§ 2. Сәуле және кесінді

Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 1 тарау: Геометрияның алғашқы мәліметтері. 11–16-беттер.

Нені үйренесің

• Нүкте түзуді екі бөлікке бөлетінін түсінуді және «бір жағында» не «әр жағында» жату деп айтуды.
• Сәуле мен кесіндіні танып, дұрыс белгілеуді.
• Сәуленің бойына берілген кесіндіге тең кесінді салуды.
• Кесінділерді салыстыруды, қосуды және азайтуды.
• Кесіндінің ортасын табуды.

Ой қозғау

• Түзуді анықтау үшін неше нүкте керек? Екеу: кез келген екі нүкте арқылы тек қана жалғыз түзу өтеді.
• «Нүкте түзуге тиісті» дегеніміз не? Ол осы түзудің бойында жатыр, түзу сол нүкте арқылы өтеді.
• Нүктелер мен түзулер қалай белгіленеді? Нүктелер латынның бас әріптерімен, түзулер кіші әріптермен немесе екі нүктемен.

Тақырыпты талдаймыз

Нүкте түзуді екі бөлікке бөледі

Түзудің бойына нүкте қой, мысалы, шексіз жолға белгі қойғандай. Ол жолды екі бөлікке бөледі: «алға» және «артқа». Бұл тағы бір аксиома.

📌 Аксиома. Түзудегі әрбір нүкте осы түзуді екі бөлікке бөледі.

Егер екі нүкте әртүрлі бөліктерде орналасса, олар бөлу нүктесінің әр жағында жатыр, ал бөлу нүктесінің өзі олардың арасында жатыр дейді. Егер бір бөлікте болса, олар бір жағында жатыр.

Сәуле

📌 Сәуле, немесе жартытүзу, — түзудің бөлігі: нүкте және осы нүктенің бір жағында жатқан барлық нүктелер. Нүктенің өзі сәуленің төбесі (басы) болады.

Қол шамды елестет: жарық шамнан басталып, бір бағытта шексіз алысқа кетеді. Сәулені кіші әріппен ($a$) немесе екі бас әріппен белгілейді: бірінші әріп — төбесі, екіншісі — сәуленің бойындағы кез келген басқа нүкте. Сондықтан $AB$ сәулесі мен $BA$ сәулесі — әртүрлі: біреуі $A$ нүктесінен $B$ арқылы, екіншісі $B$ нүктесінен $A$ арқылы жүреді.

⚠️ Жиі кететін қате. Әріптердің ретін шатастырады. «$OA$ сәулесі» деген жазбада бірінші әрқашан төбесі $O$ тұрады.

Кесінді

📌 Кесінді — түзудің бөлігі: екі нүкте (ұштары) және олардың арасындағы барлық нүктелер.

Кесіндіні, сәуледен өзгеше, өлшеуге болады: оның екі ұшы бар. Ұштарымен белгіленеді: $AB$ немесе $C_1D_1$. $AB$ кесіндісі мен $BA$ кесіндісі — бір кесінді.

Кесіндіні саламыз

$AB$ кесіндісін және төбесі $A_1$ болатын сәулені алайық. Кесіндінің басын сәуленің төбесіне қойып, сәуленің бойымен «жүргіземіз». Кесіндінің соңы сәуленің бір нүктесіне түседі — және бастапқы кесіндіге тең кесінді шығады.

📌 Аксиома. Кез келген сәуленің төбесінен бастап берілген кесіндіге тең бір ғана кесінді салуға болады.

Теңдікті былай жазады: $AB = A_1B_1$. Егер $AB$ кесіндісін салғанда $B$ нүктесі $A_1B_1$ кесіндісінің ішіне ($A_1$ мен $B_1$ арасындағы $B'$ нүктесіне) түссе, онда $AB < A_1B_1$, ал $A_1B_1 > AB$.

Кесінділерді қосамыз және азайтамыз

$AB$ кесіндісінен $A$ мен $B$ арасындағы кез келген $C$ нүктесін алайық. Екі кесінді шықты: $AC$ және $CB$. Сонда

$AB = AC + CB.$

Демек, $AC = AB - CB$ және $CB = AB - AC$.

Ал егер $AB$ және $CD$ кесінділері бір түзудің бойында жатпаса ше? $AB$ кесіндісін сәуленің бойына саламыз, сосын оның $B$ ұшынан бастап сол бағытта $CD$ кесіндісіне тең $BE$ кесіндісін саламыз. Сонда $AE = AB + CD$.

Кесіндінің ортасы

📌 Кесіндінің ортасы — оны тең екі бөлікке бөлетін нүкте.

Кесіндінің ортасы біреу ғана. Егер $M$ нүктесі $AB$ кесіндісінің ортасы болса, онда $AM = MB$ және $AB = 2\cdot AM$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Үйде қағаз жолақпен тексеруге болады: жолақты екі еселеп бүктеңіз, бүгілген жер ортасын көрсетеді. Жолақтың төрттен бірін қалай алуға болатынын сұраңыз. Тағы бір рет екі еселеп бүгу керек.

💡 Киіз үйде шаңырақ орталықта болады. Бір қабырғадан екінші қабырғаға шаңырақ арқылы сызық жүргізсең, шаңырақ осы кесіндінің ортасы болады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Аксиома ретінде қабылданған түзудің қасиетін тұжырымда. Түзудегі әрбір нүкте осы түзуді екі бөлікке бөледі.
• Қандай фигура сәуле деп аталады? Түзудің бөлігі: нүкте және осы нүктенің бір жағында жатқан барлық нүктелер.
• Сәуле қалай белгіленеді? Кіші әріппен немесе екі бас әріппен: бірінші әріп — сәуленің төбесі, екіншісі — оның кез келген басқа нүктесі.
• Сәуле басқаша қалай аталады? Жартытүзу.
• Сәуленің төбесі басқаша не деп аталады? Сәуленің басы.
• Қандай фигура кесінді деп аталады? Түзудің бөлігі: екі нүкте және олардың арасындағы барлық нүктелер.
• Кесінді қалай белгіленеді? Ұштарының екі бас әрпімен: $AB$.
• Кесіндімен қандай амалдар жүргізіледі? Сәуленің бойына салу, салыстыру, қосу және азайту.
• Кесінділердің теңдігі қалай белгіленеді? $AB = A_1B_1$.
• Қандай нүкте кесіндінің ортасы деп аталады? Кесіндіні тең екі бөлікке бөлетін нүкте.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 2.1

Берілген нүктеден басталатын неше сәуле сызуға болады?

Қалай ойлаймыз. Нүкте арқылы көп түзу өтеді, және әр түзу екі жаққа сәуле береді.

Шешуі. Кез келген нүкте арқылы шексіз көп түзу жүргізуге болады. Әр түзу осы нүктеден басталатын екі сәуле береді. Демек, сәулелер шексіз көп.

Жауабы: шексіз көп.

№ 2.2

Берілген түзуде жатқан, осы түзудегі берілген нүкте төбесі болатын қанша сәуле бар?

Қалай ойлаймыз. Енді шектеу бар: сәулелер бір түзудің бойында жатыр.

Шешуі. Нүкте түзуді екі бөлікке бөледі. Әр бөлік нүктемен бірге сәуле болады. Осы түзуде мұндай төбелі басқа сәулелер жоқ.

Жауабы: екеу.

№ 2.3

$AB$ кесіндісінен $C$ нүктесі алынған. $AB,\ AC,\ CA,\ CB,\ BA,\ BC$ сәулелері арасынан сәйкес сәулелер жұбын атаңдар.

Қалай ойлаймыз. Төбесі бір және бір бағытта жүретін сәулелер беттеседі. Алдымен олардың қай нүктелерден шығатынын қараймыз: $A$, $C$ немесе $B$.

Шешуі.

• Төбесі $A$: $AB$ және $AC$ сәулелері. $C$ нүктесі $AB$ кесіндісінде жатыр, демек, ол $AB$ сәулесінде жатады, ал $AC$ сәулесі сол жаққа жүреді. Олар беттеседі.
• Төбесі $B$: $BA$ және $BC$ сәулелері дәл сол себептен беттеседі.
• Төбесі $C$: $CA$ және $CB$ сәулелері әртүрлі жаққа жүреді және беттеспейді.

Жауабы: $AB$ және $AC$; $BA$ және $BC$.

№ 2.4

$A,\ B,\ C,\ D$ нүктелерін мына шарттар орындалатындай етіп түзудің бойында кескіндеңдер: а) $C$ нүктесі $A$ мен $B$ нүктелерінің арасында, ал $D$ нүктесі $B$ мен $C$ нүктелерінің арасында жатсын; ә) $A$ нүктесі $B$ және $C$ нүктелерінің арасында, ал $C$ нүктесі $A$ мен $D$ нүктелерінің арасында жатсын.

Қалай ойлаймыз. Түзу сызып, нүктелерді солдан оңға қарай орналастырамыз, әр «арасында» дегенді тексереміз.

Шешуі.

• а) $C$ нүктесі $A$ мен $B$ арасында: реті $A,\ C,\ B$. $D$ нүктесі $B$ мен $C$ арасында: $D$ нүктесін $C$—$B$ аралығына қоямыз. Нәтиже: $A,\ C,\ D,\ B$.
• ә) $A$ нүктесі $B$ мен $C$ арасында: реті $B,\ A,\ C$. $C$ нүктесі $A$ мен $D$ арасында: $D$ нүктесін $C$-дан оңға қоямыз. Нәтиже: $B,\ A,\ C,\ D$.

Жауабы: а) реті $A,\ C,\ D,\ B$; ә) реті $B,\ A,\ C,\ D$ (немесе кері бағытта).

№ 2.5

Торкөз қағазға 2.7-суретте көрсетілгендей етіп $CE$ сәулесі мен $AB$ кесіндісін салыңдар. $CE$ сәулесінің $C$ төбесінен $AB$ кесіндісіне тең $CD$ кесіндісін салыңдар.

Қалай ойлаймыз. $AB$ ұзындығын сәулеге «көшіру» керек. Циркуль мұны дәл істейді, ал торкөзде қадамдарды санауға болады.

Шешуі.

• а) $A(1;,1)$, $B(3;,2)$ — қадам $(2;,1)$. $CE$ сәулесі: $C(1;,3)$, $E(5;,5)$ қадамы $(2;,1)$. $D=(1+2;,3+1)=(3;,4)$.
• ә) $A(1;,3)$, $B(3;,1)$ — қадам $(2;,-2)$, диагональ. $C(2;,5)$, $E(5;,2)$. $D=(2+2;,5-2)=(4;,3)$.
• б) $A(1;,1)$, $B(3;,2)$ — қадам $(2;,1)$. $CE$ сәулесі $C(1;,5)$ нүктесінен төмен оңға қарай $(2;,-1)$ қадамымен жүреді. $D=(1+2;,5-1)=(3;,4)$.

Әр жағдайда $CD$ — сол бір «қадам», яғни $CD = AB$.

Жауабы: салу: а) $D(3;,4)$; ә) $D(4;,3)$; б) $D(3;,4)$ (координаталар суреттің сол жақ төменгі бұрышынан шаршылармен есептелген).

№ 2.6

2.8-суретте берілген тең кесінділерді көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Торкөздегі кесінділер бір типті және бір ұзындықты болса тең: «түзу бойымен $k$ шаршы» немесе «диагональмен $k$ шаршы», не көлденең және тік қадамдары бірдей.

Шешуі. Қадамдарын оқимыз.

• а): көлденең 2 шаршы; г): тік 2 шаршы. Тең.
• ә): $2\times 2$ диагональ; ғ): $2\times 2$ диагональ. Тең.
• б): көлденең 1 шаршы және тік 2; в): көлденең 2 және тік 1. Тең (біреуін ширек айналымға бұрсақ болады).

Жауабы: а) және г); ә) және ғ); б) және в).

B деңгейі

№ 2.7

Түзудегі $A,\ B,\ C,\ D$ нүктелері үшін $B$ мен $C$ нүктелері $A$ нүктесінің бір жағында, $B$ мен $D$ нүктелері $A$ нүктесінің бір жағында жатқаны белгілі. $C$ мен $D$ нүктелері $A$ нүктесіне қарағанда қалай орналасқан?

Қалай ойлаймыз. $A$ нүктесі түзуді екі бөлікке бөледі. «Бір жағында» дегеніміз — «бір бөлікте».

Шешуі.

1. $B$ және $C$ нүктелері $A$ нүктесіне қарағанда түзудің бір бөлігінде жатыр.
2. $B$ және $D$ нүктелері де бір бөлікте. Бұл — $B$ жатқан сол бөлік.
3. Демек, $C$ және $D$ нүктелерінің екеуі де $B$ жатқан бөлікте жатыр.

Жауабы: $C$ және $D$ нүктелері $A$ нүктесінің бір жағында жатыр.

№ 2.8

2.9-суретте көрсетілгендей етіп торкөз қағазда кесінділерді бейнелеңдер. $AB$, $CD$, $EF$ кесінділерінің ортасын көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Орта — дәл ортасындағы нүкте. Тордағы кесінді үшін ұштарының координаталарының орта арифметикалық мәнін аламыз.

Шешуі.

• $A(1;,5)$, $B(4;,5)$: ұзындығы 3 шаршы, ортасы $A$ нүктесінен $1{,}5$ шаршы қашықтықта: $K(2{,}5;,5)$.
• $C(5;,6)$, $D(5;,0)$: ұзындығы 6 шаршы, ортасы $L(5;,3)$.
• $E(1;,1)$, $F(4;,4)$: 3 шаршылық диагональ, ортасы $M(2{,}5;,2{,}5)$.

Жауабы: ортасы — $K(2{,}5;,5)$, $L(5;,3)$, $M(2{,}5;,2{,}5)$.

№ 2.9

2.9-суретте көрсетілгендей етіп торкөз қағазда кесінділерді бейнелеңдер. $AB$, $CD$, $EF$ кесінділерін тең үш бөлікке бөлетін нүктелерді көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Ұзындықты үш тең бөлікке бөлеміз: әр кесіндіде екі нүкте. Шаршылардағы ұзындықтар: $AB=3$, $CD=6$, $EF$ — шаршылардың үш диагоналі.

Шешуі.

• $AB$: $A(1;,5)$, $B(4;,5)$, қадамы бір шаршы. Нүктелері $(2;,5)$ және $(3;,5)$.
• $CD$: $C(5;,6)$, $D(5;,0)$, қадамы екі шаршы. Нүктелері $(5;,4)$ және $(5;,2)$.
• $EF$: $E(1;,1)$, $F(4;,4)$, қадамы $(1;,1)$. Нүктелері $(2;,2)$ және $(3;,3)$.

Жауабы: $AB$: $(2;,5)$ және $(3;,5)$; $CD$: $(5;,4)$ және $(5;,2)$; $EF$: $(2;,2)$ және $(3;,3)$.

№ 2.10

2.10-суретте бейнеленген кесінділерді ұзындығының өсу ретімен орналастырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр кесіндіні торкөз бойынша қадамдармен өлшейміз: «оңға немесе солға неше, жоғары немесе төмен неше». Қадамдар үлкен болған сайын, кесінді ұзын. Салыстыру үшін қай «қадамдар тіктөртбұрышының» үлкен екенін көру жеткілікті.

Шешуі. Тор бойынша қадамдар:

• 5: 0 оңға, 2 төмен. Ең қысқасы.
• 4: 2 оңға, 1 төмен.
• 1: 2 оңға, 2 жоғары.
• 6: 1 оңға, 3 төмен.
• 3: 3 оңға, 2 төмен.
• 2: 4 оңға, 1 жоғары. Ең ұзыны.

Егер ұзындықтарды Пифагор теоремасымен санасақ (бұл кейінірек болады): $2,\ \sqrt5,\ \sqrt8,\ \sqrt{10},\ \sqrt{13},\ \sqrt{17}$.

Жауабы: 5, 4, 1, 6, 3, 2.

№ 2.11

2.11-суретте көрсетілгендей етіп торкөз қағазда кесінділерді бейнелеңдер. $AB$ мен $CD$ кесінділерінің қосындысына тең кесіндіні салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Кесінділердің қосындысы: $AB$ кесіндісін сәуленің бойына саламыз, содан оның ұшынан бастап сол бағытта $CD$ кесіндісіне тең кесіндіні жалғастырамыз. Шыққан бүкіл кесінді — қосынды.

Шешуі.

• а) $AB$ — 3 шаршы, $CD$ — 2 шаршы. $A$ нүктесінен $B$ арқылы сәуле жүргіземіз. $B$ нүктесінен сол бағытта 2 шаршы саламыз. Ұзындығы 5 шаршы кесінді шықты.
• ә) $AB$ — 2 шаршы, $CD$ (тік) — 2 шаршы. $AB$ сәулесінде $B$ нүктесінен тағы 2 шаршы саламыз. Барлығы 4 шаршы.
• б) $AB$ — «шаршы диагоналінің» 2 бөлігі, $CD$ — біреу. $AB$ кесіндісін $B$ нүктесінен кейін бір диагональға жалғастырамыз. Барлығы 3 диагональ.

Жауабы: салу: $AB$ сәулесінде $B$ нүктесінен $CD$ кесіндісіне тең кесінді саламыз; $A$ нүктесінен басталатын бүкіл кесінді — қосынды.

№ 2.12

2.12-суретте көрсетілгендей етіп торкөз қағазда кесінділерді бейнелеңдер. $AB$ мен $CD$ кесінділерінің айырымына тең кесіндіні салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Айырым — ұзын кесіндіден қысқасына тең бөлікті кескенде «қалатыны».

Шешуі. $AB$ сәулесінде $A$ нүктесінен $CD$ кесіндісін саламыз. Айталық, $AM = CD$ шықты. Сонда $MB = AB - CD$.

• а) $AB$ — 4 шаршы, $CD$ — 2 шаршы: қалғаны 2 шаршы.
• ә) $AB$ — шаршының 3 диагоналі, $CD$ — 2 диагональ: қалғаны 1 диагональ.

Жауабы: $MB$ кесіндісі, мұндағы $AM = CD$ кесіндісі $AB$ сәулесінде $A$ нүктесінен салынған.

C деңгейі

№ 2.13

*Түзуде: а) 3 нүкте; ә) 4 нүкте; б) 5 нүкте; в) $n$ нүкте белгіленген. Төбесі осы нүктелер болатындай берілген түзуде жатқан неше сәуле бар?

Қалай ойлаймыз. Түзудегі әр белгіленген нүктеден дәл екі сәуле шығады (екі жаққа, № 2.2 қара). Әртүрлі нүктелерден шыққан сәулелер әртүрлі, өйткені олардың төбелері әртүрлі.

Шешуі.

• а) $3\cdot 2 = 6$.
• ә) $4\cdot 2 = 8$.
• б) $5\cdot 2 = 10$.
• в) $2n$.

Жауабы: а) 6; ә) 8; б) 10; в) $2n$.

№ 2.14

*Түзуде: а) 3 нүкте; ә) 4 нүкте; б) 5 нүкте; в) $n$ нүкте белгіленген. Осы нүктелер ұштары болатындай неше кесінді бар?

Қалай ойлаймыз. Кесіндіні оның ұштарының жұбы анықтайды. Демек, нүктелер жұбын санаймыз, № 1.14-тегі түзулер сияқты.

Шешуі.

• а) $3\cdot 2 : 2 = 3$ ($AB$, $AC$, $BC$).
• ә) $4\cdot 3 : 2 = 6$.
• б) $5\cdot 4 : 2 = 10$.
• в) $\frac{n(n-1)}{2}$.

Жауабы: а) 3; ә) 6; б) 10; в) $\frac{n(n-1)}{2}$.

№ 2.15

2.13-суретте бейнеленген $AB$ және $CD$ кесінділерін салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Көзбен қателесу оңай: ұштарындағы жебелер, фигуралардың пішіні мен орналасуы көзді «алдайды». Сенімді салыстыру үшін циркульмен немесе қағаз жолақпен өлшеуге болады: бір ұзындықты екіншісіне қою керек.

Шешуі.

• а) $AB$ кесіндісінің жебелері сыртқа, ал $CD$ кесіндісінікі ішке қараған. Сондықтан $AB$ ұзынырақ көрінеді. Өлшеу олардың тең екенін көрсетеді.
• ә) Төменгі фигура төмен қарай «тарылады», жоғарғысы «кеңейеді»: көлбеу қабырғалардың әсерінен кесінділер әртүрлі көрінеді. Бірін екіншісіне қойсақ, теңдігін көреміз.
• б) $AB$ көлденең, $CD$ тік. Тік кесінді ұзынырақ көрінеді, бірақ шын мәнінде олар тең.

💡 Бұл — оптикалық иллюзиялар. Сондықтан геометрияда ұзындықтарды «көзбен» емес, өлшеп және дәлелдеп тексереді.

Жауабы: $AB$ және $CD$ кесінділері тең (үш жағдайда да).

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 2.16

Түзу салыңдар. Сызғыштың көмегімен оның бойынан бір бағытта ұзындығы 5 см болатын $AB$ кесіндісін және ұзындығы 6 см болатын $BC$ кесіндісін алыңдар. $AC$ кесіндісінің ұзындығы неге тең?

Қалай ойлаймыз. Кесінділерді «тізбектей» саламыз: $BC$ кесіндісі $AB$ аяқталған жерден басталады. Сонда $B$ нүктесі $A$ мен $C$ арасында жатады, ал ұзындықтары қосылады.

Шешуі.

1. Түзу сызып, $A$ нүктесін белгіле.
2. Сызғышпен $A$ нүктесінен оңға 5 см салып, $B$ нүктесін ал.
3. $B$ нүктесінен сол бағытта 6 см сал: $C$ нүктесі.
4. $AC = AB + BC = 5 + 6 = 11$ (см).

Жауабы: $AC = 11$ см.

Жадынама

• Аксиома: түзудің әрбір нүктесі оны екі бөлікке бөледі.
• Сәуле — жартытүзу, оның басы бар, соңы жоқ.
• Кесінді — түзудің екі нүктенің арасындағы бөлігі, оның ұштары өзіне тиісті.
• Кесінділердің теңдігі: $AB = A_1B_1$, егер $AB$ кесіндісін $A_1$ төбелі сәулеге салғанда ол $A_1B_1$ кесіндісімен беттессе.
• Қосынды мен айырым: $AB = AC + CB$, $AC = AB - CB$.
• Орта біреу ғана, және $AB = 2\cdot AM$.

Шағын тест