§ 1. Геометрияның алғашқы ұғымдары

Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 1 тарау: Геометрияның алғашқы мәліметтері. 5–11-беттер.

Нені үйренесің

• Геометриядағы «мінсіз» фигураның дәптердегі суреттен несімен ерекшеленетінін түсінуді.
• Нүктелер мен түзулерді әріппен белгілеуді және «түзу нүкте арқылы өтеді» деген жазбаны оқуды.
• Түзудің басты қасиетін қолдануды: кез келген екі нүкте арқылы тек қана жалғыз түзу өтеді.
• Қиылысатын екі түзуді параллель түзулерден ажыратуды.
• Аксиоманың теоремадан несімен ерекшеленетінін және дәлелдеу не үшін керек екенін түсінуді.

Ой қозғау

• Сызғышпен түзу жүргізу үшін неше нүкте керек? Кемінде екеу: олар арқылы сызғыш «бір ғана жолмен» жатады.
• Қандай сызықты сынық, қандайын түзу дейді? Түзу майыспайды, бұрылмайды, ал сынық сызық бұрыш жасай орналасқан түзу кесінділерден тұрады.
• Өмірде «тегіс» беттер қайда кездеседі? Тымық күнгі Балқаш көлінің беті, үстелдің жиегі, әйнек парағы.

Тақырыпты талдаймыз

Мінсіз фигуралар

Қарындашты алып, нүкте қой. Енді үлкейткіш әйнекпен қарашы: «нүкте» өлшемі бар дақ болып шықты. Нағыз геометриялық нүктенің өлшемі жоқ. Ежелгі грек ғалымы Евклид: нүкте — бөліктері жоқ фигура, деп айтқан.

🌟 Евклид Александрияда шамамен 2300 жыл бұрын өмір сүрген. Оның «Бастамалар» кітабы геометрияның алғашқы оқулығы болды, оқушылар содан өте ұзақ уақыт бойы оқыды.

Түзумен де солай. Тартылған жіп, үстелдің қыры, жарық сәулесі — бұлар тек «меңзеулер». Нағыз түзу екі жағына да шексіз және жуандығы жоқ. Қағазға оның бір бөлігін сызғышпен саламыз, ал ойша шексіз жалғастырамыз. Қарындаштың түсі маңызды емес.

Ал жазықтық — судың, үстелдің немесе тақтаның тегіс бетінің мінсіз нұсқасы.

Қалай белгіленеді

• Нүктелер — латынның бас әріптерімен: $A,\ B,\ C$, сондай-ақ $A_1,\ B_2$ немесе $A',\ B''$.
• Түзулер — кіші әріптермен: $a,\ b,\ c$ (немесе $a_1,\ b'$).
• Немесе түзудің екі нүктесімен: $AB$ түзуі, $CD$ түзуі.

Нүкте түзудің бойында жатса, нүкте түзуге тиісті, ал түзу нүкте арқылы өтеді дейді. Суретте $AB$ түзуі $A$ және $B$ нүктелері арқылы өтеді, бірақ $C$ нүктесі арқылы өтпейді.

Ойын ережелері: аксиомалар

Шахмат фигурасы ағаштан, пластмассадан немесе тастан жасалуы мүмкін болса, қалай ойнаймыз? Материалдың маңызы жоқ. Маңыздысы — ережелер: піл қиғаш жүреді. Геометрияда мұндай ережелерді аксиомалар дейді. Оларды дәлелдеусіз қабылдайды.

📌 Аксиома 1. Кез келген екі нүкте арқылы тек қана жалғыз түзу жүргізуге болады.

📌 Аксиома 2. Кез келген түзу үшін осы түзуде жататын және жатпайтын нүктелер бар болады.

Ережелерден жаңа фактілер шығарылады. Мұндай фактіні теорема деп атайды, ал оны растайтын ой жүйесі дәлелдеу деп аталады. Сурет дәлелдеуді табуға көмектеседі, бірақ оның орнын баспайды: «көзбен шамалап» қателесуге болады.

💡 Аксиома — ойын ережесі, теорема — сол ережелерден логикалық тұрғыдан шығатын нәрсе.

Теорема мысалын бірден көрейік. 1-аксиомадан мынау шығады: екі түзудің екіден көп ортақ нүктесі болмайды. Егер олардың екі ортақ нүктесі болса, сол екі нүкте арқылы екі түрлі түзу өтер еді, ал аксиома түзудің жалғыз екенін айтады.

Жазықтықтағы екі түзу

Екі түзудің дәл бір ортақ нүктесі болса, олар сол нүктеде қиылысады. Бір жазықтықта жатып, ортақ нүктесі болмаса, олар параллель. Үшінші жағдай болмайды.

⚠️ Жиі кететін қате. «Бұл түзулер парақта қиылыспады, демек, параллель». Олай емес! Парақ шағын, ал түзуді ойша жалғастыру керек. Егер ол парақ шетінен тыс жерде басқа түзумен «кездессе», түзулер қиылысады.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан бөлме мысалында көрсетуін сұраңыз: үстелдің жиегі мен қабырға мен төбенің түйісу сызығы. Олар бір жазықтықта жата ма, қиылыса ма — өзі айтсын. Сонда «параллель» жай сөз болудан қалады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Нүкте қандай нысандардың идеализациясы болып табылады? Өте кішкентай, өлшемін ескермеуге болатын нысандардың: құм түйірінің, үшкір қарындаштың ізінің.
• Евклид нүктені қалай анықтаған? Бөліктері жоқ фигура деп.
• Нүктелер қалай бейнеленеді? Қағазға үшкір қарындашпен немесе қаламмен, тақтаға бормен немесе маркермен. Сурет шамамен ғана: салынған нүктенің әрқашан кішкентай өлшемі болады, ал нағыз нүктенің жоқ.
• Нүктелер қалай белгіленеді? Латынның бас әріптерімен $A,\ B,\ C$, сондай-ақ $A_1,\ B_2$ немесе $A',\ B''$.
• Түзу қандай нысандардың идеализациясы болып табылады? Жіңішке тартылған жіптің, тікбұрышты үстелдің қырының, жарық сәулесінің.
• Евклид түзуді қалай анықтаған? Ені жоқ ұзындық деп.
• Түзулер қалай бейнеленеді? Қағазға немесе тақтаға сызғышпен жүргізеді, бірақ екі жағына да шексіз жалғасады деп елестетеді. Түсі маңызды емес.
• Түзулер қалай белгіленеді? Латынның кіші әріптерімен $a,\ b,\ c$ немесе осы түзудің екі нүктесінің бас әріптерімен: $AB$, $CD$.
• Түзудің негізгі қасиеттерінің бірі қандай? Кез келген екі нүкте арқылы тек қана жалғыз түзу өтеді. Екінші қасиет: кез келген түзуде оған тиісті және тиісті емес нүктелер бар.
• Екі түзудің қанша ортақ нүктесі болуы мүмкін? Бірде-бір (параллель) немесе біреу (қиылысатын). Біреуден көп болмайды.
• Қандай екі түзу қиылысады деп аталады? Дәл бір ортақ нүктесі бар түзулер.
• Қандай екі түзу параллель деп аталады? Бір жазықтықта жататын және ортақ нүктелері жоқ екі түзу.
• Аксиома дегеніміз не? Дәлелдеусіз, ереже ретінде қабылданатын бастапқы қасиет.
• Теорема дегеніміз не? Аксиомалар мен бұрын дәлелденген теоремалар көмегімен дәлелденетін фигуралардың қасиеті.
• Дәлелдеу дегеніміз не? Тұжырымның дұрыстығы шығатын логикалық пайымдаулар тізбегі.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1.1

Түзуді, түзуге тиісті және тиісті емес нүктелерді салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бұл сурет салу жаттығуы. Сызғышпен түзу жүргізіп, нүктелерді екі түрлі етіп қою керек.

Шешуі. Сызғышпен $a$ түзуін жүргіз. Оның бойында $A$ және $B$ нүктелерін белгіле. Түзуден жоғары немесе төмен $C$ және $D$ нүктелерін қой. Былай жаз: $A,\ B\in a$ (тиісті), $C,\ D\notin a$ (тиісті емес). Үлгі сурет жоғарыда: $AB$ түзуі және одан тыс $C$ нүктесі.

Жауабы: $A$, $B$ нүктелері түзуде жатқан, ал $C$, $D$ түзуден тыс жатқан сурет.

№ 1.2

$A,\ B,\ C$ нүктелері бір түзуге тиісті болсын және $B,\ C,\ D$ нүктелері бір түзуге тиісті болсын. Барлық $A,\ B,\ C,\ D$ нүктелері туралы не айтуға болады?

Қалай ойлаймыз. $B$ және $C$ нүктелерінің бір жұбы арқылы өтетін екі түзу беттеседі. Демек, екі үштік те бір түзуде «отыр».

Шешуі.

1. $A,\ B,\ C$ нүктелері $l$ түзуінде, ал $B,\ C,\ D$ нүктелері $m$ түзуінде жатсын.
2. Екі түзу де $B$ және $C$ нүктелері арқылы өтеді.
3. 1-аксиома бойынша екі нүкте арқылы бір ғана түзу өтеді, сондықтан $l$ және $m$ беттеседі.
4. Демек, $A$ да, $D$ да осы жалғыз түзуде жатады.

Жауабы: барлық төрт $A,\ B,\ C,\ D$ нүктесі бір түзудің бойында жатыр.

№ 1.3

Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүктені белгілеңдер. Берілген үш нүктеден әртүрлі нүктелер жұбы арқылы өтетін түзулерді жүргізіңдер. Мұндай түзудің барлығы қанша?

Қалай ойлаймыз. Үш нүктеден жұптар: $AB$, $AC$, $BC$. Әр жұп түзу береді, және бұл түзулер әртүрлі: әйтпесе үш нүкте де бір түзуде жатар еді.

Шешуі. $A,\ B,\ C$ нүктелерін «үшбұрыш» етіп белгіле. Сызғышпен $AB$, $BC$, $AC$ түзулерін жүргіз. Үш әртүрлі түзу шықты.

Жауабы: үш түзу.

№ 1.4

Үш нүктесі бір түзудің бойында жатпайтын: а) төрт нүкте; ә) бес нүкте; б) алты нүкте салыңдар (1.4-сурет). Осы нүктелерден әртүрлі нүктелер жұбы арқылы өтетін түзулерді жүргізіңдер. Мұндай түзудің барлығы қанша?

Қалай ойлаймыз. Жұптарды санаймыз. Әр нүктеден қалған әр нүктеге түзу жүргізуге болады. Бірақ $AB$ түзуі мен $BA$ түзуі — бір түзу, сондықтан 2-ге бөлеміз.

Шешуі.

• а) 4 нүкте: $4\cdot 3 : 2 = 6$.
• ә) 5 нүкте: $5\cdot 4 : 2 = 10$.
• б) 6 нүкте: $6\cdot 5 : 2 = 15$.

4 нүктені тексерейік ($A,\ B,\ C,\ D$): $AB,\ AC,\ AD,\ BC,\ BD,\ CD$ — алты түзу.

Жауабы: а) 6; ә) 10; б) 15.

№ 1.5

1.5-суретте а) және ә) бойынша қанша түзу бейнеленген? Жұптардың қиылысқан нүктелер саны нешеу?

Қалай ойлаймыз. Суреттегі сызықтарды санаймыз, содан кейін олар қиылысатын нүктелерді. Егер ешқандай екеуі параллель болмаса және ешқандай үшеуі бір нүкте арқылы өтпесе, әр түзу жұбы дәл бір нүкте береді.

Шешуі.

• а) 5 түзуден жасалған жұлдыз. Түзулер жұбы: $5\cdot 4 : 2 = 10$. Бұл жұлдыздың 5 «ұшы» және іштегі бесбұрыштың 5 төбесі.
• ә) 7 түзу. Жұптар: $7\cdot 6 : 2 = 21$ қиылысу нүктесі.

Жауабы: а) 5 түзу, 10 нүкте; ә) 7 түзу, 21 нүкте.

№ 1.6

Торкөз қағазға 1.6-суретте көрсетілгендей $AB$ түзуі мен $C$ нүктесін салыңдар. $C$ нүктесі арқылы өтетін, $AB$ түзуіне параллель түзу жүргізіңдер.

Қалай ойлаймыз. Түзуді $AB$-мен «бір бағытта» жүргізу керек. Торкөзде бұл оңай: $AB$ түзуі оңға және жоғары неше шаршыға кететінін қарап, $C$ нүктесінен сол қадамдарды қайталаймыз.

Шешуі.

• а) $AB$ көлденең: $A(1;,1)$, $B(5;,1)$, $C(2;,5)$. $C$ арқылы тор сызығының бойымен көлденең түзу жүргіземіз, ол $y=5$ биіктігінде жатады.
• ә) $A(1;,1)$, $B(5;,5)$ — шаршылардың диагоналі. $C(1;,3)$. Қадам: «1 оңға, 1 жоғары». $C$ нүктесінен: $(2;,4)$, $(3;,5)$ нүктелері. $C$ және $(3;,5)$ арқылы өтетін түзу $AB$ түзуіне параллель.
• б) $A(1;,1)$, $B(7;,4)$, қадам «2 оңға, 1 жоғары». $C(2;,3)$. $C$ нүктесінен: $(4;,4)$, $(6;,5)$ нүктелері. Осы нүктелер арқылы өтетін түзу параллель.

Жауабы: салу: $C$ арқылы $AB$ түзуімен бірдей «еңіс» түзу (а — көлденең, ә — қадам $(1;,1)$, б — қадам $(2;,1)$).

№ 1.7

1.7-суретте бейнеленген $a$ түзуімен қиылысатын түзулерді көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Бір жазықтықта жатқан түзулер не қиылысады, не параллель болады. «Артық» түзуді табу керек: оның $a$ түзуімен ортақ нүктесі жоқ, ол $a$ түзуімен бір бағытта жүреді (екеуін де жалғастырсақ).

Шешуі. $b,\ c,\ d,\ e,\ f,\ g,\ h,\ p,\ q,\ r$ түзулерін бір-бірлеп қарап, ойша жалғастырамыз. $f$ түзуінен басқасының бәрі $a$ түзуімен кездеседі. $f$ түзуі $a$ түзуімен бірдей бағытта жүреді және онымен қиылыспайды, яғни $a$ түзуіне параллель.

Жауабы: $b,\ c,\ d,\ e,\ g,\ h,\ p,\ q,\ r$.

B деңгейі

№ 1.8

$a,\ b,\ c$ түзулері бір нүктеде қиылысатын болсын және $b,\ c,\ d$ түзулері бір нүктеде қиылыссын. Барлық $a,\ b,\ c,\ d$ түзулері жайлы не айтуға болады?

Қалай ойлаймыз. Екі әртүрлі $b$ және $c$ түзулерінің бір ғана ортақ нүктесі болуы мүмкін. Ал мұнда олардың «екеуі» бар ($P$ және $Q$ нүктелері). Демек, бұл бір нүкте.

Шешуі. Жоғарыдағы қадамдарды қара.

Жауабы: барлық төрт түзу бір нүктеде қиылысады.

№ 1.9

Үш түзу сызылғанда қиылысқан жұптардың қанша нүктесі болуы мүмкін? Әртүрлі жағдайларды бейнелеңдер.

Қалай ойлаймыз. Үш түзуден үш жұп шығады: $ab$, $ac$, $bc$. Әр жұп не бір нүкте береді, не бірде-бір нүкте бермейді (параллель болса). Қайсысы «беттесіп» кетуі мүмкін екенін қарастыру қалады.

Шешуі.

• 0 нүкте: үш түзудің бәрі параллель (қатар жатқан үш рельс).
• 1 нүкте: үшеуі де бір нүкте арқылы өтеді (үш сымы бар дөңгелек).
• 2 нүкте: екі түзу параллель, үшіншісі екеуін де қиып өтеді.
• 3 нүкте: ешқандай екеуі параллель емес және үшеуі бір нүкте арқылы өтпейді (екі жағына жалғастырылған «үшбұрыштың» қабырғалары).

Жауабы: 0, 1, 2 немесе 3 нүкте.

№ 1.10

Қиылысқан жұптардың: а) үш нүктесі; ә) төрт нүктесі; б) бес нүктесі; в) алты нүктесі болатындай етіп төрт түзуді бейнелеңдер.

Қалай ойлаймыз. Төрт түзуден 6 жұп шығады. Егер қандай да бір түзулер параллель болса немесе үшеуі бір нүкте арқылы өтсе, нүктелер 6-дан аз болады. Керекті «шығынды» таңдаймыз.

Шешуі.

• а) 3 нүкте. Үш түзу бір $P$ нүктесі арқылы өтеді, төртіншісі олардың біріне параллель. Ол қалған екеуін қиып өтеді: барлығы $P$ және тағы екі нүкте.
• ә) 4 нүкте. Екі жұп параллель түзу («#» торы): бірінші жұптың әр түзуі екінші жұптың әр түзуін қиып өтеді, $2\cdot 2 = 4$.
• б) 5 нүкте. Екі параллель түзу және бір-бірімен қиылысатын тағы екі түзу, олардың қиылысу нүктесі параллель түзулерде жатпайды. Нүктелер: әр параллель түзумен екіден қиылысу (4) және осы екеуінің қиылысуы (1).
• в) 6 нүкте. Ешқандай екі түзу параллель емес және ешқандай үшеуі бір нүкте арқылы өтпейді.

Жауабы: а)–в) салулар жоғарыда сипатталғандай.

№ 1.11

Қиылысқан жұптардың он нүктесі болатындай етіп бес түзуді бейнелеңдер.

Қалай ойлаймыз. Бес түзуден 10 жұп шығады. Демек, әр жұп өз жеке нүктесінде қиылысуы керек: параллель түзулер болмауы және үш түзудің бір нүкте арқылы өтпеуі тиіс.

Шешуі. 1.5, а) жаттығуының суретіндегідей бес түзуден бесбұрышты жұлдыз сал. Оның 10 әртүрлі қиылысу нүктесі бар.

Жауабы: 10 қиылысу нүктесі бар, бес түзуден жасалған бесбұрышты жұлдыз.

№ 1.12

1.8 және 1.9-суреттерді қолданып, екі ақиқат және екі жалған пікір құрыңдар.

Қалай ойлаймыз. Суретке қараймыз: 1.8-суретте $A,\ B,\ C$ нүктелері бір түзуде осы ретпен жатыр. 1.9-суретте $m$ түзуі $M$ арқылы өтеді, ал $N$ нүктесі жеке, түзулерден тыс тұр.

Шешуі.

• Ақиқат: «$A,\ B,\ C$ нүктелері бір түзуде жатыр».
• Ақиқат: «$M$ нүктесі $m$ түзуіне тиісті».
• Жалған: «$N$ нүктесі $m$ түзуіне тиісті».
• Жалған: «$C$ нүктесі $A$ және $B$ нүктелерінің арасында жатыр» (шын мәнінде $A$ мен $C$ арасында $B$ жатыр).

Жауабы: мысалы, жоғарыдағыдай екі ақиқат және екі жалған пікір.

№ 1.13

Айжан, Сәуле, Берік және Дәурен түзу сызық бойымен қатарға тұрды. Берік Айжан мен Сәуленің ортасында, ал Сәуле Берік пен Дәуреннің ортасында тұр. Балалар қандай ретпен тұр?

Қалай ойлаймыз. Түзу сызып, шарттар бойынша нүктелерді орналастырамыз: «ортасында» — «арасында» дегенді білдіреді.

Шешуі.

1. Берік Айжан мен Сәуленің ортасында: $\text{Айжан}\ \ \text{Берік}\ \ \text{Сәуле}$.
2. Сәуле Берік пен Дәуреннің ортасында: демек, Дәурен Сәуледен Берікке қарама-қарсы жақта тұр.
3. Реті: Айжан, Берік, Сәуле, Дәурен (немесе кері бағытта).

Жауабы: Айжан, Берік, Сәуле, Дәурен.

C деңгейі

№ 1.14

*а) 3 нүкте; ә) 4 нүкте; б) 5 нүкте; в) $n$ нүктелер жұбы арқылы неше түзу жүргізуге болады? Әрбір үш нүкте бір түзудің бойында жатпауы тиіс.

Қалай ойлаймыз. Бұл № 1.4 есебі, тек нүктелердің кез келген саны үшін. Формула керек.

Шешуі.

• а) $3\cdot 2 : 2 = 3$.
• ә) $4\cdot 3 : 2 = 6$.
• б) $5\cdot 4 : 2 = 10$.
• в) $\frac{n(n-1)}{2}$.

Жауабы: а) 3; ә) 6; б) 10; в) $\frac{n(n-1)}{2}$.

№ 1.15

*а) 3 түзу; ә) 4 түзу; б) 5 түзу; в) $n$ түзу қос-қостан қиылысқанда пайда болған нүктелердің ең көп саны қанша?

Қалай ойлаймыз. Әр түзу жұбы біреуден артық ортақ нүкте бермейді. Нүктелер ең көп болғанда, барлық жұптар әртүрлі нүктелер береді. Демек, жұптарды санаймыз.

Шешуі.

• а) $3\cdot 2 : 2 = 3$.
• ә) $4\cdot 3 : 2 = 6$.
• б) $5\cdot 4 : 2 = 10$.
• в) $\frac{n(n-1)}{2}$.

Жауабы: а) 3; ә) 6; б) 10; в) $\frac{n(n-1)}{2}$.

Хабарлама дайындаңдар

№ 1.16

Геометрия ғылымының тарихындағы басты тұлғалар — Пифагор, Евклид, Архимед, И. Кеплер, Р. Декарт, Л. Эйлер, Н.И. Лобачевский. Осы ғалымдардың өмірі, ғылыми еңбектері туралы хабарлама дайындаңдар.

Қалай ойлаймыз. Бұл жауабы бар есеп емес, 2–3 минуттық шағын хабарлама. Бір ғалымды таңдап, оның не ойлап тапқанын және бүгін не үшін керек екенін айт.

Шешуі. Хабарлама жоспары:

1. Ол кім және қашан өмір сүрген.
2. Геометриядағы басты жаңалығы (мысалы, Евклидтің — «Бастамалар», Декарттың — координаттар, Лобачевскийдің — жаңа, евклидтік емес геометрия, Архимедтің — аудандар мен көлемдерді есептеу).
3. Бүгін қайда кездеседі: карталар, құрылыс, компьютерлік графика.
4. Бір қызық дерек.

🌟 Геометриямен Шығыс ғалымдары да айналысқан. Қазіргі Қазақстан аумағындағы Отырардан шыққан әл-Фараби геометриялық салулар туралы жазған.

Жауабы: еркін тапсырма, ортақ жауабы жоқ.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 1.17

*Түзудің бойында: а) бір нүкте; ә) екі нүкте; б) үш нүкте; в) $n$ нүкте белгіленген. Осы нүктелер берілген түзуді неше бөлікке бөледі?

Қалай ойлаймыз. Бір нүктеден баста: ол түзуді екі бөлікке бөледі (келесі параграфтағы аксиома). Әр жаңа нүкте бөліктердің бірін екіге бөледі, яғни дәл бір бөлік қосады.

Шешуі.

• а) 1 нүкте: 2 бөлік.
• ә) 2 нүкте: $2+1=3$ бөлік.
• б) 3 нүкте: $3+1=4$ бөлік.
• в) $n$ нүкте: $n+1$ бөлік.

Жауабы: а) 2; ә) 3; б) 4; в) $n+1$.

Жадынама

• 1-аксиома: кез келген екі нүкте арқылы тек қана жалғыз түзу өтеді.
• 2-аксиома: кез келген түзуде оған тиісті және тиісті емес нүктелер бар.
• Салдар: екі әртүрлі түзудің біреуден артық ортақ нүктесі болмайды.
• Теореманы аксиомалардан дәлелдейді, дәлелдеу — пайымдаулар тізбегі.

Шағын тест