§ 33. Энергия. Кинетикалық және потенциалдық энергия

Физика, 7 сынып. Оқулық: Кронгарт Б.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 8 тарау: Энергия. 169–175-беттер.

Нені үйренесің

• Энергияның не екенін түсіндіруді және оны жұмыс сияқты джоульмен неге өлшейтінін.
• Механикалық энергияның екі түрін — кинетикалық және потенциалдық энергияны ажыратуды.
• Кинетикалық энергияны $E_{\text{к}}=\frac{mv^2}{2}$ формуласымен есептеуді.
• Көтерілген дененің потенциалдық энергиясын $E_{\text{п}}=mgh$ және сығылған не созылған серіппенің потенциалдық энергиясын $E_{\text{п}}=\frac{kx^2}{2}$ формулаларымен есептеуді.
• Бұл формулаларды есептер шығаруда қолдануды және ауырлық күшінің жұмысы потенциалдық энергияның азаюына тең екенін түсінуді.

Тірек ұғымдар: энергия, кинетикалық энергия, потенциалдық энергия.

Ой қозғау

• Механикалық жұмыс дегеніміз не және ол немен өлшенеді? Күш денені жылжытқанда жұмыс жасалады. Оның бірлігі — джоуль (Дж): $A=Fs$.
• Массасы $m$ дененің ауырлық күшін қалай табуға болады? $F=mg$, мұндағы $g\approx 10,\text{Н/кг}$ (есептерде 10 деп аламыз).
• Гук заңы не дейді? Серпімділік күші серіппенің ұзаруына пропорционал: $F=kx$.
• Көлік жүруі үшін не істеу керек? Бензин құю керек: бактағы бензин қор сақтайды, оны қозғалтқыш қозғалысқа айналдырады.

Тақырыпты талдаймыз

Энергия: жұмыспен «төлеуге» болатын қор

Қалтаңда ақша бар делік: оған бір нәрсе сатып алуға болады. Денелер де солай. Егер дене жұмыс жасауға қабілетті болса, оның энергиясы бар дейді. Дене неғұрлым көп жұмыс жасай алса, оның энергиясы соғұрлым көп.

Құлаған су электрстанциясындағы турбинаны айналдырады. Жел жел диірменінің қанатын айналдырады. Бензин жанып, автомобильді қозғалысқа келтіреді. Бәрінде бір нәрсе қозғалыс үшін жұмыспен «төлейді». Энергияны $E$ әрпімен белгілейді және жұмыс сияқты джоульмен өлшейді.

📌 Энергия — дененің жұмыс істеуге қабілеттілігінің өлшемі. ХБЖ-дағы бірлігі — джоуль (Дж). Энергия — скаляр шама: оның бағыты жоқ.

Механикада энергияның екі түрі бар: қозғалып келе жатқан денеде болатын және көтерілген не деформацияланған денеде болатын энергия.

Кинетикалық энергия: қозғалыс энергиясы

Қозғалып келе жатқан кез келген дененің кинетикалық энергиясы бар. Ол екі нәрсеге тәуелді: массаға және жылдамдыққа. Дене неғұрлым ауыр және жылдам ұшса, оның кинетикалық энергиясы соғұрлым көп.

📌 $E_{\text{к}}=\frac{mv^2}{2}$. Жылдамдық квадратта тұр: жылдамдық екі есе өссе, энергия төрт есе өседі.

Сондықтан трассада жылдамдық соншалықты қауіпті. Алматы — Қапшағай трассасымен екі есе жылдам келе жатқан автомобиль соғылғанда төрт есе көп энергия «әкеледі».

Жұмыспен де маңызды байланыс бар. Күш денені үдетсе немесе тежесе, қорытқы күштің жұмысы кинетикалық энергияның өзгерісіне тең: $A=E_{\text{к2}}-E_{\text{к1}}$. Үдетсе — жұмыс оң, тежесе — теріс.

💡 Кинетикалық энергия қай жақтан қарағаныңа тәуелді. Пойыз вагонында сен қозғалмай отырсың ($E_{\text{к}}=0$), ал перронда тұрған адам үшін сен вагонмен бірге зымырап барасың. Жылдамдық салыстырмалы, демек, кинетикалық энергия да салыстырмалы.

🌟 Оқтың салмағы екі қыстырғышпен тең, бірақ жылдамдығы орасан зор болғандықтан, оның энергиясы жүгіріп бара жатқан спортшыдан екі есе көп. Бұл жылдамдық «квадратының» жұмысы.

Потенциалдық энергия: орналасу энергиясы

Енді бұтақтағы алманы елестет. Ол қозғалмайды, бірақ үзіліп кетсе, төмен ұшып, тіпті жерде шұңқыр қалдыруы мүмкін. Демек, көтерілген дененің де жұмыс қоры бар. Бұл — потенциалдық энергия. Ол өзара әсерлесетін денелердің (немесе бір дене бөліктерінің) өзара орналасуымен анықталады.

Жер бетінен көтерілген дене. Дене $h$ биіктіктен құлағанда, $mg$ ауырлық күші $A=mgh$ жұмыс жасайды. Сондықтан $h$ биіктіктегі дененің энергиясын былай есептейді:

📌 $E_{\text{п}}=mgh$. Ауырлық күшінің жұмысы потенциалдық энергияның азаюына тең: $A=-(E_{\text{п2}}-E_{\text{п1}})=E_{\text{п1}}-E_{\text{п2}}$.

Потенциалдық энергия нөлдік деңгей қалай таңдалғанына тәуелді. Әдетте нөл деп теңіз деңгейін немесе жер бетін алады. Нөлден жоғары тұрған дененің энергиясы оң болады. Дене құлағанда потенциалдық энергия азаяды, ал кинетикалық энергия артады, өйткені жылдамдық артады.

💡 Ауырлық күшінің жұмысы тек бастапқы және соңғы биіктікке тәуелді, жолдың пішініне емес. Төбеден сырғанап түстің бе, әлде дәл сол биіктіктен тік құладың ба, жұмыс бір. Ал егер бастапқы нүктеге қайта оралсаң (тұйық траектория), жұмыс нөлге тең.

Созылған немесе сығылған серіппе. Серіппені созғанда, онда серпімділік күші $F=kx$ пайда болады. Жіберіп қалса, серіппе шарды итереді, яғни жұмыс жасайды. Демек, деформацияланған дененің де энергиясы бар.

Серпімділік күшінің жұмысы $F(x)$ графигінің астындағы фигураның ауданына тең. Бұл — үшбұрыштың ауданы: $\frac{Fx}{2}=\frac{kx\cdot x}{2}$. Бұдан:

📌 $E_{\text{п}}=\frac{kx^2}{2}$, мұндағы $k$ — серіппенің қатаңдығы (Н/м), $x$ — ұзаруы (сығылуы), метрмен.

Үшбұрыштың ауданы: $\frac12\cdot 20,\text{Н}\cdot 0{,}1,\text{м}=1,\text{Дж}$. Формула бойынша: $\frac{200\cdot0{,}1^2}{2}=1,\text{Дж}$. Сәйкес келді!

📕 Оқулықтағы қате. (33.6) формулада $A_1=\frac{F_1x_1}{2}$ және $A_2=\frac{F_2x_2}{2}$ үшбұрыш аудандары болғандықтан, олар $\frac{kx_1^2}{2}$ және $\frac{kx_2^2}{2}$-ке тең (оң таңбамен). Оқулықта бұл жерде артық «минус» таңбасы басылған. Серпімділік күшінің жұмысын $A=-(E_{\text{п2}}-E_{\text{п1}})$ деп жазғанда таңба жалпы қорытындыда ғана пайда болады.

⚠️ Жиі кететін қате. Бірліктерді аударуды ұмыту: граммды килограммға, сантиметрді метрге, км/сағ-ты м/с-қа. Және тағы $\frac{mv^2}{2}$ мен $\frac{(mv)^2}{2}$-ні шатастырады, 2-ге бөлуді ұмытады.

Формулаларды сезіну үшін үш мысал

1-мысал. Кинетикалық энергия

Массасы 0,4 кг доп 15 м/с жылдамдықпен ұшады. Оның кинетикалық энергиясы қандай?

Берілгені: $m=0{,}4,\text{кг}$, $v=15,\text{м/с}$. Табу керек: $E_{\text{к}}$. ХБЖ: ХБЖ-да берілген. Шешуі: $E_{\text{к}}=\frac{mv^2}{2}=\frac{0{,}4\cdot 15^2}{2}=\frac{0{,}4\cdot 225}{2}=45,\text{Дж}$. Жауабы: 45 Дж.

2-мысал. Потенциалдық энергия

Массасы 20 кг чемоданды сөреге 1,5 м биіктікке көтереді. Еденге қатысты оның потенциалдық энергиясы қандай?

Берілгені: $m=20,\text{кг}$, $h=1{,}5,\text{м}$, $g=10,\text{Н/кг}$. Табу керек: $E_{\text{п}}$. Шешуі: $E_{\text{п}}=mgh=20\cdot 10\cdot 1{,}5=300,\text{Дж}$. Жауабы: 300 Дж.

3-мысал. Серіппенің энергиясы

Қатаңдығы 100 Н/м серіппені 20 см-ге созды. Оның энергиясы қандай?

Берілгені: $k=100,\text{Н/м}$, $x=20,\text{см}$. ХБЖ: $x=0{,}2,\text{м}$. Табу керек: $E_{\text{п}}$. Шешуі: $E_{\text{п}}=\frac{kx^2}{2}=\frac{100\cdot0{,}2^2}{2}=\frac{100\cdot 0{,}04}{2}=2,\text{Дж}$. Жауабы: 2 Дж.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан орындық (қарғыбау) немесе доп мысалымен дененің қайда «орналасу энергиясы», қайда «қозғалыс энергиясы» екенін көрсетуін сұраңыз. Егер ол бір заттан (жоғары лақтырылған доптан) екі түрін де атаса, идея меңгерілген.

🌟 Қазақстандағы Бұқтырма СЭС Ертіс өзенінің суының кинетикалық энергиясын пайдаланады: құлаған су турбиналарды айналдырады, ал олар электр тогын өндіреді.

Өзіңді тексер

• Энергиясы бар деп қандай денелер туралы айтады? Жұмыс жасауға қабілетті денелер туралы: қозғалып келе жатқан, жер бетінен көтерілген, деформацияланған (мысалы, сығылған серіппе).
• Энергияның ХБЖ-дағы өлшем бірлігін ата. Неліктен энергияның және жұмыстың өлшем бірліктері бірдей? Джоуль. Энергия дененің қандай жұмыс жасай алатынын көрсетеді, сондықтан жұмыспен бірдей бірлікпен өлшенеді.
• Механикалық энергияның қандай түрлері бар? Кинетикалық (қозғалыс энергиясы) және потенциалдық (денелердің немесе дене бөліктерінің өзара орналасу энергиясы).
• Потенциалдық және кинетикалық энергиясы бар денелерге мысал келтір. Потенциалдық: сөредегі кітап, сығылған серіппе, бөгеттің артындағы су. Кинетикалық: жүгіріп бара жатқан адам, ұшып бара жатқан доп, жел.
• Энергияның мәні санақ денесін таңдап алуға байланысты бола ма? Мысал келтір. Иә. Кинетикалық энергия жылдамдыққа тәуелді, ал жылдамдық әртүрлі санақ жүйесінде әртүрлі: пойыздағы жолаушы вагонға қатысты қозғалмайды, ал перронға қатысты қозғалады. Потенциалдық энергия нөлдік деңгейді таңдауға тәуелді.
• Кинетикалық энергияның дене массасына тәуелді болатынына қалай мысал келтіруге болады? Жеңіл және ауыр шарларды бір биіктіктен төбеден бірдей білеушелерге қарай домалатамыз. Ауыр шар (жылдамдық бірдей болғанда) білеушені алысқа жылжытады, яғни көп жұмыс жасайды.
• Кинетикалық энергияның дене жылдамдығына тәуелді болатынын қалай дәлелдеуге болады? Бір шарды аз және көп биіктіктен домалатамыз. Шар неғұрлым жылдам домаласа, білеушені соғұрлым алысқа жылжытады.
• Жер бетінен көтерілген дененің энергиясы болатынын дәлелдейтін қандай мысалдар бар? Құлаған балғаның қазықты қағуы, құлаған судың турбинаны айналдыруы, бұтақтан түскен жемістің жерде із қалдыруы.

Жаттығуларды шығарамыз

Барлық жерде $g=10,\text{Н/кг}$ деп аламыз. Жауаптар есептің астында басылған жауаптармен салыстырылған.

Түсіндіріңдер

№ 1

«Түсіндіріңдер» тапсырмасы. ⭐ Күрделілігі жоғары есеп: әрекет жасаудың өзі жеңіс. Шелектің көмегімен су толтырылған бөшкедегі судың жартысын Мерей, ал қалғанын Асқар төгіп тастады. Олар бірдей жұмыс жасады ма? Жауаптарыңды негіздеңдер.

Қалай ойлаймыз. Суды көтеру жұмысы — $mgh$, мұндағы $h$ — көтеру биіктігі. Әрқайсысы суды қайдан көтергенін қара.

Шешуі. Мерей судың жоғарғы жартысын, ал Асқар төменгі жартысын алды. Судың массасы бірдей, бірақ төменгі бөліктегі суды көбірек биіктікке (бөшке жиегіне дейін) көтеруге тура келеді. Демек, Асқардың көтеру биіктігі үлкен.

Жауап үлгісі. Жоқ, бірдей емес: Асқар көбірек жұмыс жасады, өйткені сол массалы суды үлкен биіктікке көтерді.

Жауабы: Асқардың жұмысы көп.

Талдаңдар

№ 2

«Талдаңдар» тапсырмасы. ⭐ Күрделілігі жоғары есеп. Массасы 3 кг дене бірінші жағдайда биіктігі 2 м, ұзындығы 4 м болатын көлбеу жазықтықтан сырғанайды, ал екінші жағдайда осы жазықтықтың жоғары жағынан тік құлайды. Қай жағдайда ауырлық күшінің жұмысы көп және оның мәні қандай?

📕 Оқулықтағы қате. Қазақша басылымда сұрақ «қай жағдайда ауырлық күші көп» деп басылған. Мағынасы бойынша «ауырлық күшінің жұмысы» болуы керек, себебі ауырлық күші екі жағдайда да $mg$ және бірдей.

Қалай ойлаймыз. Ауырлық күшінің жұмысы тек биіктіктің өзгерісіне тәуелді, жолдың пішініне емес. Көлбеу жазықтықтың ұзындығы — қақпан.

Шешуі. Берілгені: $m=3,\text{кг}$, $h=2,\text{м}$. Екі жағдайда да дене 2 м-ге төмендейді: $A=mgh=3\cdot 10\cdot 2=60,\text{Дж}$.

Жауабы: екі жағдайда да жұмыс бірдей және 60 Дж-ға тең.

Шығарыңдар

№ 3

«Шығарыңдар», 1-есеп. Биіктігі 7 м үйдің төбесінен массасы 500 г мұз құлап түсті. Мұз құлағанда ауырлық күші қандай жұмыс атқарды?

Қалай ойлаймыз. Ауырлық күшінің жұмысы: $A=mgh$. Граммды килограммға айналдыр.

Шешуі. Берілгені: $m=500,\text{г}=0{,}5,\text{кг}$, $h=7,\text{м}$. $A=mgh=0{,}5\cdot 10\cdot 7=35,\text{Дж}$.

Жауабы: 35 Дж.

№ 4

«Шығарыңдар», 2-есеп. Биіктігі 4 м сынып бөлмесінде биіктігі 70 см үстел орналасқан. Үстел үстінде жатқан массасы 300 г кітапты 120 см-ге жылжытқанда жасаған ауырлық күшінің жұмысы неге тең?

Қалай ойлаймыз. Кітап үстел бойымен қозғалады, биіктік өзгермейді. Ал ауырлық күшінің жұмысы биіктіктің өзгерісіне тәуелді.

Шешуі. Қозғалыс көлденең: ауырлық күші төмен, ал орын ауыстыру бүйір жаққа бағытталған, бұрыш 90°. Биіктік сол күйінде, $h_1-h_2=0$, демек $A=mg\cdot 0=0$. 4 м, 70 см, 300 г және 120 см сандары артық.

Жауабы: 0 Дж.

№ 5

«Шығарыңдар», 3-есеп. 33.8-суретте келтірілген мәліметтерді пайдаланып, қай денені көтергенде ең көп жұмыс жасалғанын анықтаңдар. Суретте массалары 1, 2 және 3 кг үш дене бар; оларды әртүрлі биіктікке көтереді: біріншісін $3h$-қа, екіншісін $2h$-қа, үшіншісін $h$-қа (биіктік еденнен өлшенеді, әр «қабат» — $h$).

Қалай ойлаймыз. Әр дене үшін $A=mg\cdot H$ есептеп, салыстырамыз.

Шешуі.

1. 1 кг $3h$-қа: $A_1=1\cdot g\cdot 3h=3gh$.
2. 2 кг $2h$-қа: $A_2=2\cdot g\cdot 2h=4gh$.
3. 3 кг $h$-қа: $A_3=3\cdot g\cdot h=3gh$. Ең үлкені — екінші денеде: $4gh$.

Жауабы: екінші денені көтергенде.

№ 6

«Шығарыңдар», 4-есеп. 90 км/сағ жылдамдықпен қозғалып келе жатқан массасы 1,2 т автомобиль тежеліп, жылдамдығын 36 км/сағ-қа дейін азайтты. Үйкеліс күші қандай жұмыс атқарды?

Қалай ойлаймыз. Қорытқы күштің жұмысы кинетикалық энергияның өзгерісіне тең: $A=E_{\text{к2}}-E_{\text{к1}}$.

Шешуі. Берілгені: $m=1{,}2,\text{т}=1200,\text{кг}$; $v_1=90,\text{км/сағ}=25,\text{м/с}$; $v_2=36,\text{км/сағ}=10,\text{м/с}$. $A=\frac{mv_2^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}=\frac{1200\cdot100}{2}-\frac{1200\cdot625}{2}=60000-375000=-315000,\text{Дж}$. «Минус» таңбасы: үйкеліс тежейді. Жұмыстың модулі 315 кДж.

Жауабы: $A=-315,\text{кДж}$ (модулі бойынша 315 кДж, оқулықтағыдай).

№ 7

«Шығарыңдар», 5-есеп. Сатурн Күнді бір айналып өтті (33.9-сурет). Егер Сатурнның Күнге тартылу күші $38\cdot10^{20},\text{Н}$ болса, ол қандай жұмыс жасаған? Сатурн орбитасының ұзындығы $9\cdot10^{9}$ км.

Қалай ойлаймыз. Мұнда қақпан бар: сандар орасан үлкен, бірақ олар қажет емес. Тартылыс күші — консервативті күш, ал тұйық траекторияда оның жұмысы нөлге тең.

Шешуі. Сатурн бастапқы нүктеге оралды: Күнге дейінгі қашықтық (биіктік) сол күйінде. $E_{\text{п1}}=E_{\text{п2}}$, демек $A=-(E_{\text{п2}}-E_{\text{п1}})=0$. $F\cdot s$ көбейтуге болмайды: күш қозғалысқа қатысты бағытын үнемі өзгертеді.

Жауабы: 0 Дж.

№ 8

«Шығарыңдар», 6-есеп. ⭐ Күрделілігі жоғары есеп. Бала серіппелі тапаншадан вертикаль жоғары массасы 5 г снарядты атқанда ол 40 м биіктікке көтерілді. Егер серіппенің қатаңдығы 200 Н/м болса, атқанға дейінгі серіппенің деформациясы қандай болған?

Қалай ойлаймыз. Сығылған серіппенің энергиясы жоғарғы нүктеде снарядтың потенциалдық энергиясына айналады: $\frac{kx^2}{2}=mgh$.

Шешуі. Берілгені: $m=5,\text{г}=0{,}005,\text{кг}$, $h=40,\text{м}$, $k=200,\text{Н/м}$. $mgh=0{,}005\cdot 10\cdot 40=2,\text{Дж}$. $x^2=\frac{2\cdot 2}{200}=0{,}02,\text{м}^2$, $x=\sqrt{0{,}02}\approx0{,}14,\text{м}=14,\text{см}$.

Жауабы: шамамен 14 см.

№ 9

«Шығарыңдар», 7-есеп. $3h$ биіктікте орналасқан массасы $m$ жүк $h$ биіктіктегі төбеге сырғанап түсіп, тоқтады (33.10-сурет). Ауырлық күші мен үйкеліс күші қандай жұмыс атқарған?

Қалай ойлаймыз. Бастапқы биіктік $3h$, соңғысы $h$. Ауырлық күшінің жұмысы тек биіктіктердің айырмасына тәуелді. Жүк басында да, соңында да тыныштықта, сондықтан оның кинетикалық энергиясы өзгермеді.

Шешуі. Ауырлық күші: $A_1=mg(h_1-h_2)=mg(3h-h)=2mgh$. Кинетикалық энергия өзгермегендіктен, барлық күштердің жұмысының қосындысы нөлге тең: $A_1+A_{\text{үйк}}=0$, бұдан $A_{\text{үйк}}=-2mgh$.

Жауабы: $A_1=2mgh$ (оқулықтағы жауап); үйкеліс күшінің жұмысы $-2mgh$.

№ 10

«Шығарыңдар», 8-есеп. Дене 10 м биіктіктен еркін құлап түседі. Оның Жер бетінен 6 м биіктіктегі жылдамдығы қандай?

Қалай ойлаймыз. Дене $10-6=4$ м ұшып өтті. Ауырлық күшінің жұмысы үдетуге кетеді: $mg\cdot 4=\frac{mv^2}{2}$. Масса қысқарады.

Шешуі. Берілгені: $h_1=10,\text{м}$, $h_2=6,\text{м}$, $v_0=0$. $g(h_1-h_2)=\frac{v^2}{2}$, $v=\sqrt{2\cdot 10\cdot 4}=\sqrt{80}\approx 8{,}9,\text{м/с}$.

Жауабы: шамамен 9 м/с.

№ 11

«Шығарыңдар», 9-есеп. ⭐ Күрделілігі жоғары есеп. Қалыңдығы 5 см тақтайды тесіп өткенде массасы 9 г оқтың жылдамдығы 600 м/с-тан 200 м/с-қа дейін азайды. Оқтың қозғалысына кедергі күшін анықтаңдар және оны тұрақты деп есептеңдер.

Қалай ойлаймыз. Оқ кинетикалық энергиясын кедергі күшіне қарсы жұмысқа жұмсайды: $F\cdot s=E_{\text{к1}}-E_{\text{к2}}$.

Шешуі. Берілгені: $m=9,\text{г}=0{,}009,\text{кг}$; $v_1=600,\text{м/с}$; $v_2=200,\text{м/с}$; $s=5,\text{см}=0{,}05,\text{м}$. $E_{\text{к1}}=\frac{0{,}009\cdot 360000}{2}=1620,\text{Дж}$. $E_{\text{к2}}=\frac{0{,}009\cdot 40000}{2}=180,\text{Дж}$. Жоғалғаны: $1620-180=1440,\text{Дж}$. $F=\frac{1440}{0{,}05}=28800,\text{Н}$.

Жауабы: 28 800 Н.

Жадынама

• Формуладағы жылдамдық квадратта тұр: екі есе жылдам болса, энергия төрт есе көп.
• Бірліктерді ХБЖ-ға аударамыз: кг, м, м/с.
• Потенциалдық энергия нөлдік деңгейді таңдауға тәуелді.
• Ауырлық күшінің жұмысы тек бастапқы және соңғы биіктікке тәуелді.

Шағын тест