§ 30. Архимед күші

Физика, 7 сынып. Оқулық: Кронгарт Б.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 6 тарау: Қысым. 147–150-беттер.

Нені үйренесің

• Кері итеруші күштің қайдан пайда болатынын және қайда бағытталғанын түсіндіруді.
• Дененің жоғарғы және төменгі бетіне түсетін қысым күштерінің айырымынан $F_A=\rho_{\text{с}}gV$ формуласын қорытып шығаруды.
• Архимед күшінің неге байланысты екенін, неге байланысты еместігін түсінуді.
• Архимед заңын есептер шығаруда қолдануды: $F_A$-ны, дене көлемін табуды, дененің тұтас па, қуысы бар ма екенін анықтауды.

Ой қозғау

• Сұйық пен газ өздеріне батырылған денеге әсер ете ме? Иә, мұны сен сезгенсің: суда қолың мен аяғың «жеңіл» болып қалады. Бүгін соның себебін анықтаймыз.
• Сұйық бағанының қысымын қандай формуламен табады? $p=\rho gh$: сұйықтың тығыздығы, еркін түсу үдеуі, баған биіктігі.
• Күш пен қысым қалай байланысты? $F=pS$: қысым күші қысымды ауданға көбейткенге тең.
• Динамометрге жүк ілінгенде ол нені көрсетеді? Жүктің салмағын. Мысалы, массасы 200 г жүктің салмағы шамамен 2 Н.

💡 Бүгінгі күннің басты кейіпкері — жоғары бағытталған және ауырлық күшімен «таласатын» күш. Кемелерді суда, әуе шарларын ауада ұстап тұратын дәл осы күш.

Тақырыпты талдаймыз

Тәжірибе: жүк суда «жеңілдейді»

Массасы 200 г болат цилиндр аламыз. Ауада динамометр 2 Н көрсетеді. Енді цилиндрді түгелдей суға батырамыз, динамометр тілі кішірек санға қарай жылжиды. Керосинде де жүк «жеңілдейді», суда одан да көп, ал глицеринде ең көп.

Мыс немесе алюминий цилиндр де осылай болады. Демек, сұйыққа батырылған кез келген денеге жоғары қарай, ауырлық күшіне қарсы бағытталған күш әсер етеді. Оны кері итеруші күш дейді.

📌 Сұйықтың тығыздығы неғұрлым көп болса, кері итеруші күш соғұрлым көп болады.

Дененің сұйықтағы салмағы ауадағы салмағынан осы күштің шамасына кем: $F_A=P_{\text{ауа}}-P_{\text{сұй}}$.

Кері итеруші күш қайдан пайда болады

Суға кубты ойша батырайық. Су оған барлық жағынан қысады.

• Бүйір жақтарына қысым күштері бірдей және бірін-бірі теңгереді: сол жағынан қанша итерсе, оң жағынан да сонша итереді.
• Жоғарғы жағына су жоғарыдан төмен қарай $F_1$ күшімен қысады.
• Төменгі жағына су төменнен жоғары қарай $F_2$ күшімен қысады.

Ал қысым тереңдікке қарай артады! Төменгі жақ жоғарғы жақтан тереңірек, сондықтан $F_2>F_1$. Осы күштердің айырымы — кері итеруші күш.

Архимед заңы

📌 Архимед заңы. Сұйыққа немесе газға батырылған денеге жоғары қарай бағытталған кері итеруші күш әсер етеді. Ол дененің батқан бөлігі көлеміндегі сұйықтың (газдың) салмағына тең, яғни дене ығыстырған сұйықтың салмағына тең.

Формуласы: $F_A=\rho_{\text{с}}gV$. Бұл күшті ежелгі грек ғалымы Архимедтің құрметіне Архимед заңы немесе архимед күші деп атайды, белгіленуі $F_A$.

⚠️ Жиі кететін қате. Формулаға дененің тығыздығын сұйықтың орнына қояды. Есіңде болсын: Архимед күші неге батырғанға байланысты, нені батырғанға байланысты емес. Екінші тұзақ: $V$ — дененің сұйықтағы бөлігінің көлемі. Дене жартылай батса, көлемнің жартысын аламыз. Үшіншісі: дм³ мен см³-ді м³-ге айналдыру керек ($1,\text{дм}^3=0{,}001,\text{м}^3$).

💡 Екі тонна темір мен екі килограмм мамық суды әртүрлі ығыстырады, бірақ бәрін көлем шешеді: көлемі бірдей денелер қандай материалдан жасалса да, бірдей Архимед күшін алады.

Сандармен қанша болады

Суға батқан бөліктің көлемі өскенде Архимед күшінің қалай өсетінін қара ($\rho=1000,\text{кг/м}^3$, $g=10,\text{Н/кг}$). Егер $V=1,\text{дм}^3=0{,}001,\text{м}^3$ болса, онда $F_A=1000\cdot10\cdot0{,}001=10,\text{Н}$.

График — координаталар басынан өтетін түзу: батқан көлем неше есе артса, күш те сонша есе артады. Енді көлем бірдей, 1 дм³ болғанда, күштің сұйыққа қалай байланысты екенін салыстырайық (глицерин анықтамалық деректер бойынша алынған, шамамен 1260 кг/м³).

🌟 Дәл сондықтан Балқаш көлінде, оның батысы тұщы, шығысы тұздылау болғандықтан, «тұзды» бөлігінде жүзу сәл жеңіл. Ал суы өте тұзды Өлі теңізде адам бетінде дерлік «отырады».

1-мысал. Суға батырылған білеу

Көлемі $0{,}5,\text{дм}^3$ болат білеуді суға толықтай батырды. Архимед күшін табайық.

Берілгені: $V=0{,}5,\text{дм}^3$, $\rho=1000,\text{кг/м}^3$, $g=10,\text{Н/кг}$. ХБЖ-да: $V=0{,}5,\text{дм}^3=0{,}0005,\text{м}^3$. Табу керек: $F_A$. Шешуі: $F_A=\rho gV=1000,\text{кг/м}^3\cdot10,\text{Н/кг}\cdot0{,}0005,\text{м}^3=5,\text{Н}$. Жауабы: $5,\text{Н}$.

2-мысал. Дене жартылай батқан

Көлемі $2,\text{дм}^3$ қалқыма керосинде жартылай батып жүзеді. Оған қандай Архимед күші әсер етеді?

Берілгені: $V_{\text{толық}}=2,\text{дм}^3$, жартысы батқан, $\rho=800,\text{кг/м}^3$. ХБЖ-да: $V=1,\text{дм}^3=0{,}001,\text{м}^3$. Шешуі: $F_A=800\cdot10\cdot0{,}001=8,\text{Н}$. Жауабы: $8,\text{Н}$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Архимед заңын ас үйде «ұстап көруге» болады: бала шелектегі суға допты немесе бос жабық бөтелкені батырып, судың оны қалай итеретінін сезсін. Бұл күш қайда бағытталғанын және доп босатқанда неге жоғары секіретінін сұраңыз.

Ауада және газдарда ше?

Кері итеруші күш ауада да, кез келген басқа газда да әсер етеді. Бірақ газдар өте «жеңіл», сондықтан ондағы күш дененің салмағынан әлдеқайда аз, сондықтан көптеген есепте оны ескермейді. Ал сұйықтарда ол үлкен, оны ескермеуге болмайды.

Ғалым туралы

Архимед (б.з.б. 287–212) ежелгі грек қаласы Сиракузыда өмір сүрген. Ол денелердің жүзуін сипаттайтын заңды ашты және көптеген машиналар ойлап тапты: алқапты суаруға арналған бұрандалар, иінтіректер, блоктар, туған қаласын римдіктерден қорғауға көмектескен лақтырғыш машиналар.

🌟 Бұл қызық! Айсберг — «жүзетін өте үлкен мұздау». Айсбергтің судың үстіңгі жағындағы бөлігі көбіне 50–70 м, кейде тіпті 400 м-ге дейін жетеді. Судың астында айсбергтің барлық көлемінің 9/10 бөлігі болады, яғни су астындағы бөлігі 3,6 км-ге дейін жетеді. Айсберг жылы суға қарай ығысқанда, ол төменгі жағынан ери бастайды, ауырлық центрі жоғары жылжып, мұз тау күмпілдеп аударылып түседі. Дәл осындай алыптан «Титаник» апатқа ұшыраған. Ал наутилус моллюскасы спираль тәрізді қабыршақта өмір сүреді: ішкі қуыстарының көлемін өзгерту арқылы ол тез көтеріледі немесе түбіне түседі.

Өзіңді тексер

• Неліктен сұйықтағы дене ауадағы сол денеден жеңіл болады? Өйткені оған сұйықта жоғары қарай бағытталған кері итеруші күш әсер етеді. Ол салмақты азайтады.
• Қандай күш кері итеруші күш деп аталады? Сұйық немесе газдың батырылған денеге әсер ететін күші; жоғары, ауырлық күшіне қарсы бағытталған.
• Кері итеруші (архимед) күштің бар болуын қалай дәлелдеуге болады? Жүкті динамометрге іліп, суға батыру керек: көрсеткіш азаяды. Немесе допты батырып көр: судың оны итеріп жатқанын сезесің.
• Кері итеруші күштің пайда болу себебі не? Сұйық қысымы тереңдікке қарай артады, сондықтан төменгі жаққа түсетін қысым күші жоғарғы жаққа түсетін күштен көп. Осы күштердің айырымы — кері итеруші күш.
• Кері итеруші күш қандай шамаларға тәуелді? Сұйықтың тығыздығына және дененің батқан бөлігінің көлеміне. Дененің массасына да, материалына да тәуелді емес.
• Кері итеруші күштің шамасын қалай есептеуге болады? $F_A=\rho_{\text{с}}gV$.
• Архимед күшін есептегенде формулаға дене көлемінің қандай мәнін қою керек? Сұйыққа (газға) батқан бөліктің көлемін. Дене толық батқан болса, бүкіл дененің көлемін.

Жаттығуларды шығарамыз

Тәжірибе жасаңдар

№ 1

«Тәжірибе жасаңдар», 1-тапсырма. Архимед күшін дәлелдейтін тәжірибені ойластырыңдар және жасап көріңдер.

Қалай ойлаймыз. Судың денені жоғары қарай итеретінін көрсету керек. Ең оңайы — мұны қолмен «сезу» немесе салмақтың өзгергенін байқау.

Шешуі. Міне, үш қауіпсіз тәсіл.

1. Тығыны бекітілген пластик бөтелке немесе доп ал. Оны су құйылған леген ішіне батырып, суға батыруға тырыс. Қолың затты біреу жоғары итеріп тұрғанын сезеді.
2. Тасты жіпке байла, ауада көтер, содан кейін стаканға немесе банкаға құйылған суға түсір. Қолыңмен сезесің: суда тас «жеңіл».
3. Жүкті резеңкеге немесе серіппеге (ілгегі бар ас үй таразысына) іліп, оны суға түсіргенде серіппенің қалай қысқаратынын өлшеп көр.

Жауабы: суда жүктің салмағы немесе қолдың күші азаяды, демек, су денеге жоғары бағытталған күшпен әсер етеді; бұл — Архимед күші.

№ 2

«Тәжірибе жасаңдар», 2-тапсырма. Архимед күшін өлшеуге болатын тәжірибе ойластырыңдар және жасаңдар.

Қалай ойлаймыз. Дененің сұйықтағы салмағы ауадағыдан $F_A$ шамасына кем. Демек, салмақты екі рет өлшеп, айырамыз.

Шешуі. 1-тәсіл (динамометрмен). Дененің ауадағы $P_1$ салмағын және сол дененің судағы $P_2$ салмағын өлше. Сонда $F_A=P_1-P_2$.

2-тәсіл (үйде, ас үй таразысымен). Таразыға су құйылған стакан қойып, көрсеткішті есіңде сақта (немесе таразыны нөлге келтір). Жіпке заты іліп, түбіне және қабырғасына тигізбей суға түсір. Таразы $\Delta m$ қосымшасын көрсетеді (килограммен). Сонда $F_A=\Delta m\cdot g$.

⚠️ Тәжірибе қауіпсіз, бірақ электр аспаптарына су төкпе: ас үй таразысын асты құрғақ ұста, ал стаканды майлыққа қой.

Жауабы: $F_A=P_{\text{ауа}}-P_{\text{сұй}}$ (динамометр көрсеткіштерінің айырымы) немесе таразы көрсеткішінің қосымшасы бойынша $F_A=\Delta m,g$.

Талдаңдар

№ 3

«Талдаңдар», 1-тапсырма. Егер денені Айға көшірсек, онда оған әсер ететін архимед күші өзгере ме?

Қалай ойлаймыз. $F_A=\rho_{\text{с}}gV$ формуласына қара: ондағы нені орын өзгерте ме?

Жауап үлгісі. Өзгереді. Айдағы еркін түсу үдеуі Жердегіден шамамен 6 есе кем (шамамен $1{,}6,\text{Н/кг}$). Демек, $\rho_{\text{с}}$ және $V$ бірдей болғанда Архимед күші де шамамен 6 есе азаяды. Суда көлемі $1,\text{дм}^3$ дене үшін: Жерде $10,\text{Н}$, Айда $1000\cdot1{,}6\cdot0{,}001=1{,}6,\text{Н}$.

Жауабы: иә, шамамен 6 есе азаяды, себебі Айда $g$ аз.

№ 4

«Талдаңдар», 2-тапсырма. ⭐ күрделілігі жоғары есеп. Вакуумде архимед күші әсер ете ме? Салмақсыздық жағдайында ше?

Қалай ойлаймыз. Архимед күші дененің үстіңгі және астыңғы жағындағы қысымдардың айырымынан пайда болады. Орта жоқ немесе оның «салмағы» жоқ жерде мұндай айырым болмайды. Өзің түсіндіріп көр, дұрыс жолдасың!

Жауап үлгісі.

• Вакуумде сұйық та, газ да жоқ. Денеге қысатын ештеңе жоқ, демек, Архимед күші де жоқ ($\rho_{\text{с}}=0$ және $F_A=0$).
• Салмақсыздықта сұйықтың салмағы жоқ: қысым тереңдікке қарай артпайды, өйткені $p=\rho gh$, ал «тиімді» $g$ нөлге тең. Сондықтан дененің жоғарғы және төменгі жағындағы қысым бірдей, кері итеруші күш жоқ. Ғарыш станциясында ауа көпіршіктері жоғары қалқымайды, олар суда «ілулі» тұрады.

Жауабы: вакуумде Архимед күші әсер етпейді (орта жоқ); салмақсыздықта да әсер етпейді (сұйықтың салмағы жоқ болғандықтан қысымдар айырымы жоқ).

Шығарыңдар

№ 5

«Шығарыңдар» есебі. ⭐ күрделілігі жоғары есеп. Мыс шардың ауадағы салмағы $3{,}67,\text{Н}$, ал оны суға толықтай батырғанда оның салмағы $2{,}67,\text{Н}$ болды. Шар тұтас па, әлде қуысы бар ма? Егер шардың қуысы бар болса, онда оның қуысының көлемі қандай?

Қалай ойлаймыз. Архимед күші бүкіл шардың көлемін (қуысымен қоса) көрсетеді. Ал массасы мен мыстың тығыздығы бойынша мыстың өзі қандай көлем алатынын табамыз. Егер шардың көлемі мыстың көлемінен көп болса, ішінде бос орын бар.

Шешуі. Берілгені: $P_1=3{,}67,\text{Н}$, $P_2=2{,}67,\text{Н}$, $\rho_{\text{су}}=1000,\text{кг/м}^3$, $\rho_{\text{Cu}}=8900,\text{кг/м}^3$ (қосымшадағы кесте бойынша), $g=10,\text{Н/кг}$. Табу керек: шар тұтас па, $V_{\text{қуыс}}$.

1. $F_A=P_1-P_2=1,\text{Н}$.
2. $V=\dfrac{F_A}{\rho_{\text{су}}g}=\dfrac{1,\text{Н}}{1000,\text{кг/м}^3\cdot10,\text{Н/кг}}=1\cdot10^{-4},\text{м}^3=0{,}1,\text{дм}^3$.
3. $m=\dfrac{P_1}{g}=\dfrac{3{,}67,\text{Н}}{10,\text{Н/кг}}=0{,}367,\text{кг}$.
4. $V_{\text{Cu}}=\dfrac{m}{\rho_{\text{Cu}}}=\dfrac{0{,}367,\text{кг}}{8900,\text{кг/м}^3}\approx4{,}1\cdot10^{-5},\text{м}^3=0{,}041,\text{дм}^3$.
5. $V_{\text{қуыс}}=V-V_{\text{Cu}}=0{,}1-0{,}041\approx0{,}06,\text{дм}^3$ (яғни шамамен $60,\text{см}^3$).

📕 Оқулықта «0,6 дм³; қуыс» жауабы басылған, бірақ дұрысы «қуыс; шамамен 0,06 дм³»: бүкіл шардың көлемі небәрі 0,1 дм³ (бұл 1 Н Архимед күшінен шығады), сондықтан қуыс 0,6 дм³ бола алмайды. Он есе қателік, ықтимал, қате басылған.

Жауабы: шардың қуысы бар; қуыстың көлемі шамамен $0{,}06,\text{дм}^3$.

Зерттеңдер

№ 6

«Зерттеңдер» тапсырмасы. ⭐ күрделілігі жоғары есеп. Айсберг мұхитта жүзіп жүр. Біз айсбергтің 1/10 бөлігін ғана көреміз, ал оның көлемінің 9/10 бөлігі су астына батып жатыр. Егер суда қайың бөренесі жүзетін болса, онда оның шамамен жартысы ғана су ішінде болады. Неліктен су астына бөренінің жартысы ғана, ал айсбергтің тіпті тұтастай дерлігі суға батып кетеді?

Қалай ойлаймыз. Жүзіп жүрген дене батпайды да, қалқымайды да: ауырлық күші Архимед күшіне тең. Осы теңдікті жазып, тығыздықтарды салыстыр.

Жауап үлгісі. Жүзіп жүрген дене үшін $mg=F_A$, яғни $\rho_{\text{д}}gV=\rho_{\text{с}}gV_{\text{б.б}}$. Осыдан батқан көлемнің үлесі: $\frac{V_{\text{б.б}}}{V}=\frac{\rho_{\text{д}}}{\rho_{\text{с}}}.$

• Мұз: $\rho=900,\text{кг/м}^3$, су $1000,\text{кг/м}^3$. Үлесі $\frac{900}{1000}=0{,}9=\frac{9}{10}$. Айсберг дерлік түгелдей су астында.
• Құрғақ қарағай: $\rho=440,\text{кг/м}^3$. Үлесі $\frac{440}{1000}=0{,}44$, яғни шамамен жартысы.

Мұз тығыздығы жағынан суға дерлік жақын, ал қарағай судан әлдеқайда жеңіл, сондықтан ол су бетінен көбірек шығып тұрады.

💡 Тұзды теңіз суында ($1030,\text{кг/м}^3$) мұздың су астындағы үлесі сәл аз: $\frac{900}{1030}\approx0{,}87$.

Жауабы: себебі мұздың тығыздығы ($900,\text{кг/м}^3$) судың тығыздығына ($1000,\text{кг/м}^3$) жақын, ал қарағайдың тығыздығы ($440,\text{кг/м}^3$) әлдеқайда аз. Жүзіп жүрген дененің батқан көлемінің үлесі $\rho_{\text{д}}/\rho_{\text{с}}$-ге тең: айсбергте 0,9, бөренеде шамамен 0,44.

№ 7

«Тәжірибе жасаңдар», тапсырма (QR-код). QR-код арқылы бейнематериалды қарап, суға батырылған денеге әсер ететін архимед күшін анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. Бейнеде әдетте жүгі бар динамометрді көрсетеді: алдымен жүк ауада, сосын суда. Архимед күшін екі көрсеткіштің айырымы ретінде табады.

Шешуі. Сабақтың бірінші тәжірибесіндегі цилиндрмен мысал (болат, массасы 200 г).

1. Ауада: $P_1=2,\text{Н}$.
2. Цилиндр көлемі: $V=\dfrac{m}{\rho}=\dfrac{0{,}2,\text{кг}}{7800,\text{кг/м}^3}\approx2{,}6\cdot10^{-5},\text{м}^3$.
3. Судағы Архимед күші: $F_A=\rho gV=1000\cdot10\cdot2{,}6\cdot10^{-5}\approx0{,}26,\text{Н}$.
4. Демек, суда динамометр $P_2=P_1-F_A\approx2-0{,}26=1{,}74,\text{Н}$ көрсетеді.

Бейнені көргенде $P_1$ және $P_2$ көрсеткіштерін жазып, айырып ал: $F_A=P_1-P_2$. Көлемі белгілі болса, өзіңді формула бойынша есептеп тексер.

Жауабы: $F_A=P_1-P_2$; суда массасы 200 г болат цилиндр үшін $F_A\approx0{,}26,\text{Н}$.

Жадынама

• Архимед күші сұйықтың тығыздығына және батқан бөліктің көлеміне тәуелді. Дененің массасына, материалына және тереңдікке (толық батқанда) тәуелді емес.
• Қоюдан бұрын бірліктерді ХБЖ-ға келтір: $1,\text{дм}^3=0{,}001,\text{м}^3$, $1,\text{см}^3=10^{-6},\text{м}^3$.
• Вакуумде және салмақсыздықта Архимед күші жоқ.
• Жүзіп жүрген дене үшін $\dfrac{V_{\text{б.б}}}{V}=\dfrac{\rho_{\text{д}}}{\rho_{\text{с}}}$.

Шағын тест