5-6-сыныптардағы математика курсын қайталауға арналған жаттығулар

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 0 бөлім: Кіріспе және қайталау. 8–22-беттер.

Нені қайталаймыз

Жаңа алгебраны бастамас бұрын біраз қызу керек. Мұнда өзің білетіннің бәрі бойынша алпыс тапсырма бар:

• бөлшектермен, модульмен және пайыздармен есептеу;
• өрнекті ықшамдау және оған сан қою;
• теңдеулер, пропорциялар және теңдеулер жүйесі;
• теңсіздіктер, сан аралықтары және модуль;
• координаталық жазықтық және симметрия;
• формулалар, қозғалысқа және жұмысқа берілген есептер;
• орташа мән, құлаш, медиана, диаграммалар және жиындар.

💡 Санына қорықпа. Бөлім-бөлімімен алып, қиындарына ертеңіне қайта орал. Әр тапсырманың жауабын батырманы басып тексеруге болады.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бұл — диагностика. Бәрін бір кешке шығарудың қажеті жоқ: бала әр бөлімнен 2–3 тапсырма таңдасын. Егер бір жерде «жүзіп кетсе» (бөлшектер, таңбалар, пайыздар), 1-параграфқа дейін сол тақырыпқа жеке уақыт бөлген жөн.

Жаттығуларды шығарамыз

Есептеулер

№ 1

Есептеңдер: 1) $7{,}8\cdot\frac{4}{13}-61{,}5:13\frac{2}{3}+198{,}8$; 2) $19{,}25\cdot\frac{5}{11}+5{,}76\cdot\frac{5}{12}-13{,}009$; 3) $4{,}625\cdot2\frac{2}{15}:2{,}96-2\frac{4}{7}$; 4) $30{,}25:4\frac{5}{7}:1{,}05-2\frac{1}{6}$.

Қалай ойлаймыз. Амалдар реті: алдымен көбейту мен бөлуді солдан оңға қарай, содан кейін қосу мен азайтуды орындаймыз. Ондық бөлшектерді жай бөлшекке, аралас сандарды бұрыс бөлшекке айналдырған ыңғайлы.

Шешуі.

1. $7{,}8\cdot\frac{4}{13}=0{,}6\cdot4=2{,}4$. $61{,}5:13\frac{2}{3}=61{,}5\cdot\frac{3}{41}=4{,}5$. Барлығы $2{,}4-4{,}5+198{,}8=196{,}7$.
2. $19{,}25\cdot\frac{5}{11}=1{,}75\cdot5=8{,}75$. $5{,}76\cdot\frac{5}{12}=0{,}48\cdot5=2{,}4$. Барлығы $8{,}75+2{,}4-13{,}009=-1{,}859$.
3. $4{,}625=\frac{37}{8}$, $2\frac{2}{15}=\frac{32}{15}$, $2{,}96=\frac{74}{25}$. Сонда $\frac{37}{8}\cdot\frac{32}{15}:\frac{74}{25}=\frac{148}{15}\cdot\frac{25}{74}=\frac{10}{3}$. Әрі қарай $\frac{10}{3}-\frac{18}{7}=\frac{70-54}{21}=\frac{16}{21}$.
4. $30{,}25=\frac{121}{4}$, $4\frac{5}{7}=\frac{33}{7}$, $1{,}05=\frac{21}{20}$. Сонда $\frac{121}{4}\cdot\frac{7}{33}\cdot\frac{20}{21}=\frac{55}{9}$. Әрі қарай $\frac{55}{9}-\frac{13}{6}=\frac{110-39}{18}=\frac{71}{18}=3\frac{17}{18}$.

Жауабы: 1) $196{,}7$; 2) $-1{,}859$; 3) $\frac{16}{21}$; 4) $3\frac{17}{18}$.

№ 2

Амалдарды орындаңдар: 1) $\left(5\frac{5}{6}+8\frac{2}{9}\right):25{,}3-3\frac{1}{9}+1{,}5:\frac{27}{28}$; 2) $117{,}5\cdot\frac{4}{47}-11\frac{2}{3}+\left(10\frac{2}{25}-8\frac{7}{15}\right):\frac{11}{45}$; 3) $\left(73{,}6-72\frac{5}{9}\right):6\frac{4}{15}+\frac{7}{13}\cdot\left(20\frac{2}{3}-19\frac{3}{7}\right)$; 4) $\left(81\frac{2}{15}-79{,}3\right)\cdot(24{,}04-22{,}68)\cdot\left(1\frac{2}{3}+1\frac{1}{9}\right)$; 5) $\left(52{,}25-49\frac{1}{7}\right)\cdot(40{,}01-36{,}81):\left(6\frac{1}{6}-2\frac{1}{42}\right)$; 6) $(28{,}24-29{,}1)\cdot\left(11{,}75+30\frac{5}{6}\right):\left(40{,}4-6\frac{1}{3}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаны бірінші ашамыз. Әр жақшада «әдемі» сан шығады, ол әрі қарай жақсы қысқарады.

Шешуі.

1. $5\frac{5}{6}+8\frac{2}{9}=14\frac{1}{18}=\frac{253}{18}$. $\frac{253}{18}:25{,}3=\frac{5}{9}$. $3\frac{1}{9}=\frac{28}{9}$. $1{,}5:\frac{27}{28}=\frac{3}{2}\cdot\frac{28}{27}=\frac{14}{9}$. Барлығы $\frac{5-28+14}{9}=-1$.
2. $117{,}5\cdot\frac{4}{47}=2{,}5\cdot4=10$. Жақша: $10\frac{2}{25}-8\frac{7}{15}=1\frac{46}{75}=\frac{121}{75}$; бөлеміз: $\frac{121}{75}\cdot\frac{45}{11}=\frac{33}{5}=6{,}6$. Барлығы $10-11\frac{2}{3}+6{,}6=4\frac{14}{15}$.
3. $73{,}6-72\frac{5}{9}=1\frac{2}{45}=\frac{47}{45}$; $\frac{47}{45}:\frac{94}{15}=\frac{1}{6}$. Екінші жақша: $20\frac{2}{3}-19\frac{3}{7}=1\frac{5}{21}=\frac{26}{21}$; $\frac{7}{13}\cdot\frac{26}{21}=\frac{2}{3}$. Барлығы $\frac{1}{6}+\frac{2}{3}=\frac{5}{6}$.
4. $81\frac{2}{15}-79{,}3=\frac{11}{6}$; $24{,}04-22{,}68=1{,}36=\frac{34}{25}$; $1\frac{2}{3}+1\frac{1}{9}=\frac{25}{9}$. Көбейтінді: $\frac{11}{6}\cdot\frac{34}{25}\cdot\frac{25}{9}=\frac{374}{54}=\frac{187}{27}=6\frac{25}{27}$.
5. $52{,}25-49\frac{1}{7}=\frac{87}{28}$; $40{,}01-36{,}81=3{,}2=\frac{16}{5}$; $6\frac{1}{6}-2\frac{1}{42}=\frac{29}{7}$. Сонда $\frac{87}{28}\cdot\frac{16}{5}=\frac{348}{35}$ және $\frac{348}{35}:\frac{29}{7}=\frac{12}{5}=2{,}4$.
6. $28{,}24-29{,}1=-0{,}86$; $11{,}75+30\frac{5}{6}=42\frac{7}{12}=\frac{511}{12}$; $40{,}4-6\frac{1}{3}=34\frac{1}{15}=\frac{511}{15}$. $511$ сандары қысқарады: $-0{,}86\cdot\frac{15}{12}=-1{,}075=-1\frac{3}{40}$.

Жауабы: 1) $-1$; 2) $4\frac{14}{15}$; 3) $\frac{5}{6}$; 4) $6\frac{25}{27}$; 5) $2{,}4$; 6) $-1\frac{3}{40}$.

№ 3

Өрнектердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $0{,}5-\frac{4}{7}\cdot2{,}1$ және $\left(1-\frac{3}{18}\right)\cdot0{,}6$; 2) $26-\frac{5}{14}\cdot0{,}7$ және $(0{,}86+0{,}17)\cdot25$; 3) $(10{,}5-11{,}8)\cdot20$ және $\frac{40}{49}\cdot9{,}4-34$; 4) $7{,}4\cdot\frac{15}{37}+19$ және $(-2{,}97+3{,}07)\cdot20$.

Қалай ойлаймыз. Әр өрнекті жеке есептейміз, сосын сандарды салыстырамыз. Есіңде болсын: екі теріс санның ішінде нөлге жақыны үлкен.

Шешуі.

1. $0{,}5-1{,}2=-0{,}7$; $\frac{5}{6}\cdot0{,}6=0{,}5$. Демек, $-0{,}7<0{,}5$.
2. $26-0{,}25=25{,}75$; $1{,}03\cdot25=25{,}75$. Мәндері тең.
3. $-1{,}3\cdot20=-26$; $\frac{40\cdot9{,}4}{49}-34=\frac{376}{49}-34=7\frac{33}{49}-34=-26\frac{16}{49}$. Демек, $-26>-26\frac{16}{49}$.
4. $7{,}4\cdot\frac{15}{37}=0{,}2\cdot15=3$, сондықтан $3+19=22$; $0{,}1\cdot20=2$. Демек, $22>2$.

Жауабы: 1)

№ 4

Өрнектердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $|-30|\cdot2-|-15|\cdot|-4|$ және $0{,}15\cdot|-60|-8{,}9$; 2) $\left|-\frac{5}{18}\right|\cdot\left|-\frac{3}{10}\right|+\frac{7}{12}$ және $\left|-\frac{25}{26}\right|\cdot\left|-\frac{26}{75}\right|\cdot|-1|$; 3) $|-3{,}5|+\left|-\frac{7}{8}\right|\cdot1{,}6$ және $|-8{,}1+32|\cdot0{,}01$; 4) $|49{,}2-50|:|-0{,}4|$ және $|201-401|\cdot0{,}1$.

Қалай ойлаймыз. Модуль — санның нөлден қашықтығы, сондықтан модуль астындағы «минус» жоғалады. Алдымен модуль ішіндегі амалдарды орындаймыз, содан кейін таңбасын алып тастаймыз.

Шешуі.

1. $30\cdot2-15\cdot4=60-60=0$; $0{,}15\cdot60-8{,}9=9-8{,}9=0{,}1$. Демек, $0<0{,}1$.
2. $\frac{5}{18}\cdot\frac{3}{10}=\frac{1}{12}$, оған $\frac{7}{12}$ қоссақ, $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$ шығады. Оң жағы: $\frac{25}{26}\cdot\frac{26}{75}=\frac{1}{3}$. Демек, $\frac{2}{3}>\frac{1}{3}$.
3. $3{,}5+\frac{7}{8}\cdot1{,}6=3{,}5+1{,}4=4{,}9$; $|23{,}9|\cdot0{,}01=0{,}239$. Демек, $4{,}9>0{,}239$.
4. $|-0{,}8|:0{,}4=0{,}8:0{,}4=2$; $200\cdot0{,}1=20$. Демек, $2<20$.

Жауабы: 1)

№ 5

$b$ санының $a%$-ын табыңдар: 1) $b=7\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{23}-0{,}03$ және $a=50$; 2) $b=\frac{4}{7}+10\frac{3}{7}:7\frac{3}{10}$ және $a=110$; 3) $b=0{,}02\cdot300-6\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{19}$ және $a=144$; 4) $b=40\frac{1}{2}:81+1{,}5$ және $a=120$; 5) $b=505{,}2-9\frac{1}{5}:92$ және $a=260$; 6) $b=341\frac{1}{3}:170\frac{2}{3}+75$ және $a=2300$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен $b$-ны табамыз, содан кейін одан $a$ жүзден бірін аламыз: $b\cdot\frac{a}{100}$.

Шешуі.

1. $7\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{23}=\frac{23}{3}\cdot\frac{9}{23}=3$, $b=2{,}97$. $50%$ — жартысы: $1{,}485$.
2. $10\frac{3}{7}:7\frac{3}{10}=\frac{73}{7}\cdot\frac{10}{73}=\frac{10}{7}$, $b=\frac{4}{7}+\frac{10}{7}=2$. $2$-нің $110%$-ы $2{,}2$.
3. $0{,}02\cdot300=6$; $6\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{19}=\frac{19}{3}\cdot\frac{2}{19}=\frac{2}{3}$; $b=5\frac{1}{3}$. $144%=1{,}44$: $\frac{16}{3}\cdot1{,}44=7{,}68$.
4. $40\frac{1}{2}:81=\frac{81}{2}:81=0{,}5$, $b=2$. $2$-нің $120%$-ы — $2{,}4$.
5. $9\frac{1}{5}:92=\frac{46}{5}\cdot\frac{1}{92}=0{,}1$; $b=505{,}1$. $2{,}6\cdot505{,}1=1313{,}26$.
6. $341\frac{1}{3}:170\frac{2}{3}=\frac{1024}{3}\cdot\frac{3}{512}=2$, $b=77$. $23\cdot77=1771$.

Жауабы: 1) $1{,}485$; 2) $2{,}2$; 3) $7{,}68$; 4) $2{,}4$; 5) $1313{,}26$; 6) $1771$.

№ 6

Жинақ банкі мерзімді салымға жылдық сыйақы мөлшерлемесін 12% деп есептейді. Салымшы шотына 750 000 тг салды. Егер шотпен ешқандай операциялар жүргізілмесе, онда бір жылдан кейін салымшының шоты қанша теңгеге артады?

Қалай ойлаймыз. Өсім — салым сомасының 12%-ы.

Шешуі. $750,000\cdot0{,}12=90,000$ тг.

Жауабы: $90,000$ теңгеге.

№ 7

Дәріханада әр айдың 10-ы күні 20% жеңілдік қарастырылған. Самал жеңілдікті қолданып, дәріханадан 10 100 теңгеге дәрі сатып алды. Жеңілдік болмаған жағдайда Самал дәрі сатып алуға қанша теңге жұмсар еді?

Қалай ойлаймыз. Жеңілдіктен кейін Самал бастапқы бағаның $100%-20%=80%$-ын төлейді. Демек, 10 100 тг — 80%, ал бізге 100% керек.

Шешуі. $10,100:0{,}8=12,625$ тг. Тексеру: $12,625\cdot0{,}8=10,100$.

Жауабы: $12,625$ теңге.

№ 8

$2^{4}\cdot5^{3}\cdot29+2\cdot13^{2}$ өрнегінің мәнін есептегенде ғарышкемесінің Жер бетінен ұшу кезіндегі ең үлкен жылдамдығын білесіңдер.

Қалай ойлаймыз. Алдымен дәрежелер, содан кейін көбейту, соңынан қосу. Ыңғайлы жұпқа назар аудар: $2^4\cdot5^3=16\cdot125=2000$.

Шешуі. $2^4\cdot5^3=16\cdot125=2000$. Сонда $2000\cdot29=58,000$. Әрі қарай $13^2=169$, $2\cdot169=338$. Барлығы $58,000+338=58,338$.

Жауабы: $58,338$ км/сағ (оқулықтағы жауап осындай).

№ 9

1) 9 кг тартатын кашалоттың миы — ең ауыр ми. Ол адам миының массасынан 6 есе артық және кит массасының шамамен 0,02%-ын құрайды. Адам миы мен кит денесінің массасын табыңдар. 2) Әлемдегі ең үлкен мысық — амур жолбарысы. Оның құйрығының ұзындығы 1,1 метрге жетуі мүмкін, бұл оның денесінің жалпы ұзындығының шамамен 25%-ын құрайды. Амур жолбарысының денесінің жалпы ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. «6 есе артық» — бөлеміз. «Белгілі бір пайызын құрайды» дегенде бөлікті үлеске бөлеміз.

Шешуі.

1. Адам миы: $9:6=1{,}5$ кг. Киттің массасы: $9:0{,}0002=45,000$ кг $=45$ т.
2. $1{,}1:0{,}25=4{,}4$ м.

Жауабы: 1) $1{,}5$ кг және $45$ т; 2) $4{,}4$ м.

№ 10

Ақмола облысының аумағында шамамен 4000 көл бар. Бетінің ауданы: 1) 1 км²-ден артық емес; 2) 1,1 км²-ден 5 км²-ге; 3) 5,1 км²-ден 10 км²-ге; 4) 10,1 км²-ден 50 км²-ге жететін; 5) 50 км²-ден артық көлдер Ақмола облысындағы жалпы көлдер ауданының сәйкесінше 92,5%; 5,4%; 1%; 0,9%; 0,2%-ын құрайды. Осы көлдердің санын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. 4000-ның пайызын табамыз: 100-ге бөліп, пайызға көбейтеміз.

Шешуі. $4000\cdot0{,}925=3700$; $4000\cdot0{,}054=216$; $4000\cdot0{,}01=40$; $4000\cdot0{,}009=36$; $4000\cdot0{,}002=8$. Тексеру: $3700+216+40+36+8=4000$.

Жауабы: 1) $3700$; 2) $216$; 3) $40$; 4) $36$; 5) $8$.

№ 11

Берілген өрнектердің мәндері Ақмола облысында орналасқан кейбір көлдердің шаршы километрмен алынған аудандарын береді: 1) $(1-0{,}67)\cdot10^{3}$ өрнегінің мәні Қорғалжын көлінің; 2) $0{,}46\cdot10^{3}+0{,}54\cdot10^{3}+5{,}9\cdot10^{2}$ өрнегінің мәні Теңіз көлінің; 3) $(299+12\cdot29):10$ өрнегінің мәні Қыпшақ көлінің ауданына тең.

Қалай ойлаймыз. $10^3=1000$ және $10^2=100$. Ондық дәрежесіне көбейту үтірді жылжытады.

Шешуі.

1. $0{,}33\cdot1000=330$.
2. $460+540+590=1590$.
3. $12\cdot29=348$, $299+348=647$, $647:10=64{,}7$.

Жауабы: 1) $330$ км²; 2) $1590$ км²; 3) $64{,}7$ км².

№ 12

Ақ аю — Жер бетіндегі ең ірі сүтқоректі жауарлардың бірі. Мына өрнектердің мәндері ақ аю туралы мағлұматтар береді: 1) ақ аюдың орташа массасы $\left(1\frac{1}{5}+2{,}8\right)\cdot10^{2}$ кг-нан $(400\cdot50+5\cdot8000):10^{2}$ кг-ға дейін; 2) $3\cdot(2^{3}\cdot5^{2}+10^{2})$ өрнегінің мәні ең үлкен ақ аюдың килограммен алынған массасын; 3) $\frac{1}{2}\cdot\left(2\frac{5}{7}+4\frac{2}{7}\right)$ өрнегінің мәні ең үлкен ақ аюдың метрмен алынған ұзындығын; 4) $3\cdot2^{3}:10$ м мен $2^{2}\cdot5\cdot13\cdot0{,}01$ м аралығы ақ аюдың орташа ұзындығын; 5) $2^{4}\cdot3\cdot625$ өрнегінің мәні ақ аюдың километрмен алынған жеке өмір сүру аймағын; 6) $0{,}001\cdot2^{5}\cdot3125$ өрнегінің мәні ақ аюдың қанша километр жүзіп өте алатынын; 7) $2^{5}\cdot5^{3}\cdot17:1000$ өрнегінің мәні ересек ақ аюдың қанша килограмм азық жейтінін береді.

Қалай ойлаймыз. Бұл — жеті шағын есептеу. «Екілер» мен «бестерді» ондыққа жинаған ыңғайлы.

Шешуі.

1. $\left(1{,}2+2{,}8\right)\cdot100=400$; $(20,000+40,000):100=600$.
2. $2^3\cdot5^2=8\cdot25=200$; $200+100=300$; $3\cdot300=900$.
3. $2\frac{5}{7}+4\frac{2}{7}=7$; $7:2=3{,}5$.
4. $3\cdot8:10=2{,}4$; $4\cdot5\cdot13\cdot0{,}01=260\cdot0{,}01=2{,}6$.
5. $16\cdot3\cdot625=48\cdot625=30,000$.
6. $32\cdot3125=100,000$, $0{,}001$-ге көбейтеміз: $100$.
7. $32\cdot125=4000$; $4000\cdot17=68,000$; $:1000=68$.

Жауабы: 1) $400$ кг-нан $600$ кг-ға дейін; 2) $900$ кг; 3) $3{,}5$ м; 4) $2{,}4$ м-ден $2{,}6$ м-ге дейін; 5) $30,000$ км; 6) $100$ км; 7) $68$ кг.

Өрнектерді түрлендіру

№ 13

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $40{,}3a-51{,}2a+12{,}19a-a$; 2) $-81{,}4b+90b-7{,}15b+0{,}45b$; 3) $13\frac{2}{15}c-15\frac{1}{3}c+3{,}5c-\frac{4}{5}c$; 4) $59\frac{3}{16}t+4\frac{1}{8}t-64{,}25t+\frac{3}{4}t$.

Қалай ойлаймыз. Бұл — ұқсас мүшелер: тек коэффициенттерін (әріптің алдындағы сандарды) қосамыз. Есіңде болсын: $-a$ — бұл $-1\cdot a$.

Шешуі.

1. $40{,}3-51{,}2+12{,}19-1=0{,}29$.
2. $-81{,}4+90-7{,}15+0{,}45=1{,}9$.
3. $13\frac{2}{15}-15\frac{1}{3}=-2\frac{1}{5}$; $-2{,}2+3{,}5-0{,}8=0{,}5$.
4. $59\frac{3}{16}+4\frac{1}{8}=63\frac{5}{16}$; $63{,}3125-64{,}25+0{,}75=-0{,}1875=-\frac{3}{16}$.

Жауабы: 1) $0{,}29a$; 2) $1{,}9b$; 3) $0{,}5c$; 4) $-\frac{3}{16}t$.

№ 14

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $6\frac{3}{7}a-8\frac{5}{8}b-\frac{2}{3}c$, мұндағы $a=\frac{14}{15}$, $b=2\frac{18}{23}$, $c=-6{,}75$; 2) $2\frac{4}{11}a-19{,}25b+\frac{4}{9}c$, мұндағы $a=13{,}2$, $b=2\frac{10}{11}$, $c=-10\frac{1}{8}$; 3) $36\frac{2}{3}a-4{,}84b+7\frac{5}{7}c$, мұндағы $a=0{,}9$, $b=3\frac{9}{22}$, $c=3{,}5$.

Қалай ойлаймыз. Сандарды қойып, әр қосылғышты жеке есептейміз: бөлшектер жиі әдемі қысқарады.

Шешуі.

1. $6\frac{3}{7}\cdot\frac{14}{15}=\frac{45}{7}\cdot\frac{14}{15}=6$; $8\frac{5}{8}\cdot2\frac{18}{23}=\frac{69}{8}\cdot\frac{64}{23}=24$; $\frac{2}{3}\cdot(-6{,}75)=-4{,}5$. Барлығы $6-24-(-4{,}5)=-13{,}5$.
2. $2\frac{4}{11}\cdot13{,}2=\frac{26}{11}\cdot13{,}2=31{,}2$; $19{,}25\cdot\frac{32}{11}=56$; $\frac{4}{9}\cdot\left(-\frac{81}{8}\right)=-4{,}5$. Барлығы $31{,}2-56-4{,}5=-29{,}3$.
3. $\frac{110}{3}\cdot0{,}9=33$; $4{,}84\cdot\frac{75}{22}=16{,}5$; $\frac{54}{7}\cdot3{,}5=27$. Барлығы $33-16{,}5+27=43{,}5$.

Жауабы: 1) $-13{,}5$; 2) $-29{,}3$; 3) $43{,}5$.

№ 15

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $7\frac{2}{3}a-1{,}5b-\frac{5}{6}c$, мұндағы $a=\frac{5}{46}$, $b=-\frac{4}{9}$, $c=\frac{14}{15}$; 2) $4\frac{2}{9}a+8\frac{1}{6}b+\frac{14}{81}c$, мұндағы $a=\frac{3}{19}$, $b=-3\frac{3}{7}$, $c=1\frac{13}{14}$; 3) $1{,}4a-\frac{51}{92}b+\frac{11}{25}c$, мұндағы $a=\frac{25}{42}$, $b=1\frac{6}{17}$, $c=-1\frac{17}{33}$.

Қалай ойлаймыз. Тәсіл сол: қоямыз, көбейтеміз, қысқартамыз.

Шешуі.

1. $\frac{23}{3}\cdot\frac{5}{46}=\frac{5}{6}$; $-1{,}5\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)=\frac{2}{3}$; $-\frac{5}{6}\cdot\frac{14}{15}=-\frac{7}{9}$. Барлығы $\frac{15+12-14}{18}=\frac{13}{18}$.
2. $\frac{38}{9}\cdot\frac{3}{19}=\frac{2}{3}$; $\frac{49}{6}\cdot\left(-\frac{24}{7}\right)=-28$; $\frac{14}{81}\cdot\frac{27}{14}=\frac{1}{3}$. Барлығы $\frac{2}{3}-28+\frac{1}{3}=-27$.
3. $\frac{7}{5}\cdot\frac{25}{42}=\frac{5}{6}$; $-\frac{51}{92}\cdot\frac{23}{17}=-\frac{3}{4}$; $\frac{11}{25}\cdot\left(-\frac{50}{33}\right)=-\frac{2}{3}$. Барлығы $\frac{10-9-8}{12}=-\frac{7}{12}$.

Жауабы: 1) $\frac{13}{18}$; 2) $-27$; 3) $-\frac{7}{12}$.

№ 16

Өрнекті ықшамдап, мәнін табыңдар: 1) $81{,}5y-63\frac{4}{7}z-99{,}4y+64\frac{2}{3}z$, мұндағы $y=10$, $z=-1\frac{19}{23}$; 2) $-177\frac{5}{11}t+100{,}1k+176\frac{4}{9}t$, мұндағы $t=-19{,}8$, $k=50$; 3) $33{,}6n-76\frac{3}{8}m+78\frac{1}{9}m-35n$, мұндағы $m=\frac{24}{25}$, $n=10$; 4) $29\frac{4}{13}s+409\frac{1}{9}t-30{,}5s-407{,}2t$, мұндағы $s=-2{,}6$, $t=\frac{9}{43}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен ұқсас мүшелерді біріктіреміз, содан кейін қоямыз: есептеу аз болады.

Шешуі.

1. $y$ бойынша: $81{,}5-99{,}4=-17{,}9$. $z$ бойынша: $-63\frac{4}{7}+64\frac{2}{3}=1\frac{2}{21}=\frac{23}{21}$. Шығады: $-17{,}9y+\frac{23}{21}z$. Қоямыз: $-179+\frac{23}{21}\cdot\left(-\frac{42}{23}\right)=-179-2=-181$.
2. $t$ бойынша: $-177\frac{5}{11}+176\frac{4}{9}=-1-\frac{1}{99}=-\frac{100}{99}$. Шығады: $-\frac{100}{99}t+100{,}1k$. Қоямыз: $-\frac{100}{99}\cdot\left(-\frac{99}{5}\right)+5005=20+5005=5025$.
3. $n$ бойынша: $33{,}6-35=-1{,}4$. $m$ бойынша: $-76\frac{3}{8}+78\frac{1}{9}=\frac{125}{72}$. Шығады: $-1{,}4n+\frac{125}{72}m$. Қоямыз: $-14+\frac{125}{72}\cdot\frac{24}{25}=-14+\frac{5}{3}=-12\frac{1}{3}$.
4. $s$ бойынша: $29\frac{4}{13}-30{,}5=-\frac{31}{26}$. $t$ бойынша: $409\frac{1}{9}-407{,}2=\frac{86}{45}$. Қоямыз: $-\frac{31}{26}\cdot\left(-\frac{13}{5}\right)+\frac{86}{45}\cdot\frac{9}{43}=3{,}1+0{,}4=3{,}5$.

Жауабы: 1) $-181$; 2) $5025$; 3) $-12\frac{1}{3}$; 4) $3{,}5$.

№ 17

1) 500 санының 20%-ы $a$-ға, 840 санының 50%-ы $b$-ға тең болса, онда $(9a-2b)$ санының 11%-ын есептеңдер. 2) $a$ санының 40%-ы 200 санына, ал $b$ санының 15%-ы 150-ге тең болса, онда $(a+0{,}49b)$ санының 150%-ын есептеңдер.

Қалай ойлаймыз. Алдымен $a$ мен $b$-ны табамыз. Бөлігі (пайызы) белгілі болса — бөлеміз; бүтіні белгілі болса — көбейтеміз.

Шешуі.

1. $a=500\cdot0{,}2=100$; $b=840\cdot0{,}5=420$. $9a-2b=900-840=60$. $60$-тың $11%$-ы: $60\cdot0{,}11=6{,}6$.
2. $a=200:0{,}4=500$; $b=150:0{,}15=1000$. $a+0{,}49b=500+490=990$. $990$-ның $150%$-ы: $990\cdot1{,}5=1485$.

Жауабы: 1) $6{,}6$; 2) $1485$.

Теңдеулер және олардың жүйелері

№ 18

Теңдеуді шешіңдер: 1) $3(2x-4)+15=16-5(2-x)$; 2) $4{,}5(6-z)-0{,}5z=1+0{,}5(z+3)$; 3) $\frac{23}{40}(8t+5)-t=2{,}6t-\left(3t-\frac{3}{4}\right)$; 4) $10\frac{2}{3}(9-k)+81=107-\frac{1}{3}(k-60)$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаны ашамыз, белгісіз қосылғыштарды сол жаққа, сандарды оң жаққа жинаймыз, коэффициентке бөлеміз.

Шешуі.

1. $6x-12+15=16-10+5x$; $6x+3=6+5x$; $x=3$.
2. $27-4{,}5z-0{,}5z=1+0{,}5z+1{,}5$; $27-5z=2{,}5+0{,}5z$; $24{,}5=5{,}5z$; $z=\frac{49}{11}=4\frac{5}{11}$.
3. Сол жағы: $\frac{23}{40}\cdot8t=4{,}6t$ және $\frac{23}{40}\cdot5=\frac{23}{8}$: $4{,}6t+\frac{23}{8}-t=3{,}6t+\frac{23}{8}$. Оң жағы: $2{,}6t-3t+\frac{3}{4}=-0{,}4t+\frac{3}{4}$. Сонда $4t=\frac{3}{4}-\frac{23}{8}=-\frac{17}{8}$, $t=-\frac{17}{32}$.
4. $10\frac{2}{3}\cdot9=96$: $96-\frac{32}{3}k+81=107-\frac{1}{3}k+20$. Сол жағы $177-\frac{32}{3}k$, оң жағы $127-\frac{1}{3}k$. Сонда $50=\frac{31}{3}k$, $k=\frac{150}{31}=4\frac{26}{31}$.

Жауабы: 1) $3$; 2) $4\frac{5}{11}$; 3) $-\frac{17}{32}$; 4) $4\frac{26}{31}$.

№ 19

Пропорциядан белгісіз $y$-ті табыңдар: 1) $\frac{40-y}{30}=\frac{5}{6}$; 2) $\frac{4}{7}=\frac{21-y}{28}$; 3) $\frac{220}{y-49}=\frac{11}{13}$; 4) $\frac{21}{53}=\frac{210}{y+300}$; 5) $\frac{39}{30}=\frac{78}{3y-2}$; 6) $\frac{56}{4y+2}=\frac{14}{27}$.

Қалай ойлаймыз. Пропорцияның негізгі қасиеті: шеткі мүшелердің көбейтіндісі ортаңғы мүшелердің көбейтіндісіне тең (айқастыра көбейтеміз).

Шешуі.

1. $40-y=30\cdot\frac{5}{6}=25$, $y=15$.
2. $21-y=28\cdot\frac{4}{7}=16$, $y=5$.
3. $y-49=220\cdot\frac{13}{11}=260$, $y=309$.
4. $y+300=210\cdot\frac{53}{21}=530$, $y=230$.
5. $3y-2=78\cdot\frac{30}{39}=60$, $3y=62$, $y=\frac{62}{3}=20\frac{2}{3}$.
6. $4y+2=56\cdot\frac{27}{14}=108$, $4y=106$, $y=26{,}5$.

Жауабы: 1) $15$; 2) $5$; 3) $309$; 4) $230$; 5) $20\frac{2}{3}$; 6) $26{,}5$.

№ 20

1) $2\cdot430\cdot50-0{,}1x=200^{2}$ теңдеуіндегі $x$-тің мәні шамамен найзағай жарқылының алғашқы секундында қызған ауаның ең жоғары температурасына (°C-пен) сәйкес келеді. 2) $3(109y-200)=9(3y+100)$ теңдеуіндегі $y$-тің мәні шамамен найзағай жарқылынан қызған ауа температурасының күн сәулесінен қызған ауа температурасынан неше есе артық болатынын көрсетеді.

Қалай ойлаймыз. Бірінші теңдеуде алдымен сандарды есептейміз: $43,000-0{,}1x=40,000$.

Шешуі.

1. $2\cdot430\cdot50=43,000$; $200^2=40,000$. Сонда $0{,}1x=3000$, $x=30,000$.
2. $327y-600=27y+900$; $300y=1500$; $y=5$.

Жауабы: 1) $30,000$ °C; 2) $5$ есе.

№ 21

Оператор қолжазбаны төрт күнде терген. Бірінші күні ол қолжазбаның 25%-ын, екінші күні 32%-ын, үшінші күні 20%-ын, ал төртінші күні қалған 23 бетті теріп, жұмысты аяқтады. Қолжазба қанша беттен тұрады?

Қалай ойлаймыз. Үш күнде $25+32+20=77%$ терілді, демек, төртінші күні $23%$ қалды. Осы $23%$ — дәл 23 бет.

Шешуі. $100%-77%=23%$. Егер қолжазбаның $23%$-ы 23 бет болса, онда $1%$ — 1 бет, ал бүкіл қолжазба — 100 бет.

Жауабы: $100$ бет.

№ 22

Берілген теңдеулердің түбірлері Шығыс Қазақстан облысында орналасқан Марқакөл қорығы туралы мағлұматтар береді: 1) $x+0{,}24=20+0{,}99x$, $x$ — қорықтың құрылған жылы; 2) $3y-2(169{,}9+y)=150-(y+339{,}8)$, $y$ — қорықтың ауданы (мың га); 3) $50z+(z+6{,}2)=200$, $z$ — қорықтағы орманның ауданы (мың га).

Қалай ойлаймыз. Жақшаны ашамыз (жақша алдындағы таңбаға назар аудар!) және қосылғыштарды ауыстырамыз.

Шешуі.

1. $x-0{,}99x=20-0{,}24$; $0{,}01x=19{,}76$; $x=1976$.
2. $3y-339{,}8-2y=150-y-339{,}8$; $y-339{,}8=150-y-339{,}8$; $2y=150$; $y=75$.
3. $51z+6{,}2=200$; $51z=193{,}8$; $z=3{,}8$.

Жауабы: 1) $1976$ жыл; 2) $75$ мың га; 3) $3{,}8$ мың га.

№ 23

Берілген теңдеулерді шешкенде әртүрлі биіктіктегі ауа температурасына сәйкес мәнді аласыңдар: 1) $3x+(x+2)=2(3x+12)$ теңдеуінің түбірі 4 000 м биіктіктегі ауаның температурасын ($x$ °C); 2) $-3(2{,}5-y)=28{,}5+4{,}5y$ теңдеуінің түбірі 6 000 м биіктіктегі ауаның температурасын ($y$ °C); 3) $25{,}8z-4{,}3(6z+300)=25{,}8z$ теңдеуінің түбірі 10 000 м биіктіктегі ауаның температурасын ($z$ °C) береді.

Қалай ойлаймыз. Қадамдар сол. Үшінші теңдеуде $25{,}8z$ екі жақта да бар, ол бірден қысқарады.

Шешуі.

1. $4x+2=6x+24$; $-22=2x$; $x=-11$.
2. $-7{,}5+3y=28{,}5+4{,}5y$; $-36=1{,}5y$; $y=-24$.
3. $-4{,}3(6z+300)=0$, демек $6z+300=0$, $z=-50$.

Жауабы: 1) $-11$ °C; 2) $-24$ °C; 3) $-50$ °C.

№ 24

Берілген теңдеулерді шешкенде кейбір жануарлардың орташа өмір сүру уақытына сәйкес санды аласыңдар: 1) $12{,}5-(16x-28{,}3)=-71{,}2$ теңдеуінің түбірі құмырсқаның ең ұзақ өмір сүру уақытын ($x$ жыл); 2) $31{,}8-\left(\frac{1}{7}+\frac{4}{7}y\right)=1\frac{2}{3}y+4{,}8$ теңдеуінің түбірі кесірткенің ең ұзақ өмір сүру уақытын ($y$ жыл); 3) $\frac{13}{15}z-\left(\frac{7}{9}+\frac{1}{3}z\right)=7\frac{2}{9}$ теңдеуінің түбірі тиіннің ең ұзақ өмір сүру уақытын ($z$ жыл) береді.

Қалай ойлаймыз. Жақша алдындағы минус жақша ішіндегі барлық таңбаны өзгертеді.

Шешуі.

1. $12{,}5-16x+28{,}3=-71{,}2$; $40{,}8-16x=-71{,}2$; $16x=112$; $x=7$.
2. $31{,}8-\frac{1}{7}-\frac{4}{7}y=\frac{5}{3}y+4{,}8$; $27-\frac{1}{7}=\left(\frac{5}{3}+\frac{4}{7}\right)y$; $\frac{188}{7}=\frac{47}{21}y$; $y=\frac{188}{7}\cdot\frac{21}{47}=12$.
3. $\frac{13}{15}z-\frac{1}{3}z=\frac{8}{15}z$. Сонда $\frac{8}{15}z=7\frac{2}{9}+\frac{7}{9}=8$, $z=15$.

Жауабы: 1) $7$ жыл; 2) $12$ жыл; 3) $15$ жыл.

№ 25

Теңдеудің түбірлерін табыңдар: 1) $|x|+5|x|-40=4|x|$; 2) $100-|x|=-49|x|+124$; 3) $6|x|-2|x|=35-16|x|$; 4) $29|x|-|x|-13=-22|x|$.

Қалай ойлаймыз. $|x|$-ті бір белгісіз ретінде алып, қарапайым теңдеудей шешеміз, содан кейін есімізге түсіреміз: $a>0$ болғанда $|x|=a$ теңдеуінің екі түбірі бар: $a$ және $-a$.

Шешуі.

1. $2|x|=40$; $|x|=20$; $x=\pm20$.
2. $48|x|=24$; $|x|=0{,}5$; $x=\pm0{,}5$.
3. $20|x|=35$; $|x|=1{,}75$; $x=\pm1{,}75$.
4. $50|x|=13$; $|x|=0{,}26$; $x=\pm0{,}26$.

Жауабы: 1) $\pm20$; 2) $\pm0{,}5$; 3) $\pm1{,}75$; 4) $\pm0{,}26$.

№ 26

Айнымалының қандай мәндерінде теңдік тура болады: 1) $|x+1|=x+1$; 2) $|2-x|=2-x$?

Қалай ойлаймыз. $|t|=t$ теңдігі $t\ge0$ болғанда тура (теріс емес санның модулі — сол санның өзі).

Шешуі.

1. $x+1\ge0$ болуы керек, яғни $x\ge-1$.
2. $2-x\ge0$ болуы керек, яғни $x\le2$.

Жауабы: 1) $x\ge-1$ болғанда; 2) $x\le2$ болғанда.

№ 27

$a$-ның қандай мәнінде $|10-x|=a$ теңдеуінің: 1) шешімі болады; 2) шешімі болмайды; 3) түбірі нөлге тең болады; 4) түбірі 10-ға тең болады?

Қалай ойлаймыз. Модуль теріс болмайды. 3) және 4) үшін теңдеуге $x=0$ және $x=10$ қоямыз.

Шешуі.

1. Шешім $a\ge0$ болғанда бар ($a>0$ болса, екі түбір $10\pm a$, $a=0$ болса, бір түбір $10$).
2. $a<0$ болғанда шешім жоқ.
3. $x=0$ қойсақ: $|10-0|=10$, демек, $a=10$. (Сонда түбірлері $0$ және $20$.)
4. $x=10$ қойсақ: $|10-10|=0$, демек, $a=0$.

Жауабы: 1) $a\ge0$; 2) $a<0$; 3) $a=10$; 4) $a=0$.

№ 28

Теңдеулер жүйесін шешіңдер: 1) $\begin{cases}8x+15y=-56\4x-7y=30\end{cases}$; 2) $\begin{cases}6x-9y=88{,}5\5x+3y=47{,}5\end{cases}$; 3) $\begin{cases}11x+10y=73{,}5\6x-5y=-54\end{cases}$; 4) $\begin{cases}2x+13y=-69\14x+11y=-3\end{cases}$.

Қалай ойлаймыз. Қосу тәсілі: теңдеулерді көбейтіп, бір айнымалының коэффициенттері қарама-қарсы болатындай етеміз де, қосамыз.

Шешуі.

1. Екінші теңдеуді $-2$-ге көбейтеміз: $-8x+14y=-60$. Біріншімен қосамыз: $29y=-116$, $y=-4$. Сонда $4x=30+7y=2$, $x=0{,}5$.
2. Екіншісін $3$-ке көбейтеміз: $15x+9y=142{,}5$. Біріншімен қосамыз: $21x=231$, $x=11$. Сонда $3y=47{,}5-55=-7{,}5$, $y=-2{,}5$.
3. Екіншісін $2$-ге көбейтеміз: $12x-10y=-108$. Біріншімен қосамыз: $23x=-34{,}5$, $x=-1{,}5$. Сонда $10y=73{,}5+16{,}5=90$, $y=9$.
4. Біріншісін $-7$-ге көбейтеміз: $-14x-91y=483$. Екіншімен қосамыз: $-80y=480$, $y=-6$. Сонда $2x=-69+78=9$, $x=4{,}5$.

Жауабы: 1) $(0{,}5;,-4)$; 2) $(11;,-2{,}5)$; 3) $(-1{,}5;,9)$; 4) $(4{,}5;,-6)$.

№ 29

Теңдеулер жүйесін шешіңдер: 1) $\begin{cases}3(x-2)-2(y+1)=-1\5(x+3)-8(y-2)=38\end{cases}$; 2) $\begin{cases}-6(4-x)+(y+5)=2\11(1+x)-9(7-y)=-36\end{cases}$; 3) $\begin{cases}\frac{4x-3}{2}+\frac{5y+1}{3}=12{,}5\1{,}5x-0{,}7y=-3{,}4\end{cases}$; 4) $\begin{cases}2{,}3x-1{,}9y=0{,}8\\frac{4-3y}{4}+\frac{-5x-2}{3}=-4{,}5\end{cases}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен әр теңдеуді ықшамдаймыз (жақшаны ашамыз, бөлшектен арыламыз), содан кейін қосу немесе алмастыру тәсілімен шешеміз.

Шешуі.

1. $3x-6-2y-2=-1$ теңдеуінен $3x-2y=7$. $5x+15-8y+16=38$ теңдеуінен $5x-8y=7$. Біріншісін $-4$-ке көбейтеміз: $-12x+8y=-28$, екіншімен қосамыз: $-7x=-21$, $x=3$. Сонда $2y=9-7=2$, $y=1$.
2. $-24+6x+y+5=2$ теңдеуінен $6x+y=21$. $11+11x-63+9y=-36$ теңдеуінен $11x+9y=16$. Біріншіден $y=21-6x$; қоямыз: $11x+189-54x=16$, $-43x=-173$, $x=\frac{173}{43}=4\frac{1}{43}$, $y=21-\frac{1038}{43}=-\frac{135}{43}=-3\frac{6}{43}$.
3. Біріншісін $6$-ға көбейтеміз: $3(4x-3)+2(5y+1)=75$, яғни $12x+10y=82$ немесе $6x+5y=41$. Екіншісін $10$-ға көбейтеміз: $15x-7y=-34$. $6x+5y=41$ және $15x-7y=-34$ теңдеулерінен: біріншісін $7$-ге, екіншісін $5$-ке көбейтеміз: $42x+35y=287$ және $75x-35y=-170$; қосамыз: $117x=117$, $x=1$. Сонда $5y=35$, $y=7$.
4. Екіншісін $12$-ге көбейтеміз: $3(4-3y)+4(-5x-2)=-54$, яғни $12-9y-20x-8=-54$, бұдан $-20x-9y=-58$ немесе $20x+9y=58$. Біріншісін $10$-ға көбейтеміз: $23x-19y=8$. $20x+9y=58$ және $23x-19y=8$ теңдеулерін сәйкесінше $19$-ға және $9$-ға көбейтеміз: $380x+171y=1102$ және $207x-171y=72$; қосамыз: $587x=1174$, $x=2$. Сонда $9y=58-40=18$, $y=2$.

Жауабы: 1) $(3;,1)$; 2) $\left(4\frac{1}{43};,-3\frac{6}{43}\right)$; 3) $(1;,7)$; 4) $(2;,2)$.

№ 30

$\begin{cases}x+y=300\\frac{1}{2}x-0{,}5y=30\end{cases}$ теңдеулер жүйесін шешіп, құрлықтағы ең ірі жануарлардың бірі сусыр туралы мағлұмат аласыңдар. $x$-тің мәні сусыр аузының қанша градусқа ашылатынын; $y$-тің мәні сусырдың ауыз жақтарының қанша сантиметрге ашылатынын береді.

Қалай ойлаймыз. Екінші теңдеуді 2-ге көбейтіп, бөлшектен құтыламыз: $x-y=60$. Сонда екі теңдеуді қосамыз.

Шешуі. $x+y=300$ және $x-y=60$. Қосамыз: $2x=360$, $x=180$. Сонда $y=300-180=120$.

Жауабы: $x=180$ ($180^\circ$ бұрыш), $y=120$ см.

№ 31

Теңдеулер жүйесін шешіп, Қостанай облысында орналасқан Наурызым қорығы туралы мағлұматтар аласыңдар: 1) $\begin{cases}x+y=3897\x-y=35\end{cases}$ ($x$ — қорықтың қайта құрылған жылы, $y$ — құрылған жылы); 2) $\begin{cases}x+10y=1197\20y-x=1434\end{cases}$ ($x$ — қорықтың алғашқы аумағы, $y$ — қайта құрылғаннан кейінгі аумағы, мың га); 3) $\begin{cases}0{,}1x+0{,}01y=32\2x+y=1200\end{cases}$ ($x$ — құстардың түрі, $y$ — өсімдіктердің түрі); 4) $\begin{cases}1{,}5x+2{,}5y=75\\frac{1}{20}x+\frac{1}{6}y=3\end{cases}$ ($x$ — сүтқоректілер түрі, $y$ — балықтардың түрі).

Қалай ойлаймыз. Әр жүйе қосу тәсілімен шығады. 3) және 4) жүйелерде алдымен бөлшектер мен ондық үтірлерден арыламыз.

Шешуі.

1. Қосамыз: $2x=3932$, $x=1966$. Сонда $y=3897-1966=1931$.
2. Теңдеулерді қосамыз: $30y=2631$, $y=87{,}7$. Сонда $x=1197-877=320$.
3. Біріншісін $100$-ге көбейтеміз: $10x+y=3200$. Одан екіншісін азайтамыз: $8x=2000$, $x=250$. Сонда $y=1200-500=700$.
4. Біріншісін $2$-ге көбейтеміз: $3x+5y=150$. Екіншісін $60$-қа көбейтеміз: $3x+10y=180$. Азайтамыз: $5y=30$, $y=6$. Сонда $3x=150-30=120$, $x=40$.

Жауабы: 1) $(1966;,1931)$; 2) $(320;,87{,}7)$; 3) $(250;,700)$; 4) $(40;,6)$.

№ 32

1) Егер бүтін санға оның 40%-ын қосса, онда 47-ден артық, ал осы бүтін саннан оның 65%-ын азайтса, онда 12-ден кіші сан шығады. Бастапқы бүтін санды табыңдар. 2) Егер бүтін саннан оның 11%-ын азайтса, онда 88-ден артық, ал егер осы бүтін санға оның 121%-ын қосса, онда 221-ден кіші сан шығады. Бастапқы бүтін санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр шарт — $n$ саны үшін теңсіздік. Екеуін де шығарып, екеуіне бірдей сәйкес келетін бүтін санды іздейміз.

Шешуі.

1. $n+0{,}4n=1{,}4n>47$, демек, $n>33{,}57\ldots$. Және $n-0{,}65n=0{,}35n<12$, демек, $n<34{,}28\ldots$. $33{,}57$ мен $34{,}28$ арасындағы бүтін сан біреу ғана: $34$.
2. $n-0{,}11n=0{,}89n>88$, демек, $n>98{,}88\ldots$. Және $n+1{,}21n=2{,}21n<221$, демек, $n<100$. $98{,}88$ мен $100$ арасындағы бүтін сан біреу ғана: $99$.

Жауабы: 1) $34$; 2) $99$.

Теңсіздіктер және олардың жүйелері

№ 33

Сан аралықтарының қиылысуына тиісті болатын ең үлкен (ең кіші) бүтін санды табыңдар: 1) $[3{,}5;,7{,}1]$ және $(1;,4{,}9)$; 2) $\left(-\infty;,\frac{3}{7}\right]$ және $\left[-\frac{8}{9};,+\infty\right)$; 3) $(-\infty;+\infty)$ және $\left[-7\frac{1}{3};,8\frac{1}{3}\right]$; 4) $(-5{,}1;,9{,}1)$ және $(-\infty;+\infty)$.

Қалай ойлаймыз. Қиылысу — екі аралықтың ортақ бөлігі. Оны сан түзуінде сызып, қандай бүтін сандар түскенін қараймыз.

Шешуі.

1. Ортақ бөлігі: $[3{,}5;,4{,}9)$. Бүтін сан біреу ғана — $4$.
2. Ортақ бөлігі: $\left[-\frac{8}{9};,\frac{3}{7}\right]$, яғни шамамен $-0{,}89$-дан $0{,}43$-ке дейін. Бүтін сан біреу ғана — $0$.
3. Ортақ бөлігі: $\left[-7\frac{1}{3};,8\frac{1}{3}\right]$. Ең кіші бүтін сан $-7$, ең үлкені $8$.
4. Ортақ бөлігі: $(-5{,}1;,9{,}1)$. Ең кіші бүтін сан $-5$, ең үлкені $9$.

Жауабы: 1) $4$ (ол ең үлкені де, ең кішісі де); 2) $0$; 3) ең үлкені $8$, ең кішісі $-7$; 4) ең үлкені $9$, ең кішісі $-5$.

№ 34

Берілген теңсіздіктің шешімі болатын ең кіші натурал санды табыңдар: 1) $10+7x>24$; 2) $19-6x<-5$; 3) $-43x+2\le45$; 4) $60+17x>-19$.

Қалай ойлаймыз. Теңсіздікті шешіп, шешімдегі бірінші натурал санды аламыз. Теріс санға бөлсек, теңсіздік таңбасы өзгереді!

Шешуі.

1. $7x>14$, $x>2$. Ең кіші натурал сан $3$.
2. $-6x<-24$, $x>4$. Ең кіші натурал сан $5$.
3. $-43x\le43$, $x\ge-1$. Натурал сандар $1$-ден басталады: ең кішісі $1$.
4. $17x>-79$, $x>-4\frac{11}{17}$. Ең кіші натурал сан $1$.

Жауабы: 1) $3$; 2) $5$; 3) $1$; 4) $1$.

№ 35

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $3{,}3x-0{,}4(4-3x)\le9{,}3+5(0{,}7-x)$; 2) $9(0{,}5y+1)-3{,}1(1-y)>5{,}9+7{,}2y$; 3) $0{,}6(a-2)-0{,}2\ge0{,}8(a+2)+3{,}5$; 4) $-1{,}4+0{,}5(11b-2)<-5{,}5b+1{,}6$.

Қалай ойлаймыз. Теңдеудегідей: жақшаны ашамыз, қосылғыштарды жинаймыз. Тек теріс санға бөлгенде таңбаны аудару керек.

Шешуі.

1. $4{,}5x-1{,}6\le12{,}8-5x$; $9{,}5x\le14{,}4$; $x\le\frac{144}{95}=1\frac{49}{95}$.
2. $7{,}6y+5{,}9>5{,}9+7{,}2y$; $0{,}4y>0$; $y>0$.
3. $0{,}6a-1{,}4\ge0{,}8a+5{,}1$; $-0{,}2a\ge6{,}5$; $a\le-32{,}5$.
4. $5{,}5b-2{,}4<-5{,}5b+1{,}6$; $11b<4$; $b<\frac{4}{11}$.

Жауабы: 1) $x\le1\frac{49}{95}$; 2) $y>0$; 3) $a\le-32{,}5$; 4) $b<\frac{4}{11}$.

№ 36

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $5\frac{2}{3}+\frac{7}{3}(14x-3)>\frac{4}{9}(18x-2)$; 2) $\frac{5}{6}(7+9y)\le7\frac{1}{2}-\frac{7}{8}(5y-8)$; 3) $30-\frac{4}{5}(2-15z)\ge\frac{2}{3}(15z+1)$; 4) $\frac{3}{4}(8t+1)<\frac{5}{6}(16t-3)-12\frac{1}{2}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшегі бар жақшаларды ашамыз, содан кейін $x$-ті бір жаққа жинаймыз.

Шешуі.

1. Сол жағы $\frac{98}{3}x-\frac{4}{3}$, оң жағы $8x-\frac{8}{9}$. Сонда $\frac{74}{3}x>\frac{4}{9}$, $x>\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{74}=\frac{2}{111}$.
2. Сол жағы $\frac{35}{6}+\frac{15}{2}y$, оң жағы $14\frac{1}{2}-\frac{35}{8}y$. Сонда $\frac{95}{8}y\le\frac{26}{3}$, $y\le\frac{208}{285}$.
3. Сол жағы $28\frac{2}{5}+12z$, оң жағы $10z+\frac{2}{3}$. Сонда $2z\ge\frac{2}{3}-28\frac{2}{5}=-\frac{416}{15}$, $z\ge-\frac{208}{15}=-13\frac{13}{15}$.
4. Сол жағы $6t+\frac{3}{4}$, оң жағы $\frac{40}{3}t-15$. Сонда $-\frac{22}{3}t<-15\frac{3}{4}$, ал теріс санға бөлгеннен кейін: $t>\frac{63}{4}\cdot\frac{3}{22}=\frac{189}{88}=2\frac{13}{88}$.

Жауабы: 1) $x>\frac{2}{111}$; 2) $y\le\frac{208}{285}$; 3) $z\ge-13\frac{13}{15}$; 4) $t>2\frac{13}{88}$.

№ 37

Берілген теңсіздіктердің шешімі болатын ең үлкен бүтін сандарды табыңдар: 1) $\frac{3x-4}{2}<\frac{6-2x}{3}$; 2) $\frac{10-x}{6}\ge\frac{x+7}{5}$; 3) $\frac{3+2x}{12}\ge\frac{3x-2}{15}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімдерден арылу үшін екі жағын да ортақ еселікке көбейтеміз (ол оң сан, таңба өзгермейді).

Шешуі.

1. $6$-ға көбейтеміз: $3(3x-4)<2(6-2x)$; $9x-12<12-4x$; $13x<24$; $x<1\frac{11}{13}$. Ең үлкен бүтін сан $1$.
2. $30$-ға көбейтеміз: $5(10-x)\ge6(x+7)$; $50-5x\ge6x+42$; $8\ge11x$; $x\le\frac{8}{11}$. Ең үлкен бүтін сан $0$.
3. $60$-қа көбейтеміз: $5(3+2x)\ge4(3x-2)$; $15+10x\ge12x-8$; $23\ge2x$; $x\le11{,}5$. Ең үлкен бүтін сан $11$.

Жауабы: 1) $1$; 2) $0$; 3) $11$.

№ 38

Теңсіздіктер жүйесін шешіңдер: 1) $\begin{cases}3x+5(x-2)\le3-2x\4(5x-1)-21x\ge1-3x\end{cases}$; 2) $\begin{cases}7-11x<9x-2(5x+7)\6-x\ge2(1-4x)-3(1-3x)\end{cases}$; 3) $\begin{cases}5(6x-5)<3(4x+3)+2\2(6x-1)-12+9x>5(8x+1)\end{cases}$; 4) $\begin{cases}3(2x+13)-2(x+2)>10x-4\3(4x+9)-2(x-1)<16x+2\end{cases}$.

Қалай ойлаймыз. Әр теңсіздікті жеке шешеміз, содан кейін сан түзуінде ортақ бөлікті (қиылысуды) іздейміз.

Шешуі.

1. Біріншісі: $8x-10\le3-2x$, $10x\le13$, $x\le1{,}3$. Екіншісі: $-x-4\ge1-3x$, $2x\ge5$, $x\ge2{,}5$. Ортақ мәндер жоқ.
2. Біріншісі: $7-11x<-x-14$, $21<10x$, $x>2{,}1$. Екіншісі: $6-x\ge x-1$, $7\ge2x$, $x\le3{,}5$. Шешімі: $(2{,}1;,3{,}5]$.
3. Біріншісі: $30x-25<12x+11$, $18x<36$, $x<2$. Екіншісі: $21x-14>40x+5$, $-19x>19$, $x<-1$. Ортақ бөлігі: $x<-1$.
4. Біріншісі: $4x+35>10x-4$, $39>6x$, $x<6{,}5$. Екіншісі: $10x+29<16x+2$, $27<6x$, $x>4{,}5$. Шешімі: $(4{,}5;,6{,}5)$.

Жауабы: 1) шешімі жоқ; 2) $(2{,}1;,3{,}5]$; 3) $(-\infty;,-1)$; 4) $(4{,}5;,6{,}5)$.

№ 39

Теңсіздіктер жүйесінің шешімі болатын барлық натурал сандарды табыңдар: 1) $\begin{cases}\frac{7{,}4x+23}{21}\le1+0{,}4x\3x-5\le\frac{20x-31}{7}\end{cases}$; 2) $\begin{cases}1-2x\le\frac{28-53x}{27}\0{,}1x+3<\frac{13-0{,}7x}{3}\end{cases}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімдерге көбейтеміз, $x$ үшін аралықты табамыз, содан кейін одан натурал сандарды жазып аламыз.

Шешуі.

1. Біріншісі: $7{,}4x+23\le21+8{,}4x$, $2\le x$. Екіншісі: $21x-35\le20x-31$, $x\le4$. Демек, $2\le x\le4$.
2. Біріншісі: $27-54x\le28-53x$, $-1\le x$. Екіншісі: $0{,}3x+9<13-0{,}7x$, $x<4$. Демек, $-1\le x<4$.

Жауабы: 1) $2;,3;,4$; 2) $1;,2;,3$.

№ 40

Теңсіздіктер жүйесінің шешімі желдің жылдамдықтары туралы мәлімет береді: 1) $\begin{cases}\frac{1}{5}y\ge4\\frac{1}{7}y\le4\end{cases}$, $y$ км/сағ — қоңыр желдің жылдамдығы; 2) $\begin{cases}10y-390\ge0\-0{,}1y\ge-4{,}9\end{cases}$, $y$ км/сағ — қатты желдің жылдамдығы; 3) $\begin{cases}15(5-z)\le-14z\29(z-3)\le28z\end{cases}$, $z$ км/сағ — теңіз дауылының жылдамдығы; 4) $\begin{cases}50-0{,}5z\le-9\9-\frac{1}{3}z\le-1\end{cases}$, $z$ км/сағ — құйынды дауыл кезіндегі желдің жылдамдығы.

Қалай ойлаймыз. Жел жылдамдығы бір аралыққа түседі; шекараларын іздейміз.

Шешуі.

1. $y\ge20$ және $y\le28$.
2. $10y\ge390$, $y\ge39$; $-0{,}1y\ge-4{,}9$, демек $y\le49$.
3. $75-15z\le-14z$, $75\le z$; $29z-87\le28z$, $z\le87$.
4. $-0{,}5z\le-59$, $z\ge118$; $-\frac{1}{3}z\le-10$, $z\ge30$. Ортақ бөлігі: $z\ge118$.

Жауабы: 1) $20$-дан $28$ км/сағ-қа дейін; 2) $39$-дан $49$ км/сағ-қа дейін; 3) $75$-тен $87$ км/сағ-қа дейін; 4) кемінде $118$ км/сағ.

№ 41

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $|1+2x|<9$; 2) $|3+2x|\le5$; 3) $|1-2x|\ge7$; 4) $|2-5x|>22$.

Қалай ойлаймыз. $|t|<a$ дегеніміз $-a<t<a$ («арасында»). $|t|>a$ дегеніміз $t<-a$ немесе $t>a$ («сыртында»).

Шешуі.

1. $-9<1+2x<9$; $-10<2x<8$; $-5<x<4$.
2. $-5\le3+2x\le5$; $-8\le2x\le2$; $-4\le x\le1$.
3. $1-2x\ge7$ немесе $1-2x\le-7$. Біріншісі: $x\le-3$. Екіншісі: $x\ge4$.
4. $2-5x>22$ немесе $2-5x<-22$. Біріншісі: $x<-4$. Екіншісі: $x>4{,}8$.

Жауабы: 1) $(-5;,4)$; 2) $[-4;,1]$; 3) $(-\infty;,-3]\cup[4;,+\infty)$; 4) $(-\infty;,-4)\cup(4{,}8;,+\infty)$.

№ 42

Теңсіздіктер жүйесін шешіңдер және оның шешімі болатын барлық бүтін сандардың қосындысының мәнін табыңдар: 1) $\begin{cases}|x|<4\|x|\ge1\x>-3\end{cases}$; 2) $\begin{cases}|x|\le10\x>-7\x\le2\end{cases}$; 3) $\begin{cases}|x|>3\x\le4\|x|\le5\end{cases}$.

Қалай ойлаймыз. Модульдерді қос теңсіздікке айналдырып, барлық шартты қиылыстырамыз. Содан кейін бүтін сандарды атап шығамыз.

Шешуі.

1. $-4<x<4$; $x\le-1$ немесе $x\ge1$; $x>-3$. Қалатыны $-3<x\le-1$ және $1\le x<4$. Бүтін сандар: $-2,,-1,,1,,2,,3$. Қосындысы $-2-1+1+2+3=3$.
2. $-10\le x\le10$; $-7<x\le2$. Бүтін сандар: $-6,,-5,,-4,,-3,,-2,,-1,,0,,1,,2$. $-2$ мен $2$, $-1$ мен $1$ жұптары бір-бірін жояды; қалғаны $-6-5-4-3=-18$.
3. $x<-3$ немесе $x>3$; $x\le4$; $-5\le x\le5$. Қалатыны $-5\le x<-3$ және $3<x\le4$. Бүтін сандар: $-5,,-4,,4$. Қосындысы $-5$.

Жауабы: 1) $3$; 2) $-18$; 3) $-5$.

Координаталық жазықтық

№ 43

Координаталық түзуде: 1. а) $-4$ және $3$; ә) $-3{,}5$ және $0$; б) $-7{,}3$ және $-2$; в) $-0{,}99$ және $2{,}1$ сандарының арасында орналасқан бүтін сандарды атаңдар. 2. а) $4{,}7$; ә) $-3{,}2$; б) $0{,}6$; в) $-9{,}99$ саны қандай бүтін сандардың арасында орналасқан?

Қалай ойлаймыз. Сан түзуін көз алдыңа елестет. «Арасында» дегенде ұштарының өзін санамаймыз (а) және ә) тармақтарында олар бүтін сан, бірақ тізімге кірмейді).

Шешуі.

1. а) $-3,,-2,,-1,,0,,1,,2$; ә) $-3,,-2,,-1$; б) $-7,,-6,,-5,,-4,,-3$; в) $0,,1,,2$.
2. а) $4{,}7$ саны $4$ пен $5$ арасында; ә) $-3{,}2$ саны $-4$ пен $-3$ арасында ($-3$-тен солға қарай); б) $0{,}6$ саны $0$ мен $1$ арасында; в) $-9{,}99$ саны $-10$ мен $-9$ арасында.

Жауабы: 1) а) $-3\ldots2$; ә) $-3,-2,-1$; б) $-7\ldots-3$; в) $0,1,2$. 2) а) $4$ және $5$; ә) $-4$ және $-3$; б) $0$ және $1$; в) $-10$ және $-9$.

№ 44

$A(5;,6)$, $B(-3;,0)$, $C(0;,8)$ нүктелерін координаталар жазықтығына салмай, оларға: 1) абсцисса осіне; 2) ордината осіне; 3) координаталар басына қарағанда сәйкесінше симметриялы $M$, $H$, $K$ нүктелерінің координаталарын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. $Ox$ осіне қарағандағы симметрия $y$-тің таңбасын өзгертеді. $Oy$ осіне қарағанда — $x$-тің таңбасын өзгертеді. Координаталар басына қарағанда — екі координатаның да таңбасын өзгертеді.

Шешуі.

1. $y$-тің таңбасы: $M(5;,-6)$, $H(-3;,0)$, $K(0;,-8)$. (Нөл өзгермейді: $B$ нүктесі $Ox$ осінде жатыр, сондықтан орнында қалады.)
2. $x$-тің таңбасы: $M(-5;,6)$, $H(3;,0)$, $K(0;,8)$. ($Oy$ осіндегі $C$ нүктесі орнында қалады.)
3. Екеуінің таңбасы: $M(-5;,-6)$, $H(3;,0)$, $K(0;,-8)$.

Жауабы: 1) $M(5;-6)$, $H(-3;0)$, $K(0;-8)$; 2) $M(-5;6)$, $H(3;0)$, $K(0;8)$; 3) $M(-5;-6)$, $H(3;0)$, $K(0;-8)$.

№ 45

$A(0;,1{,}5)$ және $B(2;,6)$ нүктелерін салыңдар: 1) $AB$ және $BO$ кесінділерін жүргізіп, олардың ұзындықтарын 1 мм дәлдікке дейін өлшеңдер; 2) ордината осіне қарағанда $B$ нүктесіне симметриялы $F$ нүктесінің координаталарын және абсцисса осіне қарағанда сәйкесінше $F$, $A$ және $B$ нүктелеріне симметриялы $E$, $D$, $C$ нүктелерінің координаталарын табыңдар; 3) $ABOCDEFA$ сынығын жүргізіп, оның 1 мм дәлдікке дейінгі ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бірлік кесіндіні 1 см-ге (дәптердің екі торына) тең аламыз. Көлбеу кесіндінің ұзындығын есептеуге де болады: тікбұрышты үшбұрыштың қабырғасы ретінде, Пифагор теоремасымен. Бірақ 7-сыныпта сызғышпен өлшеген оңай.

Шешуі.

1. $AB$ шамамен $4{,}9$ см, $BO$ шамамен $6{,}3$ см.
2. $F(-2;,6)$. Абсцисса осіне қарағандағы симметрия $y$-тің таңбасын өзгертеді: $E(-2;,-6)$, $D(0;,-1{,}5)$, $C(2;,-6)$.
3. Сынық мына жолмен жүреді: $A(0;1{,}5)\to B(2;6)\to O\to C(2;-6)\to D(0;-1{,}5)\to E(-2;-6)\to F(-2;6)\to A$. Буындары: $AB\approx4{,}9$, $BO\approx6{,}3$, $OC\approx6{,}3$, $CD\approx4{,}9$, $DE\approx4{,}9$, $EF=12$, $FA\approx4{,}9$. Қосындысы $\approx44{,}3$ см.

Жауабы: 1) $AB\approx4{,}9$ см, $BO\approx6{,}3$ см; 2) $F(-2;6)$, $E(-2;-6)$, $D(0;-1{,}5)$, $C(2;-6)$; 3) шамамен $44{,}3$ см.

№ 46

1-суретте салынған $A$, $B$, $C$, $E$, $D$, $M$, $H$, $K$, $F$, $T$, $P$ нүктелерінің координаталарын жазыңдар. 1) Ордината осіне қарағанда сәйкесінше осы нүктелерге симметриялы $A_1$, $B_1$, $C_1$, $E_1$, $D_1$, $M_1$, $H_1$, $K_1$, $F_1$, $T_1$, $P_1$ нүктелерінің координаталарын жазыңдар; 2) $A_1$, $B_1$, $C_1$, $E_1$, $D_1$, $M_1$, $H_1$, $K_1$, $F_1$, $T_1$, $P_1$ нүктелерін салыңдар және $AC_1$, $BC_1$, $C_1E_1$, $D_1M_1$, $D_1H_1$, $P_1K_1$, $P_1F_1$, $D_1T_1$ кесінділерін жүргізіңдер.

Қалай ойлаймыз. Суретте координаталар басынан бастап торларды санаймыз: оңға — $x$, жоғары — $y$. $Oy$ осіне қарағандағы симметрияда $x$-тің таңбасы өзгереді, ал $y$ сол күйінде қалады.

Шешуі.

1. Суреттен оқимыз: $A(0;4)$, $B(0;3)$, $C(1;3)$, $E(1;0)$, $D(3;5)$, $M(2;3)$, $H(4;3)$, $K(2;1)$, $F(4;1)$, $T(3;0)$, $P(3;3)$.
2. $x$-тің таңбасын өзгертеміз: $A_1(0;4)$, $B_1(0;3)$, $C_1(-1;3)$, $E_1(-1;0)$, $D_1(-3;5)$, $M_1(-2;3)$, $H_1(-4;3)$, $K_1(-2;1)$, $F_1(-4;1)$, $T_1(-3;0)$, $P_1(-3;3)$. $A$ және $B$ нүктелері осьте жатыр, сондықтан орнында қалады.
3. Көрсетілген нүктелер жұбын қосамыз: жоғарыдағы графиктегідей, 1-суреттің айна бейнесі шығады.

Жауабы: $A(0;4)$, $B(0;3)$, $C(1;3)$, $E(1;0)$, $D(3;5)$, $M(2;3)$, $H(4;3)$, $K(2;1)$, $F(4;1)$, $T(3;0)$, $P(3;3)$; симметриялылары: $A_1(0;4)$, $B_1(0;3)$, $C_1(-1;3)$, $E_1(-1;0)$, $D_1(-3;5)$, $M_1(-2;3)$, $H_1(-4;3)$, $K_1(-2;1)$, $F_1(-4;1)$, $T_1(-3;0)$, $P_1(-3;3)$.

№ 47

$A(3;,4)$ нүктесін және абсциссасы $A$ нүктесінің абсциссасына тең, ал ординатасы $A$ нүктесінің ординатасының $50%$-ын құрайтын $B$ нүктесін салыңдар. Ординатасы $B$ нүктесінің ординатасына тең, ал абсциссасы $B$ нүктесінің абсциссасынан $2$ есе артық болатын $C$ нүктесін салыңдар. Ординатасы нөлге тең, ал абсциссасы $C$ нүктесінің абсциссасына тең $T$ нүктесін салыңдар. Ордината осіне қарағанда сәйкесінше $A$, $B$, $C$, $T$ нүктелеріне симметриялы $D$, $M$, $K$, $F$ нүктелерін салыңдар. Егер бірлік кесіндінің ұзындығы $5$ мм болса, онда $ABCTFKMDA$ фигурасының периметрі мен ауданын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Нүктелерді кезекпен табамыз және әріптер ретімен қосамыз. Содан кейін «торлармен» есептеп, миллиметрге аударамыз: бір тор — 5 мм.

Шешуі.

1. $B$: абсциссасы $3$, ординатасы $4\cdot0{,}5=2$, демек, $B(3;2)$.
2. $C$: ординатасы $2$, абсциссасы $3\cdot2=6$, демек, $C(6;2)$. $T(6;0)$.
3. Симметриялы нүктелер ($x$-тің таңбасы өзгереді): $D(-3;4)$, $M(-3;2)$, $K(-6;2)$, $F(-6;0)$.
4. Қабырғалары (торлармен): $AB=2$, $BC=3$, $CT=2$, $TF=12$, $FK=2$, $KM=3$, $MD=2$, $DA=6$. Қосындысы $32$ тор, яғни $32\cdot5=160$ мм $=16$ см.
5. Ауданы: төменгі бөлігі $12\cdot2=24$ тор, жоғарғы бөлігі $6\cdot2=12$ тор, барлығы $36$ тор. Бір тор — $5\times5$ мм шаршы, яғни $0{,}25$ см². Демек, $36\cdot0{,}25=9$ см².

Жауабы: $P=16$ см, $S=9$ см².

Формулалар

№ 48

Жұмыс соңында дүкенде $a$ кг алма сатылмай қалды және тағы әрқайсысында $b$ кг-нан 5 жәшік алма әкелінді. Сонда дүкенде барлығы қанша килограмм алма болды? Есеп шығару формуласын жазып, $a=5{,}75$ және $b=4{,}25$ болғандағы есептің жауабын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әрқайсысында $b$ кг-нан 5 жәшік әкелінді — бұл $5b$ кг. Қалған $a$ кг-ға әкелінгенді қосамыз.

Шешуі. Формула: $S=a+5b$. $a=5{,}75$, $b=4{,}25$ болғанда: $S=5{,}75+5\cdot4{,}25=5{,}75+21{,}25=27$.

Жауабы: $S=a+5b$; $27$ кг.

№ 49

$y=x+37^{2}$ формуласына: 1) $x=25^{2}-101$ санын қойғанда $y$-тің мәні қазақ әдебиетінің негізін қалаушы, ақын Мағжан Жұмабаевтың туған жылын; 2) $x=24^{2}-10^{2}$ санын қойғанда $y$-тің мәні қазақтың жазба әдебиетінің негізін қалаған, ағартушы Абай Құнанбайұлының туған жылын; 3) $x=22^{2}-2\cdot3^{2}$ санын қойғанда $y$-тің мәні ағартушы, саяхатшы, Орта Азия, Қазақстан және Шығыс Түркістан халықтарының тарихы мен мәдениетін зерттеген Шоқан Уәлихановтың туған жылын; 4) $x=21^{2}+2^{2}\cdot3^{2}$ санын қойғанда $y$-тің мәні жырау, жыршы, ақын Жамбыл Жабаевтың туған жылын береді.

Қалай ойлаймыз. Алдымен дәрежелерді, сосын $x$-ті, одан кейін $y=x+37^2$ есептейміз. Және есіңде болсын: $37^2=1369$.

Шешуі.

1. $25^2=625$, $x=524$; $y=524+1369=1893$.
2. $24^2=576$, $10^2=100$, $x=476$; $y=476+1369=1845$.
3. $22^2=484$, $2\cdot9=18$, $x=466$; $y=466+1369=1835$.
4. $21^2=441$, $4\cdot9=36$, $x=477$; $y=477+1369=1846$.

Жауабы: 1) $1893$ жыл; 2) $1845$ жыл; 3) $1835$ жыл; 4) $1846$ жыл.

№ 50

1-кестені толтырыңдар: катердің меншікті жылдамдығы, өзен ағысының жылдамдығы, катердің өзен ағысымен жүргендегі жылдамдығы, катердің өзен ағысына қарсы жүргендегі жылдамдығы (км/сағ).

Қалай ойлаймыз. Ағыспен жүргендегі жылдамдық $=v+u$, ағысқа қарсы $=v-u$ ($v$ — катердің меншікті жылдамдығы, $u$ — өзен ағысының жылдамдығы). Демек, $v=\frac{\text{ағыспен}+\text{қарсы}}{2}$, $u=\frac{\text{ағыспен}-\text{қарсы}}{2}$.

Шешуі.

Жауабы: бағандар бойынша (меншікті, ағыс, ағыспен, қарсы): 1) $30;3;33;27$; 2) $31;2;33;29$; 3) $35;4;39;31$; 4) $40;2;42;38$; 5) $42;3;45;39$; 6) $38;4;42;34$.

№ 51

Мәтінді есепті шығарыңдар, оған кері есеп құрастырыңдар және шешіңдер: бірінші шебер жұмысты 6 сағатта, ал екінші шебер осы жұмысты 4 сағатта орындайды. Егер олар бірігіп жұмыс атқарса, онда жұмысты қанша уақытта орындайды?

Қалай ойлаймыз. Бүкіл жұмыс — «бірлік». Бірінші шебердің өнімділігі сағатына $\frac{1}{6}$, екіншісінікі сағатына $\frac{1}{4}$. Бірігіп жұмыс істегенде олар қосылады.

Шешуі. $\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$ жұмыс сағатына. Уақыт $1:\frac{5}{12}=\frac{12}{5}=2{,}4$ сағ.

Кері есептер:

1. Бірінші шебер жұмысты 6 сағатта орындайды, бірігіп олар $2{,}4$ сағатта орындайды. Екінші шебер жұмысты жалғыз өзі неше сағатта орындайды? $\frac{1}{2{,}4}-\frac{1}{6}=\frac{5}{12}-\frac{2}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$, яғни $4$ сағатта.
2. Екінші шебер жұмысты 4 сағатта орындайды, бірігіп олар $2{,}4$ сағатта орындайды. Бірінші шебер жұмысты жалғыз өзі неше сағатта орындайды? $\frac{5}{12}-\frac{1}{4}=\frac{1}{6}$, яғни $6$ сағатта.

Жауабы: $2{,}4$ сағ; кері есептер: $4$ сағ және $6$ сағ.

№ 52

Шаршының периметрі қабырғаларының ұзындығы: 1) 36 см; 2) 2 см; 3) 0,2 см; 4) 0,5 см; 5) $\frac{1}{6}$ см; 6) $\frac{2}{3}$ см болатын алтыбұрыштың периметріне тең. Шаршының ауданын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алтыбұрыштың периметрі $6a$. Шаршының қабырғасы одан төрт есе кіші: $\frac{6a}{4}=1{,}5a$. Ауданы $(1{,}5a)^2=2{,}25a^2$.

Шешуі.

1. $P=216$, шаршының қабырғасы $54$, ауданы $2916$ см².
2. $P=12$, қабырғасы $3$, ауданы $9$ см².
3. $P=1{,}2$, қабырғасы $0{,}3$, ауданы $0{,}09$ см².
4. $P=3$, қабырғасы $0{,}75$, ауданы $0{,}5625$ см².
5. $P=1$, қабырғасы $\frac{1}{4}$, ауданы $\frac{1}{16}$ см².
6. $P=4$, қабырғасы $1$, ауданы $1$ см².

Жауабы: 1) $2916$ см²; 2) $9$ см²; 3) $0{,}09$ см²; 4) $0{,}5625$ см²; 5) $\frac{1}{16}$ см²; 6) $1$ см².

№ 53

Көлемі өлшемдері: 1) 4 см, 6 см және 9 см; 2) 4 см, 10 см және 25 см; 3) 5 см, 8 см, 25 см; 4) 27 см, 8 см, 125 см; 5) 6,4 см, 2,7 см, 34,3 см; 6) 0,7 см, 4,9 см, 0,8 см болатын тік параллелепипедтің көлеміне тең текшенің қабырғасының ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Параллелепипедтің көлемі $abc$, ал текшенің көлемі $x^3$. Куб дәрежесі көбейтіндіге тең болатын санды табу керек.

Шешуі.

1. $4\cdot6\cdot9=216=6^3$, $x=6$.
2. $4\cdot10\cdot25=1000=10^3$, $x=10$.
3. $5\cdot8\cdot25=1000$, $x=10$.
4. $27\cdot8\cdot125=3^3\cdot2^3\cdot5^3=(3\cdot2\cdot5)^3=30^3$, $x=30$.
5. $6{,}4\cdot2{,}7\cdot34{,}3=\frac{64\cdot27\cdot343}{1000}=\frac{4^3\cdot3^3\cdot7^3}{10^3}=\left(\frac{84}{10}\right)^3=8{,}4^3$, $x=8{,}4$.
6. $0{,}7\cdot4{,}9\cdot0{,}8=2{,}744=1{,}4^3$, $x=1{,}4$.

Жауабы: 1) $6$ см; 2) $10$ см; 3) $10$ см; 4) $30$ см; 5) $8{,}4$ см; 6) $1{,}4$ см.

№ 54

Меншікті жылдамдығы 14 км/сағ болатын моторлы қайық өзен ағысымен төмен жүрді. Қайық шыққан пункттен 1 сағаттан соң меншікті жылдамдығы 31 км/сағ-қа тең катер шықты. Егер өзен ағысының жылдамдығы 3 км/сағ болса, онда катер моторлы қайықпен қанша уақыттан кейін кездеседі?

Қалай ойлаймыз. Ағыс екеуін де бір бағытқа апарады, сондықтан екі жылдамдыққа да 3 км/сағ қосамыз. Әрі қарай — әдеттегі «қуып жету» есебі.

Шешуі. Қайықтың жылдамдығы $14+3=17$ км/сағ, катердікі $31+3=34$ км/сағ. 1 сағатта қайық $17$ км жүріп өтеді. Катер оны $34-17=17$ км/сағ жылдамдықпен қуып жетеді. Уақыт $17:17=1$ сағ.

Жауабы: $1$ сағаттан кейін.

№ 55

Меншікті жылдамдығы 15 км/сағ-қа тең моторлы қайық өзен ағысымен төмен жүрді. 1 сағаттан соң оған қарама-қарсы бағытта меншікті жылдамдығы 33 км/сағ-қа тең катер шықты. Егер өзен ағысының жылдамдығы 3 км/сағ болса, онда қанша сағаттан кейін катер мен моторлы қайықтың аралығы 114 км болады?

Қалай ойлаймыз. Қайық пен катер әртүрлі бағытқа жүзеді. Араларындағы қашықтық — жүрген жолдарының қосындысы (қайық бір сағат артық жүзді).

Шешуі. Қайықтың жылдамдығы $15+3=18$ км/сағ, катердікі $33-3=30$ км/сағ. Катер $t$ сағат жүзсе, қайық $t+1$ сағат жүзеді: $18(t+1)+30t=114$, $48t=96$, $t=2$. Тексеру: қайық $18\cdot3=54$ км, катер $30\cdot2=60$ км, $54+60=114$.

Жауабы: $2$ сағаттан кейін.

Статистика, диаграммалар, жиындар

№ 56

2-кестеде жұмысшылардың бір күнде дайындаған тетіктерінің саны көрсетілген: 1-жұмысшы — 21, 2-жұмысшы — 18, 3-жұмысшы — 20, 4-жұмысшы — 17. Келесі тапсырмаларды орындаңдар: 1) бір күнде барлық жұмысшылардың дайындаған тетіктер санының арифметикалық ортасын табыңдар; 2) бір күнде барлық жұмысшылардың дайындаған тетіктер санының құлашын есептеңдер; 3) бір күнде барлық жұмысшылардың дайындаған тетіктер санының медианасын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Арифметикалық орта — қосындыны санға бөлу. Құлаш — ең үлкені минус ең кішісі. Медиана — реттелген қатардың дәл ортасындағы сан (сан жұп болса, екі ортаңғысының орташасын алады).

Шешуі.

1. $(21+18+20+17):4=76:4=19$.
2. Ең үлкені $21$, ең кішісі $17$: $21-17=4$.
3. Ретке келтіреміз: $17,,18,,20,,21$. Екі ортаңғы сан $18$ және $20$: $(18+20):2=19$.

Жауабы: 1) $19$; 2) $4$; 3) $19$.

№ 57

Диаграммада тауардың сұрыптары туралы мәліметтер берілген (2-сурет): жоғары сұрып 20%, бірінші сұрып $x%$, екінші сұрып 30%, үшінші сұрып 15%. Бірінші сұрыпты тауар саны 350-ге тең. Ақиқат тұжырымдарды көрсетіңдер: 1) диаграммада барлығы 900 тауар туралы мәлімет берілген; 2) жоғары және бірінші сұрыпты тауарлар саны үшінші сұрыпты тауарлар санынан 300-ге артық; 3) үшінші сұрыпты тауарлар саны екінші сұрыпты тауарлар санынан екі есе кем; 4) жоғары және екінші сұрыпты тауарлар саны бірінші және үшінші сұрыпты тауарлар санынан 50-ге артық.

Қалай ойлаймыз. Бүкіл дөңгелек — 100%. Алдымен $x$-ті, содан кейін 1%-дағы тауар санын табамыз.

Шешуі. $x=100-20-30-15=35$. Бірінші сұрып — $35%$ — бұл $350$ тауар, демек, $1%$ — $10$ тауар, ал барлығы $1000$ тауар. Жоғары: $200$, бірінші: $350$, екінші: $300$, үшінші: $150$.

1. Барлығы $1000$, $900$ емес — ақиқат емес.
2. $200+350=550$; $550-150=400$, $300$ емес — ақиқат емес.
3. $150\cdot2=300$ — ақиқат.
4. $200+300=500$, $350+150=500$; айырмасы $0$, $50$ емес — ақиқат емес.

Жауабы: тек 3) тұжырым ақиқат.

№ 58

1) Сынып оқушыларының 18-і спорт секциясына, 10-ы шахмат үйірмесіне, ал төртеуі спорт секциясына және шахмат үйірмесіне барады. Сыныпта қанша оқушы бар? 2) Сыныпта 28 оқушы бар. Олардың 22-сі спорт секциясына, ал 7-еуі спорт секциясына және шахмат үйірмесіне барады. Сыныпта қанша оқушы шахмат үйірмесіне барады?

Қалай ойлаймыз. Екі үйірмеге де баратындар екі рет санаған болады. Қиылысатын екі дөңгелек сыз (Эйлер дөңгелектері): ортақ бөлігі — «екеуіне де барады».

Шешуі.

1. Тек секцияға: $18-4=14$. Тек үйірмеге: $10-4=6$. Барлығы $14+6+4=24$.
2. Шахмат үйірмесіне секцияға бармайтындар және екеуіне де баратындар барады. Секцияға бармайтындар: $28-22=6$. Демек, үйірмеге $6+7=13$ (әр оқушы екі жердің кемінде біреуіне барады деп алсақ).

Жауабы: 1) $24$ оқушы; 2) $13$ оқушы.

№ 59

3-кестеде ойыншықтардың бағалары көрсетілген (теңгемен): A — 430, B — 500, C — 630, D — 520, E — 320, F — 610, G — 440, H — 710, K — 360, L — 736. 1) Бағасы 500 теңгеден артық емес ойыншықтардың қанша түрі бар? 2) Әкесі 1000 тг жұмсап баласына екі түрлі ойыншықты қанша тәсілмен сатып алуына болады? 3) Үш ойыншық сатып алған адамға 15% жеңілдік жасалады. 1000 теңгеден кем ақшаға қандай үш ойыншық сатып алуға болады?

Қалай ойлаймыз. Жұптарды жүйелі түрде, ең арзан ойыншықтардан бастап санаймыз, ештеңені қалдырып кетпеу үшін.

Шешуі.

1. 500-ден аспайтындар: A $(430)$, B $(500)$, E $(320)$, G $(440)$, K $(360)$. Барлығы $5$.
2. Қосындысы $\le1000$ болатын жұптарды санаймыз: A+B, A+D, A+E, A+G, A+K; B+E, B+G, B+K; C+E, C+K; D+E, D+G, D+K; E+F, E+G, E+K; F+K; G+K. Барлығы $5+3+2+3+3+1+1=18$ тәсіл.
3. $0{,}85$ жеңілдікпен төлейтін сома 1000-нан кем болуы үшін жеңілдіксіз сома шамамен $1000:0{,}85\approx1176$ тг-ден аспауы керек. Сәйкес келеді: A+E+K $=430+320+360=1110$, жеңілдікпен $943{,}5$ тг; E+G+K $=320+440+360=1120$, жеңілдікпен $952$ тг. Басқа үштіктер, мысалы B+E+K $=1180$, жеңілдікпен $1003$ тг — тым көп.

Жауабы: 1) $5$ түр; 2) $18$ тәсіл; 3) A, E, K (943,5 тг) немесе E, G, K (952 тг).

№ 60

1) Түстері әртүрлі киім үлгілерінің топтамасы 3-суретте көрсетілген. Егер топтамада барлығы 80 үлгі болса, онда қызыл түсті үлгілердің саны қанша болады? 2) Кәсіпорынның жыл бойы алған өнімін талдау нәтижелері 4-суретте көрсетілген. Егер жылдық өнім 2 400 000 теңгені құраса, 3-кварталда қандай өнім алынған? (3-сурет: көк 10%, сары 20%, жасыл 40%, қызыл — белгісіз; 4-сурет: 1-квартал 18%, 2-квартал 24%, 4-квартал 27%, 3-квартал — белгісіз.)

Қалай ойлаймыз. Бүкіл дөңгелек — 100%. Белгісіз үлесті жүзден азайту арқылы табамыз.

Шешуі.

1. Қызыл: $100-10-20-40=30%$. $80\cdot0{,}3=24$ үлгі.
2. Үшінші квартал: $100-18-24-27=31%$. $2,400,000\cdot0{,}31=744,000$ тг.

Жауабы: 1) $24$ үлгі; 2) $744,000$ тг.

Жадынама

• Бөлшектер: аралас сандарды бұрыс бөлшекке айналдыр және көбейтпес бұрын қысқарт.
• Теңдеу: жақшаны аш, $x$-ті сол жаққа, сандарды оң жаққа жина, коэффициентке бөл.
• Жүйе: қосу тәсілі (коэффициенттерді теңестір) немесе алмастыру тәсілі.
• Қос теңсіздік және жүйе: әрқайсысын жеке шеш, сосын аралықтарды қиылыстыр.
• Дөңгелек диаграмма: бүкіл дөңгелек — 100%.

⚠️ Жиі кететін қате. $-6x<-24$ теңсіздігінде жауабы $x>4$, ал $x<4$ емес: $-6$-ға бөлгенде таңба аударылады.

Шағын тест