§ 1. Натурал көрсеткішті дәреже

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 1 бөлім: Бүтін көрсеткішті дәреже. 22–28-беттер.

Нені үйренесің

• Бірдей көбейткіштердің көбейтіндісін дәреже түрінде жазуды және керісінше.
• Дәреженің негізі мен көрсеткішін атауды және $a^{n}$ жазуын дұрыс оқуды.
• Оң, теріс және бөлшек сандардың дәрежесін есептеуді.
• Дәреженің таңбасын есептемей-ақ анықтауды.
• Дәрежелері бар өрнектерді дұрыс ретпен есептеуді және үлкен дәреженің соңғы цифрын табуды.

Ой қозғау

Мұнда қыздыратын жаттығулар жоқ, бірақ бастамас бұрын ойланатын сұрақтар бар.

• Дәреже не үшін керек? Бірдей сандардың ұзын көбейтіндісін қысқа жазу үшін: $2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2$ орнына $2^{6}$ деп жазамыз.
• $\frac{8}{9}\cdot\frac{8}{9}\cdot\frac{8}{9}$ өрнегін қалай қысқа жазамыз? Үш бірдей көбейткіш, демек, $\left(\frac{8}{9}\right)^{3}$.
• $(-1{,}1)$ саны 21 рет қайталанса ше? Бұл $(-1{,}1)^{21}$.

Тақырыпты талдаймыз

Үш, екі, бір: дәреже неден тұрады

$a^{n}$ жазуы мынаны айтады: «$a$ санын алып, оны өзіне $n$ рет көбейт».

$a^{n}=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{ рет}}$

• $a$ — дәреженің негізі (нені қайталаймыз),
• $n$ — дәреженің көрсеткіші (неше рет қайталаймыз),
• $a^{n}$ бүтіндей дәреже деп аталады.

Былай оқиды: «$a$ санының $n$ натурал көрсеткішті дәрежесі». Алдымен негізін, содан кейін көрсеткішін оқимыз. Ал $a^{2}$ мен $a^{3}$ дәрежелерінің өз атаулары бар: санның квадраты және санның кубы.

📌 Кез келген санның бірінші дәрежесі сол санның өзіне тең: $a^{1}=a$.

Дәреженің таңбасы қандай

Таңбасын ештеңе есептемей-ақ болжауға болады. Көбейтіндідегі әр теріс көбейткіш минус әкеледі, ал екі минус бір-бірін «жоққа шығарады».

⚠️ Жиі кететін қате. $(-3)^{2}$ мен $-3^{2}$ өрнегін шатастырма. Бірінші жағдайда минус үштікпен бірге квадратқа шығады: $9$. Екіншісінде тек үштік квадратқа шығады, ал минус өз орнында қалады: $-9$. Мәселені жақша шешеді.

⚠️ Жиі кететін қате. $2^{3}$ — бұл $2\cdot3$ емес. Бұл $2\cdot2\cdot2=8$, ал $6$ емес. Көрсеткіш неше рет қайталау керегін көрсетеді, неге көбейту керегін емес.

Дәреженің негізі не болуы мүмкін

Кез келген рационал сан: натурал сан, нөл, оң және теріс бөлшек, теріс бүтін сан, сондай-ақ кез келген айнымалы. Бөлшек пен теріс санды негізде әрқашан жақшаға аламыз: $\left(\frac{6}{7}\right)^{4}=\frac{6\cdot6\cdot6\cdot6}{7\cdot7\cdot7\cdot7}=\frac{1296}{2401}$.

Амалдар реті: дәреже бірінші орындалады

Дәрежеге шығару — үшінші деңгейдің амалы. Ол көбейтуден де, қосудан да күшті. Жақшасыз өрнекте алдымен дәрежелерді, содан кейін көбейту мен бөлуді, ең соңында қосу мен азайтуды есептейміз.

Мысалы, $6:\frac{1}{8}-\frac{5}{9}\cdot(-3)^{4}+0{,}1\cdot10^{2}=6\cdot8-\frac{5}{9}\cdot81+0{,}1\cdot100=48-45+10=13$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан сұраңыз: «$-4^{2}$ неге тең?» Дұрыс жауап $-16$. Егер ол $16$ десе, жақшаны әлі шатастырып жүр. Нені квадратқа шығарып тұрғанын айтып беруін өтініңіз.

Өмірдегі дәрежелер

Үлкен сандарды дәреже түрінде жазу ыңғайлы. Мысалы, $82,345=8\cdot10^{4}+2\cdot10^{3}+3\cdot10^{2}+4\cdot10+5$. Немесе былай: Қазақстанда шамамен 20 миллион адам тұрады, яғни шамамен $2\cdot10^{7}$.

🌟 Жердің Күннен бір жылда алатын энергиясының шамасы $10^{25}$ Дж-ға тең. Бұл санды дәрежесіз жазып көр: бір және 25 нөл! Дауылдың энергиясы — $10^{15}$ Дж, ал адамның қанайналым жүйесінің ұзындығы — $10^{5}$ км.

Үлкен дәреженің соңғы цифры

$8^{25}$ қандай цифрмен аяқталатынын бүкіл санды есептемей қалай білуге болады? Дәрежелердің соңғы цифрлары шеңбер бойымен қайталанады, сондықтан сол шеңбердің ұзындығын табу керек.

📕 Оқулықтың 24-бетіндегі 4-мысалда $8^{4}=4069$ деп қате басылған. Дұрысы: $8^{4}=4096$. Соңғы цифр (6) өзгермейді, сондықтан периодтың өзі де, жауап та дұрыс.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• $a^{2}$ және $a^{3}$ дәрежелерін қалай атайды? $a$ санының квадраты және $a$ санының кубы.
• $\left(\frac{1}{4}\right)^{3}=\frac{1}{64}$, $(-0{,}6)^{2}=0{,}36$, $(-3)^{3}=-27$ теңдіктерін түсіндір. $\frac{1}{4}$ санының үш көбейткіші $\frac{1\cdot1\cdot1}{4\cdot4\cdot4}=\frac{1}{64}$ береді. $-0{,}6$ санының екі көбейткіші: минустар жойылады, $0{,}6\cdot0{,}6=0{,}36$. $-3$ санының үш көбейткіші: $9\cdot(-3)=-27$.
• $a^{n}$ қашан оң, қашан теріс болады? Егер $a>0$ болса ($n$ кез келген болғанда) немесе $a<0$ және $n$ жұп болса, оң болады. Егер $a<0$ және $n$ тақ болса, теріс болады.
• Дәреженің негізі қандай сан болуы мүмкін? Кез келген: натурал сандар, нөл, бөлшектер, оң және теріс сандар, сондай-ақ айнымалы.
• Натурал көрсеткішті дәреже теріс сан бола ала ма? Нөл ше? Теріс бола алады, егер негізі теріс, ал көрсеткіші тақ болса. Нөл тек негізі нөл болғанда ғана болады: $0^{30}=0$.
• $81\cdot4-243:3^{5}+240$ өрнегіндегі амалдарды қандай ретпен орындайды? 1) $3^{5}=243$; 2) көбейту мен бөлуді солдан оңға қарай: $81\cdot4=324$, $243:243=1$; 3) қосу мен азайту: $324-1+240=563$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1.1

Көбейтіндіні дәреже түрінде жазыңдар: 1) $9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9$; 2) $(-1{,}2)\cdot(-1{,}2)\cdot(-1{,}2)\cdot(-1{,}2)\cdot(-1{,}2)$; 3) $\frac{2}{7}$ қатарынан алты рет; 4) $b$ тоғыз рет; 5) $(t+k)$ төрт рет; 6) $\frac{x}{y}$ тоғыз рет.

Қалай ойлаймыз. Бірдей көбейткіштерді санаймыз. Ол көрсеткіш болады, ал көбейткіштің өзі негіз болады.

Шешуі.

1. Сегіз тоғызды: $9^{8}$.
2. $-1{,}2$ санының бес көбейткіші: $(-1{,}2)^{5}$.
3. $\frac{2}{7}$ бөлшегінің алты көбейткіші: $\left(\frac{2}{7}\right)^{6}$.
4. $b$ әрпі тоғыз рет: $b^{9}$.
5. Жақшадағы қосынды 4 рет қайталанады: $(t+k)^{4}$.
6. Тоғыз бөлшек: $\left(\frac{x}{y}\right)^{9}$.

Жауабы: 1) $9^{8}$; 2) $(-1{,}2)^{5}$; 3) $\left(\frac{2}{7}\right)^{6}$; 4) $b^{9}$; 5) $(t+k)^{4}$; 6) $\left(\frac{x}{y}\right)^{9}$.

№ 1.2

Көбейтіндіні дәреже түрінде жазуды қолданып, өрнекті ықшамдаңдар: 1) $10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot c\cdot c\cdot c$; 2) $0{,}6\cdot0{,}6\cdot d\cdot d\cdot d\cdot d\cdot d$; 3) $k\cdot k\cdot k\cdot k\cdot s\cdot s\cdot s\cdot s\cdot s$; 4) $\frac{t}{m}\cdot\frac{t}{m}\cdot\frac{t}{m}\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n$; 5) $(2-b)\cdot(2-b)\cdot(2-b)\cdot(2-b)\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y$.

Қалай ойлаймыз. Бірдей көбейткіштерді бөлек топтаймыз: сандарды сандармен, әріптерді әріптермен.

Шешуі.

1. Төрт онды және үш $c$ әрпі: $10^{4}\cdot c^{3}$.
2. $0{,}6$ санының екі көбейткіші және бес $d$: $0{,}6^{2}\cdot d^{5}$.
3. Төрт $k$ және бес $s$: $k^{4}s^{5}$.
4. Үш бөлшек және төрт $n$: $\left(\frac{t}{m}\right)^{3}n^{4}$.
5. $(2-b)^{4}\cdot y^{6}$.

Жауабы: 1) $10^{4}c^{3}$; 2) $0{,}6^{2}d^{5}$; 3) $k^{4}s^{5}$; 4) $\left(\frac{t}{m}\right)^{3}n^{4}$; 5) $(2-b)^{4}y^{6}$.

№ 1.3

Берілген өрнекті бірдей көбейткіштердің көбейтіндісі түрінде жазыңдар: 1) $2{,}3^{5}$; 2) $(-0{,}1)^{6}$; 3) $(3c)^{4}$; 4) $(8s+1)^{3}$.

Қалай ойлаймыз. Көрсеткіш негізді неше рет жазу керегін көрсетеді.

Шешуі.

1. $2{,}3\cdot2{,}3\cdot2{,}3\cdot2{,}3\cdot2{,}3$.
2. $(-0{,}1)\cdot(-0{,}1)\cdot(-0{,}1)\cdot(-0{,}1)\cdot(-0{,}1)\cdot(-0{,}1)$ — алты рет.
3. $3c\cdot3c\cdot3c\cdot3c$.
4. $(8s+1)\cdot(8s+1)\cdot(8s+1)$.

Жауабы: сәйкесінше бес, алты, төрт және үш бірдей көбейткіш (жоғарыдағы жазбаны қара).

№ 1.4

Есептеңдер: 1) $6^{3}$; 2) $1{,}4^{3}$; 3) $(-8)^{4}$; 4) $(-0{,}2)^{5}$.

Қалай ойлаймыз. Қадамдап дәрежеге шығарамыз: алдымен квадратқа, сосын жалғастырамыз. Таңбасын алдын ала анықтаймыз.

Шешуі.

1. $6^{3}=6\cdot6\cdot6=36\cdot6=216$.
2. $1{,}4^{2}=1{,}96$; $1{,}96\cdot1{,}4=2{,}744$.
3. Көрсеткіші жұп, нәтиже оң: $(-8)^{2}=64$, $64\cdot64=4096$.
4. Көрсеткіші тақ, нәтиже теріс. $0{,}2^{5}=0{,}00032$ (екі саны және үтірден кейін бес таңба), демек, $-0{,}00032$.

Жауабы: 1) $216$; 2) $2{,}744$; 3) $4096$; 4) $-0{,}00032$.

№ 1.5

Есептеңдер: 1) $\left(\frac{2}{4}\right)^{4}$; 2) $\left(-\frac{3}{4}\right)^{4}$; 3) $\left(-2\frac{1}{4}\right)^{5}$; 4) $\left(1\frac{4}{5}\right)^{3}$.

Қалай ойлаймыз. Алымын да, бөлімін де дәрежеге шығарамыз. Аралас санды алдымен бұрыс бөлшекке айналдырамыз.

Шешуі.

1. $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, сондықтан $\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{1}{16}$.
2. Көрсеткіші жұп: $\frac{3^{4}}{4^{4}}=\frac{81}{256}$.
3. $-2\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$. Көрсеткіші тақ, минус қалады: $-\frac{9^{5}}{4^{5}}=-\frac{59049}{1024}=-57\frac{681}{1024}$.
4. $1\frac{4}{5}=\frac{9}{5}$: $\frac{9^{3}}{5^{3}}=\frac{729}{125}=5\frac{104}{125}$.

Жауабы: 1) $\frac{1}{16}$; 2) $\frac{81}{256}$; 3) $-57\frac{681}{1024}$; 4) $5\frac{104}{125}$.

№ 1.6

Өрнек және оның мәні арасындағы сәйкестікті анықтаңдар: $2^{5}$, $3^{4}$, $\left(\frac{1}{2}\right)^{3}$, $(-0{,}2)^{3}$ өрнектері мен $-0{,}008$; $32$; $0{,}125$; $81$ мәндері.

Қалай ойлаймыз. Әр дәрежені есептеп, тізімнен іздейміз.

Шешуі.

1. $2^{5}=32$.
2. $3^{4}=81$.
3. $\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}=0{,}125$.
4. $(-0{,}2)^{3}=-0{,}008$ (көрсеткіші тақ болғандықтан минус).

Жауабы: $2^{5}\to32$; $3^{4}\to81$; $\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\to0{,}125$; $(-0{,}2)^{3}\to-0{,}008$.

B деңгейі

№ 1.7

Амалдарды орындаңдар: 1) $5^{2}-200$; 2) $13-3^{3}$; 3) $20+2^{6}$; 4) $2^{4}-3^{2}$.

Қалай ойлаймыз. Дәрежені бірінші есептейміз, содан кейін қосу немесе азайту.

Шешуі.

1. $25-200=-175$.
2. $13-27=-14$.
3. $20+64=84$.
4. $16-9=7$.

Жауабы: 1) $-175$; 2) $-14$; 3) $84$; 4) $7$.

№ 1.8

Амалдарды орындаңдар: 1) $(-3)^{2}+2^{3}$; 2) $(0{,}7-1{,}3)^{2}$; 3) $-5+0{,}2^{2}$; 4) $0{,}7-1{,}3^{2}$.

Қалай ойлаймыз. Жақшада не тұрғанына және нені дәрежеге шығарып жатқанымызға қара. 2-тармақта алдымен жақша, 4-тармақта алдымен дәреже.

Шешуі.

1. $9+8=17$.
2. $0{,}7-1{,}3=-0{,}6$; $(-0{,}6)^{2}=0{,}36$.
3. $0{,}2^{2}=0{,}04$; $-5+0{,}04=-4{,}96$.
4. $1{,}3^{2}=1{,}69$; $0{,}7-1{,}69=-0{,}99$.

Жауабы: 1) $17$; 2) $0{,}36$; 3) $-4{,}96$; 4) $-0{,}99$.

№ 1.9

Амалдарды орындаңдар: 1) $\left(\frac{1}{2}\right)^{5}+\frac{29}{32}$; 2) $\left(-\frac{1}{3}\right)^{3}+\frac{22}{27}$; 3) $\left(\frac{2}{5}\right)^{2}+\frac{11}{25}$; 4) $(1{,}2)^{2}+2{,}06$; 5) $(0{,}4)^{4}-1$; 6) $20-(1{,}4)^{2}$.

Қалай ойлаймыз. Дәрежені бөлек есептейміз, содан кейін ортақ бөлімге келтіреміз немесе ондық бөлшектермен есептейміз.

Шешуі.

1. $\frac{1}{32}+\frac{29}{32}=\frac{30}{32}=\frac{15}{16}$.
2. $-\frac{1}{27}+\frac{22}{27}=\frac{21}{27}=\frac{7}{9}$.
3. $\frac{4}{25}+\frac{11}{25}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$.
4. $1{,}44+2{,}06=3{,}5$.
5. $0{,}0256-1=-0{,}9744$.
6. $1{,}4^{2}=1{,}96$; $20-1{,}96=18{,}04$.

Жауабы: 1) $\frac{15}{16}$; 2) $\frac{7}{9}$; 3) $\frac{3}{5}$; 4) $3{,}5$; 5) $-0{,}9744$; 6) $18{,}04$.

№ 1.10

Кәсіпорынның жеті күнде дайындаған тетіктер саны келесідей: 72; 83; 76; 80; 84; 88; 77. Берілген сандардың: 1) арифметикалық ортасының квадратын; 2) құлаш мәнінің 25%-ының төртінші дәрежесін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Арифметикалық орта: қосындыны сандар санына бөлеміз. Құлаш: ең үлкені минус ең кішісі.

Шешуі.

1. Қосынды: $72+83+76+80+84+88+77=560$. Арифметикалық орта $560:7=80$. Квадраты: $80^{2}=6400$.
2. Құлаш: $88-72=16$. $16$-ның төрттен бірі $4$-ке тең. Төртінші дәрежесі: $4^{4}=256$.

Жауабы: 1) $6400$; 2) $256$.

№ 1.11

Есептеңдер: 1) $3^{5}-2^{6}:40$; 2) $4^{4}:1000-0{,}3$; 3) $7^{2}\cdot2^{3}+608$; 4) $8^{2}\cdot3^{3}-728$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен барлық дәрежелерді, содан кейін көбейту мен бөлуді, ең соңында қосу мен азайтуды орындаймыз.

Шешуі.

1. $243-64:40=243-1{,}6=241{,}4$.
2. $256:1000=0{,}256$; $0{,}256-0{,}3=-0{,}044$.
3. $49\cdot8=392$; $392+608=1000$.
4. $64\cdot27=1728$; $1728-728=1000$.

Жауабы: 1) $241{,}4$; 2) $-0{,}044$; 3) $1000$; 4) $1000$.

№ 1.12

1) $5^{8}$; 2) $2^{11}$ өрнегі қандай цифрмен аяқталатынын анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. Бестің дәрежесі әрқашан 5 цифрымен аяқталады. Екінің цифрлары шеңбер бойымен жүреді: $2,\ 4,\ 8,\ 6$.

Шешуі.

1. $5^{8}$ саны $5$ цифрымен аяқталады.
2. $11=4\cdot2+3$, қалдық $3$, демек, $2^{3}=8$ сияқты. Тексеру: $2^{11}=2048$.

Жауабы: 1) $5$; 2) $8$.

C деңгейі

Мұнда тапсырмалар күрделірек. Қателесуден қорықпа: әрекеттің өзі-ақ математикалық ойлауды дамытады.

№ 1.13

Амалдарды орындаңдар: 1) $10^{3}-5^{2}:8+\left(\frac{2}{3}\right)^{5}\cdot81$; 2) $2{,}43\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{3}+6^{2}\cdot(2^{5}-28)$; 3) $9^{3}-15^{2}:16+\left(\frac{3}{4}\right)^{3}:\frac{27}{32}$; 4) $(7^{2}-51)^{3}\cdot\frac{5}{9}+3{,}6:9^{2}$.

Қалай ойлаймыз. Өрнектер ұзын, бірақ ереже біреу: жақшалар, дәрежелер, көбейту және бөлу, қосу және азайту.

Шешуі.

1. $1000-25:8+\frac{32}{243}\cdot81=1000-3\frac{1}{8}+\frac{32}{3}=996\frac{7}{8}+10\frac{2}{3}=1007\frac{13}{24}$.
2. $2{,}43\cdot\frac{1}{27}=0{,}09$; $2^{5}-28=4$; $36\cdot4=144$; барлығы $144{,}09$.
3. $729-225:16+\frac{27}{64}\cdot\frac{32}{27}=729-14\frac{1}{16}+\frac{1}{2}=715\frac{7}{16}$.
4. $(49-51)^{3}=(-2)^{3}=-8$; $-8\cdot\frac{5}{9}=-\frac{40}{9}$; $3{,}6:81=\frac{2}{45}$; $-\frac{200}{45}+\frac{2}{45}=-\frac{198}{45}=-4{,}4$.

Жауабы: 1) $1007\frac{13}{24}$; 2) $144{,}09$; 3) $715\frac{7}{16}$; 4) $-4{,}4$.

№ 1.14

1) $x=\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\cdot4^{3}\cdot3^{4}$; 2) $x=3^{3}\cdot2^{4}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$; 3) $x=\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\cdot24\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$; 4) $x=\left(\frac{2}{3}\right)^{4}\cdot27\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$ болса, $x$ санының 25%-ын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен $x$-ті табамыз, содан кейін оның төрттен бірін аламыз (25% — бұл $\frac{1}{4}$).

Шешуі.

1. $x=\frac{1}{16}\cdot64\cdot81=4\cdot81=324$; $324:4=81$.
2. $x=27\cdot16\cdot\frac{1}{36}=\frac{432}{36}=12$; $12:4=3$.
3. $x=\frac{25}{36}\cdot24\cdot\frac{16}{25}=\frac{24\cdot16}{36}=\frac{32}{3}$; $\frac{32}{3}:4=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$.
4. $x=\frac{16}{81}\cdot27\cdot\frac{9}{16}=\frac{27\cdot9}{81}=3$; $3:4=0{,}75$.

Жауабы: 1) $81$; 2) $3$; 3) $2\frac{2}{3}$; 4) $0{,}75$.

№ 1.15

Өрнектердің мәнін салыстырыңдар: 1) $8^{3}-600$ және $17^{2}-4^{4}$; 2) $-10^{4}+9^{4}$ және $(-15)^{3}$; 3) $0{,}4^{3}+1{,}6\cdot1{,}1$ және $1{,}5^{3}-11\cdot0{,}5^{3}$; 4) $(-2{,}2)^{3}+0{,}603\cdot2^{4}$ және $368-2^{3}\cdot6^{4}$.

Қалай ойлаймыз. Екі жағын да есептеп, сандық түзуде салыстырамыз. Теріс сандарда модулі үлкен сан кіші болады.

Шешуі.

1. $512-600=-88$ және $289-256=33$. $-88<33$.
2. $-10000+6561=-3439$ және $-3375$. $-3439<-3375$.
3. $0{,}064+1{,}76=1{,}824$ және $3{,}375-1{,}375=2$. $1{,}824<2$.
4. $-10{,}648+9{,}648=-1$ және $368-8\cdot1296=368-10368=-10000$. $-1>-10000$.

Жауабы: 1)

№ 1.16

1) $8^{31}+3\cdot7^{29}$; 2) $6\cdot2^{23}-3^{51}$ өрнегі қандай цифрмен аяқталатынын анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр дәреженің соңғы цифрларының шеңберін табамыз, содан кейін соңғы цифрлармен амал жасаймыз.

Шешуі.

1. $8^{31}$: шеңбер $8,4,2,6$; $31=4\cdot7+3$, демек, $8^{3}$ сияқты, яғни $2$. $7^{29}$: шеңбер $7,9,3,1$; $29=4\cdot7+1$, $7^{1}$ сияқты, яғни $7$; $3\cdot7=21$, цифры $1$. Қосамыз: $2+1=3$.
2. $2^{23}$: $23=4\cdot5+3$, $2^{3}$ сияқты, яғни $8$; $6\cdot8=48$, цифры $8$. $3^{51}$: шеңбер $3,9,7,1$; $51=4\cdot12+3$, $3^{3}$ сияқты, яғни $7$. Азайтамыз: $8-7=1$.

2-тармақта нәзік жері бар. Санның өзі теріс, өйткені $3^{51}$ саны $6\cdot2^{23}$ санынан әлдеқайда үлкен. Соңғы цифрлар бойынша «1» шығады (10-ға бөлгендегі қалдық 1), ал санның модулінің жазылуындағы соңғы цифр 9.

Жауабы: 1) $3$; 2) $1$ (соңғы цифрлар ережесі бойынша; сан теріс).

Келесі тақырыпқа дайындаламыз

Келесі параграф дәрежелерді көбейту туралы. Бұл тапсырмалар басты ережеге жетелейді.

№ 1.17

Есептеңдер және нәтижесін дәреже түрінде жазыңдар: 1) $2^{3}\cdot2^{4}$; 2) $3^{2}\cdot3^{3}$; 3) $\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$; 4) $\left(-\frac{1}{3}\right)^{3}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$.

Қалай ойлаймыз. Барлық көбейткіштерді қатарынан жазып, неше екенін санап ал.

Шешуі.

1. $(2\cdot2\cdot2)\cdot(2\cdot2\cdot2\cdot2)$: жеті екілік, $2^{7}=128$.
2. $3^{2+3}=3^{5}=243$ (бес үштік).
3. $\frac{1}{2}$ санының алты көбейткіші: $\left(\frac{1}{2}\right)^{6}=\frac{1}{64}$.
4. $-\frac{1}{3}$ санының бес көбейткіші: $\left(-\frac{1}{3}\right)^{5}=-\frac{1}{243}$.

Байқа: көрсеткіштер жай ғана қосылды.

Жауабы: 1) $2^{7}$; 2) $3^{5}$; 3) $\left(\frac{1}{2}\right)^{6}$; 4) $\left(-\frac{1}{3}\right)^{5}$.

№ 1.18

Өрнектердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $5^{3}\cdot5$ және $5^{5}$; 2) $6^{2}\cdot6^{2}$ және $6^{4}$; 3) $(-3)^{2}\cdot(-3)^{4}$ және $(-3)^{5}$; 4) $4^{4}\cdot4$ және $4^{5}$.

Қалай ойлаймыз. Сол жақтағы бірдей көбейткіштердің санын қосып, оң жағымен салыстырамыз.

Шешуі.

1. Сол жақта $5^{4}=625$, оң жақта $5^{5}=3125$. $625<3125$.
2. Сол жақта $6^{4}$, оң жақта $6^{4}$. Тең.
3. Сол жақта $(-3)^{6}=729$, оң жақта $(-3)^{5}=-243$. $729>-243$.
4. Сол жақта $4^{5}$, оң жақта $4^{5}$. Тең.

Жауабы: 1)

№ 1.19

Ақиқат теңдікті табыңдар және оларды теріп жазыңдар: 1) $7^{2}\cdot7^{6}=7^{8}$; 2) $(-6)^{7}\cdot(-6)^{2}=(-6)^{14}$; 3) $(0{,}5)^{5}\cdot(0{,}5)^{2}=(0{,}5)^{7}$; 4) $(-1{,}25)^{3}\cdot(-1{,}25)^{2}=(-1{,}25)^{6}$.

Қалай ойлаймыз. Көрсеткіштерді қоссақ, олардың қосындысы оң жақпен қалай салыстырылады?

Шешуі.

1. $2+6=8$: дұрыс.
2. $7+2=9$, ал $14$ емес: дұрыс емес (14 — бұл $7\cdot2$ көбейтіндісі, тұзақ!).
3. $5+2=7$: дұрыс.
4. $3+2=5$, ал $6$ емес: дұрыс емес.

Жауабы: 1) және 3) теңдіктері ақиқат.

Жадынама

• Дәреже бірдей көбейткіштердің көбейтіндісінің жазылуын қысқартады.
• Квадрат — екінші дәреже, куб — үшінші дәреже.
• Негіздегі бөлшектер мен теріс сандарды жақшаға аламыз.
• Дәрежені көбейтуден бұрын есептейміз.
• Дәреженің соңғы цифрын цифрлар шеңбері бойынша іздейміз.

Шағын тест