, онда бұл жағдайды бөлек қарастыру керек.

Шешуі.

1. $-2x+5y=7$ және $px+3y=1$ деп жазамыз. Біріншісін 3-ке, екіншісін 5-ке көбейтеміз: $-6x+15y=21$ және $5px+15y=5$. Азайтамыз: $(-6-5p)x=16$.
   • Егер $5p+6\ne0$ болса, онда $x=-\frac{16}{5p+6}$, ал $y=\frac{7+2x}{5}=\frac{7p+2}{5p+6}$.
   • Егер $p=-\frac65$ болса, онда $0\cdot x=16$ шығады, шешімі жоқ.
2. $8x-9y=-4$ және $4x-py=-2$ деп жазамыз. Екіншісін 2-ге көбейтеміз: $8x-2py=-4$. Біріншіден азайтамыз: $(2p-9)y=0$.
   • Егер $p\ne\frac92$ болса, онда $y=0$, $x=-\frac12$.
   • Егер $p=\frac92$ болса, теңдеулер беттеседі, шешімдері шексіз көп: кез келген $y$ үшін $\left(\frac{9y-4}{8};,y\right)$.

Жауабы: 1) $p\ne-\frac65$ болғанда: $x=-\frac{16}{5p+6}$, $y=\frac{7p+2}{5p+6}$; $p=-\frac65$ болғанда шешімі жоқ. 2) $p\ne\frac92$ болғанда: $(-\frac12;,0)$; $p=\frac92$ болғанда шешімдері шексіз көп.

№ 36

$x$-тің қандай мәндерінде: 1) $5x-16$; 2) $47-97x$; 3) $x^2-11-x(x-2)$; 4) $x(3+x)-x^2-33$; 5) $(x+5)^2-x^2-12x$; 6) $20x+x^2-(4-x)^2$ өрнегінің мәні теріс емес?

Қалай ойлаймыз. «Теріс емес» — $\ge0$ дегенді білдіреді. Өрнекті ықшамдап, сызықтық теңсіздікті шеш.

Шешуі.

1. $5x-16\ge0$, $x\ge3{,}2$.
2. $47-97x\ge0$, $x\le\frac{47}{97}$.
3. $x^2-11-x^2+2x=2x-11\ge0$, $x\ge5{,}5$.
4. $3x+x^2-x^2-33=3x-33\ge0$, $x\ge11$.
5. $x^2+10x+25-x^2-12x=25-2x\ge0$, $x\le12{,}5$.
6. $20x+x^2-16+8x-x^2=28x-16\ge0$, $x\ge\frac47$.

Жауабы: 1) $[3{,}2;+\infty)$; 2) $\left(-\infty;\frac{47}{97}\right]$; 3) $[5{,}5;+\infty)$; 4) $[11;+\infty)$; 5) $(-\infty;12{,}5]$; 6) $\left[\frac47;+\infty\right)$.

№ 37

$y$-тің қандай мәндерінде: 1) $y^2-16$ және $8y+y^2$; 2) $5y^3+10y$ және $17+5y^3$; 3) $(1-y)^2+13$ және $y^2-6$; 4) $87+y^2$ және $(y-3)^2-5$ өрнектері айырмасының мәндері нөлден кіші?

Қалай ойлаймыз. «Бірінші минус екінші» айырмасын құрып, ықшамда да,

Шешуі.

1. $(y^2-16)-(8y+y^2)=-8y-16<0$, демек, $y>-2$.
2. $(5y^3+10y)-(17+5y^3)=10y-17<0$, $y<1{,}7$.
3. $(1-y)^2+13-(y^2-6)=1-2y+y^2+13-y^2+6=20-2y<0$, $y>10$.
4. $87+y^2-\bigl((y-3)^2-5\bigr)=87+y^2-y^2+6y-9+5=6y+83<0$, $y<-\frac{83}{6}=-13\frac56$.

Жауабы: 1) $(-2;+\infty)$; 2) $(-\infty;1{,}7)$; 3) $(10;+\infty)$; 4) $\left(-\infty;-13\frac56\right)$.

Функция

№ 38

Теңдеудің графигін салыңдар: 1) $x+y-3=0$; 2) $x-y-3=0$; 3) $y-x+3=0$; 4) $y-x-3=0$; 5) $y+2x^3=0$; 6) $y-\frac3x=0$; 7) $y+\frac{0{,}3}{x}=0$.

Қалай ойлаймыз. Әр теңдеуді «$y=\dots$» түріне келтір. Түзулерді екі нүкте бойынша, кубтық парабола мен гиперболаны мәндер кестесі бойынша саламыз.

Шешуі.

1. $y=3-x$: нүктелері $(0;3)$ және $(3;0)$.
2. $y=x-3$: нүктелері $(0;-3)$ және $(3;0)$.
3. $y=x-3$. Бұл — 2) тармақтағы түзудің өзі.
4. $y=x+3$: нүктелері $(0;3)$ және $(-3;0)$. Ол 2), 3) тармақтардағы түзуге параллель.
5. $y=-2x^3$. Кесте: $x=-1\to2$; $x=-0{,}5\to0{,}25$; $x=0\to0$; $x=0{,}5\to-0{,}25$; $x=1\to-2$; $x=1{,}5\to-6{,}75$. Қисық координаталар басы арқылы екінші ширектен төртінші ширекке қарай өтеді.
6. $y=\frac3x$. Кесте: $x=0{,}5\to6$; $1\to3$; $2\to1{,}5$; $3\to1$; $6\to0{,}5$, ал теріс $x$ үшін симметриялы. Тармақтары I және III ширектерде.
7. $y=-\frac{0{,}3}{x}$. Кесте: $x=0{,}1\to-3$; $0{,}5\to-0{,}6$; $1\to-0{,}3$; $3\to-0{,}1$, ал теріс $x$ үшін симметриялы. Тармақтары IV және II ширектерде, осьтерге өте жақын.

Жауабы: графиктер салынды. 2) және 3) тармақтар беттеседі. 6) және 7) гиперболалар екі тармақтан тұрады.

№ 39

Графигі: 1) $A(-3;2)$ және $B(1;-1)$; 2) $M(-4;-2)$ және $K(2;4)$; 3) $F(-1;6)$ және $E(1;-6)$; 4) $T(5;3)$ және $P(-5;-3)$ нүктелері арқылы өтетін сызықтық функцияның формуласын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Формула $y=kx+b$. Бұрыштық коэффициент $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, сосын $b$-ны бір нүктені қою арқылы табамыз.

Шешуі.

1. $k=\frac{-1-2}{1+3}=-\frac34$. $B$ нүктесінен: $-1=-\frac34+b$, $b=-\frac14$.
2. $k=\frac{4+2}{2+4}=1$. $K$ нүктесінен: $4=2+b$, $b=2$.
3. $k=\frac{-6-6}{1+1}=-6$. $E$ нүктесінен: $-6=-6+b$, $b=0$.
4. $k=\frac{-3-3}{-5-5}=0{,}6$. $T$ нүктесінен: $3=3+b$, $b=0$.

Жауабы: 1) $y=-\frac34x-\frac14$; 2) $y=x+2$; 3) $y=-6x$; 4) $y=0{,}6x$.

№ 40

$x$-тің қандай мәндерінде: 1) $2{,}3x-7y-4{,}6=0$; 2) $5x+4y-9=0$; 3) $x^2+y=0$; 4) $y=2x^2$; 5) $y-\frac3x=0$; 6) $y+\frac2x=0$ теңдеуінің графигі абсцисса осінің төменгі жағында орналасады?

Қалай ойлаймыз. «$Ox$ осінен төмен» дегеніміз $y<0$. $y$-ті өрнектеп, теңсіздікті шешеміз.

Шешуі.

1. $y=\frac{2{,}3x-4{,}6}{7}<0$, демек, $x<2$.
2. $y=\frac{9-5x}{4}<0$, демек, $x>1{,}8$.
3. $y=-x^2<0$, $x\ne0$ болғанда.
4. $y=2x^2\ge0$ кез келген $x$ үшін. График осьтен төмен түспейді.
5. $y=\frac3x<0$, $x<0$ болғанда.
6. $y=-\frac2x<0$, $x>0$ болғанда.

Жауабы: 1) $x<2$; 2) $x>1{,}8$; 3) $x\ne0$; 4) мұндай $x$ жоқ; 5) $x<0$; 6) $x>0$.

№ 41

1-суреттегі функцияның графигін ($ABCD$ сынық сызығы) қолданып: 1) функцияның анықталу облысын табыңдар; 2) функция өсетін $x$ аргументінің мәндерін табыңдар; 3) функция кемитін $x$ аргументінің мәндерін табыңдар; 4) $A$, $B$, $C$, $D$ нүктелерінің координаталарын табыңдар; 5) графиктің координата осьтерімен қиылысу нүктелерінің координаталарын табыңдар; 6) $AB$, $BC$, $CD$ түзулерінің теңдеулерін жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Тор көздерді координаталар басынан бастап сана. Түзулерді екі нүкте бойынша жазамыз: $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

Шешуі. 4) Тор көздер бойынша: $A(-10;-4)$, $B(-2;-2)$, $C(2;2)$, $D(7;-7)$.

1. График $x=-10$-нан $x=7$-ге дейін созылады. Анықталу облысы $[-10;7]$.
2. $A$-дан $C$-ға дейін график көтеріледі: функция $[-10;2]$ аралығында өседі.
3. $C$-дан $D$-ға дейін график төмендейді: функция $[2;7]$ аралығында кемиді.
4. $Ox$ осі: $BC$ түзуі координаталар басы арқылы өтеді, бұл — $(0;0)$ нүктесі. $CD$ кесіндісі осьті $y=0$ болғанда қиып өтеді: $x=\frac{28}{9}\approx3{,}1$, яғни $\left(\frac{28}{9};0\right)$. $Oy$ осі: тек $(0;0)$ нүктесі.
5. $AB$: $k=\frac{-2+4}{-2+10}=\frac14$, $-2=\frac14\cdot(-2)+b$, $b=-1{,}5$, демек, $y=\frac x4-1{,}5$. $BC$: $k=\frac{2+2}{2+2}=1$, $b=0$, демек, $y=x$. $CD$: $k=\frac{-7-2}{7-2}=-1{,}8$, $2=-3{,}6+b$, $b=5{,}6$, демек, $y=-1{,}8x+5{,}6$.

Жауабы: 1) $[-10;7]$; 2) $[-10;2]$; 3) $[2;7]$; 4) $A(-10;-4)$, $B(-2;-2)$, $C(2;2)$, $D(7;-7)$; 5) $(0;0)$ және $\left(\frac{28}{9};0\right)$; 6) $y=\frac x4-\frac32$, $y=x$, $y=-\frac95x+\frac{28}{5}$.

№ 42

$y=4x+8$; $y=-5x+11$; $y=4x$; $y=5x$; $y=7x-0{,}5$; $y=-6x-0{,}5$; $y=1{,}5x+2$; $y=-9+1{,}5x$; $y=x-4$; $y=8+6x$ қай сызықтық функцияларының графиктері: 1) қиылысады; 2) параллель болады; 3) беттеседі?

Қалай ойлаймыз. Бәрін бұрыштық коэффициент $k$ шешеді. $k$ әртүрлі болса — қиылысады. $k$ бірдей, $b$ әртүрлі болса — параллель. $k$ да, $b$ да бірдей болса — беттеседі.

Шешуі. $k$ мен $b$-ны жазамыз: $(4;8)$, $(-5;11)$, $(4;0)$, $(5;0)$, $(7;-0{,}5)$, $(-6;-0{,}5)$, $(1{,}5;2)$, $(1{,}5;-9)$, $(1;-4)$, $(6;8)$.

• $y=4x+8$ және $y=4x$ функцияларының $k=4$ бірдей, ал $b$ әртүрлі, демек, бұл түзулер параллель.
• $y=1{,}5x+2$ және $y=-9+1{,}5x$ функцияларының $k=1{,}5$ бірдей, ал $b$ әртүрлі, демек, бұлар да параллель.
• Басқа бірдей $k$ жоқ, сондықтан қалған барлық түзу жұптары қиылысады. Мысалы, $y=7x-0{,}5$ және $y=-6x-0{,}5$ ордината осіндегі $(0;-0{,}5)$ нүктесінде, ал $y=4x+8$ және $y=8+6x$ $(0;8)$ нүктесінде қиылысады.
• Беттесетін түзулер жоқ, өйткені $k$ мен $b$ бірдей жұп жоқ.

Жауабы: 1) екі жұптан басқа кез келген екі функция қиылысады; 2) параллель: $y=4x+8$ және $y=4x$; $y=1{,}5x+2$ және $y=-9+1{,}5x$; 3) беттесетіндер жоқ.

№ 43

$x$ аргументінің қандай мәндері үшін: 1) $y=-0{,}125x+7$; 2) $y=0{,}3-0{,}015x$; 3) $y=32x-2^7$; 4) $y=1000x-80$; 5) $y=0{,}5x^2$; 6) $y=-3x^3$; 7) $y=\frac{0{,}3}{x}$; 8) $y=-\frac3x$ функциясының мәні оң болады?

Қалай ойлаймыз. $y>0$ теңсіздігін шеш. Теріс санға бөлгенде таңба өзгеретінін ұмытпа.

Шешуі.

1. $-0{,}125x+7>0$, $x<56$.
2. $0{,}3-0{,}015x>0$, $x<20$.
3. $2^7=128$; $32x>128$, $x>4$.
4. $1000x>80$, $x>0{,}08$.
5. $0{,}5x^2>0$ барлық $x\ne0$ үшін.
6. $-3x^3>0$, демек, $x^3<0$, $x<0$.
7. $\frac{0{,}3}{x}>0$, $x>0$ болғанда.
8. $-\frac3x>0$, $x<0$ болғанда.

Жауабы: 1) $x<56$; 2) $x<20$; 3) $x>4$; 4) $x>0{,}08$; 5) $x\ne0$; 6) $x<0$; 7) $x>0$; 8) $x<0$.

№ 44

1) $A(0;-4)$; 2) $B(8;-7)$; 3) $C(-8;-1)$; 4) $M(16;2)$; 5) $K(-16;-2)$; 6) $F(-4;-2{,}5)$ нүктесі $y=-\frac38x-4$ функциясының графигіне тиісті бола ма?

Қалай ойлаймыз. Нүктенің $x$-ін формулаға қой. Нүктенің $y$-і шықса, ол графикте жатыр.

Шешуі.

1. $x=0$: $y=-4$. Иә.
2. $x=8$: $-3-4=-7$. Иә.
3. $x=-8$: $3-4=-1$. Иә.
4. $x=16$: $-6-4=-10\ne2$. Жоқ.
5. $x=-16$: $6-4=2\ne-2$. Жоқ.
6. $x=-4$: $1{,}5-4=-2{,}5$. Иә.

Жауабы: $A$, $B$, $C$, $F$ тиісті; $M$ және $K$ тиісті емес.

№ 45

Егер бірінші сызықтық функцияның графигі $F(3;0)$ және $K(0;-3)$, екіншісі $M(-6;0)$ және $T(0;-6)$ нүктелері арқылы өтсе, ал үшінші мен төртінші функциялардың графиктері ордината осін ординатасы $6$-ға тең нүктеде қиып және сәйкесінше бірінші және екінші функциялардың графиктеріне параллель болса, онда осы төрт сызықтық функцияның формулаларын жазып, графиктерін бір координаталар жүйесінде салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Параллель түзулердің $k$ коэффициенті бірдей. Үшінші және төртінші түзулерде $b=6$.

Шешуі. Біріншісі: $k=\frac{-3-0}{0-3}=1$, $b=-3$, демек, $y=x-3$. Екіншісі: $k=\frac{-6-0}{0+6}=-1$, $b=-6$, демек, $y=-x-6$. Үшіншісі біріншіге параллель ($k=1$) және $b=6$: $y=x+6$. Төртіншісі екіншіге параллель ($k=-1$) және $b=6$: $y=-x+6$.

Жауабы: $y=x-3$; $y=-x-6$; $y=x+6$; $y=-x+6$.

№ 46

Графигі $M(-5;4)$ нүктесі арқылы өтетін және $y=1\frac13x+7$ функциясының графигіне параллель болатын сызықтық функцияның формуласын жазыңдар және графигін салыңдар. Функцияның мәні: 1) оң; 2) теріс болатын сызықтық функцияның аргументінің мәндерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Параллель түзудің $k=\frac43$ коэффициенті сол күйі. Бос мүшені $M$ нүктесін қою арқылы табамыз.

Шешуі. $y=\frac43x+b$. $M$ нүктесін қоямыз: $4=\frac43\cdot(-5)+b$, $b=4+\frac{20}{3}=\frac{32}{3}=10\frac23$. Графикті нүктелер бойынша саламыз: $(-8;0)$ және $(-5;4)$ (тағы $(-2;8)$ және $(1;12)$).

1. $\frac43x+\frac{32}{3}>0$, $x>-8$.
2. $\frac43x+\frac{32}{3}<0$, $x<-8$.

Жауабы: $y=1\frac13x+10\frac23$; 1) $x>-8$; 2) $x<-8$.

№ 47

Арман өзен бойымен төмен жүріп, сәл демалғаннан кейін кері қайтты. 2-суретте Арманның қозғалыс графигі көрсетілген ($t$ — минутпен, $s$ — километрмен). Графиктің көмегімен: 1) Арманның демалған уақытын (минутпен); 2) көтерілу жылдамдығын (км/сағ-пен); 3) жүруге қанша уақыт жібергенін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Графиктің көлденең бөлігі — тоқтау дегенді білдіреді. Жылдамдық жолды уақытқа бөлгенге тең.

Шешуі.

1. Көлденең бөлік $t=40$ мин-тан $t=120$ мин-қа дейін созылады: демалыс $120-40=80$ мин.
2. Көтерілу (қайту) $t=120$ мин-тан $t=180$ мин-қа дейін, яғни $60$ мин $=1$ сағ, және осы уақытта Арман $3$ км жүреді. Жылдамдығы $3:1=3$ км/сағ.
3. Жүру: төмен қарай $40$ мин және жоғары қарай $60$ мин, барлығы $40+60=100$ мин.

Жауабы: 1) $80$ мин; 2) $3$ км/сағ; 3) $100$ мин.

№ 48

Ара омартадан гүлге және кері ұшты. Ол гүлге қонып, одан шырын жинайды. Омартадан гүлге дейінгі қашықтық $5$ м. 3-суретте араның жылдамдығына қатысты ара мен омарта арасындағы қашықтық көрсетілген. Ара $40$ секундта қандай қашықтықты ұшып өткен?

Қалай ойлаймыз. Көлденең бөлік: ара гүлге қонып отыр, ұшпайды, бұл қашықтықты санамаймыз. Тек көлбеу бөліктерді санаймыз.

Шешуі. 0-ден 10 с-қа дейін ара гүлге ұшады: $5$ м. 10-нан 20 с-қа дейін шырын жинайды (отыр). 20 с-тан шамамен 37 с-қа дейін омартаға қайта ұшады: тағы $5$ м. Барлығы $5+5=10$ м. Осыдан кейін ара қайтадан ұшып шығады, бірақ 40 с-қа дейінгі қалған секунд бөліктерінде ол бір метрден аз ұшады.

Жауабы: $10$ м.

№ 49

2016 жылдың 15–28 наурыз аралығындағы $N$ қаласының ауа температурасы 4-суретте нүктелермен көрсетілген. Көлденеңінен айдың күндері, тігінен ауа райының температурасы берілген. Көрнекілік үшін нүктелер сызықтармен қосылған. Суретті қолданып, көрсетілген аралықтағы ауа температурасының ең үлкен және ең кіші шамаларының арасындағы айырмашылықты табыңдар. Жауапты Цельсий градус арқылы беріңдер.

Қалай ойлаймыз. Ең биік нүктені және ең төмен нүктені тап. Олардың айырмасы — жауап.

Шешуі. Ең жоғары температура 27 наурызда болды: $6,^\circ$C. Ең төменгісі 18 және 22 наурызда: $1,^\circ$C. Айырма $6-1=5$.

Жауабы: $5,^\circ$C.

№ 50

Химиялық реакция жасау барысында реакцияға түспеген зат (реагент) уақыт өте азаяды. Осы тәуелділік 5-суретте берілген. Абсцисса осінде реакция басталғаннан кейінгі уақыт (минутпен), ал ордината осінде реакцияға түспеген реагент массасы (граммен) көрсетілген. Төрт минутта реакцияға қанша грамм реагент түскенін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Графикте арасында $4$ минут өткен екі нүкте керек. Осьте $t=1$ және $t=5$ белгіленген, дәл $4$ мин. Реакцияға «кеткен» масса — $m$ мәндерінің айырмасы.

Шешуі. $t=1$ мин болғанда графикте $m=2$ г, ал $t=5$ мин болғанда $m=1$ г. Осы $4$ мин ішінде реакцияға $2-1=1$ г реагент түсті.

Жауабы: $1$ г.

№ 51

$y=-\frac2x$ функциясының графигі берілген (6-сурет). График бойынша $x$-тің қандай мәндерінде функцияның: 1) теріс емес мәндерді қабылдайтынын; 2) кемитінін; 3) 2-ден кем емес мәндерді қабылдайтынын; 4) $-1$-ден кіші мәндерді қабылдайтынын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $y=-\frac2x$ гиперболасының сол жақ тармағы $Ox$ осінен жоғары (II ширекте), оң жағы төмен (IV ширекте) жатыр. Шекараларды формулаға қойып, графиктің бағытын қарайық.

Шешуі.

1. $y=-\frac2x\ge0$, $x<0$ болғанда (сол жақ тармақ).
2. Екі тармақ та төменнен жоғары қарай өседі: сол жағы $0$-ден $+\infty$-ке, оң жағы $-\infty$-тен $0$-ге дейін. Кемитін бөліктер жоқ.
3. $-\frac2x\ge2$, $x<0$ болғанда. $x<0$-ге көбейтіп, таңбаны өзгертеміз: $-2\le2x$, бұдан $x\ge-1$. $x<0$ ескерсек: $[-1;0)$.
4. $-\frac2x<-1$, $x>0$ болғанда (оң жақ тармақ). $x>0$-ге көбейтеміз: $-2<-x$, бұдан $x<2$. Қорытынды $(0;2)$.

Жауабы: 1) $(-\infty;0)$; 2) кемитін бөлік жоқ (функция екі тармақтың әрқайсысында өседі); 3) $[-1;0)$; 4) $(0;2)$.

№ 52

Екі функцияның графиктері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады (7-сурет). $A$ және $B$ нүктелерінің координаталарын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Қиылысу нүктелерінің координаталарын тор көздер бойынша оқы. Сосын қою арқылы тексер: график — $y=x-2$ түзуі және $y=\frac{1}{x-2}$ гиперболасы.

Шешуі. $A$ нүктесі $Oy$ осінен 3 тор көз оңға және $Ox$ осінен 1 тор көз жоғары жатыр, демек, $A(3;1)$. $B$ нүктесі осьтен 1 тор көз оңға және 1 тор көз төмен жатыр, демек, $B(1;-1)$. Формулалар бойынша тексеру: $x-2=\frac{1}{x-2}$, яғни $(x-2)^2=1$, бұдан $x=3$ немесе $x=1$. Сонда $y=1$ және $y=-1$.

Жауабы: $A(3;1)$, $B(1;-1)$.

№ 53

$y=\frac5x$ функциясының графигі берілген (8-сурет). Функцияның графигі: 1) $A(1;7)$; 2) $B(-5;-1)$; 3) $C(2;1)$; 4) $M(-2;-2{,}5)$ нүктесі арқылы өте ме?

Қалай ойлаймыз. Нүктенің $x$-ін формулаға қойып, оның $y$-і шығатынын қара. Немесе $xy$ көбейтіндісі $5$-ке тең бола ма, соны тексер.

Шешуі.

1. $x=1$: $y=5\ne7$. Жоқ.
2. $x=-5$: $y=-1$. Иә, және $xy=5$.
3. $x=2$: $y=2{,}5\ne1$. Жоқ.
4. $x=-2$: $y=-2{,}5$. Иә.

Жауабы: $B$ және $M$ арқылы өтеді; $A$ және $C$ арқылы өтпейді.

Тест тапсырмалары және есептер

№ 54

$2$ км-дің $20%$-ы қанша метрді құрайды? A) $200$ м; B) $250$ м; C) $400$ м; D) $500$ м.

Қалай ойлаймыз. Алдымен километрді метрге айналдыр.

Шешуі. $2$ км $=2000$ м. $2000$-ның $20%$-ы: $2000\cdot0{,}2=400$ м.

Жауабы: C) $400$ м.

№ 55

Біртаңбалы сандар екітаңбалы сандардан қаншаға кем? A) $83$-ке кем; B) $82$-ге кем; C) $92$-ге кем; D) $81$-ге кем.

Қалай ойлаймыз. Әр түрдегі сандардың санын сана.

Шешуі. Біртаңбалы натурал сан $9$ (1-ден 9-ға дейін). Екітаңбалы $99-9=90$ (10-нан 99-ға дейін). Айырма $90-9=81$.

Жауабы: D) $81$-ге кем.

№ 56

Егер $x$ саны $1000$ санының $30%$-ына, ал $500$ санының $10%$-ы $y$ санына тең болса, онда келесі тұжырымдардың арасынан ақиқат тұжырымды көрсетіңдер: A) $x+2y=450$; B) $2x-y=500$; C) $y-3x=800$; D) $0{,}1xy=1500$.

Қалай ойлаймыз. $x$ пен $y$-ті тауып, әр нұсқаға қойып көр.

Шешуі. $x=1000\cdot0{,}3=300$, $y=500\cdot0{,}1=50$. A) $300+100=400\ne450$. B) $600-50=550\ne500$. C) $50-900=-850\ne800$. D) $0{,}1\cdot300\cdot50=1500$. Ақиқат.

Жауабы: D).

№ 57

Шаршының ауданы периметрі $52$ см, ені $8$ см болатын тіктөртбұрыштың ауданына тең. Шаршының қабырғасын табыңдар: A) $13$ см; B) $14$ см; C) $15$ см; D) $12$ см.

Қалай ойлаймыз. Алдымен тіктөртбұрыштың екінші қабырғасын тап, сосын ауданын.

Шешуі. Жарты периметр $52:2=26$ см, ұзындығы $26-8=18$ см. Ауданы $18\cdot8=144$ см$^2$. Шаршының қабырғасы $\sqrt{144}=12$ см.

Жауабы: D) $12$ см.

№ 58

9-суретте 7-сынып оқушыларының саны берілген: 7А — $26$, 7Ә — $33$, 7Б — $x$, 7В — $34$, 7Г — $27$. 1) 7Б сыныбының оқушыларының саны барлық 7-сынып оқушыларының санынан $5$ есе кем. 7Б сыныбында қанша оқушы бар? A) $31$; B) $32$; C) $29$; D) $30$. 2) Ақиқат тұжырымды көрсетіңдер. а) барлық 7-сынып оқушыларының саны $160$-қа тең; ә) 7А және 7В сыныптарының оқушылары сандарының қосындысы 7Б сыныбының оқушыларының санынан екі есе артық.

Қалай ойлаймыз. 7Б сыныбында $x$ оқушы болсын. Параллельдегі барлық оқушы $26+33+x+34+27=120+x$. Шарт бойынша бұл $x$-тен 5 есе көп.

Шешуі.

1. $120+x=5x$, $4x=120$, $x=30$.
2. Барлығы $120+30=150$, ал $160$ емес, демек, а) қате. 7А және 7В: $26+34=60=2\cdot30$, демек, ә) дұрыс.

Жауабы: 1) D) $30$; 2) ә).

№ 59

$-10$ және $10$ сандары аралығында орналасқан бүтін сандар саны осы аралықта орналасқан натурал сандар санынан қаншаға кем? A) $12$-ге кем; B) $13$-ке кем; C) $11$-ге кем; D) $10$-ға кем.

Қалай ойлаймыз. Аралықтағы бүтін сандарға нөл мен барлық теріс сандар да кіреді. Айырма — осы «артық» сандардың саны.

Шешуі. $-10$-нан $10$-ға дейінгі бүтін сандар: $21$ сан. Натурал сандар: $1, 2, \dots, 10$, яғни $10$ сан. Айырма $21-10=11$ (бұл — нөл және он теріс сан).

Жауабы: C) $11$-ге.

📕 Оқулықта «бүтін сандар саны натурал сандар санынан қаншаға кем?» деп басылған, бірақ дұрысы «натурал сандар саны бүтін сандар санынан қаншаға кем?»: аралықта $21$ бүтін және $10$ натурал сан бар, яғни бүтін сандар көбірек, сондықтан олардың саны «кем» бола алмайды. Жауап нұсқаларындағы $11$ санына дұрыс шарт сәйкес келеді.

№ 60

1-кестеде оқушылардың $500$ метрге жүгіру нәтижелері берілген: нәтиже $60$–$75$ с — $8$ оқушы, $76$–$90$ с — $9$, $91$–$106$ с — $11$, $107$–$120$ с — $12$. 1) Жүгіруге қанша оқушы қатысқан? A) $50$; B) $40$; C) $48$; D) $52$. 2) $60$–$75$ с аралығындағы нәтижелерді көрсеткен оқушылар саны жалпы оқушылар санының қанша пайызын құрайды? A) $26%$; B) $35%$; C) $40%$; D) $25%$. 3) $107$–$120$ с аралығындағы нәтижелерді көрсеткен оқушылар саны жалпы оқушылар санының қанша бөлігін құрайды? A) $\frac1{10}$; B) $\frac3{10}$; C) $\frac25$; D) $\frac38$.

Қалай ойлаймыз. Екінші қатардағы барлық сандарды қос, қатысушылардың жалпы санын аласың. Үлес «бөлік : бүтін» қатынасына тең.

Шешуі.

1. $8+9+11+12=40$.
2. $\frac{8}{40}=0{,}2=20%$.
3. $\frac{12}{40}=\frac{3}{10}$.

Жауабы: 1) B) $40$; 2) $20%$ (нұсқаларда мұндай жауап жоқ); 3) B) $\frac3{10}$.

📕 Оқулықтың нұсқаларында «$26%$; $35%$; $40%$; $25%$» деп басылған, бірақ дұрыс жауап $20%$: $8:40=0{,}2$, яғни $20%$, ал нұсқалардың бірде-бірі бұл санға тең емес.

№ 61

10-суретте мерекені әшекейлеу үшін алынған шарлардың сандары түрлеріне қарай көрсетілген, мұндағы $x$ — қандай да бір сан: жасыл $x$, қызыл $120$, сары $100$, ақ $60$, көк $140$. 1) Жасыл түсті шарлардың саны барлық шарлар санының $16%$-ын құрайтын болса, онда $x$-тің мәнін табыңдар. A) $70$; B) $90$; C) $80$; D) $85$. 2) Мерекені әшекейлеу үшін барлығы қанша дана шар сатып алынған? A) $500$; B) $400$; C) $450$; D) $480$. 3) Сары шарлардың саны барлық шарлар санының қанша бөлігін құрайды? A) $0{,}25$; B) $0{,}4$; C) $0{,}5$; D) $0{,}2$.

Қалай ойлаймыз. Барлық шар бірге: $x+120+100+60+140=x+420$. Жасыл шарлар осы санның $16%$-ын құрайды.

Шешуі.

1. $x=0{,}16(x+420)$, $0{,}84x=67{,}2$, $x=80$.
2. Барлығы $80+420=500$.
3. Сары шарлар $\frac{100}{500}=0{,}2$.

Жауабы: 1) C) $80$; 2) A) $500$; 3) D) $0{,}2$.

№ 62

Құрылыс жұмыстарын жүргізу үшін бояудың төрт түрі сатып алынған (11-сурет): I түрі — $20%$, II түрі — $\frac14$ бөлігі, III түрі — $40$ дана, IV түрі — $15%$. 1) Бояудың III түрі барлық бояулар данасының қанша пайызын құрайды? A) $50%$; B) $45%$; C) $40%$; D) $35%$. 2) Барлығы қанша дана бояу сатып алынған? A) $95$; B) $90$; C) $110$; D) $100$.

Қалай ойлаймыз. Бүкіл дөңгелек — $100%$. $\frac14$ бөлігі — $25%$. Белгілі үлестерді азайтсаң, III түрдің үлесін аласың.

Шешуі.

1. $100-20-25-15=40%$.
2. $40$ дана — бұл $40%$. Сонда барлығы $40:0{,}4=100$ дана.

Жауабы: 1) C) $40%$; 2) D) $100$ дана.

№ 63

Егер $a,&,c=a^2\cdot c^{-1}$ болса, онда $(3,&,1{,}8),&,0{,}5$ өрнегінің мәнін табыңдар. A) $50$; B) $60$; C) $72$; D) $56$.

Қалай ойлаймыз.

Шешуі. $3,&,1{,}8=\frac{3^2}{1{,}8}=\frac{9}{1{,}8}=5$. Сосын $5,&,0{,}5=\frac{25}{0{,}5}=50$.

Жауабы: A) $50$.

№ 64

12-суретте тең бөліктерге бөлінген тіктөртбұрыш берілген: қатарда $12$ торкөз, $5$ қатар, $20$ торкөз боялған. 1) Тіктөртбұрыштың боялған бөлігі оның қанша бөлігін құрайды? A) $\frac13$; B) $\frac23$; C) $\frac14$; D) $\frac34$. 2) Тіктөртбұрыштың боялмаған бөлігі оның қанша пайызын құрайды? A) $66\frac23%$; B) $66\frac13%$; C) $66%$; D) $67%$. 3) Егер бір торкөздің қабырғасының ұзындығы $2$ см болса, онда тіктөртбұрыштың боялмаған бөлігінің ауданы боялған бөлігінің ауданынан қанша квадрат сантиметрге артық? A) $70$; B) $90$; C) $80$; D) $85$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен барлық торкөзді және боялғандарын сана. Сосын үлес, пайыз, бір торкөздің ауданы.

Шешуі. Барлық торкөз $12\cdot5=60$. Боялғандары қатарлар бойынша (жоғарыдан төмен): $2+5+3+6+4=20$. Боялмағаны $60-20=40$.

1. $\frac{20}{60}=\frac13$.
2. $\frac{40}{60}=\frac23=66\frac23%$.
3. Бір торкөздің ауданы $2\cdot2=4$ см$^2$. Боялмағандары $40-20=20$ торкөзге артық, яғни $20\cdot4=80$ см$^2$-қа.

Жауабы: 1) A) $\frac13$; 2) A) $66\frac23%$; 3) C) $80$ см$^2$.

№ 65

Халықаралық конференцияда бір топ аудармашы жұмыс жасады. Олардың $12$-сі ағылшын, $10$-ы француз, $8$-і түрік, $5$-еуі ағылшын және француз, $2$-еуі ағылшын және түрік, $3$-еуі француз және түрік, $2$-еуі ағылшын, француз және түрік тілдерінен аудармашы болды. Халықаралық конференцияда қанша аудармашы жұмыс жасаған? A) $18$; B) $19$; C) $22$; D) $20$.

Қалай ойлаймыз. Бұл — үш жиынның бірігуіне арналған есеп. Барлығын қосамыз, жұптарды азайтамыз, үштік қиылысуды қосамыз.

Шешуі. $12+10+8-5-2-3+2=30-10+2=22$.

Жауабы: C) $22$.

№ 66

Қабырғасының ұзындығы $1$ м текшені қабырғасының ұзындығы $1$ см болатын текшелерге бөлген. Шыққан текшелерді бір қатарға жинайтын болса, онда қатардың ұзындығы қанша болады?

Қалай ойлаймыз. Алдымен үлкен текшеге кіші текшенің қаншасы сиятынын сана. Сосын бір текшенің ұзындығына көбейт.

Шешуі. $1$ м-де $100$ см бар, сондықтан әр қабырға бойымен $100$ текше сияды. Барлығы $100^3=10^6$ текше. Олардан құралған қатардың ұзындығы $10^6\cdot1$ см $=10^6$ см $=10,000$ м $=10$ км. Бұл — қаладан тыс жерге жақсы жаяу серуендеудің ұзындығы.

Жауабы: $10$ км.

№ 67

Әр жуған сайын сабын $20%$-ға азаяды. Қанша рет жуғаннан кейін сабын көлемінің азаюы үштен екі бөлігінен кем емес болады? Ең кіші санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. «Үштен екі бөлігінен кем емес азаяды» дегеніміз — бастапқы сабынның $\frac13$-інен көп емес бөлігі қалады деген сөз. Әр жуғаннан кейін алдыңғы мәннің $0{,}8$ бөлігі қалады.

Шешуі. $n$ рет жуғаннан кейін $0{,}8^n$ қалады. $0{,}8^n\le\frac13\approx0{,}3333$ керек. Жоғарыдағы кесте бойынша: $n=4$ болғанда $0{,}4096$ (аз), $n=5$ болғанда $0{,}32768$ (жеткілікті).

Жауабы: $5$ рет.

Жадынама

• Тепе-теңдікті былай дәлелде: екі жағын да ықшамда да, бірдей өрнектер шыққанын көрсет.
• Теңсіздік: теріс санға көбейткенде немесе бөлгенде таңба өзгереді.
• A–D тесті: шығара алмасаң, нұсқаларды шартқа қойып көр.
• Пайыз: $b$ санының $p%$-ы — $b\cdot\frac{p}{100}$. Бүтіннің бөлігі: $\frac{\text{бөлік}}{\text{бүтін}}$.
• Үш жиын: $|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$.

⚠️ Жиі кететін қате. $-3^2=-9$, ал $(-3)^2=9$. Минус дәрежеден бұрын жақшасыз тұрса, ол негізге кірмейді.

⚠️ Жиі кететін қате. $(a+b)^2\ne a^2+b^2$. Екі еселенген $2ab$ көбейтіндісін ұмытпа.

Шағын тест