§ 34. Энергияның сақталу және айналу заңы

Физика, 7 сынып. Оқулық: Кронгарт Б.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 8 тарау: Энергия. 175–178-беттер.

Нені үйренесің

• Толық механикалық энергия деген не екенін түсіндіруді.
• Механикалық энергияның сақталу және айналу заңын айтып, мысалдар келтіруді.
• Бұл заң қашан орындалатынын, қашан орындалмайтынын (үйкеліс не кедергі болса не болатынын) түсінуді.
• Есептерді $E_{\text{к1}}+E_{\text{п1}}=E_{\text{к2}}+E_{\text{п2}}$ теңдігі арқылы шығаруды.

Ой қозғау

• Кинетикалық энергияны қандай формуламен есептейді? $E_{\text{к}}=\frac{mv^2}{2}$.
• Ал $h$ биіктікке көтерілген дененің потенциалдық энергиясын ше? $E_{\text{п}}=mgh$.
• Дене $h_1$ биіктіктен $h_2$ биіктікке түссе, ауырлық күшінің жұмысы неге тең? $A=mg(h_1-h_2)$: ол потенциалдық энергияның кемуіне тең.
• Құлап келе жатқан дененің жылдамдығына не болады? Артады: дене үдей түседі, демек, оның кинетикалық энергиясы артады.

Тақырыпты талдаймыз

Әткеншек: энергия «құйылып» тұрады

Әткеншекте термелші. Ең жоғарғы нүктеде сен бір сәт тоқтайсың: жылдамдық нөлге тең, ал биіктік ең үлкен. Содан төмен ұшасың, ең төменгі нүктеде ең жылдам зымырайсың, бірақ биіктік ең аз. Сосын қайтадан жоғары көтерілесің.

Не болып жатыр? Потенциалдық энергия кинетикалық энергияға айналады, сосын кинетикалық энергия қайтадан потенциалдыққа айналады. Маятник те дәл солай: төменгі нүктеде потенциалдық энергиясы толығымен кинетикалыққа айналады, ал жоғарғы нүктеде кинетикалық энергия қайтадан потенциалдыққа ауысады.

Толық механикалық энергия

Дененің кинетикалық және потенциалдық энергияларының қосындысын толық механикалық энергия деп атайды:

📌 $E=E_{\text{к}}+E_{\text{п}}$.

Механикалық энергияның сақталу заңы

📌 Заң. Егер денелерге тек ауырлық күші мен серпімділік күші әсер етсе, онда толық механикалық энергия сақталады: $E_{\text{к1}}+E_{\text{п1}}=E_{\text{к2}}+E_{\text{п2}}$, яғни $E=\text{const}$.

Басқаша айтқанда, денелер өзара әсерлескенде және қозғалғанда кинетикалық және потенциалдық энергиялардың бірінің артуы екіншісінің кемуіне тең болатындай өзгереді.

«Консервативті» деген сөз қорқынышты естіледі, бірақ бәрі қарапайым. Консервативті күштер — жұмысы жолдың пішініне байланысты емес күштер. Оларға ауырлық күші мен серпімділік күші жатады. Тұйық жол бойымен олардың жұмысы нөлге тең. Ал үйкеліс күші консервативті емес: жол ұзарған сайын үйкеліс жұмысы артады.

⚠️ Жиі кететін қате. Үйкеліс немесе ауаның кедергісі бар кезде де заңды қолдану. Онда механикалық энергияның бір бөлігі қызуға жұмсалады да, $E_{\text{к}}+E_{\text{п}}$ қосындысы азаяды. Заң үйкеліс күші болмағанда орындалады.

Заң қайдан шығады

Құлап келе жатқан дене: оған тек ауырлық күші әсер етеді. Оның жұмысы бір жағынан потенциалдық энергияның кемуіне тең, $mgh_1-mgh_2$, екінші жағынан кинетикалық энергияның артуына тең, $\frac{mv_2^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}$. Теңестіреміз:

$mgh_1+\frac{mv_1^2}{2}=mgh_2+\frac{mv_2^2}{2}$

Сол жақта басындағы толық энергия, оң жақта соңындағы. Олар тең. Энергия сақталды.

Бірінші сызық — $h$ биіктіктегі потенциалдық энергия (биік болған сайын көп). Екінші — кинетикалық энергия (төмен болған сайын көп). Үшіншісі — олардың қосындысы, көлденең түзу сызық: энергия өзгермейді.

🌟 Механикалық энергияның сақталу заңы — табиғаттың басты заңының дербес жағдайы: энергия ешқашан жоғалмайды және жоқтан пайда болмайды, тек бір түрден екінші түрге айналады. Сондықтан мәңгілік қозғалтқыш жасау мүмкін емес.

Есеп шығарамыз: үш қадамдық схема

1-мысал. Биіктіктен құлау

Дене бастапқы жылдамдықсыз 20 м биіктіктен құлайды. 5 м биіктіктегі оның жылдамдығы қандай?

Берілгені: $h_1=20,\text{м}$, $h_2=5,\text{м}$, $v_1=0$, $g=10,\text{м/с}^2$. Табу керек: $v_2$. Шешуі: $mgh_1=mgh_2+\frac{mv_2^2}{2}$. $m$-ді қысқартамыз: $v_2^2=2g(h_1-h_2)=2\cdot10\cdot15=300$, $v_2=\sqrt{300}\approx17{,}3,\text{м/с}$. Жауабы: шамамен 17 м/с.

2-мысал. $h$ биіктіктен еркін түсу

80 м биіктіктен құлаған дене жерге қандай жылдамдықпен жетеді?

Берілгені: $h=80,\text{м}$. Шешуі: $mgh=\frac{mv^2}{2}$, $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot10\cdot80}=\sqrt{1600}=40,\text{м/с}$. Жауабы: 40 м/с (бұл 144 км/сағ).

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Энергияның сақталу заңының ыңғайлылығы: құлау уақытын және жолдың әр бөлігіндегі үдеуді білудің қажеті жоқ. «Басында қандай энергия болды, соңында қандай?» деп сұраңыз. Бала олардың теңдігін жаза алса, есеп дерлік шығарылды.

Өзіңді тексер

• Механикалық энергияның сақталу заңының мәні неде? Егер денелерге тек ауырлық күші мен серпімділік күші әсер етсе, денелердің кинетикалық және потенциалдық энергияларының қосындысы тұрақты болып қалады.
• Бір дененің кинетикалық және потенциалдық энергияларының өзгерісі арасында қандай байланыс бар? Олар шамасы бойынша тең, таңбасы бойынша қарама-қарсы: дене қанша потенциалдық энергия жоғалтса, сонша кинетикалық энергия алады (үйкеліс болмағанда).
• Дененің механикалық энергиясы деп нені айтады? Оның кинетикалық және потенциалдық энергияларының қосындысын: $E=E_{\text{к}}+E_{\text{п}}$.

Жаттығуларды шығарамыз

Әрдайым $g=10,\text{м/с}^2$ деп аламыз және басқаша айтылмаса, ауаның кедергісін ескермейміз.

Түсіндіріңдер

№ 1

«Түсіндіріңдер», 1-тапсырма. Механикалық энергияның сақталу заңы әрқашан орындалады ма?

Қалай ойлаймыз. Шарттарды еске түсір: денелерге тек ауырлық және серпімділік күштері әсер етуі керек.

Шешуі. Заң үйкеліс және кедергі күштері болмағанда (немесе олар елеусіз аз болғанда) ғана орындалады. Сонда механикалық энергия тұрақты болады. Ал үйкеліс болса, механикалық энергияның бір бөлігі ішкі энергияға айналады (денелер қызады).

Жауап үлгісі. Жоқ, әрқашан емес. Ол денелерге тек ауырлық күші мен серпімділік күші әсер еткенде орындалады. Үйкеліс болғанда механикалық энергия азаяды, бірақ толық энергия (жылуды қосқанда) сақталады.

Жауабы: жоқ, тек үйкеліс болмағанда.

№ 2

«Түсіндіріңдер», 2-тапсырма. Вертикаль жоғары лақтырылған дене қозғалысы кезіндегі кинетикалық және потенциалдық энергиялардың қалай өзгеретінін түсіндір.

Қалай ойлаймыз. Жолдың әр бөлігінде доптың жылдамдығы мен биіктігін бақыла.

Шешуі.

1. Жоғары қарай: жылдамдық азаяды, демек, $E_{\text{к}}$ кемиді; биіктік артады, демек, $E_{\text{п}}$ артады.
2. Жоғарғы нүктеде: $v=0$, $E_{\text{к}}=0$, $E_{\text{п}}$ ең үлкен.
3. Төмен қарай: $E_{\text{п}}$ кемиді, $E_{\text{к}}$ артады. Жер бетінде $E_{\text{п}}=0$, ал $E_{\text{к}}$ ең үлкен. $E_{\text{к}}+E_{\text{п}}$ қосындысы әрдайым бірдей (ауаның кедергісінсіз).

Жауап үлгісі. Көтерілгенде кинетикалық энергия потенциалдыққа айналады, құлағанда керісінше; олардың қосындысы тұрақты.

Жауабы: көтерілгенде $E_{\text{к}}\downarrow$, $E_{\text{п}}\uparrow$; құлағанда керісінше; қосындысы өзгермейді.

Өзіңді таны

№ 3

«Өзіңді таны». Теннис добын тік жоғары лақтыр. Допқа қандай жылдамдық бергеніңді анықта. Ол үшін не өлшеу керек және оны қалай жасайсың? Жауабыңды түсіндір.

Қалай ойлаймыз. Сақталу заңын еске түсір: $\frac{mv_0^2}{2}=mgh$. Демек, доптың қандай биіктікке көтерілгенін білсең жеткілікті.

Шешуі. Үйде не істеу керек (қауіпсіз, терезелер мен шамдардан аулақ; көмекшімен жасаған жөн):

1. Қасына белгілері бар қабырға таңдап ал, мысалы, жапсырма сантиметр лентасы немесе 50 см-ден жолақтар.
2. Добын жоғары лақтыр, ал көмекшің оның қай белгіге дейін ұшқанын қарасын немесе телефонға түсірсін. Мысалы, доп $h=2,\text{м}$ биіктікке көтерілді.
3. Есептейміз: $v_0=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot10\cdot2}=\sqrt{40}\approx6{,}3,\text{м/с}$. Екінші тәсіл: секундомерді қосып, бүкіл ұшу уақытын $t$ (жоғары және төмен) өлшеу, сонда $v_0=g\cdot\frac{t}{2}$. Егер $t=1{,}2,\text{с}$ болса, $v_0=10\cdot0{,}6=6,\text{м/с}$.

Жауабы: көтерілудің ең үлкен биіктігін $h$ (немесе ұшу уақытын $t$) өлшеу керек; сонда $v_0=\sqrt{2gh}$ (немесе $v_0=gt/2$). Мысалы, $h=2$ м болғанда жылдамдық шамамен 6 м/с.

Талдаңдар

№ 4

«Талдаңдар». Массасы $m$ дене $A$ нүктесінен үйкеліссіз домалайды (34.2-сурет). $A$ нүктесі $h_1$ биіктікте орналасқан. 1 нүктесіндегі (жер деңгейіндегі) оның кинетикалық энергиясы қандай?

Қалай ойлаймыз. Үйкеліс жоқ, демек, механикалық энергия сақталады. $A$ нүктесінде дене тыныштықта, 1 нүктесінде биіктік нөлге тең.

Шешуі. $A$ нүктесінде: $E_{\text{к}}=0$, $E_{\text{п}}=mgh_1$. 1 нүктесінде: $E_{\text{п}}=0$, $E_{\text{к}}=?$ $E_{\text{к1}}=mgh_1$.

Жауабы: $E_{\text{к}}=mgh_1$.

Шығарыңдар

№ 5

«Шығарыңдар», 1-есеп. Экстремалды спортпен айналысатын спортшы биік таудан парашютін кеш ашып секіреді (34.3-сурет). Еркін түсу үдеуі кезінде ол 45 м қашықтықты ұшып өтті. Еркін түсу кезінде спортшы қандай жылдамдыққа жетеді?

Қалай ойлаймыз. Потенциалдық энергия кинетикалыққа айналады: $mgh=\frac{mv^2}{2}$.

Шешуі. Берілгені: $h=45,\text{м}$, $v_0=0$. $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot10\cdot45}=\sqrt{900}=30,\text{м/с}$.

Жауабы: 30 м/с.

№ 6

«Шығарыңдар», 2-есеп. Доп тігінен жоғары қарай $v_0=10,\text{м/с}$ жылдамдықпен лақтырылады. Доп жылдамдығы қандай биіктікте $v_0$ жартысына тең болады?

Қалай ойлаймыз. Жылдамдық екі есе аз: $v=5,\text{м/с}$. Жер үшін және ізделетін биіктік үшін сақталу заңын жазамыз.

Шешуі. Берілгені: $v_0=10,\text{м/с}$, $v=\frac{v_0}{2}=5,\text{м/с}$. $\frac{mv_0^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+mgh$. $h=\frac{v_0^2-v^2}{2g}=\frac{100-25}{20}=3{,}75,\text{м}$.

Жауабы: 3,75 м.

№ 7

«Шығарыңдар», 3-есеп. Массасы 50 г тас 18 м/с жылдамдықпен биіктігі 20 м үйдің төбесінен лақтырылды. Жерге соғылған сәттегі тастың жылдамдығы 24 м/с-қа тең болса, механикалық энергияны табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Кедергі болса, механикалық энергия азаяды. Кедергі күшінің жұмысы толық механикалық энергияның өзгерісіне тең: $A=E_2-E_1$. Оқулықтағы жауап (3,7 Дж) дәл осы шаманы береді.

Шешуі. Берілгені: $m=50,\text{г}=0{,}05,\text{кг}$, $h=20,\text{м}$, $v_1=18,\text{м/с}$, $v_2=24,\text{м/с}$.

1. Басында: $E_1=\frac{mv_1^2}{2}+mgh=\frac{0{,}05\cdot324}{2}+0{,}05\cdot10\cdot20=8{,}1+10=18{,}1,\text{Дж}$.
2. Соңында (жерде): $E_2=\frac{mv_2^2}{2}=\frac{0{,}05\cdot576}{2}=14{,}4,\text{Дж}$.
3. $A=E_2-E_1=14{,}4-18{,}1=-3{,}7,\text{Дж}$. «Минус» белгісі — кедергі күші энергияны алып кетті. Модулі бойынша 3,7 Дж.

Жауабы: $A=-3{,}7,\text{Дж}$ (модулі бойынша 3,7 Дж, оқулықтағыдай).

📕 Оқулықтағы қате. Шартта «механикалық энергияны табыңдар» деп жазылған, ал жауап ретінде 3,7 Дж берілген. Бұл — механикалық энергия емес (ол 18,1 Дж және 14,4 Дж), ол — ауа кедергісі күшінің жұмысының модулі. Дұрыс сұрақ: «ауаның кедергі күшінің жұмысын табыңдар».

№ 8

«Шығарыңдар», 4-есеп. QR-код арқылы бейнематериалды қарап, үйкеліс күшінің шамасын анықта.

Қалай ойлаймыз. Бейненің мазмұны кітапта жоқ, сондықтан жалпы тәсілді беремін. Үйкеліс күшінің жұмысы механикалық энергияның өзгерісіне тең: $A_{\text{үйк}}=E_2-E_1$, мұндағы $E=\frac{mv^2}{2}+mgh$. Ал жұмыс пен күш байланысы: $|A_{\text{үйк}}|=F_{\text{үйк}}\cdot s$, мұнда $s$ — жүрілген жол.

Шешуі.

1. Бейнеден дененің массасын $m$, бастапқы және соңғы жылдамдықтарын $v_1$ және $v_2$, биіктіктерін $h_1$ және $h_2$, сондай-ақ жүрілген жолды $s$ ал.
2. $E_1=\frac{mv_1^2}{2}+mgh_1$ және $E_2=\frac{mv_2^2}{2}+mgh_2$ есепте.
3. Үйкеліс жұмысы: $A_{\text{үйк}}=E_2-E_1$. Ол теріс болады (үйкеліс энергияны алып кетеді).
4. Үйкеліс күшінің шамасы: $F_{\text{үйк}}=\frac{|A_{\text{үйк}}|}{s}$. Мысалы, массасы 20 кг шана биіктігі 5 м, ұзындығы $s=10,\text{м}$ төбеден сырғанап түсті және төменде 6 м/с жылдамдыққа жетті (тыныштықтан басталған): $E_1=20\cdot10\cdot5=1000,\text{Дж}$, $E_2=\frac{20\cdot36}{2}=360,\text{Дж}$, $A_{\text{үйк}}=360-1000=-640,\text{Дж}$, $F_{\text{үйк}}=\frac{640}{10}=64,\text{Н}$.

Жауабы: $F_{\text{үйк}}=\frac{|E_2-E_1|}{s}$ (бейне деректері бойынша); шана мысалында $64,\text{Н}$.

Жадынама

• Заң күші айнымалы және уақыт керек емес есептерді шығарады.
• Масса жиі қысқарады: құлау жылдамдығы оған байланысты емес.
• Әткеншек пен маятникте энергия екі түр арасында «құйылып» тұрады.
• Үйкеліс болса, механикалық энергия азаяды: ол жылуға айналады.

Шағын тест