§ 17. Үшбұрыштың теңсіздігі

Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 3 тарау: Түзулердің өзара орналасуы. 98–104-беттер.

Нені үйренесің

• Үшбұрыш теңсіздігін тұжырымдауды және дәлелдеуді.
• Берілген қабырғалармен үшбұрыш салуға бола ма, жылдам тексеруді.
• Салдарларды қолдануды: қабырға қалған екі қабырғаның айырымынан үлкен және «теңдік орындалса, нүкте кесіндінің бойында жатады».
• Ең қысқа жолға берілген есептерді, мысалы, жарық сәулесінің шағылуы туралы есепті шығаруды.

Ой қозғау

• Үшбұрыштың қай қабырғасы үлкен бұрышқа қарсы жатады? Үлкен қабырғасы.
• Үшбұрыштың сыртқы бұрышы неге тең? Өзімен сыбайлас емес екі ішкі бұрыштың қосындысына.
• Теңбүйірлі үшбұрыш дегеніміз не? Екі қабырғасы тең үшбұрыш. Табанындағы бұрыштары тең болады.
• Үшбұрыштың периметрі неге тең? Үш қабырғасының ұзындықтарының қосындысына.

Тақырыпты талдаймыз

Тура жүру — қысқа

Сен $A$ үйінен $B$ мектебіне бара жатырсың. Тура да жүруге болады, ал $C$ дүкеніне соғып та кетуге болады. Дүкен арқылы жүретін $AC+CB$ жол тура $AB$ жолынан әрқашан ұзын. Егер $A$, $B$, $C$ бір түзудің бойында жатпаса, үшбұрыш шығады, ал оның қабырғалары туралы теорема айтады.

📌 Теорема (үшбұрыштың теңсіздігі). Үшбұрыштың әрбір қабырғасы оның басқа екі қабырғасының қосындысынан кіші болады.

Теоремадан бірден шығады: ұзындығы $13$ см, $2$ см және $8$ см кесінділерден үшбұрыш салуға болмайды, себебі $13>2+8=10$. Ең ұзын қабырғасын тексерсе жеткілікті.

Дәлелдеуі

$ABC$ үшбұрышын аламыз және $AC<AB+BC$ екенін дәлелдейміз.

Бұдан не шығады

📌 1-салдар. Үшбұрыштың әрбір қабырғасы басқа екі қабырғасының айырымынан үлкен болады.

Неге: $AB+BC>AC$ теңсіздігінің екі жағынан да $BC$-ны алып тастасақ, $AB>AC-BC$ шығады.

📌 2-салдар. Егер $AC+CB=AB$ теңдігі орындалса, онда $C$ нүктесі $AB$ кесіндісінде $A$ және $B$ нүктелерінің арасында жатады.

Неге: егер $C$ нүктесі $AB$ түзуінен тыс жатса немесе түзуде жатып, бірақ кесіндіден тыс болса, $AC+CB>AB$ шығар еді. Бір ғана мүмкіндік қалады: $C$ нүктесі кесіндінің бойында.

⚠️ Жиі кететін қате. Тек бір теңсіздікті тексереді. Шын мәнінде ең ұзын қабырғаның қалған екеуінің қосындысынан кіші екенін тексерсе жеткілікті. Сонда қалғандары да орындалады. Ал егер екі қабырғаның қосындысы үшіншісіне тең болса, үшбұрыш жоқ: нүктелер бір түзудің бойында жатады.

Ең қысқа жол және жарықтың шағылу заңы

Бұл — Архимедке де белгілі болған есеп. $c$ түзуі және екі $A$, $B$ нүктесі берілген. Осы түзудің бойынан $AC+CB$ жолы ең қысқа болатындай $C$ нүктесін табу керек.

Егер $A$ және $B$ нүктелері $c$ түзуінің әр жағында жатса. $AB$ кесіндісінің $c$ түзуімен қиылысу нүктесін $C$ деп аламыз. Түзудің кез келген басқа $C'$ нүктесі үшін $AC'B$ үшбұрышы шығады, ал теңсіздік бойынша $AC'+C'B>AB=AC+CB$.

Егер $A$ және $B$ нүктелері бір жағында жатса. $B$ нүктесін $c$ түзуіне қатысты шағылыстырамыз, $B'$ шығады. Енді $A$ және $B'$ әр жақта жатыр, сондықтан бәрі бірінші жағдайдағыдай. $c$ түзуінің кез келген нүктесінен $B$ мен $B'$ нүктелеріне дейінгі қашықтықтар бірдей.

🌟 Бұдан жарықтың шағылу заңы шығады: жарық сәулесі ең қысқа жолмен жүреді, сондықтан түсу бұрышы шағылу бұрышына тең. Бильярд үстелінде борттан шағылысқан добың да дәл осылай қозғалады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Үшбұрыш теңсіздігінің мәні неде? Үшбұрыштың әрбір қабырғасы басқа екі қабырғасының қосындысынан кіші.
• Үшбұрыштың екі қабырғасының айырымы туралы не айтуға болады? Ол үшінші қабырғадан кіші: әрбір қабырға қалған екеуінің айырымынан үлкен.
• $AC+CB=AB$ теңдігі орындалатындай $C$ нүктесі туралы не айтуға болады? Ол $AB$ кесіндісінде $A$ және $B$ нүктелерінің арасында жатады.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 17.1

а) $13$ см, $2$ см, $8$ см; ә) $1$ м, $0{,}5$ м, $0{,}5$ м шамалары қабырғалары болатын үшбұрыш салуға бола ма?

Қалай ойлаймыз. Ең ұзын қабырғаны қалған екеуінің қосындысымен салыстырамыз.

Шешуі. а) $2+8=10<13$, демек, болмайды. ә) $0{,}5+0{,}5=1$, қосынды ең үлкен қабырғаға тең, ал қатаң түрде үлкен болуы керек. Нүктелер бір түзуде жатады, үшбұрыш «жайылып» кетеді.

Жауабы: а) жоқ; ә) жоқ.

№ 17.2

Үшбұрыштың қабырғалары: а) $1 : 2 : 3$; ә) $2 : 3 : 6$; б) $1 : 1 : 2$ қатынасында бола ма?

Қалай ойлаймыз. Бөліктерді ұзындық ретінде алып, үшбұрыш теңсіздігін қолданамыз.

Шешуі. а) $1+2=3$, үлкен емес. ә) $2+3=5<6$. б) $1+1=2$, үлкен емес. Үш жағдайда да екі кіші қабырғаның қосындысы үлкенінен аспайды.

Жауабы: а), ә), б) жоқ.

№ 17.3

Теңбүйірлі үшбұрыштың бір қабырғасы $25$ см, ал екіншісі $10$ см. Осылардың қайсысы табаны болады?

Қалай ойлаймыз. Екі жағдайды тексереміз: бүйір қабырғалары $25$-тен немесе $10$-нан.

Шешуі. Егер бүйір қабырғалары $10$-нан болса, қабырғалары $10,10,25$: $10+10=20<25$, олай болмайды. Егер бүйір қабырғалары $25$-тен болса: $25,25,10$ және $10<25+25$, сәйкес келеді. Табаны $10$ см.

Жауабы: $10$ см.

№ 17.4

Теңбүйірлі үшбұрыштың екі қабырғасы берілген: а) $6$ см және $3$ см; ә) $8$ см және $2$ см. Оның үшінші қабырғасын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Үшінші қабырға берілген екі қабырғаның біріне тең. Екі жағдайды да тексереміз.

Шешуі. а) Егер үшінші қабырғасы $3$ болса: $6,3,3$, бірақ $3+3=6$, келмейді. Егер $6$ болса: $6,6,3$ келеді. ә) Егер $2$ болса: $8,2,2$ және $2+2=4<8$, келмейді. Егер $8$ болса: $8,8,2$, келеді.

Жауабы: а) $6$ см; ә) $8$ см.

№ 17.5

Туристік топ $A$ пунктінен $B$ пунктіне жетуі керек (17.5-сурет, диагональдары жүргізілген бесбұрыш). $A$ пунктінен $B$ пунктіне бірнеше жол бар. Кез келген жолдағы қозғалыс жылдамдығы бірдей болса, олардың қайсысымен жылдамырақ жетуге болады? Жауапты түсіндіріңдер.

Қалай ойлаймыз. Уақыт жолдың ұзындығына байланысты. Есіңе түсір: басқа пункттер арқылы өтетін жол тура жолдан қысқа емес.

Шешуі. Кез келген басқа маршрут, мысалы, $A\to C\to B$, $AB$ кесіндісімен бірге үшбұрыш құрайды, ал теңсіздік бойынша $AC+CB>AB$. Буындары көп маршруттар одан да ұзын: әрқайсысын үшбұрыш теңсіздігі бойынша «түзетуге» болады.

Жауабы: ең қысқа жол — $AB$ кесіндісі.

B деңгейі

№ 17.6

Теңбүйірлі үшбұрыштың бір қабырғасы $12$ см, екінші қабырғасы $5$ см. Осы үшбұрыштың периметрін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. 17.3 есебіндегідей: екі жағдай бар, біреуі келмейді.

Шешуі. Егер бүйір қабырғалары $5$-тен болса: $5+5=10<12$, жарамайды. Демек, бүйір қабырғалары $12$-ден, табаны $5$: $12+12+5=29$.

Жауабы: $29$ см.

№ 17.7

Теңбүйірлі үшбұрыштың периметрі $20$ см. Бір қабырғасы екіншісінен екі есе үлкен. Осы үшбұрыштың қабырғаларын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Екі түрлі ұзындық бар: $a$ және $2a$. Не бүйір қабырғалары $a$-дан, не $2a$-дан болады.

Шешуі. 1-нұсқа: қабырғалары $a,a,2a$, периметрі $4a=20$, $a=5$: $5,5,10$. Бірақ $5+5=10$, жарамайды. 2-нұсқа: $a,2a,2a$, периметрі $5a=20$, $a=4$: қабырғалары $4,8,8$ және $4<8+8$, жарайды.

Жауабы: $4$ см, $8$ см, $8$ см.

№ 17.8

$c$ түзуінің бойынан $AC+CB$ қашықтықтарының қосындысы ең кіші болатындай $C$ нүктесін көрсетіңдер (17.6-сурет, торкөз қағаздағы үш жағдай).

Қалай ойлаймыз. Егер $A$ және $B$ нүктелері $c$ түзуінің бір жағында жатса, $B$ нүктесін шағылыстырып, $A$-ны $B'$-мен қосамыз. Оның $c$-мен қиылысу нүктесі — іздеген $C$.

Шешуі. Тор көздердің координаталарын суреттен аламыз, $y$ осі жоғары қарайды. а) $A(1;1)$, $B(5;1)$, $c$ түзуі $y=4$ деңгейінде өтеді. Шағылу $B'(5;7)$. $AB'$ түзуі $3$ көтерілгенде $2$ тор көзге оңға жылжиды, ал $4$ деңгейінде ол $x=3$ нүктесінде жатады. Демек, $C=(3;4)$. ә) $A(1;3)$, $B(5;1)$, $c$ түзуі $y=4$ деңгейінде. $B'(5;7)$, $AB'$ түзуі $1$ көтерілгенде $1$ оңға жылжиды, $4$ деңгейінде бұл $x=2$: $C=(2;4)$. б) $c$ түзуі диагональ бойымен өтеді: $x+y=7$. $A(1;4)$, $B(3;1)$ бір жағында жатыр. $B$ нүктесінің $c$ түзуіне қатысты шағылуы: $B'(6;4)$. $AB'$ түзуі көлденең ($y=4$), $c$ түзуін $C=(3;4)$ нүктесінде қиып өтеді.

Жауабы: а) $C(3;4)$; ә) $C(2;4)$; б) $C(3;4)$ (суреттегі тор көздер бойынша).

C деңгейі

№ 17.9

Үшбұрыштың әрбір қабырғасы оның периметрінің жартысынан кіші болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. $a$ қабырғасы үшін үшбұрыш теңсіздігін жазамыз: $a<b+c$. Екі жағына да $a$-ны қосамыз.

Шешуі. Қабырғалары $a$, $b$, $c$ үшбұрышы үшін: $a<b+c$. $a$-ны қосамыз: $2a<a+b+c=P$. Демек, $a<\frac{P}{2}$. $b$ және $c$ үшін де осылай.

Жауабы: дәлелденді.

№ 17.10

Үшбұрыштың медианасы оның жарты периметрінен кіші болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Алдымен күштірек тұжырымды дәлелдейміз (17.12 есебі): медиана өзі шығатын төбені құрайтын қабырғалардың жарты қосындысынан кіші. Сонан соң жарты периметрмен салыстырамыз.

Шешуі. 17.12 бойынша $AD<\frac{AB+AC}{2}$ медианасы. Бірақ $\frac{AB+AC}{2}<\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{P}{2}$. Демек, $AD<\frac{P}{2}$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 17.11

Үшбұрыштың кез келген ішкі нүктесінен оның төбелеріне дейінгі қашықтықтардың қосындысы оның жарты периметрінен үлкен болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. $O$ нүктесі $ABC$ үшбұрышының ішінде жатсын. $AOB$, $BOC$, $COA$ үш үшбұрыш шығады, әрқайсысында теңсіздік орындалады.

Шешуі. $OA+OB>AB$, $OB+OC>BC$, $OC+OA>CA$. Қосамыз: $2(OA+OB+OC)>AB+BC+CA=P$. Демек, $OA+OB+OC>\frac{P}{2}$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 17.12

Үшбұрыштың медианасы оны шектейтін қабырғаларының жарты қосындысынан кіші болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Медиананы екі еселейміз: оны жалғап, бір қабырғасы $AC$-ға тең болатын үшбұрыш саламыз.

Шешуі. $ABC$ үшбұрышында $AD$ медианасы ($BD=DC$). $AD$ жалғасында $DE=AD$ кесіндісін саламыз. $ADC$ және $EDB$ үшбұрыштары екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы бойынша тең ($D$ төбесіндегі бұрыштар — вертикаль бұрыштар), сондықтан $BE=AC$. $ABE$ үшбұрышында: $AE<AB+BE=AB+AC$. Бірақ $AE=2AD$, демек, $AD<\frac{AB+AC}{2}$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 17.13

$c$ түзуі және оның бір жағында жатқан $A$ және $B$ нүктелері берілген (17.7-сурет). $c$ түзуінде $AC-CB$ қашықтықтарының айырымы ең үлкен болатындай $C$ нүктесін салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Үшбұрыш теңсіздігі бойынша $AC-CB\le AB$, ал теңдік тек $C$ нүктесі $AB$ түзуінде, $B$ нүктесі $A$ мен $C$ арасында жататындай болғанда ғана орындалады.

Шешуі. 1) $AB$ түзуін жүргіз. 2) Оның $c$ түзуімен қиылысу нүктесін тап: бұл $C$. 17.7-суретте $AB$ түзуі төмен қарай оңға жүріп, $c$ түзуін $B$ нүктесінен оңырақ қияды, демек, $B$ нүктесі $A$ мен $C$ арасында жатыр және $AC-CB=AB$. Кез келген басқа $C'$ нүктесі үшін: $AC'<AB+BC'$, сондықтан $AC'-C'B<AB$, айырым кіші болады.

Жауабы: $C$ — $AB$ түзуінің $c$ түзуімен қиылысу нүктесі. (Егер $AB\parallel c$ болса, мұндай нүкте жоқ.)

№ 17.14

$c$ түзуі және оның әр жағында жатқан $A$ және $B$ нүктелері берілген (17.8-сурет). $c$ түзуінде $AC-CB$ қашықтықтарының айырымы ең үлкен болатындай $C$ нүктесін салыңдар.

Қалай ойлаймыз. 17.13 есебіне келтіреміз: екі нүкте де бір жақта жатуы үшін $B$ нүктесін $c$ түзуіне қатысты шағылыстырамыз.

Шешуі. 1) $c$ түзуіне қатысты $B$ нүктесіне симметриялы $B'$ нүктесін сал. 2) $AB'$ түзуін $c$ түзуімен қиылысқанша жүргіз: бұл $C$. 3) $c$ түзуінің кез келген $C'$ нүктесі үшін: $C'B=C'B'$, ал 17.13 бойынша $AC'-C'B'$ айырымы $C$ нүктесінде ең үлкен болады. Суретте $B'$ нүктесі $A$ мен $C$ арасында жатады.

Жауабы: $C$ — $c$ мен $AB'$ түзуінің қиылысу нүктесі, мұндағы $B'$ — $B$ нүктесінің $c$ түзуіне қатысты симметриялысы.

№ 17.15

$c$ түзуінің бойынан $AC-CB$ қашықтықтарының айырымы ең үлкен болатындай $C$ нүктесін салыңдар (17.9-сурет, торкөз қағаз).

Қалай ойлаймыз. Мұнда екі жағдайда да $A$ және $B$ нүктелері $c$ түзуінің әр жағында жатыр, сондықтан 17.14 әдісі: $B$ нүктесін шағылыстырамыз.

Шешуі. а) $c$ түзуі $y=3$ деңгейінде өтеді, $A(1;5)$, $B(3;2)$. Шағылу $B'(3;4)$. $AB'$ түзуі оңға $2$ жылжығанда $1$ тор көзге төмендейді, ал $3$ деңгейінде ол $x=5$ нүктесінде жатады. $C=(5;3)$. ә) $c$ түзуі диагональ бойымен өтеді ($x+y=7$), $A(3;1)$, $B(4;5)$. $B$ нүктесінің $c$ түзуіне қатысты шағылуы: $B'(2;3)$. $AB'$ түзуі $2$ көтерілгенде солға $1$ жылжиды және $c$ түзуін $(0;7)$ нүктесінде қияды, ол торкөз өрісінің шетінен тыс жатыр, яғни $c$ түзуінің жалғасында.

Жауабы: а) $C(5;3)$; ә) $C(0;7)$ (суреттегі тор көздер бойынша, $c$ түзуін ұзарту керек).

№ 17.16

Төрт елді мекен $A$, $B$, $C$, $D$ нүктелерінде орналасқан (17.10-сурет). Наубайханадан барлық төрт елді мекенге дейінгі қашықтықтардың қосындысы ең кіші болатындай наубайхананы қай орынға салу керек?

Қалай ойлаймыз. Кез келген $P$ нүктесі үшін $PA+PC\ge AC$ және $PB+PD\ge BD$ орындалады. Егер $P$ нүктесі екі кесіндінің бойында бірдей жатса, екі теңсіздік те теңдікке айналады.

Шешуі. $ABCD$ төртбұрышы дөңес, $AC$ және $BD$ диагональдары $O$ нүктесінде қиылысады. $P=O$ үшін: $OA+OC=AC$ және $OB+OD=BD$, қашықтықтар қосындысы $AC+BD$-ға тең. Кез келген басқа нүкте үшін $PA+PB+PC+PD\ge AC+BD$, және қатаң түрде үлкен.

Жауабы: $AC$ және $BD$ кесінділерінің қиылысу нүктесінде.

Жаңа білімді меңгеруге дайындалыңдар

№ 17.17

Циркульдің көмегімен центрі $O$ және радиусы $2$ см болатын шеңбер салыңдар. Осы шеңбердің: а) ішінде; ә) сыртында орналасқан нүктелер қандай теңсіздікті қанағаттандырады?

Қалай ойлаймыз. Шеңбер — $O$ нүктесінен $2$ см қашықтықта жатқан барлық нүктелер. Ішіндегілер жақынырақ, сыртындағылар алысырақ.

Шешуі. $M$ — жазықтықтың кез келген нүктесі болсын. а) Ішінде: $OM<2$ см. ә) Сыртында: $OM>2$ см. Шеңбердің өзінде $OM=2$.

Жауабы: а) $OM<2$ см; ә) $OM>2$ см.

Жадынама

• Теорема: кез келген $ABC$ үшбұрышы үшін $AC<AB+BC$.
• Теңсіздікте теңдік тек үш нүкте бір түзуде жатқанда ғана болады.
• Периметрі $P$ болса, әрбір қабырға $\frac{P}{2}$-ден кіші.

Шағын тест